2014年数学建模国赛嫦娥三号优化轨道的求解省一等奖论文
数学建模A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
。
着陆轨道和控制策略 误差分析和敏感性分析
问 题 三
3
模拟行星表面着陆区域内石块或撞击坑的平均个数、 直径分布和位置;其次，在着陆区域内，探测器随机选 择某着陆点降落，根据着陆安全判定方法判定着陆是 否安全，计算得到探测器安全着陆概率为 P=0.8471
。
着陆轨道和控制策略 误差分析和敏感性分析
H2-H3 制导段飞行过程
。
问 题 二
联立方程可得
横向总位移：
S X v Hxt2
m m m ln( 1 t ) t t ln( 1 t ) 2 2 2 2 m m m Hx Hx F m m m ln( 1 t ) t t ln( 1 t ) H H HX H m m X X m m X
问 题 三
为提高探测器软着陆成功概 率，对探测器的安全着陆概率进 行敏感性分析。对仿真中着陆区 域面积大小进行改变，得出
安全着陆概率随着陆区域边长的变化曲线
3
由变化曲线图可知，着陆区域面积大 小对安全着陆概率的影响较小。
。
评 估 与 改 进
模型的评估
研 究 成 果
1
2
4
结合工程实际，采用分段 控制的方法，根据不同阶 段的任务要求，制定了不 主发动机和辅助发动机共同 同的控制策略，从而满足 作用进行制导飞行，使制导 着陆精度的要求。 根据推力阶梯可调式发动机特 方式更为简单，增加了工程 点，采用景象匹配导航并通过 上的可行性。 分段控制方法得到精确软着陆 各个控制阶段的飞行状态和控 制变量的仿真结果。
F m
2
喷口切换点横向速度为：
vHx F m F m ln1 tHx ln 1 t2 m mHx m m
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(A)题目
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1：问题的背景与参考资料；附件2：嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；附件3：距月面2400m处的数字高程图；附件4：距月面100m处的数字高程图。
附件1：问题A的背景与参考资料1．中新网12月12日电(记者姚培硕)根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。
北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。
2014全国大学生数学建模大赛获奖作品解析
承诺书我们认真阅读了中国大学生数学建模比赛的比赛规则.我们完好理解，在比赛开始后参赛队员不可以以任何方式（包含电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包含指导教师）研究、议论与赛题有关的问题。
我们知道，剽窃他人的成就是违犯比赛规则的 , 假如引用他人的成就或其余公然的资料（包含网上查到的资料），一定依据规定的参照文件的表述方式在正文引用途和参照文件中明确列出。
我们郑重许诺，严格恪守比赛规则，以保证比赛的公正、公正性。
若有违犯比赛规则的行为，我们将遇到严肃办理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛队号为（赛区已经给每个队设置）：08*** ×××所属学校（请填写完好的全名）：东北石油大学参赛队员(打印并署名 ) ： 1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并署名 )：×××日期： 2014 年 08 月 25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅行进行编号）：08003嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略纲要重点词：实质通行能力、通行量饱和度、偏差修正、多项式拟合与插值、车流颠簸理论一、问题重述嫦娥三号于2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分红功发射， 12 月 6 日到达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运转质量为 2.4t ，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N 到7500N 的可调理推力，其比冲（即单位质量的推动剂产生的推力）为2940m/s，能够知足调整速度的控制要求。
在周围安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动经过多个发动机的脉冲组合实现各样姿态的调整控制。
嫦娥三号的预约着陆点为19.51W ， 44.12N ，海拔为 -2641m。
嫦娥三号在高速飞翔的状况下，要保证正确地在月球预约地区内实现软着陆，一定对着陆轨道和控制策略进行设计。
要求着陆轨道近月点为15km ，远月点100km 的椭圆轨道。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型一、本文概述随着航天技术的飞速发展，人类对月球的探索和利用进入了全新的阶段。
嫦娥三号作为我国探月工程的重要组成部分，其成功软着陆于月球表面，不仅标志着我国航天技术的重大突破，也为后续深空探测任务奠定了坚实的基础。
然而，软着陆过程作为探月任务中的关键环节，其轨道设计与控制策略的优化问题一直是航天领域的研究热点和难点。
本文旨在探讨嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型，通过对现有研究成果的综述和深入分析，以期为我国未来探月工程及深空探测任务的轨道设计与控制提供理论支持和实践指导。
本文将对嫦娥三号软着陆任务进行简要介绍，包括任务背景、软着陆过程的关键技术难点以及面临的挑战。
在此基础上，重点阐述轨道设计与控制策略在软着陆过程中的重要性，以及优化模型建立的必要性。
文章将综述国内外在月球软着陆轨道设计与控制策略方面的研究成果，包括轨道优化方法、制导与控制策略、以及着陆精度与稳定性等方面的研究现状。
通过对比分析，总结现有研究成果的优点和不足，为后续的优化模型建立提供理论依据。
本文将提出一种针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化模型。
该模型将综合考虑轨道动力学特性、制导与控制算法、着陆环境等多因素，通过数学建模和仿真分析，实现对轨道设计与控制策略的优化。
还将对优化模型进行验证和评估，以确保其在实际应用中的可行性和有效性。
本文的研究不仅有助于提升我国探月工程及深空探测任务的技术水平，还可为其他航天器在复杂环境下的轨道设计与控制提供有益的借鉴和参考。
二、月球环境及轨道特性分析在进行嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的优化之前，首先需要对月球的环境和轨道特性进行深入的分析。
月球，作为地球的唯一天然卫星，其表面环境复杂多变，重力场分布不均，且没有大气层保护，这些特点对嫦娥三号的软着陆轨道设计和控制策略提出了更高的要求。
月球的重力场分布对轨道设计有着直接的影响。
由于月球内部质量分布不均，其重力场呈现出复杂的特性，尤其是月球表面附近的重力梯度变化较大。
数学建模获奖论文A题-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。
我国的探月工程项目也一直走在世界前列。
嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。
对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。
本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。
在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。
最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。
在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。
在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。
第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。
第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。
在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。
在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。
然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。
关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
大学生数学建模论文
大学生数学建模论文现代社会对数学应用的需要导致了全球范围内的数学教育改革，而数学建模是经济社会与数学教育相结合的重要发展的产物。
下文是店铺为大家搜集整理的关于大学生数学建模论文的内容，希望能对大家有所帮助，欢迎大家阅读参考!大学生数学建模论文篇1浅谈MATLAB在数学建模中的应用摘要：数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段，是数学与各个领域沟通的桥梁，本文先介绍了数学建模的概念，然后对MATLAB软件相关特点做出介绍，其次从数学建模实例出发，说明了MATLAB软件在数学建模中的重要作用，结果表明MATLAB软件可以使数学建模效率提高，结果清晰、明确，同时在数学教学方面也有重大意义。
关键词：数学建模;MATLAB;数学模型;数值计算21世纪的今天，我们生活在“大数据”时代里，数据信息隐藏于各行各业，如互联网、股市、勘探、军工、商业等，可以说我们每天都在跟数据打交道，因此高效的数据处理方式显得尤为重要。
数学建模是联系实际问题与数学之间的桥梁，建模的思想与以往解决问题的思路有很大的不同，我们以往求解数学问题时，都有明确的目标和已知条件，我们只要通过合理的方法，进行多次的数学运算，便能得到问题的解析解，但在现实生活中，很多实际问题是很难得到解析解的，甚至求解的问题和结果的范围都是模糊不清的，数学建模主要就是解决这样的问题，我们以实际问题出发，根据已有的经验，对已有的数据进行相关的分析、处理，通过合理的简化，建立合适的模型，再求解模型，最终会得到结果，这种方法行之有效，在实际生活中，通过建模已经解决了大量难题，近年来，随着科技的飞速发展，很多数学软件应运而生，如MATLAB、Mathematic、Maple等，目前应用最为广泛的数学软件便是MATLAB，它是1984年由美国MathWork公司推出的商业数学软件，用于算法开发，数据可视化、数值计算的高级计算语言和交互式环境，凭借计算功能强大、操作简便的特点在数学软件中脱颖而出，使得很多人在建模中选择该软件。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略作者：何悠罗琦刘金华来源：《硅谷》2014年第23期摘要基于2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题，本篇论文采用极坐标分析受力和函数逼近法确定嫦娥三号在各个阶段的软着陆轨迹，运用MATLAB图像处理和改进的局部最优算法解决了在避障阶段着陆器的处理方案并确定其降落区域。
最优控制策略则主要考虑的是飞行过程中的燃料消耗，在满足开关函数时燃料消耗最少。
通过本文提出的方法，在数学建模竞赛中获得优异的成绩，因此可证明方法的正确性和有效性。
关键词月球软着陆；MATLAB图像处理；函数逼近法；改进的局部最优算法中图分类号：V4 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2014）23-0014-021 背景介绍软着陆是航天器经专门减速装置减速后，以一定的速度安全着陆的着陆方式。
嫦娥三号软着陆过程大致可分为6个阶段：着陆准备轨道，主减速段，快速调整段，粗避障段，精避障段，缓速下降阶段。
对软着陆过程研究的关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15 km，远月点100 km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程的6个阶段中，要求满足每个阶段在关键点所处的位置和速度状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
2 建立软着陆过程的模型目前研究月球软着陆的文献中探测器的动力学模型大多都是采用二维模型，而且得到的模型都是在忽略月球自转的基础上得到的。
但由于各种误差和月球自转等因素的存在，探测器很难保证始终在固定的二维平面中运动。
在以往的研究中，文献[1]中叙述探测器在三维空间的运动，但所用模型将月球引力场假设为平行定常引力场，并且没有考虑月球自转对系统的影响。
文献[2]中通过建立三维空间动力学模型精确地对探测器的飞行进行分析，为了模型的简化，同时从距离15 km左右的轨道到探测器接近月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，因此本论文的受力分析中均忽略月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素。
2014全国数学建模A题一等奖论文
v2 = 526.94m / s 。即远月点的速度为 526.94 m / s .方向为水平方向。
图 3 着陆准备轨道环绕模拟
由于近月点和远月点分别是椭圆轨道的长半轴的两个端点， 且两点的连线经过月心 (图 3)，因此由对称性可知远月点的位置为(19.51E，32.31S)，高度为 100000 米。
360 = 30.301千米 / 度 2πR P 为纬度改变 1o 水平距离的改变量。 p=
根据能量守恒定律可知：
1 2 1 2 mv1 + mg ′h近 = mv 2 + mg ′h远 2 2 其中： v1 为近月点的速度； v2 为远月点的速度。
⑵模型的求解 在本题中由于我们无法确定任意时刻减速动力以及速度的大小及方向， 因此我们通 过假设简化模型，从而对问题进行求解。由于发动机推力主要是用于减少飞行器的横向 速度，同时克服由月球引力引起的径向速度，我们假设了嫦娥三号可以通过自身调节机 制使得自己在运动过程中竖直方向受恒力作用，方向向下，水平方向也受恒力作用，方 向与水平速度方向相反，初速度为 1700m/s。 因此我们可以将抛物线下降的过程分解成竖直方向匀加速，水平方向匀减速的运 动。（如图 1）由附件 2 可知，嫦娥三号在 3000m 时已经基本位于目标上方，所以我们 认为在 3000 米处水平速度近似为 0，57 m / s 为其竖直方向速度。
§3 模型的假设
1．由给出的附件月球的形状扁率为1/963.7256，数量级较小，假设月球为一个球体。 2．由于从近月点100km左右的高度降落到地球表面的时间比较对短，假设嫦娥三号不受 非球项、日月引力摄动等影响因素的影响。 3．假设月球引力场为平行定常引力场，嫦娥三号着陆轨道不受月球自转的影响。 4．假设月球表面海拔为零的球面势能为0。 5．假设嫦娥三号水平移动的距离近似为着陆划过月球表面弧度长度。 6．假设月球的重力加速度恒定，为 1 / 6 g 。
2014年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：许昌学院参赛队员(打印并签名) ：1. 张彦平2. 李晓伟3. 吴海峰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要对于问题一：由于嫦娥三号从近月点下落到着陆点的经度偏移很小，以月球庞大的体积来说几乎可以忽略不计，而且资料中也没有给出嫦娥三号下落过程中的经度偏移数据，所以我们可以假设嫦娥三号的近月点在月球上的投影坐标与着陆点在同一条经线上。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略大学生数学建模竞赛B题获奖论文
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文首先在变推力发动机使加速度线性变化的条件下，给出了位置速度状态参数以及推力加速度、推力和秒流量的计算模型，建立了软着陆过程的运动方程，并根据质量计算公式得出了速度增量最小时燃耗最小的结论，此时满足着陆轨道最优的条件，并由上述结论求出该轨道下最小速度增量为1749m/s, 近月点到着陆点的月心角为 8.7，即确定了近月点的位置，根据近月点、远月点和月心在一条直线上也就确定了远月点的位置，然后根据开普勒定律的速度计算公式，确定了椭圆轨道中近月点和远月点的速度。
近地点速度为 1.691km/s，方向与月心和近地点连线方向垂直，即速度方向与月心和着陆点连线的夹角为82.2 ；远地点速度为1.612km/s，方向与月心和远月点的连线方向垂直，且与近月点速度方向相反。
其次，为了确定软着陆过程6个阶段的最优控制策略，本文根据不同阶段的运动特性建立了模型并给出了3种控制方案，并分别进行了误差分析和敏感性分析，分析了各方案中不同因素对方案的影响，得到可靠的误差范围，并进行了优化。
其中，方案一是针对主减速和快速调整段提出的。
由于在主减速和快速调整段中，着陆器距离月面相对较高且着陆器走过的月面距离较长，将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差。
因此，本文将月球视为球体建立了三维动力学模型，表示出着陆器下降速度在坐标系三轴上的分量。
然后给定初值进行迭代，从而求得协状态变量或中间变量，最终获得最优控制方案。
然后采用蒙特卡洛打靶，假设各误差均符合正态分布，得出了着陆误差分布在1km范围内的结论且在绝大多数情况下着陆的水平速度不大于1m/s。
方案二是针对粗避障和精避障段提出的。
为了避开障碍物，本文采用了基于最大类间方差法的故障检测法，通过这种方法，利用MATLAB对距离月面2400m和100m 处的数字高程图进行分析，从而确定故障区域和安全区域。
由于存在多个满足条件的区域可以保证着陆器安全着陆，本文又采用了基于螺旋搜索的着陆点选择方法，该方法可以在存在多个满足条件的安全着陆区域的情况下，兼顾能量消耗最少的原则，选择距离当前位置较近的区域实施着陆，但是该方法的误差范围较大，可能会对着陆区域的选择造成较大的偏差。
“嫦娥三号”软着陆轨道设计与控制策略
关键词
软着陆，轨道设计，优化控制
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
彭家睿 等
Figure 1. Landing preparation orbit diagram.
图 1. 着陆准备轨道示意图
2.3. 近月点与远月点位置的确定
结合参考文献[2]中对主减速阶段飞行时间的求解，再根据该阶段所处的状态，可以得出所需要的时 间应在 415 s，其在月面投影飞行的纬度数为 12.6397˚。又结合嫦娥三号落点位置(19.51˚W，44.12˚N)， 假设嫦娥三号软着陆轨道为过月球自转轴的平面，且从南至北着陆，那么可以求出嫦娥三号的近月点的 纬度为
2 ux 7500 (t ) + u2 y (t ) =
dx dy = m ( t0 ) 2400, = x ( t0 ) 0, = y ( t0 ) y01752013, = ( t0 ) 0, ( t0 ) 1692.7, = dt dt
dx dy x 2 (= t f ) + y 2 ( t f ) 1737373, ( t f ) = + ( t f ) 57. dt dt
摘
要
着陆器要准确在天体表面预定区域内实现软着陆，关键是着陆轨道与控制策略的设计。本文利用开普勒
文章引用: 彭家睿, 金之熔, 李立军, 谭艳祥. “嫦娥三号”软着陆轨道设计与控制策略[J]. 应用数学进展, 2018, 7(4): 380-387. DOI: 10.12677/aam.2018.74048
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 福建农林大学 13016004
A
吴启玄 蔡雅珊 陈浩然 (打印并签名)： 郑婷婷
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上 内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资 格。） 日期： 2014 年 09 月 12 日
图 1 嫦娥三号近月点与着陆点的位置示意图
由牛顿第二定律：
3
F ma 即可求解出在主减速段嫦娥三号的加速度 a 。再运用加速直线运动公式： 2 vt2 v0 2as 计算求得近月点至着陆点在 h1 1.5 104 m 高空处的距离 s 。
（1） （2）
由于月球总是一面对着地球，天文学上就把可视面的中间线作为本初子午线，南北 极也参照地球上的南北极，取垂直于经线的最大纬度圈为月球赤道。即可模拟出嫦娥三 号近月点与着陆点的位置示意图如图 1。 着 陆 点 A 的 位 置 为 （ 19.51W ， 44.12 N ） 。 由 于 近 月 点 距 离 月 球 表 面 只 有 h1 1.5 104 m ，远远小于月球平均半径 r 1.737 106 m ，所以将 s 近似看作 角所对应 180 s ，求得 角的度数，近月点 C 在月球上的投影 的弧度。利用求得的 s ，代入 rJ 点 B 的纬度 。 设嫦娥三号从近月点降落到着陆点的时间为 t ， 在 t 内月球自转的角度差为 。 那么， 近月点C在月球表面的投影点B的经度 19.51 - 。 （2）速度大小与方向的模型建立 A.速度大小 嫦娥三号准备在月球预定区域内实现软着陆，在着陆准备轨道绕月球转动，属于天 体运动。嫦娥三号的质量为 m 2.4 103 kg ，月球质量 M 7.3477 10 22 kg ，远远大于嫦 娥三号的质量。因此，本文运用天体运动的物理知识来计算求解嫦娥三号在着陆准备轨 道的近月点速度与远月点速度。 开普勒定律 [1] 不仅适用于太阳系，它对于具有中心天体的引力系统（如行星-卫星 系统、卫星-人造卫星系统）和双星系统都成立。开普勒第二定律，也称面积定律，指 的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。 由开普勒行星运动第二定律，可知嫦娥三号在近月点和远月点运动时，它和月球在 t 内扫过的面积相等： （3） 1 1 v J rJ t vY rY t 2 2 Mm 由重力加速度计算公式： G 2 mg ，推导出近月点重力加速度公式： r （4） GM gJ 2 rJ 近月点引力势能为： （5） GMm mgБайду номын сангаасJ rJ rJ 同理可得，远月点重力加速度公式： （6） GM gY 2 rY 远月点引力势能为： （7） GMm mgY rY rY 取距月球无穷远处为引力势能零点，机械能守恒定律：
2014年国赛数学建模论文-嫦娥三号
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》以下简称为（“竞赛章程和参赛规则” 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载），。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
A 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
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）日期：2014 年9 月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要采用软轨道方式使探测器相对于月球的速度小，能够使探测器安全着月，嫦娥三号软轨道的设计关键考虑探测器安全着陆在相对平坦的区域和燃料的节省。
本文主要解决以下三个问题：针对问题一，假设嫦娥三号着陆过程为类平抛运动。
依据嫦娥三号的着陆准备轨道、着月点、月心在同一平面上的原理，利用万有引力提供向心力公式M 1M 2V2，计算求得嫦娥三号在近月点的速度为1.6725km/s，远月点速度G M22R h1R h1 为1.633km/s。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制优化策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制优化策略作者：李琼等来源：《环球市场信息导报》2015年第06期针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略，使用空间直角坐标法、方程组法等方法，分析构建三维坐标椭圆方程模型与方程组模型，Matlab软件编程计算，确定嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置和相应速度的大小与方向，嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略，并对着陆轨道和控制策略做相应的灵敏度分析。
中国国家航天局嫦娥工程包括“绕”、“落”、“回”三个阶段，嫦娥三号是第二阶段的登月探测器，包括着陆器和月球车，它携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。
由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。
本文旨在建立嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略优化模型并进行灵敏度分析（详见2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题[1]）。
1 嫦娥三号着陆轨道和状态的确定研究思路。
从嫦娥三号运行轨道来看，嫦娥三号从远月点开始制动使其沿月球做椭圆运动，当运行到近月点时制动着陆，最后落在虹湾区。
选定嫦娥三号在19.51°W正上空所对应的着陆准备轨道做椭圆运动且近月点在月球极轴的延伸线上，以其极轴为x轴，椭圆中心为原点且月球中心为椭圆焦点，建立空间直角坐标系。
数据处理结果分析嫦娥三号在近月点的位置为B（19.51°W，90°N），速度大小为1700m/s，速度方向在近月点与椭圆相切，即方向与x轴垂直，与y轴平行。
在远月点的位置为D（19.51°W，90°S），相对速度大小为1583.5m/s，速度方向与x轴垂直且与y轴反向平行。
2各阶段最优控制策略的制定研究思路依据问题一中的空间直角坐标系与求得的椭圆方程关系式的分析和进一步理解，确定各阶段的运行轨道[4]和最优控制策略[5]。
数据处理着陆准备轨道阶段。
2014年数学建模国赛嫦娥三号优化轨道的求解省一等奖论文
2014年数学建模国赛嫦娥三号优化轨道的求解省一等奖论文承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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）日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号优化轨道的求解摘要嫦娥三号的成功发射备受国内外的瞩目，标志着我国航天事业又迈出了意义重大的一步。
取得如此成功不是偶然，其中成熟的软着陆轨道设计与控制策略为我国航天事业做出了巨大贡献。
本文确定了着陆准备轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号相应速度的大小与方向，并就嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略提出了优化模型，最后做出了相应的误差分析和敏感性分析。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(A)题目
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1：问题的背景与参考资料；附件2：嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；附件3：距月面2400m处的数字高程图；附件4：距月面100m处的数字高程图。
附件1：问题A的背景与参考资料1．中新网12月12日电(记者姚培硕)根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。
北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。
A2014数学建模论文
I sp gE gx t go g x0 gxf aFH
c
g0
r,v a g T, T1
t0 vt1 ry my h1，h 2
三 模型建立
4
3.1 问题一的模型建立 根据嫦娥三号进入软着陆轨道过程中，当探测器运动到远月点时，月球与探测器之 间的引力为
GM Y m t mt vt2 (ry h1 ) 2 (ry h1 )
r1 v1 v1 g a
a T /M
Fthrust Fthrust v e g 0 M Mc
因反推发动机一旦点火中间不能关闭， 实际任务往往不可避免地存在最大和最小推 力幅值约束，可表示为
0 Fmin Fthrust Fmax
其中最小最大力矩 Fmin , Fmax 为和发动机工作特性相关的常值。 此外，探测器在到达目标着陆区域前需要确保不能撞击到火星地表或其它障碍物， 即至少探测器位于火星表面以上，即
2.2 符号说明
vt gy
gd
近月点的速度 月球表面的重力加速度 地球表面的重力加速度 月球引力常数
3
m u,v,w
着陆器质量 代表轨道坐标系中的速度分量 发动机的比推力 地球重力加速度常量 表示假设为常值的月球引力加速度 表示剩余时间 表示着陆瞬时点引力加速度 表示着陆目标点引力加速度 表示制动推力加速度在水平面上的分量 对应发动机质量排出系数 地球的重力加速度 表示探测器位置和速度矢量 发动机提供的加速度矢量 火星的重力加速度 相应的力矩矢量和力矩幅值 任务剩余时间，为当前时刻到末端状态时刻的时间差 远月点的速度 月球的半径 月球的质量 分别是远月点，近月点到月球的距离
其中，C= I sp g E , I sp 为发动机的比推力， g E 地球重力加速度常量。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：西安XX大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
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取得如此成功不是偶然，其中成熟的软着陆轨道设计与控制策略为我国航天事业做出了巨大贡献。
本文确定了着陆准备轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号相应速度的大小与方向，并就嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略提出了优化模型，最后做出了相应的误差分析和敏感性分析。
针对问题一，建立基于开普勒第二定律和能量守恒定律的绕月模型对远月点近月点的速度进行求解，求得近月点的速度为1962m/s,远月点的速度为1613.76m/s,方向都沿轨道的切线方向且指向嫦娥三号的运动方向。
然后建立了两个lingo优化模型对近月点和远月点的位置进行求解，其中一个是变推力恒质量优化模型，另外一个是变质量恒推力优化模型。
通过比较分析，后者燃料消耗比前者更少，且主减速阶段的用时更少，所以认为变质量恒推力优化模型更优。
然后用matlab绘制最优变量的变化图直观分析，通过三维空间的几何关系求出近月点位置（39.236W或0.216E，46.555N，15000m）,远月点位置（179.784W或140.764E，68.375S，100000m）。
针对问题二，主减速阶段用时432秒，消耗燃料1102.9kg。
快速调整阶段考虑建立lingo优化模型进行求解，用时约21.24s, 消耗燃料30.25kg；粗避障阶段首先用matlab 的imread功能将图片导入，然后应用螺旋搜索算法搜索最优着陆点，然后用lingo就嫦娥三号的控制策略进行优化，求得耗时约58.7s,消耗燃料57.97396kg；精细避障阶段与粗避障阶段的处理方法近似，求得用时19.44s,消耗燃料9.920428kg；缓慢降落阶段直接用lingo进行优化，求得共用时约3.5s，消耗燃料4.133254kg。
加上100m时悬停30s,全程共用时565秒，消耗燃料1204.95kg.针对问题三，首先对主减速阶段的优化模型进行敏感性分析，观察图像得灵敏度一般都稳定在0附近，可见模型总体上还是比较稳定的。
但是有一个点的dual price达到了12.39371，可见当该约束发生微小变化时，优化结果会有较大变化。
然后对快速调整阶段的优化模型进行敏感性分析，发现灵敏度刚开始在0附近，但是有一段突增的过程，然后又逐步恢复到0左右。
这一段突增是因为人为添加了一个约束。
这个人为添加的约束是为了使快速调整阶段的优化结果更加符合实际情况，所以可以尝试找寻更加合适的约束条件。
误差分析，主要分析地球引力、月球扁率等误差的影响，利用误差传递公式，得知这些误差项不会对结果造成多大的影响。
最后对模型进行评价，并且提出了更加适合非线性规划的遗传算法。
关键词：非线性优化离散化lingo 螺旋搜索算法误差分析敏感性分析一、问题重述1.1问题背景嫦娥三号的成功发射备受国内外的瞩目，其中软着陆的成功实现是关键一步。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
要求设计着陆轨道满足以下要求：（1）着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；（2）要求满足6个阶段在关键点所处的状态；（3）尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据设计的轨道计算远月点和近月点的位置，速度，速度方向，并对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、模型假设1）燃料消耗只考虑主发动机；2）不考虑地球等其他星球的影响；3）不考虑月球扁率的影响，把月球看作一个规则的球体；4）假设月球上空完全真空，没有空气阻力的影响；5）假设着陆过程的轨迹在同一个平面内；6）假设每个阶段的最优解构成了整个着陆过程的最优解；7）假设飞行器运行过程中内部器件全部正常；8）假设月球上空的大气环境适合软着陆；三、符号说明纬圆半径弦长月球的两极半径南北距离近月点的纬度变化纬度近月点的经度变化经度高空的纬度变化值纬度轨道面内的摆动角推力与速度夹角飞行器质量总推力切向速度法向速度角度极径时间间隔切向推力法向推力月球质量飞行器质量万有引力常数月球的平均半径的夹角与的夹角与远月点的速度近月点的速度距离远月点飞行器到月心的距离近月点飞行器到月心的纬圆弦两极南北月::::::3000::::)(::::)(:)(:::::::::::::1130002221112121r l r l m i m f v v i i r t f f M m G r r v r v v v r r r r ∆∆∆θβθθθθθ四、模型的建立与求解4.1问题一针对问题一，采用两个模型分别对速度和远月点近月点的位置进行求解。
对速度的求解，需要运用物理学知识并结合matlab 求解二元一次方程组；对远月点近月点位置的求解，考虑到结果的不唯一性，利用优化模型求解出唯一的解。
4.1.1基于绕月模型对速度的求解由于假设4中忽略了空气阻力的影响，并且主减速器并未开始减速，所以嫦娥三号在绕月过程中只受到万有引力的作用。
图一 绕月模型图利用开普勒第二定律和能量守恒定律，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=222221212221112121sin sin r GMm m v r GMm m v v r v r θθ其中︒==+=+=90100152121θθkm r r kmr r 月月用matlab 编程求解二元一次方程组（程序参见附录一），求得sm v sm v /76.1613/196221==速度方向与椭圆轨道相切，指向运动方向。
4.1.2基于离散化的优化模型对近远月点坐标的求解要确定远近地点的坐标，首先可以近似认为嫦娥三号在3000m 高空处的位置恰好在预定着陆点（19.51W,44.12N ）的正上方，然后只需要研究从15000m 到3000m 的主减速阶段。
虽然预定着陆点已经确定，但是开始降落地点仍然不唯一。
考虑到尽量减少燃料消耗，这里用优化模型对问题进行求解。
首先建立极坐标系以确定目标函数、决策变量和约束条件，图解如下：图二 极坐标系经过分析，我们发现这是非线性优化问题，我们考虑通过对过程离散化将其转化为容易求解的线性优化问题，用lingo 进行求解。
被离散化的参量有推力f ,月心距r ，速度v ,偏角θ，夹角β，嫦娥三号质量m ，还有时间t 等，被离散的参量过于庞大，用lingo 求解十分缓慢，基本找不到可行解，因此，在解题过程中我们对模型进行了简化，在误差允许的情况下固定一些参量进行尝试求解。
尽管如此，大多情况下，lingo 的耗时依然很长，通过若干次实验和对比，我们考虑取lingo 运行5分钟内的当前最优解作为近似最优解，这个解也往往就是最优解，误差并不大。
模型一：变推力恒质量优化模型作为尝试求解的模型，这个模型的是假定飞行器飞行过程中质量不变（忽略燃料的消耗所带来的质量变化），对其他变量进行离散化，在被离散的每个小段里，各个参量的值保持不变，满足线性条件。
经过几个离散化求解，我们发现离散规模不同时，近似最优解也不相同，离散的规模越大，得到的近似最优解越优秀，但是增幅越来越小，由于离散规模增大后数据处理和表格制作变得非常繁杂，而且计算耗费时间量很大，我们选择将这个过程离散化为30个等时间间隔的阶段，具体理由我们会在第二问中详细说明，于是得到以下优化模型：30...4,3,2,*)1(/)1()1()(30...4,3,2,*)1()1()(2940/*)()(min 29122=--+-==---=+∑=i t i r i v i i i t i v i r i r t i f i f r i r θθθθ30..4,3,2,*2400/)1(*6246.1)1()(29...3,2,1,7500)()(150022=--+-==<+<i t i f t i v i v i i f i f r r r r θ1737013;15000r(1)30...4,3,2,*2400/)1()1()(+==---=i t i f i v i v θθθ0;(1)=θ0;(30)1737013;3000r(30)>+=θ其中，各个物理参量的含义如下：切向速度法向速度，角度，极径时间间隔，切向推力，法向推力，:::)(:)(:::θθθv v i i r t f f r r在lingo 中编写程序求解上述最优化问题（程序参见附录二），求得484.3sT 1561.257kg2940/*)()(min 29122==+∑=t i f i f i r θ结果解释：燃料消耗量是1561.257kg,而飞行器的总质量为 2.4t,所占比例超过50%，可见不能忽略燃料消耗而导致的飞行器的质量的变化。
但是发现以下结论：表一 关系图、、f f f显而易见，在这个模型中，虽然是变力问题，但是最优结果显示，推力一直保持在7500N 。