【初中数学】第12章轴对称重难点讲解

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八年级第十二章轴对称复习提纲一、基本知识提炼整理1、轴对称（1）定义：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于，这条直线叫做。

（2）性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴就是。

（3）判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线。

2、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做。

（2）性质：轴对称图形的对称轴，是。

（3）线段垂直平分线①定义：经过线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

②性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离。

③判定：与一条线段的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、轴对称变换（1）定义：有一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

（2）性质：①有一个平面图形得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的。

②新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的。

③连接任意一对对应点的线段被对称轴。

（3）用坐标表示轴对称①点P(x，y)关于x轴对称点为P1。

②点P(x，y)关于y轴对称点为P2。

4、等腰三角形（1）定义：有的三角形，叫做等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的两个底角（简称“”）。

②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高。

(3)判定：①根据定义②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边（称“”）5、等边三角形（1）定义：的三角形叫做等边三角形（2）性质：三边都，三个内角且每个内角都等于。

（3）判定：①三角形是等边三角形。

②是等边三角形。

6、30°角所对直角边的性质：在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的。

类型一轴对称的应用例1、判断图12-1＄丽 C ￥1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A B C D类型二线段的垂直平分线如图，（1）若AM⊥BC且BO=CO，则AB AC.（2）若AB=AC,MB=MC,则AM BC,且BO CO.例1、如图，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA+CB=4cm,则△BCD的周长为 cm.2、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，边AB的垂直平分线交AC于点E，则∠EBC= 。

初二上册数学第12章知识点总结

初二上册数学第12章知识点总结学习八年级数学知识再苦再累也要坚强，只为那些期待眼神。

成功就是你坚持不住的时候，在坚持一下。

耐得住寂寞，守得住繁华!下面小编给大家分享一些初二上册数学知识点总结，大家快来跟小编一起看看吧。

初二上册数学知识点总结：第十二章轴对称知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。

2.性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

(2)角平分线上的点到角两边距离相等。

(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

5.等腰三角形的判定：等角对等边。

6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。

8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中的图形进行分析鉴赏，亲身经历数学美，正确理解等腰三角形、等边三角形等的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题。

初二上册数学知识点总结(一)整式的除法单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式;多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多，表面看来零碎的概念和性质也较多，但实际上是密不可分的整体。

（完整版）八年级上十二章轴对称知识点总结（最全最新）

（完整版）⼋年级上⼗⼆章轴对称知识点总结（最全最新）轴对称知识点（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。

5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；3、点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

【初中数学精品资料】第十二章轴对称综合复习

年级初二学科数学版本人教新课标版课程标题第十二章轴对称综合复习编稿老师陈孟伟一校李秀卿二校林卉审核王百玲一、学习目标：1. 总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2. 培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3. 归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力。

二、重点难点：重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用。

难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力。

三、考点分析：中考对本章的要求是通过具体实例识别轴对称、轴对称图形；理解轴对称图形和利用轴对称进行图案设计，探索图形之间的变换关系；掌握等腰三角形的性质和等腰三角形、等边三角形的识别，并能运用其性质解答实际问题。

从中考试题来看，本章知识以基础题为主，题型多以填空题、选择题的形式出现，也有简单的作图题和解答题。

等腰三角形图形的折叠与拼图和轴对称性质的应用是中考的热点题型。

知识点一：轴对称的应用例1. 已知AOB α∠=，P 是AOB ∠内一点，分别作点P 关于,OA OB 的对称点',''P P 。

（1）求证：'''2P OP α∠=；（2）若P 点在AOB ∠外，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由。

思路分析：本题考查的是轴对称的性质。

成轴对称的两个图形、或者轴对称图形在对称轴两侧的部分是“一模一样”的，严谨地说就是对应线段相等、对应角度相等、对应面积相等、对应点的连线被对称轴垂直平分等等。

解答过程：（1）如图（1）所示，当点P 在∠AOB 内部时，连接OP ',P P 关于OA 对称，则OA 垂直平分'P P∴'OP OP =，OA 平分'P OP ∠∴'2P OP AOP ∠=∠，同理可证''2POP BOP ∠=∠∴''''''2()22P OP P OP POP AOP BOP AOB α∠=∠+∠=∠+∠=∠=（2）如图（2）所示，当点P 在AOB ∠外部时，结论还成立。

初中数学轴对称基础知识点详解

初中数学轴对称基础知识点详解轴对称是初中数学中的基础知识点之一，是在平面几何中经常出现的重要概念。

轴对称是指图形相对于条轴线对称，即图形中的每一点与轴线上与该点距离相等、且在轴线上的点关于轴线对称。

下面将详细介绍轴对称的基本概念、性质和相关例题。

轴对称的基本概念：轴对称是指图形相对于条轴线对称。

轴线可以是任意直线，可以是水平线、垂直线、倾斜线或曲线。

在轴对称中，轴线的选择对图形的对称性质有一定影响，但图形始终是关于轴线对称的。

轴对称的性质：1.图形的每一点关于轴线对称，意味着轴线上的点与轴线之间的距离相等。

2.如果图形的一部分与轴线对称，则图形的其他部分与轴线对称。

3.如果图形中的两个点A、B关于轴线对称，则点A关于点B对称，点B关于点A对称。

轴对称与平移的关系：平移是指将图形沿着一些方向按照一定规律进行移动。

在平移中，图形的每一点都按照相同的方向和相同的距离进行移动，而保持形状不变。

轴对称图形可以通过平移得到相对的轴对称图形，平移的方向和距离与轴线的位置有关。

轴对称与旋转的关系：旋转是指将图形以一些点为中心按照一定角度进行旋转。

在旋转中，图形的每一点都按照相同的角度和相同的方向进行旋转，而保持形状不变。

轴对称图形可以通过旋转得到相对的轴对称图形，旋转的角度和中心与轴线的位置有关。

轴对称的判断：判断一个图形是否具有轴对称性可以通过以下方法进行验证：1.观察图形是否在一个直角坐标系中，并找出其中心轴（满足轴对称性的直线）。

2.随机选择图形中的一点，并绘制一个与中心轴相互垂直的线段。

3.测量选定点到中心轴和该点对称点到中心轴的距离是否相等，若相等则该图形具有轴对称性。

轴对称的性质与应用：1.轴对称性是一种重要的对称性质，它在几何构造中常常用于求解问题。

2.轴对称性可以用于判断一些图形的性质，如判断一个图形是否是正多边形。

3.轴对称性也可以应用于计算几何中的一些问题，如确定一个平面图形的对称中心。

轴对称的例题：1.给定一个图形ABCD，其中AB=BC=4，AD=6，AC=8，请问该图形是否具有轴对称性？如果具有，请给出轴对称线的方程。

八年级上册数学第十二章轴对称知识点与例题

第十二章轴对称1、轴对称图形：如果一个图形眼一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，该图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、线段是轴对称图形（对称轴：垂直平分线、线段所在的直线）3、线段的垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线；和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

特点：○1是一条直线；○2垂直于已知线段；○3平分已知线段。

性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

判定：和一条线段的两个端点激励相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

判断方法：○1运用定义；○2先证某两点到线段两端点的距离分别相等，再由线段垂直平分线判定及直线公理判定。

4、两图形关于直线成轴对称概念：对称轴；对称点。

性质：○1关于某条直线对称的两个图形式是全等形；○2如果两个图形关于某条直线对称，那么，对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。

画对称轴，画轴对称图形。

5、用坐标表示轴对称点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。

6、轴对称的变换○1由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

○2由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样。

○3新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。

○4连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

7、等腰三角形○1概念等腰三角形：有两条边相等的三角形。

腰——AB、AC;（AB=AC）底边——BC；顶角——∠BAC;底角——∠ABC、∠ACB;三条边都相等的三角形叫做等边三角形；等边三角形实际上是腰与底边相等的特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形。

○2性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）作底边的中线、作底边的高线可证明两三角形全等。

（SAS）○3性质定理的推论1：三线合一：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边并且平分底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。

轴对称知识点总结大全

轴对称知识点总结大全第一篇：轴对称知识点总结大全轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

l A B 4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

二、举例：例1：判断题：① 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：方法1 方法2 方法3 例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。

【初中数学精品资料】第十二章第1-2节轴对称;作轴对称图形

年级初二学科数学版本人教新课标版课程标题第十二章第1-2节轴对称；作轴对称图形编稿老师陈孟伟一校林卉二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1. 了解轴对称图形、两个图形成轴对称的意义，并能作出它们的对称轴；2. 掌握线段的垂直平分线的判定和性质，会用集合的观点解释线段的垂直平分线；3. 通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，体会轴对称和线段的垂直平分线的性质；4. 了解轴对称变换的意义，并能够按要求作出简单平面图形经过一次轴对称变换后的图形；5. 能用坐标表示轴对称，在平面直角坐标系中作出一个关于坐标轴对称的图形，能够用轴对称的性质设计图案；6. 通过动手实践体会轴对称在现实生活中的广泛应用，感受数学的美，体会轴对称变换是物体的运动方式之一。

二、重点、难点：重点：认识轴对称图形及其对称轴，并能掌握两者的区别与联系，了解线段的垂直平分线的性质，掌握轴对称变换。

难点：正确画出轴对称图形的对称轴或成轴对称的两个图形的对称轴，能够进行简单的轴对称变换，以及用坐标表示轴对称。

三、考点分析：轴对称变换及关于坐标轴对称的点的坐标，在历年的中考题中经常出现，做这类题目时要熟记对称的点的坐标的特点及轴对称的性质，题型多为填空题、选择题和解答题中的作图题，属中低档题。

囊括轴对称与平移及今后将学习的中心对称、旋转等知识的综合题在近几年的中考题中经常出现。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩轴对称图形轴对称和轴对称图形的概念轴对称线段的垂直平分线轴对称线段的垂直平分线的性质性质轴对称的性质轴对称变换用坐标表示轴对称知识点一轴对称与轴对称图形轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系。

例1：判断下图中的图形是否为轴对称图形，若是，说出它有几条对称轴。

思路分析：本题考查的是轴对称图形的概念，解决此类问题应联想轴对称图形的概念并展开想象。

解答过程：图②④⑤⑦⑧⑩是轴对称图形，其中图②④⑤⑧都有1条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑩有2条对称轴。

第十二章轴对称知识点归纳

第十二章轴对称知识点归纳一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,又叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

★4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线★性质1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

★性质 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上★三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等★四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等。

★②等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）证明一个三角形是等腰三角形。

或证明同一个三角形中的两角相等。

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）2、等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

新人教版八年级数学第12章轴对称教案(全章)重点

第1课时轴对称(1小结:对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,•甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子.现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.我们的黑板、课桌、椅子等.我们的身体,还有飞机、汽车、枫叶等都日常生活中常见的动物图片如:蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它标出下列图形中的对称点观察下列各种图形,判断是不是轴对称图形,若是,请画出对称轴。

课本Р4 练习拓展升华这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,第2课时轴对称(2线段垂直平分线上的与这条与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线,因此只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以】第3课时轴对称(3的垂直平分线.就是这个五角星的一条对称轴.用同样的方法,可以找出五条对称轴,所以五角星有五条对称轴.和两点A、B,在直线L上求作一点P,使根据对称图形的性质可知:这几个图形的对称轴分别有解:如图所示:如下图小河边有两个村庄,要在河对岸建一自来水厂向要符合条件:(1若要使厂部到A、B的距离相等,则应选在哪儿?作出线段的垂直平分线.并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法:找出轴对称图形的任意一对对应点,连结这对对应点,•直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴. 第4课时作轴对称图形(1第5课时作轴对称图形(2对称.地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?你的理由的同旁,泵站应修在管道的什能发现什么规,八年级某班同学做游戏,在活动区域边放了一些球,则小明按怎样的路线跑,去捡哪个位置的球,才能最短的距离拿到球并跑到目的地A F E DC B AA第6课时用坐标表示轴对称-5D(0.5,1E(4,0 D’( E’(第7课时等腰三角形(1第8课时等腰三角形(2第9课时等边三角形(1第10课时等边三角形(2★人教版八年级数学★第 12 章轴对称 Rt△ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？定理：在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC= 1 AB． 2 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD．证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（如图） B ∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°． C D ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC= A 这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系 1 1 BD= AB． 2 2 三、应用迁移巩固提高【例 1】右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱BC、学生根据所 DE 垂直于横梁 AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱学知识自行BD、DE 要多长？ B 探索，教师分析：观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt D 引导学生在 1 △ACB 中，由于∠A=30°，所以 DE= AD，探索的过程 2 中发现解决A E C 1 1 问题的关 BC= AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= AB． 2 4 键：直角三解：因为 DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知角形中 30° 1 1 角所对的直 BC= AB，DE= AD，角边等于斜 2 2 边的一半． 1 所以 BD= ×7.4=3.7（m）． 2 又 AD= 1 AB， 2 1 1 所以 DE= AD= ×3.7=1.85（m）． 2 2 答：立柱BC 的长是 3.7m，DE 的长是 1.85m．【例 2】等腰三角形的底角为 15°，腰长为2a，求腰上的高．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰 AB 上的高．求：CD 的长． A 分析：观察图形可以发现，在 Rt△ADC 中，AC=2a，而∠DAC 是△ABC 的一个外角， B 则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形第 21 页 D C★人教版八年级数学★第 12 章轴对称中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出 CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD= 1 AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对 2 的直角边等于斜边的一半）．练习】【练习】课本Р56 练习四、总结反思拓展升华这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含 30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．五、课堂作业 P57 8 10 14 教学理念/反思第 22 页。

人教版-八年级上册-第十二章轴对称(全章)

人教版第12章轴对称考点一：关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识【知识要点】轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。

轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。

两个图形中的对应点叫做__________ 【例题解析】1、在26个大写英文字母中，是轴对称图形的有。

2、在三角形、等腰三角形、梯形、直角梯形、等腰梯形、平行四边形中，是轴对称图形的有。

其中的对称轴最多，有条。

3、下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、．图9-19中，轴对称图形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5、正三角形有条对称轴，正四边形有条对称轴，正n 边形有___条对称轴。

考点二：垂直平分线的性质定理及判定定理【知识要点】（一）性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

几何语言：。

ABOPPB PAABPOABO=∴⊥的中点，且为线段点【例题分析】1．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为_________ ．2．如图所示，∠BAC=105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．求∠PAQ的度数．3．（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．4．（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．（二）判定定理：【知识要点】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上几何语言：的垂直平分线上在线段点AB P PBPA ∴=引申——垂直平分线的判定要满足的条件： 1、直线过线段的中点 2、直线垂直于已知线段【例题分析】1．如图，△ABC 中，AB=AC ，PB=PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分BC2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，求证：AD 垂直平分EF ．。

2_文本：《轴对称》重难点解读

《轴对称》重难点解读图形的轴对称，是初中数学“空间与图形”领域当中的一个重要内容。

轴对称变换是数学中的一种基本的变换，同平移变换一样，它是保持两点之间距离不变的变换，即保持变换或合同变换，这种变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。

图形的轴对称的学习是从学生已有现实入手，来理解和学习轴对称以及其基本性质，观察、领悟轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称性探究等腰三角形的性质（这为探索矩形、菱形、正多边形、圆的性质作好准备）。

同时，等腰三角形是一种特殊的三角形，也是我们几何学习中较为重要和常用的图形，它是我们今后各阶段学习的基础。

一、课标要求“轴对称”的主要内容包括“轴对称”、“画轴对称图形”、和“等腰三角形”和“最短路径”四个方面。

引导学生从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在生活中的广泛应用。

在此基础上，探索等腰三角形的性质和判定，并进一步学习等边三角形。

1.“轴对称”是立足于学生已有“生活现实”和“数学现实”，让学生从观察生活中的对称现象开始，通过空间想象，归纳出图形的轴对称和轴对称图形的概念，从整体上概括出轴对称的特征。

结合探索对称点的关系，归纳得出对应点的连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这个性质的探索得到线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

对于轴对称的概念，只要求学生“了解”或“理解”，这种要求借助图形直观不难达到，我们不可能也没有必要给出轴对称的严格定义；教学时应鼓励学生充分观察、动手操作，使用自己的语言概括出轴对称图形的特征（有条件的话，能够借助多媒体技术展示它们的轴对称性，协助学生建立轴对称图形和两个图形成轴对称的概念）。

轴对称的性质是通过“探索”得到的，即通过图形的运动变化去发现性质的，而不是单纯地把性质作为结论表现给学生。

实行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为使用图形运动的方法研究图形的性质奠定基础。

线段垂直平分线的性质定理，能够通过图形的轴对称获得猜想，然后再使用三角形全等证明。

八年级上册数学12章轴对称教案.docx

（点击课件进行演示）刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，你想不想看看两个图形是否也具有这样的特征呢？（屏幕显示）结论:像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）轴对称的性质观察：已知图中的两个三角形关于直线m对称，请说出图中的哪些点可以重合？能重合的点叫------------------------- 。

图中的对称点有哪些？线段Ak' 、BB，、CC Z与直线MN有什么关系？四、学以致用，反馈小结请同学们讨论并找出下列图形的对称轴？⑷ ⑸五、布置作业（一）课本习题11. 3—1、2、6、7、8 题.（二）预习课本.课后反思课后反思一、创设情境在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形, 还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？二、探究新知师生拿出课先准备好的长方形的纸片，按教科书第140页的要求剪出ZUBC.设问1： AABC有什么特点？设问2： ZiABC是轴对称图形吗?它的对称轴是什么？学生思考、回顾剪纸过程，把等腰三角形ABC沿折痕对折，容易回答AABC是轴对称图形，折痕AD所在的直线是它的对称轴. 设问3：你还发现了什么现象，继而猜想等腰三角形ABC有哪些性质？学生讨论、汇报:®ZB=ZC②B D = CD③ZBAD=ZCAD ZADB=ZADC=90°用语言叙述为：一两个底角相等一AD为底边BC上的中线一AD为顶角/BAC的平分线一AD为底边BC上的高性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线；底边上的高互相重合.（可简记为“三线合”’性质）设问4：你能用所学的知识验证等腰三角形的性质吗？1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证.已知：如图1,在ZXABC中，AB=AC 求证：ZB=ZC.一、知识回顾1.等腰三角形的性质定理是什么？2.等腰三角形一个角为50°,求其它两角.3.等腰三角形一个外角为70°,求三个内角的度数.二、探究新知例1 如图所示已知：AABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD.求：AABC各角的度数.例2 如图所示，已知：点D、E在ZiABC的边BC上，AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE.讨论:（1）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?（2）利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相等?三、学以致用1.如图所示，已知：AB=AE, BC=ED, ZB=ZE, AM±CD. 求证：CM=MD.2.如图所示，已知：AABC和AEBD均为等边三角形，点D在BC 上. 求证：AD=CE.四、知识小结（1）列方程解几何计算题是几何中常用的方法，要善于将几何的在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的辿有什么关系？即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的两条辿也相等. 如何验证？学生根据命题画出图形，并写出已知、求证.已知：如图，在ZXABC 中，ZB =ZC.求证：AB = AC学生寻求证明途径. 证明：作ADLBC,垂足为D, 在/ABD 和/ACD 中，作ZBAC 的平分线AD. 在ZSBAD 和ZSCAD 中"ZABC=ZACB ..< ZADB=ZADC=90度A①会阐述、推证等腰三角形的判定定理•子习目标 ②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别.学习重难点重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用. 难点：等腰三角形的判定与性质的区别.集体备课个性设计一、知识回顾等腰三角形的性质有哪些？ 1:等腰三角形的两底角相等.2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.二、探究新知（一）思考：如图，位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到0处遇险船只的报警，当时测得ZA=ZB.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？一. 欣赏图片，感受生活通过欣赏我发现了二. 小组合作，探究新知（一）1.观察老师给你的等边三角形纸片，根据等腰三角形的性质，猜想等边三角形有哪些性质？并通过测量、折纸、证明等方式进行验证。

八年级数学上册《第12章-轴对称》总复习教案及经典例题-新人教版

山东省邹平县实验中学八年级数学上册《第12章轴对称》总复习教案及经典例题新人教版一、教学目的与考点分析:1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：①探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；②欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计;③在同一直角坐标系中,感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2)线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（３)等腰三角形：①了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件．2．本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫,也是平面几何研究的主要对象,起着承前启后的作用.3．本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定,并能应用这些知识是学好本章的关键．二、教学内容：(一)、复习三角全等形条件(二）、教学内容知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4．等腰三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.5．等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质１.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．2．线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3.（1）点P(x,ｙ)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y).(２)点P(x,ｙ)关于y轴对称的点的坐标为P″（-x,y）.4．等腰三角形的性质（１）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”).(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

人教版数学八上第12讲作轴对称图形知识讲解

作轴对称图形知识讲解【学习目标】1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.3．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．4．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】要点一、对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二、用坐标表示轴对称1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系已知P点坐标，则它关于x轴的对称点的坐标为，如下图所示：即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系已知P点坐标为，则它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系P点坐标关于直线的对称点的坐标为．P点坐标关于直线的对称点的坐标为．【典型例题】类型一、作轴对称图形1、如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称. （1）画出直线EF ；（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠''BOB 与直线MN 、EF 所夹锐角α之间的数量关系.【答案】（1）如图；（2）∠''BOB ＝2α；【解析】（2）∵△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称. ∴∠BOM ＝∠'B OM ，∠'B OE ＝∠''B OE ， ∵∠'B OM ＋∠'B OE ＝α ∴∠''BOB ＝2α【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上. 举一反三：【变式】在下图中，画出△ABC 关于直线MN 的对称图形.【答案】△'''A B C 为所求.类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点M'，作点N关于OB的对称点N'，连接M N''交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【变式】（秋•花垣县期末）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．则C→D→E→C为所求的行走路线．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?【答案与解析】见下图作法：作N关于OB的对称点N'，再作N N'''∥BO且N N'''＝a(N''在N'的左侧)；连接MN''交OB于点P，再在OB上取点Q使得PQ＝a(Q在P的右侧)，此时，MP＋PQ＋QN最小．【总结升华】MP＋PQ＋QN最小，其中PQ是定值a，问题转化为MP＋QN最小.因为将军要沿河走一段线段a ，如果能把这段a 提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从'N 沿平行的方向走a 至''N ，连接''MN 即可. 类型三、用坐标表示轴对称4、（秋•江津区期中）已知点A （2a ﹣b ，5+a ），B （2b ﹣1，﹣a+b ）．（1）若点A 、B 关于x 轴对称，求a 、b 的值；（2）若A 、B 关于y 轴对称，求﹙4a+b ﹚的值．【思路点拨】（1）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a ﹣b=2b ﹣1，5+a ﹣a+b=0，解可得a 、b 的值；（2）根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a ﹣b+2b ﹣1=0，5+a=﹣a+b ，解出a 、b 的值，进而可得答案．【答案与解析】解：（1）∵点A 、B 关于x 轴对称，∴2a﹣b=2b ﹣1，5+a ﹣a+b=0，解得：a=﹣8，b=﹣5；（2）∵A、B 关于y 轴对称，∴2a﹣b+2b ﹣1=0，5+a=﹣a+b ，解得：a=﹣1，b=3， ﹙4a+b ﹚=1．【总结升华】此题主要考查了关于x 、y 轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5【答案】B ；提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）.【巩固练习】一.选择题1. 下列说法中，正确的是（）A ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形B ．全等三角形是关于某直线对称的C ．两个图形关于某条直线对称，这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D ．若点A 、B 关于直线MN 对称，则AB 垂直平分MN2.（春•岳池县期末）如果点A （x ﹣y ，x+y ）与点B （5，﹣3）关于y 轴对称，那么x ，y 的值是（） A.x=4，y=﹣1 B.x=﹣4，y=﹣1 C.x=4，y=1 D.x=﹣4，y=13. 如图，△ABC 与△111A B C 关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是( ) A ．△1AA P 是等腰三角形 B ．MN 垂直平分1AA ，1CCC ．△ABC 与△111A B C 面积相等D ．直线AB 、11A B 的交点不一定在MN 上4. 已知点1P （1a -，5）与2P （2，b －1）关于x 轴的对称，则()2011a b +的值为（）A.0B.－1C.1D.()20113-5. 如果点A 在第四象限，那么和它关于y 轴对称的点B 在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF ＝150°，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是（）A.150°B.300°C.210°D.330°二.填空题7. 已知△ABC 和△A B C '''关于MN 对称，并且AB ＝5，BC ＝3，则A C ''的取值范围是_________.8. 已知点A （a ，2），B （－3，b ）.若A ，B 关于x 轴对称，则a ＝_____，b ＝_____.若A ，B 关于y 轴对称，则a ＝_____，b ＝_________.9. 若点P（a，b）关于y轴的对称点是1P，1P关于x轴对称点为2P，且坐标为2P（－3，4）则a＝________，b＝_______.10.（•南京）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（，）．11. 如图，这是小龙制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC所在的直线为对称轴，且∠A＝32°，∠ACO＝24°，则∠BOC＝________.12. 已知点A（－3m＋3，2m－1）关于y轴的对称点在第三象限，则m的取值范围是_______.三.解答题4 正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两13. 如图，在3种方法分别在下图方格内．．．添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形.14.如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小15. （春•沙坪坝区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】C 项这两个图形有可能相交，D 项是MN 垂直平分AB. 2. 【答案】D ；【解析】解：∵点A （x ﹣y ，x+y ）与点B （5，﹣3）关于y 轴对称，∴，解得：，故选：D ．3. 【答案】D ；【解析】对应线段所在直线的交点一定在对称轴上或平行于对称轴. 4. 【答案】B ；【解析】a ＝3, b ＝－4， a ＋b ＝－1. 5. 【答案】C ； 6. 【答案】B ；【解析】对称轴两边的图形全等，∠AFE ＋∠BCD ＝2（∠AFC ＋∠BCF ）＝300°. 二.填空题7. 【答案】2＜''A C ＜8；【解析】△ABC 和△'''A B C 关于MN 对称，∴△ABC ≌△'''A B C ，''A C 大于两边之差，小于两边之和.8. 【答案】－3，－2； 3, 2；【解析】关于x 轴对称的点横坐标一样，纵坐标相反；关于y 轴对称的点，横坐标相反，纵坐标一样.9. 【答案】3，－4；【解析】1P （－3，－4），P （3，－4）.10.【答案】-2,3；【解析】解：∵点A 的坐标是（2，﹣3），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：（2，3），∵点A′关于y 轴的对称点，得到点A″， ∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．故答案为：﹣2；3．11.【答案】124°；【解析】成轴对称的图形全等，∠BOC ＝180°－32°－24°＝124°. 12.【答案】12m <；【解析】330,210,m m -+>-<解得12m <. 三.解答题 13.【解析】答案不唯一，参见下图.14.【解析】作法如下：作M 点关于OB 的对称点M '，过M '作MH'⊥于OA 于H ，交OB 于P ，点P 为所求.15.【解析】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）连接C 1C 2交直线m 于点P ，则点P 即为所求点．。

初中数学轴对称重难点归纳

初中数学轴对称重难点归纳单选题1、如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有（）个①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的图形．A．1B．2C．3D．4答案：B解析：根据正方体的每个面都是正方形判断②；根据一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形判断④；根据正方体的展开图判断⑤①；根据正方体有六个面，从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，判断③．解：（1）AB、BC、AC均是相同正方形的对角线，故AB=BC=AC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，②错误；（2）用一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形，④错误；（3）正方体的展开图只有11种，⑤正确；（4）正方体的11种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5条边相连，正方体有12条棱，所以要剪12-5=7条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确；（5）正方体有六个面，P点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故从P到C的最短路线有6条；③错误．综上所述，正确的选项是①⑤，故选B小提示：本题考查了正方体的有关知识．初中数学中的典型题型“多结论题型”，判别时方法：①容易判别的先判别，无需按顺序解答；②注意部分结论间存在有一定的关联性．2、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为（）A．50°B．70°C．75°D．80°答案：B解析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，小提示：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3、如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直．．．角．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．4、如图所示，在3×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有()A．6种B．5种C．4种D．2种答案：C解析：轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可．如图所示，所标数字1，2，3，4都符合要求，一共有4种方法.故选C．小提示：本题重点考查了利用轴对称设计图案，需熟练掌握轴对称图形的定义，应该多加练习．5、下列命题中，属于假命题的是（）A．边长相等的两个等边三角形全等B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等C．周长相等的两个三角形全等D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等答案：C解析：根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．6、如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（）A．5cmB．6cmC．7cmD．5cm或6cm答案：D解析：此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边长或5cm是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17−5）÷2＝6（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17−5×2＝7（cm），能够组成三角形．故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm．故选：D．小提示：此题考查了等腰三角形的两腰相等的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．7、如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B 岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形答案：A解析：先根据方位角的定义分别可求出∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°，再根据角的和差、平行线的性质可得∠BAC=45°，∠ABE=100°，从而可得∠ABC=45°，然后根据三角形的内角和定理可得∠C=90°，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．由方位角的定义得：∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=80°−35°=45°由题意得：AD//BE∴∠ABE=180°−∠BAD=180°−80°=100°∴∠ABC=∠ABE−∠CBE=100°−55°=45°∴∠BAC=∠ABC=45°由三角形的内角和定理得：∠C=180°−∠BAC−∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形故选：A．小提示：本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．8、下列命题中，属于假命题的是（）A．边长相等的两个等边三角形全等B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等C．周长相等的两个三角形全等D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等答案：C解析：根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．填空题9、如图，已知O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．答案：100解析：连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．解：连接AO延长交BC于D，∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°．所以答案是：100．小提示：本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．10、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△BPC的面积为 ___cm2．答案：1解析：根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP=PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出S△BPC=12S△ABC，即可求出答案．∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，∴AP=PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP．∵S△ABC=S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC=S△DBP+S△DCP，∴S△BPC=12S△ABC=12×2=1cm2．所以答案是：1．小提示：本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．11、如图，等边△ABC的周长是18，D是AC边上的中点，点E在BC边的延长线上．如果DE＝DB，那么CE的长是_____．答案：3解析：由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E，得出AC=3即可．CD=CE=12∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，∴∠DBE=30°，又DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°，∵等边△ABC的周长为18，∴AC=6，且∠ACB=60°，∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=1AC=3．2故答案为3．小提示：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明CD=CE是解题的关键．12、如图，∠ADC=∠DCF=120°，AD=DC=2CF，若AE=24，则线段CE长为______．答案：8解析：过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质可得AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°，由直角三角形的性质可证DH=CF，由“AAS”可证△DHE≌△FCE，可得EH=EC，即可求解．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵∠ADC=∠DCF=120°，AD=DC，DH⊥AC，∴AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°，∴∠ACF=90°，AD=2DH，∵AD=2CF，∴DH=CF，在△DHE和△FCE中，{∠DEH=∠FEC∠DHE=∠FCE,DH=CF∴△DHE≌△FCE（AAS）∴EH=EC，EC=EH=12CH=12AH∵AE=24，∴EH=EC=8．故答案为8．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．13、把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2，则CD=____．答案：√6−√2．解析：如图，先利用等腰直角三角形的性质求出BC=√2AB=2√2，BF=AF=√2，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．如图，过点A作AF⊥BC于F，在RtΔABC中，∠B=45°，∴BC=√2AB=2√2，BF=AF=√22AB=√2，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2√2，在RtΔADF中，根据勾股定理得，DF=√AD2−AF2=√6，∴CD=BF+DF−BC=√2+√6−2√2=√6−√2，故答案为√6−√2．小提示：此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．解答题14、如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F.求证：AE= AF.答案：见解析解析：根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBF，再根据余角的性质得到∠ABF＋∠AFB＝∠CBF＋∠BED＝90°，再结合题意根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF＋∠AFB＝∠CBF＋∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．小提示：本题考查等腰三角形的判定和性质、余角的性质和角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15、尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）答案：见解析.解析：分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．如图，点P为所作．小提示：本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．。

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A
第十二章轴对称重难点讲解
重要题型讲解题型一：轴对称图形
例1、如图是一个风筝的图案，它是以直线AF 为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定
C
．
直线BG ，CE 的交点在AF 上 D ． △DEG 是等边三角形
例1 图例2 图
例2、（2004•河北）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（） A ．1号袋
B ． 2号袋
C ． 3号袋
D ． 4号袋
题型二坐标系中的轴对称
例3、（2012•大庆）在直角坐标系中，C （2，3），C′（﹣4，3），C″（2，1），D （﹣4，1），A （0，a ），B （a ，O ）（a ＞0）．（1）结合坐标系用坐标填空．
点C 与C′关于点对称；点C 与C″关于点对称；点C 与D 关于点对称；
（2）设点C 关于点（4，2）的对称点是点P ，若△PAB 的面积等于5，求a 值．
例3 图例4图
变式1、已知：如图，已知△ABC，
（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．
题型三线段垂直平分弦的应用
例4在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB，AC的垂直平分线分别交AB于E，BC于M，交AC于F，BC于N，求证：BM=MN=NC
变式2在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC
的周长。

变式3 已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，求证：BF=2CF。

题型四等腰三角行及其应用
例5 已知：△BDE 为等边三角形，∠1=∠2，AD=CE 。

求证：△ABC 为等边三角形。

变式4 如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。

求证：△ABC 是等腰三角形。

例6 △ABC 是等腰三角形，AB=AC, ∠BAC=45°，AD 和CE 是高，它们相交于H ，求证：
AH=2BD
变式5 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，
DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点。

C
E
F
B
D
A E
C M D
B
A
例7 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，OM 与OB 是两坐标轴夹角的三等分线，
点E 是OM 上一点，EC ⊥X 轴于C 点，ED ⊥OB 于D 点，OD=8，OE=10 （1）求证：∠ECD=∠EDC ；（2）求证：OC=OD ；（3）求点E 的坐标；
（4）试判断OE 与线段CD 的位置关系，并说明
理由。

变式6 已知如图（1）：△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥
BC 交AB 、AC 于E 、F 。

①图中有几个等腰三角形？且EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？(不证明)
②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？
如果有，请分别指出它们。

另第①问中EF 与BE 、CF 间的关
系还存在吗？（不证明）
③若△ABC 中，AB ≠AC ，∠B 的平分线与三角形外角∠ACD 的平分线CO 交于O ，过O 点作OE
∥BC 交AB 于E ，交AC 于F 。

如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF 与BE 、CF 间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？
O
F
A E
(2)
B
F O E
A。