数学分析ch12-5偏导数在几何中的应用
12-5 偏导数在几何中的应用
教学重点:
偏导数与全微分的概念； 各种类型函数的偏导数与全微分求法。 偏导数的应用。
要求:
1、掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数， 会求全微分，会求多元隐函数（组）的偏导数。
2、会求方向导数和梯度。会解多元函数偏导 数的基本应用题。
第五节 偏导数在几何中的应用
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
F ( x, y , z ) 0 2) 一般式情况. 空间光滑曲线 : G ( x, y, z ) 0
T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
M
T
r (t )
称为曲线的切向量 . 也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
o
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
说明: 若引进向量函数 r (t ) ( (t ) , (t ) , (t ) ) , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0处的导向量
M
法平面方程
(F , G) ( y, z )
M
( x x0 )
(F , G) ( x , y )
(F , G) ( z , x)
M
( y y0 )
( z z0 ) 0
M
2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况 . 空间光滑曲面 曲面 在点 的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
偏导数在几何中的应用
偏导数在几何中的应用姓名：徐恩义班级：电子商务1132学号：201121102221偏导数在几何中的应用一、失量函数的微分法1、失量函数的概念我们知道，质点运动时，它的轨道是情况并不多，一般情况下是一条曲线，而且往往是一条空间曲线，设在空间中取定了一个直角坐标oxyz,动点P在点时刻t坐标为（x,y,z),它的运动方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t) (1)这里 x(t),y(t),z(t)是时间的三个连续函数。
如果把动点p 与原点o连结起来（如图8-21）就得到以原点为起点，动点为终点的矢量：（矢径）, 其坐标为, 而动点的运动方程为（2）当t变动时，r的摸与方向一般都随着变动，即对每一个，按（2）式都有唯一的矢量r与之对应，这个对应规律称为矢值函数，记为r=r(t)的动点p(x,y,z)画出的曲线，叫做矢值函数r=r(t)的矢端曲线，一般情况下t并不一定代表时间，而是在某一变化范围内的取值.2、矢值函数的导数设矢值函数，若给t以增量，矢量r 相应的增量为.定义若极限都存在则极限称为矢值函数r=r(t)在r处的导数（称矢量导数）记作或，即.物理意义：设表示质点p的运动方程，其运动轨迹是一条曲线（图8-22）在时间间隔[内，质点p的位移为;平均速度; 平均速度的极限.即质点在时刻t时瞬时速度v(t)为.速度v(t)是一个矢量，它们的方向是质点p在时刻时运动方向，其大小为进一步可得就是质点运动的加速度.几何意义：若，由若曲线在曲线上点p处的切线存在，则割线当时的极限位置的直线就是切线PT，从而是位于切线上的矢量，即就是切线的方向向量，我们称为曲线在p点的切矢量.二、偏导数的几何意义前面已经说明，二元函数z=f(x，y)的图形一般是一张曲面，它在点(x0，y0)处对x的偏导数相当于一元函数z=f(x，y0)在点x0处的导数，在几何上，函数z=f(x，y0)的图形可看成在平面y=y0上的曲线，即曲面z=f(x，y)和平面y=y0的交线。
偏导数在几何上应用
平面的一般方程 A B x C y D z 0
平面的截距式方程 平面的三点式方程
x yz 1 a bc
xx1 x2 x1 x3 x1
yy1 y2 y1 y3 y1
zz1 z2 z1 0 z3 z1
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一、空间曲线的切线与法平面
xetcots, y2co ts sit,n z3e3t,
x(0)1, y(0)2, z(0)3,
切线方程 x0y1z2,
1 23
法平面方程 x 2 ( y 1 ) 3 ( z 2 ) 0 ,
即 x 2 y 3 z 8 0 .
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特殊地：
xx
1.空间曲线方程为
y z
解 1 直 接 利 用 公 式 ;
解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x 求 导 并 移 项 ， 得
y
dy dx
z dz dx
x
dy
dz
1
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
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dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
解 3 利用梯度. 记 F x 2 y 2 z 2 6 ,G x y z ,则
gr ( 1 , 2 a , 1 ) d { 2 , 4 , F 2 }g , r ( 1 , 2 a , 1 ) d { 1 , 1 , 1 } G .
由 r(t)所确定的C 空 为光间 滑曲曲 线. 线
数学分析ch12-5偏导数在几何中的应用教材课程
求函数在某点的偏导数时，首先要选定一个自变量让其发生变化 ，而其余的自变量则保持不变。然后将选定的自变量代入到原函 数中，并对该函数求导。最后，将求导结果中的自变量替换为选 定的点的坐标值，即可得到该点处的偏导数。
偏导数存在性与连续性关系
偏导数存在性
如果函数在某点的某个方向上的偏导数存在，那么该函数在 该点上沿着这个方向是可微的。但是，即使函数在某点的所 有方向上的偏导数都存在，该函数在该点也不一定可微。
高阶偏导数的性质
高阶偏导数具有一些重要的性质，如交换性、对称性和可加性等。其中交换性指的是混合偏导数的顺序可以交换 而不影响结果；对称性指的是在某些特殊情况下，混合偏导数的结果与求导顺序无关；可加性则是指高阶偏导数 可以拆分为多个低阶偏导数的组合进行计算。
02
偏导数在几何中意义
空间曲线切线与法平面方程
偏导数在几何形状描述中应用
80%
形状分析
通过偏导数可以分析几何形状的 变化趋势，如曲线的弯曲程度和 曲面的凹凸性等。
100%
最优化问题
在求解某些最优化问题时，偏导 数可用于判断目标函数在某一点 处的变化率，从而确定最优解的 位置。
80%
物理应用
偏导数在物理学中也有广泛应用 ，如描述质点运动轨迹的切线和 法平面、求解电场和磁场的分布 等。
数学分析ch12-5偏导数在几 何中的应用教材课程
目
CONTENCT
录
• 偏导数概念及性质 • 偏导数在几何中意义 • 多元函数极值与最值问题 • 隐函数存在定理及其几何意义 • 偏微分方程简介及其在几何中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
偏导数概念及性质
偏导数定义与计算方法
偏导数定义
偏导数在几何上的应用
偏导数在几何上的应用引言：偏导数是微积分中的重要概念，它描述了一个多元函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。
在几何学中，偏导数的概念也有许多应用。
本文将探讨偏导数在几何上的应用，并分析其中的几个具体例子。
一、曲面的切平面和法线在空间中，一个曲面可以用一个方程来表示。
对于一个多元函数，其图像可以看作是一个曲面。
对于这个函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。
在几何上，这个偏导数可以用来描述曲面在该点处的切平面和法线。
切平面是曲面在某一点处与曲面相切的平面。
我们可以通过求偏导数来确定切平面的方程。
偏导数表示了曲面在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切平面的法向量。
通过求解方程，我们可以得到切平面的方程表达式。
法线是与切平面垂直的直线。
通过求偏导数，我们可以计算出曲面在该点处的法向量。
法向量与切平面的方程相互垂直，因此可以作为法线的方向。
二、曲线的切线和法线类似于曲面，曲线在某一点处的切线和法线也可以通过偏导数来确定。
对于一个二元函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。
在几何上，这个偏导数可以用来描述曲线在该点处的切线和法线。
切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。
我们可以通过求偏导数来确定切线的斜率。
偏导数表示了曲线在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切线的斜率。
通过求解方程，我们可以得到切线的方程表达式。
法线是与切线垂直的直线。
通过求偏导数，我们可以计算出曲线在该点处的斜率。
法线的斜率是切线斜率的倒数的相反数，因此可以作为法线的斜率。
三、曲面的凸凹性通过求偏导数，我们可以研究曲面的凸凹性质。
在某一点处，如果曲面的二阶偏导数大于零，则该点是曲面的凸点；如果二阶偏导数小于零，则该点是曲面的凹点。
凸凹性可以用来描述曲面在某一点处的形状。
对于一个凸点，其周围的曲面向外凸出；对于一个凹点，其周围的曲面向内凹陷。
通过求解二阶偏导数，我们可以得到曲面在该点处的凸凹性质。
四、曲线的拐点类似于曲面，曲线在某一点处的拐点也可以通过偏导数来确定。
偏导数在经济分析中的应用
2023-11-07contents •偏导数概述•偏导数在经济学中的应用•偏导数在金融学中的应用•偏导数在市场分析中的应用•偏导数在生产者理论中的应用•偏导数在消费者理论中的应用目录01偏导数概述偏导数的定义偏导数的定义对于函数$f(x,y)$，如果$\frac{\partial f}{\partial x}$表示$x$对$f$的导数，那么偏导数就是部分地求导，即对其中一个变量求导，而保持其他变量不变。
偏导数的表示在多元函数的偏导数中，对于函数$f(x,y)$，其偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
偏导数的性质•线性性质：偏导数是线性运算，即如果$f(x,y)$和$g(x,y)$是两个二元函数，且$a$和$b$是常数，那么$(a f + b g)(x,y)$的偏导数等于$a \frac{\partial f}{\partial x} + b \frac{\partial g}{\partial x}$和$a\frac{\partial f}{\partial y} + b \frac{\partial g}{\partial y}$。
•高阶偏导数：如果一个多元函数的一阶偏导数还是关于其余变量的函数，那么可以继续求它的偏导数，以此类推，得到高阶偏导数。
偏导数在经济分析中的意义描述变量之间的关系偏导数可以描述两个变量之间的关系，例如，当一个变量增加时，另一个变量是增加还是减少。
在经济学中，经常需要考虑多个变量的优化问题，例如，如何在满足一定约束条件下最大化或最小化一个目标函数。
偏导数可以用来研究这些问题的局部最优解。
在政策分析中，偏导数可以用来研究政策变化对经济的影响。
例如，政府可以通过税收政策来影响消费者的购买行为，而偏导数可以用来描述这种影响的大小。
优化问题政策分析02偏导数在经济学中的应用边际效用函数表示在一定时间内，消费者增加一单位某种商品的消费所得到的效用量的增量。
偏导数在几何上的应用
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详细描述
梯度是一个向量，其大小等于函数在该点的方向导数的最大值，其方向则是该方向导数最大的方向。梯度的计算 涉及到偏导数的计算，可以通过对偏导数进行向量运算得到。
偏导数与高斯公式和格林公式
总结词
高斯公式和格林公式是微积分中的重要公式，它们涉及到偏导数的概念，可以用来解决某些几何问题 。
详细描述
高斯公式和格林公式分别描述了三维空间和二维平面中体积分和曲线积分与偏导数的关系。它们在计 算几何形状的体积、表面积、曲线长度等几何量时非常有用。通过这些公式，我们可以将复杂的几何 问题转化为相对简单的积分问题，从而方便地求解。
偏导数与函数图像的凹凸性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的 凹凸性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数 大于零，则该点附近的函数图像 是凹的；如果偏导数小于零，则 该点附近的函数图像是凸的。
偏导数与函数图像的单调性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的单调性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数大于零，则该点附近函数值是递增的；如果偏 导数小于零，则该点附近函数值是递减的。这为研究函数的单调性提供了重要 的几何解释。
偏导数在几何上的应用
目录 CONTENT
• 偏导数的几何意义 • 偏导数在几何优化问题中的应用 • 偏导数在解决几何问题中的具体
应用 • 偏导数在几何中的其他应用
01
偏导数的几何意义
偏导数与切线斜率
总结词
偏导数可以用来描述函数图像上某一 点的切线斜率。
详细描述
在几何上，偏导数表示函数在某一点 处沿某一方向的变化率，即切线的斜 率。对于二元函数，偏导数可以表示 空间曲面在某一点的切平面。
高考高等数学复习重点偏导数应用
高考高等数学复习重点偏导数应用要说这高考里的高等数学，偏导数的应用那可真是个让人又爱又恨的家伙！对于很多同学来说，它就像是一座隐藏着宝藏但又布满荆棘的神秘岛屿。
咱们先来说说偏导数在几何中的应用。
想象一下，你正在设计一个超级酷炫的立体雕塑，你得知道不同方向上的变化率才能把它的形状雕琢得完美无缺。
比如说，偏导数能帮我们求出曲面在某一点处的切平面方程。
这就好比你要给这个雕塑找一个最合适的底座，让它稳稳地站立在那里，展现出最迷人的姿态。
还记得我之前教过的一个学生小明，那可真是个聪明但又有点粗心的孩子。
有一次做练习题，遇到一个求曲面在某点处切平面方程的题目。
他一开始信心满满，觉得自己肯定能拿下。
可算着算着，就把偏导数的符号给弄混了，结果整个答案都错得离谱。
我看着他那懊恼的样子，又好气又好笑。
我就跟他说：“小明啊，这偏导数就像是你手里的工具，你得把它们认清楚，用对地方，不然可就修不出你想要的雕塑啦！”打那以后，小明每次做这类题目都会格外小心，成绩也有了明显的提高。
再来说说偏导数在优化问题中的应用。
这就像是你要在一堆琳琅满目的商品中，找到那个性价比最高的宝贝。
比如说，工厂要生产一种产品，怎么安排生产才能让成本最低、利润最大？这时候偏导数就派上用场啦。
通过求偏导数为零的点，就能找到可能的极值点。
还有偏导数在物理中的应用，比如热传导问题。
这就好比你要搞清楚一杯热水是怎么慢慢变凉的，温度在不同位置、不同时间的变化规律是怎样的。
同学们，复习偏导数的应用可不能马虎。
要多做练习题，熟悉各种题型。
遇到不会的问题，别着急，多想想，多问问老师和同学。
相信只要你们用心，偏导数这个“小怪兽”一定能被你们打败！就像小明一样，从错误中吸取教训，最终在高考的战场上取得胜利！总之，偏导数的应用在高考高等数学中至关重要。
大家一定要把基础打牢，熟练掌握各种方法和技巧，这样才能在考场上应对自如，取得好成绩！加油吧，同学们！。
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用分析
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用分析多元函数的偏导数是研究多元函数变化率的重要工具，其在经济学中有着广泛的应用。
在此篇文章中，我们将讨论多元函数的偏导数的概念、计算方法以及在经济学中的具体应用。
一、多元函数的偏导数概念与计算方法1.1 多元函数的偏导数概念多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数用于衡量函数在某个自变量上的变化率。
对于一个二元函数 f(x, y)，其在 x 和 y 上的偏导数分别表示为∂f/∂x 和∂f/∂y。
1.2 多元函数的偏导数计算方法计算一个多元函数在某个自变量上的偏导数时，仅将其他自变量视为常数进行求导即可。
对于 n 个自变量的函数 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其在第 i 个自变量上的偏导数表示为∂f/∂xᵢ。
二、多元函数的偏导数在经济学中的应用2.1 优化问题在经济学领域中，许多问题需要找到一个函数的最大值或最小值。
利用多元函数的偏导数可以帮助我们找到这些最值点。
通过求解多元函数在每个自变量上的偏导数，并令其等于零，可以得到函数的稳定点。
这些稳定点就是函数的最值点，可以帮助我们做出经济决策。
2.2 生产函数的边际产出生产函数描述了投入和产出之间的关系。
在经济学中，生产函数的边际产出指的是增加一单位输入所导致的产出变化。
通过对生产函数进行偏导数运算，我们可以求得某一输入变量对产出的影响程度，从而帮助企业做出生产决策、优化资源配置。
2.3 市场需求曲线的均衡分析在市场经济学中，需求曲线表示了消费者对商品的需求情况。
通过对需求函数中价格的偏导数求解，可以得到市场上每单位价格变动所引起的需求变化率。
这可以帮助我们分析市场均衡、价格弹性以及消费者行为的变化。
2.4 市场供给曲线的分析供给曲线描述了产商的供给决策与市场价格之间的关系。
通过对供给函数中价格的偏导数求解，可以得到市场上每单位价格变动所引起的供给变化率。
这可以帮助我们分析市场均衡、价格弹性以及产商的决策行为。
偏导数在几何中的应用-PPT精选文档
§5 偏导数在几何中的应用 一、空间曲线的切线和法平面
二、曲面的切平面与法线 三、曲面的参数方程形式
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一、空间曲线的切线与法平面
x x (t) y y ( t ) (1 ) z z(t)
设空间曲线的方程
(1)式中的三个函数均可导.
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补例 1 求曲线 : x 0 e u cos udu， y 2 sin t
cos t , z 1 e 3 t 在 t 0处的切线和法平面方程.
t
解 当 x 0 , y 1 , z 2 , t 0时 ，
t 3 t 2 cos t sin t ,z 3 x e cos t, y e ,
在M处的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x ( t ) ,( y tz ) ,( t ) 0 0 0
在M处的法平面方程：过M点且与切线垂直的平面.
x ( t ) () x x y ( t ) () y y z ( t ) ( z z ) 0 0 0 0 0 0 0
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切向量为 T 1 , y () x , zx ()
或
( F , G ) ( F , G ) ( F , G ) T , , ( y , z ) (, zx ) ( xy , )
切线方程为
法平面方程为
xx yy zz 0 0 0 , (FG , ) (FG , ) (FG , ) (y ,z ) (z ,x ) (x ,y )
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x x y y z z 0 0 0 , 1 ( x ) ( x ) 0 0
偏导数的几何应用
Fx (x0 , y0 , z0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程
Fz (x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
切线方程为
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
0.
Fx Gx
(y
0
y0 )
二、空间曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
M
过点M的曲线
x (t)
:
y
(t
),
z (t)
曲线在M处的切向量 T {(t0 ), (t0 ), (t0 )},
令 n {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
第七节 偏导数的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0, y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
偏导数在几何中的应用
设 M (x 0,y 0,z0)对 , t应 t0 ; 于
M (x0x,y0y,z0z)
对应 tt0 于 t.
x
M
o
y
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割线 MM 的方程为
z
M
xx0yy0zz0
x y z
M
xo y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
同理 gradG(P0 ) 0。因此平面 π 就是曲线 在 P0
点的法平面。
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例 12．5.2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对 x求导并移项，得
1 0 1 法平面方程为 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( z 1 ) 0 ,
xz0
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补例 2 求两柱面 x2 y2 R2 , x2 z2 R2交线 在点( R , R , R )处的切线及法平面方程.
22 2
解 x 2 y 2 R 2 ,x 2 z2 R 2
xx0yy0zz0, x y z
t
t
t
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当 M M ,即 t 0 时 , 曲线在M处的切线方程
xx0 yy0 zz0. x(t0) y(t0) z(t0)
在M处的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x ( t 0 ) ,y ( t 0 ) ,z ( t 0 )
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由空间解析几何知道，由一点及两个线性无
关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称
为这两个向量张成的平面），平面上的任一向量都
《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用
§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。
1、 参数方程的情形设空间曲线l 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩()a t b ≤≤ 其中t 的参数。
又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。
向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。
()r t 的导数定义为000()()()limlim()()()()()()lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k∆→∆→∆→∆+∆-'==∆∆+∆-+∆-+∆-=++∆∆∆'''=++(,,)x y z '''存在几何意义：()()r r t t r t ∆=+∆-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ∆→，即点Q 得l 通过点P 时，rt∆∆的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程：000000()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量- ,如果(1)存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做, , ,或例如,极限(1)可以表为=类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做, , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做, , ,或由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为=其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求的偏导数解= ,=二偏导数的几何意义二元函数= 在点的偏导数的几何意义设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率三偏导数的几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于.例如,函数= ={在点(0,0)对的偏导数为同样有但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数= , =那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:,,其中第二 ,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, , ,,从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, =我们再看用maple作求的图形第一个图形为第二个图形为从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的这不是偶然的,事实上我们有下述定理定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义(总7页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z 对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量- ,如果(1)存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做, , ,或例如,极限(1)可以表为=类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做, , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做, , ,或由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为=其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求的偏导数解= ,=二偏导数的几何意义二元函数= 在点的偏导数的几何意义设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率三偏导数的几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于.例如,函数= ={在点(0,0)对的偏导数为同样有但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数= , =那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:,,其中第二 ,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, , ,,从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, = 我们再看用maple作求的图形第一个图形为第二个图形为从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的这不是偶然的,事实上我们有下述定理定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D 里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
偏导数及其在经济生活中的应用
(10 2 PB ).
PB 120 250 10 PB PB2 PA
EQ A PA 50, PB 5时 2 EPB
解: QY 15
PX 则E XY
15 0.625 PX QY 240
交叉弹性的值反映两种商品间的相关性： 当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交 叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于 零时，两商品为相互独立的商品.
QB g( PA , PB )
EQ A Q A PA Q A 对PA弹性 : . EPA PA Q A EQ A Q A PB Q A 对PB交叉弹性 : . EPB PB Q A
例8 某商品的需求函数为QY 120 2 PY 15PX，
求当PX 10，PY 15时商品的交叉弹性．
xz Ez z x f ( x , y )在( x , y )处对x的弹性： x lim z . Ex x 0 x x z yz x Ez z z . y 同理： y lim Ey y 0 y y z y
交叉偏弹性 Q A f ( PA , PB )
在 D 内可导，
它在 D 内的偏导数仍是 简称 偏导数，记为
x
和
y 的二元函数，称为偏导函数，
z f , , z x , f x x, y x x
或
z f , , z y , f y x, y y y
偏导数在生活中又怎样 的用处呢？
需求函数的偏弹性
弹性：z f ( x , y )在( x , y )处偏导数存在，函数对x的 xz f ( x x , y ) f ( x , y ) 相对改变量 z f ( x, y) xz x 与自变量x的相对改变量 之比 z x x x 称为函数f ( x , y )对x从x到x x两点间的弹性.
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定 义 12.5.1 若 r(t) x(t)i y(t) j z(t)k 在 [a,b] 上 连 续 ， 并 且 r(t) 0, t [a,b]，则称
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k, a t b
所确定的空间曲线为光滑曲线。
光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动。
现在讨论光滑曲线 上一点 P0 (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) 处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。
记 x0 x(t0 ), y0 y(t0 ), z0 z(t0 ) 。取 上另一点 P1(x(t), y(t), z(t)) ，则 过 P0 和 P1 的割线方程为
x x0 y y0 z z0 。
x(t) x(t0 ) y(t) y(t0 ) z(t) z(t0 )
将其改写为
x x0 y y0 z z0 ，
x(t) x(t0 ) y(t) y(t0 ) z(t) z(t0 )
t t0
t t0
t t0
再令 t t0 ，就得到曲线 在 P0 点的切线方程
Gx (P0 ) Gy (P0 ) Gz (P0 )
同理 gradG(P0 ) 0 。因此平面 π 就是曲线 在 P0 点的法平面。
例 12.5.1 一质点一方面按逆时针方向以等角速度 绕 z 轴旋 转，另一方面又沿 z 轴正向以匀速 c 上升，已知时刻 t 0 时质点在点 (a,0,0) (a 0) 处，求
(P0
)(
y
y0
)
(F,G) (x, y)
(P0
)(
z
z0
)
0
。
由空间解析几何知道，由一点及两个线性无关（即非平行）的
向量确定一张过该点的平面（称为这两个向量张成的平面），平面上
的任一向量都可以表为这两个向量的线性组合。
定理
12.5.1
曲线
F ( x,
G(x,
y, y,
z) z)
0, 0
在
P0
即得到它在 P0 (x0 , f (x0 ), g(x0 )) 点的切线方程为
法平面方程为
x x0 y f (x0 ) z g(x0 ) ；
1
f (x0 )
g (x0 )
(x x0 ) f (x0 )( y f (x0 )) g(x0 )( z g(x0 )) 0 。
空间曲线还可以表示为空间中两张曲面的交。设曲线 的方程为
(P0
)
(F,G) (y, z)
(
P0
)
。
于是，曲线 在 P0 点的切线方程为
x x0 y y0 z z0 ；
(F, ( y,
G) z)
(
P0
)
(F, (z,
G) x)
(
P0
)
(F, (x,
G) y)
(
P0
)
法平面方程为
(F,G) (y, z)
(P0
)( x
x0
)
(F,G) (z, x)
线性无关，因此它们可以张成一个过 P0 点的平面 π 。
要证明平面 π 就是曲线 在 P0 点的法平面，只要证明 在 P0 点的 切向量与 π 垂直，即与 gradF (P0 ) 和 gradG(P0 ) 均垂直即可。
因为曲线 在 P0 点的切向量为
于是
(F , G) (y, z)
(F , G) (P0 ), (z, x) (P0 ),
y z
y0 , z0.
向量 r(t0 ) (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) 就是曲线 在 P0 点的切线的一个方 向向量，也称为 在 P0 点的切向量。
过 P0 点且与切线垂直的平面称为曲线 在 P0 点的法平面。显然， 该法平面的一个法向量就是 在 P0 点的切向量，因此曲线 在 P0 点的 法平面方程可写成
(F , G) (x, y)
(
P0
)
，
gradF(P0
)
Fx
(P0
)
(F,G) (y, z)
(P0
)
Fy
(P0
)
(F,G) (z, x)
(P0
)
Fz
(P0 )
(F, (x,
G) y)
(P0 )
Fx (P0 ) Fy (P0 ) Fz (P0 ) Fx (P0 ) Fy (P0 ) Fz (P0 ) 0.
F(x, y, z) 0, G(x, y, z) 0.
P0 (x0 , y0 , z0 ) 为 上一点，且 Jacobi 矩阵
J
Fx Gx
Fy Gy
Fz Gz
在 P0 点是满秩的，即 rank J 2 。求曲线 在 P0 点的切线与法平面方程。
由于矩阵 J 在 P0 点满秩，不失一般性，假设在 P0 点成立 (F, G) Fy Fz 0 。
（1）该质点的运动轨迹 ； （2）该质点在时刻 t 的速度；
( y, z) Gy Gz
由隐函数存在定理，在 P0 点附近唯一确定了满足 y0 f (x0 ), z0 g(x0 ) 的 隐函数
且有
y f (x), z g(x) ， x O(x0 , ) 。
f
(x0 )
(F,G) (z, x)
(P0
)
(F, ( y,
G) z)
(
P0
)
,
g ( x0
)
(F,G) (x, y)
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )( z z0 ) 0 ， 或写成等价的向量形式
r(t0 ) ( x x0 ) 0 。
如果曲线的方程为
y f (x), z g(x) ，
把它看成以 x 为参数的参数方程
x x,
y
f (x),
z g(x),
点的法平面就是由梯度向量
gradF (P0 ) 和 gradG(P0 ) 张成的过 P0 的平面。
证
记该曲线为
。由于矩阵 J
Fx Gx
Fy Gy
Fz Gz
满秩，因此
gradF (P0 ) (Fx (P0 ), Fy (P0 ), Fz (P0 ))
与
gradG(P0 ) (Gx (P0 ), Gy (P0 ), Gz (P0 ))
x x0 y y0 z z0 。
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
注 当 x(t0 ) 0, y(t0 ) 0, z(t0 ) 0 时，这个公式应理解为
x
x0
y
y0
,
x(t0 ) y(t0 )
z z0 .
当 x(t0 ) 0, y(t0 ) 0, z(t0 ) 0 时，这个公式应理解为