专题01_一元二次方程的基础(知识点串讲)(解析版)
一元二次方程知识点串讲
一元二次方程知识点串讲
一元二次方程考点及对策
1)易错点：首先一定要看题目中有无“一元二次方程”六个字，确
定是否需要讨论a=0的情况；
2)讨论根的情况：判别式
3)讨论整数根问题：
a)90%的都可以进行因式分解
b)不能因式分解的，△一定是完全平方式
c)可以设△=k2，左边配方，利用平方差公式来解决。
4）两根问题：
a)根与系数的关系的应用（即韦达定理）
b)根的分布与函数不等式的几何：画图，数形结合来解决
c)构造一元二次方程：有两数和，两数积，可以你用韦达定理构
造一元二次方程，利用有根的考点来解决
以上是关于一元二次方程的常用考点总结，考点记住并不代表你会解题，所以多看多想多练是你必须要做的。
一元二次方程练习（自己找考点）
例1：关于x的方程(a－1)x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有______个
例2：若一直角三角形两直角边的长为a、b(a≠b)均为整数，且满足
求这个直角三角形三边的长
例3：已知二次函数y=(k 2-1)x 2-(3k-1)x+2
(1)二次函数的顶点在x 轴上，求k 的值；
(2)若二次函数与x 轴的两个交点A 、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k 为整数时，求A 、B 两点的坐标
2
4a b m ab m +=+⎧⎨=⎩。
九年级一元二次方程讲解
九年级一元二次方程讲解一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
- 例如方程x^2+3x - 1 = 0，这里a = 1，b=3，c=-1。
二、一元二次方程的解法。
（一）直接开平方法。
1. 适用情况。
- 对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的一元二次方程，可以使用直接开平方法求解。
2. 解题步骤。
- 例如方程(x - 2)^2=9。
- 第一步，直接开平方得x - 2=±3。
- 第二步，分别求解两个一元一次方程：- 当x - 2 = 3时，解得x=5。
- 当x - 2=-3时，解得x=-1。
（二）配方法。
1. 适用情况。
- 所有的一元二次方程都可以用配方法求解。
2. 解题步骤。
- 以方程x^2+6x - 1 = 0为例。
- 第一步，移项，把常数项移到等号右边，得到x^2+6x = 1。
- 第二步，配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方。
一次项系数b = 6，一半为3，平方后为9，则x^2+6x+9 = 1 + 9，即(x + 3)^2=10。
- 第三步，用直接开平方法求解，x+3=±√(10)，解得x=-3±√(10)。
（三）公式法。
1. 一元二次方程的求根公式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 解题步骤。
- 例如方程2x^2-5x+1 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 1。
- 第一步，计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。
- 第二步，代入求根公式x=(5±√(17))/(4)。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点一元二次方程，是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0，x为未知数。
一元二次方程是高中数学的重要内容之一，了解一元二次方程的知识点对于解决相关问题非常有帮助。
一、解的个数和性质：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解的个数和性质与判别式有关。
判别式Δ = b^2 - 4ac，根据Δ的值可以得出以下结论：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
二、求解过程：求解一元二次方程的过程包括以下几个步骤：1. 化简方程，将方程整理成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 判断方程的根的个数。
根据判别式Δ的值可以判断根的个数。
3. 根据根的个数分别求解：(1) 当方程有两个不相等的实根时，可以应用求根公式：x = (-b ± √Δ) / 2a。
(2) 当方程有两个相等的实根时，可以将方程化简为(x -x1)^2 = 0的形式，解得x = x1。
(3) 当方程没有实根时，可应用虚数解的概念，解的形式为x = (-b ± i√|Δ|) / 2a，其中i是虚数单位。
三、一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)。
四、应用：一元二次方程的应用非常广泛，尤其在物理学和工程学中。
例如，在抛体运动中，物体的运动轨迹可以用一元二次方程描述；在工程设计中，一元二次方程可以用于求解最优化问题，如求解最大面积或最小成本等。
总之，掌握一元二次方程的知识点对于高中数学的学习非常重要。
需要熟练掌握求解一元二次方程的方法，并能灵活应用于实际问题的解决中。
同时，理解一元二次方程的图像及其性质，能够更好地理解方程的几何意义和应用背景。
(完整word版)一元二次方程知识点以及考点分析
一元二次方程一、本章知识构造框图实质问题设未知数，列方程数学识题ax 2bx c 0(a 0)解方降程次开平方法配方法公式法分解因式法数学识题的解实质问题的答案bb 2 4ac检验x2a二、详细内容（一）、一元二次方程的观点1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确辨别一元二次方程中的各项及各项的系数（ 1）让学生明确只有当二次项系数 a 0 时，整式方程ax2bx c0 才是一元二次方程。
（2）各项确实定 (包含各项的系数及各项的未知数).（3）娴熟整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与查验一元二次方程的解4．列出实质问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，进而把一元二次方程转变为一元一次方程求解；2．依据方程系数的特色，娴熟地采用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．领会不一样解法的互相的联系；4．值得注意的几个问题：(1) 开平方法：对于形如x 2n或 (ax b) 2 ( 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未n a知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如 x2 n 的方程的解法：当 n 0 时， x n ;当 n 0 时，x1x20 ;当 n0 时，方程无实数根。
（ 2）配方法：经过配方的方法把一元二次方程转变为( x m) 2n 的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左侧，常数项移到方程的右侧；②“系数化1”：依据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加前一次项系数一半的平方，把方程变形为( x m)2 n 的形式；④求解：若 n 0 时，方程的解为x m n ，若n 0时，方程无实数解。
（ 3）公式法：一元二次方程ax2 bx c 0( a 0) 的根 x b b 2 4ac2a当 b2 4ac 0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当b2 4ac 0 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1 x2 b ；2a当b2 4ac 0 时，方程无实数根 .公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确立a, b, c 的值；③代入 b2 4ac上当算其值，判断方程能否有实数根；④若b24ac0 代入求根公式求值，不然，原方程无实数根。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复考点1：一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程。
一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）。
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程，两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
解法为x1=-a+√b，x2=-a-√b。
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b2-4ac))/2a（b2-4ac≥0）。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。
理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
因式分解的方法有提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2-4ac＜0，则方程无解。
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。
这类方程的解法和性质是中学数学的重要内容，以下是一元二次方程的主要知识点：1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
2. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）。
3. 一元二次方程的解：满足方程的未知数的值。
4. 判别式：Δ=b²-4ac，用于判断一元二次方程的根的情况。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即一个重根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
5. 根的求法：- 直接开平方法：当Δ≥0时，可以通过开平方得到方程的根；- 配方法：将方程转化为完全平方的形式，然后开方求解；- 因式分解法：将方程左边因式分解，然后解出x的值；- 公式法：使用求根公式x=(-b±√Δ)/2a求解方程的根。
6. 根与系数的关系：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁和x₂，则有x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
7. 一元二次方程的应用：一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，如物理中的运动学问题、工程中的优化问题等。
8. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标和对称轴与判别式和系数有关。
9. 一元二次方程的分类讨论：在解决实际问题时，需要根据判别式的值对方程的根进行分类讨论。
10. 一元二次方程的转化思想：在解决复杂问题时，可以将一元二次方程转化为一元一次方程或更简单的形式来求解。
以上是一元二次方程的主要知识点，掌握这些内容对于解决相关问题至关重要。
一元二次方程的解法 (知识点考点串编)八年级数学下学期核心考点精讲精练(沪科版)(解析版)
专题05 一元二次方程的解法（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·重庆涪陵·九年级期末）方程29x =的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =-D ．13x =，23x =- 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用开方法求解即可． 【详解】©知识点一：直接开平方法技巧：把方程ax 2+c ＝0(a ≠这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
解：29x =，解得：13x =，23x =-， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握直接开方法求解．练习1．（2022·北京丰台·九年级期末）若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个解为0x =，那么m 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．1或-1【答案】A 【解析】 【分析】将0x =代入方程，得到关于m 的一元二次方程，解方程求解即可，注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个解为0x =，∵210,10m m -=-≠1m ∴=- 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．练习2．（2021·四川南充·一模）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（ ）A ．1213x x == B ．1229x x == C ．1220,9x x == D ．1220,9x x ==-【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x-=，911x∴-=或911x-=-，解得10x=，22 9x=，故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习3．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或15【答案】C【解析】【分析】先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【详解】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．练习4．（2022·广东白云·九年级期末）解方程：()23250x+-=【答案】x 1=2，x 2=-8 【解析】 【分析】先把方程变形为解（x +3）2=25，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】 解：（x +3）2=25， ∵x +3=±5，解得：x 1=2，x 2=-8． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．例．（2022·甘肃麦积·九年级期末）将一元二次方程2850x x +-=化成()2x a b+=（,a b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．－4，21 B ．－4，11C ．4，21D ．－8，6【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．©知识点二 配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax 2+bx ＝-c ；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如X ²＋解：∵x 2+8x -5=0， ∵x 2+8x =5，则x 2+8x +16=5+16，即（x +4）2=21， ∵a =4，b =21， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．练习1．（2022·海南海口·九年级期末）用配方法解方程2430x x --=，下列配方正确的是（ ） A ．()227x -= B ．()227x +=C ．()223x -=D ．()221x -=【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果． 【详解】方程移项得 243x x -=方程两边同时加上4，得 24434x x -+=+ 即2(2)7x -= 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．练习2．（2022·山西山阴·九年级期末）用配方法解方程2650x x --=时，配方后的方程是（ ） A ．2(3)4x -= B ．2(3)14x -= C ．2(3)31-=x D ．2(3)14x +=【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可．解：2650--=x x移项得：265-=，x x配方得：26914-+=，x xx-=合并得：()2314故选：B．【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．练习3．（2022·广东禅城·九年级期末）一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化为（）A．（x﹣4）＝19B．（x＋4）＝﹣19C．（x﹣4）2＝11D．（x＋4）2＝16【答案】C【解析】【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：∵2850-+=x x∵281611-+=x x∵()2411x-=故选C．【点睛】本题考查了配方法．解题的关键在于熟练使用配方法．练习4．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）选择合适的方法解方程：(1)x2﹣4x＝2；(2)3(x﹣5)＝x2﹣25．【答案】(1)x1＝6，x2＝26(2)x1＝5，x2＝﹣2【解析】（1）利用配方法直接求解即可； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． (1) ∵x 2﹣4x ＝2∵x 2﹣4x +4＝2+4，即(x ﹣2)2＝6 ∵x ﹣2＝6∵x 1＝6x 2＝26 (2)∵3(x ﹣5)＝x 2﹣25， ∵3(x ﹣5)﹣(x +5)(x ﹣5)＝0， ∵(x ﹣5)(3﹣x ﹣5)＝0， ∵x ﹣5＝0或﹣x ﹣2＝0， ∵x 1＝5，x 2＝﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要有开平方法、配方法、公式法、因式分解法．例．（2021·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程2850x x --=化成()2x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ）A ．4-，21B ．4-，69C ．4，21D ．8-，11【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】©知识点三：配方法的应用解：∵2850x x --=， ∵285x x -=， 则2816516x x +=+-， 即2()421x -=， ∵4a =-，21b =， 故选A ． 【点睛】本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的求解过程． 练习1．（2021·贵州六盘水·九年级阶段练习）代数式x 2﹣4x +5的值（ ） A ．恒为正 B ．恒为负 C ．可能为0 D ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】直接利用配方法将原式变形，进而得出答案． 【详解】解：2245(2)1x x x -+=-+，2(2)0x -， 2(2)10x ∴-+>，∴代数式245x x -+的值恒为正．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方．练习2．（2021·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）已知m 是有理数，则m 2﹣2m +4的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法对式子进行配方，利用非负性求解最小值即可．【详解】解：2224(1)3m m m -+=-+∵2(1)0m -≥，当1m =时，2(1)0m -= ∵2(1)33m -+≥，当1m =时，2(1)33m -+= 1m =，为有理数，224m m -+的最小值为3故选A 【点睛】本题考查了配方法的应用，然后根据非负性求出最小值，解题的关键是掌握配方法．练习3．（2021·湖北省水果湖第一中学九年级阶段练习）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先把多项式配方，从而得244m +=5，进而即可得到结论． 【详解】解：∵24x mx -++=22424m m x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，又∵关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5， ∵244m +=5，解得：m =±2， ∵m 的值可能为2． 故选B ． 【点睛】本题主要考查多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键．练习4．（2021·甘肃会宁·九年级期中） “a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝（x ＋2）2＋1，∵（x ＋2）2≥0，∵（x ＋2）2＋1≥1，∵x 2＋4x ＋5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x 2－4x ＋6＝（x _____）2＋______，所以当x ＝_____时，代数式x 2－4x ＋6有最_____（填“大”或“小”）值，这个最值为_______； （2）比较代数式x 2－1与2x －3的大小．【答案】（1）-2；2；2；小；2；（2）2123x x ->- 【解析】 【分析】（1）根据题干的例子配方即可；（2）通过作差法比较大小，根据偶次方的非负性即可． 【详解】解：（1）246x x -+ 2442x x =-++ 2(2)2x =-+，当2x =时，代数式246x x -+有最小值， 这个最值为2．故答案为：2-；2；2；小； （2）2(1)(23)x x --- 2123x x =--+2211x x =-++ 2(1)1x =-+，2(1)0x -，2(1)10x ∴-+>，2123x x ->-∴．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小．例．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）下列方程中，有实数解的是（ ） A ．430x += B ．333x x x --= C 130x -= D ．222310x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】判断方程有无实数解，就是看方程的解是否是能满足方程的左右两边相等的实数． 【详解】A 、∵430x +>，故A 错误，不符合题意；B 、333x x x --=， ()2333x x x -=-，2333x x x -=-， 2630x x -+=，627x ±=，1633x +=2633x -=，经检验，1633x +=，2633x -=均是原方程的解，故B 正确，符合题意； C 130x ->，故无实数解，故C 错误，不符合题意； D 、222310x y ++>，故无实数解，故D 错误，不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程的解法，二次根式的性质，解题的关键是掌握方程的解的概念，是能满足方程的左右两边相等的实数．练习1．（2021·广东·深圳市龙岗区宏扬学校九年级期中）用公式法解方程4y 2﹣12y ﹣3＝0，得到（ ）©知识点四：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，用配方法所求出的两个根x =−b±√b 2−4ac2a(b ²-4ac ≥0)只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法称为公式法，而把x =−b±√b 2−4ac2a(b ²-4ac ≥0)叫做一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题和进一步学习数学知识方面都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下一元二次方程的相关知识点。
一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式为＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a ≠ 0$），其中＄a$ 是二次项系数，＄b$ 是一次项系数，＄c$ 是常数项。
需要注意的是，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。
同时，二次项系数＄a$ 不能为 0，如果＄a ＝ 0$，那么就变成了一元一次方程。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法对于形如＄x^2 ＝ p$ 或＄（x ＋ n)＾2 ＝ p$（＄p ≥ 0$）的方程，可以使用直接开平方法。
当＄x^2 ＝ p$ 时，＄x ＝ ±＼sqrt{p}＄；当＄（x ＋ n)＾2 ＝ p$ 时，＄x ＋ n ＝ ±＼sqrt{p}＄，即＄x ＝ n ±＼sqrt{p}＄。
2、配方法配方法是一种将一元二次方程转化为完全平方式的方法。
例如，对于方程＄x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，可以通过在方程两边加上一次项系数一半的平方来配方，即：＼＼begin{align}x^2 ＋ 6x 7&＝0\＼x^2 ＋ 6x&＝7\＼x^2 ＋ 6x ＋ 9&＝7 ＋ 9\＼（x ＋ 3)＾2&＝16\＼x ＋ 3&＝±4\＼x&＝－3 ± 4＼end{align}＼3、公式法一元二次方程＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）的求根公式为＄x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
在使用公式法时，需要先计算判别式＄＼Delta ＝ b^2 4ac$：当＄＼Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当＄＼Delta ＝ 0$ 时，方程有两个相等的实数根；当＄＼Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程知识点总结
2 1 章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前—面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方程。
二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，2 2X 3x 2 0所以X 2是x 3x 2 0方程的解。
一兀二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a . b，x a . b，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）x2a a 0的解是x a ；（2）x m 2n n 0 的解是x 、n m ；22、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有x 2 2bx b 2 (x b)2。
(一) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1) 把一元二次方程化成一般形式(2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3) 把原方程变为x m 2 n 的形式。
专题01一元二次方程(3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法)(原卷版)
专题01一元二次方程（3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论题型五：一元二次方程与完全平方公式综合【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．x2+2x+3＝x（x+1）C．2x+3y＝6D．x2﹣2x+3＝0知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为．例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是．例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于．例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值．知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0B．m≠3C．m＝0D．m＝32．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥0题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．20204．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣35．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式÷（x+3﹣）的值．题型三：一元二次方程新定义问题9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．题型五：一元二次方程与完全平方公式综合14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404421．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．考法2根据实际问题列一元二次方程22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常2100px q +=，可列表如下：则方程A ． 1.073-B ． 1.089-C ． 1.117-D ． 1.123-二、填空题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为三、解答题。
部编数学九年级上册专题01《一元二次方程》重难点题型分类(解析版)含答案
专题01 《一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《一元二次方程》中“判断一元二次方程的个数”、“利用一元二次方程的概念求字母的值”、“一元二次方程的一般形式”、“利用一元二次方程的解求字母的值”、“利用一元二次方程的解求代数式的值”、“赋值法求一元二次方程的定根”、“根据面积问题列一元二次方程”、“根据实际问题列一元二次方程”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：判断一元二次方程的个数方法点拨：一元二次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是只含一个未知数，三是含未知数项的最高指数是2。
1．（2021·全国·八年级课时练习）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）①220x -=；②221x y +=；5=；④12x x +=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可．【详解】解：220x -=是一元二次方程；221x y +=含有两个未知数，不是一元二次方程；5=未知数在根号内，不是一元二次方程；12x x +=未知数在分母中，不是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键．2．（2021·全国·九年级课时练习）下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x +=；④20x a -=（a 为任意实数）；1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：①220ax x ++=，0a =时不是一元二次方程；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程；③13x x+=是分式方程；④20(x a a -=为任意实数）是一元二次方程；1x =-，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.（2021春•仓山区校级月考）下列关于x 的方程：①ax 2+bx +c ＝0；②x 24＝0；③2x 2﹣3x +1＝0；④x 2﹣2+x 3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【解答】解：①ax 2+bx +c ＝0，当a ＝0时，该方程不是一元二次方程；②x 24＝0属于分式方程；③2x 2﹣3x +1＝0符合一元二次方程的定义；④x 2﹣2+x 3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①21x x ++不是方程；②2960x x -=是一元二次方程；③2102y =是一元二次方程；④ 215402x x -+=不是整式方程，故不是一元二次方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑥232y =；是一元二次方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.∴②③⑥符合一元二次方程的定义．故答案为：②③⑥．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．考点2：利用一元二次方程的概念求字母的值方法点拨：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.时刻记住一元二次方程中二次项系数不能等于0。
一元二次方程知识点以及考点分析(可编辑修改版)
x2
b 2a
；
当 b2 4ac 0 时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定 a, b, c 的值；③代入 b2 4ac 中计算其值，
判断方程是否有实数根；④若 b2 4ac 0 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的 一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：
（3） 8x 2
10x 3
0 （ x1
1 4 , x2
3 2
）
（2） y 2 4 y 45 0 （ y1 9, y2 5 ） （4） 7x 2 21x 0 （ x1 0, x2 3 ）
（5） 6x 2 3 3x 2 2x
6 （ x1
3 2
, x2
2 3
）
（6） (x 5)2
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程 (m 2)x m2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。（ m 2 ）
（2）若分式 x 2 7x 8 0 ，则 x x 1
（x 8）
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于 x 的一元二次方程 (a 1)x 2 x a 2 1 0 有一个根为 0，则 a
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），
变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a(1 x)n b 表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问 应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与 寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁）
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=-二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0． 【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+532或x=7-532．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=，x 1=2m，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，∵m=2不合题意， ∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m ≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m 的值，要验证m 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x ﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5， 解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．253．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k≥﹣1 C ．k≠0 D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ．8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根， （1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ． 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
初三数学知识点之一元二次方程的基础知识
初三数学知识点之一元二次方程的基础知识
除了课堂上的学习外,数学知识点也是先生提高数学效果的重要途径，本文为大家提供了初三数学知识点之一元二次方程的基础知识，希望对大家的学习有一定协助。
一元二次方程
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有三个特点：
(1)含有一个未知数;
(2)且未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.要判别一个方程能否为一元二次方程，先看它能否为整式方程，假定是，再对它停止整理.假设能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的方式，那么这个方程就为一元二次方程.外面要有等号，且分母里不含未知数。
补充说明
1、(但普通二次函数与正比例函数会触及到一元二次方程的解法)
2方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，
X1X2=c/a(也称韦达定理)
4、方程两根为x1，x2时，方程为：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (依据韦达定理逆推而得)
5、在系数a0的状况下，b2-4ac0时有2个不相等的实数根，b2-4ac=0时有两个相等的实数根，b2-4ac0时无实数根。
(在双数范围内有两个双数根。
)
小编为大家整理的初三数学知识点之一元二次方程的基础
知识相关内容大家一定要牢记，以便不时提高自己的数学效果，祝大家学习愉快!。
“一元二次方程”知识梳理
“一元二次方程”知识梳理基础知识(1)概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.(2)一般形式：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.式子b²-4ac 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ=b²-4ac.(1)概念：如果x²=4，则即x=±2，像这种根据平方根的意义直接开方求一元二次方程解的方法叫做直接开方法.(2)直接开方法解一元二次方程的一般步骤:①将方程转化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的形式(即平方项的系数化为1)；②分情况求解：当p=0 时，x₁=x₂=0；mx+n=0(再进一步求出x的值)；当p<0 时，方程无实数根.5配方法解一元二次方程(1)概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)概念：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.(2)求根公式：当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式.(3)公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式，并确定a,b,c 的值；②求出判别式Δ=b²-4ac 的值，判断根的情况；③当Δ≥0时，把a、b、c 的值代入求根公式(4)一元二次方程求根公式的推导过程一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程.具体过程如下:(1)概念：先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：8一元二次方程根与系数的关系用文字表述为：一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.实际应用(1)增长率：设 a 是原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则b=a(1+m)ⁿ;(2)下降率：设 a 是原来量，m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量，则b=a(1-m)ⁿ.(1)如图①，设阴影道路的宽为x，则S空白=(a-2x)(b-2x);(2)如图②，设阴影道路的宽为x，则S空白=(a-x)(b-x);(3)如图③，设阴影道路的宽为x，则S空白 =(a-x)(b-x)；(4)如图④，篱笆总长为a，BC长为 b，S阴影=[(a-b)/2]×b.(1)常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销量；(2)每每问题中，单价每涨 a 元，少卖b 件，少卖的数量=(b/a)×涨价幅度.(1)握手、单循环总次数=n(n -1)/2 (n≥2)；(2)送礼物总份数=n(n-1)(n≥2).。
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专题01 一元二次方程的基础（知识点串讲）【重点突破】知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
【注意】 1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
知识点二 一元二次方程的解概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
【考查题型】考查题型一 一元二次方程的概念典例1．（2019·宿迁市期中）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．ax 2+bx+c ＝0(a ，b ，c 为常数)B ．x 2﹣x ﹣2＝0C ．211x x﹣2＝0 D ．x 2+2x ＝x 2﹣1 【答案】B【详解】A ．若a ＝0，则该方程不是一元二次方程，故A 选项错误，B ．符合一元二次方程的定义，故B 选项正确，C ．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C 选项错误，D ．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D 选项错误，故选B ．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．变式1-1．（2020·长春市期中）下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2﹣y ＝1B ．x 2+2x ﹣3＝0C ．x 2+＝3D ．x ﹣5y ＝6【答案】B【解析】试题解析：根据一元二次方程的定义可以判断选项B 的方程是一元二次方程.故选B.变式1-2．（2020·唐山市期中）若关于x 的方程()2a-230x x a -+=是一元二次方程，则( ) A ．2a ≠B ．2a >C ．0a =D ．0a >【答案】A【分析】 根据一元二次方程的定义求解，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方程(二次项系数不为0）．【详解】由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a ≠2．故答案为A【名师点拨】一元二次方程的概念是考点，关键点是二次项系数不为0.变式1-3．（2019·赤峰市期中）关于x 的方程（m+1）21mx ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解 【答案】B【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m 2＋1＝2且m ＋1≠0，计算即可求解.【详解】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m 2＋1＝2，解得m ＝﹣1或1，又因为m ＋1≠0，即m≠﹣1，所以m ＝1，故选B.【名师点拨】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键.变式1-4．（2019·呼伦贝尔市期末）关于x 的方程（a ﹣1）x |a|+1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（ ） A ．a≠±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．a ＝±1【答案】C【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．【详解】 由题意可知：1012a a -≠⎧⎨⎩＋＝，解得a ＝−1 故选C ．【名师点拨】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 考查题型二 一元二次方程的一般式典例2．（2020·北京市期中）一元二次方程23450x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．345,-,-B ．3,45-,C ．3,4,5D ．3,4,5-【答案】A【详解】一元二次方程23450x x --=的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．故选A ．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件．在一般形式中，ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．变式2-1．（2018·长春市期末）将一元二次方程﹣3x 2﹣2=﹣4x 化成一般形式为（ ）A ．3x 2﹣4x+2=0B ．3x 2﹣4x ﹣2=0C ．3x 2+4x+2=0D ．3x 2+4x ﹣2=0 【答案】A方程整理为一般形式即可．【详解】方程整理得：3x 2-4x+2=0，故选A ．【名师点拨】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）．变式2-2．（2020·怀集市期末）一元二次方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是( )A ．x 2－5x+5=0B ．x 2+5x －5=0C ．x 2+5x+5=0D ．x 2+5=0 【答案】A【解析】一元二次方程的一般式为：ax 2+bx+c=0(a ≠0),将原方程去括号为：x 2-6x+4+x+1=0,合并为：x 2-5x+5=0,所以选A.变式2-3．（2020湖州市期中）把一元二次方程x (x +1)＝3x +2化为一般形式，正确的是( )A ．x 2+4x +3＝0B ．x 2﹣2x +2＝0C ．x 2﹣3x ﹣1＝0D ．x 2﹣2x ﹣2＝0 【答案】D【详解】一元二次方程的一般形式为20ax bx c ++=x (x +1)＝3x +2x 2+x ﹣3x ﹣2＝0，x 2﹣2x ﹣2＝0故选：D ．【名师点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.变式2-4．（2019·揭阳市期末）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+5x +m 2﹣4＝0的常数项是0，则（ ） A ．m ＝4B ．m ＝2C ．m ＝2或m ＝﹣2D ．m ＝﹣2【答案】D【分析】根据常数项为0，可得m 2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可．由题意得：m 2-4=0，且m-2≠0，解得：m=-2，故选D ．【名师点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．考查题型三 一元二次方程的解典例3．（2018·盐城市期末）已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．4【答案】B【解析】详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B ．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．变式3-1．（2019·石家庄市期中）m 是方程210x x +-=的根，则式子3222014m m ++的值为（ ） A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】B【分析】把m 代入x 2+x ﹣1=0得到m 2+m ﹣1=0，即m 2+m =1，把式子m 3+2m 2+2014变形为m （m 2+m ）+m 2+2014的形式，代入即可求出式子的值．【详解】∵m 是方程x 2+x ﹣1=0的根，∴m 2+m ﹣1=0，即m 2+m =1，∴m 3+2m 2+2014=m （m 2+m ）+m 2+2014=m +m 2+2014=1+2014=2015．故选B ．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m 2+m 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．变式3-2．（2020·益阳市期末）1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2-B ．3-C ．4D ．6- 【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【详解】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A.【名师点拨】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键变式3-3．（2018·成都市期中）如果关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3【答案】A【分析】把X=0代入方程(m-3)x 2 +3x+m 2 -9=0中,解关于m 的一元二次方程,注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0【详解】把x=0代入方程(m-3)x 2 +3X+m 2 -9=0中得：m 2 -9=0解得m=-3或3当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,舍去,故选A【名师点拨】此题主要考查一元二次方程的定义，难度不大变式3-4．（2019·定西市期中）已知关于x 的一元二次方程(m+3)x 2+5x+m 2-9=0有一个解是0，则m 的值为( )A．-3 B．3 C．±3 D．不确定【答案】B【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值．【详解】把x=0代入原方程得：m2-9=0；解得：m=±3；当m=-3时,原方程为：5x=0,不是一元二次方程，故舍去.所以m=3.故选B．【名师点拨】考查的是方程的根即方程的解的定义，注意该题说明该方程是一元二次方程，所以m=-3不符合题意，所以m的值是3．巩固训练一、选择题（共10题）1．（2018·南宁市期末）下列哪个方程是一元二次方程（）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+1x=3 D．x2=2x﹣3【答案】D【详解】A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；C. x2＋1x＝3是分式方程，故不正确；D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；故选：D2．（2020·温州市期中）下列方程是一元二次方程的是（）A．2xy﹣7＝0 B．x2﹣7＝0 C．﹣7x＝0 D．5（x+1）＝72【答案】B【提示】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、方程含有两个未知数，故错误；B 、符合一元二次方程的定义，正确；C 、未知数的最高次数是1，故错误；D 、未知数的最高次数是1，故错误．故选：B ．3．（2019·青浦区期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．21x ＋1x －2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．x 2＋2x ＝x 2－1 【答案】A【详解】A. 3(x+1)2=2(x−1)是一元二次方程，故A 正确；B. 21x ＋1x－2＝0是分式方程，故B 错误； C. 当a=0时,方程ax 2+bx+c=0不是一元二次方程，故C 错误；D. x 2+2x=x 2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D 错误；故选：A.4．（2020·防城港市期末）一元二次方程2 340x x ﹣﹣＝的常数项是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．1D ．2【答案】A【详解】解：一元二次方程2 340x x ﹣﹣＝的常数项是﹣4，故选A ．5．（2019·苏州市期中）一元二次方程22350x x --=的一次项系数是（ ）A ．2B ．-3C ．3D ．-5 【答案】B【详解】一元一次方程22350x x --=的一次项系数是−3．故选：B ．6．（2020·北京市期中）一元二次方程23450x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．345,-,-B ．3,45-,C ．3,4,5D ．3,4,5- 【答案】A【详解】一元二次方程23450x x --=的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．故选A ．7．（2018·盐城市期末）已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．4 【答案】B【解析】详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B ．8．（2018·北京市期中）若方程()2310m m xmx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =（ ） A ．0B ．2C ．－2D ．± 2 【答案】B【解析】∵() 2310m m xmx +++=是关于x 的一元二次方程，∴m+2≠0,m =2,解得:m=2,故选B.9．（2019·珠海市期末）若2x =是关于x 的一元二次方程220180ax bx --=的一个解，则2035－2a ＋b 的值（ ）A ．17B ．1026C ．2018D ．4053 【答案】B【详解】因为x 2=，是关于x 的一元二次方程2ax bx 20180--=的一个解，所以，4a-2b-2018=0,所以，2a-b=1009,所以，20352a b -+=2035-（2a-b ）=2035-1009=1026.故选B.10．（2019·赤峰市期中）关于x 的方程（m+1）21mx ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解 【答案】B【提示】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m 2＋1＝2且m ＋1≠0，计算即可求解.【详解】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m 2＋1＝2，解得m ＝﹣1或1，又因为m ＋1≠0，即m≠﹣1，所以m ＝1，故选B.二、填空题（共5题）11．（2020·威海市期中）已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．【答案】2【提示】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．12．（2019·徐汇区期中）方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则m=_____．【答案】-2【解析】 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得22022m m -≠⎧⎨-=⎩，可求得m=-2.故答案为：-213．（2019·济宁市期中）若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是2，则m +n ＝_____．【答案】﹣2【提示】根据一元二次方程的解的定义把x ＝2代入x 2＋mx ＋2n ＝0得到4＋2m ＋2n ＝0得n ＋m ＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】∵2（n≠0）是关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0的一个根，∴4＋2m ＋2n ＝0，∴n ＋m ＝−2，故答案为−2．14．（2019·威海市期末）方程(n ﹣3)x |n |﹣1+3x +3n ＝0是关于x 的一元二次方程，n ＝_____．【答案】-3【解析】∵()13330n n x x n --++=是关于x 的一元二次方程，∴|n|-1=2，n-3≠0，解得：n=-3，故答案为：-3．15．（2019·防城港市期中）若m 是方程22310x x 的一个根，则4262019m m -+的值为____________．【答案】2021【提示】把x ＝m 代入方程，求出2m 2﹣3m ＝1，再变形后代入，即可求出答案．【详解】∵m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，∴代入得：2m 2﹣3m ﹣1＝0，∴2m 2﹣3m ＝1，∴4m 2﹣6m +2019＝2（2m 2﹣3m ）+2019＝2×1+2019＝2021， 故答案为：2021．三、解答题（共2题）16．（2018·合肥市期末）学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点： ①它的一般形式为ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0）②它的二次项系数为5③常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？【答案】这个方程是5x 2－2x －15=0（答案不唯一） 【解析】 由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a c 、，而b 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．这个方程是5x 2－2x －15=0. 17．（2019·福州市期中）已知﹣1是方程x 2+ax ﹣b=0的一个根，求a 2﹣b 2+2b 的值．【答案】1【提示】把x=-1代入方程20x ax b +-=,得a+b=1,再代入222a b b -+中即可.【详解】解：∵1-是方程20x ax b +-=的一个根，∴10a b --=．∴1a b +=．∴222a b b -+()()2a b a b b =+-+2a b b =-+a b =+1= ．。