HopfBifurcationofRatio

sy 表 hx
(2)
2㊀
br s s ,δ = ,β = . m r h rm 以下考虑系统(2) 正平衡点的局部稳定性和 Hopf 分支出的周期解的存在性,并利用 Matlab 对给出的 实例进行数值模拟验证理论分析的正确性. 其中:a =
( College of Mathematics and Finance-Economics,Sichuan University of Arts and Sciences,Dazhou 635000,China)
Zheng Zongjian
Abstract: A predator-prey system of ratio-dependent simplified Holling-Ⅳ functional response and the predator s numerical response of Leslie form with two delays is considered. By analyzing the associated characteristic equation,the local stability of the equilibrium is obtained. Hopf bifurcation s existence is discussed. Finally, numerical simulation is done for instance to verify the main conclusion. Key words: Hopf bifurcation;predator-prey system;delay;equilibrium;Holling-Ⅳ
ʌ 引用格式ɔ 郑宗剑. 双时滞比率依赖 Holling-Ⅳ和 Leslie 型捕食-食饵系统的 Hopf 分支 [ J] . 北华大学学报: 自然科学版,2015, 16(1) :9-16.
文献标志码:A
Hopf Bifurcation of Ratio-dependent Holling IV and Leslie Type Predator-prey System wt 食饵的密度;y( t) 表示时刻 t 捕食者的密度;p( x) 表示捕食者的功能反应函数;
10
㊀
北华大学学报( 自然科学版)
第 16 卷
示 Leslie 形式的捕食者数量反应. 文献[3] 考虑了 Holling-Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 型功能反应函数,分别得到了关于分支和稳定性等动力学现象. 文献[4] 考虑功能反应函数 p( x) 为基于比率依赖组且具有简化的 Holling Ⅳ 型的捕食 - 食饵模型: 2 ìdx = x(1 - x) - xy , 2 dt ay + x2 ídy = æ δ - β y( t) ö y , x( t) ø dt è îx(0) > 0,y(0) > 0,a,δ,β > 0 . 随着泛函微分方程的发展,时滞被引入生物动力系统中,学者们发现时滞对系统的动力学行为产生较 大影响,特别是多时滞会使得线性化系统对应的特征方程更为复杂, 但也能更真实地反映两种群之间的 关系 [5-6] . 以下考虑一类具有双时滞基于比率依赖 Holling-Ⅳ 型功能性反应和 Leslie 形式的捕食者数量反应的 两种群模型: X ( T - τ1 ) ö ìdX æ mXY = rX 1 Y, dT K è ø bY2 + X2 (1) í Y( T - τ2 ) ö æ dY = Ys 1 , hX ( T - τ2 ) ø è îdT 其中 τ1 ,τ2 表示食饵自身增长的负反馈时滞和捕食者成熟时滞. 分别以 t,x,y,τ1 ,τ2 记 rT, X , K xy2 ìdx = x[1 - x( t - τ1 ) ] - 2 , dt x + ay2 í y ( t - τ2 ) ö æ dy =y δ -β , x ( t - τ2 ) ø è î dt m Y,rτ1 ,rτ2 ,简化系统(1) 为 rK2
双时滞比率依赖 Holling-Ⅳ 和 Leslie 型 捕食 -食饵系统的 Hopf 分支
郑宗剑
( 四川文理学院数学与财经学院,四川 达州㊀ 635000) 摘要:研究了一类双时滞基于比率依赖简化 Holling-Ⅳ 型功能性反应且具有 Leslie 形式的捕食者数量反应的捕 食-食饵系统,通过分析系统对应的特征方程,得到各种情形下的正平衡点局部稳定及 Hopf 分支存在的充分条 件,并通过数值模拟验证了结果的正确性. 中图分类号:O175. 7 关键词:Hopf 分支;捕食-食饵系统;时滞;平衡点;Holling-Ⅳ
îx(0) > 0,y(0) > 0,r,s,K ,h > 0,
收稿日期:2014-08-23 基金项目:四川省教育厅自然科学基金项目(13ZB0102;15ZB0316) ;四川革命老区发展研究中心项目( SLQ2014C-17) ;四川文理学院校 级重点课题(2013z003z) . 作者简介:郑宗剑(1982-) ,男,讲师,主要从事数学建模㊁动力系统分支理论及应用研究,E-mail:zongjianzheng130@ 163. com.
第 16 卷 第 1 期 2015 年 2 月
JOURNAL OF BEIHUA UNIVERSITY( Natural Science)
北华大学学报( 自然科学版)
Vol. 16 No. 1 Feb. 2015
文章编号:1009-4822(2015)01-0009-08
DOI:10. 11713 / j. issn. 1009-4822. 2015. 01. 003
1㊀ 引㊀ ㊀ 言
要研究课题. 研究者针对某些地区爆发的果树病害引入捕食螨虫, 以螨治螨 进行生物防治. Wollkind 等 在文献[1 -2] 中提出了捕食螨与果树螨两种群模型: ìdx = rx(1 - x ) - yp( x) , dt K ídy = y s æ1 - y ö , hx ø dt è 捕食者和食饵之间的动力学关系因为它们的普遍性和重要性, 一直都是生态学和生物数学领域的重