第三章 数字图像处理的数学基础

j
卷积和序列y(i)的长度为
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
三、卷积与滤波 数学上的卷积运算在信号处理和图像处理学科上通常 又称为滤波。 线性移不变系统输入和输出之间的关系，除了可以用 传递函数来描述之外，还可以采用卷积的方法来表示。 即线性移不变系统的输出可通过输入信号与代表了系 统特性的冲激响应函数h(t)的卷积得到,即
第3章 数字图像处理的数学基础
3.4相关函数
二、相关与卷积的关系 数学上可以证明，相关本质上是一个信号反折后的卷积
R fh (t ) f (t ) * h(t )


f ( )h(t )d f [( )]h(t )d


f (t ) * h(t )
f (t )
1
0
(i)
2
4
t
0, 1 t 2 t 1, 4 f (t ) 1, 1 2 t t , 4
t 2
or
t4
2t 0 0t 2 2t 4
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
知识拓展——冲激信号
单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义
y(t ) u( )h(t )d h( )u(t )d
∞
∞
u(t )* h(t )
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
其中h(t)与系统的冲激响应一致，因此称为 冲激响应函数，即当输入为单位冲激函数时
y(t ) ( )h(t )d (t ) * h(t ) h(t )
2
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
步骤5续
t4
f1 ( )
1
0
(h)
f 2 (t )
2
2 t 2
t
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0 即
F (t ) f1 (t )* f 2 (t ) 0
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
最终结果
2
轴-∞<t<∞.
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
例：求下图所示的f1(t)与f2(t)的卷积积分F(t)
f1 (t )
f 2 (t )
1 2
1
2
0
t
0
2
t
f1 ( )
f2 ( )
1
步骤1
2
1
0
( a)
2

0
(b)
2

第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
f 2 ( )

(3) 在包含 (t )出现的位置的任意区间范围内面积为1。

0
0
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波 知识拓展——冲激信号
冲激函数的性质 （1）抽样性
f (t ) (t ) f (0) (t )


f (t ) (t ) d t f (0)
（2）奇偶性
3.3卷积与滤波
卷积积分 f1 (t )* f 2 (t ) 的图解法步骤：
（1）变量替换：将函数 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 的自由变量由t变换成τ； （2）反折：将函数 f 2 ( ) 以纵轴为轴线反折，得到对于纵轴的
镜像 f 2 ( ) ; （3）平移：将函数 f 2 ( )沿正向τ轴平移时间t，得到函 数 f 2 (t ) ； （4）相乘求积分：将反折并平移后的函数 f 2 (t ) 乘以 f1 ( ) ， 并求积分值 f1 ( ) f 2 (t ) d ; （5）重复步骤（3）、（4），直到平移时间t覆盖了整个时间
l

P1
P ( x, y)
f ( x x , y y ) f ( x , y ) 记作 f lim l 0
记 PP1 x y .
2 2

则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
第3章 数字图像处理的数学基础
3.5 二维系统及矩阵运算
f 2 f 2 ( ) ( ) x y
梯度的方向是f（x，y） 变化最快的方向
则称该二维系统为线性系统。
第3章 数字图像处理的数学基础
3.5 二维系统及矩阵运算
二、二维位置不变线性系统 对于任意一个二维系统，若给定输入f(x，y)，产 生输出g(x，y) 即： g ( x, y ) T [ f ( x, y )]
将输入信号自变量x和y分别平移x0和y0，若满足 以下条件
复习——方向导数与梯度
复习偏导数定义 :
z f (P) f x , y

f x , y f x x , y f x , y lim x 0 x x f x , y f x , y y f x , y lim y 0 y y
dt 1 (t ) (t 0) (t ) 0
(t )
(1)
0
从下面三点来理解冲激信号 (1) (t ) 除了 (2) (t ) 在
t
t 0之外取值处处为零；
单位冲激信号
t 0 处为无穷大；
(t )dt (t )dt 1
相同的平移，其他不变。
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3.2调谐信号分析
一、调谐信号
x t e
2
j t
cos t j sin t
其中j 1, 且 2 f
调谐信号可视为一个在复平面内以角速度ω旋转的 单位向量，且有ω=2πf
第3章 数字图像处理的数学基础
一、连续卷积
根据数字信号处理理论，卷积的定义为
F (t ) f1 (t )* f 2 (t )
其性质如下： 交换率 结合率 分配率 交换率



f1 ( ) f 2 (t ) d
u*h=h*u (u*h)*y=u*(h*y) u*(h+y)=u*h+u*y
第3章 数字图像处理的数学基础
偏导数反映了函数 f P 沿坐标轴方向上的 变化率 .
第3章 数字图像处理的数学基础
3.5 二维系统及矩阵运算
定义: 若函数 f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 处 沿方向 l (方向角为 , f lim
0
一、方向导数
复习——方向导数与梯度 ) 存在下列极限:
1
t 2
f1 ( ) f 2 (t )
0
(f)
2
t
2

1 f( (t t) ) 1 (t )d 1 F t 2 2
t
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
步骤5续
2t4
f1 ( )
1
0
t 2
(g)
f 2 (t )
2
2
t

1 1 2 Ff(t )) t 21 (t )d t t (t 2 4
y(t)
当且仅当该系统具有如下性质时：
该系统是线性的。
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3.1线性系统
二、移不变系统
输入信号自变量t沿坐标轴平移T时刻，若满足 F(u(t-T))=y(t-T)
则称该系统具有移不变性。
对于移不变系统，平移输入信号仅使输出信号移动同 样长度，输出信号的性质不变。 若输入图像相对于其远点有一平移，则输出图像除了
复习——方向导数与梯度
若函数 f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 处 可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
定理:
f f f cos cos l x y
l

即x轴和y轴到方向l的转角
P
P ( x, y)
机动
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结束
3.2调谐信号分析
输入信号和输出信号存在以下关系
因此有
从而有
即 所以有
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3.2调谐信号分析
三、系统传递函数 1.传递函数的形式(极坐标形式) 2.线性移不变系统对余弦函数的输出 若输入一余弦信号，且令其为某调谐信号的实部，即
则由于系统对调谐输入信号的响应为
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f 2 (t )
1
f1 ( )
0
(e)
t 2

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2 t
2

f (t ) F
1 1 2 f1 ( ) f 2 (t )d 1 (t )d t t 1 2 2 4
t
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3.3卷积与滤波
步骤5续
0t2
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3.5 二维系统及矩阵运算
一、二维线性系统
g i ( x, y ) T [ f i ( x, y )]
若该系统输入输出满足以下特性
a1 g1 ( x, y) a2 g 2 ( x, y) T [a1 f1 ( x, y) a2 f 2 ( x, y)] a1T [ f1 ( x, y)] a2T [ f 2 ( x, y)]
g ( x x0 , y y0 ) T [ f ( x x0 , y y0 )]
则称为二维位置不变线性系统
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3.5 二维系统及矩阵运算
二维位置不变线性系统的输出 对于二维连续系统
对于二维离散系统
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3.5 二维系统及矩阵运算


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3.4相关函数
一、相关函数的定义
任意两个信号的相关函数定义：
R fh (t ) f (t ) h(t )


f ( )h(t )d
相关函数是信号之间相似性的一种量度。 1.自相关函数 若f(t)=h(t),则 2.互相关函数 若f(t)≠h(t),则 而
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数字图像处理
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第三章 数字图像处理的数学基础
线性系统 调谐信号分析 卷积与滤波 相关函数 二维系统 灰度直方图
第3章 数字图像处理的数学基础
3.1线性系统
一、线性系统
u(t)
实际应用系统 (线性系统) f[*]
知识回顾——泰勒级数
f (z)


n 0
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 )n 成立， n!
2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)!
z z n z cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
(t ) (t )
（3）卷积性质
f (t ) (t ) f (t )
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3.3卷积与滤波
卷积运算的性质——与冲激信号的卷积
f (t ) u(t ) f ( x)dx

t
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3.3卷积与滤波
二、离散卷积
y(i) u (i) * h(i) u ( j )h(i j )
2
4
2n
( R )
z z z e 1 z 2! n! n 0 n!
z
2
n

(n R )
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3.2调谐信号分析
二、对调谐信号的响应
对于线性移不变系统，若输入调谐信号 即
则系统响应为
若输入调谐信号
即
则系统响应为
第3章 数字图像处理的数学基础
第3章 数字图像处理的数学基础
3.5 二维系统及矩阵运算
三、二维系统的梯度算子 1. 连续系统梯度算子 对于连续系统，在坐标位置(x,y)处的梯度向量为：
可写为：
i f ( x, y ) j f ( x, y ) x y f f i j x y
由于梯度是向量，因此其幅值为
步骤2
2
1
0
(c)

步骤3、4 t 2
t 2
f 2 (t )
1
0
(d)
f1 ( )
t 2
2

两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0 即
F (t ) f1 (t )* f 2 (t ) 0
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波
步骤5
2t 0
3.2调谐信号分析
因此，系统的实际输出为
综上所述，线性移不变系统具有以下性质：
（1）调谐输入产生同频率的调谐输出； （2）系统的传递函数是一个仅依赖于频率的复函数，它包
含了系统的全部特征信息；
（3）传递函数对调谐输入信号仅产生幅值的缩放和相位的 平移。
第3章 数字图像处理的数学基础
3.3卷积与滤波