浙江大学微积分2试卷(08)

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浙江大学城市学院微积分Ⅱ乙练习册全部答案

浙江大学城市学院微积分Ⅱ乙练习册全部答案

1 第八章 微分方程初步第一节 微分方程的概念1. 验证函数212y C x C x =+是否为微分方程2220yy y x x'''-+=的解.解:122y C C x y C '''=+=2, 2, 代入方程:()221212222222()0y y y C C C x C x C x x x x x'''-+=-⋅+++=22 因此是解。

2.验证由方程22x xy y C -+=所确定的函数为微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解.解:对22x xy y C -+=两边求导,有2()20x y xy yy ''-++=,即有 (2)2x y y x y '-=-,是解有因为解中一个任意常数,任意常数个数与微分方程阶数相同, 因此是通解。

3.验证函数1212()(,xy C C x e C C -=+为任意常数)是微分方程20y y y '''++=的通解,并求满足初始条件004,2,x x y y =='==-的特解.解:2122122212212()(),()(2),x x x x x x y C e C C x e C C C x e y C e C C C x e C C C x e ------'=-+=--''=----=--- 将上式代入方程左边有:21221212(2)2()()0x x x C C C x e C C C x e C C x e ------+--++=,又因为解中2个独立的任意常数,且任意常数个数与微分方程阶数相同,因此是通解。

由004,2,x x y y =='==-得: 124,2C C ==特解:(42)xy x e -=+第二节一阶微分方程1、求下列可分离变量微分方程的通解(或特解)(1)0 xydx=解:1,dyy= 11211,(1)ln, ln,,C Cdy x yyy Cy y e--=-==+==±⋅=⎰(20 +=解:,dx=,=()21,y=-arcsin,x C=即为通解(3)212,0x yxy xe y-='==解: 22,,x y y xdyxe e e dy xe dxdx-=⋅=()()22222222221,,211,,221111,ln,2224y x y xy x x y x xy x x x xe dy xe dx e xdee xe e dx e xe e dxe xe e C y xe e C===-=-⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰由12xy==,得1,C=211ln()122xy x e⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦(4)23(4),1xx x y y y='-==.解:22,,(4)(4)dy dx dy dxy x x y x x==--⎰⎰()411111ln,ln ln ln4,4441ln ln,,4444Cy dx y x x Cx xC xx xy C y ex x x=+=--+-=+=±⋅=---⎰ 由31xy==,得113C=,43(4)xyx=-。

浙江大学2007-2008学年春季学期微积分2试卷

浙江大学2007-2008学年春季学期微积分2试卷

浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a = ,3b = ,3a b ⋅= ,则a b +=.3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内)6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 (A )2π . (B )3π . (C )4π . (D )6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为(A)100(,)dy f x y dx ⎰⎰ (B)100(,)dy f x y dx ⎰⎰(C)10(,)dx f x y dy ⎰⎰(D)10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -=(A )12. (B )12-. (C )34. (D )34-. [ ] <9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处(A )偏导数存在,函数不连续 (B )偏导数不存在,函数连续(C )偏导数存在,函数连续 (D )偏导数不存在,函数不连续 [ ] 三、解答题10.(本题满分10分)求曲线L :2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M (1,-1,2)处的切线方程与法平面方程.11.(本题满分10分)设F 可微,z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求z zx y∂∂+∂∂. 12.(本题满分10分)设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,求2[esin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.(本题满分10分)求空间曲线L :222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.(本题满分10分)设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.(本题满分5分)设当y >0时(,)u x y 可微,且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题(每小题5分,共25分) 1.231421=-++=d .2.a b +==== 3.()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4.()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()⎰⎰+=+=+=∴D b a I b a d b a I 21,2σ.5.()()2220111,,x xdx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()01,d y f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题(每小题5分,共20分)6.选(B ). l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量{}2,1,1--,{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7.选(D ). 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选(D ).8.选(C ). 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9.选(A ). ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===,偏导数存在. 取kx y =,()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异,所以不连续.三、解答题(10~14每题10分,15题5分,共55分) 10.由L ,视x 为自变量,有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,,得 87,45==dx dz dx dy , 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ,法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .11.133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12.D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以,原式2-=e .13.L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ,求偏导数,并令其为零有:20F x x λμ∂=+=∂,1830Fy x λμ∂=+=∂, 2430F z z z λμ∂=-+=∂,22920Fx y z x∂=+-=∂ , 3350Fx y z μ∂=++-=∂ . 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时,1=z 最小;当35,5-=-=y x 时,5=z 最大.14.将分成如图的两块,41的圆记为D 1,另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++,有222xy yx y x u ++=∂∂,从而知()()y y x yxy x u ϕ++=2221arctan ,,又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂,推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++, ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以,()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注:若用凑的办法亦可:222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以,()C y y x yx y x u +++=22221arctan ,. ()()u f u F ='.。

微积分II真题含答案

微积分II真题含答案

微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题(每题3分,共30分)1、函数的定义域是____________. 2、设,则________________. 3、广义积分的敛散性为_____________. 4、____________ . 5、若 . 6、微分方程的通解是____. 7、级数的敛散性为 . 8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________. 9、交换的积分次序= . 10、微分方程的阶数为_____阶. 二、单选题(每题3分,共15分)1、下列级数收敛的是()A,B,C,D,2、,微分方程的通解为()A,B,C,D,3、设D为:,二重积分=()A, B, C, D,0 4、若A, B, C, D, 5、=()A, 0 B, 1 C, 2 D, 三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共32分)1.已知2. 求,其中D是由,x=1和x轴围成的区域。

3. 已知z=f(x,y)由方程确定,求4.判定级数的敛散性. 四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):1. 求由和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

2. 已知x表示劳动力,y表示资本,某生产商的生产函数为,劳动力的单位成本为200元,,每单位资本的成本为400元,总1/ 14预算为*****元,问生产商应如何确定x和y,使产量达到最大?。

五、证明题(5分)一、填空题(每小题3分,共30分)1, 2,3,发散4,0 5,6,y=cx 7,收敛8,R(x)=x3+1000x 9,10,2 二、单选题(每小题3分,共15分)1,B 2,B 3,C 4,C 5,D 三、计算题(每小题8分,共32分)1、解:令2、3、整理方程得:4、先用比值判别法判别的敛散性,(2分)收敛,所以绝对收敛。

(交错法不行就用比较法) (8分)四、应用题(每小题9分,共18分)1、解:2、解:约束条件为200x+400y-*****=0 (2分)构造拉格朗日函数,(4分),求一阶偏导数,(6分)得唯一解为:,(8分)根据实际意义,唯一的驻点就是最大值点,该厂获得最大产量时的x为40,y为230. (9分)五、证明题(5分)证明:设对等式两边积分,得:(2分)(4分)解得:题设结论得证。

微积分II期末模拟试卷3套含答案.docx

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在仙力)内也F\x)<0・
17、求曲线x3-xy+y3=l(x>0,y>0)±的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II期末模拟试卷3(满分:100分;测试时间:100分钟) 三、填空题(3X5=15)
『1-/_“2
1、曲线<X=Joe du在(0, 0)处的切线方程为
y = t2ln(2-r2)
”=i2”=]n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与入有关
7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y'+2y = 4兀,则当兀=1时,y=()
(A)0;(B)l;(C)2;(D)4
8、设q,是圆域D = {(x,y)|/+y2 si}的第£象限的部分,记Ik=^{y-x)dxdy.则
(A)/, >/2>1.(B) l>/j >/2.(C)I2>/j >1.(D)l>/2>/,.
五、计算题(5X10=50)
12、计算下列定积分
1
(1)j2|ycsi:兀力.(2)求y=cos x - sin x, y = 0(0 < x < —) ^ x轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
(1)设z=f[x2-y.(p{xy)],其中f(〃,0具有二阶连续偏导数,(p(u)二阶可导,求
y = Jo ln(l + u)du
dx cf
2te= 0< dt
x —o = °
16、设非负函数y = y(x)(xnO)满足微分方程尢y"-y+2 = 0,当曲线y = y(x)过原点
时,其与直线x = \&y =0围成平面区域Q的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

浙大微积分2试卷(2012-2013)

浙大微积分2试卷(2012-2013)

y z , ) 0 确定,其中 F 为可微函数, 且 Fz 0, 计算 x x
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《微积分 II》期末试卷(2012-2013 学年春学期)
8. 求

1 1
d x
2 x 2 | x|
( xy 1) sin ( x 2 y 2 )d y.
9. 设 r
x 2 y 2 z 2 0, u f (r ) 存在二阶连续导数, 求
o
0 1 1 2 2 dx y 2 dy 2 1 . 0 1 3 3
D3
D1
y x3
1 x
方法 2:
( y
D
2
( x y ) 2013 ) d xd y dx 3
1 x
1
1
2 ( y 2 ( x y ) 2013 ) dy . 3
4 x 0 0
2 u 2 u 2 u , 请用 x 2 y 2 z2
r , f (r ), f (r ), f (r ) 表示之.
10.设 z f ( x, y ) 在点 (1,2) 处存在连续的一阶偏导数,且 f (1,2) 2, f x(1,2) 3,
f y(1,2) 4, ( x) f ( x, f ( x,2 x)), 求
1D4
12. 解: V
y
D
1 2 x y 2 d xd y d x y 1 2 x y 2 d y
3 3 1 4 1 4 x (1 2 x y 2 ) 2 y [(1 x)3 (1 2 x) 2 ] d x y 0 d x 3 0 3 0 5 1 1 538 1 1 4 [ (1 x) 4 (1 2 x) 2 ] 0 (54 1) (35 1) . 12 15 12 15 15

微积分2参考答案

微积分2参考答案

参考答案及提示第一章 函数习题一1、(1)-1、2、-3. (2)-4、23、.86443222-+--x x x x 、(3)有界. 2、略.3、解:∵362)(2-+=x x f x∴3623)(6)(2)(22--=--+-=-x x x x x f ∴64)]()([21)(2-=-+=x x f x f x ϕxx f x f x 12)]()([21)(=--=φ又∵)(646)(4)(22x x x x ϕϕ=-=--=-,即)(z ϕ是偶函数;)(6)(6)(x x x x ψψ-=-=-=-,即)(x ψ是奇函数.4、(1)解:由题知,设c bx ax x R ++=2)(且满足方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=++==0421*******0c b a cb ac b a c∴.4212x Rx +-=(2)解:由题列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+=⋅+=2510905030432c b a c b a c b a c b a即2510p Q ⋅+=.(3) 解:由题意有:⎩⎨⎧≤<⨯⨯-+⨯≤≤=10007009.0130)700(1307007000130x x x x R5、(1)解:∵Z k k x ∈≠+,+21ππ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧±±=-+≠ ,2,1,0,12|k k x x ππ.(2)∵131≤-≤-x ,∴]4,2[∈x .(3)∵⎩⎨⎧≠≥-03x x ,∴]3,0()0,(⋃-∞.(4)∵,0ln ≥x ∴1≥x ,∴),1(+∞∈x .*6、解:由题有x e x f x -==1))(()(2ϕϕ,∴).1,(,)1ln()(-∞∈-=x x x ϕ7、(1)uy =u = 3x-1. (2)2u y = u = lgv v = arccosw 2x w =(3)y=au 3v u = v=1+x. * (4)ua y =u=sinv wv =12+=x w8、(1)47-=x y . (2)1)1(2-+=x x y . (3)2arcsin31x y =. (4)21-=-e x y*9、略.第一章 单元测验题1、(1),8)2(,6)1(,4)0(πππ===g g g .2)2(,125)3(ππ=-=-g g2、解:由题知)3,2(]2,7[04913032⋃-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-x x x x ,且342lg 1))7((+=-f f .3、解:令t x =ln ,即te x =,则ttee tf )1ln()(+=,∴ee xx x f )1ln()(+=.4、解:11)()(9333+=+=x x x f , 12)1()]([36232++=+=x x x x f .5、证明:∵)(loglogloglog)()1()1(1)1()1)(1()1)((222222x f x f x x ax x ax x x x x x ax x a-=-====-++++++++-++-+-∴)(x f 为奇函数.6、解:由题知:⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0100011110111)(11)(01)(1)]([x x x ee e x g x g x g x gf xx x , ⎪⎩⎪⎨⎧>=<=⎪⎩⎪⎨⎧>=<==--1||1||11||1||1||1||)]([1101)(x e x x e x e x e x e ex f g x f .第二章 极限与连续习题二1、(1)3231,1615,87,43,21 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛564534235432,,,,2(3)5sin 51,82,63,21,0π(4),!3)2)(1(,!2)1(,---m m m m m m !4)3)(2)(1(---m m m m ,!5)4)(3)(2)(1(----m m m m m2、(1)收敛 (2)收敛 (3)发散 (4)收敛3、(1)证明:对0>∀ε,]1[ε=∃N ,当Nn >时,ε<+=-+1111n n n ,则11lim =+∞→n n n ;(2)证明:对0>∀ε,]11[2+=∃εN ,当N n >时,ε<=-nn111,则01l i m=∞→nn .4、(1)2 (2)∞+ (3)∞- (4)∞ (5)∞+ (6)0 (7)∞ (8)0(9)不存在 (10)∞- (11)不存在 (12)不存在 (13)0 (14)∞ 5、提示:用左右极限来证. 证明:∵1lim lim==++→→x x x xx x ,1lim lim 0-=-=--→→xx x x x x∴xx xxx x -+→→≠0lim lim,即xx x 0lim →不存在.6、解: 1lim )(lim ,3)2(lim )(lim 1111-===-=++---→-→-→-→x x f x x f x x x x ,,3)(lim ,1)(lim 11==+-→→x f x f x x∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠,∴)(lim 1x f x →不存在.7、(1)证明:对0>∀ε,01>=∃εM ,当M x >时,ε<=-xx101,则01lim=∞→xx ;(2)证明:对0>∀ε,0>=∃εδ,当δ<--)2(x 时,ε<+=--+-2)4(242x x x 成立则424lim22-=+--→x x x .8、(1)(2)(4)是无穷小. 9、(1)xsinx 是无穷小,x25是无穷大 (2)10,52x x-是无穷小,xex ),2lg(+是无穷大.10、当∞→→x x 或0时,f(x)是无穷大量,当21→x 时,f(x)是无穷小量.11、(1)∵1sin ≤n 为有界变量,且011lim =+∞→n n ,∴01sin lim=+∞→n n n .(2)∵2arctan π≤x 为有界变量,且01lim2=∞→xx ,∴0arctan lim2=∞→xx x .(3)∵当0→x 时,11cos ≤x为有界变量,且0lim 0=→x x ,∴01coslim 0=→x x x .(4)∵011lim1=+-→x x x ,∴∞=-+→11lim1x x x .12、(1)原式75342452=+⨯-⨯=; (2)原式213)1(4)1(212=--⨯+---=;(3)∵0123lim23=+-+-→x x x x ,∴原式∞=; (4)原式1lim 1)1(lim1221==--=→→t t t t t t ;(5)原式42221lim)22(lim)22()22)(22(lim-=+--=+--=+-+---=→→→t t t t t t t t t t t ;(6)原式=0; (7)原式=21;(8)原式=)23)(4(23lim)23)(4()23)(23(lim22222-+-+-=-+--+--→→x x x x x x x x x x x x x x161)23)(2()1(lim)23)(2)(2()1)(2(lim22=-++-=-++---=→→x x x x x x x x x x x x ;(9)原式323)131(lim)131)(131()131(lim=++=++-+++=→→x x x x x x x x x ;*(10)原式21)11(11lim)11(1)11)(11(lim-=+++-=++++++-=→→t t t t t t t t t .13、解:∵+∞==--→→21lim)(lim xx f x x ,0)2(lim )(lim 20=-=++→→x x x f x x∴0→x 时,f(x)极限不存在.又∵0)2(lim )(lim 222=-=--→→x x x f x x ,0)63(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x∴2→x 时极限存在. 由题知,01lim)(lim 2==-∞→-∞→xx f x x ,)(lim x f x +∞→不存在.14、解:由题知,当3→x 时,→+-k x x 22k= -3.*15、解:∵左边011)()1(lim11lim222=+-++--=+----+=∞→∞→x bx b a x a x bax bx axx x x ,∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a . 16、(1)原式2211211lim=--=∞→nn ;(2)原式21)221(lim =-+=∞→n n n .*17、证明:(1)∵1)22(lim 21=++-→x x x ,11lim 1=-→x ,∴由夹逼定理有1)(lim 1=-→x f x .(2)∵2222212111nn nnn n nnn<++⋅⋅⋅++++<+且1lim2=+∞→nn nn ,1lim2=∞→nn n ,∴由夹逼定理有,原式=1,得证.18、(1)原式1cos lim sin limcos sin lim===→→→x xx x xx x x x ;(2)原式2sin lim2sin sin 2lim2===→→xx xx xx x ;(3)原式xx xx n nn =⋅=∞→22sinlim; (4)原式353551sin513131sinlim=⋅⋅=∞→x x x x xxx .19、(1)原式222101)21(lim )21(lim ex x xx xx =+=+=⋅→→++; (2)原式22)11(lim e xx x =+=⋅∞→;(3)原式e x x x =++=-+∞→21212)1221(lim .20、(1)原式31111arccoslim arccoslim 2π=++=++=+∞→+∞→x xx x x x x ;(2)原式3ln 3113lnlim 313lnlim 2222=++=++=∞→∞→xxx x x x .21、(1)∵1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ,∴1)(lim 1=→x f x .且==1)1(f )(lim 1x f x →,∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数,即)(x f 在 ]1,0[和]2,1(上连续,及)(x f 在]2,0[上连续.(2)∵1lim )(lim 1)(lim 111-==≠=++--→-→-→x x f x f x x x ,∴-1为)(x f 的其间断点.又∵)(lim 1lim )(lim 111x f x x f x x x +--→→→===,且1)1(=f ,∴)(x f 在1=x 处连续.又∵)(x f 在其定义区间上均为初等函数∴)(x f 在)1,(--∞与),1(+∞-内连续.22、解:∵22lim )(lim 11==--→→x x f x x ,d c d cx x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 211且d c f +=)1(;dc d cxx f x x +=+=--→→4)(lim )(lim 222,84lim )(lim 22==++→→x x f x x 且d c f +=4)2(,又∵)(x f 在),(+∞-∞上连续,则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+02842d c d c d c .23、(1)∵)(x f 在1-=x 处无定义,∴1-=x 为)(x f 的间断点.(2)∵2)1(lim 11lim)(lim 1211-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x ,且)(lim 6)1(1x f f x -→≠=∴1-=x 是)(x f 的间断点. (3)∵-∞=--=→→))1(1lim()(lim 211x x f x x ,即极限不存在,∴1=x 为)(x f 的间断点.(4)∵1)1(lim )(lim 22-=-=--→→x x f x x ,0)2(lim )(lim 222=-=++→→x x x f x x ,∴)(lim 2x f x →不存在,即2=x 为)(x f 的间断点.24、(1)证明:令32)(45---=x x x x f . ∵075)3(,05)2(>=<-=f f ,∴由介值定理的推论,)(x f 在)3,2(中至少存在一个根. (2)证明:令1)(2+-=x x x f . ∵034)2(,021)1(>-=<-=f f∴. 由介值定理的推论,)(x f 在)2,1(中至少存在一个根.第二章 单元测验题1、(1)原式0cos 1sinlim lim sin lim 21cos sin 21sinlim0000=⋅⋅=⋅⋅=→→→→x xx x x x x x x x x x x x ;(2)原式211lim 2=++=+∞→xx x x ;(3)原式2121lim 1134322321lim=+=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n . 2、解:∵55lim )(lim ,0lim )(lim 01a x a x f e x f x x x x x =+===++--→→→→∴由题知,要使)(x f 在整个数轴上连续,必须满足005=⇒=a a .3、解:∵01sin lim )(lim ,1ln )1ln(lim )(lim 01)1(1=-=-==-=++--→→--⋅-→→x x x f ex x f x x xx x∴)(lim 0x f x →不存在,0=x 是)(x f 的间断点.又∵∞=-=→→1sin lim)(lim 11x x x f x x ,即极限不存在,∴1=x 是)(x f 间断点.因此,)(x f 的连续区间为),1()1,0()0,(+∞⋃⋃-∞.4、解:∵111sinlim22=-+→axxx , ∴左边=aaxxx aaxaxx x x x 2)11(lim )sin (lim 1)11(sin lim220222=++⋅=++→→→,∴2=a .。

浙江大学级微积分期终考试试卷

浙江大学级微积分期终考试试卷

浙江大学级微积分(上)期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、选择题:(每小题分,共分)在每题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确那项的代号填入空格中.设()()()()()f x x a x b x c x d=----,其中a,b,c,d互不相等,且'()()()()f k k a k b k c=---,则k的值等于().().a().b().c().d.曲线y=x→-∞时,它有斜渐进线().().1y x=+().1y x=-+().1y x=--().1y x=-.下面的四个论述中正确的是().().“函数()f x在[],a b上有界”是“()f x在[],a b上可积”的必要条件;().函数()f x在区间(),a b内可导,(),x a b∈,那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件;().“函数()f x在点x处可导”对于“函数()f x在点x处可微”而言既非充分也非必要;().“函数()f x在区间E上连续”是“()f x在区间E上原函数存在”的充要条件..下面四个论述中正确的是().().若0nx≥(1,2,)n=,且{}n x单调递减,设lim nnx a→+∞=,则0a>;(). 若0nx>(1,2,)n=,且limnnx→+∞极限存在,设limnnx a→+∞=,则0a>;(). 若lim0nnx a→+∞=>,则0nx≥(1,2,)n=;(). 若lim0nnx a→+∞=>,则存在正整数N,当n N>时,都有2nax>.二、填空题:(每空格分,共分)只填答案. 2lim (1)tgxx x π→-;2lim (1)tgxx x π→--..函数()f u 可导,(sin )y f x x =,则dy dx.. cos sin x xxe e dx e ⎰. . 50sin tdt π⎰;50cos tdt π⎰.三、求极限:(每小题分,共分).数列{}n x通项21n x n =++++,求lim n n x →+∞..求300sin lim sin xx t dt t x x→-⎰.四、求导数:(每小题分,共分). 2sin 1xx y x x =+,求dydx.. 2,sin ,x t y t ⎧=⎨=⎩求dy dx ,22d ydx ..函数()y y x =由sin x y y +=确定,求221,;x y dydxππ=-=22221,.x y d y dx ππ=-=五、求积分:(每小题分,共分) .求21(1)x dx x x ++⎰..求0sin cos x x dx π-⎰..求0⎰(0)a >..计算2cos x e xdx π+∞-⎰.六、(分)下面两题做一题,其中学过常微分方程的专业做第题,未学常微分方程的专业做第题..求解常微分方程:22(),(1) 1.x dy xy x dx y ⎧=-⎨=⎩.有一半径为M 的半球形水池注满了水,现要把水全部抽到距水池水面高M 的水箱内,问至少要做多少功?七、(分)在xoy 平面上将连结原点(0,0)O 与点(1,0)A 的线段OA (即区间[]0,1)作n 等分,分点(,0)k n记作k P ,对1,2,,1k n =-,过k P 作抛物线2y x =的切线,切点为k Q ..设k k P Q A ∆的面积为k S ,求k S ;.求极限111lim n k n k S n -→+∞=∑.八、证明题(分)设()f x 在(),-∞+∞上连续,且()0f x >,0()()xG x tf x t dt =-⎰.证明:对任意,(,)a b ∈-∞+∞,且a b ≠,必有()()'()()0G b G a G a b a --->.浙江大学级微积分(下)期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、填空题:(每小题分,共分)只填答案.设一平面经过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z-+=垂直,则此平面的方程是。

浙江大学《微积分》课程期末考试试卷

浙江大学《微积分》课程期末考试试卷

浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一、填空题1.1lim()xx x e x →-= .2.设()f x 可导,2(cos )f x y x =则d d yx= . 3.ln (0)xy x x=>的值域范围为 . 4.3121x x -=⎰5.设,arcsin x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩则22d d y x = . 6.当0x →时,20cos d 2x tx e t t x --⎰与B Ax 等价无穷小,则常数A = ,B = .二、计算题1.求221d .22x x x x +++⎰ 2.已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续,求[]0()()sin d f x f x x xπ''+⎰.3.求2+∞⎰.4.求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V .5.在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2(,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大.三、求幂级数2021!n n n x n ∞=+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数,并求级数0212!nn n n ∞=+∑的和.四、证明若2,e a b e <<<则2224ln ln ()b a b a e ->-⋅ 五、已知sin 0()0x e x x F x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为连续函数.(1)求常数a ; (2)证明()F x 的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、填空题1.2110ln()lim()lim x x x x x x e x e x e →→--=1002ln()1lim lim 22()x x x x e x e x x e x x e e e →→---===.2. 22(cos )d (cos )[2(cos )(cos )sin ln ]d f x y f x x f x f x x x x x'=-⋅. 3. (1,]e-∞ .4.3121x x -+⎰.111x x x --=+⎰⎰12x x =⎰, 令sin x t =222222001312sin cos td 2sin (1-sin t)d 2()224228t x t x πππππ===⋅-⋅⋅=⎰⎰.5.由x =d d x t = a r c s i n y t =,d d y t =d 1d y x t =-,2221d d yt x==.6. 由洛必达法则20100cos d cos 12lim lim x tx B B x x x e t t x e x xAx ABx-→→----=⎰, 2323310[1()][1()]12!3!2!lim B x x x x x o x o x xABx-→++++-+--=, 其中:232331(),cos 1()2!3!2!xx x x e x o x x o x =++++=-+33101()3lim 1B x x o x ABx -→-+==, 得13,13B AB -=⎧⎪⎨=-⎪⎩,即1,412A B =-=. 二、计算题 1.22221221d d d 22221(1)x x x x x x x x x x ++=-++++++⎰⎰⎰=2ln(22)arctan(1)x x x C ++-++.2.[]00()()sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰()sin d sin d ()f x x x x f x ππ'=+⎰⎰00()sin d sin ()()cos d f x x x xf x f x x x πππ''=+-⎰⎰00()sin d cos ()()sin d f x x x xf x f x x x πππ=--⎰⎰=a b +.3.221x +∞+∞=-⎰⎰21arcsinx +∞=-=6π . 4. 22sin d 2x V x x πππ==⎰,2002sin d 2cos 2cos d 2y V x x x x x x x πππππππ==-+=⎰⎰.5. 解:(1)过点2(,)P a a 的切线方程为 22()y a a x a -=-, 令0y =,得22()a a x a -=-,得2a x =, 令8x =,得222(8)16y a a a a a =+-=-,令221()(8)(16)(8)222a aS a a a a =--=-,213()(8)2(8)()(8)(8)22222a a a aS a a '=-+--=-- ,令()0S a '=,得163a =,16a =(舍).1333()(8)(8)1622222a a S a a ''=----=- ,16316()1680323S ''=⋅-=-<,所以,当163a =时,三角形面积最大.三、因为 2220102121()!(1)!!n n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+=+-∑∑∑2220()2!n x n x x e n ∞==+∑222222(21)x x x x e e e x =+=+,所以2220021212(221)5!!n n n n n n e e n n ∞∞==++==⋅+=∑∑.四、 设 2()ln ,()f x x g x x ==,在[,]a b 上由柯西定理,有 222ln ln ln 2,b a e a b e b a ξξξ-=<<<<- .再令2ln 1ln (),()0()x xx x e x x x ϕϕ-'==<<,故()x ϕ单调下降,得222(),()x e x e e ϕ><<,有2ln 2e ξξ>,得2224ln ln ()b a b a e ->-. 五、 (1)因为 0sin lim1x x e xx→=, 所以1a =. (2)0sin 1(0)lim x x e xx F x→-'=20sin lim x x e x x x→-= 00sin cos 12cos lim lim 122x x x x x e x e x e x x →→+-===, 所以,2(s i n c o s )s i n,0;()1,0.x x x x e x e x e x x F x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩而 20sin cos sin limx x x x xe x xe x e xx →+-02cos lim 12x x xe x x →==,所以 ()F x '在(,)-∞+∞上是连续的.浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、 计算题1.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,2),且在该点的曲率圆方程为22151()(),222x y -+-=则a = ,b = ,c =2.设12()sin d x f x t t =⎰,则(1) 10()d f x x =⎰ ;(2) 1()lim1x f x x →=- 3.若011lim ,2a x x →=则a = 4.当x = 时,函数2x y x =⋅取得极小值.5.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知01(cos sin ),(0,2),2n n n xa a nxb nx x ππ∞=-=++∈∑则5b = (此题不作要求)二、求极限1.0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →--- 2. 21sin 0lim(cos )xx x → 三、求导数1.设函数()x x y =由sin 0y x x -+=所确定,求22d d ,d d x xy y2.设sin arctan ,ln(x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求22d d ,d d y y x x 3.设()arccot xy x e =-()y x '. 四、求积分 1.21d (1)(1)x x x ++⎰.2.x .3.1321(x x x -+⎰. 4.20sin 2d 1cos xxx xπ+⎰.五、设曲线21:1(01),C y x x =-≤≤x 轴和y 轴所围区域被曲线22:(0)C y ax a =>分为面积相等的两部分,试求常数a .六、将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数,并求级数0(1)21nn n ∞=-+∑的和.七、设()f x 在(,)a +∞内可导,且lim (),x f x a →∞'=证明:()limx f x a x→∞=.浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案 一、计算题1. 由2y ax bx c =++,有2,2y ax b y a '''=+=,得112,2,2x x a b c y a b y a =='''++==+=由曲率圆方程22151()(),222x y -+-=两边求导,152()2()022x y y '-+-=,得1,21x y y =='=,5222()02x y y y y ''''++-=,得1,24x y y ==''=根据2y ax bx c =++与曲率圆22151()(),222x y -+-=在点(1,2)有相同的,,y y y ''';得到 24,21,2a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩, 所以有2,3,3a b c ==-=.2. (1)11120()d (sin d )d xf x x t t x =⎰⎰⎰=111220sin d sin d xx t t x x x +⎰⎰12201=sin d 2x x ⎰ =12011cos (1cos1)22x -=- . (2)1211sin d ()limlim 11xx x t tf x x x →→=--⎰21sin lim sin11x x →-==-. 3. 因为,当0x →时2112x, 所以200112lim ,2a x x x x →→==得 2a = . 4. ()2x y x x =⋅,()22ln 2x x y x x '=+,令()0,22ln 20x x y x x '=+=,解得 1ln 2x -=, 由于2()2ln 22ln 22ln 22ln 2(2ln 2)x x x x y x x x ''=++=+, 当1ln 2x =-时,1()0ln 2y -''>,所以当1ln 2x -=时,()2x y x x =⋅取到极小值.5. 因为, 21111arctan ,,,arctan1124x x y x y y y x π==''=====+, 所以,切线方程为 1(1)24y x π=-+. 6. 515b =.二、求极限1. 0sin tan lim tan (1)ln(1)x x x x x e x →---=30sin (cos 1)cos lim x xx x x→--,注:当0x →时1,ln(1)x e x x x --- , 20cos 11lim2x x x →-==-. 2. 因为 ,21sin 0lim(cos )xx x →=2cos 11cos 1sin 0lim[1(cos 1)]x x xx x -⋅-→+- ,而 20cos 11limsin 2x x x →-=-,1cos 1lim[1(cos 1)]x x x e -→+-=, 所以 11sin2lim(cos )xx x e-→=.三、求导数1. 对方程sin 0y x x -+=两边关于y 求导数,注意到()x x y =,有 d d 1cos 0d d x x x y y -+=,得 d d xy =11cos x-, 222d 1d()d()(cos )d d 1-cos d d d (1-cos )y xx x yx yy y x '--===3sin (1cos )x x -=-. 2. 2d 1sin arctan ,cos d 1x x t t t t t=-=-+, ln(y t =,d d y t =d d d d d yy t x t==, 222d d (1)cos 1yxt t =⎡⎤+-⎣⎦.3.111()arccot arccot [ln ln(1)]arccot ln(1)222xx x x x x y x e e e e e x e =---+=-++,2211()122(1)12(1)x x x x x x xe e e y x e e e e '=--+=--++++. 四、 1.21d (1)(1)x x x ++⎰=22111()d 2111x x x x x -++++⎰ 2111ln 1ln(1)arctan 242x x x C =+-+++. 2. (令15x t =)x =145315d t t t t +⎰=11215d 1t t t +⎰ =9753215()d 1tt t t t t t t -+-+-+⎰ =108642211111115[ln(1)]1086422t t t t t t C -+-+-++=28242231551515153155151515ln(1)282422x x x x x x C -+-+-++.3.1321(x x x -+⎰11x x -=⎰22202sin cos d t t t π=⎰ 注:令sin x t =22202sin (1sin )d t t t π=-⎰1312()224228πππ=⋅-⋅⋅=.4. 20sin 2d 1cos x x x x π+⎰=220dcos 1cos x x xπ-+⎰=20dln(1cos )x x π-+⎰ 2200ln(1cos )ln(1cos )d x x x x ππ=-+++⎰=22(cos )ln 2(1)2d 1n nn x x n ππ+∞=-+-⋅⋅+∑⎰1201(1)ln 2cos d n nn x x n ππ-∞=-=-+∑⎰ 12201(1)ln 22cos d n n n x x n ππ-∞=-=-+⋅∑⎰=11(1)(21)!!ln 22(2)!!2n n n n n ππ-∞=---+⋅⋅⋅∑.五、由 221,y x y ax⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点0x =, 311212002(1)d ()33x S S x x x +=-=-=⎰,022310012[(1)]d ()33x x a S x ax x x x +=--=-=⎰,由12S S =,得212323=⋅, 所以 3a =.六、由12()arctan 12x f x x -=+, 2221()2(1)4,142n n nn f x x x x ∞=-'==--<+∑, 210(1)4()()d (0)2421n n x n n f x f x x f xn π∞+=-'=+=-+∑⎰, 当12x =时,210(1)41024212n n n n n π∞+=-=-+∑, 得 0(1)214nn n π∞=-=+∑.七、解法一:由洛必达法则, ()()lim lim 1x x f x f x a x →+∞→+∞'==.解法二:① 若0a =,由lim ()0x f x →+∞'=,按定义知0ε∀>,10x ∃>,当1x x >时,恒有()2f x ε'<.1(,)b x ∀∈+∞,当x b >时,有()()()2f x f b f x b x b εξ'-=-<-,由于()()()()2f x f b f x f b x b ε-≤-<-,有()()2f x f b x b ε≤+-,再取2x b >,使得2()2f b x ε<,当2x x >时, 有2()()()()()()2222x bf b x b f b f x f x f b f b x x x x x x εεεεε---+=<+<+<+=, 所以,()lim0x f x x→+∞=. ② 若0a ≠,由lim ()x f x a →+∞'=,则有 lim [()]0x f x ax →+∞'-=, 设()()F x f x ax =-,有lim ()0x F x →+∞'=,由①知,()()limlim 0x x F x f x axx x→+∞→+∞-==,得证.浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微积分(1)设sin43(arctan 2)ln 2x y x x =++,求d d yx .(2)设22d ,sin()d t ts x e s y t s s -==-⎰⎰,求t =d d y x 及22d d y x .(3)设()y y x =是由方程210x y e x xy +---=确定的x 的可导函数,求0d x y =. 二、求积分(4)求60x ⎰.(5)求2arctan d xxe x e ⎰. (6)求1+∞⎰.三、求极限 (7)求3012cos lim[()1]3x x x x →+-. (8)设()f a ''存在,()0f a '≠,求11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--.(9)设1121)1))nn n u n n n ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦(((1,求lim n n u →∞. 四、选择题(10)设2620arcsin d ,(1)d xt t t e t αβ==-⎰⎰,则0x →时 [ ](A )αβ与是同阶但不等价无穷小. (B )αβ与是等价无穷小. (C )αβ是的高价无穷小. (D )βα是的高价无穷小. (11)设级数1n n a ∞=∑收敛,则下述结论不正确的是[ ](A )11()n n n a a ∞+=+∑必收敛. (B )2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(C )2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛. (D )2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(12)设1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则()0F x x =在处[ ](A )极限不存在 (B )极限存在,但不连续(C )连续但不可导 (D )可导(13)设()y f x =为连续函数,除点x a =外,()f x 二阶可导,()y f x ''=的图形如图, 则() [ ]y f x =(A )有一个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (B )有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. (C )有一个拐点,一个极小值点,二个极大值点. (D )有一个拐点,二个极小值点,一个极大值点.五、(14)设曲线2y ax =(0,x ≥常数0)a >与曲线21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面形D .(I) 求D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a ;(II )求a 的值使()V a 为最大.六、(15)将函数21()arctan ln(1)2f x x x x =-+在0x =处展开成泰勒级数(即麦克劳林级数)并指明成立范围.七、(16)设0,x >证明2()(4)(2)20x x f x x e x e =---+<.浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(1) sin 4sin 4122d 14cos 4ln sin 46(arctan 2)d 14x x y x x x x x x x x -=⋅+⋅++. (2) 由 20d ts x e s -=⎰,得2d d t xe t -=,由20sin()d ty t s s =-⎰,令t s u -=,得0220sin d sin d tty u u u u =-=⎰⎰,得2d sin d y t t =,所以222d d sin ,d d t t y ye t e x x π==,2222222222(sin )d 2sin 2cos d t t t tt t e t y te t te t x e e--'+== 22222(sin cos )t te t t =+, 22d d t y x π=.(3) 由 210x y e x xy +---=及0x =,得0y =,对方程 210x y e x xy +---= 两边取微分有(d d )2d (d d )0x y e x y x x y y x ++--+=, 将0x =,0y =代入,得 0d d x y x ==.二、求积分 (4)解66x x =⎰⎰6x =⎰ (令33sin x t -=)2227(1sin )cos cos d t t t t ππ-=+⎰22012754cos d 54222t t πππ==⋅⋅=⎰.(5)解 令x e t =,2arctan d xxe x e ⎰=3arctan d t t t ⎰211arctan d 2t t =-⎰ 2221arctan 1[d ]2(1)t t t t t =--+⎰ 2221arctan 11[d d ]21t t t t t t =--++⎰⎰ 21arctan 1[arctan ]2t t C t t=-+++ 21arctan [arctan ]2x x xxe e e C e-=-+++. (6)解t =,1+∞⎰202d 1t t +∞+⎰02arcta n t π+∞==. 三、求极限 (7) 解 3012cos lim[()1]3xx x x →+- 2cos ln()3301lim [1]x x x e x +→=- 注2cos ln()32cos [1ln(),(0)]3xx x e x x ++-→ 2012cos limln()3x xx →+= 201cos 1lim ln(1)3x x x →-=+ 注[cos 1cos 1ln(1),(0)33x x x --+→] 201cos 11lim ()36x x x →-==. (8) 解 11lim[]()()()()x af a x a f x f a →-'--()()()()lim ()()(()())x a f x f a f a x a f a x a f x f a →'---='-- =()()lim()(()())()()()x af x f a f a f x f a f a f x x a →''-'''-+-2()()()lim ()(()())2(())()()x a f x f a f a x a f a f x f a f a f a f x x a→''-''-=='-'''+-. (9)解 由 112[1)1))]nn n u n n n =+++(((1, 取11ln ln(1)n n i i u n n==+∑,则 11100011limln lim ln(1)ln(1)d ln(1)d 2ln 211n n n n i i x u x x x x x n n x →∞→∞==+=+=+-=-+∑⎰⎰,所以 2ln 214lim n n u e e-→∞==. 四、(10)解:因为262000arcsin d limlim (1)d xx x t t te tαβ→→=-⎰⎰注:由洛必达法则2222331arcsin 3lim 1x x x x xe -→⋅=- 注:221,(0)x e x x -→ 22320231arcsin 1lim33x x x x x →==⋅, 所以,αβ与是同阶但不等价无穷小,则选 A . (11)解:(A ) 因为11111()nn n n n n n aa a a ∞∞∞++===+=+∑∑∑11212n n n n n n a a a a ∞∞∞====+=+∑∑∑,而1nn a∞=∑收敛,所以11()n n n a a ∞+=+∑必收敛,(B )因为222222222221122311211()n n n n n n n a a a a a a a a a a a ∞++++=-=-+-++-+-=∑,所以2211()n n n a a ∞+=-∑必收敛.(C )因为2212345221111()n n n n n n n a a a a a a a a a a ∞∞++==+=+++++++=-∑∑所以2211()n n n a a ∞+=+∑必收敛,(D )221234522112()(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a ∞∞++==-=-+-++-+=-∑∑未必收敛,例如 1(1)n n n ∞=-∑收敛, 但221(1)nn n n a n ∞∞==-=∑∑发散,则结论不正确的是D ,本题选D(12)解:由1,0,()()()d ,0,x x e x f x F x f t t x x -⎧≤==⎨>⎩⎰,则 11121,0,()11,02x t x x t e dt e e x F x e dt e x x ----⎧=-≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰,即 112,0,()11,02x e e x F x e x x --⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩, 因为 12101lim ()lim(1)12x x F x e x e ++--→→=-+=-, 11lim ()lim()1x x x F x e e e ----→→=-=- 所以 ()F x 在0x =处连续.因为 2012(0)lim 0x x F x++∆→∆'==∆, 01(0)lim 1xx e F x-∆-∆→-'==∆,(0)(0)F F +-''≠所以,()F x 在0x =不可导,所以选C. (13)如图,在点(,0)b 处,左边0y ''>,右边0y ''<,而点(,0)b 处0y ''=,所以点(,0)b 为曲线的拐点; 同理,在点(0,)d 处,左边0y ''<,右边0y ''>,而点(0,)d 处0y ''=,所以点(0,)d 为曲线的拐点; 在点(,0)c 处,左边0y '<,右边0y '>,而点(,0)c 处0y '=,所以点x c =为函数的极小值点; 在点(,0)a 处,左边0y '>,右边0y '<,而点(,0)a 处0y '=,所以点x a =为函数的极大值点, 所以,曲线有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. 选(B )五、解:由22,1y ax y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩求得交点)1a A a +(如图), 直线OA 的方程y x =. (I) 旋转体体积 ()Va 2224()d 1a x a x x aπ=-+⎰=25/2215(1)a a π⋅+, (II )53222552(1)(1)d ()22d 15(1)a a a a V a a a π+-+=⋅+ 27/2(4)15(1)a a a π-=+.在0a >处有唯一驻点4a =,当04a <<时d ()0d V a a >, 当4a >时,d ()0d V a a<, 故4a =为唯一极大值点,为最大值点.六、(15)解:由21()arctan ln(1)2f x x x x =-+21()arctan ,(),1f x x f x x'''==+展开之,20()(1),(1,1)n n n f x x x ∞=''=-∈-∑,两边积分,得212100(1)(1)()(0),(1,1)2121n n n n n n f x f x x x n n ∞∞++==--''=+=∈-++∑∑,再次两边积分,得220(1)()(0)(21)(22)nn n f x f x n n ∞+=-=+++∑220(1),(1,1)(21)(22)nn n x x n n ∞+=-=∈-++∑. 右边级数在1x =±处收敛,左边函数在1x =±处连续,所以成立范围可扩大到闭区间[1,1]-. 七、(16)证法1:由2()(4)(2)2x x f x x e x e =---+2(0)0,()(1)(1),2xx x f f x e x e '==---(0)0f '=2221()()44x x x xx f x e xe xe e ''=-=-.而当0x >时2114x e >>,所以当0x >时()0f x ''<, 于是知,当0x >时,()0f x '<,从而知,当0x >时,()0f x <. 证法2:由证法一,有 2211()(0)(0)()()022f x f f x f x f x ξξ''''''=++=< 证法3:由2()(1)(1)2xx x f x e x e '=---()1()2x x xx e x ξ='⎡⎤=--⎣⎦()02xe ξξ=-<,所以()0f x <.注:设()(1)x g x x e =-,在[,]2xx 上的拉格郎日中值定理,有()2(1)(1)1(),222xx x x x x x e x e x e x x ξξ='⎡⎤---=--<<⎣⎦ .浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、(每小题6分)(1)设4cos 1tan 5ln 2x x y x e x π=++,求d d y x .(2)设由参数式22ln(1)x t ty t t ⎧=+⎨=-+⎩,确定了y 为x 的函数()y y x =,求曲线()y y x =的凹、凸区间及拐点坐标(区间用x 表示,点用(,)x y 表示).(3)求210sin lim()x x x x→(4)求(2)]x x →+∞+二、(每小题6分) (5)求21d (1)x x x +⎰.(6)求arcsin d xxe x e⎰. (7)求230d x xe x +∞-⎰.三、(第(8)-(11)小题每小题8分,第(12)小题6分) (8)(8分) 设()y y x =是由32210y xy x x ++-+=及(1)0y =所确定,求131()d lim (1)x x y t tx →-⎰.(9)(8分)设2()231x f x x x =-+,试将()f x 展开成x的幂级数,并求()(0)(1)n f n ≥.(10)(8分) 设常数0a >,讨论曲线y ax =与2ln y x =在第一象限中公共点的个数. (11)(8分) 设0a <,曲线2y ax bx =+当01x ≤≤时0y ≥.又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成的图形的面积13D =,试确定常数a 与b 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.(12)(6分) 设()f x 在区间(0,1)内可导,且()f x M '≤(M 为常数)证明:① 级数1111(()())22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛; ② 1lim ()2n n f →∞存在.四、选择题(四选一,每小题4分)(13)设()()(),()()()f x u x v x g x u x v x =+=-,并设0lim ()x u x →与0lim ()x v x →均不存在,则下列结论正确的是 [ ](A )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必存在.(B )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必不存在.(C )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必不存在.(D )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必存在.(14)曲线1ln(1)(1)x y e x x =++-的渐近线的条数 [ ](A )4条 (B )3条. (C )2条. (D )1条.(15)设2122()lim 1n n n x x xf x x -→∞++=+,则()f x 的不连续点的个数为 [ ] (A )0个 (B )1个. (C )2个. (D )多于2个. (16)设()f x [,]a b 上可导,且()0,()0,f a f b ''><下述结论不正确的是[ ] (A )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >; (B )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >; (C )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=;(D )至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+.(17)设0(1,2,)n a n >=,下列结论正确的是[ ](A )若存在0N >,当n N >时均有11n n a a +<,则1n n a ∞=∑必收敛. (B )若存在0N >,当n N >时均有11n n a a +>,则1n n a ∞=∑必发散. (C )若1n n a ∞=∑收敛.则必存在0N >,当n N >时必有11n na a +<, (D )若1n n a ∞=∑发散.则必存在0N >,当n N >时必有11n na a +>.浙江大学2007-2008学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、(每小题6分)(1)24cos 4cos d 5cos sec 54(sin ln )d 2x x x x y xx e x e x x x x x =++-. (2)由22x t t =+,d 2(1)d x t t =+,ln(1)y t t =-+,d d 1y t t t =+,2d d 2(1)y tx t =+, 224d 1d 2(1)y tx t -=+,令 22d 0d y x =, 得 1t = 当11t -<<时,22d 0d yx> 曲线凹;当1t >时,22d 0d yx< 曲线凸,当1t =时,对应拐点.换成,x y ,当13x -<<时, 曲线()y y x =凹; 当3x >时, 曲线当()y y x =凸,点(3,1ln 2)-为拐点.(3)解 因为2211sin ln()00sin lim()lim xxx x x x x ex→→= ,而22001sin 1sin limln lim ln(11)x x x x x x x x→→=+-,201sin lim (1)x x x x →=- 注sin sin ln(11)1,(0)x xx x x+--→ 3200sin cos 11lim lim 36x x x x x x x →→--===-, 所以 21160s i n l i m ()x x xe x-→=.(4)lim (2))xx →+∞+2lim (1)]x x x→+∞=+222sin 2(1(1))limx x x ++-+=22sin 24()limx x x --=sin 42lim 1x x --==- .二、 (5)22111d ()d (1)(1)x x x x x x x -=-+++⎰⎰ =1ln ln 1x x C x--+++.(6) 方法1:令 arcsin x e t =,则cos sin ,ln sin ,d d sin x te t x t x t t===2arcsin cos d d sin x x e t tx t e t=⎰⎰1d()sin t t =-⎰ 1d sin sin t t t t =-+⎰ ln csc cot sin t t t C t =-+-+arcsin ln x x x e e e e C ---=-+-+,或写成arcsin ln 1x x e e x C -=--++.方法2:令 x e t =,则1ln ,d d ,(0)x t x t t t==>2arcsin arcsin 1d d arcsin d x xe t x t t e t t==-⎰⎰⎰arcsin t t =-+arcsin tt=-+arcsin 1ln t C t t =--++arcsin ln 1x x e e x C -=+-.(7)2232200011d d d 22x x tx ex x e x te t +∞+∞+∞---==⎰⎰⎰001[d ]2t t te e t +∞+∞--=-+⎰011[]22t e +∞-=-=.三、(8)解 由32210y xy x x ++-+=,1lim ()0x y x →=两边关于x 求导数,有23220y y xy y x ''+++-=,得222()3x yy x y x--'=+,1lim ()0x y x →'=, 222(3)(2)(22)(61)()(3)y x y x y yy y x y x ''+-----+''=+,1lim ()2x y x →''=-. 由洛必达法则,1321111()d ()()()1limlimlim lim (1)3(1)6(1)63x x x x x y t ty x y x y x x x x →→→→'''====----⎰. (9)解:()(21)(1)xf x x x =--1111121112x x x x-=-=+---- 0(2)nn n n x x ∞∞===-+∑∑1(21),2n n n x x ∞==-<∑ ()(0)(21)!,1n n f n n =-≥(10)解:令()2ln f x ax x =-,有2()f x a x'=-,令()0f x '=,得2x a=,22()f x x''=,由于()0f x ''>,所以22()22ln f a a=-为()f x 的唯一极小值,为最小值.以下讨论最小值的符号.①若222ln 0a->,即2a e >时,()0f x >,()f x 无零点,两曲线无公共点;②若2a e=,则当且仅当a e =时,()0f x =,()f x 有唯一零点,两曲线在第一象限中相切;③若20a e <<,有2()0f a<时,有因0lim ()x f x +→=+∞,lim ()x f x →+∞=+∞, 所以在区间2(0,)a 与2(,)a+∞内,()f x 各有至少一个零点,又因为在这两个区间中()f x 分别是严格单调的,所以()f x 正好有两个零点,即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点. (11)解:因0a <,且当01x ≤≤时,0y ≥,所以如下图1211()d 323b ax bx x a +=+=⎰,所以312a b =-, 221220()d ()523a ab b V ax bx x ππ=+=++⎰21()51030b b π=-+,d 1()d 1015V b b π=-+,22d d 15V bb π=,令d 0d V b =,32b =,2232d 0d b V b=>,为唯一极小值,故32b V=为最小值,此时53,42a b =-=.(12)① 由拉格朗日中值定理 1111111111()()()()()()222222n n n n n n f f f f M ξξ++++''-=-=≤, 而1112n n ∞+=∑收敛,所以,1111[()()]22n n n f f ∞+=-∑绝对收敛;② 111()()22n n S f f +=-,因为lim n n S →∞存在,所以1lim ()2n n f →∞存在.四、 (13)解 (A )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必存在.不正确,例如 211(),()u x v x x x ==, 221111(),()f x g x x x x x=+=-, 此时0lim ()x f x →不存在,0lim ()x g x →也不存在.(B )若0lim ()x f x →不存在,则0lim ()x g x →必不存在.不正确,例如 11(),()u x v x x x ==,2(),()0f x g x x==,此时0lim ()x f x →不存在,0lim ()0x g x →=存在.(C )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必不存在.假设0lim ()x g x →存在,由()()2()f x g x u x +=,得0lim ()x u x →存在,与已知矛盾,所以结论正确.(D )若0lim ()x f x →存在,则0lim ()x g x →必存在.由上述(C),说明0lim ()x g x →必存在不正确.所以结论正确的是C,本题选C. (14)解,因为11lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,1lim[ln(1)](1)x x e x x →++=∞-,有铅垂渐近线(0,1x x ==)2条,因为1lim[ln(1)]0(1)x x e x x →-∞++=-,有水平渐近线(0y =)1条,又因为 2()1l n (1)l i m l i m []1,1(1)xx x f x e a x x x x→+∞→-∞+=+==-,1lim[()]lim[ln(1)](1)x x x f x ax e x x x →+∞→+∞-=++--lim[ln (1)]lim[ln ln(1)]x x x x x x e e x e e x --→+∞→+∞=+-=++-lim ln(1)0x x e -→+∞=+=,有斜渐近线(y x =)1条,所以本题共有4条渐近线,选A.(15)解22122,1,3,1,2()lim 11,121,1,n n n x x x x x x x f x x x x x-→∞⎧+<⎪⎪=⎪++⎪==⎨+-=-⎪⎪⎪>⎪⎩, 则()f x 的不连续点(1,1x x =-=)的个数为2个所以选C. (16)解 取2()4,[1,1],1,1,()3,()3f x x x a b f a f b =-∈-=-===,当(1,1)x ∈-时()3f x >,()2,()2,()2f x x f a f b '''=-==-,满足题目条件:(A )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f a >,成立, (B )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()()f x f b >;成立, (C )至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x '=;成立,(D )至少存在一点0(,)x a b ∈使01()(()())2f x f a f b =+.不成立. 所以本题选D(17)解 (A )不成立,例如11n n ∞=∑,满足当1n >时 111n n a n a n +=<+, 但11n n∞=∑发散, (B )成立,若存在0N >,当n N >时均有111,n n n na a a a ++>>, 则必有lim 0n n a →∞≠ 则1n n a ∞=∑必发散.(C )不成立, 例如 21(1)2n n n ∞=-+∑收敛,但不存在0N >,当n N >时必有11n n a a +<, (D )不成立,例如 11n n ∞=∑发散,但则存在0N >,当n N >时有111n na n a n +=<+.浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、求导数或微分(每小题6分)(1)设sin 3(cos )(arcsin 2)x y x x e π=++,求d y .(2)设由参数式3arctan 16x t t y t t=++⎧⎨=+⎩,所确定的函数()y y x =在1t =-处的一阶导数d d yx , 及二阶导数22d d yx.二、求极限(每小题6分)(3)011lim()1x x x e →--, (4)lim x(5)21lim(sin cos )x x x x x →+.三、求积分(每小题6分)(6) 221ln d (1)x x x x x x -+-⎰, (7)11(2)x x x -+⎰, (8)已知2d 2x ex +∞-=⎰,求0xx -+∞⎰.四、(每小题6分)(9)试将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数,并写出此展开式成立的开区间. (10)求幂级数1!nnn n x n∞=∑的收敛半径及收敛区间,并讨论收敛区间端点处级数的敛散性. 五、(每小题8分)(11) 求由方程3222220y y xy y x -++-=确定的函数()y y x =的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由.(12)求由曲线2y x =与2y x =+围成的图形绕水平线4y =旋转一周所生成的旋转体体积V .(13)设()f x 在[0,1]上连续,(0)0f =,并设()f x 在0x =处存在右导数(0)1f +'=,又设0x +→时,220()()d ()d x x F x x f u u u u =-⎰⎰与n Ax 为等价无穷小,求常数n 及A 的值.六、(每小题8分)(14)设()f x 在闭区间[,]a b 上连续,(,)a b 内可导, (I)叙述并证明拉格朗日中值定理;(II )如果再设()()f a f b =,且()f x 不是常数,试证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'>.(15)设n 为正整数,24021()d d 1nx x e t F x e t t t -=++⎰⎰(I )试证明:函数()F x 有且仅有一个(实)零点(即()0F x =有且仅有一个实根),并且是正的,记此零点n x ;(II )试证明级数21n n x ∞=∑收敛.浙江大学2008-2009学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(每小题6分)(1)sin 2d [(cos )(cos ln cos tan sin )6(arcsin 2)x y x x x x x x x =-+.(2)222d 2d ,3(2)d 1d x t y t t t t +==++,21d d 3(1),6d d t y y t x x =-=+=222222d d()d 66(1)d 2d d 21yy t t t x t x x t t +===+++, 221d 4d t y x =-=-.二、求极限(每小题6分)(3)00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=-- 注1,0x e x x -→ 201lim x x e xx →--= 011lim 22x x e x →-==. (4)limlim x x =lim2x ==-.(5)21201ln(sin cos )lim(sin cos )lim xx x x x x x x x x e →→++=,而22001ln(1sin cos 1)limln(sin cos )lim x x x x x x x x x x→→++-+= 20sin cos 11lim 2x x x x x →+-==, 注:ln(1sin cos 1)sin cos 1,0x x x x x x x ++-+-→所以,21lim(sin cos )x x x x x →+=三、求积分(6) 222111ln d ()ln d (1)(1)x x x x x x x x x x -+=+--⎰⎰ 1ln d ln ln d()1x x x x =--⎰⎰ 21ln 1ln d 21(1)x x x x x x =-+--⎰ 21ln 11ln ()d 211x x x x x x =-+---⎰ 21ln ln ln 1ln 21x x x x C x =-+--+-. (7)112211(2)(24x x x x x x x x --+=++⎰⎰110x x =⎰ 令sin x t =22210sin cos d t t t π=⎰222010sin (1sin )d x x x π=-⎰131510()224228πππ=⋅-⋅⋅=.(8)2(1xxx e -+∞+∞-=--⎰⎰0]xx -+∞=--⎰2024d xu u e u -+∞+∞-==⎰⎰四、(9)12()arctan12xf x x -=+, 221(12)(2)(12)2()12(12)1()12x x f x x x x +---'=-+++ 22422814x x -==-++ 21212012(4)(1)2,2n n n n n x x x ∞∞++===--=--<∑∑, 12120()(0)(1)2d x n n n n f x f x x ∞++==+-∑⎰12121011(1)2,4212n n n n x x n π∞+++==+-<+∑.(10)记!n nn a n =,由11(1)!11(1)limlim lim lim !1(1)(1)n n n n n n n n n nnn a n n n a n en n++→∞→∞→∞→∞++====++. 所以,收敛半径R e =,收敛区间为(,)e e -,在x e =±处,级数成为1!()nnn n e n∞=±∑, 考察!n n n n u e n =,有111(1)n n n u eu n+=>+, 所以lim 0n n u →∞≠,并且也有lim(1)0n n n u →∞-≠,所以在x e =±处,该级数都发散.(11)由3222220y y xy y x -++-=, 求导有2(6421)220y y x y y x '-+++-=,令0y '=,得y x =与3222220y y xy y x -++-=联立,有3222(21)0x x x x x x -+=-+=,解之得唯一解0x =.相应地有0y =, 此时的确可由2(6421)220y y x y y x '-+++-=解出y ',故0x =为驻点. 再有 222()6421x yy y y x -'''=-++ 2222(6421)(22)2()(6421)(6421)y y x y x y y y x y y x ''-++----++=-++. 以0x y ==,及0y '=代入,得20y ''=>,故当0x =时, y 为极小值,极小值0y =.(12)由2,2y x y x ⎧=⎨=+⎩得交点(1,1),(2,4)-,则由上图22221[(4)(4(2)]d V x x x π-=---+⎰2241(1249)d x x x x π-=+-+⎰235211108[1223]55x x x x ππ-=+-+=.(13)220000()d ()d ()lim lim x x n nx x x f u u u uF x Ax Ax++→→-=⎰⎰22201()2()d ()2lim x n x xf x x f u u x x Anx+-→+=⎰2201200()()2limlim (1)x n n x x f u duf x xAnx An n x++--→→==-⎰ 2302()lim (1)n x f x An n x +-→=-25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→-=- 按题意, 0()lim 1n x F x Ax +→=,又220()(0)lim (0)1x f x f f x++→-'==, 若5n >则25202()(0)lim (1)n x f x f An n x x+-→--为∞, 若5n <则25202()(0)lim 0(1)n x f x f An n x x +-→-=-为,均与题意不符,故 5n =,于是25202()(0)1lim (1)10n x f x f An n x x A +-→-=-⨯,所以110A =. (14)(I)略,(II)设存在0(,)x x a b =∈,使0()0,f x >在区间0[,]a x 上用拉格郎日中值定理,存在0(,)(,)a x a b ξ∈⊂使得00()()()0f x f a f x aξ-'=>-, 如果存在0(,)x a b ∈,使0()0,f x <在区间0[,]x b 上用拉格郎日中值定理类似可证. (15) (I) 24021()d d 1nx xe t F x e t t t -=++⎰⎰,2014021(0)d d 01t F e t t t -=+<+⎰⎰, 2140211()d d 01e tn F e t t nt -=+>+⎰⎰,24()01nxx nx ne F x ee -'=+>+,故知存在唯一的n x 使 1()0,0n n F x x n =<<.(II) 因为 221nx n <,211n n∞=∑收敛, 故21nn x∞=∑收敛.。

微积分2答案完整版

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, , 狭义积分收敛。
知识点:积分收敛性,中。
4.
答案:C
学霸解析:
可微
可微
可微
知识点:二元函数可微性,中。
5.
答案:C
学霸解析
知识点:求原函数,中。
三、计算题(共8题,每题6分,满分48分)
1.答案:
学霸解析:令

知识点:求定积分,中。
2.答案:
学霸解析:
3.
解:
知识点:二重积分,中。
4.
答案:
学霸解析:
二 、
1答案:A
学霸解析: 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点:组合函数,易。
2、
答案:B
学霸解析:若函数 在 处不可导,则 在 处一定不可微。
知识点:可导和可微积,易。
3、
答案:D
学霸解析:收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点:二重求导,中。
4、
答案:B
学霸解析:
考查知识点:敛散性
(2)答案:
学霸解析:
考查知识点:级数收敛的函数
六、
答案:480
学霸解析:
考查知识点:求导运用
七、
答案:2/15
学霸解析:
考查知识点:双边求导
八、
1.答案:
右式
=左式
2.答案:
① 在(a,b)上恒成立
由于f(x)-x在(a,b)上连续
可知
故只能有f(x)=0
② 在(a,b)上恒成立
考查知识点:间断点
3.答案:B
学霸解析:可微的定义
考查知识点:可微的定义
4.答案:D
学霸解析:R(Q)导数减去C(Q)导数为0点为题目所求点

16秋浙大《微积分(2)》在线作业

16秋浙大《微积分(2)》在线作业
A. 必是奇函数
B. 必是偶函数
C. 不可能是奇函数
D. 不可能是偶函数
正确答案:
6. 设f(x)是可导函数,则()
A. ∫f(x)dx=f'(x)+C
B. ∫[f'(x)+C]dx=f(x)
C. [∫f(x)dx]'=f(x)
D. [∫f(x)dx]'=f(x)+C
正确答案:
正确答案:
12. 幂函数的原函数均是幂函数。
A. 错误
B. 正确
正确答案:
13. 定积分是一个数,它与被积函数、积分下限、积分上限相关,而与积分变量的记法无关
A. 错误
B. 正确
正确答案:
14. 有限多个函数的线性组合的不定积分等于他们不定积分的线性组合。
A. 错误
B. 正确
B. (e^x-x)ln(e^x+1)+C
C. x-2ln(e^x+1)+C
D. 2ln(e^x+1)-x+C
正确答案:
20. 已知z= 2sin3x-5e^y, 则x=0,y=1时的全微分dz=( )
A. 6dx-5edy
B. 6dx+5edy
C. 5edy
D. -5edy
正确答案:
A. 依赖于s,不依赖于t和x
B. 依赖于s和t,不依赖于x
C. 依赖于x和t,不依赖于s
D. 依赖于s和x,不依赖于t
正确答案:
9. 已知u= xyz, 则x=0,y=0,z=1时的全微分 du =( )
A. dx

2013_2014(2)微积分II(甲)期中试卷答案

2013_2014(2)微积分II(甲)期中试卷答案

诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2013 — 2014学年第 二 学期期中考试试卷《 微积分II (甲) 》开课单位: 计算分院;考试形式:闭卷;考试时间:2014年_4__月_20 日;所需时间:120分 一、填空题(每格2分,共30分)1、 微分方程33''(')0x y y -=是 2 阶微分方程. 2、 微分方程0y y y '''+=+2的通解为 )( 21xe x C C y -+=.3、 设向量αu r 模为5,且其方向与向量{}2,1,2-相反,则α=u r 310-35310- ⎭⎬⎫⎩⎨⎧,,. 4、 设{}{}1,2,3,2,1,0a b =-=-r r ,则a b ⋅r r = 4 ,a b ⨯r r = 363 k j i ϖϖϖ++.5、 过点(1,2,1)P -且平行于平面3560x y z -+-=的平面方程为 0853=++-z y x .6、 过两点(2,2,1)(0,1,2)A B -及的直线的点向式方程为 113222-=+=--z y x .7、 yOz 面上的曲线2221y z +=绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为 12222=++z x y . 8、 设函数yz x =,则zy∂=∂ ln x x y ⋅ ;全微分dz = ln 1xdy x dx yx y y +-. 9、 设函数(,)z f x xy =,且(,)f u v 存在二阶连续的偏导数,则z x∂∂= 21y f f '+'; 2z x y∂=∂∂ 22212"+'+"xyf f xf . 10、 空间曲线232x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在(2,1,1)处的切线方程为 312122 -=-=-z y x ;法平面方程为 09322=-++z y x . 11、 设函数()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为32,10(),,01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩则()f x 的傅立叶级数在1x =处收敛于 23.二.单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 1. 下列关于微分方程的描述为正确的是( D ).A. 含有任意常数的解称为微分方程的通解B. 微分方程20y y x '-=是线性的C. 设1()y x 和2()y x 是二阶齐次线性微分方程0y py qy '''++=的二个特解,1C 和2C 是二个任意常数,则1121()()C y x C y x +即是该微分方程的通解D. 微分方程的通解一定包含有任意常数2.设1y 和2y 是非齐次微分方程'''()(,)y py qy f x p q ++=是实常数的两个特解,则下列结论正确的是( C ).A. 12y y +也是该方程的解B. 12y y +是对应齐次方程的解C. 12y y -是对应齐次方程的解D. 12y y -也是该方程的解 3.下列描述正确的是( C ).A. 若a b a c ⋅=⋅r r r r ,则必有b c =r rB. a b b a ⨯=⨯r r r rC. ()()a b c b c a ⨯⋅=⨯⋅r r r r r rD. //a b a ⨯r r r4.下列关于三维空间中直线的描述正确的是( C ).A. 直线的一般方程表示方式是唯一的B. 若两条直线平行,则它们的方向向量相同C.1120x y z +-==为正确的直线方程 D.在空间直角坐标中,方程y x =表示了一条直线5.对于二元函数(,)z f x y =,下列描述正确的是( C ).A. 若在点00(,)x y 处存在偏导数,则在点00(,)x y 处一定连续B. 若在点00(,)x y 处连续,则在点00(,)x y 处一定存在偏导数C. 若在点00(,)x y 处可微,则在点00(,)x y 处一定存在偏导数 D.若在点00(,)x y 处存在偏导数,则在点00(,)x y 处一定可微三.计算题(本大题共3小题,每小题6分,共18分) 1.求过点(1,1,0)、(1,2,2)-和(3,1,2)-的平面方程. 解:743 014286 0)0(2)1(8)1(62862 2 2 2 1 2}2,2,2{2,1,2M =-++=-++=-+-+-++=--=-⨯-=z y x z y x z y x kj i k j i 即即平面:}{ϖϖϖϖϖϖϖ2、求曲线22222241,x y z x y z⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在xOy 平面上的投影柱面方程和投影曲线方程. 解:⎩⎨⎧==-=-01351352222z y x y x 投影曲线方程:投影柱面方程:3.求点(1,2,1)P 到直线11:123x y l z +-==+的距离.解:经过点)1,2,1(p 作l 的垂直平面α,其平面方程:01)2(3)1(2=-+-+-z y x即0932=-++z y xα与p 的交点:⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-=+093213121z y x z y x , 得交点)145,1441,72(-距离7014314630)145()1441()72(222==-++=d 四.计算题(本大题共3小题,每小题6分,共18分) 1、设函数22(,)xf x y x y=+,求(1,2)x f '及(,)yyf x y ''. 解:22222222222(,)()()x x y x x y x f x y x y x y +-⋅-'==++ ;3(1,2)25x f '= 2222222222222322242232232(,)2()()()2()22(3)26)(,)(2)()()()y yy x xyf x y y x y x y x y y x y y x x y x xy f x y x x y x y x y '=-⋅=-+++-⋅+⋅--+"=-=-=+++2、设函数,2,,vz u u x y v xy ==+=求z x ∂∂和z y∂∂. 解:11ln 2ln v v v v z z u z v v u u u yx u x v xz z u z v v u u u x y u y v y--∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂ 3、设函数(,)z f x y =由方程ze xyz =确定,求z x ∂∂和22zx∂∂.解: 两边关于x 求导,2222322223()1()1111()[]1(1)1111122 ()[].1(1)1(1)z x x z x z yz yze z y z x z x e xy xyz xyz z z x xz x x z z z z x x z x z z z z z z x z x z x z x z ∂''⋅=⋅+⋅⇒==∂--∂⇒==∂--∂'=-⋅+-⋅∂---+=-⋅+-⋅⋅=-⋅----五.计算题(本大题共3小题,每小题6分,共18分) 1、求微分方程220,1x xyy y x y='==+的特解。

微积分试题及答案pdf

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微积分试题及答案pdf一、选择题(每题5分,共20分)1. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的导数是:A. \( 3x^2 - 12x + 11 \)B. \( 3x^2 - 12x + 6 \)C. \( x^2 - 12x + 11 \)D. \( x^2 - 6x + 11 \)答案:A2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是:A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案:B3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是:A. \( x\ln(x) + C \)B. \( \frac{x}{\ln(x)} + C \)C. \( x\ln(x) - x + C \)D. \( x + C \)答案:A4. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限的交点坐标是:A. \( (1, 2) \)B. \( (2, 4) \)C. \( (-1, -2) \)D. \( (-2, -4) \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。

答案:\( -\sin(x) \)2. 曲线 \( y = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是\( \_\_\_\_\_ \)。

答案:13. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_ \)。

答案:\( x\ln(x) - x + C \)4. 定积分 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 的值是 \( \_\_\_\_\_ \)。

答案:\( e - 1 \)三、解答题(每题10分,共20分)1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数值。

浙江省2008高等数学(微积分)竞赛试题(解答)

浙江省2008高等数学(微积分)竞赛试题(解答)

2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一、 计算题 1、求xxxxx ee e sin 13203lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→.解: xxxxx xxxxx e e e e e e sin 1320sin 1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→→ xe e e x xe e e ee e x x x x x x x x x x xx x ee e e sin 130sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exe e e x xx x ==⋅++→。

2、计算⎰++dx x x )5sin()3cos(1.解:⎰⎰+++-+=++dx x x x x dx x x )5sin()3cos()]3()5cos[(2cos 1)5sin()3cos(1 ⎰+++++++=dx x x x x x x )5sin()3cos()]3sin()5sin()3cos()5cos(2cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++=⎰⎰dx x x x x dx x x x x )5sin()3cos()]3sin()5sin()5sin()3cos()3cos()5cos(2cos 1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=⎰⎰dx x x dx x x )3cos()3sin()5sin()5cos(2cos 1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=⎰⎰dx x x d x x d )3cos()3cos()5sin()5sin(2cos 1 []C x x ++-+=)3cos(ln )5sin(ln 2cos 1C x x +++=)3cos()5sin(ln 2cos 1。

*周晖杰 2009/10/21法二:⎰⎰++=++dx x dx x x 2sin )4(2sin 2)5sin()3cos(1⎰++++=dx x x 2sin )4(tan 1)4tan(222,令4arctan ),4tan(-=+=t x x t⎰⎰⎰++=++=+⋅++=dt t t dt t t dt t tt12sin 212sin 22sin 22sin 2112sin 1222222⎰⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=dt t t 2sin 2cos 12sin 2cos 112sin 2 ⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=dt t t 2sin 2cos 112sin 2cos 112cos 1 C x x +-+++++=2sin 2cos 1)4tan(2sin 2cos 1)4tan(ln2cos 1。

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