06-07-2 高数(A、B)期末参考答案

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

《高等数学》期末考试A卷(附答案)

《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设是正整数，为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。

【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。

【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137．函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3．当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。

第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

高数(2-2)历年期末试题参考答案

2006—2007学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ；（B ）必有→→→→===0c b a ；（C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ；（D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ；（B ）22；（C ）22；（D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ；（B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ；（D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ；（B ）632=-+z y x ；（C ）632=++z y x ；（D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛；（B ）发散；（C ）绝对收敛；（D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面；（B ）平行于z 轴，但不通过z 轴；（C ）垂直于z 轴；（D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1，当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛，故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-，最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

06-07(2)高数A期末A卷答案

一．DCAD 二、1．r 2， 2. 543. ),(+∞-∞4.n nn n x )312)1(32(0+-∑∞=, 21 三．1．解：将, 11)(:24122121⎩⎨⎧=+=+-Γz x y x化为参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+=Γθθθcos 2 sin 2cos 22121z y x ： ()πθ20≤≤ 3分则θθθθθd d ds 2)sin 2()cos 2()sin 2(222=++-=。

6分 πθπ18d 22920==∴⎰I 。

8分2．解：令x e x f x--=1)(，则0)0(=f ，当0>x 时，01)('>-=xe xf ，所以，对)1,0(∈∀x ，0)(>x f 且单调递增。

3分取nx 1=，则0111>--=neu nn 单调减少，且0lim =∞→n n u 。

由L-判别法，原级数收敛。

5分又当0→x 时，),(21122x x x e x ο+=-- 由此知当∞→n 时， nen111--～n 21，而∑∞=121n n 发散，所以∑∞=--1111n nne发散，所以原级数条件收敛。

8分3．解：作取下侧的辅助面1:1=∑z 1:),(22≤+∈y x D y x y x ，=I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11⎰⎰⎰Ω=z y x d d d )1(--y x x d d )(2- 4分⎰=πθ20d ⎰10d r⎰-221d r z ⎰-πθθ202d cos ⎰103d r r 1213π=8分 4．解：222)1(11=⋅+==+∞→+∞→n n n n n n n n Lim a a Lim R 。

当2=x 时，原级数化为∑∞=121n n ，发散；当2-=x 时，原级数化为∑∞=--11)1(21n n n，收敛，故级数的收敛域为]2,2[-。

3分令∑∞=-⋅=112)(n nn n x x s ，我们可得 )2(2)21()2(2)(11x Ln Ln x Ln n x n x x xs n nn nn--=--==⋅=∑∑∞=∞=，)22(<≤-x 。

《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)

《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分）长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。

资料：06-07-3高数(A)期末参考答案及评分标准

模板资料资源共享06-07-3高数A 期末试卷参考答案（A ）一。

填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x =，0y =，0z =；2．交换积分次序221111d (,)d x x x f x y y ---=⎰⎰；3．设{}222,,,x y z r x y z ==++r 3divrr =； 4．设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分22d d Cx y x xy y +=⎰；5.设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为；6．设2()e x f x =，则(2)(0)n f =；7. 设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π=；8.设正向圆周:1C z =，则cos d Czz z=⎰；9．函数1()cosf z z z=的孤立奇点0z =的类型是-------（如为极点，应指明是几级极点），[]Res (),0f z =；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为.学号姓名密封线模板资料资源共享二．(本题共2小题，每小题8分，满分16分)11．判断级数1342nn nn ∞=-∑的敛散性. .12．求幂级数1121n n n n x n ∞+=+∑的收敛域与和函数.三．(本题共2小题，每小题9分，满分18分)13．将函数()f x x x =+ 在(1,1]-上展开为以2为周期的Fourier 级数.模板资料资源共享14．将函数21()43f z z z =-+ 在圆环域13z <<内展开为Laurent 级数.四．（15）(本题满分9分) 验证表达式 22(cos 21)d (3)d x xy x x y y +++-+ 为某一函数的全微分，并求其原函数.五．（16）(本题满分9分)利用留数计算反常积分41d 1x x +∞+⎰.模板资料资源共享六．（17）(本题满分10分)已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面2211z x y =-- 22z x y =+ 所围立体表面的外侧的流量.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰。

06-2期末高数B试卷A答案

2− 2y
dy （1 分）
0
=
1 1 1 3 4 1 （ 1 分） (8 − 8 y ) dy = (8 y − 2 y ) 0 = 2 （2 分） 3 ∫0 3
2、
∫∫∫ (x
Ω Ω
2
+ y 2 + z 2 ) dxdydz , 其中 Ω 是由曲面 y = 1 − x2 − y 2 和平面 z = 0 围成的区域
0 0 1
1
1
0
= π ∫ (1 − r 2 − 1) 1 − r 2 d (1 − r 2 ) − ∫
0
2 ( 1 − r 2 )3 d (1 − r2 ) （2 分）= = π （1 分） 0 3 5
3、
∫ (x
L
2
+ y )dx + ( x + e y )dy , 其中 L 是曲线 y = 1 − x2 从点（-1，0）到点（1，0） ∂p ∂Q = = 1，所以积分与路径无关（2 分） ∂y ∂x
1 − ( −1)n n ∞ 1 =∑ 2 + ∑ n2 n =1 n =1 n
∞
∞
∑ (−1)n
n =1
∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 − ( −1) n n ，因为 ∑ 2 收敛， ∑ 收敛，所以 ∑ 收敛（3 分） n n2 n =1 n n =1 n n =1
又
∞ ∞ 1 − (− 1)n n n − 1 n −1 1 − (− 1)n n ，因为发散，所以发散， ≥ 2 ∑ ∑ 2 n2 n n2 n =1 n n =1
三、积分（每小题 6 分，共 24 分） 1、
∫∫ ( x + 2 y) dxdy, 其中 D 由直线 x + 2 y = 2 与 x 轴、 y

高等数学A、B(上)A卷参考答案

高等数学A 、B(上)试题A 参考答案与评分标准（20110119）一、单项选择题(每小题3分，共18分)1:A 2: B 3:A 4:A 5: C 6:D 二、填空(每小题2分，共16分)1：4π， 2：153y x =-， 3：1(1)!n -， 4ln(x C -++， 5：()()f x f a -， 6：8π， 7：21ln 2x ， 8：2x cx -+。

三、计算题(每小题7分，共14分)12200ln(1)1/(1)11lim lim (ln(1)1)2limx t t t t t x x t x t e e e e -→+∞→→+-+-+-24571.原式解:====.2. 解1dy dx t==，4分2223(1/)1t d y t dx t'+==-.7分四、计算题(每小题7分，共14分)1.解 0,y x e y y xy ''++=两边对求导：3分 yyy e x'=-+, 5分 .y ydy dx e x=-+7分2.解2222211111ln(1)ln(1)(1)-d ln(1)(1)ln(1)22122-1242x x x x x dx x x x x x x c x x ----+--++-+-⎰⎰212+2原式===五、计算题(每小题7分，共14分) 10101110110111221()[ln(1)]|ln(1)|[1ln 2ln(1)]ln 2111ln(1)ln(1).t t x t dt dt f t dt t e t e t e e e -----+-=+=-+++=-+++++=++=+=⎰⎰⎰11.解原式或=2. 解 ln ln ln 2ln 22ln ln ln ln |,3|().722b b y y by y ba y a aaA e dy e b a V e dy e b a πππ===-===-⎰⎰分分六、计算题(每小题8分，共16分)1.解特征方程为 21210,1,1r r r -===-，对应齐次方程通解12x x Y c e c e -=+，4分1λ=是单根，设*()x y x ax b e =+， 1,1a b ==-， 7分(1+1+1)通解 212()x x x y c e c e x x e -=++-。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. $ \sin(x) $B. $ \cos(x) $C. $ e^x $D. $ \tan(x) $答案：C2. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x=1 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 $ \int_0^1 x^2 dx $ 的正确计算结果？A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ 1 $D. $ 2 $答案：A4. 以下哪个选项是 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 $ \int \frac{1}{x} dx $ 的原函数？A. $ \ln|x| + C $B. $ x + C $C. $ e^x + C $D. $ \sin x + C $答案：A6. 以下哪个选项是 $ \int e^x \cos x \, dx $ 的正确积分结果？A. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C $B. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C $C. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C $D. $ \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C $答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的定义域是 $ ______ $。

答案：$ (0, +\infty) $2. 函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 的导数是 $ ______ $。

06-07高等数学(2)期末考试B卷答案07.7.9考试

中国民航大学高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交。

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。

（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。

（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）4. 二重积分的值与积分次序无关。

（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。

0607高等数学A(二)试题答案济南大学

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x y z 0 2. 设 2 2 2 x y z 1
y z 求 , . x x
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
y z 1 1 1 x x 系数行列式 J z y y z y z y z x x x 当 J 0 时,
则级数收敛.
重要参考级数: 几何级数, p -级数, 调和级数. A级数发散, B,C绝对收敛, D条件收敛.
当 q 1时,收敛 n aq n 0 当 q 1时, 发散

1 当p 1时,收敛 p n n 0 当p 1时,发散

1 ( 1)n1 发散 , 收敛 , n n 0 n 0 n
xdxd ydz, 其中为三个坐标
z
1
0 z 1 x y 解: : 0 y 1 x 0 x 1 x d x d y d z

O
1 x y 0
1 y

x d x
0 1 1 x 0
dz
1
x1
y
(1 x y )d y
y 1 x
( 1 x 1 )
注意：看清要在哪点展开；确保得到的是幂级数；注出定义域．
目录上页下页返回结束
2 2 z 4 x y 5. 曲面在点(1,1,2)处的切平面方程为
.
解: 令法向量 n (2 x, 2 y, 1)
n
(1, 2,3)
(2, 2, 1)
1 0
x y z d S xydydz 0 xd x
D
由对称性，
3 原式 = 3 x y z d S . 5 4

高数期末试题及答案

高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。

每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。

请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。

祝大家期末考试顺利！
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高等数学(A2)期末试题参考答案

高等数学A2参考答案一、选择、填空题设向量(1,0,1),(1,1,0),a b =-=r r 则1,(1,1,1).??-r r r ra b a b1．设(),z f u f =是可导的函数,其中,u xy =则d ()(d d ).¢=+z f xy y x x y 2．曲面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面方程为323160.x y z +-+= 3．设L 为圆周221,x y +=则2.p =òs4．设数项级数1(32)n n u ¥=-å收敛,则2lim .3n n u =5．函数23u x y z x yz =+-在(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大,其最大值是( B )A ．．C ．．7．化二次积分200d xf y 蝌为极坐标系下二次积分为( A )A ．2cos 20()d f d p q qr r r 蝌; B ．2sin 00()d f d pq qr r r 蝌; C ．2sin 2()d f d p q qr r r 蝌; D ．2cos 0()d f d pq qr r r 蝌.8．第一类曲面积分222()d (D ),å++=蝌x y z S 其中222: 1.x y z ?+=A ． 1;B ．p ;C ． 2p ;D ． 4p .9．级数21(1)nn n n ¥=+-å ( C ) A ．绝对收敛; B ．条件收敛; C ．发散; D ．敛散性不确定. 10．设函数()f x 是周期为2p 的周期函数,且它在[,)p p -上的表达式为1,0,()1,0.x f x x p p ì--?ïï=íï?ïî 记()S x 为函数()f x 展开的傅里叶级数的和函数,则(0),()2S S p分别为( C ).A ． 1,1-;B ． 1,1;C ． 0,1;D ． 0,1-. 二、解答下列各题（每小题6分,共18分）1．设22223arctan()ln 2,x z x y y e x =+++求2,.z z x x y抖抖?解:224262,1x z x x y y e x x ¶=++? 222242()(62)64.1x xz z x x y y e x ye x y y x y x抖抖==++=+抖抖? 2．设sin ,u z e v =其中,23,u xy v x y ==+求,.z z x y抖抖解: sin cos 2[sin(23)2cos(23)],u u x y z z u z v e v y e x u x v xe y x y x y 抖抖?=+=??抖抖?=+++ sin cos 3[sin(23)3cos(23)].u u x y z z u z v e v x e y u y v y e x x y x y 抖抖?=+=??抖抖?=+++3．设函数设(,)z z x y =是由方程20y z xe z e -+=所确定的隐函数,求22,.z z x x 抖抖解:法一:令(,,)2,y z F x y z x e z e =-+则,,2,y y z x y zF e F xe F e ===-,2yx zz F z e x F e¶\=-=? 22223()().2(2)(2)y zyy z z z z z e e z z e e x x x x x e e e +¶抖抖¶====抖抖--- 法二:方程两边同时对x 求导得20,y zz z e e x x抖-+=抖 ,2y z z e x e ¶\=? 22223()().2(2)(2)y z yy z z z z z e e z z e e x x x x x e e e +¶抖抖¶====抖抖--- 三、解答下列各题（每小题7分,共28分）1．交换积分次序并计算二次积分220sin d d .y xyx x蝌解: 2220002sin sin d d d d sin d 1cos 2.===-蝌蝌òx y x x y x x y x x x x2．计算三重积分d ,z V W蝌?其中W 是由旋转抛物面22z x y =+与平面4z =所围空间立体区域.解：法一:z44D d d d d d 64.3p p W==?=蝌蝌蝌?z V z z x y z z z法二: 投影区域22:4,+?xy D x y22240d d d d 64.3p r q rr rp W==蝌蝌蝌z V z3．证明曲线积分2L2d (1)d xy x x y ++ò在xoy 面内与路径无关,并计算(1,1)2(0,0)2d (1)d xy x x y ++ò的值.解: 因为2(,)2,(,)(1),==+P x y xy Q x y x 则2.抖==抖P Q x y x 所以曲线积分2L2d (1)d xy x x y ++ò在xoy 面内与路径无关.法一：又因为2222d (1)d 2d d d d()++=++=+xy x x y xy x x y y x y y (1,1)(1,1)222(0,0)L(0,0)2d (1)d d()[]2.++=+=+=蝌xy x x y x y y x y y法二： 12,1,L ::01,L ::01.0,,祆==镲镲眄镲==镲铑x x x x y y y y (如上图)12222LL L 12d (1)d 2d (1)d 2d (1)d 0(11)d 2++=+++++=++=蝌?òxy x x y xy x x y xy x x yy4．计算d d ,z x y å蝌其中å是锥面22z x y =+01z＃部分的下侧.解:法一:曲面2222:,:1xy zx y D x y ?++? 所以22D 210d d d d 2d d .3ppqr r r å=-+=-?-蝌蝌xyz x y x y x y法二:补面221:1,:1xy zD x y ?+? 取上侧.则1??构成了闭合曲面,由Gauss 公式得1d d d .3p?錡==蝌蝌?Òz x y V 又因为1D d d d d ,p å==蝌蝌xyz x y x y所以11d d d d d d 2.33p p p 邋+邋=-=-=-蝌蝌蝌Òz x y z x y z x y四、解答下列各题（第1、2小题每小题6分,第3小题7分，第4小题5分，共24分）1．判断级数1(1)2nnn n ¥=-×å的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛？解：因为 (1),2n n n u n -=×所以 1,2n nu n =× 由比值审敛法知道, 1121lim lim 1.(1)22n n n x x n u n u n ++×==<+? 所以级数 1112n nn n u n ゥ===×邋收敛. 即级数1(1)2nnn n ¥=-×å绝对收敛. 2．将函数1()1f x x =+展开成1x -的幂级数.解：由于1(1),(1,1).1n n n x x x ¥==-?+å所以 1001111()112121211(1)(1)()(1),(1,3).222nn n n n n n f x x x x x x x ゥ+=====?-++-+--=-=-?邋3．求幂级数(1)nn n x ¥=+å的收敛区间以及和函数()S x ,并计算01.2nn n ¥=+å解: 该幂级数的系数(1),n a n =+ 所以 12limlim1,1n nnna n a n r ++===+ 即收敛半径R =1,收敛区间为 (-1,1). 又20()(1)123(1)n n n S x n x x x n x ¥==+=++++++åL L则d d d d d 021()(1)2(1),(1,1).1xx x x xn n n n S x x n x x x x x n x x xx x x x x¥=+=+=+++++=++++=?-å蝌蝌?L LL L所以 21()(),(1,1).1(1)x S x x x x ¢==?-- 200111(1)() 4.122(1)2n nn n n n ゥ==+=+==-邋 4．利用二重积分证明无穷积分20d 2x e x +?-=ò解:记20I d ,2+?-==òx e x 则I >0.又因为222222222()200(d )d d d d d d d d .4pr p qr r +?????-----+???-+-=====蝌蝌?蝌蝌x x x x y xy ex ex ex ex e ye x y e所以2d 2x e x +?-=ò。

(一)高数(AB)期末试题答案

高等数学（AB ）期末试题2006-2007-1（A 卷解答）一、填空题（满分15分，每小题3分）1.=+⎰dx x x )1(12c x x ++-)1ln(21||ln 2 2. 设23122+--=x x x y ，则1=x 是第一类间断点.3. 已知0)0(,0)0(k f f ='=，则=→xx f x )(lim0k . 4. 设1102=+⎰∞+dx x k （k 是常数），则k =π25. 已知1)(13-=⎰-x dt t f x 其中)(x f 延续，则)7(f =121. 二、挑选题（满分15分，每小题3分）1. 当x > 0时，若)()(x g x f '>'，则当x > 0时( D ).(A) )()(x g x f >； (B) )()(x g x f ≥；(C) )()(x g x f <； (D) 不能判定两个函数的大小. 2. 设232)(-+=x x x f , 则当0→x 时, 有( B ).(A) )(x f 与x 是等价无穷小； (B) )(x f 与x 同阶但非等价无穷小； (C) )(x f 是比x 高阶的无穷小； (D) )(x f 是比x 低阶的无穷小. 3. 设c b a ,,为单位向量, 且满意0c b a =++, 则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=( C ).(A)23；（B ） 0；（C ） 23-； (D) 1 .4. 函数)(x f 在有限区间I 上延续,)(x F 为)(x f 在I 上的一个原函数,则（B ）.(A))()(x F dt t f x a=⎰； (B))()(x F dt t f dx d xa'=⎰； (C)⎰⎰=ba x a dx x f dxd dt t f dx d )()(； (D) )()(x F dt t F xa='⎰.5. 0)(0='x f 是可导函数)(x f 在0x 处有极值的（A ）.(A) 须要条件； (B) 充足条件； (C) 充要条件； (D) 非充足又非须要条件. 三、计算下列各题（满分30分，每小题5分）1.解：5325)2(5)211(lim )23(lim e xx x x x x x x x 分=++=++++∞→∞→2.解：)1ln(sin tan lim 0x x x x x +-→20)cos 1(tan lim x x x x -=→021lim 2303==→x x x 分3.设⎰-=xdt t x x 02)sin()(φ, )(x φ'求.解：⎰⎰=-=-=xxdu u u d u x t x u 0202sin )(sin )(ϕ，令，2sin )(x x ='ϕ. 4. 设⎩⎨⎧=+-=ty t t x arctan )1ln(2，求22dx yd .解：2221)1(121)(t t t t t x +-=+-=' 211)(t t y +=' 2222)1(11)1(11t t t t dx dy -=+-+=， 52223222)1()1(2)1(1)1(2))1(1(t t t t t dx dt t dt d dx y d -+=-+-=-=.5. 已知)(x f 的一个原函数是xxcos ，求⎰'dx x f x )(. 解：⎰⎰⎰-=='dx x f x xf x xdf dx x f x )()()()(C x xx x x +-'=cos )cos (C xx x +--=cos 2sin . 6. 计算dx x ⎰+π2cos 1.解：dx x ⎰+π2cos 1dx x ⎰=π2cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰dx x xdx dx x ππππ220cos cos 2cos 222=. 四、（8分）证实当2021π<<<x x 时，1212tan tan x x x x > 证令20,tan )(π<<=x x x x f . xx xx x x x x x x f 2222cos cos sin tan sec )(-=-='， 0)(,sin cos ,sin >'>∴>x f x x x x x 单调递增)(x f ∴.121211221221tan tan ,tan tan )()(20x x x x x x x x x f x f x x >>><<<即，时，当π. 五、（8分）证实22sin 2124≤≤⎰dx x x ππ. 证令 xxx f sin )(=0)tan (cos sin cos )(22<-=-='x x x x x x x x x f 单调递减)(x f ∴.224)4()()2(2ππππ=≤≤=∴f x f f22224sin 221242424=≤≤=⎰⎰⎰ππππππππdx dx x x dx . 六、（8分）求过点(1,1,1)且垂直于两平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程.解：已知二平面的法向量为 )1,1,1(1-=n ，)12,2,3(2-=n。

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4 m ≤∫ 2 3
m f ′′(η ) M ( x − 3) 2 ≤ ( x − 3) 2 ≤ ( x − 3) 2 ， 2 2 2 4 1 4 M f ( x)dx = f ′(3) ∫ ( x − 3)dx + ∫ f ′′(η )( x − 3) 2 dx ≤ ， 2 2 2 3
即 m≤3
∫
3．函数 f ( x) = x − ln(1 + x) 在区间 ( −1, 0) 内严格单调递减； 4．设 y = y ( x) 是由方程 xy − ln y = 1 所确定的隐函数，则 y′(0) = e
−2
；
5．
x5 π − x 1 − x 2 + 1 − x 2 dx = ； 2 4 ∫ −1 2 1+ x + x
高阶无穷小，已知 y (0) = π ，则 y (1) = π e 4 ； 8．曲线 y = x ln e +

1 1 的斜渐近线方程是 y = x + ； e x
3x x
9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解 y1 = e , y2 = e ，则该方程为
y′′ − 4 y′ + 3 y = 0
二.计算题（本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分） 1．计算不定积分
∫
arccos x x − x2
dx
解：
∫
arccos x x − x2
dx = 2∫
arccos x d x = −2 ∫ arccos xd arccos x 1− x
= − arccos x
(
)
2
+C
1
2．计算定积分解：
2．求微分方程 y′′ + y = x + sin x 的特解，使得该特解在原点处与直线 y = 解： y = C1 cos x + C2 sin x + x −
x cos x ，由题设条件得 2
y (0) = 0, y′(0) =
3 x ，求得 C1 = 0, C2 = 1 ，于是 y = sin x + x − cos x 2 2
4 2
f ( x)dx ≤ M ，由介值定理知至少存在一点 ξ ∈ [2,4] ，使得 f ′′(ξ ) = 3∫ f ( x)dx
2 4
3
六．（本题满分 6 分）设函数 f ( x) 在 [2,4] 上存在二阶连续导数，且 f (3) = 0 ，证明：至少存在一点 ξ ∈ [2,4] ，使得
(
1 2 −2 e + e ) = e2 a − ch2 = 0 ，得 a = ln ch2 为唯一驻点， I ′′(a) = 2e2 a > 0 ， ( 2
2
五．（本题满分 7 分）设 a ≤ 1 ，求积分 I (a ) = 解： I (a ) =
a
∫
1 −1
x − a e 2 x dx 的最大值。
1 a
∫
a −1
1 −1
x − a e2 x dx = ∫ (a − x)e2 x dx + ∫ ( x − a)e2 x dx
−1 a 1 1 −1 a a
1 = ln 2 2
4 ．设 G ( x ) =
∫
x
t 1+ t3
1
dt ，求
1dx
1 0
解：
∫
1 0
′ G ( x)dx = xG ( x) 1 0 − ∫ xG ( x )dx = − ∫
0
x2 1 + x3
dx = −
2 3
(
2 −1
)
x = ln cos t π 三．（本题满分 7 分）求曲线自 t = 0 到 t = 一段弧的长度。 1 4 y = sin t 2
1
a
1
= e2a −
I ln cha 为 I ( a ) 在 [−1,1] 上的最小值，而最大值只能在端点 x = −1, x = 1 取得。 3 1 1 5 3 1 I ( −1) = e 2 + e−2 ， I (1) = e2 − e −2 ，所以 I max = I ( −1) = e2 + e−2 4 4 4 4 4 4
2
π
4 0
= ln 1 + 2 −
(
)
2 4
四．（本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 9 分，满分 16 分） 1．求微分方程 yy′ = sin x − y 解： y
2 2
(
) cot x 的通解。
( )′ + 2 cot x ( y ) = 2 cos x
3 x 相切。 2
−2 cot xdx 2 ∫ cot xdx = C csc 2 x + 2 sin x y2 = e ∫ dx + C 2 ∫ cos xe 3
1
6．设 f ( x) 连续，且
2 1 3 2 ，已知 f ( 1 ) = 1 , 则 f ( x)dx = ； tf x − t t = x (2 )d arctan ∫ ∫0 1 4 2 x
7．已知 y = y ( x) 在任意点 x 处的增量 ∆y =
π
y∆x + α ，当 ∆x → 0 时， α 是 ∆x 的 1+ x2
06-07-2 高数 A、 B 期末参考答案及评分标准
一.填空题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分） 1． lim
x →0
x − ∫ et dt
2
x
0
x(cos x − 1)
=
2 ； 3
2 x = 1+ t 在 t = 2 对应的点处的切线方程为 y = 3 x − 7 ； 2．曲线 3 y = t
a
= a ∫ e 2 x dx − ∫ xe2 x dx + ∫ xe2 x dx − a ∫ e2 x dx
−1
令 I ′(a ) =
∫
e 2 x dx + ae 2 a − ae2 a − ae2 a − ∫ e 2 x dx + ae2 a = ∫ e2 x dx − ∫ e2 x dx
a −1 a
∫
2π 0
x sin x dx
π π
−π
∫
2π 0
x sin x dxx = t + π ∫ (t + π ) sin t dt = 2π ∫ sin tdt = 4π
0
3．计算反常积分
∫
+∞
1
1 dx x ( x 2 + 1)
+∞ 1
解：
∫
+∞
1
1 1 +∞ 1 1 x2 2 dx = ∫ d(x ) = ln 2 2 1 x 2 ( x 2 + 1) 2 x +1 x ( x 2 + 1)
)
f ′′(ξ ) = 3∫ f ( x)dx 。
2
4
证： f (3) = 0 ， f ( x) = f ′(3)( x − 3) +
f ′′(η ) ( x − 3) 2 ，η ∈ (2, 4) ， 2
由于 f ′′( x) 在 [2,4] 上连续， f ′′( x) 在 [2,4] 上存在最大值 M 和最小值 m ，故
解：S =
∫
π
4 0
π 1 π 2 − cos 2 t 1 π 1 dt = ∫ 4 sec tdt − ∫ 4 cos tdt tan 2 t + cos 2 t dt （2 分）= ∫ 4 0 2 0 cos t 2 0 4
（2 分） = ln(sec t + tan t ) −

1 sin t 2