河北省衡水市武邑中学2017届高三上学期第二次调研数学理试卷(解析版).doc

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1．（2016秋•武邑县校级月考）已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，N={x|x2﹣x ＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=M B．M∪（∁UN）=U C．M∩（∁UN）=∅D．M⊆∁UN【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据题意求出集合M，化简集合N，再判断选项是否正确．【解答】解：全集U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，A正确；∁U N={x|x≤0或x≥1}，M∪（∁U N）=R=U，B正确；M∩（∁U N）={x|x≤0}≠∅，C错误；M⊆∁U N不成立，D错误．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（2016秋•武邑县校级月考）已知f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x﹣），则下列结论中不正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为πB．函数y=f（x）•g（x）的最大值为C．函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（，0）成中心对称D．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由已知得到y=f（x）•g（x）=，求出该函数的最小正周期和最大值，说明选项A，B正确；代入求得函数值说明C不正确；利用诱导公式变形后由函数图象的平移说明D正确．【解答】解：∵f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x﹣），∴y=f（x）•g（x）=sin（x+）•cos（x﹣）=sinx•cosx=．∴函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为π；函数y=f（x）•g（x）的最大值为；∵当x=时，∴是函数y=f（x）•g（x）的图象的一条对称轴；∵f（x）=sin（x+）=cosx，g（x）=cos（x﹣），∴将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．综上，选项C不正确．故选：C．【点评】本题考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，考查了其图象平移，是中档题．3．（2016•茂名一模）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C．D．f（x）=﹣x|x| 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．【解答】解：A中f（x）非奇非偶；B中f（x）是偶函数；C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数；D中f（x）=是奇函数且在R上是减函数．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．（2016秋•武邑县校级月考）已知0＜a＜b＜1＜c，m=log a c，n=log b c，r=a c，则m，n，r 的大小关系是（）A．m＜n＜r B．m＜r＜n C．r＜m＜n D．n＜m＜r【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质，可得r=a c＞0为正数．再由对数函数的单调性，可得＜0，＜0，且m的倒数比n的倒数要小，因此n＜m＜0．由此不难得到本题的答案．【解答】解：∵a＞0，∴r=a c＞0为正数又∵a＜b＜1，c＞1∴＜=0，＜=0，m、n都是负数又∵＜＜0，，∴，即m＞n因此，有n＜m＜r成立故答案为：D【点评】本题给出几个指数、对数值，让我们比较它们的大小，着重考查了对数函数、指数函数的单调性和运用不等式比较大小等知识，属于基础题．5．（2016•广东模拟）已知平面向量，满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|=（）A．0 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】先根据||=||=1，⊥（﹣2），求出2•=1，再求出|+|2，问题得以解决．【解答】解：∵向量，满足||=||=1，⊥（﹣2），∴•（﹣2）=2﹣2•=0，∴2•=1，∴|+|2=2+2•+2=1+1+1=3，∴|+|=，故选：D．【点评】本题考查了向量的数量积运算和模的计算以及向量垂直的条件，属于基础题．6．（2016秋•武邑县校级月考）已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】当a＜1时，f（a）==﹣3，当a≥1时，f（a）=﹣log2a=﹣3．求出a=8．从而f（6﹣a）=f（﹣2）=sin（﹣），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=且f（a）=﹣3，∴当a＜1时，f（a）==﹣3，不成立，当a≥1时，f（a）=﹣log2a=﹣3，解得a=8．∴f（6﹣a）=f（﹣2）=sin（﹣）=﹣sin（）=﹣sin=﹣．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．（2015•济宁一模）已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+）]=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8．（2014•山东模拟）函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题．【分析】由f（x）=lnx﹣x2可知，f′（x）=﹣x=，从而可求得函数f（x）=lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣x=，由f′（x）＞0得，0＜x＜1；f′（x）＜0得，x＞1；∴f（x）=lnx﹣x2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；∴x=1时，f（x）取到极大值．又f（1）=﹣＜0，∴函数f（x）=lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选B．【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．9．（2016秋•武邑县校级月考）在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，D是BC边上靠近B 点的四等分点，点E是AC边上靠近点A点的三等分点，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出，，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据条件：===；==；∴===．故选A．【点评】考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算．10．（2016秋•武邑县校级月考）若cos（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴sin（﹣2α）=sin（+﹣2α）=cos（﹣2α）═cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，故选：C【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．11．（2016秋•武邑县校级月考）已知{a n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠（k ∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5=sin2a7，则数列{a n}的公差为d的值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】推导出sin4d=1，由此能求出d．【解答】解：∵{a n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5=sin2a7，∴2sina5cosa5=2sin cos﹣2cos sin=2sina5cos2d﹣2cosa5sin2d，∴sin4d=1，∴d=．故选：B．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意积化和差公式和等差数列的性质的合理运用．12．（2016•广州二模）设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故选：A．【点评】本题考查了函数的周期性，奇偶性的应用，函数零点个数判断，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13．（2016秋•武邑县校级月考）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=4x+1，则f（）=．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性，求解即可．【解答】解：f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=4x+1，则f（）=f（）=f（）=+1=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．（2016秋•武邑县校级月考）如图，在矩形ABCO中，阴影部分的面积为2．【考点】定积分．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】由题意，S=2dx，即可得出结论．【解答】解：由题意，S=2dx=2=2，故答案为2．【点评】本题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，比较基础．15．（2016秋•武邑县校级月考）已知向量=（sinA，﹣）与向量=（1，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角tanA的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量共线得到sinA（sinA+cosA）=﹣，通过三角形函数的化简，得到sin （2A﹣）=﹣1，由于A∈（0，π），即可得出．【解答】解：向量=（sinA，﹣）与向量=（1，sinA+cosA）共线，∴sinA（sinA+cosA）=﹣，∴sin2A+sinAcoA=﹣，∴2sin2A﹣1+2sinAcoA=﹣2∴﹣cos2A+sin2A=﹣2，∴sin（2A﹣）=﹣1，∴2A﹣=﹣+2kπ，k∈Z，∵A是△ABC的内角∴A=，∴tanA=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了向量共线定理、和差化积、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2016秋•武邑县校级月考）已知函数f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln﹣2的解集为（﹣，0）∪（0，）．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln﹣2=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）【点评】本题考查了分段函数的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用．三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016秋•武邑县校级月考）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）当x∈[﹣2π，0]时，求f（x）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）化简函数的图象得出A与周期，从而求出ω与φ的值，写出函数f（x）解析式；（II）根据x的取值范围求出x﹣的取值范围，从而求出f（x）的最值以及对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）由图象得A=1，…（1分）周期为T=4×（π﹣）=，则ω==，…（2分）把（，﹣1）代入得f（x）中，得sin（+φ）=﹣1，又﹣π＜φ＜0，所以﹣＜+φ＜，∴+φ=﹣，φ=﹣；…（4分）因此函数f（x）=sin（x﹣）；…（II）∵x∈[﹣2π，0]，x∈[﹣，0]，x﹣∈[，﹣]；…（6分）当x﹣=﹣，即x=﹣π时f（x）取得最大值1，…（8分）当x﹣=﹣，即x=0时f（x）取得最小值﹣．…（10分）【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2016•宁夏校级三模）已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且a=f′（）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=[f（x）﹣x3]•e x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数的导数，得到f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解出即可；（2）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间；（3）问题等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解出即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1，当x=时，得a=f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解之，得a=﹣1．（2）∵f（x）=x3﹣x2﹣x+c，∴f′（x）=3（x+）（x﹣1），列表如下：﹣所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（﹣，1）．（3）函数g（x）=（﹣x2﹣x+c）e x，有g′（x）=（﹣x2﹣3x+c﹣1）e x，因为函数在区间x∈[﹣3，2]上单调递增，等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是：c≥11．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．19．（12分）（2016秋•武邑县校级月考）函数f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣2cos（2ωx+π），其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[﹣，π]上的增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2ωx+）+1，利用正弦函数的有界性可求函数y=f（x）的值域；（2）利用f（x）的最小正周期为π，可求得ω=1，及y=sinx在每个闭区间[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）上为增函数即可求得f（x）在区间[﹣，π]上的增区间．【解答】解：（1）f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣2cos （2ωx+π）=2sinωxcosωx+2sin2ωx+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+）+1，…（4分）因为﹣1≤sin（2ωx+）≤1，所以函数y=f（x）的值域为[﹣1，3]…（6分）（2）因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=1，y=sin x在每个闭区间[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）上为增函数，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），故f（x）=2sin（2x+）+1在每个闭区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）上为增函数．…（8分）当k=0和k=1时，得f（x在区间[﹣，π]上的增区间为[﹣，]和[，π]．…（12分）【点评】题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的图象与性质，考查转化思想与化归意识，属于中档题．20．（12分）（2016秋•武邑县校级月考）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（I）若函数在（1，f（1））处的切线过（0，1）点，求k的值；（II）当k∈（，1]时，试问，函数f（x）在[0，k]是否存在极大值或极小值，说明理由．．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），代入切线方程，求出k的值即可；（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）﹣k，k∈（，1]，根据函数的单调性判断函数的极值即可．【解答】解：（I）f′（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2kx=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），…（1分）f′（1）=e﹣2k，f（1）=﹣k，…（2分）设切线方程为：y+k=（e﹣2k）（x﹣1），把（0，1）代入得k=e+1，…（4分）（II）令f′（x）=0，得x1=0，x2=ln（2k），令g（k）=ln（2k）﹣k，k∈（，1]，…则g′（k）=﹣1=≥0，所以g（k）在（，1]上单调递增，…（7分）所以g（k）≤g（1）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，从而ln（2k）＜k，所以ln（2k）∈（0，k），…（9分）所以当x∈（0，ln（2k））时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（2k），+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，…（10分）所以函数f（x）在[0，k]存在极小值，无极大值．…（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．21．（12分）（2016秋•辛集市校级期中）如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥DC，CD=AC．设∠ABC=θ．（1）若θ=30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）设AC=x，CD=x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2=4﹣2cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB=，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD=，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD 的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC2=1+3﹣2cos30°=1，∴AC=1…（2分）在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，∴AD=2．…（4分）（2）设AC=x，CD=x，在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，x2=4﹣2cosθ，…∵=，∴sin∠ACB=．…（7分）在△BCD中，BD======，…（10分）∵θ∈（0，π），∴θ﹣∈（﹣，），当θ﹣=，θ=时BD取到最大值3．…（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，勾股定理三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于中档题．22．（12分）（2016•泉州校级模拟）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．。