地震波动方程
三维波动方程kirchhoff公式
三维波动方程kirchhoff公式
三维波动方程kirchhoff公式是地震勘探中重要的数学工具，用于计算地震反射波在地表上的振幅和时间。
公式的基本形式为：
I(x,y,t) = ∫∫ G(x,y,z,t) * S(x,y,z) *cosθ dSdz 其中，I(x,y,t)表示地震记录剖面在(x,y)处的振幅，G(x,y,z,t)表示地震波在(x,y,z)处的瞬时振幅，S(x,y,z)表示地下介质在(x,y,z)处的反射系数，θ表示地震波入射和法线的夹角，dS表示面元面积。
公式的实际应用中，通常采用Kirchhoff偏移算法来计算地震图像。
该算法包括三个步骤：预处理、偏移和叠加。
预处理是将原始地震数据通过滤波、去除噪声等方式进行处理，以提高数据质量。
偏移是利用公式计算各个反射点的振幅和时间，并将其按照空间位置重新排列。
叠加则是将所有偏移后的数据加权叠加起来，形成最终的地震图像。
三维波动方程kirchhoff公式的优点在于，它能够精确地计算地下介质的反射系数和反射波在地表上的振幅和时间，为地震勘探提供了重要的数学工具。
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地震概论第三章地震波讲义资料
六、地震波与地球内部结构
体波之所以对地球内部结构比较敏感，是因为在地球 内部的不同部分，地震波传播速度不同 ，在不同部分的 分界面上发生的反射、折射和波型转换，既影响体波的 “行走时间”，又影 响体波的振幅和形状。
把面波的波长延伸到整个地球的尺度，我们还有一个 专用的名词：地球自由振荡。这时，地 球好像是一口铜 钟被大地震重重地敲击一下，余音缭绕，经久不绝。不同 形状、不同结构的 铜钟具有不同的音色；类似地，不同 形状、不同结构的星球也具有不同的自由振荡的形 式。 地震学家就像一位钢琴调音师那样，通过倾听地球 的“音乐”，辨认出地球内部的结构。
P波和S波的速度表达式
P波，速度Vp = V (K+ 3/4µ)/ρ 花岗岩: Vp = 5.5千米/秒; 水: Vp = 1. 5千米/秒 ρ为密度
S波，速度Vs=V µ/ρ 花岗岩: Vs =3.0 千米/秒; 水: Vs = 0 千米/秒
P波速度
花岗岩 水
5.5千米/秒 1.5千米/秒
S波速度 3.0千米/秒
复习
一、波动 波动方程 波速、波长、周期、波频率、初相位、简 谐波与复杂波
2、S波
S波:S波跑的比P波慢，它只可以在固体传 播。在S波传播时，质点的运动方向与S波 的传播方向互相垂直，介质中产生剪切应 力。由于流体不能承受剪切应力，因此S波 不能在液体和气体中传播。
P波和S波的速度由介质的密度和弹性常数 决定。
内部圈层
深度 km
地震波速度
纵波 横波
Vp
Vs
密度ρ g·cm-
3
压力 P
MPa
重力 g
m·s-2
温度t C
附注
0 5.6 3.4 2.6
第三章波动方程
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
地震偏移方法波动方程原理
地震偏移方法波动方程原理嘿，咱今儿就来唠唠地震偏移方法波动方程原理。
你说这地震波啊，就像是个调皮的小精灵，在地下到处乱窜。
波动方程呢，就像是给这个小精灵画了一幅特别的地图，让我们能清楚地知道它是怎么跑的。
想象一下，地震波就像是在大海里涌动的波浪，而波动方程就是那掌握波浪规律的神奇密码。
它可不是随随便便就出现的哦，那可是科学家们经过无数次的研究和探索才找到的宝贝呢！通过波动方程，我们能更准确地了解地下的结构，就好像我们有了一双能穿透地下的眼睛。
比如说，我们可以知道哪里有断层，哪里有岩层，这多厉害呀！这就好比我们在玩一个超级复杂的拼图游戏，而波动方程就是帮我们找到正确拼图块的关键线索。
要是没有波动方程，那我们对地下的了解可就模糊多啦。
就好像在大雾天走路，模模糊糊啥也看不清。
但有了它，嘿，那可就大不一样啦！而且啊，这地震偏移方法就像是个魔法棒，能把那些模糊不清的地震数据变得清晰起来。
它能让我们看到地下更真实的情况，这可不是一般的厉害哟！你想想看，以前我们对地下的认识可能就像是隔着一层纱，现在呢，这层纱被揭开了，一切都变得明明白白的。
这感觉，是不是特别棒？它就像是给我们打开了一扇通往地下神秘世界的大门，让我们能更好地探索地球的奥秘。
这可不是随便说说的，这可是有着实实在在的意义呢！对于地质学家来说，这就像是给了他们一双超级厉害的翅膀，能让他们在地质研究的天空中飞得更高更远。
对于我们普通人来说，这也意味着我们能更好地了解我们生活的地球呀。
所以啊，可别小看了这地震偏移方法波动方程原理，它可是有着大用处的呢！它就像是黑暗中的一盏明灯，照亮了我们探索地球的道路。
难道不是吗？。
波动方程有限差分
波动方程有限差分一、引言波动方程是自然界中许多现象的数学模型，如声波、地震波等。
为了解决波动方程的数值解，有限差分方法是一种常用的数值计算方法。
本文将详细介绍波动方程有限差分的原理、方法和应用。
二、波动方程波动方程描述了介质中物理量随时间和空间变化的规律。
具体来说，假设介质中某个物理量为u(x, t)，其中x表示空间坐标，t表示时间，则波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中c表示介质中的传播速度，∇²表示拉普拉斯算子。
该方程描述了一个在介质中传播的二阶偏微分方程。
三、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续函数离散化为离散点上的函数值，并通过差商逼近导数或偏导数，从而得到原问题的近似解。
对于波动方程，在空间上进行网格剖分，并在每个网格点处离散化u(x, t)和其导数，可以得到如下形式的差分格式：(u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δt² = c²((u(i+1, j) - 2u(i, j) + u(i-1, j)) / Δx² + (u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δy²)其中i表示空间网格点的横坐标，j表示纵坐标，Δt、Δx和Δy分别为时间和空间上的步长。
这个差分方程可以通过迭代求解得到波动方程的数值解。
具体来说，可以使用显式差分法或隐式差分法进行求解。
四、应用波动方程有限差分方法在地震勘探、声学建模等领域得到广泛应用。
例如，在地震勘探中，可以通过模拟地震波传播过程得到地下岩层的结构信息；在声学建模中，可以计算音场传播过程，并预测噪声污染等问题。
五、总结本文介绍了波动方程有限差分方法的原理、方法和应用。
有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在许多领域都有广泛应用。
对于波动方程这类偏微分方程，有限差分方法是一种有效的求解方法。
什么是波动方程及其应用
波动方程是描述波动现象的数学模型。
波动是指物质或能量在空间中传播的过程，是一种传播性质的体现。
波动方程是描述波动传播的规律和性质的方程。
波动方程最常见的形式为“一维波动方程”，即∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²其中，u是波函数，t是时间，x是坐标，c是波速。
这个方程表达了波函数的二阶偏导数与时间的二阶偏导数之间的关系。
波动方程具有多种应用。
在物理学中，波动方程被广泛应用于电磁现象、声音传播、光学、地震学等领域。
在工程学中，波动方程可以用于描述和分析声波在各种材料和介质中的传播特性，包括声学器件、聚焦声纳系统、超声等。
在医学影像学中，也可以利用波动方程对体内的声波传播进行模拟和重建。
在电磁学中，波动方程同样可以用于描述电磁场的传播特性。
根据麦克斯韦方程组可以推导出电磁波动方程。
通过求解电磁波动方程，可以了解电磁波在不同介质中的传播规律，进而应用于通信技术、雷达系统、微波加热等领域。
在光学中，波动方程可以描述光的传播和干涉现象。
光波动方程的解可以用于解释光的衍射、偏振和干涉等现象，进而应用于光学器件的设计和光学信号处理。
在地震学中，波动方程可以描述地震波在地球中的传播特性。
通过求解地震波动方程，可以了解地壳的结构、地震传播规律和地震活动的特点，进而应用于地震预测和地震灾害研究。
总的来说，波动方程是研究波动现象的重要工具。
通过求解波动方程，我们可以了解波的传播规律和性质，进而应用于各个领域，包括物理学、工程学、医学影像学等。
波动方程的研究和应用有助于我们更好地理解和控制波的性质，拓展了人们的科学认识和技术应用。
地震效应计算公式
地震效应计算公式地震效应计算公式是指用于计算地震对建筑物、结构物、土壤和人体等造成的影响和损害的数学公式。
这些公式根据地震波参数和结构物的特性来计算地震效应，包括地震力、地震加速度、地震位移、地震反应谱等。
下面将介绍几个常用的地震效应计算公式。
1.地震力计算公式：地震力是指地震作用下作用于建筑物或结构物的力，可以用于评估结构的稳定性和设计地震时的重要参数。
通常使用摩擦模型或弹簧模型来计算地震力。
根据弹性力学理论，地震力可以使用以下公式进行计算：F=m*a其中，F代表地震力，m代表结构物的质量，a代表地震加速度。
这个公式可以适用于单自由度结构。
2.地震加速度计算公式：地震加速度是指地震波在其中一点上产生的加速度。
地震加速度的计算对于评估结构物的破坏程度至关重要。
根据地震学的知识，可以使用以下公式计算地震加速度：a=V*y其中，a代表地震加速度，V代表地震速度，y代表地震波的周期。
地震加速度与地震速度和周期的乘积成正比。
3.地震位移计算公式：地震位移是指地震波在其中一点上产生的位移。
地震位移的计算对于评估结构物的变形程度和应力程度至关重要。
根据动力学理论，可以使用以下公式计算地震位移：S = (2 * pi * V * y) / g其中，S代表地震位移，V代表地震速度，y代表地震波的周期，g代表重力加速度。
地震位移与地震速度、周期和重力加速度的乘积成正比。
4.地震反应谱计算公式：地震反应谱是指结构物在地震波作用下的频率-加速度关系曲线。
地震反应谱的计算对于评估结构物的自振频率、阻尼比和峰值反应至关重要，可以用于确定结构物的抗震性能。
地震反应谱可以通过以下公式计算：Sa = Sd * (2 * pi / T^2)其中，Sa代表地震反应谱值，Sd代表地震谱加速度图的最大值，T代表周期。
地震反应谱与地震谱加速度和周期的平方成正比。
综上所述，地震效应的计算公式包括地震力、地震加速度、地震位移和地震反应谱等。
叠加地震记录的相移波动方程正演模拟实验
<iii>由图（11）、图（12）和图（13）可知绕射点深度h决定图形出现的垂向位置，h越小越靠上（地面），越大越靠下，h在在一定范围内波形都比较完整！
4、其它模型的正演模拟结果分析。
答：<i>由同深度，两绕射点模型：图（6）；同深度，三绕射点模型：图（7）
可知多绕射点时图形形状基本不变，遵从于叠加原理！在波形相交处出现明显亮斑，是干涉增强的原理！
<ii>同x不同深度，两绕射点模型图（14）同x不同深度，三绕射点模型：图（15）
由这两个图可知随深度的增加，图形的曲率在减小信号强度也在减小！
1、 基本要求：（1） 点绕射构造和水平层状速度模型（参数如图1所示）的正演数值模拟；
1） 削波的正演；
2） 无削波的震正演；
（2） 计算中点和两个边界的信号位置，分析实验结果的正确性；
（3） 做同样模型的褶积模型数值模拟，对比分析分析两者的异同。
（4） 改变绕射点位置、速度，再做正演模拟。
2、 较高要求：
使用雷克子波做爆炸源，对三个不同的主频：25hz、50hz和75hz分别做点绕射模型的正演模拟；
主频：25hz图（16）主频：50hz图（17）主频：75hz图（18）
设计复杂反射构造模型，再做正演模拟。
二层起伏地形时的结果图
深度Iz=1*Nz/5时图（19）
深度Iz=2*Nz/5时图（20）
深度Iz=3*Nz/5时图（21）
深度Izห้องสมุดไป่ตู้4*Nz/5时图（22）
五层水平层，不同层速度模型图（23）
2 地震学基础-2震级和烈度,地震波与波动方程
2.1 地球构造与板块运动
2.2 板内构造活动与板内地震
2.3 震源机制与地震类型
2.4 中国地震的背景与特点
2.5 地震灾害的破坏作用
2.6 地震震级与地震烈度
2.7 地震波与波动方程
§2.6
地震震级与地震烈度
2.6.1 地震震级 2.6.2 地震烈度
2.6.1 地震震级
骑自行车的人会摔倒，处不稳状 态的人会摔出几尺远，有抛起感
严重破坏——墙体龟裂， 0.51~0.70 局部倒塌，修复困难
地方出现裂缝、基岩上可能出现裂缝、 500 (354~707) 滑坡、坍方常见，砖烟囱出现倒塌
山崩和地震断裂出现，基岩上的拱桥 破坏，大多数烟囱从根部破坏 地震断裂延续很长，山崩常见，基岩 上的拱桥 地面剧烈变化，山河改观
现为扭转、局部破裂和倒塌；有的表现为结构本身的震动破坏、
物体的反应 桌上、架上摆放的小用具、书籍和挂饰等物品在地震时会 移动、坠落或翻到等等；
自然现象的变化
强烈地震时，自然环境有时也会发生变化，如山崩、地裂、 冒水、喷砂、地面变形、滑坡、陷落等，在海中的地震还易引 发海啸。
（3）地震烈度表
调整不同结构的烈度尺度，都不可能使不同尺子量出
的烈度值相统一。
现有烈度评定的精度是不高的，在极端情况下相差可达4
度之多，一般来说都会有1度之差的精度。 国际上的惯例是烈度只能为整数，而不出现小数，如8.5度， 7度半等；但在不少报告中，如我国和苏联，有时也出现这种 描述。
（6） 宏观烈度的地质效应
人们在感觉到一个上下颠簸的P波震动之后，会有一个短暂的停顿，然后会是 一个更加猛烈的水平摇动，持续的时间也相对长一些，大多数房屋在上下颠簸 变“酥”之后，便在水平摇晃中进一步毁坏倒塌，这就是地震S波的作用。
振动方程波动方程
振动方程波动方程振动方程和波动方程是物理学中重要的概念，涉及到很多领域，比如力学、声学等。
本文将分步骤阐述这两个方程及其应用。
一、振动方程1、概念：振动方程是描述物体振动的方程，表达式为m(x)'' + kx = 0，其中m是物体的质量，k是物体的弹性系数，x是物体的位移。
2、推导过程：假设物体振动的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，那么有以下三个式子：v(t) = dx(t)/dta(t) = dv(t)/dt = d^2x(t)/dt^2由于物体的振动是受弹性力和外力的作用，所以可以列出以下公式：ma = -kx其中m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹性系数，x是物体的位移。
把上式用v和x表示出来，则有：m(d^2x(t) / dt^2) = -kx(t)这就是振动方程的表达式。
3、应用：振动方程广泛应用于机械振动、电子振动等领域。
例如，有些机械装置发生共振时，会发出沉闷的低音，这就是振动方程的应用之一。
二、波动方程1、概念：波动方程是描写波动传播的方程，包括机械波、电磁波等；通常表达式为d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^2，其中u是波的振幅，x和t分别为空间和时间坐标，v为波的传播速度。
2、推导过程：波动方程是由质点振动传播而来，描写质点的受力情况来推导的。
假设沿着x轴传播的机械波的振幅为u(x,t)，波的传播速度为v，则有以下式子：1. 法向受力方程：F = ma，其中m是质点的质量，a是质点的加速度，F是在某时刻x处的受力，可以表示成F = -dV/dx，其中V为波势函数。
于是有以下公式：m(d^2u / dt^2) = -dV/dx = -d^2u / dx^2 * k其中k是弹性系数。
2. 波方程：由于波的传播速度为v，所以有以下公式：v = w/k其中w是波的圆频率。
把k代入波的受力方程，整理得出波动方程：d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^23、应用：波动方程广泛应用于物理、化学、信息科学等领域。
地震波动方程
第三章地震波动方程现在,我们用前一章提出得应力与应变理论来建立与解在均匀全空间里弹性波传播得地震波动方程。
这章涉及矢量运算与复数,附录2对一些数学问题进行了复习。
3、1 运动方程(Equation of Motion)前一章考虑了在静力平衡与不随时间变化情况下得应力、应变与位移场。
然而,因为地震波动就是速度与加速度随时间变化得现象,因此,我们必须考虑动力学效应,为此,我们把牛顿定律用于连续介质。
3、1、1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差得存在而使质点产生振动。
如图13所示,考虑一薄棒向x轴延伸,其位移量为u:Fig31则其作用力为“应力”X“其所在得质点面积”,所以其两边得作用力差为惯量﹙inertia﹚为所以得出……………………………………………………、、、(31)其中ρ为密度﹙density﹚,σ为应力﹙stress﹚=。
31式表示,物体因介质中得应力梯度﹙stress gradient﹚而得到加速度。
如果ρ与E为常数,则31式可写为 (32)其中运用分离变量法求解(32)式,设u=F(x)T(t),(32)式可以变为设则可得:考虑欧拉公式:(33)其中A,B,C,D为根据初始条件与边界条件确定得常数。
考虑到可正可负,方程式得解具有得形式,其中f及g为波得函数,以c得波行速度向+x 与x方向传递。
我们可以采用如下程序模拟地震波得传播。
平面波在均匀介质里沿方向传播,剪切波得齐次微分方程可表达为:这里就是位移。
对100公里得波长与假定得情况,我们写出用有限差分法解这方程得计算机程序。
用长度间距,时间间距秒。
假定在(50公里)震源时间函数得形式为:0＜＜5秒用(0公里)得应力自由边界条件与(100公里)得固定边界条件。
用有限差分图解来近似二次导数:以4秒得间隔画出133秒得图。
M = moviein(101);dx=1;dt=0、1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen为震源持续时间,beta为波传播得速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1为前一个时刻得各点得位移,u2为当前时刻得位移,u3为下一个时刻得位移值,开始均假定为零t=0;jj=0;while (t<=33) %模拟得最长时间为33秒for ii=2:100rhs=beta^2*(u2(ii+1)2*u2(ii)+u2(ii1))/dx^2; %方程得解u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)u1(ii); %对时间求导数end%左边为自由边界条件,右边为固定边界条件u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件% u3(1)=0、0; %左边为固定边界条件% u3(101)=0、0; %右边为固定边界条件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen))、^2; %地震震源时间函数endfor ii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻得更新endplot(u2); %绘制目前得波形图ylim([1、2 1、2]);M(:,jj+1) = getframe; %获得当前得图像t=t+dt; %时间延长endmovie(M) %演示波形传播3、1、2三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式得过程,与上节中所采用得一维空间讨论方式类似,如图32所表示,先探讨在x方向之位移量u:Fig32在yz面上得作用力差为:在xz面上得作用力差为:在xy面上得作用力差为:惯量为:得出…………………………………、、﹙34﹚其中σxx、σyx及σzx分別为stress tensor在xx﹙x面方向、x力方向﹚,yx﹙y面方向、x 力方向﹚及zx﹙z面方向、x力方向﹚方向得分量。
地震学基础第四讲
vp
速度值小，
vs =
µ = ρ
E 2 ρ (1 + σ )
因此P波总是先到达,叫初至波，横波又叫S波比P波晚到，叫续至波。 根据纵波和横波的公式，可以求得纵波和横波的波速之比。 （B）质点振动特征： ）质点振动特征： 在横波的传播方向上，S波质点的位移等于零，而在波射线传播方 向的垂直平面内，有铅直方向Sr和水平相的位移SH。由于一般岩石的 泊松比σ=0.25，所以纵横波的速度之比约为1.73。说明横波质点位移 . 的方向与其传波方向正交，横波也是一种线性极化波。
波散
所谓波散，是指组成波的不同频率的单 色波按着自己的速度在地层介质中传 播，对于由不同频率成分扰动的总和 构成脉冲波形而言，当它从一点传播 到另一点时，由于相速度随频率变化， 结果使合成的脉冲波形发生变化，这 种现象就叫做波散。
由于波在传播时能量都集中在大振幅的 地方，因此群速度也就是波的能的传波速 度。 面波的频散特怔已经应用于地球物理学 研究的个个领域，工程地震勘察中，利用R 波向地下传播的深度范围约等于一个波长 λR的深度，则认定在地表测量到的瑞雷 瑞雷 波速度V 波速度 R代表着二分之一波长深度的介质 的平均弹性性质。 的平均弹性性质。进而可以作出速度随深 度变化的频散曲线图，对地层进行速度分 层，再经过各种换算后，就可以得到各分 层地层的横波速度等项参数。
当波速度稳定时，纵波的质点位移大小主要由震源的强度及其它因素关。 2)质点位移up的大小，同离开震源的距离 r相关，振动的强度随传播距离的 增大呈反比地减小，在工程地震勘察中称这种现象为波的球面扩散。 3）因质点位移的方向与传播路徑方向 r 一致，因此纵波质点在空间里的振 动是一维的，因此又叫线性极化波.。
（C）与纵波相同，横波的强度也随波的传播距离增加而减少，横波也具有球 .
第2章_2 弹性力学基础与地震波—波动方程的解汇总
三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动 （向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通 过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动 ，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，Ｒ分量）和切向振动（与 径向正交的水平分量，Ｔ分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向 分量上记录的Ｓ波显然是ＳＨ波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能 量在切向上
地震学中将垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面 上的Ｓ波分量记为ＳＶ波。
uS=uSV+uSH
入射面
uS在X2轴的投影分量为 uSH＝uSHe2
uS在X1 X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为 uSV＝uSV1e1 + uSV2e3
SV 波阵面
界面
SH
X1
X2
垂直于传播平面的ｘ２ 方向上的 Ｓ波分量记为ＳＨ 波，传播平面
SKS、PS、SKKS从P 波转换为SV波； Sdiff或Sd表示S波
基于波动方程的地震模拟与预测研究
基于波动方程的地震模拟与预测研究一、介绍地震是一种极具破坏性的自然灾害，给人们的生命财产安全带来极大的威胁。
因此，对地震的模拟和预测显得至关重要。
本文主要介绍基于波动方程的地震模拟和预测研究。
二、地震模拟1. 地震波基本方程地震波的传播是通过波动方程来描述的。
通常情况下，地震波可以被视为在地球中传播的弹性波。
地震波基本方程可以用下面的形式来表示：$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\nabla^2u$其中，$u$表示波动的位移，$c$表示波速，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子。
2. 地震波数值模拟地震波数值模拟是利用计算机来对地震波进行模拟的过程。
地震波数值模拟的方法包括差分方法和有限元方法。
差分方法是一种基于离散的数值模拟方法。
差分方程可以通过对波动方程离散化得到，进而可以通过求解差分方程来获得波动的位移。
有限元方法是一种利用有限元离散化技术进行数值模拟的方法。
在有限元方法中，波动方程的解可以被表示为多个节点之间的位移的线性组合。
因此，有限元方法可以很好地处理非均匀介质中的地震波传播问题。
3. 地震波模拟的应用地震波模拟的应用主要包括地震灾害预警、地震工程等。
通过对地震波的模拟，可以更好地了解地震发生过程中地面振动情况，为地震工程的设计提供依据。
三、地震预测1. 地震预测的基本原理地震预测是根据地震发生的物理学原理，通过对一些地震前兆现象的监测以及地震数据的分析，来预测地震将发生的时间、地点和强度。
地震预测的主要原理是，地震活动发生时地壳中会产生应力变化，这种应力变化会引起地面变形和地震波的传播。
因此，通过对地壳的应力变化进行监测，可以判断地震是否即将发生。
2. 地震预测方法地震预测方法包括观测预测、物理模拟预测和概率预测。
观测预测是通过对地震前兆现象进行观测，判断地震是否即将发生。
典型的地震前兆现象包括地面变形、地震波、地下水位变化等。
物理模拟预测是利用物理模型来模拟地震过程，进而预测地震发生的时间、位置和强度。
地震波的特性和传播讲解
应用几何方程求出相对应的应变分量：
x y z 0, xy yz 0
xz
w1 u df1(x VSt) (x VSt) d
x z d (x VSt) x
d
f1( )
x VSt
说明弹性介质的每一个点都始终处于z及x方向的简单剪切状态。
1
2
;
sin sin
3 1
Vsb Vsa
B1 B2 B5 0
a sin 21(B1 B2 ) B5b sin 23 0
地震波的传播规律
内容
一 地震波在介质中的传播 1 平面波的传播 2 球面波的传播 惠更斯-菲涅尔原理 克希霍夫积分解
二 地震波在介质分界面处的传播 1 面波 2 地震波在界面处的反射和透射 3 地震波的能流密度和几何扩散
一 地震波在介质中的传播
1 平面波的传播 当地震波在离震源足够远处，波前变得足够平，
d
f1( )
x Vpt
其余的应变分量都等于零，说明弹性介质的每一个点 都始终处于方向的简单拉压状态。
由物理方程求应力分量：
x
t
2 x
(
2) x
E (1 ) (1)(1 2)
x
y
t
2 y
x
E (1 )(1
2 )
x
z
t
2 z
x
E (1 )(1
2 )
x
xy yz zx 0
各个正应力分量之间的关系为：
地震勘探中波动方程的推导过程
地震勘探中波动方程的推导过程首先呢，咱们得从最基本的物理概念开始。
在地震勘探里，波的传播肯定是和介质的一些性质有关系的。
这里面就涉及到像弹性模量啊这些概念。
我知道这些听起来就有点头疼，但是没办法这就是基础嘛。
咱们得先有个大概的认识，就是波在不同的介质里传播速度是不一样的，为啥呢？就是因为介质的这些特性在捣鬼呢！然后呢，我们就开始建立一些简单的数学关系。
这里我觉得大家可以先想象一下一个很简单的情况，比如说一个质点在介质里受到力的作用开始振动。
这个振动就会引起周围质点跟着动起来，这就形成了波的传播啦。
不过呢，要把这个过程用数学式子表示出来可不容易哦。
我们通常会根据牛顿第二定律来建立方程。
这时候你可能会问，为啥是牛顿第二定律呢？哈这是因为波的传播本质上也是一种力学现象呀！根据这个定律，我们就可以把质点的受力和它的加速度联系起来。
这里我得说一句，这一步真的很关键哦！要是这一步没搞对，后面可就全乱套了。
接下来，我们还要考虑介质的弹性性质。
这部分我觉得可以更灵活一点去理解。
就是说不同的介质弹性不一样，那波在里面传播的方式和速度就会有差别。
咱们要把这个差别在方程里体现出来。
这时候可能就会用到一些关于弹性模量的知识。
当然啦，这些知识如果不是特别清楚也没关系，咱们只要知道大概怎么回事就行。
在推导的过程中，还会有一些假设和简化。
比如说，我们可能会假设介质是均匀的，这虽然和实际情况有点出入，但是这样做会让整个推导过程简单很多呢。
我刚开始学的时候也觉得这有点不合理，不过后来发现这是一种很有效的方法。
就像我们有时候为了算出一个大概的结果，会先忽略一些小的影响因素一样。
整个波动方程的推导过程就是这样啦。
刚开始可能会觉得麻烦，但习惯了就好了。
希望大家通过我的讲解能对地震勘探中的波动方程推导有个初步的了解！如果有什么不懂的地方，欢迎随时再研究研究或者找更多的资料看看呀。
地震勘探中波动方程的推导过程
地震勘探中波动方程的推导过程地震勘探是通过记录和分析地震波在地下传播的情况，来获取地下结构和物性信息的一种方法。
地震波动方程是描述地震波在地下传播过程中的数学模型，它是地震勘探研究中的重要理论基础。
本文将通过推导地震波动方程的过程，介绍地震波在地下传播的基本原理，让读者对地震勘探有一个更深入的理解。
1.地震波动方程的基本概念地震波动方程是描述地震波在地下传播的数学模型，它是通过物理规律和方程推导出来的，用来描述地震波在地下传播的基本规律。
地震波动方程通常是一个偏微分方程，描述了地震波在地下传播的速度、能量耗散和波阻尼等物理过程。
通过地震波动方程，可以推导出地震波在地下的传播速度、能量耗散和反射、折射等现象，从而获取地下结构和物性信息。
2.地震波动方程的推导过程地震波动方程的推导过程是通过物理规律和方程推导出来的，主要涉及弹性力学、波动方程和偏微分方程等知识。
地震波动方程的基本形式是弹性波动方程，描述了地震波在地下传播的速度和能量耗散等物理过程。
下面我们将通过推导地震波动方程的过程，介绍地震波在地下传播的基本原理。
首先，我们需要了解弹性力学的基本概念。
在地震波动方程的推导过程中，我们需要用到弹性力学的基本原理和方程。
弹性力学是研究物体在外力作用下的形变和应力的力学学科，它描述了物体受力后的形变和应力分布。
在地震波动方程的推导过程中，我们将利用弹性力学的基本原理和方程，推导出地震波在地下传播的数学模型。
其次，我们需要了解波动方程的基本概念。
波动方程是描述波动过程的数学模型，它描述了波动在空间和时间上的传播规律。
在地震波动方程的推导过程中，我们将利用波动方程的基本原理和方程，推导出地震波在地下的传播速度和能量耗散等物理过程。
最后，我们需要了解偏微分方程的基本概念。
偏微分方程是描述多维空间中变量的变化规律的数学模型，它描述了变量在空间和时间上的变化规律。
在地震波动方程的推导过程中，我们将利用偏微分方程的基本原理和方程，推导出地震波在地下传播的速度和能量耗散等物理过程。
地震勘探中的二维波动方程 带源函数
地震勘探中的二维波动方程带源函数
地震勘探中的二维波动方程可以写为：
ρ(x,y)∂^2u/∂t^2 = μ(x,y)(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2) + f(x,y,t)
其中，ρ(x,y)是在点(x,y)处的介质密度，μ(x,y)是在点(x,y)处的
介质的剪切模量，f(x,y,t)是在点(x,y)和时间t处的源函数。
源函数是用来表示地震波源造成的振动，它的形式通常可以根据实际情况进行选择。
比较常用的源函数包括脉冲源、高斯源、Ricker源等等。
在地震勘探中，通常采用震源激发地下介质的波动，然后通过接收器来记录地下波动的传播情况。
基于二维波动方程带源函数，可以对地下介质的物理参数进行反演，从而得到比较准确的地下介质结构信息。
波动方程的一般表达式求波长
波动方程的一般表达式求波长波动方程是描述振动和波动现象的一般性方程。
它在物理学、工程学、地球科学等广泛应用，用于研究波动传播、波长测量以及波动特性的分析等。
波动方程的一般表达式如下：∇²φ = (1/c²) ∂²φ/∂t²其中，φ为波函数，∇²为拉普拉斯算子，c为波速，∂²φ/∂t²为波函数随时间的二阶导数。
在这个方程中，拉普拉斯算子描述了空间中的波动传播，∇表示空间导数运算符。
而波速c则决定了波的传播速度，可以根据具体情况进行选取。
波函数随时间的二阶导数则表示了波函数随时间的变化情况，描述了波动的动力学性质。
在求解波动方程时，常用的方法有分离变量法、格林函数法、数值模拟等。
其中，分离变量法是一种常用且简洁的求解方法。
通过假设波函数可分解为时间和空间的乘积形式，将波动方程分解为两个方程，分别关于时间和空间进行求解。
而格林函数法则通过引入格林函数，将波动方程转化为积分方程进行求解。
数值模拟则利用计算机的计算能力，通过离散化和数值逼近的方法求解波动方程。
在实际应用中，波长是波动现象中的重要参数。
它描述了波动的空间特性，表示波动在空间中一个完整波动的距离。
波长的求解方法主要取决于具体的波动问题。
例如，对于简谐波，波长可以由波速和频率求得。
波速为单位时间内波动传播的距离，而频率表示波的振动次数，而他们的乘积便是波长。
对于复杂的波动现象，波长的求解则需要使用更加复杂的方法，如利用相位差或者频谱分析等。
波动方程与波长的研究在物理学、工程学、地球科学等领域具有重要意义。
它可以用于分析和解释声波传播的机制，预测地震波传播的路径和特性，优化声学设备的设计，研究光的干涉和衍射现象，以及调控电磁波的传播等。
同时，波长的测量也有广泛的应用。
通过测量波动的特性，可以推导出波长，并应用于实际的测量、定量分析和工程设计中。
总而言之，波动方程的一般表达式是描述波动现象的重要方程。
地震波动方程
地震波动方程第三章地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。
这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。
3.1 运动方程（Equation of Motion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。
然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（maF ）用于连续介质。
3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。
如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为()()()dxds xx dx x ds ∂∂=-+σσσ惯量﹙inertia ﹚为22tu dxds ∂∂ρ所以得出xt u ∂∂=∂∂σρ22……………………………………………………... （3-1）其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=xuE ∂∂。
3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。
如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为222221t uc x u ∂∂=∂∂…………………………………………………… （3-2） 其中ρEc =运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为T X c T X ''=''21设22ω-=''=''TT X X c则可得：cx iti eX eT ωω±±∝∝,考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t et i ti ωωωωωω-=+=-()()()()ct x cict x cict x cict x ciDeCeBeAeu ---+-++++=ωωωω （3-3）其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。
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第三章 地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。
这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。
3.1 运动方程（Equation of Motion ）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。
然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（ma F =）用于连续介质。
3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。
如图1-3所示，考虑一薄棒向x 轴延伸，其位移量为u ：Fig3-1则其作用力为“应力”X “其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为()()()dxds xx dx x ds ∂∂=-+σσσ 惯量﹙inertia ﹚为22tu dxds ∂∂ρ所以得出xt u ∂∂=∂∂σρ22 ……………………………………………………... （3-1）其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=xuE ∂∂。
3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。
如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为222221tuc x u ∂∂=∂∂ …………………………………………………… （3-2）其中ρEc =运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为T X cT X ''=''21设22ω-=''=''TT X X c 则可得：cx iti eX eT ωω±±∝∝,考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t et i ti ωωωωωω-=+=-()()()()ct x cict x cict x cict x ciDeCeBeAeu ---+-++++=ωωωω（3-3）其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。
考虑到ω可正可负，方程式的解具有()()ct x g ct x f u ++-=的形式，其中f 及g 为波的函数，以c 的波行速度向+x 与-x 方向传递。
我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。
平面波在均匀介质里沿x 方向传播，剪切波的齐次微分方程可表达为：22222x u t u ∂∂=∂∂β 这里u 是位移。
对100公里的波长和假定秒公里/4=β的情况，我们写出用有限差分法解这方程的计算机程序。
用长度间距公里1=dx ，时间间距1.0=dt 秒。
假定在u （50公里）震源时间函数的形式为：()()5sin 250t t u π= 0＜t ＜5秒用u （0公里）的应力自由边界条件和u （100公里）的固定边界条件。
用有限差分图解来近似二次导数：211222dx u u u x u i i i -++-=∂∂ 以4秒的间隔画出1-33秒的图。
M = moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen 为震源持续时间，beta 为波传播的速度 u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;%u1为前一个时刻的各点的位移，u2为当前时刻的位移，u3为下一个时刻的位移值，开始均假定为零t=0;jj=0;while (t<=33) %模拟的最长时间为33秒for ii=2:100rhs=beta^2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1))/dx^2; %方程的解u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii); %对时间求导数end%左边为自由边界条件，右边为固定边界条件u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件%左右两边为自由边界条件% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件%左右两边为固定边界条件% u3(1)=0.0; %左边为固定边界条件% u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件if(t<=tlen)u3(51)=(sin(pi*t/tlen)).^2; %地震震源时间函数endfor ii=1:101u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻的更新endplot(u2); %绘制目前的波形图ylim([-1.2 1.2]);M(:,jj+1) = getframe; %获得当前的图像t=t+dt; %时间延长endmovie(M) %演示波形传播3.1.2三维空间之振动方程式推导三维空间之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空间讨论方式类似，如图3-2所表示，先探讨在x 方向之位移量u ：Fig3-2在y-z 面上的作用力差为：()()[]dydz x dx x xx xx σσ-+ 在x-z 面上的作用力差为：()()[]dxdz y dy y yx yx σσ-+ 在x-y 面上的作用力差为：()()[]dxdy z dz z zx zx σσ-+ 惯量为：22tudxdydz ∂∂ρ得出x zx yx xx f zy x t u +∂∂+∂∂+∂∂=∂∂σσσρ22 ………………………………….. ﹙3-4﹚其中σxx 、σyx 及σzx 分別为stress tensor 在xx ﹙x 面方向、x 力方向﹚，yx ﹙y 面方向、x 力方向﹚及zx ﹙z 面方向、x 力方向﹚方向的分量。
注意，在本讲义中有关stress tensor 的两个下标﹙indexes ﹚之定义，依序为面的方向与力的方向。
将σxx 、σyx 及σzx 与其对应的应变之关系代入3-4式可推导得出三维空间之振动方程式如下：()x f u xt u +∇+∂∂+=∂∂222μθμλρ …………………………………. ﹙3-5a ﹚其中λ及μ为常数，而2∇为Laplacian operator ，代表222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂。
以相同的方法，可以得出在y 及z 方向的振动方程式，若其位移量分別为v 与w ，则其相对应之振动方程式可分別表示如下：()y f v yt v +∇+∂∂+=∂∂222μθμλρ ………..………………………… ﹙3-5b ﹚()z f w zt w +∇+∂∂+=∂∂222μθμλρ …………………………………. ﹙3-5c ﹚若以向量形式来统一表示3-5a 、b 、c 式，可改写如下：()()f u u div grad t u +∇+⋅+=∂∂222μμλρ …………………………... ﹙3-6﹚ 其中u为位移向量，在x 、y 与z 方向的位移分量分別为u 、v 与w 。
其中z y x f f f ,,为体力，只有在研究震源时，才考虑该体力。
这是构成许多地震学理论基础的基本方程，称之为连续介质方程或运动方程。
体力f 通常包括重力项g f 和震源项s f 。
在正常模型地震学中，重力项是频率很低时的一个重要因子，但对所观测到的典型波长范围，即在体波和面波的计算中，通常可被忽略。
在这本书后面我们将考虑震源项s f 。
在没有体力的情况下，有齐次运动方程：()()u u div grad tu222∇+⋅+=∂∂μμλρ （3-7） 在场论中考虑到：u u u 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ （3.8）将其变为更常用的形式，即：u u u ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇2 （3.8）将这个式子代入（3.12）得到：()())(222u rot rot u div grad tu μμλρ-⋅+=∂∂ ()u u u⨯∇⨯∇-⋅∇∇+=μμλρ2上式决定了在震源区以外，地震波的传播。
解真实地球模型的上述方程是地震学的重要部分，这样的解给出了离震源某一距离的特定地点预期的地面运动，通常称为合成地震图。
3.1.3体波﹙纵波与橫波﹚之振动方程式首先，我们考虑由介质伸缩所衍生的质点体积应变之振动方程式。
从上节所描述的单一方向﹙x 、y 、z ﹚上之位移量﹙u 、v 、w ﹚所导出的振动方程式，可以进一步地推求体积应变θ所引发的振动方程式，由θ的基本定义可以很自然的联想到分別将3-4a 、3-4b 以及3-4c 三式分別对x 、y 与z 微分之后再相加，忽略体力，即可得到下式：θρμλθ2222∇+=∂∂t……………………………………………… ﹙3-7﹚另外，考虑剪切应变可能产生的振动方程式。
若将3-5c 式对y 微分、3-5b 式对z 微分，然后相減，忽略体力可得到下式：⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z v y w z v y w t 222ρμ ……………………………. ﹙3-7﹚其中括弧內的zvy w ∂∂-∂∂项就是质点运动绕x 轴的扭转角度。
Fig3-3参考图3-3，一个质点P ﹙y 、z ﹚向逆时针方向扭转到P ’﹙y 、z ﹚，扭转角度为ωx ，若其扭转半径为r ，根据几何关系可得到：αcos r y =，αsin r z =其位移形变为x x z r v ωαω-=-=sin x x y r w ωαω==cos将其分別对y 及z 微分且相加，得出⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z v y w x 21ω 同理得到⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x w z u y 21ω和⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y u x v z 21ω，所以质点扭转的运动方程式可写为：yx x tωρμω222∇=∂∂ y y t ωρμω222∇=∂∂ z z tωρμω222∇=∂∂ ………………………………………………… ﹙3-8﹚3-6式与3-8式可用通式描述如下：φφ2222∇=∂∂c t……………………………………………………. ﹙3-9﹚其为典型之波动方程式。
根据对3-8式而言，Θ=φ，可得出αρμλ=+==21V c …………. ﹙3-10﹚对3-6式而言，i ωφ=，可得出βρμ===2V c ………………. ﹙3-11﹚3-10可视为纵波﹙亦称为P 波﹚，因其质点运动方向与波的传播方向相同﹙如图3-4﹚。
质点运动方向 波传方向Fig3-41-24视为橫波﹙亦称为S 波﹚，因ω为扭转应变，其质点的转动方向与波的传播方向成正交。
S 波依其质点振动方向的不同可分为SV 及SH ，如图3-5所示。
波传方向Fig3-5综合以上所得，在完全弹性介质中，当其受外力作用时，产生两种波相：纵波与橫波。
由前节所述之各弹性系数的关系，我们可将3-10式以及3-11式写为：αρμκ=+=341V ； βρμ==2V ﹙12V V <﹚其他弹性系数与速度的关系如下：1432212221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=V V V V E ρ………………………………………………. ﹙3-12﹚⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11121221V V σ …………………………………………… ﹙3-13﹚()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=222134213V V E ρσκ………………………………… ﹙3-14﹚()2212V Eρσμ=+=…………………………………………… ﹙3-15﹚其中3-13式可化为σ2111221-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛V V ……………………………………………... ﹙3-16﹚在地函內部，大部分的泊松比σ接近于1/4。