2018版高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版

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高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版必修4

3.3 几个三角恒等式1．能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．(重点) 2．能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 降幂公式阅读教材P 121例3，完成下列问题． sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.1．若cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________.【解析】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 【答案】－552．若tan α2＝3，则cos α＝________.【解析】 ∵tan2α2＝1－cos α1＋cos α＝9，∴cos α＝－45.【答案】－45教材整理2 积化和差与和差化积公式阅读教材P 126链接以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ．( ) (2)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B ．( ) (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－cos 2β.( ) 【解析】 (1)正确．(2)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝－2sin A sin B ，故错． (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)，故错．【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理3 万能公式阅读教材P 126～P 127的“链接”内容，完成下列问题．设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t2.1．若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________.【解析】 ∵tan α＝3，∴sin 2α＝2tan α1＋tan 2α＝35，cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45. 【答案】 35 －452．若tan α＝1，则tan α2＝________.【解析】 tan α＝2tanα21－tan 2α2，∴tan 2 α2＋2tan α2－1＝0，解得tan α2＝－1± 2.【答案】－1± 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]【精彩点拨】先降幂；再和差化积，或积化和差求解．【自主解答】原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.[再练一题]1．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：06460081】【解】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.设tan 2＝t ，求证：1＋sin θ＋cos θ＝2(t ＋1)．【精彩点拨】利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明．【自主解答】由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan2θ2＝＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝＋t1＋t2，故1＋sinθ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sin α与cos α都可以表示成tanα2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.[再练一题]2．已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，求tan θ2.【解】 ∵180°＜θ＜270°，∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.由cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1－tan2θ21＋tan2θ2＝－35，解得tan2θ2＝4. 又tan θ2＜0，∴tan θ2＝－2.[探究共研型]探究【提示】把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式．探究2 在上述转化过程中，要用到哪些公式？【提示】降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋θ)，其中tan θ＝ba.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．【精彩点拨】化简f x的解析式→fx ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．[再练一题]3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．【解】 (1)∵f (x )＝3sin 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．[构建·体系]1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20° 3．已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于________．【导学号：06460082】【解析】因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2.【答案】 5－24．已知tan α＝－12，则sin 2α的值等于________．【解析】 sin 2α＝2sin α·cos αcos 2α＋sin 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－45.【答案】－455．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π3上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3 ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5.当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十八) 几个三角恒等式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题 1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ； ②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ； ③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的等式有________．(填序号) 【解析】只有⑤正确．【答案】 ⑤2．若A ＋B ＝120°，则sin A ＋sin B 的最大值是________．【解析】 sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B2cosA －B2＝3cosA －B2≤3，∴最大值为 3. 【答案】33．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是________．【解析】 y ＝2sin x cos π3＝sin x ≤1，∴最大值为1.【答案】 14．求sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值为________．【解析】原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos 30°＝－2×32＝－ 3. 【答案】－ 35．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2＝________. 【导学号：06460083】【解析】易知sin α＝－513，α为第三象限角， ∴cos α＝－1213.∴tan α2＝sin α2cos α2＝2sin α2cosα22cos2α2＝sin α1＋cos α＝－5131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－5. 【答案】－56．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.【解析】 cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 137．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.【解析】 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .【答案】－m8．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12sin2x －π6＋sin －π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34.【答案】－34二、解答题9．化简：－sin α－cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．【解】原式＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2 α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 α2－cos 2 α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sin α2＝cos α. 10．求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. [能力提升]1．sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值是________．【解析】原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋32(sin 100°－sin 60°)＝1－12(cos 40°＋cos 20°)＋32cos 10°－34＝1－cos 30°cos 10°＋32cos 10°－34＝14. 【答案】 142．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos (A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12. 【答案】 123．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 【解析】 ∵α是第三象限角，∴α2为第二、四象限角，∴tan α2＜0， ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3， ∴原式＝1－31＋3＝－12. 【答案】－124．如图331，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图331【解】在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在直角三角形OAD 中，DA OA ＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36.∵0<α<π3， ∴当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，取最大值36.∴当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.。

高中数学第三章三角恒等变换本章复习教案苏教版

第三章三角恒等变换本章复习整体设计知识网络教学分析三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识巩固让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βα＋β， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等．还需熟练掌握一些常见的式子：如：sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx ＝2sin(x±π3)等．对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．应用示例思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝－＋－1－－－，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]． ∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan (60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A) ＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝2sin αcos αcos α－sin α2sin αcos αcos2α＝sin α2cos 2α－12sin αcos αcos2α＝cos2α2cos αcos2α＝12cos α.∵tan α＝12，又α∈(0，π2)，即2sin α＝cos α，又由sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝25.∴sin2αcos α－sin αsin2αcos2α＝54. 点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，π4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3si n[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2.∴cos(α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1，即得2tan α＝1. 代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例题已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值．活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，∴cos θ≠0.∴上式两边同除以cos 2θ，得tan 2θ＋tan θ－2＝0.解得tan θ＝－2.〔∵θ∈(π2，π)，∴舍去tan θ＝1〕 ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝sin θcos θ＋32(2cos 2θ－1) ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ、cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路. 变式训练已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x ，x∈R ，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x 的取值集合； (2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋＋2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }．方法二：∵f(x)＝(sin 2x ＋cos 2x)＋sin2x ＋2cos 2x＝1＋sin2x ＋1＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． (2)f(x)＝2＋2sin(2x ＋π4)，由题意，得2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k∈Z )，即k π－3π8≤x≤k π＋π8(k∈Z )．因此，f(x)的单调增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k∈Z ). 知能训练课本复习题1～4.作业课本复习题5、6、7.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．备课资料一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．函数y ＝12＋sinx ＋cosx的最大值是( ) A.22－1 B.22＋1 C ．1－22 D ．－1－22 3．若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值为( ) A.34 B ．－34C ．－154 D.1544．函数y ＝2sinx(sinx ＋cosx)的单调递减区间是( )A ．[2k π－π8，2k π＋7π8]，k∈ZB ．[2k π＋7π8，2k π＋15π8]，k∈ZC ．[k π－π8，k π＋5π8]，k∈ZD ．[k π＋3π8，k π＋7π8]，k∈Z5．求函数y ＝sin2xcosx 1－sinx的值域． 6．化简：f(x)＝cos 2x ＋cos 2(60°＋x)＋cos 2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y ＝sin2xcosx 1－sinx ＝2sinxcos 2x 1－sinx ＝－sin 21－sinx ＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin 2x ＋2sinx ＝2(sinx ＋12)2－12. 令t ＝sinx ，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t ＋12)2－12. ∴当t∈[－1,1)时，y∈[－12，4)． 6．解：f(x)＝1＋cos2x2＋1＋＋2＋1＋＋2 ＝32＋12[cos2x －cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)] ＝32＋12[cos2x －12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋32sin2x] ＝32. (设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin 220°＋cos 280°＋3cos20°cos80°的值．(2)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．推进新课知识巩固教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π42．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( )A ．－2 007B ．－12 007C ．2 007 D.12 0073．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－74．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决． 4．－12 先确定角的范围，－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，可得α－β2＝π6，α2－β＝－π6，∴α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)＝π3，α＋β＝2π3，cos(α＋β)＝－12. 5．解：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，得π4＋θπ4＋θ＋π4－θπ4－θ＝π4＋θ＋π4－θπ4＋θπ4－θ＝1π4cos θ2－π4sin θ2＝2cos 2θ－sin 2θ＝4，则cos 2θ＝34. ∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ＝14－2×32×12－34＝－1＋32. 应用示例思路1例1若cos(π4－x)＝－45，5π4<x<7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tanx.活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tanx＝－cosx ＋sinx＝－cosx ＋sinx＝sin2x·1－tanx 1＋tanx ＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos 2(π4－x)－1]tan(π4－x)．∵5π4<x<7π4，∴－3π2<π4－x<－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.变式训练已知cos α－sin α＝325，(1)求m ＝15sin2αα＋π4的值；(2)若函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cos α－sin α＝325，得cos(α＋π4)＝35.又因为sin2α＝－cos(π2＋2α)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725，所以m ＝15sin2αα＋π4＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x ＝3对称，因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝2α(2sin 2α＋sin α－1)＝2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0.∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法二：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，即(sin2α＋2cos α)(sin2α－cos α)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin2α＋2cos α≠0.∴sin2α－cos α＝0.∵cos α≠0，∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法三：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝－cos α±cos 2α＋8cos 2α2＝－cos α±3cos α2，∴sin2α＝－2cos α或sin2α＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)．点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标. 变式训练已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈(π2，π)，a ·b ＝25，求52sin2α－α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2cos 2α－1＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－45.∴cos(α＋π4)＝－7210.∴52sin2α－α＋π42cos2α2＝52×2×35－45＋28210－45＋1＝－10 2.例3已知函数f(x)＝2asin 2x －23asinxcosx ＋a ＋b(a≠0)的定义域为[0，π2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y ＝asinx ＋bcosx 型的函数，再应用y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a ，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．解：f(x)＝a(1－cos2x)－3asin2x ＋a ＋b ＝－a(cos2x ＋3sin2x)＋2a ＋b ＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，7π6]．∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－－12＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.思路2例1已知tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，(1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2α－π4的值．活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12，解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2α－π4＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3，∴cos α＝－1010，即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.变式训练已知α为第二象限角，且sin α＝1213，求π4－αα＋5π2的值．解：∵sin(2α＋5π2)＝sin[π2＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝π4－αα＋5π2＝cos π4cos α＋sin π4sin αcos2α＝22α＋sin αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝2α－sin α.∵α为第二象限角，且sin α＝1213，∴cos α＝－1－sin 2α＝－513.∴原式＝－13234.例2设向量a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sinα－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值．解：a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2，cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos2α22cosα2＝cos α2，∴θ1＝α2.cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin2β22sinβ2＝sin β2＝cos(β2－π2)．∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2.又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3.∴sin α－β4＝sin(－π6)＝－12. 点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可。

(完整版)高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式导学案苏教版4解析

证明：（ 1）sin3 α=sin(2 α+α)=sin2 αcosα+cos2αsin α =2sin αcos 2α+(1 -2sin 2α)sin α =2sin α(1 -sin 2α)+sin α -2sin 3α =3sin α -4sin 3α． ∴sin3 α=3sin α -4sin 3α．
sin18 °＝ 1
5
.
4
51
∵sin18 °＞ 0, ∴sin18 °＝
.
4
5
3
那么 α＝
, β＝
.
2
2
把 α, β 的值代入（ * ），得
sin θ+sin φ=2sin 温馨提示
cos
.
2
2
本例是积化和差、和差化积公式的证明，所用的方程思想和换元的方法很巧妙，
的证明变得十分简单 .
类题演练 2
当 y=2cosx-3sinx 取得最大值时， tanx 的值（
）
3
A.
B.-
3
C.
13
D.4
2
2
使公式
解析： y= 13 sin( φ -x),y 有最大值时， sin( φ -x)=1
φ- x=2kπ＋
2
φ =2k π＋ +x,
2
又由 sin φ＝ 2
,cos φ＝ 3 ，知 tan φ＝ 2 ，故 tan(2k π＋
2
+x)=
13
13
3
23
tanx=- 3 (k ∈ Z). 2
变式提升 3
求 sin18 °的值 .
解： ∵sin36 °=cos54°， ∴2sin18 °cos18°=4cos 318° - 3cos18°．

【精品】高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版必修4

3．3 几个三角恒等式整体设计教学分析本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sin α＋sin β，sin α－sin β，cos α＋cos β，cos α－cos β的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m ＋log a n ＝log a (mn)，那么sin α＋sin β等于什么呢？推进新课新知探究和差化积公式的推导、万能公式的应用．在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如log a m ＋log a n ＝log a (mn)．同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如 sin α＋sin β＝？观察和角公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 由此，有sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sin α＋sin β＝？这个问题了．令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得 sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2，从而有sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.②为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β后，解相应地以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2，代入①式即得②式．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.把α、β的值代入①，即得sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2.类似的还能得到sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.以上四个公式我们称其为和差化积公式．教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sin αcos β看作x ，cos αsin β看作y ，把等式看作x ，y 的方程，通过解方程求得x ，这就是方程思想的体现．利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．设tan α2＝t.(1)求证：sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2；①(2)当t ＝2时，利用以上结果求3cos 2α2－2sin α＋sin 2α2的值． (1)证明：由二倍角公式，得sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2t1＋t 2，tan α＝2tanα21－tan2α2＝2t1－t 2.再由同角三角函数间的关系，得 cos α＝sin αtan α＝2t 1＋t 22t 1－t 2＝1－t21＋t2.(2)解：3cos2α2－2sin α＋sin 2α2＝2cos 2α2＋1－2sin α＝2＋cos α－2sin α ＝2＋1－t 21＋t 2－4t1＋t 2＝3＋t 2－4t 1＋t ＝－15. 公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan α2的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．图1应用示例思路1例1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x) ＝12(1＋38)＝1116. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.例2已知cos A cos 2B ＋sin A sin 2B ＝1，求证：cos B cos 2A ＋sin Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，∴cos 4Asin 2B ＋sin 4Acos 2B ＝sin 2Bcos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4Acos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ，即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B. ∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cos α，sin 2AsinB ＝sin α，则cos 2A ＝cosBcos α，sin 2A ＝sinBsin α.两式相加得1＝cosBcos α＋sinBsin α，即cos(B －α)＝1.∴B－α＝2k π(k∈Z )，即B ＝2k π＋α(k∈Z )．∴cos α＝cosB ，sin α＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsin α＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．思路2例题证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得 tan(π4＋x 2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx. 证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx＝x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2)．点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ. 证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋－cos4θsin4θ＋＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θθ＋sin2θ2cos2θ2θ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.知能训练1．若sin α＝513，α在第二象限，则tan α2的值为( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－152．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a23．已知sin θ＝－35，3π<θ<7π2，则tan θ2＝__________.答案：1．A 2.D 3.－3课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本复习题9、10.设计感想1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料一、1.一道给值求角类问题错解点击．解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sin α＝55，sin β＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值．错解：∵α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．2．如何进行三角恒等变式的证明．三角恒等式证明的基本方法：师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？ (1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异； (2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tan α＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cosA －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0,∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0，即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．解：由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α. 代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，可得1＋α＋1－α＝－22，即2cos α－3sin α＋2cos α＋3sin α＝－22，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝22或－324(舍去)． ∴co s A －C 2＝22.6．解：原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan54°tan54°＝1.。

18版高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦学案苏教版必修4

3.1.1 两角和与差的余弦学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．知识点一两角差的余弦思考1 cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？思考2 单位圆中(如图)，∠P 1Ox ＝α，∠P 2Ox ＝β，那么P 1，P 2的坐标是什么？OP 1→与OP 2→的夹角是多少？思考3 由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程．梳理两角差的余弦公式cos(α－β)＝____________________.(C (α－β)) 知识点二两角和的余弦思考你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？梳理两角和的余弦公式cos(α＋β)＝________________.(C (α＋β))特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．类型一给角求值问题例1 求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°.反思与感悟对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)； (2)2sin 50°＋＋32cos 5°.类型二已知三角函数值求值例2 已知sin α＝－45，sin β＝513，且π＜α＜3π2，π2＜β＜π，求cos(α－β)．引申探究1．若将例2改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π＜α＜2π，0＜β＜π2，求cos(α－β)．2．若将例2改为已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，π2＜β＜π，cos(α－β)＝1665，求sin β.反思与感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．跟踪训练2 已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．类型三已知三角函数值求角例3 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤： (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3 已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．1．计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是________．2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 3．已知cos α＝45，且α为第一象限角，则cos(π6＋α)＝________.4．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，求cos(α－β)的值．5．已知sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值．1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．答案精析问题导学知识点一思考1 不成立．思考2 P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)．OP 1→与OP 2→的夹角是α－β.思考3 在直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β )，则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β ≤π的情况．设向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a ·b ＝|a ||b |cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C (α－β)) 梳理 cos αcos β＋sin αsin β 知识点二思考能，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin α·sin(－β)＝cos αcos β－sin α·sin β. 梳理 cos αcos β－sin αsin β 题型探究例1 解 (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝－－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64. (3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°cos 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 跟踪训练1 解 (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°) ＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝12.(2)原式＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°·12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 60°－10°2cos 5°＝222sin 50°＋22cos 50°cos 5°＝2cos 50°－45°cos 5°＝2.例2 解 ∵sin α＝－45，π＜α＜3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35.又∵sin β＝513，π2＜β＜π，∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－35)×(－1213)＋(－45)×513＝1665.引申探究1．解 ∵sin β＝513，0＜β＜π2，∴cos β＝1－sin 2β＝1213.又sin α＝－45，且π＜α＜2π，①当π＜α＜3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝(－35)×1213＋(－45)×513＝－5665；②当3π2＜α＜2π时，cos α＝1－sin 2α＝35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋(－45)×513＝1665. 综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665. 2．解 ∵sin α＝－45，且π＜α＜3π2，∴cos α＝－1－cos 2α＝－35.又∵π2＜β＜π，∴－π＜－β＜－π2，∴0＜α－β＜π. 又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－16652＝6365， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝(－35)×1665＋(－45)×6365＝－1213，∴sin β＝1－cos 2β＝513.跟踪训练2 解因为π2＜β＜α＜3π4，所以π＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π4，又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×(－45)－513×(－35)＝－3365.例3 解由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3.跟踪训练3 解因为α，β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝1010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.当堂训练 1.22 2.22 3.43－310 4．－125.－1。

高中数学 3.3 几个三角恒等式教案苏教版必修4

3．3几个三角恒等式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解．(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．2．过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．通过例题讲解，总结方法．通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，●重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导．难点：综合运用公式进行三角恒等变换．(教师用书独具)●教学建议1．关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式，观察公式左边的结构形式，如：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sin αcos β＝12[sin(α－β)＋sin(α＋β)]等等．2．关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式．●教学流程错误!⇒错误!⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握解决三角函数式化简问题中的化简技巧及化简要求.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角恒等式证明的基本思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin(α＋β)与sin(α－β)表示sin αcos β和cos α·sin β？【提示】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βsin α－β＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2万能代换公式【问题导思】结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？【提示】 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan 2α2. 设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2.三角函数式求值问题求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【思路探究】首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差．【自主解答】原式＝cos 10°cos 30°cos 50° cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70° ＝32[12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°] ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．2．求值主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性质法等．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值．【解】法一原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.法二令x＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，y＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°，则x＋y＝2＋sin 70°，①x－y＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)＝－2sin70°sin 30°－12，即x－y＝－12－sin 70°，②①＋②得2x＝2－12＝32，∴x＝34.即sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34.三角函数式化简问题化简(1tanα2－tanα2)(1＋tan α·tanα2)．【思路探究】题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即得．【自主解答】(1tanα2－tanα2)(1＋tan αtanα2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝2cos αsin α(1＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．化简：cos2A＋cos2(2π3＋A)＋cos2(4π3＋A)．【解】原式＝1－cos 2A2＋1－cos 4π3＋2A 2＋1－cos 8π3＋2A2＝32－12[cos 2A ＋cos(4π3＋2A )＋cos(8π3＋2A )] ＝32－12[cos 2A ＋2cos(2π＋2A )cos 2π3] ＝32－12[cos 2A －cos(2π＋2A )]＝32.三角恒等式的证明求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin 3α.【思路探究】恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样，应根据积化和差公式对左边变形整理，进行角的统一．【自主解答】左边＝sin α[－12(cos 120°－cos 2α)]＝14sin α＋12sin αcos 2α ＝14sin α＋14[sin 3α＋sin(－α)]＝14sin 3α＝右边， ∴原等式成立．1．当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时，选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关．2．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】由A ＋B ＋C ＝180°，得C ＝180°－(A ＋B )，即C 2＝90°－A ＋B 2. ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋2sin A ＋B 2·cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2(cos A －B 2＋cos A ＋B 2)＝2cos C 2·2cos A 2·cos(－B2) ＝4cos A2cos B 2cos C2. ∴原等式成立.进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误已知α为第三象限角，且cos α2＞0，tan α＝3，求tan α2的值．【错解】 ∵tan α＝3， ∴2tan α21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.【错因分析】本题由于忽略角的取值范围而导致错误，应对α2的范围进行讨论．【防范措施】在进行三角恒等变换时，忽略了角的取值范围，出现前、后取值范围不一致的情况．【正解】 ∵tan α＝3，所以2tanα21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.∵cos α2＞0，α为第三象限角， ∴α2为第四象限角，所以tan α2＜0，∴tan α2＝－13－103.1．三角函数式化简结果的三大要求 (1)能求值的求值；(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低； (3)分式的分母中尽量不含根号． 2．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到探求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．1．sin 105°＋sin 15°＝________.【解析】原式＝2sin 105°＋15°2·cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62.【答案】622．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是________．【解析】原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. 【答案】 143．化简cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝________. 【解析】 cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α) ＝cos α＋2cos αcos 120° ＝cos α－cos α＝0. 【答案】 04．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos 2β－cos 2α； (2)cos α－cos βsin α＋sin β＝tan β－α2. 【证明】 (1)∵左边＝－12[cos 2α－cos 2β]＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝右边， ∴原等式成立．(2)∵左边＝－2sin α＋β2sin α－β22sin α＋β2cos α－β2＝－sinα－β2cosα－β2＝－tan α－β2＝tan β－α2＝右边，∴原等式成立.一、填空题1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20°3．函数f (x )＝sin(2x －π3)cos(2x ＋π3)的周期是________．【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)]＝12sin 4x －34， ∴T ＝2π4＝π2.【答案】 π24．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝________. 【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】325．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】－796．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为________．【解析】设该等腰三角形顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2.∵2cos2α2－1＝cos α，∴cos α2＝cos α＋12＝31010. 【答案】310107．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________. 【解析】原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3.【答案】 3 二、解答题9．已知θ∈(π，32π)且sin θ2＝35，求：(1)sin θ1＋cos θ；(2)sin θ＋2cos θ. 【解】 ∵sin θ2＝35，θ∈(π，32π)，∴θ2∈(π2，34π)．∴cos θ2＝－1－sin 2 θ2＝－ 1－352＝－45.设t ＝tan θ2＝sinθ2cos θ2＝35－45＝－34.(1)sin θ1＋cos θ＝2t 1＋t 21＋1－t 21＋t2＝2t 2＝t ＝－34. (2)sin θ＋2cos θ＝2t 1＋t 2＋2·1－t 21＋t 2＝2t ＋2－2t21＋t2＝2×－34＋2－2×－3421＋－342＝－25.10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6) ＝－sin x cos(x ＋π6) ＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)] ＝－12sin(2x ＋π6)＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. 11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)， ∴3sin α－π12cos α－π12＝sin α＋π12cos α＋π12. ∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)． ∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)． ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.(教师用书独具)求函数f (x )＝sin 52x 2sin x 2－12的值域．【思路探究】先通分，再将sin 52x －sin x 2和差化积，约去分母sin x 2，再变形为只含一个三角函数符号的形式．然后在函数f (x )的定义域内求值域．【自主解答】 f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sin x 2＝sin3x2＋x－sin3x2－x2sinx2＝2cos3x2sin x2sinx2＝2cos3x2cosx2＝cos(3x2＋x2)＋cos(3x2－x2)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋14)2－98.∵sinx2≠0，∴x2≠kπ，即x≠2kπ(k∈Z)．∴－1≤cos x＜1.当cos x＝－14时，f(x)min＝－98，当cos x趋于1时，f(x)趋于2.故函数f(x)的值域是[－98，2)．通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容．一般对同名异角三角函数的和或差，可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．已知函数f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．【解】(1)f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)＝sin(2x－π6)＋1－cos(2x－π6)＝sin(2x－π6)－sin[π2－(2x－π6)]＋1＝sin(2x－π6)－sin(－2x＋2π3)＋1＝2cos－π6＋2π32sin4x－π6－2π32＋1＝2sin(2x－5π12)＋1，∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)由(1)知：当sin(2x－5π12)＝1时，f(x)max＝2＋1，此时，2x－5π12＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋11π24(k∈Z)，∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是：{x |x ＝k π＋11π24，k ∈Z }.。

(完整版)高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版4解析

2
2
(1) 证明：由二倍角公式，得
αα
α
α α 2sin 2 cos 2
2tan 2
2t
sin α＝ 2sin
2 cos
2
＝
cos
2α 2
＋
sin
2α 2
＝
1＋
tan
2α ＝1＋ t 2
2，
α
2tan
2
2t
tan α＝
＝
2.
1－
tan
2α 2
1－ t
再由同角三角函数间的关系，得
2t sin α 1＋t 2 1－t 2 cosα＝ tan α ＝ 2t ＝ 1＋t 2.
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个
完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系
的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，
体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．
从运算的角度提出问题，还可以帮助学
由此，有 1
sin αcosβ＝ 2[sin( α＋β ) ＋sin( α－β )] ． ①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答 sin α＋ sin β
＝？这个问题了．
令 α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得
sin
θ＋
sin
φ＝ 2sin
θ＋φ 2
cos θ－φ 2
，
2
方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含
sin αcosβ 的
公式，列出 sin( α－β ) ＝sin αcosβ－ cosαsin β 后，解相应地以 sin αcosβ，cosαsin β

高中数学第3章三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式目标

1 3.3 几个三角恒等式一览众山小诱学导入三角函数的变换是解决三角函数有关问题的主要工具，在某种意义上讲，能否熟练地掌握变换的一般方法与技巧是能否解决三角问题的标志.从总体上讲，三角函数的变换是在“求同变异”的过程中完成的，因此，准确地分析条件与结论，进而选择适当的方法去解决这种差异，是我们考虑问题的出发点，从而使问题的解决有着明确的思维方向.虽然我们已经学过了几类三角函数恒等变换的公式和等式，但只有这些公式或等式还是有诸多问题不能得到解决，还需要引入几个常见的三角恒等式，以解决更多的三角函数变换的问题. 问题:根据你所学的三角公式和等式，利用tan 2α表示sinα？导入：综合利用二倍角公式和同角三角函数关系式来求解.由二倍角公式不难得出sinα=2sin 2αcos 2α，然后将等式右边分母视为“sin 22α+cos 22α”，再利用同角三角函数关系式即可求解.温故知新1.两角和与差的三角公式有哪些?答:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.二倍角公式有哪些？答:sin2α=2sin αcos α,cos2α=cos 2α-sin 2α,tan2α=αα2tan 1tan 2-. 3.二倍角余弦公式有哪些变形？答:cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-.。

2017-2018学年高中数学苏教版四教学案：第3章3.3几个三角恒等式含答案

问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S（α＋β)＋S（α－β）,S（α＋β)－S(α－β），C（α＋β)＋C（α－β)，C－C（α－β)会得到怎样的结论？（α＋β）提示:（1) sin(α＋β)＋sin(α－β）＝（sin αcos β＋cos αsin β)＋（sin αcos β－cos αsin β)＝2sin αcos β；(2)sin(α＋β）－sin（α－β）＝(sin αcos β＋cos αsin β)－（sin αcos β－cos αsin β)＝2cos αsin β；(3）cos（α＋β）＋cos（α－β）＝（cos αcos β－sin αsin β）＋（cos αcos β＋sin αsin β)＝2cos αcos β;（4）cos(α＋β)－cos（α－β）＝（cos αcos β－sin αsin β）－（cos αcos β＋sin αsin β)＝－2sin αsin β。

问题2:将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体,又会得到什么样的结论?提示：sin α＋sin β＝2sin错误!cos错误!；sin α－sin β＝2cos错误!sin错误!；cos α＋cos β＝2cos错误!cos错误!;cos α－cos β＝－2sin错误!sin错误!。

积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式:sin αcos β＝错误![sin(α＋β）＋sin(α－β)］；cos αsin β＝错误![sin(α＋β）－sin（α－β）];cos αcos β＝错误![cos（α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－错误!［cos（α＋β）－cos（α－β）］．（2）和差化积公式：sin α＋sin β＝2sin错误!cos错误!；sin α－sin β＝2cos α＋β2sin错误!；cos α＋cos β＝2cos错误!cos错误!；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin错误!.问题：如何用tan错误!表示sin α、cos α、tan α？提示:sin α＝2sin 错误!cos 错误!＝错误!＝错误!；cos α＝cos2错误!－sin2错误!＝错误!＝错误!;tan α＝错误!.万能公式(1)sin α＝错误!。

高中数学第三章三角恒等变换章末复习课学案苏教版必修4(2021学年)

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第三章三角恒等变换学习目标 1。

进一步掌握三角恒等变换的方法。

2。

会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.１.两角和与差的正弦、余弦、正切公式ｃoｓ（α－β）=________＿______________＿。

ｃos(α＋β）＝＿_＿_＿_＿________＿__＿_＿__＿.siｎ（α+β)=_＿________＿＿＿___＿____＿＿_.siｎ（α－β)=＿_＿_______＿_＿＿＿____＿____。

tan(α＋β）＝_＿_________＿____＿__＿__＿_.ｔan(α-β）＝＿___＿______________＿_＿＿_.2.二倍角公式ｓiｎ 2α=___________＿_＿__。

ｃoｓ 2α＝____＿__＿__＿_＿___＝__＿＿____________=_＿_＿_＿___＿＿____＿。

ｔan 2α＝___________＿__＿_。

3.升幂公式１+coｓ２α=＿___＿＿____＿_____．1-coｓ 2α=_________＿___＿_＿。

4.降幂公式sin x cos x=_＿＿＿__________,coｓ２x=＿＿__＿＿_＿______,sin２ｘ＝____＿____＿__＿＿_＿。

2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式学案苏教版

§3.3 几个三角恒等式学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一积化和差与和差化积公式思考1 如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β和cos αsin β？答案 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考2 若α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用θ，φ表示α，β？答案 α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.梳理 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2.cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2.cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.知识点二万能代换公式思考结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？答案 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos 2α2＋sin2α2＝2tan α21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan2α2.梳理万能公式 (1)sin α＝2tanα21＋tan 2α2.(2)cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan 2α2.知识点三半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α2替换α，结果怎样？答案结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2. 思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案 ∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝±1＋cos α2，同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案 tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由α2所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角一样，也是相对的，即α2是α的半角，而α是2α的半角．1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．cos αsin β＝12[]sin (α＋β)＋sin (α－β).( × )类型一积化和差与和差化积公式命题角度1 积化和差公式的应用例1 求下列各式的值． (1)sin37.5°cos7.5°； (2)sin20°·sin40°·sin80°； (3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°. 解 (1)sin37.5°cos7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin45°＋sin30°)＝2＋14. (2)sin20°·sin40°·sin80°＝－12[cos 60°－cos(－20°)]·sin80°＝－14sin80°＋12sin80°cos20°＝－14sin80°＋12×12(sin100°＋sin60°)＝－14sin80°＋14sin80°＋38＝38.(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)] ＝12－12sin50°－14＋12cos40°＝14. 反思与感悟在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．跟踪训练1 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．解原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos2θ＝sin θ＋2sin θcos2θ＝sin θ＋sin3θ－sin θ ＝sin3θ.命题角度2 和差化积公式的应用例2 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解因为cos α－cos β＝12，所以－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又因为sin α－sin β＝－13，所以2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②因为sin α－β2≠0，所以由①②得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.所以sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2 α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2 α＋β2＝2×321＋94＝1213.反思与感悟和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．跟踪训练2 求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值．解方法一原式＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos100°)＋sin20°·cos50°＝1＋12(cos100°－cos40°)＋12(sin70°－sin30°)＝34－sin70°·sin30°＋12sin70°＝34. 方法二原式＝(sin20°＋cos50°)2－sin20°·cos50° ＝(2sin30°·cos10°)2－12(sin70°－sin30°)＝cos 210°－12cos20°＋14＝1＋cos20°2－12cos20°＋14＝34.类型二利用万能公式化简求值例3 (1)已知cos θ＝－35，并且180°＜θ＜270°，求tan θ2的值；(2)已知2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．解 (1)∵180°＜θ＜270°，∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.∵cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝－35，∴tan2θ2＝4，∴tan θ2＝－2. (2)∵2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，∴2tan θ＋1tan θ－3＝－5，∴tan θ＝2. 又cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35，sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， ∴3cos2θ＋4sin2θ＝－95＋165＝75.反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．跟踪训练3 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin2θ－2cos 2θ的值．解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 类型三三角恒等式的证明例4 求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 证明要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边，∴原等式成立．反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练4 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明 ∵左边＝2tanα21＋tan 2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan 2α21＋tan2α2＝tan 2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为________．答案63解析由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)＝________________________.答案－79解析 cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×19－1＝－79. 3．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.答案 2解析对已知等式两边平方，得sin α＝45，又450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α＝－43，又tan α＝2tanα21－tan2α2，且α2∈(225°，270°)，∴tan α2＝2.4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0＜α＜π)．解 ∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2，∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴sin α2＞0.∴原式＝－22cos α2.1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式． 2．三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．一、填空题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.答案－12解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3.原式＝1－31＋3＝－12.2．已知2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2＝________.答案 12解析由2sin x ＝1＋cos x ，得12＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝tan x2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C ，则△ABC 为________三角形．(填三角形的形状)答案直角解析由cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C ，得 2cosB ＋C2cosB －C2＝2sinB ＋C2cosB －C2，两边同除以2cos B －C2，得sinB ＋C2＝cosB ＋C2，即tan B ＋C2＝1，∵0＜B ＋C ＜π，∴0＜B ＋C 2＜π2， ∴B ＋C 2＝π4，即B ＋C ＝π2，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．4．若π＜α＜2π，则1－cos (α－π)2＝________.答案－cos α2解析 ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.5．若tan θ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是________．答案 75解析因为tan θ＝3，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2×31＋32＝35，cos2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－321＋32＝－45，所以sin2θ－cos2θ＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝75. 6．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin2θ＝________.答案 2m解析因为tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，所以sin2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜θ＜π，则tan θ2＝________. 答案 5解析由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.8．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________. 答案－m解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β) ＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m . 9．函数f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2的最小正周期是________．答案 2π 解析 f (x )＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2tan 2 x 21－tan 2 x 2 ＝sin x ·1＋tan 2 x 21－tan 2 x 2＝sin x ·sin 2 x 2＋cos 2 x 2cos 2 x 2－sin 2 x 2＝sin x cos x＝tan x . 因为函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2且x 2≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z .显然有f (0)＝0，而f (π)无意义，所以T ＝2π.10．已知α，β为锐角，且α－β＝π6，则sin αsin β的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析 ∵α－β＝π6， ∴sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (α＋β)－32＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6－32. ∵α，β为锐角，且α－β＝π6， ∴0＜π6＋β＜π2，即0＜β＜π3，∴π6＜2β＋π6＜5π6， ∴－32＜cos ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π6＜32，∴0＜－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π6－32＜32， ∴sin αsin β的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin β·cos(α＋β)＝－513，则tan α2＝________.答案－5解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513，又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5. 二、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x. 证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式成立．13．已知在△ABC 中，A ＞C ，且B ＝60°，能否利用log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1求出A 和C 的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由．解 ∵在△ABC 中，A ＞C ，B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.①∵log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，∴sin A sin C ＝14. ∵sin A sin C ＝12[cos(A －C )－cos(A ＋C )]， ∴12[cos(A －C )－cos(A ＋C )]＝14， ∴cos(A －C )＝12＋cos(A ＋C )＝12＋cos120°＝0. 又∵0°＜A －C ＜180°，∴A －C ＝90°. ②由①②，得A ＝105°，C ＝15°.。

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3.3 几个三角恒等式学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一积化和差与和差化积公式思考1 如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sin αcos β和cos αsin β？思考2 若α＋β＝θ、α－β＝φ，则如何用θ、φ表示α、β？梳理 (1)积化和差公式sin αcos β＝________________. cos αsin β＝________________. cos αcos β＝________________. sin αsin β＝________________. (2)和差化积公式sin α＋sin β＝________________. sin α－sin β＝________________. cos α＋cos β＝________________. cos α－cos β＝________________. 知识点二万能代换公式思考结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？梳理万能公式 (1)sin α＝2tanα21＋tan 2α2.(2)cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan 2α2.知识点三半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2×α2替换α，结果怎样？思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.思考3 利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？梳理半角公式(1)sin α2＝ .(2)cos α2＝ .(3)tan α2＝ .特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由α2所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角一样，也是相对的，即α2是α的半角，而α是2α的半角．类型一积化和差与和差化积公式命题角度1 积化和差公式的应用例1 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°； (3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.反思与感悟在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．跟踪训练1 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．命题角度2 和差化积公式的应用例2 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．反思与感悟和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．跟踪训练2 求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．类型二利用万能公式化简求值例3 (1)已知cos θ＝－35，并且180°＜θ＜270°，求tan θ2的值；(2)已知2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值．反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．跟踪训练3 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值．类型三三角恒等式的证明例4 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练4 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为________．2．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)＝________.3．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tanα2＋cos α1－cos α(0＜α＜π)．1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式． 2．三角恒等式的证明类型(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．答案精析问题导学知识点一思考1 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β，α－β＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考2 α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.梳理 (1)12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]12[sin(α＋β)－sin(α－β)] 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －12[cos(α＋β)－cos(α－β)] (2)2sin α＋β2cos α－β22cos α＋β2sin α－β22cos α＋β2cos α－β2－2sin α＋β2sin α－β2知识点二思考 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tan α21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan2α2.知识点三思考1 结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2.思考2 ∵cos 2α2＝1＋cos α2， ∴cos α2＝±1＋cos α2，同理sin α2＝±1－cos α2， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3 tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理 (1)±1－cos α2(2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α题型探究例1 解 (1)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°)＝2＋14. (2)sin 20°·sin 40°·sin 80° ＝－12[cos 60°－cos(－20°)]·sin 80°＝－14sin 80°＋12sin 80°cos 20°＝－14sin 80°＋12×12(sin 100°＋sin 60°)＝－14sin 80°＋14sin 80°＋38＝38.(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)] ＝12－12sin 50°－14＋12cos 40°＝14. 跟踪训练1 解原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos 2θ＝sin θ＋2sin θcos 2θ ＝sin θ＋sin 3θ－sin θ＝sin 3θ. 例2 解因为cos α－cos β＝12，所以－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又因为sin α－sin β＝－13，所以2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②因为sin α－β2≠0，所以由①②得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.所以sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2 α＋β2＋cos 2 α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2 α＋β2＝2×321＋94＝1213.跟踪训练2 解原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50° ＝(2sin 30°·cos 10°)2－12(sin 70°－sin 30°)＝cos 210°－12cos 20°＋14＝1＋cos 20°2－12cos 20°＋14＝34.例3 解 (1)∵180°＜θ＜270°， ∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.∵cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝－35，∴tan 2 θ2＝4，∴tan θ2＝－2.(2)∵2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，∴2tan θ＋1tan θ－3＝－5，∴tan θ＝2.又cos 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35， sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝45， ∴3cos 2θ＋4sin 2θ＝－95＋165＝75.跟踪训练3 解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1＝45－35－1＝－45. 例4 证明要证原式，可以证明 1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋－cos 4θsin 4θ＋＋cos 4θ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θθ＋sin 2θ2cos 2θθ＋cos 2θ＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原等式成立．跟踪训练4 证明 ∵左边＝2tanα21＋tan 2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan 2α21＋tan2α2＝tan 2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋122tanα2＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫tanα2＋1＝12tanα2＋12＝右边，∴原等式成立．当堂训练1.632.－793.24.－22cosα2。