福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第53讲 两直线的位置关系与对称问题

4．对称变换
1曲线C：F ( x，y) 0经过上述规律进行变
换f ，得曲线C '，则C '为C关于f 对称的曲线．
2 若C '的方程与C的方程相同，则证明曲线
C自身具有对称性．
特例：曲线C：F ( x，y ) 0关于x轴、y轴、原点 对称的曲线C 的方程分别为F ( x， y ) 0， F ( x，y ) 0，F ( x， y ) 0；关于直线y x， y x，y x b，y x b对称的曲线C 的方 程分别是F ( y，x) 0，F ( y， x) 0， F ( y b，x b) 0，F ( y b， x b) 0； 关于直线x a，y b，点M (a，b)对称的曲线C 的方程分别为F (2a x，y ) 0，F x, 2b y 0， F 2a x, 2b y 0.
aa－1－b＝0 a＝2 所以 ，解得 . －3a＋b＋4＝0 b＝2
方法 2：由已知可得 l2 的斜率必存在， 所以 k2＝1－a. 若 k2＝0，则 1－a＝0，a＝1. 因为 l1⊥l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0. 又因为 l1 过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0， 即 b＝3a－4＝－1≠0(不合题意)， 所以此种情况不存在，即 k2≠0.
【分析】 设出直线方程，利用点到直线的距离 公式求出系数即可．
【解析】 (1)①当 l 的斜率 k 不存在时显然成立，此 时 l 的方程为 x＝2. ②当 l 的斜率 k 存在时， 设 l：y＋1＝k(x－2)，即 kx－y－2k－1＝0， |－2k－1| 3 由点到直线的距离公式得， 2 ＝2，解得 k＝4， 1＋k 所以 l：3x－4y－10＝0. 故所求 l 的方程为 x＝2 或 3x－4y－10＝0.
掌握两直线平行与垂直的条件、点到 直线的距离公式、中心对称和轴对称 的概念，能根据直线的方程判断两直 线的位置关系，会求两相交直线的交 点坐标和两平行直线间的距离，能把 握对称的实质，并能应用对称性解题．
1．平面内的两条直线的位置关系 若直线l1：y k1 x b1或A1 x B1 y C1 0； 直线l2：y k2 x b2或A2 x B2 y C2 0. 且A2 C1 A1C2 0(或B1C2 B2C1 0)．
素材1
已知两直线 l1： mx＋8y＋n＝0 和 l2： 2x＋my－1＝0， 试确定 m、n 的值，使： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
【解析】(1)由 m· m－8×2＝0，得 m＝± 4.
m＝4 m＝－4 由 8×(－1)－n· m≠0，得 或 ， n≠－直线 x＝1 对称的直线方程 是 x＋2y－3＝0 .
【解析】由已知及对称几何性质可设所求直
x＝1 线的方程为 x＋2y＋λ＝0.又由 ， 得 x－2y＋1＝0
点 A(1,1)．又点 A 在直线 x＋2y＋λ＝0 上，从而 λ＝－3，故对称的直线方程为 x＋2y－3＝0.
一 两条直线的位置关系
【例 1】 已知两条直线 l1： ax－by＋4＝0 和 l2： (a－1)x ＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a、b 的值． (1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
【解析】(1)方法 1：因为 l1⊥l2 且 l1 过点(－3，－1)，
1.如果直线 l1：ax＋2y＋1＝0 与直线 l2：x＋y－2＝0 互相垂直，那么 a 的值等于( A．1 2 C．－3 1 B．－3 D．－2 )
【解析】方法 1：由 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，求得 a ＝－2. 方法 2：若两直线垂直且斜率存在，则 k1·2＝－1， k a 即(－2)· (－1)＝－1，得 a＝－2.
3.不等边△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，且 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数 列，则直线 xsin2A＋ysinA＝a 与直线 xsin2B＋ysinC＝c 的位置关系是( A．平行 C．重合 ) B．垂直 D．相交但不垂直
【解析】因为 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列， 所以 sin2B＝sinA· sinC. sin2A sin2A sinA a 由正弦定理可知，sin2B＝sinA· ＝sinC＝c ， sinC 故两直线位置关系是重合，故选 C.
(2)数形结合可得，过点 P 且与原点 O 距离最大的 直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线． 1 由 l⊥OP，得 klkOP＝－1，所以 kl＝－k ＝2. OP
由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y＋1＝2(x－2)， 即 2x－y－5＝0， 即直线 2x－y－5＝0 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直 |－5| 线，最大距离为 ＝ 5. 5
4 所以 l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即b＝b，④
2 a＝2 a＝ 则联立③④解得 或 3 b＝－2 b＝2
，
2 所以 a、b 的值分别为 2 和－2 或3和 2.
【点评】在运用直线的斜截式 y＝kx＋b 时，要特别 注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式 Ax＋By＋C＝0 时， 要特别注意 A、 为零时的特殊情况． B 另 外求解与两直线平行或垂直有关的问题时， 主要是利用两 直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况， 可考虑用数形结合的方法去研究．
2.过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是 ( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
1 【解析】方法 1：过点(1,0)且斜率为2的直线方程为 y 1 ＝2(x－1)，即 x－2y－1＝0. 方法 2：设所求直线方程为 x－2y＋c＝0， 因为点(1,0)在直线上， 所以 1－0＋c＝0， 所以 c＝－1， 所以所求直线方程为 x－2y－1＝0.
5.已知点(x0，y0)在直线 ax＋by＝0(a，b 为常数)上， 则 x0－a2＋y0－b2 的最小值为 a2＋b2 .
【解析】
x0－a2＋y0－b2可看作点(x0，y0)与
点(a，b)的距离，而点(x0，y0)在直线 ax＋by＝0 上，所以 x0－a2＋y0－b2的最小值为点(a，b) a2＋b2 到直线 ax＋by＝0 的距离，为 2 2＝ a2＋b2. a ＋b
三 两直线的交点问题
【例 3】求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2： x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
【分析】 求 l 的方程： 思路一：求交点，定斜率，用点斜式求解． 思路二：利用直线系方程求解．
x－2y＋4＝0 x＝0 【解析】 方法 1：由方程组 ，解得 ， x＋y－2＝0 y＝2
若 k2≠0，即 k1、k2 都存在． a 因为 k2＝1－a，k1＝b，l1⊥l2， a 所以 k1·2＝－1，即b(1－a)＝－1.① k 又因为 l1 过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(2)因为 l2 的斜率存在，l1∥l2， 所以直线 l1 的斜率存在， a 所以 k1＝k2，即b＝(1－a)．③ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， l1∥l2， 且
1 l1 //l2 ① __________ 且b1 b2或② ____ 2 l1 l2 ③ __________ 或④ __________. 3 l1与l2相交 A1 B2 A2 B1 0. 4 l1与l2重合 k1 k2且b1 b2或A1 B2 A2 B1 0
特别地，若l1：Ax By C1 0， l2：Ax By C2 0， 则l1与l2间的距离d ⑥ __________ .
3．中心对称与轴对称
1中心对称：求P( x0，y0 )关于点M (a，b)对称
的点P的基本方法是转化为M 是线段PP的中 点求，即P 2a x0, 2b y0 ． 特例：当a 0，b 0时，P ( x0，y0 )关于原点的 对称点为P( x0， y0 )．
即 m＝4，n≠－2 时，或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2.
(2)当且仅当 m· 2＋8· m＝0，即 m＝0 时，l1⊥l2. n 又－8＝－1，所以 n＝8， 即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为－1.
二
有关距离问题
【例 2】已知点 P(2，－1)． (1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程， 最大距离是多少？
【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的 距离公式是常用的公式，应熟练掌握．
2．点到几种特殊直线的距离： (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a 的距离 d＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝b 的距离 d＝|x0－b|.
2 轴对称：求已知点P( x0，y0 )关于已知直线l：
y kx b的对称点P( x，y )的基本方法是转化为求方程 PP ' l ⑦ 组的解，即由 ' 线段PP 的中点p0 l ⑧ .
特例：当k 0， 1或b 0时，分别有以下规律： ⅰ P( x，y )关于x轴、y轴对称的点分别为 () P ( x， y )，P2 ( x，y )． 1 (ⅱ) P( x，y )关于直线y x，y x对称的点分别 为⑨ __________________. (ⅲ) P( x，y )关于直线y x b，y x b对称的 点分别为P5 ( y b，x b)，P6 ( y b， x b)． (ⅳ) P( x，y )关于直线x a，y b对称的点分别为 P7 (2a x，y )，P8 x,2b y ． 注意：当k 1,0时，不具有上述规律．
【要点指南】 ①k1 k2；②A1 B2 A2 B1 0；③k1k2 1； | Ax0 By 0 C | ④A1 A2 B1 B2 0；⑤ ； A2 B 2 y y0 | C1 C2 | ⑥ ；⑦ k 1； x x0 A2 B 2 y y0 x x0 ⑧ k b； 2 2 ⑨P3 ( y，x)、P4 ( y， x)
素材2
在直线 x＋3y＝0 上求一点 P，使它到原点的距离与 到直线 x＋3y－2＝0 的距离相等．
【解析】设点 P 的坐标为(－3t，t)， |－3t＋3t－2| 则 －3t ＋t ＝ ， 2 2 1 ＋3
2 2
1 解得 t＝± ， 5 3 1 3 1 所以点 P 的坐标为(5，－5)或(－5，5)．
且A1C2 A2 C1 0(或B1C2 B2C1 0)．
2．点与直线的位置关系 设点P( x0，y0 )，直线l：Ax By C 0， 则 1点在直线上：Ax0 By0 C 0.
2 点在直线外：Ax0 By0 C 0. 3点到直线的距离d ⑤ ___________.