小数的巧算提取公因数
小数巧算方法
小数巧算方法1、凑整法在小数加法运算中，把几个小数凑成整数，便于计算。
例1：1.38+1.02+8.62+3.98=（1.38+8.62）+（1.02+3.98）= 10+5= 15把两组分数分别凑成整数，再进行计算。
2、改顺序通过改变小数算式中的先后顺序，使运算简便。
常见有以下几种方法：（1）小数搬家在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时，可以带着符号“搬家”。
例3：7.32-1.02+2.68=7.32+2.68-1.02=10-1.02=8.98（2）加括号性质：在一个只有加减法运算的算式中，给算式的一部分添上括号，如果括号前面是加号，那么括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变，即加号变减号，减号变加号。
例2：3.56-1.32+3.44-3.68=（3.56+3.44）-（1.32+3.68）= 7-5= 2（3）去括号性质：在一个有括号的小数运算算式中，将算式中的括号去掉时，如果括号前面是加号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号都不改变；如果括号前面是减号，那么括号里面的运算符号都要改变。
例2：8.62-1.02-（3.98-1.38）= 8.62-1.02-3.98+1.38= 8.62+1.38-(1.02+3.98)= 10-5= 5（4）提取公因数当几个乘式相加减，而这些乘式中又有相同的因数时，我们可以采用提取公因数的方法进行巧算。
如果乘式中另外几个因数相加减的结果正好凑成整数，那么计算就更为简便。
例：20.5×0.15＋20.5×0.3＋0.55×20.5=20.5×（0.15＋0.3＋0.55）=20.5×1=20.53、扩缩法根据积不变的原理，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。
利用积不变的规律来进行巧算，就叫扩缩法。
例：200.9×20.08－200.8×20.07=20.09×200.8-200.8×20.07=200.8×（20.09-20.07）=200.8×0.02=4.016根据积不变原理，将200.9×20.08乘式变成20.09×200.8，便于提取公因数。
提取公因数的公式
提取公因数的公式提取公因数是一种基本的数学方法，它可以将复杂的式子简化成更简单的形式，使计算更加方便。
下面就介绍一下提取公因数的公式及其在实际中的应用。
一、提取公因数的公式在数学中，提取公因数的公式是这样的：将一组数中的公因数提出来，然后将这些数简化成更简单的形式。
下面是提取公因数的一些常用公式：1、a×b+c×b=(a+c)×b2、a×b+a×c=a×(b+c)3、a×b-c×b=(a-c)×b4、a×b-a×c=a×(b-c)5、a²-b²=(a+b)×(a-b)二、提取公因数的应用提取公因数的方法不仅可以简化计算，还可以在实际生活中得到应用。
1、代数式的化简在学习代数式时，经常需要对代数式进行化简，这时就需要利用提取公因数的方法，将代数式化简成更简单的形式，从而方便计算。
2、简化分式在计算分式时，也可以利用提取公因数的方法，将分子和分母中的公因数提出来，从而简化分式，使得计算更加方便。
3、求最大公因数在数学中，求最大公因数时，也可以利用提取公因数的方法，将一组数的公因数逐个提取出来，然后将这些公因数相乘，得到最大公因数。
4、应用于解方程在解方程时，如果方程中含有某些部分的公因数，可以通过提取公因数的方法，将方程化简成更简单的形式，从而方便解题。
总之，提取公因数是数学中基本的方法之一，它不仅可以简化计算，还可以方便地应用于实际问题中。
希望大家在学习数学时，能够掌握好提取公因数的方法，进一步提高自己的数学素养。
提取公因式
提取公因式这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。
注意相同因数的提取。
例如：0.92×1.41＋0.92×8.59=0.92×（1.41+8.59）借来借去法看到名字，就知道这个方法的含义。
用此方法时，需要注意观察，发现规律。
还要注意还哦,有借有还，再借不难。
考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。
例如：9999+999+99+9=9999+1+999+1+99+1+9+1—4拆分法顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。
这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。
分拆还要注意不要改变数的大小哦。
例如：3.2×12.5×25=8×0.4×12.5×25=8×12.5×0.4×25加法结合律注意对加法结合律(a＋b)＋c=a＋(b＋c)的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。
例如：5.76＋13.67＋4.24＋6.33=（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33)拆分法和乘法分配律结这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。
例如：34×9.9 = 34×(10－0.1)案例再现：57×101=？利用基准数在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。
例如：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21利用公式法(1) 加法：交换律，a+b=b+a,结合律，(a+b)+c=a+(b+c).(2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c,a-(b-c)=a-b+c,a-b-c=a-c-b,(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3):乘法（与加法类似）：交换律，a*b=b*a,结合律，（a*b）*c=a*(b*c),分配率，（a+b）xc=ac+bc,(a-b)*c=ac-bc.(4) 除法运算性质（与减法类似）：a÷(b*c)=a÷b÷c,a÷（b÷c)=a÷bxc,a÷b÷c=a÷c÷b,(a+b)÷c=a÷c+b÷c,(a-b)÷c=a÷c-b÷c.前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
小学数学辅导：提取公因数的方法-精选学习文档
小学数学辅导：提取公因数的方法【编者按】查字典数学网小升初为大家收集整理了小学数学辅导：提取公因数的方法供大家参考，希望对大家有所帮助!
提取公因数是我们小学数学中的要点，掌握这个要点知识，我们小学数学解题能力就能得到大大提高。
下面，我们就一起来了解一下小学数学中的这部分要点。
小学数学中的重点：提取公因数
【点拨】：乘法分配率的反应用，出错率比较高，一般包括三种类型。
(1)直接提取
例 3.6523+3.6577
【分析】：这道题比较简单，利用乘法分配律的反向应用，直接提取公因数3.65就行了。
【解答】原式=3.65(23+77)=3.65100=365
(2)省略1的题目
例6.3101-6.3
【分析】：把算式补充完整，6.3101-6.31，学生就很容易看出两个乘法算式中有相同的因数6.3
【解答】原式=6.3(101-1)=6.3100=630
(3)积不变规律(主要是小数点的变化)
例6.32.57+25.70.37
【分析】可根据乘法积不变性质，一个因数扩大，一个因数缩小相同的倍数，积不变把25.70.37转化成2.573.7，两部分就有了相同的因数2.57，创造出了可以用乘法分配律的条件。
【解答】原式=6.32.57+2.573.7=2.57(6.3+3.7)=25.7
以上这些就是小学数学中的提取公因式的方法，掌握这些重要的内容，我们的小学数学成绩才能不断提升。
因此，希望大家能够多多理解小学数学中的这些最为关键的重点内容。
提取公因式法则
提取公因式法则“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲提取公因式法则啊。
”提取公因式法则呢，简单来说就是把一个多项式中的公因式提取出来。
这就好比一堆水果里，有苹果、香蕉、橘子等，我们把它们共有的“水果”这个特点提取出来。
比如说，有一个多项式3x² + 6x，这里面 3x 就是公因式，我们就可以把它提取出来，写成 3x(x + 2)。
再比如4y³ - 8y²，公因式是4y²，提取后就是4y²(y - 2)。
提取公因式法则在很多数学问题中都非常有用。
给大家举个实际例子吧，比如计算25×36 + 25×14，我们就可以先把公因式 25 提取出来，得到25×(36 + 14)，这样计算起来就简单多了，先算括号里的 36 + 14 等于50，然后再乘以 25 就等于 1250。
在解方程中也经常用到这个法则。
比如方程 3x(x - 2) = 0，我们根据提取公因式后的式子，可以知道要么 3x = 0，要么 x - 2 = 0，这样就可以求出 x 的值了。
在因式分解中，提取公因式更是关键的一步。
比如要把6x³ - 9x² + 3x 进行因式分解，先提取公因式 3x，得到3x(2x² - 3x + 1)。
大家一定要熟练掌握提取公因式法则，它能让很多复杂的数学问题变得简单易懂。
在做题的时候，要仔细观察多项式，找到公因式并准确提取出来。
多做一些练习，你们就能越来越熟练啦。
就像学走路一样，刚开始可能会摇摇晃晃，但只要不断练习，就会越走越稳。
数学的学习也是如此，提取公因式法则就是我们数学道路上的一个重要工具，学会使用它，我们就能在数学的世界里走得更稳、更远。
同学们，加油哦！。
小学数学竞赛题乘除法巧算之提取公因式与组合思想
乘除法巧算之提取公因数与组合思想计算中的提取公因数法是近几年来数学解题能力展示、希望杯和小升初中经常考的题目，但是通过分析我们发现在考试中不仅仅是只考提取公因数这样简单的题。
这类题目往往是同和、差、积和商不变的性质进行解题。
常用的提取公因式的方法有三种：⑴直接提取公因数例如：35835335⑵逐步提取公因数例如：计算：200019991999199819981997199719961996199519951994⑶利用和、差、积和商不变性质和不变性质：如果一个加数增加(减少)一个数，另一个加数减少(增加)相同的数，它们的和不变；差不变性质：如果被减数增加(减少)一个数，减数也增加(减少)相同的数，则它们的差不变；积不变性质：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，它们的积不变；(零除外) 商不变性质：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变。
(零除外)例如：8115575【例1】计算：(259)(268) (295)【拓展】计算：781614531421841697816_________。
【例2】计算：⑴(873477198)÷(476874199)⑵512811192553719【拓展】计算：3143664439【例3】计算：⑴(迎春杯初赛)53574743⑵1994579121582449【拓展】计算：197634792409219521479【例4】计算：200820072006200620072008【拓展】计算：200820072006200620072008【例5】计算：333332332333332333333332____________。
【拓展】计算：19911992199219921992199119911991〖答案〗【例1】 35【拓展】3140000【例2】⑴1，⑵61850【拓展】 39400【例3】⑴1000，⑵1580000 【拓展】4811000【例4】 40140000【拓展】40140000【例5】 665【拓展】0。
小学数学总复习如何运用提取公因数巧算题目
小学数学总复习如何运用提取公因数巧算题目分数、小数、百分数混合运算是小升初考试中不容有失的一个考点，尤其是运用 "提取公因数"去巧算的题目，几乎每份试卷都有考到。
提取公因数，本身不难，但是出题人往往会千方百计去包装那些原本相同的公因数，让它们变得"难看"起来。
（1）小数点移动例：17.48×37－174.8×1.9＋1.748×820（工大附中入学）原式＝（17.48×37－17.48×19＋17.48×82）＝17.48×（37－19＋82）＝1748【小结】易看到括号里出现类似的数"1748"，根据积不变原理，移动小数点。
（2）小数扩缩倍例：4.18×35.2＋8.36×23.3＋2.09×36.4原式＝4.18×35.2＋4.18×46.6＋4.18×18.2＝4.18×（35.2＋46.6＋18.2）＝418【小结】乍一看，没什么相同或相似的数，再仔细看一看，不难看出，8.36、4.18和2.09之间有倍数关系，因此可以利用积不变原理将它们变相同。
（3）分子或分母互换【小结】虽然没有明显的公因数，但仔细观察后会发现每个乘积里面都有分子7和分母13，根据积不变原理，将分子互换。
（4）分数扩缩倍二、利用分小百互化包装只有熟记分母是2、4、5、8的最简真分数的分、小、百互化，才能火眼金睛看出公因数。
如：3/8＝0.375＝37.5% ；2又2/5 ＝2.4＝240%（1）基本题型（2）除法的包装【小结】见到分数除法，果断变乘，进而能看出公因数3.6（3）除法与带分数结合的包装（1）部分提取例：7.816×1.45＋1.69×7.816＋3.14×2.184（高新一中入学）原式＝7.816×（1.45＋1.69）＋3.14×2.184＝7.816×3.14＋3.14×2.184＝3.14×（7.816＋2.184）＝31.4【小结】前两个乘积里有明显的公因数7.816，但是无论怎么扩缩倍都无法在第三个式子里变出7.816，于是，此时就可以果断先把前两个乘积提取公因数看看。
分数小数混合提取公因数
分数小数混合指的是由整数部分、分数部分和小数部分组成的数，例如5 1/2或3.75。
提取公因数的方法是在分数和小数的分母或整数部分中找到公共因子，将其提取出来。
下面以一个例子说明如何提取公因数：
例如，将小数2.5和分数3/5的公因数提取出来。
Step 1：将小数2.5化成分数，即2.5 = 2 1/2。
Step 2：将分数3/5化成带分数形式，即3/5 = 0 3/5。
Step 3：提取整数部分和分数部分的公因数，即2和1/5都可以被5整除，因此公因数为5。
Step 4：提取小数部分和分数部分的公因数，即1/2和3/5都可以被1/10整除，因此公因数为1/10。
Step 5：将公因数乘以原数的系数得到最简形式的分数或小数，即(2 1/2) × 5 = 12 1/2和0.3 × (3/5) = 0.18。
因此，小数2.5和分数3/5的公因数为5和1/10，提取后分别得到最简形式的分数12 1/2和0.18。
需要注意的是，在实际应用中，需要根据具体情况选择提取公因数的方法，可以从分子、分母、整数部分或小数部分入手，将其化简后再进行计算，以便得到最简形式的结果。
提取公因式、拆分法、加法结合律、利用公式法、利用基准数等小学数学简便算法方法归类和计算技巧
提取公因式、拆分法、加法结合律、利用公式法、利用基准数等小学数学简便算法方法归类和计算技巧提取公因式方法是运用乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。
注意相同因数的提取。
例如：0.92×1.41＋0.92×8.59=0.92×（1.41+8.59）借来借去法例如：9999+999+99+9=9999+1+999+1+99+1+9+1—403拆分法是为方便计算把一个数拆成几个数，分拆还要注意不要改变数的大小。
例如：3.2×12.5×25=8×0.4×12.5×25=8×12.5×0.4×25加法结合律注意对加法结合律(a＋b)＋c=a＋(b＋c)的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。
例如：5.76＋13.67＋4.24＋6.33=（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33)拆分法和乘法分配律结这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。
例如：34×9.9 = 34×(10－0.1)案例再现：57×101=57×（100+1）利用基准数在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。
例如：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21利用公式法(1) 加法：交换律，a+b=b+a,结合律，(a+b)+c=a+(b+c).(2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c,a-(b-c)=a-b+c,a-b-c=a-c-b,(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3):乘法（与加法类似）：交换律，a*b=b*a,结合律，（a*b）*c=a*(b*c),分配率，（a+b）xc=ac+bc,(a-b)*c=ac-bc.(4) 除法运算性质（与减法类似）：a÷(b*c)=a÷b÷c,a÷（b÷c)=a÷bxc,a÷b÷c=a÷c÷b,(a+b)÷c=a÷c+b÷c,(a-b)÷c=a÷c-b÷c.前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
第一讲 小数巧算二
contents 目录第一讲 小数巧算二 01页第二讲 生活中的小数 07页第三讲 除法我最快 13页第四讲 因数与倍数 21页第五讲 质数与合数 29页第六讲 加乘原理进阶 37页第七讲 期中复习第八讲 多边形的面积三 45页第九讲 公因数与公倍数 53页第十讲 分数比较大小 63页第十一讲 乔治的火车 71页第十二讲 割补法巧算面积一79页第十三讲 割补法巧算面积二87页第十四讲 鲨鱼的牙齿 93页第十五讲 期末复习第一讲 小数巧算二1、乘法分配律2、提取公因数知识精讲小数的四则混合运算和整数四则混合运算的顺序是相同的，计算时要注意先算乘除法，后算加减法，有括号的要先算括号内的，在小数的四则混合运算中，乘法分配律是常见的一种巧算方法.例如：()2.540.4 2.54 2.50.410111⨯+=⨯+⨯=+=.例1 计算：（1）1.25×8.88； （2）2.5×4.4.练1 计算：（1）2.5×4.88； （2）12.5×0.82.例2 计算：（1）7.6×10.1； （2）4.75×9.9.练2 计算：（1）2.5×1.02； （2）12.5×9.8.知识精讲当算式中含有共同的因数时，可以逆用乘法分配律，把公因数提取出来，这就是提取公因数.在小数计算中，同样也可以通过提取公因数来简化计算.例如：2.7×4.6+2.7×5.4=2.7×（4.6+5.4）=2.7×10=27.例3 计算：2.4×6.5+2.4×4.3+7.6×10.8.练3 计算：2.2×3.5+2.2×2.1+5.6×7.8.例4 计算：（1）3.6×9.9+0.36； （2）0.47×0.46-4.7×0.045.练4 计算：（1）8.4×10.1-0.84； （2）20.18×5.7+201.8×0.43.挑战极限计算：19.94×20.17-19.93×20.18.第二讲生活中的小数错中求解知识精讲错中求解的这类题型一般是采用倒推的方法，从错误的结果入手分析造成错误的主要原因. 在加减法中，利用和与差的变化规律反求加数或者被减数、减数；在乘除法中，利用积与商的变化规律反求出因数或者被除数、除数.例1 小高在计算一道小数加法计算题时，把一个加数的十分位上的6看成了9，另一个加数百分位上的9看成了6，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？练1 萱萱在计算一道小数加法计算题时，把一个加数的百分位上的2看成了5，另一个加数十分位上的1看成了7，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？例2 亮亮在计算一道小数减法计算题的时候，把被减数的十分位上的3看成了5，把减数百分位上的1看成7，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？练2 佳佳在计算一道小数减法计算题的时候，把被减数百分位上的9看成了6，把减数十分位的0看成8，那么错误的答案和正确的答案之间相差多少？例3 墨莫在计算小数乘法算式的时候，把其中的一个因数1.7看成是17，计算的结果比实际的结果大19.89，那么正确的乘积应该是多少？练3 萌萌在计算一道小数乘法算式的时候，把其中的一个因数2.3看成是23，计算的结果比实际的结果大31.05，那么正确的乘积应该是多少？例4 阿呆在写一个两位小数时，不小心把小数点漏了，结果得到的数比原数大72.27，那么这个两位小数是多少？练4 阿瓜读一个一位小数时，不小心漏读了小数点，结果比原来多6.3，那么原来的小数是多少？挑战极限买3支铅笔和2支钢笔共用11.45元，如果买2支铅笔和3支钢笔则共用16.8元，那么买1支铅笔和1支钢笔各用多少元？第三讲除法我最快1、整除的概念和特殊数的整除特性2、数字求和法3、多个数的整除问题知识精讲如果整数a除以整数b（0b ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b a.如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说6不能整除a.如果自然数a和b都能被自然数c整除，那么，它们的和“a+b”或差“a- b”也能被c 整除. 例如：60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60-40=20也能被5整除.知识精讲（1）能被2，5整除的数的特性：个位数字能被2或5整除；（2）能被4，25整除的数的特性：末两位能被4或25整除；（3）能被8，125整除的数的特性：末三位能被8或125整除.例1 （1）判断下面6个数的整除性：23480，34375，97500，5880，7538，6512，哪些数能被4整除？哪些数能被125整除？（2）爸爸买了一张写字桌，发票上破了一个洞，上面只剩下“148”，其中方框表示破了的洞. 爸爸记得这张写字桌的价格是整数元，并且是8的倍数，请问：这张写字桌的价格可能是多少元呢？练1 （1）判断下面6个数的整除性：3415，7560，3400，45235，5886，7300，哪些数能被8整除？哪些数能被25整除？（2）在370的方框内填入数字，使它能被125整除，那么方框内可以填入的数字是多少？ 知识精讲能被3，9整除的数的特性：各位数字之和能被3或9整除.以一个三位数为例说明一下：一个三位数ABC ，可以拆成()10010999ABC A B C A B A B C =++=++++，因为“999A B +”是3的倍数，所以只要让“()A B C ++”是3的倍数就可以，故得出结论：如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除.对于一个数位特别多的数来说，用数字求和法比较麻烦，可以直接用“弃三法”或“弃九法”来计算，即可以先抛弃数字3或9的倍数，然后再把剩余的数字求和.例2 （1）判断下面6个数的整除性：87563，31209，64653，403659，198954，1112884，些数能被3整除？哪些数能被9整除？（2）173是一个四位数，张老师说：“我在方框内填入1个数字，使得这个四位数能被9整除.”请问：张老师在方框中填入的数字可能是多少？练2 （1）判断下面6个数的整除性：3124，31206，382113，527689101，55554444，12030456，哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（2）在52后面添上一个一位数，使得组成的三位数是3的倍数. 请问：添上的这个一位数可能是多少？知识精讲我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题. 如果涉及多个数的整除问题，我们应该先单独考虑，再找到能同时满足题意的答案，例如：一个数既能被5整除，又能被3整除，可先看满足被5整除的数的特性，确定尾数，再看能被3整除的数的特性.若一个数能被45整除，由45=5×9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.注意虽然45=3×15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除，因为15同时满足既是5的倍数，又是3的倍数，但是15不是45的倍数，所以把一个大数分拆成两个数时，这两个数一定要互质.例3 一个六位数134ABC 能同时被2、3、5整除. 请问：这个六位数最大是多少？ 练3 一个五位数55ABC 能同时被2、3、5整除. 请问：这个五位数最大是多少？例4 王厂长给72名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上. 但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“345”，其中方框表示破了的洞. 王厂长记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元. 请问：这72名工人的总工资有可能是多少元呢？练4 五位数397能被15整除，请问：这个五位数最大是多少？挑战极限判断1234567891011……484950这个多位数能否被9整除？第四讲因数与倍数1、因数与倍数的定义2、因数个数定理知识精讲一、因数与倍数的定义b b≠，如果a b，我们就称a是b的因数，b是a的因数和倍数的定义：对整数a和()0倍数.在算式24=4×6中，24是4和6的倍数，4和6是24的因数，根据定义，我们很容易找到一个数的所有因数，例如对12：因为12=1×12=2×6=3×4，可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的因数有1、2、3、4、6、12，共6个.找一个数的因数的方法，可以列乘法算式，从1开始一对一对地找. 一个数的因数个数是有限个，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身.找一个数的倍数的方法，用这个数和任意一个自然数（不为0）相乘，所得的乘积就是这个数的倍数. 一个数的倍数个数是无限个，最小的倍数就是这个数本身.从上面“12”的分拆可以看出，因数具有“成对出现．．．．”的特征，也就是：最大因数对应最小因数、第二大因数对应第二小因数等. 所以在写一个数的所有因数时，可以逐对写出. 另外如果计算较大因数不太方便，可以转而计算与其成对的较小因数.例1 松鼠妈妈摘了36颗松子，现在要把这些松子平均分堆（至少分成2堆），要求每堆不能少于4颗. 请问：共有多少种不同的分法？练1 李师傅要把一根长40米的木材平均锯成小段（至少据成2段），要求每段至少长3米.请问：共有多少种不同的锯法？例2 334455的第二大因数是多少？第三大因数是多少？练2 345678的第二大因数是多少？第三大因数是多少？知识精讲二、找因数个数通过枚举的方法可以逐对写出一个数的所有因数，从而算出它的因数个数. 但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算.以72为例，首先采用校举可知72共12个因数，分别为1，72；2、36；3、24；4、18；6、12；8、9. 因为72的因数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有：32=⨯，那么72的所有因数应当由若干个2与若干个3构成. 显7223然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的因数共4×3=12个，见下表（注意00、）：2131==从72的这个例子，我们可以总结出计算因数个数的一个简单做法：因数个数：等于质因数的指数加1再相乘.例：2357a b c M =⨯⨯⨯，M 的因数个数为：(1)(1)(1)(11)a b c +⨯+⨯+⨯+.若一个数是质数，那么它只有两个因数，就是1与自身.一个数的因数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个因数，根据上面关于因数个数的知识我们可以知道，有奇数个因数的数一定是平方数，有偶数个因数的数一定不是平方数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 例3 下列各数分别有多少个因数？（1）23； （2）64； （3）75； （4）225.练3 下列各数分别有多少个因数？（1）18； （2）47； （3）243； （4）196.例4 在不超过800的正整数中，有多少个数有奇数个因数？有多少个数有偶数个因数？ 练4 在不超过400的正整数中，有多少个数有奇数个因数？有多少个数有偶数个因数？ 挑战极限3600共有多少个因数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？第五讲 质数与合数1、质数与合数的定义2、分解质因数知识精讲一、质数与合数的定义什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：6=2×3，8=2×4=2×2×2，12=2×6=3×4=2×2×3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数，而像2，3，7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘的形式的数，我们称之为质数. 如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数.严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数. 注意，1既不是质数也不是合数.例1 （1）自然数N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字相差2，这样的自然数有哪些？（请全部写出）（2）自然数N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有哪些？（请全部写出）练1 （1）有这样的两位质数，个位和十位交换之后还是质数，这样的质数有哪些？（请全部写出）（2）用数字2、3和5，可以得到不同的一位数、两位数和三位数，这些数中质数有哪些？（请全部写出）例2 （1）两个不同的质数的和是21，那么这两个质数可能是多少？（请全部写出）（2）三个互不相同的质数的和是22，那么这三个质数的乘积可能是多少？（请全部写出） 练2 （1）两个不同的质数的和是28，那么这两个质数的乘积可能是多少？（请全部写出）（2）三个互不相同的质数的和是24，那么这三个质数的乘积可能是多少？（请全部写出） 知识精讲二、分解质因数我们知道了质数与合数的概念，每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，比如30=2×3×5. 其中质数2、3、5，我们称之为30的质因数，那么这个分拆的过程就叫做分解质因数. 同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的.我们一般使用短除法来分解质因数. 如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.100在分解质因数时可以写成：22=⨯；280在分解质因数时可以写成100253=⨯⨯. 这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作280257指数，如：这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略.例3 请把下面的数分解质因数：（1）100；（2）88；（3）75；（4）360.练3 请把下面的数分解质因数：（1）40；（2）63；（3）175；（4）150.例4 甲、乙、丙三人的年龄乘积为84，其中甲、乙的年龄和正好等于丙的年龄，且甲比乙大. 请问：这三人的年龄分别是多少岁？练4 大毛、二毛、三毛这三人去图书馆买书，已知他们买书的本数刚好是3个相邻自然数，且乘积是210. 请问：三人共买了多少本书？挑战极限甲、乙两人的年龄和为一个两位质数，这个数的个位数字与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？第六讲加乘原理进阶1、标数法2、染色法知识精讲如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数，这就是加法原理. 如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数，这就是乘法原理.对于加乘原理，要深刻理解它的基本思想和基本原则.加法原理又叫分类计数原理，在分类时要注意不重不漏. 可以用树形图来帮助理解加法原理，树形图的每一次分叉，就是在分类，要计算总的方法数，就是把每一个分枝下的方法数加起来，这便是加法原理；树形图虽然有助于我们解决加法原理问题，但是有时候树形图过于复杂，可操作性差，此时，我们就把树形图加以简化，保留其加法原理核心，用数字来表示其各个分支，我们称之为标数法，标数法是加法原理的重要运用，有利于帮助我们解决较为复杂的加法原理问题.例1 如图所示，鑫鑫想从A地去B地玩，那么有多少条最短路线？练1 如图所示，墨莫要从A地飞到B地，那么有多少条最短路线可以选择？例2 在如图的街道示意图中，只能沿着格线前进，C处因施工不能通行，那么从A到B的最短路线有多少条？练2 “五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去动物园玩. 如果A点因为施工无法通行，那么聪明的小朋友，你能找出几条从家到动物园的最短路线呢？知识精讲乘法原理又叫分步计数原理，在分步时要注意“前不影响后”. 染色问题是应用乘法原理最常见的一类题型，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”.例3 如图，用四种颜色对四个部分进行染色，要求相邻部分不同色，那么有多少种不同的染色方法？练3 如果用四种颜色对如图所示的四个区域进行染色，要求相邻部分不同色，那么有多少种不同的染色方法？例4 如图，把A、B、C，D、E这五部分用4种不同的颜色染色，每部分只染一种颜色且相邻的部分不能使用同一种颜色. 请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？练4 用3种颜色去涂如图所示的蝴蝶的5个区域，要求每相邻两个区域不同色，那么一共有多少种涂法？挑战极限用四种颜色对如图所示的区域进行染色，要求有线段连接的两个圆圈不同色，那么共有多少种不同的染法？第八讲多边形的面积三1、三角形反求底高问题2、梯形底高反求问题3、特殊图形的面积求法知识精讲回顾基本直线形的面积公式：正方形的面积=边长×边长；长方形的面积=长×宽；平行四边形的面积=底×高；三角形的面积=底×高÷2；梯形的面积=（上底+下底）×高÷2.在三角形中：（1）反求高：高=三角形面积×2÷底；（2）反求底：底=三角形面积×2÷高.这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的.需要注意的是，反求三角形的底或高时，切记首先三角形面积要“×2”.例1 如图，在平行四边形ABCD中，三角形BEF的面积为44平方厘米，BF长为11厘米，FC长为3厘米. 请问：平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？练1 如图，直角梯形ABCD的上底是6厘米，下底是10厘米，三角形ACD的面积是21平方厘米. 请问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？知识精讲在梯形中：（1）反求高：高=梯形的面积×2÷（上底+下底）；（2）反求上底：上底=梯形的面积×2÷高-下底；（3）反求下底：下底=梯形的面积×2÷高-上底.需要注意的是，反求梯形的底或高时，切记首先梯形面积要“×2．．”.例2 如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是13厘米，梯形ABCD的面积是48平方厘米. 请问：三角形ABE的面积是多少平方厘米？练2 如图，直角梯形ABCD的高是6厘米，下底是12厘米，梯形ABCD的面积是51平方厘米. 请问：三角形ABE的面积是多少平方厘米？知识精讲如果只知道正方形的对角线长，不知道边长，该如何求出正方形的面积呢？如下图，我们把正方形沿对角线剪成两个一样的等腰直角三角形，再拼接成一个大的等腰直角三角形，总面积没有发生改变，由此可以得出正方形面积公式：正方形面积=对角线的平方÷2.类似地，只知道等腰直角三角形的斜边长，不知道直角边长，也能求出等腰直角三角形的面积：等腰直角三角形的面积=斜边的平方÷4.从图中我们也可以看出，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，而且斜边上的高还把等腰直角三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形.例3 两个等腰直角三角形如图所示摆放，恰好拼成一个直角梯形，已知较小的等腰直角三角形斜边长为8厘米. 请问：这个直角梯形的面积是多少平方厘米？练3 如图所示是一个由正方形ABCD和等腰直角三角形BCE组成的梯形，BD长4厘米. 请问：这个梯形的面积是多少平方厘米？例4 四个等腰直角三角形拼成如图所示的平面图形，已知最小的等腰直角三角形斜边长为2厘米. 请问：该图形的面积是多少平方厘米？练4 三个等腰直角三角形拼成如图所示的平面图形，已知最小的等腰直角三角形斜边长为4厘米. 请问：该图形的面积是多少平方厘米？挑战极限如图，梯形ABCD 的上底AD 长5厘米，下底BC 长12厘米，腰CD 的长为8厘米. 过B 向CD 作出的垂线BE 的长为9厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？第九讲 公因数与公倍数 1、短除法 2、分解质因数3、公因数与公倍数的应用 知识精讲一、短除法公因数就是几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数；公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数. 特别的，1为所有数的公因数.1、2、3和6都是24和30的公因数，6是最大公因数. 可以发现1、2、3和6都是6的因数.12和18的公倍数有36、72、108、……，36是最小公倍数. 可以发现36、72、108及其他公倍数都是36的倍数.通常，我们把两个数a ，b 的最大公因数记为（a ，b ）；a ，b 的最小公倍数记为[]a b ，.三个数a ，b ，c 的最大公因数记为（a ，b ，c ）；a ，b ，c 的最小公倍数记为[]a b c ，，. 如：14和21的最大公因数是7，记作：（14，21）= 7；14和21的最小公倍数是42，记作：[]142142=，. 15、10、21的最大公因数是1，记作：（15，10，21）=1；15、10、21的最小公倍数是210，记作：[]151021210=，，. 若两个数互质，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积；若两个数成倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大的那个数.在现实生活中我们常常关心几个数的最大公因数和最小公倍数，那么我们怎样来求几个数的最大公因数和最小公倍数呢？除了直接枚举之外，最常用的方法是“短除法"．例1 填空：（1）16与24共有________个公因数； （2）（12，18）=________ ，[12，18] =________； （3）（15，30）=________，[15，30] =________； （4）（6，7，8）=________，[6，7，8] = ________. 练1 填空：（1）30与50共有________个公因数； （2）（6，9）=________，[6，9] =________； （3）（5，8）=________，[5，8] =________； （4）（4，5，6，7）=________，[4，5，6，7] =________. 知识精讲二、分解质因数法分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成.例2 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.（1）120和200（2）25、30和40练2 利用分解质因数法找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.（1）512和80（2）32、60、84和256知识精讲三、公因数与公倍数的应用学习了如何求公因数与公倍数，接下来看一下在实际生活中如何运用公因数与公倍数解决问题.例3 老师在班上发水果，一共有78个苹果，95个梨，平均分给班上的学生，最后剩下6个苹果，5个梨，请问：班里可能有多少名学生？练3 把一块长80厘米，宽64厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，小正方形的边长都是整厘米数. 请问：小正方形的边长可能是多少厘米？例4 小高每6天去一趟图书馆，豆豆每4天去一趟图书馆，已知6月1日两人在图书馆遇到了. 请问：下一次两人在图书馆遇到是6月几日？练4 有一个电子钟，每走8分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯. 请问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？挑战极限两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，其中一个数是54.请问：另一个数是多少？第十讲分数比较大小1、通分比大小2、交叉相乘法3、分数比较大小的应用知识精讲一、通分子、通分母我们知道分数的意义是：把“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数. 易知：如果两个分数分母相同，分子越大分数越大.如果两个分数分子相同，分母越大分数越小.如果两个分数分子和分母都不同，我们应该怎么比较它们的大小呢？最常用的方法是利用分数的基本性质把它们化成分母相同或分子相同的分数.例1（1）把4个数713114110201560、、、，由小到大排列起来；（2）把4个数，510255013275177、、、由小到大排列起来.练1 （1）把4个数1331612315459030、、、由小到大的排列起来；（2）把4个数5631111352、、、由小到大的排列起来.例2 （1）在不等式1121243>>的方框中填入一个自然数，使得不等式成立；（2）在不等式3515529>>的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.练2 （1）在不等式1151296>>的方框中填入一个自然数，使得不等式成立；（2）在不等式236513<<的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.知识精讲二、交叉相乘法比较1316和2127的大小，可以先把它们通分，变成分母相同的分数：13271627⨯⨯和21162716⨯⨯，然后再比较分子的大小：13272116⨯>⨯，所以1321 1627>.因为最后比较的是两个乘积，因此这个方法也被称为“交叉相乘法”. 要比较两个分数，只需要将这两个分数的分子分别与另一个分数的分母相乘，比较两个乘积的大小，分子所在．．．．的乘积大．．．．，则分数就大．．．．．. 例如比较58和813的大小，因为51388⨯>⨯，58的分子所在的乘积大，所以58 813 >.例3 比较下列分数的大小：（1）817与1120；（2）1316与1922.练3 比较下列分数的大小：（1）1519与1317；（2）1621与1419.知识精讲三、分数比较大小的应用除了我们介绍的方法外，比较分数大小还有许多其它的巧妙方法，但这些巧妙方法都需要我们多观察，看出题目中分数的特点，针对分数的特点来使用.例4 （1）若甲的45等于乙的56，那么甲、乙谁比较大？（2）已知891091011a b c+=+=+，把a、b、c由小到大排列起来.（3）已知345276X Y Z⨯=⨯=⨯，把X、Y、Z由小到大排列起来.练4 （1）若甲的67等于乙的78，那么甲、乙谁比较大？（2）已知57117913a b c+=+=+，把a、b、c由小到大排列起来.（3）已知7107394X Y Z⨯=⨯=⨯，把X、Y、Z由小到大排列起来.挑战极限（1）把3个数9151971316、、由小到大排列起来.（2）把3个数191431117、、由小到大排列起来.第十一讲乔治的火车1、火车过桥2、火车与人的相遇和追及知识精讲我们之前已经学习了基本行程问题，明确了速度、时间和路程这三个量之间的关系：。
(2021年整理)提取公因数——常用计算技巧[1]1
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提取公因数——常用计算技巧【例1】计算（1)2.005×390＋20。
05×41＋200。
5×2＝200.5×3.9＋200.5×4。
1＋200。
5×2 （利用了积不变的性质）＝200.5×（3。
9＋4.1＋2）＝200。
5×10＝2005（2）12.5÷3.6－7÷9＋8。
3÷3。
6＝125÷36－28÷36＋83÷36 （用到了商不变的性质)＝（125－28＋83）÷36＝180÷36＝5（3）8。
1×1。
3－8÷1.3＋1。
9×1.3＋11。
9÷1.3＝（8.1＋1.9)×1。
3＋(11。
9－8）÷1。
3＝10×1。
3＋3.9÷1.3＝13＋3＝16【例2】计算（1）2003×2001÷111＋2003×73÷37＝2003×(2001÷111＋73÷37）（用到了商不变的性质）＝2003×（667÷37＋73÷37)＝2003×[（667＋73）÷37］＝2003×［740÷37]＝2003×20＝40060（2）412×0。
(2021年整理)四年级小数巧算
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四年级小数巧算掌握关键点：一、加减法凑整（尾巴凑整，加补凑整，基准数凑整）二、乘法1，找好朋友2×5=10, 4×25=100, 8×125=10002,提取公因数直接提间接提二次提三、换元法1，换短不换长，中间随便换2,固定公式:有头无尾×无头有尾-有头有尾×无头无尾=头×尾练习：加补凑整1.9+1。
99+1.999+1.9999=2-0。
1+2-0.01+2—0.001+2-0。
0001=...尾巴凑整36。
14+36.86+35.45+35.55=（36.14+36。
86）+(35。
45+35。
55)=。
.。
找好朋友1.5×32×1。
25×7=1.5×4×8×1.25×7=(1。
5×4）×(8×1.25）×7=.。
25×3.6×2。
4×1.25=25×4×0.9×0。
3×8×1。
25=（25×4）×0.9×0。
3×(8×1.25）=。
.直接提取公因数4.2×32—4.2×17+4.2×85=4.2×（32-17+85）=4。
小数巧算-教师版
小数巧算第一部分：教学目标本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。
要求学生熟记运算规则和运算定律，并在计算中运用凑整、分组和提取公因数的技巧。
并能够口算！第二部分：知识介绍一、基本运算律及公式⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：()()++=++a b c a b c⑶乘法交换律：a b b a⨯=⨯⑷乘法结合律：()()⨯⨯=⨯⨯a b c a b c⑸乘法分配律：()⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）a b c a b a c⑹减法的性质：()--=-+a b c a b c⑺除法的性质：()÷⨯=÷÷a b c a b c+÷=÷+÷a b c a c b c()-÷=÷-÷()a b c a c b c上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）三、乘除法中的速算与巧算思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如：425100⨯=⨯=，81251000⨯=，520100⨯=（去8数，重点记忆）123456799111111111⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）711131001四、小数的四则混合运算思想核心：提取公因数。