高考高分考生数学笔记-3-三角函数

高考高分考生数学笔记（3）-----------------三角函数基本概念：1、 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

2，函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

（若未告知，则要讨论） 3，三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。

4、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ=±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅±μ15、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2⋅cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan2α=αα212tg tg -。

8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43-9、半角公式是：sin2α=2cos 1α-± cos 2α=2cos 1α+±tan2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

10、升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+ 2sin 2cos 12αα=-。

11、降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=。

12、万能公式：sin α=21222ααtgtg+ cos α=212122ααtgtg +- tg α=21222ααtgtg -13、sin(βα+)sin(βα-)=βα22sin sin -，cos(βα+)cos(βα-)=βα22sin cos -=αβ22sin cos -。

14、)60sin()60sin(sin 400ααα+-=α3sin ； )60cos()60cos(cos 40ααα+-=α3cos ； )60()60(0ααα+-tg tg tg =α3tg 。

15、ααtg ctg -=α22ctg 。

16、sin180=415-。

Sin150=，sin750=备注；1，注意值为1的公式的使用。

在圆锥曲线中参数方程的设定，不等式证明中换元的使用。

2，角的变换；=（=2；2=-（18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R CcB b A a 2sin sin sin === 19、由余弦定理第一形式，2b =B ac c a cos 222-+由余弦定理第二形式，cosB=acb c a 2222-+20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p表示则：①Λ=⋅=a h a S 21 Λ==A bc S sin 21； ③C B A R S sin sin sin 22=；④RabcS 4=；⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=， 22、在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<， 23、在△ABC 中： 2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos C B A =+ 22Cctg B A tg =+ tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ 24、积化和差公式：①)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅， ②)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅，③)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅，④)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅。

25、和差化积公式：①2cos2sin 2sin sin yx y x y x -⋅+=+， ②2sin2cos 2sin sin yx y x y x -⋅+=-， ③2cos2cos 2cos cos yx y x y x -⋅+=+， ④2sin2sin 2cos cos yx y x y x -⋅+-=-。

26，反三角函数○1、x y arcsin =的定义域是[-1，1]，值域是]22[ππ，-，奇函数，增函数；x y arccos =的定义域是[-1，1]，值域是]0[π，，非奇非偶，减函数； arctgx y =的定义域是R ，值域是)22(ππ，-，奇函数，增函数； arcctgx y =的定义域是R ，值域是)0(π，，非奇非偶，减函数。

○2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，；221)cos(arcsin1)sin(arccos x x x x -=-=， x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π， 2arccos arcsin π=+x x对任意的R x ∈，有：2)()()()(ππ=+-=--=-==arcctgx arctgx arcctgx x arcctg arctgx x arctg xarcctgx ctg x arctgx tg ，，当xarctgx ctg x arcctgx tg x 1)(1)(0==≠，时，有：。

○3，反三角函数的图像：27、最简三角方程的解集：{}{}{}{}。

，的解集为，方程；，的解集为，方程；，的解集为时，；的解集为时，，的解集为时，；的解集为时，ZnarcctganxxactgxRaZnarctganxxatgxRaZnanxxaxaaxaZnanxxaxaaxan∈+==∈∈+==∈∈±==≤=>∈⋅-+==≤=>πππφπφarccos2cos1cos1arcsin)1(sin1sin128，常见函数性质y=sinx+cosx易错题；例1．关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π有下列命题，○1y=f(x)图象关于直线6π-=x 对称 ○2 y=f(x)的表达式可改写为)62cos(4π-=x y ○3 y=f(x)的图象关于点)0,6(π-对称 ○4由21210)()(x x x f x f -==可得必是π的整数倍。

其中正确命题的序号是 。

答案：○2○3 错解：○2○3○4 错因：忽视f(x) 的周期是π，相邻两零点的距离为22π=T 。

例2．已知定义在区间[-?，π32] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -6π对称，当x?[-6π，π32]时，函数f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,-2π<?<2π)，其图象如图所示。

(1)求函数y=f(x)在[-?，π32]的表达式； (2)求方程f(x)=22的解。

解：(1)由图象知A=1，T=4(632ππ-)=2?，?=12=T π 在x?[-6π，32π]时 将(6π，1)代入f(x)得f(6π)=sin(6π+?)=1 ∵-2π<?<2π∴?=3π ∴在[-6π，32π]时 f(x)=sin(x+3π)∴y=f(x)关于直线x=-6π对称∴在[-?，-6π]时 f(x)=-sinx综上f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-+x x sin )3sin(π]6,[]32,6[ππππ--∈-∈x x (2)f(x)=22在区间[-6π，32π]内 可得x 1=125x x 2= -12π ∵y=f(x)关于x= - 6π对称 ∴x 3=-4π x 4= -43π∴f(x)=22的解为x?{-43π,-4π,-12π,125π} 3． 若sin cos αβ=12，求sin cos βα的取值范围。

解：令αβα=sin cos ，则有∴+=+-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-≤+≤-≤-≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-≤≤121211121112121212a a a a a sin()sin()().()αβαβ说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出-≤≤3212a 或-≤≤1232a 。

原因是忽视了正弦函数的有界性。

另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。

这两点应引起我们的重视。