函数绝对值的最大值最小值问题切比雪夫逼近下的图像法
绝对值的最值问题2页
绝对值的最值问题2页绝对值函数是一种常见的数学函数，它表示一个数与0的距离。
绝对值函数是一个有趣的函数，它在数学和物理中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将讨论绝对值函数的最值问题，并给出一些解决这类问题的方法。
首先，让我们来回顾一下绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数表示为| x |，它的值等于x的绝对值，即当x大于等于0时，| x | = x，当x小于0时，| x | = -x。
绝对值函数的最值问题可以分为两种情况：一种是求绝对值函数的最大值，另一种是求绝对值函数的最小值。
我们将分别讨论这两种情况。
首先，我们来考虑求绝对值函数的最大值。
为了求绝对值函数的最大值，我们需要找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
由于绝对值函数的图像是一个抛物线，开口向上，所以我们可以通过求解二次方程来找到最大值。
假设绝对值函数的表达式为| x | = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。
我们可以将绝对值函数的表达式分为两个部分来分别讨论x大于等于0和x小于0的情况。
当x大于等于0时，| x | = x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为x = ax^2 + bx + c。
通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x1和x2是方程的两个解，那么在x1和x2之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
当x小于0时，| x | = -x，所以我们可以将绝对值函数的表达式简化为-x = ax^2 + bx + c。
同样地，通过求解这个二次方程，我们可以得到x的值。
假设x3和x4是方程的两个解，那么在x3和x4之间的任意值都可以使得绝对值函数取得最大值。
综上所述，绝对值函数的最大值可以通过求解二次方程来找到。
我们可以找到x的取值范围，并检查在这个范围内的值，然后找到使得绝对值函数取得最大值的实数。
接下来，我们来考虑求绝对值函数的最小值。
为了求绝对值函数的最小值，我们需要找到使得绝对值函数取得最小值的实数。
函数的最大值和最小值ppt
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调 性，再求最值．
-
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
-
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
-
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
-
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
-
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
-
变式练习
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值．
【解析】 原函数变为
y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3
2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2)
(x＞2)
-
利用单调性求函数的最值
求函数 y＝xx＋ －21 x∈[2,3]上的最值． 【思路点拨】 定义法判断函数的单调 性―→求最值 【解析】 函数 y＝xx＋ －21＝x－x－1＋1 3＝1＋x－3 1 设 2≤x1<x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－3 1－x2－3 1 ＝(x13－(x12)－(xx2－1) 1) -
利用图像解一类绝对值函数的最值问题
利用图像解一类绝对值函数的最值问题
一类绝对值函数的最值问题可以通过图像解决。
首先，要确定函数的图像。
如果函数是一个单变量函数，则可以绘制函数的图像。
如果函数是一个二元函数，则可以使用三维坐标系绘制函数的图像。
对于一类绝对值函数，图像通常是一条直线，可能会在某个点处断开。
图像的断点通常对应着函数的极值点。
因此，可以通过观察图像的断点来确定函数的极值点。
接下来，可以观察图像上的点，以确定函数的最大值和最小值。
如果图像是一条直线，则可以通过观察图像上点的顺序来确定函数的最大值和最小值。
例如，如果图像是从左到右单调递增的，则函数的最小值在图像的左端，函数的最大值在图像的右端。
如果图像是从右到左单调递减的，则函数的最小值在图像的右端，函数的最大值在图像的左端。
如果图像是一个三维图形，则可以通过观察图像的形状来确定函数的最大值和最小值。
例如，如果图像是一个锥形，则函数的最大值在图像的顶点处，函数的最小值在图像的底部。
如果图像是一个凸包，则函数的最大值在图像的外围，函数的最小值在图像的内部。
另外，还可以使用导数的概念来确定函数的最值。
导数表示函数在某一点处的斜率。
如果函数在某一点处的导数为正，则函数在该点处单调递增；如果函数在某一点处的导数为负，则函数在该点处单调递减。
如果函数在某一点处的导数为零，则该点可能是函数的极值点。
因此，可以通过计算函数的导数，并根据导数的正负性来确定函数的极值点。
总的来说，通过观察函数图像和计算函数的导数，可以确定一类绝对值函数的最值问题。
函数的最大值和最小值PPT优秀课件
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
教师解法高一第九周周练一道含有绝对值的最大值中的最小值问题
教师解法高一第九周周练一道含有绝对值的最大值中的最小值
问题
原题如上，这道题第一问主要考察对勾函数的图像及其性质，通过观察函数图像，根据定义域，得出最值。
第二问这个题其实考察了三角不等式这一知识点，当然最主要的是学生要能够理解清楚题目意思，学会证明一个数学命题。
本题最难的是第三小问，第三小问其实也就是要找到曲线的最佳逼近直线，本质上来说该题隶属于含有绝对值的最大值中的最小值问题。
这类问题其实与高等数学里面的切比雪夫逼近有关系，但是学生往往并不能看到这点。
针对该类问题，其实有所谓的三点控制法或四点控制法来处理，其技巧性比较强，同时也要求学生能够灵活运用中学里所学习的三角不等式。
左图为第一种方法，右图为三点控制法。
其实两种方法各有千秋，其中方法一需要学生具有较强的分类讨论能力，特别是要学会将一个不熟悉的函数转化为二次函数来处理，从而研究最值问题；而方法二则是我们所说的三点控制法，其实本题中最佳逼近直线即为曲线在某点的切线，其平行于直线AB。
方法二的几何味道更加浓厚，作图来看比较直观，而方法一则几乎完全是从代数角度考虑，如果换了一个定义域范围则讨论照样进行，若换了一个函数方法未必能够奏效，解法一未能体现本质所在。
读者可以试想一下，本题中的y=2× 根号x，若换成lnx或者对勾函数，则三点控制法是否依然可以使用？。
绝对值函数最值问题及解题技巧
绝对值函数最值问题及解题技巧绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。
在求解绝对值函数的最值问题时，存在几种常用的解题技巧。
技巧一：图像法绘制绝对值函数的图像是解决最值问题的一个有效方法。
通过观察图像可以获得函数的最值。
例如，对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，我们可以绘制其图像，并观察到 $x = 0$ 时，函数取得最小值为 0。
技巧二：函数定义法另一种解决绝对值函数的最值问题的方法是使用函数定义。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以将其转化为无绝对值的函数定义。
具体步骤如下：1. 当 $g(x) \geq 0$ 时，$f(x) = g(x)$；2. 当 $g(x) < 0$ 时，$f(x) = -g(x)$。
通过转化后的函数定义，我们可以求解函数的最值。
技巧三：矩阵法矩阵法也是解决绝对值函数最值问题的常用技巧。
首先将绝对值函数表示为矩阵形式：$f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \geq 0 \\ -g(x) & \text{if } x < 0 \end{cases}$。
然后，通过求解矩阵中的最值，可以得到绝对值函数的最值。
技巧四：导数法对绝对值函数求导有助于解决最值问题。
对于一般形式的绝对值函数 $f(x) = |g(x)|$，我们可以对其进行求导。
然后，通过求导结果的特点和函数的定义域，可以得到函数的最值。
需要注意的是，当绝对值函数在某点不可导时，可以通过左极限和右极限来确定最值。
以上是解决绝对值函数最值问题的几种常用技巧。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法来求解最值，可以更高效地解决问题。
8.绝对值函数与切比雪夫逼近-解析版
函数加绝对值与切比雪夫逼近绝对值的概念是初一学习的，应该是很简单的，但是，高中函数命题中有一种常见的手法便是给函数加绝对值.从函数值角度讲，加绝对值使得函数值域非负，从图象角度讲，加绝对值使得图象保留x 轴上方不变，将x 轴下方沿着轴翻折上去.从几何角度讲，加绝对值便是距离关系的刻画，或者叫做最佳逼近.下面我们将从四个角度逐步展示其命题手法.基本命题原理1.加绝对值后考察图象类；2.加绝对值后考察函数性质类；3.去绝对值处理类；4.切比雪夫最佳逼近.常见命题手法手法1.加绝对值后考察图象类.这类问题最经典的便是对数函数.1已知函数f (x )=ln x ,x >0,-x 2+1,x ≤0,若方程f x =a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则ax 1x 2x 3的取值范围是()A.0,12B.-239,0C.-12,0D.-12,0解析：函数f (x )在(-∞,0]上单调递增，在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，其图象如图，方程f x =a 有三个不同的实数根，即直线y =a 与y =f (x )的图象有三个公共点，则0<a ≤1，由|ln x 2|=|ln x 3|，x 2≠x 3得：ln x 2+ln x 3=0，即x 2x 3=1，而-x 21+1=a ，x 1≤0，则x 1=-1-a ，于是得ax 1x 2x 3=ax 1=a (-1-a )=-a -a 2=--a -122+14，显然a =12时，(ax 1x 2x 3)min =-12，当a =1时，(ax 1x 2x 3)max =0，所以ax 1x 2x 3的取值范围是-12,0. 故选：C 注：此题中x 2x 3=1是经典的结论.下面再看一道函数加绝对值考察零点的问题，这类问题常用来作为压轴题考察学生的分类讨论能力，难度较大，读者需细心体会.2(2020天津卷)已知函数f (x )=x 3,x ≥0−x ,x <0，若函数g (x )=f (x )−|kx 2−2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k的取值范围为()A.-∞,-12∪(22,+∞) B.-∞,-12∪(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22) D.(-∞,0)∪(22,+∞)解析：注意到g(0)=0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx-2|=f(x)|x|恰有3个实根即可，令h(x)=f(x)|x|，即y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图象有3个不同交点.因为h(x)=f(x)x=x2,x>01,x<0;当k=0时，此时y=2，如图1，y=2与h(x)=f(x)|x|有1个不同交点，不满足题意；当k<0时，如图2，此时y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|恒有3个不同交点，满足题意；当k>0时，如图3，当y=kx-2与y=x2相切时，联立方程得x2-kx+2=0，令Δ=0得k2-8=0，解得k=22(负值舍去)，所以k>22.综上，k的取值范围为(-∞,0)∪(22,+∞).故选：D.手法2.加绝对值后考察函数性质类近两年全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019年一卷的11题，将常见的正弦函数套上绝对值来考察函数的性质，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯.3(2019全国卷一)关于函数f x =sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f x 是偶函数 ②f x 的最大值为2③f x 在-π,π有4个零点 ④f x 在区间π2,π单调递减其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期性是两个必备的过程.解：f x =sin |x |+|sin x |的定义域为R ，因为f -x =sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，故f (x )为偶函数，结论①正确，再分析周期性，周期为2π.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当x ∈[2k π,(2k +1)π],k ∈N *，f x =sin x +sin x =2sin x 当x ∈((2k +1)π,(2k +2)π],k ∈N *，f x =sin x -sin x =0故当x ≥0时，f x =2sin x ,x ∈[2k π,(2k +1)π],k ∈N *0,x ∈((2k +1)π,(2k +2)π],k ∈N *故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，f x 在-π,π 有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，f x 在区间π2,π 单调递减，结论④正确.答案A因此，此类问题的解题顺序可以归纳为：第一，分析奇偶性，周期性，第二，去绝对值，写成分段函数，第三，画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值. 我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力.手法4.切比雪夫最佳逼近设f (x )是定义在[m ,n ]上的连续函数，称E =max m ≤x ≤n|f (x )−(ax +b )|为f (x )与直线g (x )=ax +b 的偏差.若存在x 0∈[m ,n ]使得|f (x )−g (x 0)|=E ，则称x 0为直线g (x )的偏差点，记集合A ={g (x )=ax +b |a ,b ∈R }，若存在g (x 0)∈A 使得max m ≤x ≤n|f (x )−g (x 0)|=min a ,b ∈R max m ≤x ≤n|f (x )−g (x )|则称g (x 0)为f (x )在切比雪夫意义下的最佳逼近直线.关于切比雪夫意义下的最佳逼近直线的存在性及计算方法，有如下的三条结论：结论1. 若f (x )在[m ,n ]上连续，则f (x )的最佳逼近直线存在且唯一.结论2. 直线g (x )为连续函数f (x )在[m ,n ]的最佳逼近直线的充要条件为g (x )至少有三个偏差点，且他们轮流为正负偏差点.结论3. 若f (x )在[m ,n ]上二阶导数不变号，则f (x )的最佳逼近直线为g (x )=f (n )−f (m )n −m x −m +c2 +f (m )+f (c )2其中c 是方程f (c )=f (n )−f (m )n −m.4设F (x )=|x −ax −b |,a ,b ∈R ，对∀a ,b ∈R ，总存在x 0∈[0,4]，使得f (x )≥m 成立，求m 的取值范围.解析：由于函数f (x )=x 在x ∈[0,4]二阶导数不变号.由结论3可知：f (x )的最佳逼近曲线为g (x )=f (4)−f (0)4−0x −0+c2 +f (0)+f (c )2其中f (c )=f (4)−f (0)4−0=12，由于f (x )=12x⇒c =1，故最佳逼近曲线的解析式为：g (x )=12x −12 +12=x 2+14则此题只需使得x −12x −14 在x ∈[0,4]的最小值即可，即m ≤14.小结：对于|f (x )−(ax +b )|型函数求最值，若f (x )导数不变号，可用结论3求出最佳逼近曲线.5已知函数f x =ax +4x+b a ,b ∈R 在区间[1，4]上的最大值为M ，当M 取到最小值时则a +b 2=.解析：本题我们用结论2来完成.f x =ax +4x +b =4x -(-ax -b ) 在区间[1，4]上的最大值，即为函数h (x )=4x与y =-ax -b 在区间[1,4]上的函数值差的绝对值的最大值.h (x )=4x 在区间[1,4]上的两个端点为A (1,4),B (4,1)，过A ,B 的直线方程为y =-x +5.如图，h (x )的斜率为-1的切线方程是y =-x +m ，则-x +m =4x，x 2-mx +4=0，Δ=m 2-16=0，m =4(m =-4舍去)，切线方程为y =-x +4，因此使得M取得最小值的直线方程为y =-x +92，即a =1，b =-92，所以a +b 2=854．注：此题亦可用结论3来做，此处用结论2的目的便是熟悉切比雪夫逼近的几何背景.练习题1关于函数f (x )=cos |x |+|sin x |的下述四个结论中，正确的是()A.f (x )是奇函数B.f (x )的最大值为2C.f (x )在[-π,π]有3个零点D.f (x )在区间0,π4单调递增【答案】D2已知函数f x =sin x +cos x +sin x -cos x ，下列结论正确的是()A.函数图像关于x =π4对称B.函数在-π4,π4上单调递增C.若f x 1 +f x 2 =4，则x 1+x 2=π2+2k πk ∈Z D.函数f x 的最小值为-2【答案】A手法3.去绝对值讨论型.这类问题重点在于取绝对值，等价转化去掉绝对值转化为一个正常形式的函数去讨论.但是，去绝对值过程中的分类讨论难度较大，特别是2016年全国三卷的压轴题，繁杂的讨论让学生无能为力.6(2019年浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )=ax 3-x ，若存在t ∈R ，使得|f (t +2)-f (t )|≤23，则实数a 的最大值是.解析：存在t ∈R ，使得|f (t +2)-f (t )|≤23，即有|a (t +2)3-(t +2)-at 3+t |≤23，化为2a 3t 2+6t +4 -2 ≤23，可得-23≤2a 3t 2+6t +4 -2≤23，即23≤a 3t 2+6t +4 ≤43，由3t 2+6t +4=3(t +1)2+1≥1，可得0<a ≤43.则实数a 的最大值是43.。
计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式ppt课件
0,1,2,… , n)
轮流取得最大值1和最小值 1，{xk }称为交错点组。
- 1 x4
x 3
x2 0
x 1
x0 1
证： 将xk
cos
kπ n
,
(k
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos
kπ )] n
cos[kπ]
(1)k
1
T2(x) T1(x)
多项式，且 max | f(x)
-1 x 1
Ln(x)
|
1 2n(n 1)!
||
f (n 1) (x)
||
证明：
max
-1 x 1
|
f(x)
Ln(x)
|
(n
1 1)!
||
f(n1)(x)
||||
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn)
||
(n
1 1)!
||
f (n 1) (x)
||||
1 2n
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
cos[(2k
1)π] 2
0 (k
1,2, … , n)
图为T11(x)的零点，一共有11个
函数的最大值和最小值的求解方法
函数的最大值和最小值的求解方法1.图像法：通过绘制函数的图像来估计最大值和最小值。
首先，通过计算函数的导数来确定函数的增减性。
然后，在函数的定义域内绘制函数的图像，并观察图像的走势。
函数在其图像上的最高点（最大值）和最低点（最小值）对应着函数的最大值和最小值。
2.导数法：通过计算函数的导数来确定函数的最大值和最小值。
对于函数f(x)，当f'(x)=0或f'(x)不存在时，f(x)可能取得极值。
因此，函数的最大值和最小值发生在导数为零或导数不存在的点上。
用一阶导数测试和二阶导数测试可以判断一个点是极大值还是极小值。
3.函数的端点：当函数在一个区间的一个或多个端点处定义时，此区间的端点可能是函数的最大值和最小值。
在确定端点的值后，通过计算函数在这些点上的函数值，可以判断哪个点是函数的最大值和最小值。
4.根的方法：对于函数f(x)，要找出其最大值和最小值，首先需要找到所有满足f'(x)=0的x值，即函数f(x)的零点。
然后，在这些零点中找出所有满足f''(x)=0的x值，即函数f'(x)的零点。
在这些零点中找到的x值对应的f(x)值即为函数的最大值和最小值。
5. 化简方法：对于一些特殊形式的函数，可以通过化简来确定最大值和最小值。
比如，对于一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，可以通过求导或者用二次函数的顶点公式来确定函数的最大值和最小值。
需要注意的是，以上方法并非适用于所有的函数和问题。
对于复杂的函数和问题，可能需要使用其他更高级的方法，如微积分的高级理论和算法来求解函数的最大值和最小值。
同时，计算最大值和最小值时，也要注意函数的定义域和约束条件，避免出现错误的求解结果。
函数的最大值最小值问题
在( a,b )内可导，且有唯一驻点 x0 ．如果能根据实际 问题的性质可以断定 f (x) 确有最大（小）值，而且一
定在区间内部取得，那么 f (x0 ) 必为最大（小）值．
例 一房地产公司有 50 套公寓要出租.当月租金为 1 000 元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加 50 元 时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月 需花费100 元的维修费.试问房租定为多少可获得最 大收入？
令
f
(x)
0 ，解得
x
1 2
；而
f
1 2
0，
f
(1)
1,
f
(0)
1,
f
1 2
1 2 p1
为最小值，故
x [0,1]
，原不等式
1 2 p1
xp
(1
x) p
1
成立。
第四节 函数的最大值 最小值问题
01
02
03
04
在很多学科领域与 实际问题中，
常遇到在一定条件 下
如何用料最省、成本最 低、时间最短、效益最
高等问题，
这类问题我们称为 最优化问题.
05
06
07
在数学上，它们归 结为
求某一个函数（称为目 标函数）在某个范围内
的最大值、
最小值问题（简称 为最值问题）．
y
y
y
oa
我们来看一下下面的几 幅图：
b x COoNaTENTS b x
oa
bx
通过观察可以发现，函数在[ a,b ]上的最大值和最小值， 只可能在区间内的极值点和区间端点处取得．因此，
几何图形的切比雪夫不等式
几何图形的切比雪夫不等式在数学中，我们常常遇到需要估计几何图形之间距离的问题。
而切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）为我们提供了一种有效的估计方法。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义和应用，并通过实例来说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出的。
该不等式描述了一维实数集合中数值距离的分布情况。
而在几何图形中，我们可以将其应用到二维平面上的点集之间的距离估计。
定义：对于在平面上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d满足以下不等式：d ≤ max(|x1 - x2|, |y1 - y2|)其中max为取两个数中的较大值的函数。
二、切比雪夫不等式的应用1. 距离估计切比雪夫不等式为我们提供了一种简便的方式来估计两点之间的距离。
通过计算两点在x和y方向上坐标差的绝对值，我们可以得到一个上界，在平面上任意一点与这两点之间的真实距离d一定小于等于这个上界。
这在实际应用中有很多用途，比如在地理信息系统中计算两个地点之间的地面距离等。
2. 图像处理在图像处理领域，切比雪夫不等式可以用来估计图像中不同像素之间的差异。
通过比较像素之间在RGB或灰度空间的数值差异，我们可以得到一个上界，该上界可以用来判断两个像素是否相似。
例如，当两个像素的RGB数值差异小于某个阈值时，我们可以认为它们是相似的。
通过切比雪夫不等式的应用，我们可以更加高效地进行图像相似性的判断。
三、切比雪夫不等式的实例应用为了更好地理解切比雪夫不等式的应用，我们以图形距离估计的实例来说明。
假设我们有一个平面上的正方形ABCD，其中A(0, 0)、B(0, 2)、C(2, 2)、D(2, 0)。
现在我们需要估计任意一点P(x, y)与这个正方形之间的最短距离。
根据切比雪夫不等式的定义，我们可以计算点P与正方形ABCD的四个顶点之间的距离，并取最大值作为距离的上界。
函数绝对值的最大值最小值问题切比雪夫逼近下的图像法
函数绝对值的最大值的最小值问题----切比雪夫逼近下的图像法 题目：已知函数当时，的最大值记为，则的最小值为_________解：如图，画出在上的图像，为一直线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。
取水平直线，则此时，取其上一点，将绕点旋转，易知其对应的均大于，再考虑不过点的，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点的更大，即的最小值为。
从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论：定理1（限定参数下的平行线逼近法）：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，若存在过()y f x =上点的直线11()h x ax b =+，22()h x ax b =+，使21()()()h x f x h x ≤≤恒成立，记()f x ax b --在D 上的最大值为(,)M a b ，则12(,)2b b M a b -≥ 推论1：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，则()f x b -在D 上最大值为()M b ，则m a x mi n ()()(,)2fx fx Ma b -≥当且仅当max min()()2f x f x b +=时取等号。
接下来我们来尝试定理1及推论1的应用例1：（2016年4月浙江学考第18题）设函数2()f x ax b x=--,若对于任意正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是 。
解法1：（利用定理1） 记2ax b x--在[1,2]上的(,)M a b 最大值为 可知2()g x x=图像夹在两直线1()2h x ax a =-+，2()21(0)h x ax a a =-+>之间，由定理1得，(2)(12)1(,)22a a a M a b ---+≥=， 110,(,)22a a +>∈+∞，所以12m ≤ 解法2：由0a >，所以2()g x ax x =-在[1,2]单调递减，max min ()2,()12g x a g x a =-=-，(2)(12)1(,)22a a a M ab ---+≥=， 所以12a m +≤对0a >恒成立，11(,)22a +∈+∞，可得12m ≤ 上面我们用定理1及推论1很好的解决了例1，若题目条件中0a >变为任意实数a ，由于此时2()g x ax x =-的最值不容易求，所以我们需要更加一般的方法来解决。
切比雪夫最佳逼近定理
切比雪夫最佳逼近定理
切比雪夫最佳逼近定理是一种数学定理，它指出任何一个连续函数都可以用一组多项式来最好地逼近。
具体来说，给定一个函数f(x)，切比雪夫最佳逼近定理可以找到一组多项式P_n(x)，使得在[-1,1]上，P_n(x)与f(x)的最大差值最小，即P_n(x)是f(x)的最佳逼近。
这个定理在数值计算和信号处理中都有广泛的应用。
例如，在数值逼近中，我们可以利用切比雪夫最佳逼近定理来构造一组多项式，用它们来逼近一个给定的函数。
在信号处理中，我们可以用这个定理来设计数字滤波器，以便在频域中最好地逼近一个给定的频率响应。
总之，切比雪夫最佳逼近定理是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和应用数学。
- 1 -。
绝对值的最大值和最小值求法
绝对值的最大值和最小值求法绝对值的最大值和最小值求法：对值大,距离就要远（最好是一个离原点近,一个离原点远）.|a-b|＞0 绝对值小,距离就近.|a-b|=0 可以把函数成多个函数后联立，以此去掉函数解析式里的绝对值符号，再将每一段函数的最大值和最小值求出，所有段函数里最大值最大的那段函数的最大值就是整个函数的最大值，最小值亦同。
奇偶性可以先从图象入手，如果图象关于y轴成轴对称就是偶函数，如果关于原点中心对称就是奇函数。
如果从图象上难以看出，可以通过奇偶函数的定义来解决，即f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数。
举例说明：（1） |x-1|，因为 |x-1|≥0 所以令 x-1=0 得 x=1时 |x-1|有最小值0，无最大值。
（2）|x²-2|，令x²-2=0 得 x=±√2 时取得最小值 0，无最大值。
（3）求|x+1|+|x-1|的最值，同时令 x+1=0，x-1=0 得x=-1 或+1 得 -1≤x≤1时取得最小值|-1+1|+|-1-1|=|1+1|+|1-1|=0+2=2+0=2，无最大值。
求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最值，同时令中间两个 x+2=0，x-1=0 得 -2≤x≤1时取得最小值|-2+3|+|-2+2|+|-2-1|+|-2-2|=|1+3|+|1+2|+|1-1|+|1-2|=1+0+3+4 =4+3+0+1=8，无最大值。
【偶数个绝对值令中间两个=0解】（4）求|x+3|+|x+2|+|x-1|的最值，令中间 x+2=0 得 x=-2时取得最小值 |-2+3|+|-2+2|+|-2-1|=1+0+3=4，无最大值。
求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|+|x-0.5|的最值，令中间 x-0.5=0 得 x=0.5时取得最小值|0.5+3|+|0.5+2|+|0.5-1|+|0.5-2|+|0.5-0.5|=3.5+2.5+0.5+1.5+0 =8，无最大值。
函数的最大值和最小值的求解方法48页PPT
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
函数的最大值和最小值的求 解方法Байду номын сангаас
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
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题目：已知函数当
时，
的最
大值记为
，则
的最小值为
_________
解：如图，画出在上的图像，为一直
线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。
取水平直线，
则此时，取其上一点
，将
绕点旋转，易知其对应的
均大于，再考虑不过点的
，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点的更大，即
的
最小值为。
从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论：
定理1（限定参数下的平行线逼近法）：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，若存在过()y f x =上点的直线
11()h x ax b =+，22()h x ax b =+，使21()()()
h x f x h x ≤≤恒成立，记()f x ax b --在D 上的最大值为
切比雪夫逼近下
函数绝对值的最大值的最小值问题
(,)M a b ，则12
2
b b M a b -≥
推论1：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，则()f x b -在D 上最
大值为()M b ，则≥当且仅当max min ()()2
f x f x b +=
时取等号。
接下来我们来尝试定理1及推论1的应用
2
()x
=--,若对于任意正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实 。
记2
ax b x
--在[1,2]上的(,)M a b 最大值为 可知2
()g x x
=
图像夹在两直线1()2h x ax a =-+，2()21(0)h x ax a a =-+>之间，
由定理1得，(2)(12)
1(,)2
2
a a a M a
b ---+≥
=
，
11
0,
(,)22
a
a +>∈+∞，所以12m ≤
0a >，所以2
()g x ax x
=-在[1,2]单调递减，
max min ()2,()12g x a g x a =-=-，(2)(12)1(,)22
a a a
M a b ---+≥
=，
所以12a m +≤
对0a >恒成立，
11(,)22a +∈+∞，可得1
2
m ≤上面我们用定理1及推论1很好的解决了例1，若题目条件中0a >变
max min ()()2
f x f x (,)M a b (,)-例１：（2016年4月浙江学考第18题）设函数f x ax b 数m 的取值范围是解法1：（利用定理1）解法2：由
为任意实数a ，由于此时2
()g x ax x
=-的最值不容易求，所以我们需要更加一般的方法来解决。
定理2：（两平行线逼近已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，()f x 图像上存在着从左到右依次3个点11(,)A x y ，22(,)B x y ，
33(,)C x y ，如图直线11()h x kx b =+过点A ，C ，直线22()h x ax b =+过点B ，
使21()()()h x f x h x ≤≤或者12()()()h x f x h x ≤≤恒成立，记()f x ax b --在D 上的最大值为(,)M a b ，则12(,)2b b M a b -≥，当且仅当12
,2
b b
a k
b +==时取得等号。
此定理证明就不证了，大家从图形中也可以理解。
当定理2的
2()()f x f x =，0k =的时候，得到一个特殊情形，
推论2：已知()y f x =是闭区间D 上的连续函数，()f x 图像上存在着从左到右依次3个点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，
13max ()()()f x f x f x ==（或mi n ()f x ），（或max ()f x ），记
()f x ax b --在D 上的最大值为(,)M a b ，则max min
()()(,)2
f x f x M a b -≥
当且仅当max min
()()0,2
f x f x a b +==
时取得等号。
推论2中13()()f x f x =，函数()y f x =变为“平口”函数，此时 12,b b
为
mi n
最大或最小值，x x x ,12,3为最大值点或最小值点，有时构造“平口”函数，可以使问题更加简单。
下面我们应用定理2与推论2进行 =
--x
()2
,若对于任意实数a 和实数b ，总存在∈x [1,2]0，使得
成立，则实数的取值范围是 。
解法1：（利用定理2） 记=
--x
f x ax b ()2
在[1,2]上的最大值为M a b (,)，令=
x
g x ()2
，记A C (1,,2),(2,1)，则直线AC 的方程为=-+h x x ()31，作与AC 平行且与=
x
g x ()2
相切于B 点的直线，由=-=-x g x ()12
2'
，可求得=x B 2，
得切线方程为=-+h x x ()222，∴≥=--M a b 22
(,)322322
当且仅当=-=
+a b 21,322时取等号，∴≤-m 2
322
解法2：（利用推论2，构造“平口”函数） 很明显，我们需要给
x 2凑一个一次式，使得+λx
x 2
为“平口”函数，使之在x=1，2处的函数值相等可得=λ1，
=
--=+-+-x x f x ax b x a x b ()(1)22，可得=+x
g x x ()2
在[1,2]上的最大值为3，最小值为22，所以=
--x
f x ax b ()2
的最大值的最小值为例２设函数f x ax b
，
322
2
对于上面两个定理，两个推论的使用，一般能构造平口函数的，直接使用推论2，有时可以进行秒杀，不用构造平口函数的，使用定理2，若a有条件的，那使用推论1最后考虑定理1。