等差数列.(高一培优2015.3.28)doc

等差数列
一、等差数列的概念 1. 等差数列的定义
1) 等差数列的定义的理解 2) 等差数列的定义式
1,n n a a d n N *+-=∈ 2. 等差数列的通项公式
()11n a a n d =+- 通项公式的说明： 1)知1,a d 可写出通项公式 2)知数列仼两项可求公差 3)知通项公式可求任一项
4) 通项公式可化为()1n a dn a d =+-的形式，当0d ≠时n a 是n 的一次函数 3. 等差中项
若,,a A b 成等差数列，则A 是a 与b 的等差中项，且2
a b
A += 等差中项的说明：
1)在等差数列{}n a 中除首、末两项外，任一项都是前后两项的等差中项 2)若(){}1122n n n n a a a n a -+=+≥⇔为等差数列 4.判断等差数列的三种方法
1)定义法：1,n n a a d n N *+-=∈ ⇔{}n a 为等差数列
2) 等差中项法：()1122n n n a a a n -+=+≥ ⇔ {}n a 为等差数列 3) 通项公式法：(),n a kn b k b =+为常数 ⇔{}n a 为等差数列 二、等差数列的性质 1. 等差数列项的性质
数列{}n a 是等差数列若(),,,m n p q m n p q m n p q N a a a a *+=+∈⇔+=+ 2.等差数列的常用结论
数列{}{},n n a b 是等差数列，则{}{}{},,,(,,)n n n n c a ca pa qb c p q ++为常数为等差数列
3. 等差数列{}n a 中部分项构成新等差数列，如12345678
,,,a a a a a a a a ++++
等
4. 等差数列通项公式的推广
等差数列{}n a 的公差为d ，则()n m a a n m d =+- 三、等差数列的前n 项和 1.一般数列{}n a 的前n 项和
123n n s a a a a =++++
前n 项和n s 与n a 的关系()()
11,1,2n n n s n a s s n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 2. 等差数列的前n 项和公式
()()111,2
2
n n n
a a n n n d
S S
na +-=
=+
3. 等差数列的前n 项和公式的推导 “倒序相加法”：
4.从函数角度认识等差数列的前n 项和公式
()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫
=+
=+- ⎪⎝
⎭ 0d ≠时是常数项为0的二次函数
5.等差数列的前n 项和公式的性质
1)数列232,,n n n n n
S S S S S --是等差数列
2) 数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列
6. 等差数列的前n 项和的最值问题(可利求函数最值方法) 例题示范：
例1.(1)已知等差数列2，5，8，11,…，则23是这个数列的第_______项；
(2) 等差数列-3，-1，…，21k -的项数是__________；
(3) 等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = . (4) 在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______
例2.(1)设{}n a 为等差数列，则下列数列①{}2n a ②{}n pa ③{}n pa q +④{}n na ，(其
中为,p q 非零常数中)，成等差数列为____________
(2)已知数列{}n a 的通项公式为()32n a n n N *=-∈，
则3691215_______a a a a a ++++=
(3)设{}n a 是等差数列，(),p q a q a p p q ==≠，则______p q a +=
(4) 等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和
为 。

例3. 数列{}n a 满足1221,3a a ==，且()11112
2n n n
n a a a -++=≥，则______n a =
例4. 数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15
2
n S =-，
求1a 及n
例5. 已知数列{}n a 中111,22.n n n a a a +==+
(1)设1
2
n
n n a b -=
，证明{}n b 是等差数列； (2)求数列 {}n a 的通项公式。

例6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3113,0a S ==. (1) 求数列 {}n a 的通项公式；
(2)当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值。

例7.(1)已知数列 {}n a 的前n 项和为1
2
n n S n +=
+，则3_____a = (2) 已知数列 {}n a 的前n 项和为29,n S n n =-，则______n a =
例8.(1) 等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，设数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，其前n 项和为
n S ，则______n S =
(2)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4662,75,S S =-=-，求： ①数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； ②12314a a a a ++++的值。

巩固练习： 一、选择题
1. 在等差数列{}n a 中265,17a a ==，则14a =
A 45
B 41
C 39
D 37 2.在数列{}n a 中，112,221,n n a a a +=-=则101a =
A 49
B 50
C 51
D 52 3.若()
()lg 2,lg 21,lg 23x
x -+成等差数列，则的值等于
A 0
B 2log 5
C 32
D 0或 32 4.已知130n n a a +--=，则数列{}n a 是
A 递增数列
B 递减数列
C 摆动数列
D 常数列
5.在数列{}n a 中，372,1a a ==，如果数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是等差数列，那么11a =
A
13 B 12 C 2
3
D 1 6. 已等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6826a a =+，则7S = A 49 B 42 C 35 D 28
7. 等差数列的前项10和为100，前100项和为10，则110前项和为
A -90
B 90
C -110
D 10 8. 若数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =-+，则12310a a a a ++++=
A 15
B 35
C 66
D 100 二、填空题
9. 在-1与7之间插入三个数,,a b c ，使这五个数成等差数列，此等差数列的公差
d =______
10.各项不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，则7_____a = 11. 在等差数列{}n a 中，1248S S =，公差0d ≠，则
1
______a d
= 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n S n n N n *⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
在函数32y x =-的图象上，
则数列{}n a 的通项公式为____________ 13. 数列{}
n a 的通项公式为n a =
，其前n 项和9n S =，则____n =
14.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则____n =时数列{}n a 的前n
项和最大 三、解答题
15.一个各项都是正数的无穷等差数列{}n a ，1a 和3a 是方程2870x x -+=的两个
根，求它的通项公式
16.已知{}n a 是等差数列，且123812,16,a a a a ++==
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若从数列{}n a 中，依取取出数列的第2项，第4项，第6项，…第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，试求{}n b 的通项公式。

17.在等差数列{}n a 中，117925,,a S S ==，求前n 项和n S 的最大值。

18. 已知数列{}n a 的前n 项和213,44
n S n n =+
(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设1
,n n
b na =
，求数列{}n b 的 前n 项和n S 。