【Word版解析】广东省中山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

广东省中山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，则∁U M=（）A．U B．{1，7} C．{3，7} D．{5，7}2．（5分）直线x+2y+1=0在y轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．3．（5分）下列说法中错误的是（）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=ln（x+1）D．5．（5分）直线3x+ay﹣1=0和x﹣y﹣3=0平行，则实数a=（）A．3B．﹣3 C．1D．﹣16．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．y=log2x B．2﹣x C．x2D．7．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC 的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心8．（5分）已知函数，则f（﹣2）=（）A．0B．1C．﹣2 D．﹣19．（5分）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．4+B．2+C．3+D．610．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11．（5分）在直角坐标系中，直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α=．12．（5分）若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式是．13．（5分）如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面直线AB与CD所成的角的大小是．14．（5分）某同学利用图形计算器对分段函数f（x）=作了如下探究：根据该同学的探究分析可得：当k=﹣1时，函数f（x）的零点所在区间为（填第5行的a、b）；若函数f（x）在R上为增函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={1，4}．（1）若2∈A，求实数a的值；（2）若A=B，求实数a的值．16．（13分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．17．（13分）如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．18．（13分）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．19．（14分）定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．20．（14分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[﹣2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）试判断f1（x）=及f2（x）=4﹣6⋅（）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．广东省中山市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，则∁U M=（）A．U B．{1，7} C．{3，7} D．{5，7}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及M，求出M的补集即可．解答：解：∵集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，∴∁U M={3，7}，故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）直线x+2y+1=0在y轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．考点：直线的斜截式方程；确定直线位置的几何要素．专题：直线与圆．分析：把直线的方程化为斜截式，即可得到直线在y轴上的截距．解答：解：直线x+2y+1=0 即y=﹣x﹣，故直线在y轴上的截距为﹣，故选D．点评：本题主要考查直线在y轴上的截距的定义，直线的斜截式方程，属于基础题．3．（5分）下列说法中错误的是（）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平面的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得答案．解答：解：根据公理2的推论3，可得经过两条平行直线，有且只有一个平面，故A正确；根据公理2，不共线的三点确定一个平面，可得两两相交且不共点的三条直线的三个交点必不共线，故两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；平面α与平面β相交，有且只有一条交线，但交点有无数个，故C错误；根据公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确；故选：C点评：本题以命题的真假判断为载体考查了平面的基本性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=ln（x+1）D．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：利用基本函数的单调性逐项判断即可．解答：解：y=在（0，+∞）上为减函数，故排除A；在区间（0，+∞）上为减函数，故排除B；y=x+在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，故排除D；y=ln（x+1）在（0，+∞）上为增函数，故选C．点评：本题考查函数单调性的判断，掌握基本函数的单调性是解决该类问题的基础，要熟练掌握．5．（5分）直线3x+ay﹣1=0和x﹣y﹣3=0平行，则实数a=（）A．3B．﹣3 C．1D．﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．解答：解：根据直线3x+ay﹣1=0和x﹣y﹣3=0平行，可得=≠，求得a=﹣3，故选：B．点评：本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．6．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．y=log2x B．2﹣x C．x2D．考点：反函数；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，利用函数y=a x的反函数的图象经过点（，a），可知点（a，），在函数y=a x的图象上，由此代入数值即可求得．解答：解：依题意，点（，a）在函数y=a x的反函数的图象上，则点（a，）在函数y=a x的图象上将x=a，y=，代入y=a x中，解得a=，故f（x）=故选：D点评：本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．7．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC 的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心考点：三角形五心；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题设条件知，三条斜线在底面的射影是相等的，即此点到底面三角形三个顶点的距离是相等的，由引可以得出此点应该是三角形的外心．解答：解：由题意点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则它们在底面上的射影也相等，由此知点O到△ABC的三个顶点的距离是相等的，由外心的定义知，点O是三角形的外心．故选B．点评：本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本题是一个判断形题，是对基本概念的考查题．8．（5分）已知函数，则f（﹣2）=（）A．0B．1C．﹣2 D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数解析式，求出f（﹣2）的值．解答：解：∵函数，∴当x=﹣2时，f（﹣2）=f（﹣2+2）=f（0）=0+1=1；故选：B．点评：本题考查了应用分段函数的解析式求函数值的问题，是基础题．9．（5分）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．4+B．2+C．3+D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是直三棱柱，高为1，底面是等腰直角三角形，根据三视图数据求出表面积．解答：解：由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱．底面直角边为1，高为1的直三棱柱，所以：S表=S侧+2S底=（1+1+）×1+2××1×1=3+．故选C．点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，是基础题．10．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11．（5分）在直角坐标系中，直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α=30°．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α，可得tanα=，解出即可．解答：解：直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α，可得tanα=，∵α∈[0°，180°），∴α=30°．故答案为：30°．点评：本题考查了斜率与倾斜角的关系，属于基础题．12．（5分）若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式是．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数的解析式为y=xα，把点代入函数的解析式求得α的值，即可得到函数的解析式．解答：解：设幂函数的解析式为y=xα，把点代入函数的解析式可得，3α=，解得α=，∴这个函数的解析式是y==，故答案为．点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．13．（5分）如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面直线AB与CD所成的角的大小是60°．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：把展开图正确恢复到原正方体．利用正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质即可得出．解答：解：把展开图恢复到原正方体．连接DE，EC．由正方体可得，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED．∴∠CDE或其补角是异面直线AB与CD所成的角．由正方体可得：CD=DE=EC，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°．∴异面直线AB与CD所成的角是60°．故答案为60°．点评：把展开图正确恢复到原正方体．熟练掌握正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质是解题的关键．14．（5分）某同学利用图形计算器对分段函数f（x）=作了如下探究：根据该同学的探究分析可得：当k=﹣1时，函数f（x）的零点所在区间为（3.69，3.75）（填第5行的a、b）；若函数f（x）在R上为增函数，则实数k的取值范围是k≥e3．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的零点存在性定理可得零点所在区间，利用ln（x+k）﹣1≥f（0），计算可得k的取值范围．解答：解：根据图象及函数的零点存在性定理，可得f（3.69）＜0，f（3.75）＞0，f（3.63）＜0，故当k=﹣1时，函数f（x）的零点所在区间为（3. 69，3.75）；要使函数f（x）在R上为增函数，如图所示，则ln（x+k）﹣1≥f（0）=20+1=2，所以x+k≥e3，故k≥e3﹣x，又x＞0，所k≥e3，故答案为：（3.69，3.75），k≥e3．点评：本题考查函数的零点存在性定理、函数的单调性，数形结合是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={1，4}．（1）若2∈A，求实数a的值；（2）若A=B，求实数a的值．考点：元素与集合关系的判断；集合的相等．专题：计算题；集合．分析：（1）2∈A，代入计算，可求实数a的值；（2）若A=B，则1∈A，即可求实数a的值．解答：解：（1）由2∈A得，a=2…（6分）（2）由B={1，4}因为A=B，所以1∈A，代入得a=1…（9分）这时A={1，4}，故A=B成立，a=1…（13分）点评：本题考查集合间的相互关系、集合关系中的参数取值问题，解题时要熟练掌握基本概念．属于基础题．16．（13分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：（1）联立方程，求出点P的坐标，利用所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l 的方程为2x+y+C=0，代入P的坐标，可求直线l的方程；（2）求出直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距，可得直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距，从而可求直线l关于原点O对称的直线方程．解答：解：（1）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），∵所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，∴可设直线l的方程为2x+y+C=0．…（4分）把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+C=0，即C=2．∴所求直线l的方程为2x+y+2=0．…（6分）（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是﹣1与﹣2．…（8分）则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，…（10分）∴所求直线方程为2x+y﹣2=0…（12分）点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查直线方程，考查直线系，考查学生的计算能力，正确设方程是关键．17．（13分）如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．考点：分段函数的应用．专题：数形结合．分析：直线l从左至右移动，分别于线段BG、GH、HC相交，与线段BG相交时，直线l 左边的图形为三角形，与线段GH相交时，直线l左边的图形为三角形ABG与矩形AEFG，与线段HC相交时，直线l左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形CEF，各段利用面积公式可求得y．解答：解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，，所以BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，所以AD=GH=3cm．（3分）（1）当点F在BG上时，即x∈（0，2]时，；（6分）（2）当点F在GH上时，即x∈（2，5]时，y=2+（x﹣2）•2=2x﹣2；（9分）（3）当点F在HC上时，即x∈（5，7]时，y=S五边形ABFED=S梯形ABCD﹣S Rt△CEF=．（12分）所以，函数解析式为（14分）点评：本题考查求分段函数的解析式，找到分段点，在各段找出已学过得的规则图形，化未知为已知，结合图形，比较直观．用到转化，化归与数形结合的思想．18．（13分）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由三角形的中位线性质得GH∥CD，然后由线面平行的判定定理得答案；（2）由已知结合面面垂直的性质得ED⊥AD，进一步得到ED⊥平面ABCD，即有ED⊥BC．又BC⊥CD，则由线面垂直的判断得答案；（3）依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即棱锥A﹣BCG 的高h=，然后代入棱锥的体积公式得答案．解答：（1）证明：∵G、H分别是DF、FC的中点，∴△FCD中，GH∥CD，∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE；（2）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，∴ED⊥AD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．又BC⊥CD，CD、DE相交于D点，∴BC⊥平面CDE；（3）解：依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即：h=．∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．（14分）定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令x1=x2=0，得f（0）=0，令x1=x，x2=﹣x，推出f（﹣x）与f（x）的关系，即可判断判断函数f（x）的奇偶性；（2）通过f（4）=1，求出f（8），化简f（x﹣1）＜2，利用f（x）在[0，+∞）上是增函数，以及函数的奇偶性，得到不等式，即可求实数x的取值范围．解答：（本小题满分14分）解：（1）令x1=x2=0，得f（0）=0；…（2分）令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），…（4分）即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数…（6分）（2）∵f（4）=1，∴f（8）=f（4）+f（4）=2，…（7分）∴原不等式化为f（x﹣1）＜f（8）…（9分）又f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（0）=0且f（x）是奇函数，…（10分）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．因此x﹣1＜8，…（12分）∴x＜9．∴实数x的取值范围是（﹣∞，9）…（14分）点评：本题考查抽象函数的应用，赋值法以及函数的奇偶性的应用，转化思想的应用，考查计算能力．20．（14分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[﹣2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）试判断f1（x）=及f2（x）=4﹣6⋅（）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：（1）通过特例，判断f1（x）不在集合A中，求出f2（x）的值域，即可判断是否在集合A中．（2）利用（1）f2（x）在集合A中，化简不等式f（x）+f（x+2）﹣2f（x+1）通过指数的性质，推出结论即可．解答：解：（1）∵当x=49时f1（49）=5∉[﹣2，4）∴f1（x）不在集合A中（3分）又∵f2（x）的值域[﹣2，4），∴f2（x）∈[﹣2，4）当x≥0时f2（x）为增函数，因为y=⋅（）x是减函数，所以f2（x）=4﹣6⋅（）x（x≥0）是增函数，∴f2（x）在集合A中（3分）（2）∵f2（x）+f2（x+2）﹣2f2（x+1）==∴f2（x）对任意x≥0，不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）总成立（6分）点评：本题是难度较大的题目，第一需要根据函数的值域、特殊值以及条件进行验证．第二题目给出一个抽象函数不等式要求学生检验两个已知函数式是否满足条件，进而验证这两个函数是否是集合的元素，运算量较大，其中用到基本不等式，这个过程不好配凑．。