线性相关和线性无关
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性标题：线性相关性与线性无关性的原理和应用引言：在数学和统计学中，线性相关性和线性无关性是两个基本概念。
它们对于解决各种实际问题和优化模型都具有重要意义。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的原理、性质以及在实际应用中的具体应用案例。
一、线性相关性的定义与性质1.1 线性相关性的定义线性相关性指的是两个或多个变量之间存在线性关系，即它们的数值可以通过线性方程或线性组合相互表示。
如果存在非零系数，能够使得线性组合等于零，则这些变量是线性相关的。
1.2 线性相关性的性质（1）线性相关性是对称的，即若变量A与变量B线性相关，则变量B与变量A也线性相关。
（2）如果变量A与变量B线性相关，并且变量B与变量C线性相关，则变量A与变量C也线性相关。
（3）若某组变量中存在一个变量与其他变量线性无关，则该组变量是线性无关的。
二、线性无关性的定义与性质2.1 线性无关性的定义线性无关性指的是一个向量组中的各个向量之间不存在线性关系，即不能由其他向量线性表示。
2.2 线性无关性的性质（1）线性无关性并不意味着所有变量都是相互独立的，它只是表示线性关系的独立性。
（2）如果变量A与变量B线性无关，并且变量B与变量C线性无关，则变量A与变量C也线性无关。
（3）在具有n个未知数和n个方程的线性方程组中，如果其系数矩阵满秩，那么方程组的解是唯一的。
三、线性相关性与线性无关性的应用案例3.1 线性相关性在金融领域的应用在金融领域，线性相关性常用于构建投资组合和风险管理。
通过对不同资产的历史数据进行线性相关性分析，可以评估它们之间的相关性程度，有助于投资者进行有效的分散投资和风险控制。
3.2 线性无关性在图像处理中的应用在图像处理领域，线性无关性可以用于图像压缩和去噪。
通过去除图像中线性相关的冗余信息，可以有效减小图像文件大小，提高存储和传输效率。
同时，利用线性无关性的特性，可以去除图像中的噪声，还原出清晰的图像。
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
高中数学中的向量线性相关与线性无关
高中数学中的向量线性相关与线性无关在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。
而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。
本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。
一、向量的线性相关与线性无关的定义在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。
而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。
1. 线性相关如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系：$k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$其中，$0$表示零向量。
那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。
2. 线性无关如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。
二、线性相关与线性无关的几何意义线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。
我们以二维向量为例进行说明。
假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。
如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。
反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。
同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。
如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。
反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。
三、线性相关与线性无关的应用线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 向量的线性组合线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。
而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。
2. 坐标系的建立在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。
这样可以保证坐标系的唯一性和准确性。
3. 向量的基与维数如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我们称这组向量为基。
平面向量的线性相关和线性无关
平面向量的线性相关和线性无关平面向量是数学中重要的概念之一，涉及到线性相关和线性无关的概念。
线性相关和线性无关是研究向量组关系的概念，它们在向量的运算、几何解析、线性代数等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的线性相关和线性无关的定义、判定方法以及相关定理。
一、线性相关和线性无关的定义1. 线性相关对于给定的n个向量组成的向量组V={v1, v2, ..., vn}，如果存在一组不全为零的实数k1, k2, ..., kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则称向量组V是线性相关的。
其中k1, k2, ..., kn称为线性相关的系数。
2. 线性无关如果向量组V={v1, v2, ..., vn}不是线性相关的，即对于任意一组实数k1, k2, ..., kn，若k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则必有k1 = k2 = ... =kn = 0，则称向量组V是线性无关的。
二、线性相关和线性无关的判定方法1. 行列式判定法对于n阶行列式D，若D ≠ 0，则向量组V={v1, v2, ..., vn}线性无关；若D = 0，则向量组V线性相关。
例如，对于三个向量a=(a1, a2)，b=(b1, b2)，c=(c1, c2)，若行列式D = |a1 a2||b1 b2||c1 c2|= a1b2 + a2c1 + b1c2 - a1c2 - a2b1 - b2c1如果D ≠ 0，则向量组{a, b, c}线性无关；如果D = 0，则向量组{a, b, c}线性相关。
2. 线性方程组判定法对于向量组V={v1, v2, ..., vn}，构造齐次线性方程组Ax = 0，其中A=[v1, v2, ..., vn]为系数矩阵，x为未知向量。
若齐次线性方程组只有零解，则向量组V线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则向量组V线性相关。
三、线性相关和线性无关的相关定理1. 向量组的线性相关性与其中某个向量的线性组合之和的线性相关性相同。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性相关和线性无关
1 , 2 , 3 , 。4 线性无关。
14
；
例： 1 (1, 2,3, 2),2 (0, 2, 5,3),3 (1, 0, 2, 4),是否线性相关
；
解：行向量的处理方法，转置
1 0 1 1 0 1
A
2
2
0
0
1
1
3 5 2 0 0 9
2
3
4
0
0
0
r( A) 3,因此1,2,3线性无关
0
0
0
3x1 5x2 2x3 0
这是一个齐次线性方程组。
8
第三步：讨论齐次线性方程组解的问题； 讨论线性相关和线性无关，转化为讨论齐次线性方程 组是否存在非零解问题。有非零解即存在 不全为0的数x1, x2 , , xm ， 使 得 x11 x22 xmm 0 成 立，那么向量组线性相关。如果只有零解，那么向量 组线性无关
15
例: 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4),2 (0,1, 2,3),3 (0, 0,1, 2)
4
(0,
0,
0,1);问
是否可由1,
2
,
3
,
线性表出,结果是多少
4
解: 注意处理行向量的方法
1 0 0 0 4 1 0 0 0 4
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
,
T
)
2 3
或者 存在不全为0的实数k1, k2, k3，使得k11 k22 k33 0
2
一、基本概念
定义（线性相关/线性无关）
设
1
,
，
2
m
2-2 线性相关与线性无关
向量组可以互相线性表示，则称它们等价．
向量组等价的性质
1.自身性 每个向量组与自身等价.
2.对称性
若向量组A与B等价，
则向量组B与A等价.
3.传递性
若向量组A与B等价，向量组B与C等价， 则向量组A与C等价.
例 6 设向量组 1 , 2 ,3 和向量组 1, 2 , 3 满足：
1 2 3 2 3 1 3 1 2
i k11
,m 中有一个向量（比如 i ） 能由其余向量线性表示. 即有
ki 1i 1 ki 1i 1 kmm
k11
ki 1i 1 (1)i ki 1i 1
kmm 0
所以，1 , 2 ,
, m 线性相关.
求证：向量组 1, 2 ,3 和向量组 1, 2 , 3 等价.
通过矩阵来表述线性表示
若记向量组 A : 1 , 2 ,
存在数ki1 , ki 2 , kis , 使
, r , 和 B : 1 , 2 ,
, s ,
, r ),
A 能由 B 线性表示，即对每个向量i (i 1, 2,
T
例
设向量组 1 , 2 , 3 , 4 ，令 1 1 2 ,
2 2 3 , 3 3 4 , 4 4 1 ，证明
向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关．
二、线性相关性的定理
定理1 若向量组 A：1 , 2 ,
1 ,2， ,m , 线性相关,
, km , k m 1 km m km 1 0
km m km 1
存在一组不全为0的数k1 , k2 , 使得k11 k2 2
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
线性相关与无关
线性相关与无关线性相关与无关是向量空间中的核心概念之一。
最简单的情况下，考虑两个向量，它们线性相关意味着它们之间存在一种线性关系，也就是说，它们可以表示为某一个向量的线性组合。
如果两个向量线性无关，就意味着它们之间不存在这种关系。
但是在更一般的情况下，需要考虑多个向量之间的线性相关性。
首先，我们需要定义一下什么是向量的线性组合。
假设有$n$个向量$u_1,u_2,\cdots,u_n$和$n$个标量$c_1,c_2,\cdots,c_n$，则它们的线性组合定义为：$$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_nu_n$$因此，两个向量$u$和$v$可以表示为一个向量$w$的线性组合当且仅当它们满足以下等式：$$au+bv=w$$其中$a$和$b$是标量。
我们也可以把它写成向量方程的形式：$$\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}$$如果这个方程有一个非零解，则我们称$u$和$v$线性相关，否则称它们线性无关。
因此，我们需要解决方程组的问题，考虑什么样的情况下一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
证明：如果向量$u_1,u_2,\cdots,u_n$是线性相关的，则存在一种不全为零的标量组$c_1,c_2,\cdots,c_n$，使得$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_nu_n=0$。
因此，如果这个标量组不全为零，则我们可以找到一组$u_i$来表示其中一个向量，比如说$u_n$，如下所示：$u_n=\frac{-(c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_{n-1}u_{n-1})}{c_n}$，从而向量$u_n$可以表示为其他向量的线性组合。
因此，这些向量线性相关。
因此，我们可以得到一个结论：$n$个向量$u_1,u_2,\cdots,u_n$是线性无关的，则它们的任意组合都是唯一的。
线性相关和线性无关
显然：任一 n 维向量 =(a1,a2,…,an)T 都是向量组
1
0
0
1
0
,
2
1 ,
...,nFra bibliotek0 0
0
1
的线性组合, 事实上
称为单位向量组
a11 a2 2 ...,an n
二、向量组的线性相关与线性无关
定义2 已知 n 维行（列）向量组 1, 2 ,, m，
如果存在不有全为零的一组数 1, 2 ,, m，使得
1 10 0 1 1 2 0 1 0 1 所以上述方程组，由克莱姆法则，只有唯一零解， 即 k1= k2 = k 3 =0。于是向量组1、2、3是线性 无关的。
例2 设向量 1、2、3 线性无关，试证明向量 组1、1 + 2、 1 + 2 + 3 也线性无关。 证 设有一组数 k1, k2, k 3 , 使得
1 22 33 mm
则有一组不全为零的数 1,2 ,3 ,m使得
11 22 33 mm 0
故向量组 1、2、…、m 线性相关。
定理2 设 1, 2 ,, m 线性无关， 而 ，1, 2,,m 线性相关，则 能由 1,2,,m
线性表示， 且表示法是唯一的。
证 由向量组，1, 2 ,, m 线性相关，则
1 , 2 , , n
使得
？ 0 11 2 2 n n (1,2 , , n )
则显然必有 1 0,2 0, ,n 0
而对向量组
1 (1,2,3), 2 (2,3,1), 3 (5,9,10)
不难验证
31 2 3 0
所以它们是线性相关的。
三、线性组合与线性相关的关系
定理1 向量组 1, 2 ,, m（m 2） 线性相关
3.2线性相关与线性无关
2 3 0 因为 − 1 4 0 = 22 ≠ 0， 0 0 2 都为线性无关组： 所以下面的两个向量组 都为线性无关组： 2 3 0 (2，，)， 1，，)， ，，)和 − 1 ，4 ，0 . 3 0 (− 4 0 (0 0 2 0 0 2 这就是说， 列式等于零， 这就是说，若方阵的行 列式等于零，则它的行 向量组 和列向量组都线性相关 ；若方阵的行列式不为 零，则 组都线性无关。 它的行向量组和列向量 组都线性无关。
定理3.2.2 线性无关， 定理3.2.2 如果向量组 α 1 , α 2 , L , α m 线性无关，而 β α , α ,L , α m , β 添加一个同维向量 后所得到的向量组 1 2 线性相关， 线性表出， 线性相关，则 β 可以用 α 1 , α 2 , L , α m 线性表出，且表 示法是惟一的。 示法是惟一的。 证 可表性 为线性相关组， 因为 β , α 1 , α 2 ,L , α m 为线性相关组，所 以存在不全为零的m+1个数 k , k1 , k 2 L , k m 使得 以存在不全为零的m+1个数 m+1
的线性相关性. 的线性相关性.若
线性相关，则 求出一组不全为零的数 k1 , k 2 , k 3 使得
k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0.
解
2 1 3 1 1 −1 r1 ↔ r3 A = (α1 , α 2 , α 3 ) = 3 2 2 3 2 2 → 1 1 −1 2 1 3
解 (1)k (1,1,2) = 0 ⇒ k = 0 所以向量 α线性无关 . 切记任意非零向量都是 线性无关的 . ( 2)k1 (1,2,3) + k 2 ( 2,4,6) = (0,0,0), 取k1 = 2, k 2 = −1, 所以向量组 α 1 , α 2线性相关 . (两个向量的向量组线性 相关充要条件为对应分 量 成比例 ). ( 3)k1 (1,0,0) + k 2 (0,1,0) + k 3 (0,0,1) = 0 ⇒ k1 = k 2 = L k m = 0, 因此 , 向量组 ε 1 , ε 2 , ε 3 是线性无关 .
线性代数中的线性无关与线性相关
线性代数中的线性无关与线性相关线性代数是数学中一门重要的学科，它研究了向量空间和线性变换等概念。
而线性无关与线性相关则是线性代数中的基本概念之一，它们对于理解矩阵和向量的性质以及解决线性方程组等问题具有重要的作用。
一、线性无关线性无关是指若一个向量组中的向量不能用其他向量线性表示，则称该向量组线性无关。
具体来说，如果对于给定的向量组{v1, v2, ..., vn}，只有当线性组合a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0时，所有系数都为零才能使等式成立，那么这个向量组就是线性无关的。
判断一个向量组是否线性无关的充要条件是，该向量组的任意有限子集都是线性无关的。
线性无关的向量组具有以下重要性质：1. 构成向量组的向量个数不超过向量空间维数；2. 向量组的秩等于其向量的个数。
二、线性相关线性相关是指若一个向量组中的向量可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。
换句话说，如果存在不全为零的系数a1, a2, ..., an，使得a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，那么这个向量组就是线性相关的。
线性相关的向量组具有以下重要性质：1. 一个线性相关的向量组中至少存在一个向量可以通过其他向量的线性组合得到；2. 线性相关的向量组的秩小于其向量的个数。
三、线性无关与线性相关的关系线性无关和线性相关是线性代数中两个相对的概念。
它们之间具有以下关系：1. 若一个向量组是线性相关的，则这个向量组中的任意一个向量都可以被其他向量线性表示；2. 若一个向量组是线性无关的，则这个向量组中的任意一个向量都不能被其他向量线性表示。
通过判断一个向量组是线性相关还是线性无关，可以帮助我们理解多元线性方程组的性质和解的情况。
在研究线性代数问题时，我们通常要确定向量组的线性无关性，以决定方程组的解的唯一性和完备性。
四、线性无关与线性相关的应用线性无关与线性相关的概念在线性代数中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 解决线性方程组：通过判断系数矩阵的秩是否满秩，可以判断线性方程组是否有解以及解的唯一性；2. 确定向量空间的基：一个向量空间的基就是线性无关的最大向量组，在计算中常常需要确定向量空间的基来进行问题的求解；3. 特征值和特征向量的计算：计算特征值和特征向量涉及到矩阵的可逆性和对角化，而线性无关与线性相关的概念可以帮助我们理解和计算特征值和特征向量。
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关线性代数是数学的一个重要分支，研究的是与向量、线性方程组和线性变换相关的性质和问题。
在线性代数中，我们经常遇到一个重要的概念，即向量的线性相关和线性无关。
一、向量的线性相关和线性无关的定义在介绍向量的线性相关和线性无关之前，我们先来了解一下什么是向量。
向量是由一些按照一定顺序排列的数所组成的有序数组，常用来表示空间中的一个点或者一个有方向和大小的物理量。
1. 向量的定义在几何学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，而箭头的方向表示向量在空间中的方向。
我们可以用两个点表示一个向量，即起点和终点的坐标差。
一个向量由其大小和方向共同决定。
2. 向量的线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的标量，使得它们的线性组合等于零向量，则称这组向量是线性相关的；如果不存在这样的标量，即只有当所有标量均为零时，线性组合才等于零向量，那么这组向量就是线性无关的。
二、判断向量的线性相关与线性无关判断向量的线性相关与线性无关主要通过向量的线性组合来进行。
对于一组向量，我们可以用以下两种方法来判断其是否线性相关或线性无关。
1. 行列式判断法对于n个n维向量构成的矩阵A，可以将其写成行向量的形式，即A=[a1,a2,...,an]。
通过计算矩阵A的行列式，如果行列式的值不等于零，则这组向量线性无关；反之，如果行列式的值等于零，则这组向量线性相关。
2. 线性组合判断法对于一组向量V1,V2,...,Vn，我们可以设想存在标量C1,C2,...,Cn，使得C1V1+C2V2+...+CnVn=0。
如果这组向量是线性相关的，那么至少存在一个标量不等于零；如果线性无关，则所有的标量均为零。
三、向量的线性相关与线性无关的应用1. 线性方程组的解的唯一性线性方程组的解的唯一性与系数矩阵的行列式是否为零有关。
如果系数矩阵的行列式不等于零，则线性方程组有唯一解；如果行列式等于零，则方程组有无穷多个解或者无解。
线性相关线性无关
线性相关线性无关
虽然表面上线性相关和线性无关看起来没有什么区别，但它们的却
有很大的区别。
那么，什么是线性相关和线性无关呢？
线性相关是指某些变量可以用线性函数来准确地解释它们之间的关系。
两个变量具有线性相关可以通过绘制它们之间的散点图来表示，
散点图将会形成一条连续的线，这条线表明变量之间具有线性相关。
线性无关是指某些变量不能用线性函数来准确地解释它们之间的关系。
两个变量具有线性无关可以通过绘制它们之间的散点图来表示，
散点图将不会形成一条连续的线，这表明变量之间没有线性关系。
要特别注意的是，当变量之间具有强烈的线性相关性时，这并不意
味着变量之间是线性结构，这只表明变量之间存在强烈的线性关系。
另一方面，变量之间具有线性无关性时，这并不意味着变量之间没有
任何关系，而是说变量之间确实存在一定程度的相关性，但是这些关
系并不是线性的，而可能是非线性关系。
总之，线性相关和线性无关是描述变量之间的关系的两种概念，它
们的区别在于：前者指的是变量之间的线性关系；后者指的是变量之
间的非线性关系。
在实际应用中，线性相关和线性无关的概念在许多领域，如统计学、数据科学、机器学习等，都有广泛的应用。
例如，在统计学中，线性
回归分析模型既可以用来衡量变量之间的线性关系，也可以用来衡量
变量之间的非线性关系。
另一方面，在机器学习和数据挖掘领域，非
线性模型，如神经网络或树回归模型，可以用来衡量变量之间的非线
性关系。
线性相关和线性无关都是常用的数学概念，了解它们的区别以及应用可以帮助我们更好地分析不同变量之间的关系，帮助我们更好地完成很多任务，如建模和预测等。
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0
0
0
3x1 5x2 2x3 0
这是一个齐次线性方程组。
9
第三步：讨论齐次线性方程组解的问题； 讨论线性相关和线性无关，转化为讨论齐次线性方程 组是否存在非零解问题。有非零解即存在 不全为0的数x1, x2 , , xm ， 使 得 x11 x22 xmm 0 成 立，那么向量组线性相关。如果只有零解，那么向量 组线性无关
或者 存在不全为0的实数k1, k2, k3，使得k11 k22 k33 0
3
一、基本概念
定义（线性相关/线性无关）
设
1
,
，
2
m
是一组
n
维向量，如果存在一组不全
为 0 的数 k1, k2 , , km ，使得 k11 k22 kmm 0 ，则称
1,2 ,m 线性相关，否则称线性无关。
19
四、线性相关/无关的基本性质
1、m个n维向量（m > n)一定线性相关， 即向量个数比向量维数大的时候向量组一定线性相关
2、若R n中的n个向量1 , 2 , ...., n 线性无关, 则R n中 任何一个向量 都可以由1 , 2 , ...., n线性表示,
且表示方法唯一 3、向量组线性无关,其部分组线性无关 4、向量组线性相关,其扩大组线性相关
4
注
1. 1,2 ,
,
线性无关
m
,即只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 knm 0 成立 .
2. 向量组只包含一个向量 时,若 0则 线性相关,若 0,则 线性无关 .
3. 包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5
例:
1
0
0
n维标准单位向量组1
=
0
，
2
=
1
，
1 , 2 , 3 , 。4 线性无关。
15
；
例： 1 (1, 2,3, 2),2 (0, 2, 5,3),3 (1, 0, 2, 4),是否线性相关
；
解：行向量的处理方法，转置
1 0 1 1 0 1
A
2
2
0
0
1
1
3 5 2 0 0 9
2
3
4
0
0
0
r( A) 3,因此1,2,3线性无关
特例：1
,
2
,
....,
n是一组n维向量,向量1,
2
,
....,
线性相关
n
A
0
14
；
例： 1 (1,1,1,1)T ,2 (1,1,1, 0)T ,3 (1,1, 0, 0)T ,4 (1, 0, 0, 0)T , 是否线性相关
；
解：
11 1 1
1
1
1
0 1 0,
11 0 0
10 0 0
10
R(A)=? m
否 有非零解
是 只有零解
1 0 1
2 2
0
0
1
,
2
,
线性相关
3
3 5 2
11
总结：
设1 , 2 , ...., m是一组n维向量,则判断线性相关或者线性无关
主要看是否存在一组不全为0的数k1, k2, , km , 使得:
k11 k22 kmm 0
a1i
a11 a12
令i
a2i
,
A
a21
a22
ani
an1 an2
a1m k1
a2m
,
x
k2
anm
km
则上式变为考虑线性方程组:Ax 0是否能有非零解问题
12
定理:设1 , 2 , ...., m是一组n维向量，则下列三个命题等价：
(1)向量1
,
2
,
....,
线性相关
m
(2)齐次方程组Ax 有非零解，A (1,2,....,m)
1 2
0 1
0 0
3
0
3 0
1 0
0 1
0 0
-5 1
4
3
2
1
1
0
0
0
1
-2
所以 41 52 3 24
17
2、证明类，给定符号表达的向量组的相关性
解题方法：
写出线性关系表达式，利用已知条件判 定是否存在不全为零的系数。
例
:
1
,
2
,
线性无关,证明:
3
(1)1 2 ,2 3,3 1 线性相关
(3)R(A) < m
特例：1
,
2
,....,
n是一组n维向量,向量1,
2
,
....,
线性相关
n
A
0
13
定理:设1 , 2 , ...., m是一组n维向量，则下列三个命题等价：
(1)向量1,
2
,
....,
线性无关
m
(2)齐次方程组Ax 只有零解，A (1,2,....,m)
(3)R(A)= m
20
感谢下 载
；
例： 1 (1, 2,3)T ,2 (0, 2, 5)T ,3 (1, 0, 2)T ,是否线性相关
解：三步走过程。
第一步：构造线性表达式： x11 x22 x33 0
1 0 1
第二步：带入相应的数值：
x1
2
x2
2
x3
0
0，
3 5 2
8
即
x1 0 x3 2x1 2x2
线性相关与线性无关
1
引例：
如果向量 与 方向相同或方向相反，则称为共线或平行
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面
我们很明显可以得到与 之间的代数关系：
存在唯一的实数 ， . 或者 存在不全为0的实数 与，使得k1 k2 0.
2
2
3
1
也可以得到1,2,3 之间的代数关系：
存在唯一的实数 与，使得1 2 3.
16
例: 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4),2 (0,1, 2,3),3 (0, 0,1, 2)
4
(0,
0,
0,1);问
是否可由1,
2
,
3
,
线性表出,结果是多少
4
解: 注意处理行向量的方法
1 0 0 0 4 1 0 0 0 4
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
,
T
)
2 3
(2)1 2 ,2 3,3 1 线性无关
18
三、线性相关、线性无关、线性表示间关系
1、设1,
，
2
m是m个n维向量，则1
,
，
2
线性相关
m
m个向量中至少有一个向量可由另外的m 1个向量线性表示。
2、
设
, ,,
12
m
线性无关,而
, ,, 12
, m
线性相关,则
能由 , ,,
12
m
线性表
示, 且表示法是唯一的.
， n
0
0
0
1
线性无关
6
二、几类典型问题求解
• 1、给定确定的向量组，判别它们是否线性相关或线性无关 • 2、证明类，给定符号表达的向量组的相关性
说明 :
我们这里讨论的向量都是列向量，若1,2
是行向量，
m
则讨论1T
,
T 2
mT，不影响最后的结论。
7
1、给定确定的向量，判别是否线性相关或线性无关