广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线小题 专题
广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线练习二答案不全 (1)
2013届高三二轮复习 圆锥曲线专题二 2013-4-6 椭圆，双曲线，抛物线——基本量及其基本性质1、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 2、直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55 D .2553、设P 是双曲线22a x －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于 ( )(A)1或5 (B)6 (C)7(D)94、椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为 ( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或215、已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是（ ） A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 6、已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|， 则cos ∠F 1PF 2＝ （ ） A.14B.35C.34D.457、设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 （ ） A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 8、F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，若|PF |＝2，则点P 的坐标是 ( )A ．(3，94) B ．(±2,1) C ．(1,4) D ．(0,0)9、已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为 （ ） A.3716B.115C ．2D ．310、等轴双曲线的一个焦点是1(0,4)F ，则它的标准方程为 _________ ，渐近线方程为 _______ .11、（2009广东卷理）巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x ， 且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 12、(2007·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________13、短轴长为5，离心率e ＝23的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为_________________14、已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________________，渐近线方程为________________15、（1）已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为____________（2）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．16、以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .17、（1）过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为__________（2）渐近线方程为034=±y x ，且过点()32,3-的双曲线方程为_____________ 18、求中心在原点，以坐标轴为对称轴，满足下列条件的椭圆标准方程： （1）椭圆过点(3,0)，且离心率e ＝63； __________________ ks5u（2）两个焦点的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，并且经过点53(,)22- ；_______________（3）经过两点12)P P 、； ________________________（4）经过点)2,3(-，与椭圆14922=+y x 有共同焦点. _________________。
13年高考真题—理科数学9：圆锥曲线
2013高考真题分类汇编：圆锥曲线1．【2013福建】双曲线2244x y -=的顶点到其渐近线的距离等于( ) （A ）25 （B ）45 （C） （D）2．【2013广东】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是( )（A）2214x = （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= （D）2212x -= 3．【2013新课标】已知双曲线C :()222210,0x y a b a b -=>>，则C 的渐近线方程为( ) （A ）4y x =± （B ）3y x =± （C ）2y x =± （D ）y x =±4．【2013湖北】已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 ( )（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等5．【2013四川】抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )（A ）12 （B（C ）1 （D6．【2013浙江9】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y xC 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是( ) （A ）2 （B ）3 （C ）32 （D7．【2013天津】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220p y x p =>的准线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点。
若双曲线的离心率为2，AOB ∆则p =（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）2 （D ）38．【2013大纲版】椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）（A ）[]12,34 （B ）[]38,34 （C ）[]12,1 （D ）[]34,1 9．【2013大纲版】已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB ⋅=，则k =（ ）（A ）12 （B （C （D ）210．【2013北京】若双曲线22221x y a b-= ）（A ）2y x =± （B ）y = （C ）2y x =± （D ）2y x =11．【2013北京】已知抛物线1C :()2102y x p p =>的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。
广东省13大市区高三数学 最新试题精选二模分类汇编9 圆锥曲线 理
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B ．2C ．2D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题 8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -=9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =±11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______.【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4± 18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题 21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A 、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考 【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------ (2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩,两式相减,得443004342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------ ∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x == ---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = -------------------------------∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =,直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C - ∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当22k -<<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为221222884242k k x x k k ==++ ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭ 要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k kk --+⋅=--+,即2102k k -+=②∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,. (1)求椭圆C 的方程 (2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切. 【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a +⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ②所以2223c a a -=,即224c a = 故2ce a==所以双曲线C 的离心率为2e = (注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -==连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴,因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标. 【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m ,所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F - 1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a 1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y)28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y ='y =1222(22)x x ---切线的斜率为,所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:02y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>),连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由3e =,得223a c =,再由222c a b =-,解得2a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y +=(2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线, 所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x P F +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0 ∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),zxxk∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12 | F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= zxxk 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =- zxxk01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P y x :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uu u r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y +=(2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x BC --=, )413,2(211x x --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N , ∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =-由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==.由于55<,故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.距离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N()22,x y ,点M在x 轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝ 所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴= ∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。
2013高考数学二轮复习专题演练4.3_解析几何--直线与圆锥曲线的位置关系
2013高考数学二轮复习专题演练 4.3 解析几何--直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ( ) A ．3 2 B ．2 6 C ．27 D ．4 2 解析：设椭圆方程为x 2a 2y 2a 2－4＝1，将x ＝－3y －4代入整理得：4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0， 由Δ＝0可求a ＝7，则2a ＝27. 答案：C2．(2009·山东)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 令x ＝0得：y ＝－a 2.∴12×|a |4·|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.答案：B3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0) 设A (x 0，y 0), 过A 点向准线作垂线AB ，则B (－2，y 0)． ∵|AK |＝2|AF |，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由BK 2＝AK 2－AB 2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得A (2，±4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：BA ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：由e ＝ca＝1－b 2a 2＝32得a ＝2b ，a ＝23c ，b ＝c 3.由⎩⎪⎨⎪⎧34x 2＋3y 2＝c 2y ＝k (x －c )，得(3＋12k 2)y 2＋6cky －k 2c 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2ck 1＋4k 2①y 1y 2＝－k 2c 23＋12k2②由AF →＝3FB →得y 1＝－3y 2③ 联立①②③得k ＝ 2. 答案：B5．(2010·安徽蚌埠)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－153<k <－1.故选D. 答案：D二、填空题6．(2009·海南)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解：设抛物线C 的方程为y 2＝ax ，直线y ＝x 与抛物线C 两交点的坐标为A (x 1，y 2)， B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝ax 1， ①y 22＝ax 2 ②①－②整理得y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y 22＝a2，∴a ＝4. 所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x7．(2009·福建)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为y ＝x －p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．把y ＝x －p 2代入y 2＝2px 整理得⎝⎛⎭⎫x －p 22＝2pxx 2－3px ＋p24＝0.则x 1＋x 2＝3p ，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p . 由已知条件4p ＝8，p ＝2. 答案：2解析：由⎝⎛x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y －1＝0，消去y 得：(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2， y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝0， ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， ∴2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0，∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，又∵a >b >0，∴1a 2＋1b 2 2.答案：2答案：2 三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向 量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k2x 2＋22kx ＋1＝0①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22③ 而A (2,0),B (0,1)，AB →＝(－2，1)．所以OP →+OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入上式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .②当k ≠0时，可设l 的方程y ＝kx ＋m (k ≠0)，联立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1， 消去y ，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0. 直线l 和椭圆C 有两个不同的交点．则Δ＝36k 2m 2－12(1＋3k 2)(m 2－1)>0，即1＋3k 2－m 2>0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－1)1＋3k 2.则PQ 中点N (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋3k2，即N ⎝⎛⎭⎫－3km 1＋3k 2，m 1＋3k 2. 又∵|AP →|＝|AQ →|，∴AN →⊥PQ →，∴k ·k AN ＝－1， 即k ·m1＋3k 2＋1－3km1＋3k2＝－1，∴m ＝1＋3k 22，代入1＋3k 2－m 2>0，得1＋3k 2－⎝⎛⎭⎫1＋3k 222>0(k ≠0)，∴k 2<1，∴k ∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②，得k 的取值范围是(－1,1)．(1)若|k |≤26，求离心率e 的取值范围；(2)若|k |＝26，并且弦AB 的中点到右准线的距离为20033，求椭圆的方程．解：(1)直线l 的方程为y ＝k (x －c )，则点M (0，－ck )． ∵点B 分MF →的比λ＝2， ∴x B ＝23c ，y B ＝－kc 3.∴4c 29a 2＋c 2k 29b2＝1， ∴k 2＝9b 2c 2⎝⎛⎭⎫1－4c 29a 2＝9(a 2－c 2)c 2－4(a 2－c 2)a 2＝4e 2＋9e2－13.∵k 2≤24，∴4e 4－37e 2＋9≤0. 解之14≤e 2≤1，也即12≤e <1.(2)∵k ＝26，∴e ＝12.∴a ＝2c ，b ＝3c .∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.将直线y ＝26(x －c )代入椭圆方程得33x 2－64cx ＋28c 2＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝64c33，又右准线为x ＝4c ，∴弦AB 中点到右准线距离为4c －x 1＋x 22，故4c －3233c ＝20033， 解得c ＝2，从而a ＝4，b ＝2 3. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编：圆锥曲线(解析版)
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年江西（理））过点引直线l与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD=++ B．C．D．【答案】B2 ．（2013年福建（理））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CD【答案】C3 ．（2013年广东省（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x = B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =【答案】B4 ．（2013年新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年浙江（理））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．（2013年天津（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p = （ ） A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12BCD ．2【答案】D11．（2013年北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x =±D．y x = 【答案】B12．（2013年山东（理））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A．B．C．D．【答案】D13．（2013年新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D14．（2013年新课标Ⅱ卷（理））设抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A．4B1C．6-D【答案】A 二、填空题16．（2013年江苏卷）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】x y 43±= 17．（2013年江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________ 【答案】618．（2013年湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为___.【答案】319．（2013年安徽（理））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞20．（2013年江苏）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】321．（2013年福建（理））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________122．（2013年陕西卷（理））双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于___9_____.【答案】923．（2013年辽宁（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5724．（2013年浙江（理））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题25．（2013年上海高考）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+,解得217k =,即7k =±. 故直线l的方程为10x -=或10x -=.26．（2013年山东（理））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a == 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值. 27．（2013年浙江（理））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y k x k x y =-⇒--=,直线21:10l y x x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆==⨯==++++23232==≤=++252k k =⇒=⇒=,此时直线1:12l y x =±-28．（2013年重庆（理））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】29．（2013年安徽（理））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解: (Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： . (Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .30．（2013年新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k=时,将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12|x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 31．（2013年天津（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】32．（2013年新课标Ⅱ（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】33．（2013年陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)34．（2013年辽宁（理））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】35．（2013年大纲版（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】。
广东省12大市高三数学 二模文试题分类汇编9 圆锥曲线 理
广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 1 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．2 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B ．2C D ．13 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是（ ）A ．28y x = B ．28y x =-C ．24y x =-D ．24y x =二、填空题5 ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.6 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.7 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________. 三、解答题8．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.9．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知抛物线C:y 2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x 1,y 1),B(x 2 ,y 2)是C 上异于 原点O 的两个不重合点,OA 丄OB,且AB 与x 轴交于点T(1) 求x 1x 2的值; (2) 求T 的坐标;(3) 当点A 在C 上运动时,动点R 满足:FR FB FA =+,求点R 的轨迹方程.10．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M 到点(0,1)F 的距离与到直线4y =的距离之和为5. (1)求动点M 的轨迹E 的方程,并画出图形;(2)若直线:l y x m =+与轨迹E 有两个不同的公共点,A B ,求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长||AB 的最大值.11．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.12．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知动点(,)P x y 与两个定点(1,0),(1,0)M N -的连线的斜率之积等于常数λ(0λ≠) (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状;(3)当2λ=时,对于平面上的定点(E F ,试探究轨迹C 上是否存在点P ,使得120EPF ∠=︒,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.13．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））在平面直角坐标系xoy 中,动点在椭圆C 1:2212x y +=上,动点Q 是动圆C 2:222(12)x y r r +=<<上一点.(1)求证:动点P 到椭圆C 1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率;(2)设椭圆C1上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F(1,0)的距离成等差数列,线段AC 的垂直平分线是否经过一个定点为?请说明理由.(3)若直线PQ 与椭圆C 1和动圆C 2均只有一个公共点,求P 、Q 两点的距离|PQ|的最大值. 14．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）如图(6)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ,焦点为F,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切.过原点作倾斜角为3π的直线t ,交l 于点A,交圆M 于点B,且||||2AO OB ==. (1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)设,G H 是抛物线C 上异于原点O 的两个不同点,且0OG OH ⋅=,求GOH ∆面积的最小值; (3)在抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称?若存在,求出直线m 的方程,若不存在,说明理由.15．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）在平面直角坐标系内,动圆C过定点()1,0F,且与定直线1x=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹2C的方程;(2)中心在O的椭圆1C的一个焦点为F,直线过点(4,0)M.若坐标原点O关于直线的对称点P在曲线2C上,且直线与椭圆1C有公共点,求椭圆1C的长轴长取得最小值时的椭圆方程.16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））已知中心在原点O,焦点在x轴上,的椭圆过点).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ∆面积的取值范围.17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M .点A 、D 在轨迹M 上,且关于y 轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M 在点D 处的切线平行,设直线与轨迹M 交于点B 、C .(1)求轨迹M 的方程;(2)证明:BAD CAD ∠=∠; (3)若点D 到直线ABABC 的面积为20,求直线BC 的方程.18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -,离心率e =过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴,垂足为Q ,点C 在QP 的延长线上,且||||QP PC =.(1)求椭圆的方程; (2)求动点C 的轨迹E 的方程;(3)设直线AC (C 点不同于,A B )与直线2x =交于点R ,D 为线段RB 的中点,试判断直线CD 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.广东省13大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编9：圆锥曲线参考答案一、选择题 1. A 2. A 3. D4. 【解析】抛物线的准线方程为-2,x =,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 22(0)px p =>,则其准线方程为2p x =-, ∴22p-=-,解得4,p = ∴抛物线的标准方程为y 28x =.故选A . 二、填空题6. 7. 双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题8.解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*) (Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±, ④ 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.9.10.11.解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴：∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴= ∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理, 得12211121222244422444y y y y x y y y y x -+-=-+⎧⎨-+-=-+⎩⑥⑦由⑥-⑦得:12124()4()y y x x -=--1212414y y k x x --∴===--为定值解法二:设211(,)4y A y ,222(,)4y B y则121214AM y k y -=-142y =+,242BMk y =+ 因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =- 即1244022y y +=++ 所以121240(2)(2)y y y y ++=++所以,由1240y y ++=得 124y y +=- 所以,21222144AB y y k y y -=-2122214()y y y y -=-124y y =+44=- 1.=- 所以,直线AB 的斜率为定值,这个定值为 1.- 12.解、(Ⅰ)由题设可知;PN PM ,的斜率存在且不为0,所以λ=-⋅+11x y x y ,即)0(122≠=-y y x λ(Ⅱ)讨论如下:(1)当0>λ时,轨迹C 为中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)(2)当01<<-λ时,轨迹C 为中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当1-=λ时,轨迹C 为以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0)) (4)当1-<λ时,轨迹C 为中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴两个端点)(Ⅲ)、当2=λ时,轨迹C 的方程为)0(1222≠=-y y x ,显然定点E 、F 为其左右焦点.假设存在这样的点P,使得0120=∠EPF ,记θ=∠EPF ,32,,===EF n PF m PE ,那么在EPF ∆中:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+===-+⇒=-∆θθcos 2)32(sin 2142222222mn n m mn S mn n m n m EPF整理可得:8)cos 1(2=-θmn ,所以38120cos 14cos 140=-=-=θmn所以332233821120sin 210=⨯⨯==∆mn S EPF 又因为332322121=⨯⨯=⨯⨯=∆P P EPF y y EF S所以,32=P y 故,32±=P y 代入椭圆的方程可得:)0(123222≠=⎪⎭⎫⎝⎛±-y x P所以311±=P x ,所以满足题意的点P 有四个,坐标分别为)32,311(,)32,311(-,)32,311(-,)32,311(--13.14. 解:(1)∵1cos 602122p OA ==⨯=,即2p =, ∴所求抛物线的方程为24y x =∴设圆的半径为r,则122cos 60OB r =⋅=,∴圆的方程为22(2)4x y -+=(2) 设()()1122,,,G x y H x y ,由0OG OH ⋅=得02121=+y y x x ∵2211224,4y x y x ==,∴1216x x =, ∵12GOH S OG OH ∆=,∴()()222222*********GOHS OG OH x y x y ∆==++=()()2211221444x x x x ++=()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256 ∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号, ∴GOH ∆面积最小值为16(3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称,且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上,∴2233444,4y x y x ==两式相减得:()()()3434344y y y y x x -+=- ∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--,∴02y k =-∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上 ∴010x =-<,点()00,y x D 在抛物线外∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称15. ⑴由题可知,圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等由抛物线定义知,C 的轨迹2C 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线 (确定“曲线是抛物线”1分,说明抛物线特征1分) 所以动圆圆心C 的轨迹2C 的方程为24y x = ⑵解法1、设(,)P m n ,则OP 中点为(,)22m n , 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称,所以(4)221n m k n k m⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩,即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩,解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩(中点1分,方程组2分,化简1分) 将其代入抛物线方程,得:222288()411k k k k-=⋅++,所以21k = 联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得:2222222()8160b a x a x a a b +-+-=由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥,得2216a b +≥, 注意到221b a =-,即2217a ≥,所以a ≥,即2a ≥因此,椭圆1C.此时椭圆的方程为22+1171522x y =解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭ ,因为O P 、两点关于直线对称,则=4OM MP =,即4=,解之得4m =± 即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限,且直线与抛物线交于,A B .则11AB OPk k =-=,于是直线方程为4y x =-(斜率1分,方程1分)联立 222241y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得:2222222()8160b a x a x a a b +-+-=由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥,得2216a b +≥, 注意到221b a =-,即2217a ≥,所以a ≥,即2a ≥因此,椭圆1C . 此时椭圆的方程为22+1171522x y =16.解:(1)由题意可设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>,则222112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, , 解的21a b =⎧⎨=⎩,所以,椭圆方程为2214x y += (2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,故可设直线的方程为(0)y kx m m =+≠,1,12,2(),()P x y Q x y ,由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=, 则22222226416(14)(1)16(41)0k b k b b k m ∆=-+-=-+>,且122814km x x k -+=+,21224114m x x k-=+ 故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以,2221121222112()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==,即22228014k m m k-+=+, 又0m ≠,所以214k =,即12k =± 由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且△>0,得202m <<且21m ≠. 设d 为点O 到直线的距离,则11122OPQ S d PQ m x ∆=⋅=⋅, 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)17. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)解:(1)方法1:设动圆圆心为(),x y ,依题意得整理,得24x y =.所以轨迹M 的方程为24x y =方法2:设动圆圆心为P ,依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点P 的轨迹是抛物线 且其中定点()0,1F 为焦点,定直线1y =-为准线. 所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y = (2)由(1)得24x y =,即214y x =,则12y x '=. 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭,由导数的几何意义知,直线的斜率为012BC k x =由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭,则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-,即1202x x x +=A B CDOxylE因为2210101011444ACx x x x k x x --==+,2220202011444AB x x x x k x x --==+由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==,即AC AB k k =- 所以BAD CAD ∠=∠(3)方法1:由点D 到ABBAD ∠45= 不妨设点C 在AD 上方(如图),即21x x <,直线AB 的方程为:()20014y x x x -=-+. 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)()042x ---=-.由(2)知CAD BAD ∠=∠45=,同理可得2AC =+ 所以△ABC的面积20122244202S x =⨯-⨯+=-=, 解得03x =±当03x =时,点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,32BCk =, 直线BC 的方程为()13142y x -=+,即6470x y -+= 当03x =-时,点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,32BCk =-, 直线BC 的方程为()493742y x -=-+,即6470x y +-= 方法2:由点D 到ABBAD ∠45= 由(2)知CAD BAD ∠=∠45=,所以CAB ∠90=,即AC AB ⊥. 由(2)知104AC x x k -=,204AB x x k -=.所以1020144AC AB x x x x k k --=⨯=-. 即()()102016x x x x --=-. ① 由(2)知1202x x x +=. ②不妨设点C 在AD 上方(如图),即21x x <,由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩2=-,同理2AC =+ 以下同方法1.18.解析:(1)由题意可得2a =,2c e a ==,∴c =∴2221b a c =-=,所以椭圆的方程为2214x y += (2)设(,)C x y ,00(,)P x y ,由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩,即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩,又220014x y +=,代入得221()142x y +=,即224x y +=. 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y += (3)设(,)C m n ,点R 的坐标为(2,)t , ∵,,A C R 三点共线,∴//AC AR ,而(2,)AC m n =+,(4,)AR t =,则4(2)n t m =+, ∴42nt m =+, ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +,点D 的坐标为2(2,)2nm +, ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---,而224m n +=,∴224m n -=-, ∴2mn m k n n==--, ∴直线CD 的方程为()m y n x m n -=--,化简得40mx ny +-=, ∴圆心O 到直线CD 的距离2d r ====, 所以直线CD 与圆O 相切。
广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线方程-综合(知识点、典型例题、考点、练习)
圆锥曲线综合.知识点一 定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20. 即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.知识点二 圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.知识点三 轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1. 而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k y ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·22122b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即b =2 时取等号．∴△AOB 的面积S的最大值为2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kbk +，x 1·x 2= 222212b k -+.又∵OA ⊥OB ， ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b)=(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k -+-kb 241kb k ++b 2 =222322012b k k --=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d = ==. ∴l该圆的方程为x 2 + y 2 = 32.考题赏析1．(陕西高考)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使· = 0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解(1)如图所示，设A(x 1 , 2 x 12)， B(x 2,2x 22)，把y=kx +2代入y = 2x 2，得2x 2-kx -2=0， 由韦达定理得x 1 + x 2 = 2k ， x 1x 2 = -1，ks5u∴x N = x M =1224x x k+= ， ∴N 点的坐标为2(,)48k k .设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y -28k = m ()4k x -，将y=2x2代入上式得2x 2-mx +248mk k -0= ∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ=m 2-8（248mk k -） = m 2-2mk +k 2 = (m -k)2=0， ∴m=k ，即l ∥AB.（2）假设存在实数k ，使NA ·NB →＝0，则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.又|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1) ＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k=±2 , 使NA ·NB →＝02．(福建高考)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上；(ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0， n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， |y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二 同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)同方法一.讲练学案部分章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m ＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5. 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )A.65B.125C.32 D ．3 答案 D解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412. 可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( ) ks5uA ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C 解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay ，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案 相切解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． 即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 当k <0时，曲线y 24－x 2－8k ＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k ＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ②①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24a a -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a -，解得p = 2a，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.21．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的点M ⎝⎛⎭⎫1，32到它的两焦点F 1、F 2的距离之和为4，A 、B 分别是它的左顶点和上顶点．(1)求此椭圆的方程及离心率；(2)平行于AB 的直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)由题意2a ＝4，∴a ＝2.将M ⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得：14＋94b 2＝1， ∴b 2＝3，因此所求椭圆方程为： x 24＋y 23＝1，e ＝c a ＝12. (2)由题意，直线l 的斜率k ＝k AB ＝3－00－(－2)＝32.∴设l 的方程为y ＝32x ＋b . 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋b ，x 24＋y23＝1.得：6x 2＋43bx ＋4b 2－12＝0. 由Δ＝48b 2－24(4b 2－12)>0，得：－6<b <6，x 1＋x 2＝－233b ，x 1·x 2＝2b 2－63.∴|PQ |＝⎝⎛⎭⎫1＋34[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝73(6－b 2)，∴b ＝0时，|PQ |max ＝14.∴l 的方程为y ＝32x .∴|PQ |的最大值为14，此时l 的方程为y ＝32x . 22.（14分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，而·=0，|PM |=| |.PM ·PF →＝0，|PM |＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，OA ·OB →＝－4，且46≤|AB |≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)设动点N 的坐标为(x ，y )，|PM |＝|PN →|，得M (－x,0)(x >0)，P (0，y 2)，＝(－x ，－y 2)， PF →＝(1，－y 2)，由PM ·PF →＝0，得－x ＋y 24＝0，因此，动点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)． (2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，·OB →＝－4， 得y 1＝22，y 2＝－22， |AB |＝42<46，不合题意． 故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，·OB →＝－4， 得x 1x 2＋y 1y 2＝－4，由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上，有y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，所以4bk ＝－8，b ＝－2k .∵Δ＝16(1＋2k 2)>0，∴|AB |2＝1＋k 2k 2(16k2＋32)，因为46≤|AB |≤430，ks5u 所以96≤1＋k 2k 2(16k2＋32)≤480，解得直线l 的斜率的取值范围为[－1，－12]∪[12，1]．薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编9圆锥曲线
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____【答案】14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______. 【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.【答案】19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x ==---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222xy b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当k <<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12x x == ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k k k --+⋅=--+,即2102k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的,. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a+⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ② 所以2223c a a -=,即224c a = 故2c e a==所以双曲线C 的离心率为2e =(注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴, 因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y )28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y =,'y =1222(22)x x ---切线的斜率为所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:0y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由e =得223a c =,再由222c a b =-,解得a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线,所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x PF +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m 2 <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=. ∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y += (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =- 由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==<,故曲线C 上的点Q 到直线l 当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的距43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴= ∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。
广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之广州二模答题综合练习 含答案
1.已知函数f（x）＝3sin ωx－cos ωx(x∈R，ω＞0）的最小正周期为6π。
(1）求f错误!的值;(2）设α,β∈错误!,f错误!＝－错误!，f（3β＋2π）＝错误!，求cos(α＋β)的值π个单位，再将所有点的横坐标缩短到原(3）将函数f(x)先向左平移32π）的值域。
来的错误!得到g（x)，求函数g(x),在区间（0，6ks5uMEBOC AP3．（本小题满分14分）如图所示,⊥PA 平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30=∠CBA ，2PA AB，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 弧上,且OM ∥AC ．(Ⅰ)求证：平面MOE ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．ks5u4.(本小题满分14分）设函数,)(2xe a ax x xf ++=其中常数e R a ,∈为自然对数的底数．(1）若,2=a 求函数)(x f 的图象在1-=x 处的切线的方程; （2)若函数)(x f 的极大值为3，求a 的值及)(x f 的极小值．1.已知函数f(x）＝错误!sin ωx－cos ωx(x∈R,ω＞0）的最小正周期为6π.(1)求f错误!的值；（2）设α，β∈错误!，f错误!＝－错误!，f（3β＋2π）＝65,求cos（α＋β）的值（3）将函数f（x)先向左平移32π个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的错误!得到g(x),求函数g(x）,在区间（0,6π)的值域.1.解：（1）f（x）＝错误!sin ωx－cos ωx＝2错误!＝2sin错误!。
…………………… 2分∵函数f(x）的最小正周期为6π,∴T＝错误!＝6π,即ω＝错误!. ……………………3分∴f（x)＝2sin错误!. ∴f错误!＝2sin错误!＝2sin错误!＝3 .……………………4分(2)f错误!＝2sin错误!＝2sin α＝－错误!，∴sinα＝－错误!t……………………5分]f （3β＋2π）＝2sin 错误!＝2sin 错误!＝2cos β＝错误!， ∴cos β＝错误!。
2013年理科全国各省市高考真题——圆锥曲线(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—圆锥曲线1、2013大纲理T21．（本小题满分12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为3，直线2y =与C 。
（I ）求a ，b ；（II ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点，且11AF BF =，证明：22AF AB BF 、、成等比数列。
2、2013新课标I 理T20.（本小题满分12分）已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .3、2013新课标Ⅱ理T20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21。
（Ⅰ）求M 的方程（Ⅱ）C 、D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值。
4、2013辽宁理T20．（本小题满分12分）如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上，1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1-.2MA 切线的斜率为（I ）P 求的值；（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为5、2013北京理T19. (本小题共14分)已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.6、2013重庆理T21.如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点，4AA '=。
广东省13大市高三上学期期末数学(理)试题分类汇编13：圆锥曲线 Word版含答案.pdf
广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编 圆锥曲线 一、填空、选择题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 A． B． C． D． 答案：D 2、（佛山市2013届高三上学期期末）已知抛物线上一点P到焦点的距离是，则点P的横坐标是_____． 3、（广州市2013届高三上学期期末）圆上到直 线的距离为的点的个数是 _ . 答案： 分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标， 半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由右图 所示，圆上到直线的距离为的点有4个． 4、（广州市2013届高三上学期期末）在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A． B． C． D． 答案：B 5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为＿＿＿＿ 答案： 6、（江门市2013届高三上学期期末）以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是 A． B． C． D． 答案：A 7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 . 8、（湛江市2013届高三上学期期末）已知点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿ 答案： 解析： 9、（肇庆市2013届高三上学期期末）圆心在直线上的圆C与轴交于两点、，则圆C的方程为__________. 解析：直线AB的中垂线方程为，代入，得，故圆心的坐标为，再由两点间的距离公式求得半径，∴ 圆C的方程为直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 . 答案： 13、（江门市2013届高三上学期期末）与圆：关于直线：对称的圆的方程是 ． 二、解答题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）已知点、，若动点满足． （1）求动点的轨迹； （2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小． 解：（1）设动点，又点、， ∴，，． ……… 3分 由，得， ……… 4分 ∴，故，即， ∴轨迹是焦点为、长轴长的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分． （2）椭圆上的点到直线的距离的最值等于平行于直线： 且与椭圆相切的直线与直线的距离． 设直线的方程为． ……… 8分 由，消去得 （*）． 依题意得，即，故，解得． 当时，直线：，直线与的距离． 当时，直线：，直线与的距离． 由于，故曲线上的点到直线的距离的最小值为．…12分 当时，方程（*）化为，即，解得． 由，得，故． ……… 13分 ∴曲线上的点到直线的距离最小． ……… 14分 2、（佛山市2013届高三上学期期末）设椭圆的左右顶点分别为，离心率．作轴，垂足为，点在的延长线上，且．的轨迹的方程； （3）设直线（点不同于）与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．解析：，，∴， -----------------2分， 所以椭圆的方程为．-----------------4分，，由题意得，即， -----------------6分，代入得，即．的轨迹的方程为．-----------------8分，点的坐标为， ∵三点共线，∴， 而，，则，∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， -----------------10分的斜率为， 而，∴， ∴， -----------------12分的方程为，化简得， ∴圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切．-----------------14分如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点， ，，与交于点. 求点的轨迹方程； 求四边形的面积的最小值. 解法一: （1）解：设， ∵， ∴是线段的中点. …………… 2分 ∴，① …………… 3分 . ② …………… 4分 ∵， ∴. ∴. …………… 5分 依题意知， ∴. ③ …………… 6分 把②、③代入①得：，即. …………… 7分 ∴点的轨迹方程为. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形是矩形， ∴四边形的面积为 …………… 9分 . …………… 11分 ∵，当且仅当时，等号成立， …………… 12分 ∴. …………… 13分 ∴四边形的面积的最小值为. …………… 14分 解法二: (1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为, 由于,则直线的斜率为. …………… 1分 故直线的方程为,直线的方程为. 由 消去,得. 解得或. …………… 2分 ∴点的坐标为. …………… 3分 同理得点的坐标为. …………… 4分 ∵， ∴是线段的中点. …………… 5分 设点的坐标为, 则 …………… 6分 消去,得. …………… 7分 ∴点的轨迹方程为. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形是矩形， ∴四边形的面积为 …………… 9分 ………… 10分 …………… 11分 . …………… 12分 当且仅当,即时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形的面积的最小值为. …………… 14分 4、（惠州市2013届高三上学期期末）设椭圆的右焦点为直线与轴交于点若（其中为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任一点，为圆的任意一条直径、为直径的两个端点），求的最大值．（1）由题设知，，………………………………1分 由得解得椭圆的方程为（2）圆， 则 ………………………………………………6分 …………………………………………7分 ．………………………………………………………………8分 从而求的最大值转化为求的最大值是椭圆上的任一点，设，，即，．…………………12分 因为，所以当时，取最大值的最大值为， 因为的中点坐标为，所以 ………………………………………6分 所以…………………………………7分 ．………………………………………9分 因为点在圆上，所以，即．………………10分 因为点在椭圆上，所以，即．…………………………11分 所以．……………………………………12分 因为，所以当时，．………………………14分 方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………6分 由，解得．……………………………………………7分 因为是椭圆上的任一点，， 所以，即， …………………………………9分 所以． ……………………………………10分 因为，所以当时，取最大值的斜率不存在，此时的方程为，由，解得或． 不妨设，，． …………………………………………12分 因为是椭圆上的任一点，， 所以，即，． 所以． 因为，所以当时，取最大值的最大值为中，，，是平面上一点，使三角形的周长为． ⑴求点的轨迹方程； ⑵在点的轨迹上是否存在点、，使得顺次连接点、、、所得到的四边形是矩形？若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请简要说明理由 解：⑴依题意，……1分， ，所以，点的轨迹是椭圆……2分， ，……3分，所以，，，椭圆的方程为……4分，因为是三角形，点不在直线上（即不在轴上），所以点的轨迹方程为（）……5分． ⑵根据椭圆的对称性，是矩形当且仅当直线经过原点，且是直角……6分，此时（或）……7分， 设，则……9分，解得，……10分，所以有2个这样的矩形，对应的点、分别为、或、……12分． 6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知椭圆： （）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程； （3）设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标． 解：（1）解：由，得，再由，解得 …………1分 由题意可知，即 …………………………2分 解方程组得 ………………………………3分 所以椭圆C1的方程是 ……………………………………3分 （2）因为，所以动点到定直线的距离等于它到定点（1，0）的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，…6分 所以点的轨迹的方程为 ……………………………………7分 （3）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS=90°，即 …………………………………………………………………………8分 设S （，），R（，），＝（-，-），=（，） 所以 因为，，化简得 ……………………10分 所以， 当且仅当即＝16，y2＝±4时等号成立. ………………12分 圆的直径|OS|=因为≥64，所以当＝64即=±8时，， ………13分 所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）……………14分 已知点是圆上的动点，圆心为，是圆内的定点；的中垂线交于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线交轨迹于与轴、轴都不平行）两点，为的中点，求的值（为坐标系原点）． （1）解：由条件知： 1分 2分 3分 4分 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆 5分 6分 所以点的轨迹的方程是 7分 解：设，则 8分 9分 10分 11分 13分 14分 或解：设，直线的方程为 则 8分 9分 10分 将代入椭圆方程得： 11分 12分 13分 所以 14分 ＝1上的动点，以M0为切点的切线l0与直线y＝2相交于点P。
广东省11大市2013年高三数学一模试题分类汇编13：圆锥曲线(理科).pdf
广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编 圆锥曲线 一、填空、选择题 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））直线截圆所得劣弧所对的圆心角是 A． B． C． D． 答案：D 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为，则 ． 答案：3 3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方程为 ．圆心坐标为，半径为【或. 】 4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）已知双曲线的两条近线的夹角为，则双曲线的离心率为＿＿＿ 答案： 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）已知动点P在抛物线y2＝4x 上，那么使得点P到定点Q（2,，－1）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和最小的点P的坐标为＿＿＿ 答案： 6、（韶关市2013届高三调研考试）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）A、－1＜k＜1B、k＞0C、k≤0D、k＞1或k＜－1 答案：A 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则 A． B． C． D． 答案：D 【解析】 8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）若圆与直线相切，其圆心在轴的左侧，则 9、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））已知抛物线上一点P到焦点的距离是，则点P的横坐标是_____． 10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 . 11、（湛江市2013届高三高考测试（一））已知点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿ 答案： 解析： 二、解答题 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点. (1) 求椭圆的方程； (2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由. 解法1：设椭圆的方程为, 依题意: 解得: ……………2分 ∴ 椭圆的方程为. …………3分 解法2：设椭圆的方程为， 根据椭圆的定义得，即， …………1分 ∵， ∴. ……………2分 ∴ 椭圆的方程为. ……………3分 (2)解法1：设点,，则， ， ∵三点共线, ∴. ……………4分 ∴, 化简得：. ① ……………5分 由,即得. …………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③………8分 设点，由②③得：， 而，则 . ……………9分 代入②得 ， ……………10分 则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.……………11分 若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上， ………12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点有两个. …………14分 解法2：设点,，， 由,即得. ……………4分 ∴抛物线在点处的切线的方程为， 即. ……………5分 ∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① …………6分 同理， . ② ……………7分 综合①、②得，点的坐标都满足方程.……8分 ∵经过的直线是唯一的， ∴直线的方程为， ……………9分 ∵点在直线上， ∴. ……………10分 ∴点的轨迹方程为. ……………11分 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，…12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点有两个. ……………14分 解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. ………4分 设,则. ……………5分 由,即得. ……………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分 ∵， ∴. 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分 由解得 ∴. ……………10分 ∵, ∴点在椭圆上. ……………11分 ∴. 化简得.(*) ……………12分 由, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ……………14分 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知椭圆的中心在原点，离心率焦点． ⑴求椭圆的方程；，在椭圆，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由． 解：⑴设椭圆的方程， 1分 椭圆的离心率焦点， ， ， ， 3分 故椭圆的方程． 4分 ⑵假设椭圆（），使得向量与共线， 5分 ，， ，即，（1） 6分 又点（）在椭圆 (2) 7分 由⑴、⑵组成方程组解得，或， 9分 ，或， 10分 当点的坐标为时，直线的方程为， 当点的坐标为时，直线的方程为， 故直线的方程为或． 12分 3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）如图（6），设点、分别是椭圆 的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为． （1）求椭圆的方程均与椭圆，试探究在轴上是 否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）设，则有，-------------1分 -----------------2分 由最小值为得，-------------------3分 ∴椭圆的方程为．---------------------------------------------4分 （2）①当直线斜率存在时，设其方程为--------------------5分 把的方程代入椭圆方程得 ∵直线与椭圆相切，∴，化简得 -------------------------------------------------------------------------------------7分 同理，-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴，若，则重合，不合题意，∴-----------------------9分 设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，则 ，即，--------------------------------------10分 把代入并去绝对值整理， 或者 前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立 则，解得；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线斜率不存在时，其方程为和，---------------------------13分 定点到直线的距离之积为； 定点到直线的距离之积为； 综上所述，满足题意的定点为或 --------------------------------------------14分 4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。
广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线复习(2) 含答案
1、 已知椭圆221102x y m m +=-- 的长轴在y 轴上，且焦距为4，则 m 等于 （ ） A ．4 B 。
5 C.7 D 。
8 2、（2012年高考（福建理）)已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．42C ．3D ．53、（2012年高考(陕西理））右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米,水位下降1米后,水面宽_______米。
4、设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为（20,0)．当P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹方程为_____________6、(2010深圳二模理）如图，已知点)0,2(-C ,直线4:0-=x l 与x 轴交于点A ，动点P 到直线0l 的距离为d ，且PC d 2=． (Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ)设过点A 的直线l 交轨迹E 于M 、N 两点，且CN CM ⊥,求直线l 的方程．xyKs5uACOyxpd11.解：(Ⅰ）如图，设),(y x P ，PC d 2= ,22)2(24y x x ++⋅=+∴ ……3分平方整理得：8222=+y x , ∴点p 的轨迹方程为122=+y x 。
………5分联立8)4(2148)4(22222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=x k x y x x k y 即083216)21(2222=-+++k x k x k……………7分0)832)(21(4)16(2222>-+-=∆k k k0)14)(21(8224>-+-∴k k k，化简得：212<k ……① 设),(),,(2211y x N y x M ，则2221222121832,2116k k x x k k x x +-=⋅+-=+，……9分),2(),,2(2211y x CN y x CM +=+= ,又CN CM ⊥，0=⋅∴CN CM0)2)(2(2121=+++∴y y x x ，即0)4)(4()2)(2(21221=+++++x x k x x ,0)41(4))(21(2)1(2222212=++++++∴k x x k x x k …………………11分0)41(42116)21(221832)1(2222222=+++-⋅+++-⋅+∴k kk k k k k 化简得：412=k 符合① …………………13分∴直线l 的方程是:)4(21+=x y 或)4(21+-=x y ……Ks5u………14分。
广东省某重点中学高三数学理二轮复习之圆锥曲线小题专题
1. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 （ ） A ．14B ．12C ． 2D ．4 2．（2012广州二模）已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．14 C ．14- D ．4- 3. 椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P 到F 2的距离为（ ）A B ．3 C ．27D ．4 4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为（ ） A. 10- B. 17 C. 5 D. 25．已知点A （1，-2）, B （m , 2），若线段AB 的垂直平分线方程是220x y +-=，则实数m的值是（ ） A ． -2B ．-7C ． 3D ． 16.“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的（ ）。
A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．.必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 7．圆224450x y x y +--+=上的点到直线90x y +-=的最大距离与最小距离的差为（ ）A.C. D.68、（2009湛江一模）过点A (3 , 0 ) 的直线l 与曲线 1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 斜率 的取值范围为（ ） A ．(3-, 3 ) B ．[3-, 3 ] C ．(33-, 33 ) D ．[33-, 33] D9． 的焦点坐标是抛物线281x y =11. (0,2) 10．已知双曲线2214x y m-=的离心率为2，则实数m = ． 10．1211.（2013茂名一模） 已知双曲线221x ky -=），则其渐近线方程为 . 11. 2y x =±；12.（07广东理）在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22 (0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 11. 54x =-13．（08广东理）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的 直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的 值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。
2011-2013广东高考真题--圆锥曲线
2013年广东真题7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.7. 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．14.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭20. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,PA PB均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=. (Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.2012年广东真题14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为)x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和()x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______。
圆锥曲线大题广东高考真题(文)
1. (13年) 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值.2. （12年）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程； （2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．3. （11年）在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠． （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程； （2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标；（3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．4. 已知焦点在x 轴上的抛物线C 过点(2,22)E ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线相交于A B 、两点，点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为D,求四边形OADB 的面积的最小值．参考答案：1.（1）因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322所以23222c d --==，又因为0c >，所以解得1c =，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C 的方程为24x y =； （2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,)4m m ，所以直线l '的斜率2001142y m k m x m -==-，解得210004m x x y =+-或220004m x x y =--；不妨设A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，因为2004x y -2200004(2)48x x x x =--=-+ 20(2)40x =-+>，所以12m m ≠；221212012111144()42ABm m k m m x m m -==+=-；所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，F 点坐标为()0,1，因为0020x y --=；所以221000004(2)4m x x y x x =+-=+-+，222000004(2)4m x x y x x =--=--+，1202m m x +=，12048m m x =-；因此AF BF ⋅=2222222222112212111111114444m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅+-=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222212121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=+++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()22220000001139(48)22(48)12692()16422x x x x x x ⎡⎤=-+--+=-+=-+⎣⎦，所以当032x =时，AF BF ⋅取最小值92；2. 解：(1):依题意：c=1,……………1分 则：122+=b a,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222=++by b x ………………………………………………………………3分 将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分 所以211122=+=+=b a故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分y NlH⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y xmk x y 消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：12222=-k m ①………………………………………………………8分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得：⎩⎨⎧=+=xy mkx y 42消除y 得：0)42(222=+-+m x km x k04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分 将②代入①解得：01224=-+k k解得：1,121(,122-==-==k k k k 或者舍去），故11,11-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：11--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 3.解：（1）如图所示，连接OM ，则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x y ① 当MP l ⊥时，2MP x =+，22OM x y =+222x x y +=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+)22(4)12(222=-+++m kmx x kxy O TA 1l1l1l求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点 显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4--（3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点 则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论：① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞4. （1）解：依题意设抛物线C 的方程为：22y px =，…………………1分∵点(2,22)E 在抛物线上，∴2(22)22p =⨯解得2p =，． ………………………………3分∴抛物线C 的方程为24y x =． ………………………4分（2）证明：由（1）知 (1,0)F ，则可设直线AB 的方程为：1x ky =+………………5分由214x ky y x =+⎧⎨=⎩消去y 得：2440y y --=则22(4)41(4)16160k k =-⨯⨯-=+>V 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y k y y +==-………………………7分222121212111()4(4)1621222AOB S OF y y y y y y k k =⋅-=+-=+=+V ………9分 ∵点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为D ∴AOB ADB S S =V V ………………………11分故2241S S k ==+∴四边形OADB的面积的最小值为4. ………………………14分。
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1. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 （ ） A ．
1
4
B ．
1
2
C ． 2
D ．4 2．（2012广州二模）已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是（ ）
A ．4
B ．
14 C ．1
4
- D ．4- 3. 椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点
为
P
，
则
P 到
F 2
的距离为
（ ）
A B ．3 C ．
2
7
D ．4 4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为（ ） A. 10- B. 17 C. 5 D. 2
5．已知点A （1，-2）, B （m , 2），若线段AB 的垂直平分线方程是220x y +-=，则实数
m
的值是
（ ） A ． -2
B ．-7
C ． 3
D ． 1
6.“m=
2
1
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的（ ）。
A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．.必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 7．圆224450x y x y +--+=上的点到直线90x y +-=的最大距离与最小距离的差为（ ）
A.
C. D.6
8、（2009湛江一模）过点A (3 , 0 ) 的直线l 与曲线 1)1(22=+-y x 有公共点，则直线l 斜率 的取值范围为 Ks5u
（ ） A ．(3-, 3 ) B ．[3-, 3 ] C ．(33-, 33 ) D ．[33-, 3
3
] D
9． 的焦点坐标是抛物线2
8
1x y =
11. (0,2) 10．已知双曲线
22
14x y m
-=的离心率为2，则实数m = ． 10．12
11.（2013
茂名一模） 已知双曲线221x ky -=），则其渐近线方程为 . 11. 2y x =±；
12.（07广东理）在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22 (0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 11. 5
4
x =-
13．（08广东理）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是
【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的 直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的 值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=。
14. (广东省六校2012年2月高三第三次联考理)（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：
2
12
y x =
上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 处的切线垂直，直线l 与抛物线C 相交于另一点Q .
（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； （2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.
15.（本小题满分14分）
已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，点A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直y 轴于点B ，线段OB 的中点为M . （1）求抛物线方程；
（2）过点M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标； （3）以点M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系． Ks5u
14.解：（Ⅰ）把x =2代入2
12
y x =
，得y =2， ∴点坐P 标为（2，2）. ……………………1分
由 2
12
y x =
， ① 得y x '=， ∴过点P 的切线的斜率切k =2，……………………2分 直线l 的斜率1k =切
k 1
-
=,21- ……………………3分
∴直线l 的方程为2y -=1
(2)2x -
-， 即260x y +-=……………………4分 （Ⅱ）设00(,),P x y 则2
001.2
y x =
∵ 过点P 的切线斜率切k 0x =，因为00.x ≠
∴ 直线l 的斜率1k =切
k 1-
=01x -，
直线l 的方程为 2000
11
().2y x x x x -
=-- ②……………………5分
所以
201024x x x =--=-，又因为00x >，
所以0x =
，01y =；
所以1x =-14y =……………………11分
∵M 是PQ
的中点，∴,25.2
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………12分 2220027
()()4
r x x y y =-+-=
……………………13分
所以过点,,P Q O 的圆的方程的方程为
22527(()24
x y +
+-=……………………14分 15. 解：（1）抛物线2
2y px =的准线 2p x =-
45, 2.2
p
p ∴+
=∴=
∴所求抛物线方程为2
4y x = ………ks5u ………
3分
（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），
又∵F （1，0）， ∴,4
3
,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.4
3
2x y -=-
解方程组).5
4
,58(5458,432)1(3
4N y x x y x y ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=--=得 …………7分
（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.
当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离， ……………9分 当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44
m x m
y --=
即为,04)4(4=---m y m x …………………10分 圆心M （0，2）到直线AK 的距离2
)
4(16|82|-++=
m m d ， …………………11分
令1,2>>m d 解得 ks5u
1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离； ……………………12分
当m=1时，直线AK 与圆M 相切； …………………13分 当1<m 时，直线AK 与圆M 相交. ……………………14分。