全国高等教育自学考试高等数学( 工本)模拟试题
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷13(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．点P(2，1，一1)关于X轴的对称点是( )A．(一2，一1，一1)B．(一2，一1，1)C．(2，一1，一1)D．(2，一1，1)正确答案：D解析：设点P(2，1，一1)关于x轴的对称点是P0(x，y，z)，则P与P0连线的中点为(2，0，0)，所以={2，0，0}，解之得x=2，y=一1，z=1．因此所求对称点的坐标为(2，一1，1)．2．函数f(x，y)=在(0，0)点( )A．不连续B．连续C．可微D．偏导数存在正确答案：B解析：故f(x，y)在(0，0)点连续．3．设D是平面上以A(1，1)，B(一1，1)和C(一1，一1)为顶点的三角形，D1是它的第一象限部分，则(xy+cos xsin y)dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：积分区域如右图所示，连结BO，把D分成D2∪D3，因D2关于y轴对称，被积函数xy对x为奇函数，故又D2关于x轴对称，被积函数xy+cos xsin y为y的奇函数，故4．若某二阶常系数微分方程的通解为y=C1e-x+C2，则该微分方程为( )A．y”+y’-2y=0B．y”+2y’=0C．y”+y’=0D．y”-y’一2y=0正确答案：C解析：y”+y’=0的特征方程为r2+r=0，故r1=0，r2=一1，故通解为y=C1e-x+C2．5．设0≤un≤vn(n=1，2，…)，且无穷级数( )A．发散B．无法判断C．条件收敛D．绝对收敛正确答案：A解析：vn≥un≥0，由比较判别法，填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
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6．若向量a，b，c两两的夹角都为，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=_______正确答案：5解析：只需求出|a+b+c|2．设向量a与b的夹角为θab，则．由已知条件|a|=2，|b|=1，则 a.b=|a|.|b|.cosθab=同理 a.c=3，b.c=于是|a+b+c|2=(a+b+c).(a+b+c)=a2+b2+c2+2a.b+2a.c+2b.c=25，即|a+b+c|=5．7．Oxy坐标面上的椭圆绕y轴旋转所形成的旋转面的方程是_______．正确答案：解析：由教材知．绕y轴旋转时y保持不变。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷42(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷42(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
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1．比较I1＝的大小，其中D：1≤x≤2，0≤y≤1，则（）A．I1＜I2B．I1＝I2C．I1≤I2D．无法比较正确答案：C解析：由积分区域D：1≤x≤2，0≤y≤1，可得1≤x＋y≤3，则x＋y≤(x ＋y)2．由二重积分的单调性得，．2．设f(x，y)是连续函数，则累次积分f(x，y)dx＝（）A．B．C．D．正确答案：A解析：由外层积分可知0≤y≤1，由内层积分可知y－l≤x≤，即积分区域在直线y－1＝x与圆x2＋y2＝1（x＞0，y＞0）之间，积分区域如下图所示3．Ω为半球x2＋y2＋z2≤1，z≥0，则三重积分（）A．B．C．D．正确答案：D解析：由球面坐标下三重积分的计算公式可得由Ω为半球x2＋y2＋z2≤1，z≥0可知，0≤r≤l，0≤φ≤π／2，0≤Θ≤2π．于是．4．L是抛物线y＝x2－1从A(－1，0)到B(1，0)的一段，则曲线积分＝（）A．?4／3B．4／3C．-1D．1正确答案：B解析：由L：y＝x2－1，－1≤x≤1，得dy＝2xdx，则5．设Ω是平面x＋y＋z＝1与三个坐标面围成的四面体，则（）A．1／8B．1／3C．1／24D．1正确答案：C解析：区域Ω(如下图所示)为填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
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6．设α＝{11，－2，7)，β＝(3，2，0}，则α－3β＝____________正确答案：{2，－8，7}解析：α－3β＝{11，－2，7}－3{3，2，0}＝{2，一8，7}．7．Oxy平面上的抛物线y2＝4x绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是____________正确答案：y2＋z2＝4x解析：Oxy平面上的抛物线y2＝4x的对称轴为x轴，因此所求旋转曲面方程为)2＝4x，即y2＋z2＝4x．8．过点P(－1，3，4)并且平行于Oyz平面的平面方程为____________正确答案：x＋1＝0解析：因为所求平面平行于(Oyz平面，故可设其方程为Ax＋D＝0，又因平面过点P（－1，3，4），将点P代入平面方程得D＝A，即所求平面方程为x＋1＝0．9．若z＝，则＝____________正确答案：解析：因为z＝，则，即．10．设函数u＝x2＋y2－exy，则全微分du＝____________正确答案：（2x－yexy）dx＋（2y－xexy）dy解析：∵＝2x－yexy，＝2y－xexy，∴du＝(2x－yexy)dx＋(2y－xexy)dy．计算题11．求过点(－1，1，－2)并且与平面2x－y＋z－3＝0和平面x－y＝0都平行的直线方程正确答案：两平面的法向量分别为n1＝（2，－1，1），n2＝（1，－1，0），则所求直线的方向向量v＝n1×n2＝＝｛1，1，－1｝，故所求的直线方程为（x＋1）／1＝（y－1）／1＝（z＋2）／－1．12．设函数z＝arctan（x／y），求正确答案：＝1／y／1＋（x／y）2＝y／x2＋y2，＝x2＋y2－2y2／（x2＋y2）2＝x2－y2／（x2＋y2）2．13．求函数f(x，y，z)＝x2＋y2＋z2－xyz在点P(1，－1，2)处沿方向L＝{1，0，1｝的方向导数正确答案：＝2x－yz，＝2y－xz，＝2z－xy，则有14．设函数z＝ln(x2＋y2)－sinxy，求全微分dz正确答案：Zx＝2x／（x2＋y2）－ycosxy，Zy＝2y／（x2＋y2）－xcosxy，于是dz＝Zxdx＋Zydy＝［2x／（x2＋y2）－ycosxy］dx＋［2y／（x2＋y2）－xcosxy］dy．15．求椭圆锥面z2＝x2＋y2在点(1，1，1)处的法线方程正确答案：令F(x，y，z)＝x2＋y2－z2，则Fx＝2x，Fy＝2y，Fz＝－2z，于是Fx｜（1，1，1）＝－2，Fy｜（1，1，1）＝2，Fz｜（1，1，1）＝－2，故所求法线方程为（x－1）／2＝（y－1）／2＝（z－1）／－2，即x－1＝y－1＝1－z．16．已知积分区域D是由x＝－1，y＝1,y－x＝1所围成的闭区域，求二重积分正确答案：积分区域D，如下图所示，则17．计算三重积分，其中积分区域Ω由y＝，y＝0，z ＝0及x＋y＋z＝π／2所围成的区域正确答案：积分区域Ω如下图所示，故18．计算对弧长的曲线积分，其中L是(0，0)到(1，3)之间的直线段正确答案：直线段L的方程为y＝3x，其中0≤x≤1，于是．19．求对坐标的曲线积分，其中L是x ＝0,y＝0,x＋y＝1所围成的正向边界曲线正确答案：令P(x，y)＝(x＋y)2，Q(x，y)＝－（x2＋y2），则＝2（x＋y），＝－2x．记L所围成的积分区域为D如上图所示，故有20．设函数f(x)满足f?(x)＋2f?(x)－3f(x)＝2ex，求微分方程的一个特解函数f(x)正确答案：此方程是二阶常系数非齐次微分方程，其中f(x)＝2ex，属于e λxPm(x)型（λ＝1，m＝0），则该方程所对应的的齐次方程的特征方程为r2＋2r－3＝0，解特征根为r1＝－3，r2＝1，所以λ＝1是对应齐次方程的特征根，且为单根．故设其特解为f(x)*＝b0xex则f(x)*?＝b0ex＋b0xex，f(x)*”＝b0ex ＋b0ex＋b0xex＝2b0ex＋b0xex，代入微分方程得b0＝1／2，于是原微分方程的一个特解f(x)＝1／2xex．21．判定级数(1／3＋1／2)＋(1／9＋1／4)＋…＋(1／3n＋1／2n)＋…的敛散性正确答案：令un＝1／3n，vn＝1／2n，级数为等比级数，公比q＝1／3＜1，故级数收敛．级数（其中k＝1／2），因级数发散，故发散，故原级数发散．22．求幂级数的收敛区间正确答案：因为ρ＝所以收敛半径R ＝27．当x±27时，·（±27）n，则＝3n·n！·3n·n！·3n·n！／（3n）！＞1故≠0，即x＝±27时级数发散故原级收敛区间为（－27，27）．综合题23．求函数f(x，y)＝2x2－2xy＋y2－2x－2y＋4的极值正确答案：解得驻点（2，3），由于fxx＝4，fxy＝－2，fyy＝2，于是△＝f2xy－fxxfyy＝（－2）2－4×2＝－4＜0，A＝4＞0，则点（2，1）是极小值点，故函数的极小值为f（2，1）＝－1．24．设曲线y＝f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为y／x，且该曲线经过点(1，2)，求该曲线的方程正确答案：有题意可知y?＝y／x，分离变量dy／y＝dx／x，两边同时积分得lny＝lnx＋lnC，即y＝Cx．由y(1)＝2得C＝2，故所求曲线方程为y＝2x．25．将函数f(x)＝arctanx展开为x的幂级数正确答案：因为f?(x)＝1／（1＋x）2所以f(x)。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷6(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
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1．二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数fx(x0，y0)和fy(x0，y0)存在，是f(x，y)在该点连续的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充分且必要的条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：D解析：本题考查二元函数偏导数的应用．由函数在某点连续的定义知，f(x0，y0)和fy(x0，y)存在不能保证(x，y)＝f(x0，y0)，故fx(x0，y0)和fy(x0，y0)存在不是f(x，y)在该点连续的充分条件，也不是其必要条件．答案为D．2．设函数f(x，y)＝x＋y，则f(x，y)在点(0，0)处( )A．取得极大值为0B．取得极小值为0C．连续D．间断正确答案：C解析：根据二元函数的连续性定义，＝0＋0＝0＝f(0，0)，由上式可知f(x，y)在点(0，0)处连续．答案为C．3．设f(u)是连续函数，D是由曲线y＝x3，直线x＝－1，x＝1及x轴围成的闭区域，D1是D的第一象限部分，则二重积分[x＋yf(x2＋y2)]dσ为( )A．0B．[x＋yf(x2＋y2)]dσC．[cosθ＋sinθf(r2)]drdθD．yf(x2＋y2)dσ正确答案：A解析：本题考查二重积分的计算．由于D关于原点对称，z＋yf(x2＋y2)在对称点的值互为相反数，所以(x＋yf(x2＋y2)]dσ＝0．答案为A．4．微分方程y”－2y’＋3y＝5e2x的一个特解为( )A．B．C．2e2xD．正确答案：B解析：∵由于λ＝2不属于特征方程r2－2r＋3＝0的根∴设特征值为y*＝Ae2x y*’＝(Ae2x)’＝2Ae2x y*”＝(Ae2x)”＝4Ae2x 将它们代入原方程得：4Ae2x－2(2Ae2x)＋3Ae2x＝5e2x 3Ae2x＝5e2x 即．∴．答案为B．5．设un≠0(n＝1，2，3…)，且A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．无法判断正确答案：C解析：本题考查级数敛散性的判定．∵，∴在n→∞时，等同于级数，故该级数收敛，但为调和级数，不收敛，故条件收敛．答案为C．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷47(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷47(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
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1．在空间直角坐标系中，方程z＝x2＋y2的图形是（）A．椭球面B．球面C．椭圆抛物面D．椭圆锥面正确答案：C2．设函数z＝sin(x＋y)，则（）A．cos(x＋y)B．－cos（x＋y）C．sin(x＋y)D．－sin（x＋y）正确答案：A3．设∑为半球面x2＋y2＋z2＝1，z＜0，则对面积的曲面积分＝（）A．4πB．2πC．3πD．π正确答案：B解析：z＝，则dS＝，曲面∑在Oxy面上的投影为x2＋y2≤1，所以4．微分方程dy＝(x2＋y－1)dx是（）A．可分离变量的微分方程B．二阶线性微分方程C．一阶线性微分方程D．齐次微分方程正确答案：C5．幂级数x＋x2／22＋…＋xn／n2的收敛半径R＝（）A．0B．2C．＋∞D．1正确答案：D解析：令an＝1／n2，则an＋1＝1／（n＋1）2，因此故幂级数的收敛半径为1．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
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6．在空间直角坐标系中，Oxy平面上的曲线绕y轴旋转的旋转曲面方程为____________正确答案：y＝解析：曲线绕y轴旋转，则y不变，将x换成，从而得旋转曲面的方程为．7．设函数z＝u·v，u＝x＋y，v＝x－y，则＝____________正确答案：2x解析：v·1＋u·1＝x＋y＋x－y＝2x．8．设二次积分I＝，则交换积分次序得I＝____________正确答案：解析：将区域D分成两个小区域D1与D2，如下图所示．即D＝D1＋D2故I9．微分方程y?＋(y?)3－2x4＋2＝0的阶数是____________正确答案：210．设f(x)＝xln(1＋x)展成x幂级数为，则系数a2＝____________ 正确答案：－1／2解析：由ln（1＋x）＝得xln（1＋x）＝则a2＝－1／2．计算题11．求过点(2,4,－1)并且与直线，平行的直线方程正确答案：直线的方向向量为v＝＝｛10，2，11｝，因为所求的直线过（2，4，－1），故起方程式为（x－2）／10＝（y－4）／2＝（z＋1）／11．12．设函数z＝f(exy，x＋y)，其中f是可微函数，求正确答案：＝f1（exy）?＋f2（x＋y）?＝yexy f1＋f2，＝f1（exy）?＋f2（x＋y）?＝xexy f1＋f2．13．设函数f(x，y，z)＝x2＋2y2＋2xyz，求f(x，y，z)在点p(－1，1，2)处的梯度正确答案：＝2x＋2yz，＝4y＋2xz，＝2xy，则｜（－1，1，2）＝－2＋2×2＝2，｜（－1，1，2）＝4－2×2＝0，｜（－1，1，2）＝－2，故gardf(－1，1，2)＝｛2，0，－2｝．14．设函数z＝ycosx，求正确答案：＝－ysinx，＝－sinx．15．求曲面z＝2x2＋y2在点(1，1，3)处的切平面方程正确答案：令F(x，y，z)＝2x2＋y2－z，Fx｜（1，1，3）＝4x｜（1，1，3）＝4，Fy｜（1，1，3）＝2y｜（1，1，3）＝2，Fz＝－1，故所求切平面方程为4（x－1）＋2（y－1）－（z－3）＝0．16．计算二重积分，其中D是由x＋y＝－1，x＝0，y ＝0。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷4(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．已知f(x，y)在点(x0，y0)的偏导数存在．则下列结论正确的是( ) A．f(x，y)在(x0，y0)点连续B．f(x，y)在(x0，y0)点可微C．函数f(x，y0)在x＝x0点连续D．f(x，y)在(x0，y0)点有任意方向的方向导数正确答案：C解析：根据多元函数的连续、可导、可微之间的关系可知A、B是错误的．对于C，因F(x)＝F(x，y0)是关于x的一元函数，从而F’(x0)＝fx(x0，y0)是存在的，因此一元函数F(x)＝f(x，y0)在x＝x0处是连续的．从而C是正确的．对于D，我们知道，如果f(x，y)在点(x0，y0)可微，则在点(x0，y0)处沿任意方向的方向导数都存在．但两个偏导数存在并不意味着可微，所以此结论的正确性是有疑问的．事实上，对于函数f(x，y)＝，可以证明在原点的两个偏导数都为零，但是沿方向{1，1}的方向导数不存在．答案为C．2．极限＝( )A．B．C．D．π正确答案：A解析：.答案为A．3．设D由圆r＝2围成，则＝( )A．B．4πC．D．π正确答案：C解析：本题考查二元积分的计算．积分区域D由圆r＝2围成，令x＝rcosθ，y＝rsinθ则答案为C．4．以y＝sin3x为特解的微分方程为( )A．y”＋y＝0B．y”－y＝0C．y”＋9y＝0D．y”－9y＝0正确答案：C解析：由题可知：特征根r＝±3i 故r2＋q＝0 故所求微分方程为y”＋qy ＝0．答案为C．5．设an＞0，(n＝1，2，3，…)，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．发散B．发散C．发散D．收敛正确答案：D解析：本题考查级数的敛散性．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷9(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
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1．过点(0，2，4)且与平面x＋2z＝1及y－2z＝2都平行的直线是( ) A．B．C．D．－2x＋3(y－2)＋z－4＝0正确答案：C解析：设直线的方向向量v＝{x，y，z}．则：又该直线过(0，2，4)点∴直线方程为：．答案为C．2．若fx(x0，y0)＝fy(x0，y0)＝0，则点(x0，y0)一定是函数f(x，y)的( ) A．驻点B．极大值点C．极小值点D．极值点正确答案：A解析：由复合函数驻点定义，若fx(x0，y0)＝fy(x0，y0)则(x0，y0)为f(x,y)驻点．答案为A．3．设区域D由圆x2＋y2＝2ax(a＞0)围成，则二重积分＝( )A．B．C．D．正确答案：D解析：积分区域如下图所示：在坐标下令x＝rcosθ，y＝rsinθ答案为D．4．下列微分方程中为线性微分方程的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：根据线性微分方程定义：线性是指方程关于未知函数y及其导数dy ／dx都是一次的，故只有B项满足条件．答案为B．5．下述各项正确的是( )A．若收敛B．若都收敛C．若正项级数收敛，则un≤vnD．若级数收敛，且un≤vn，则级数也收敛正确答案：A解析：本题考查级数敛散性的应用．答案为A。
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6．设f(x，y)＝ln(x2＋y2)，g(x，y)＝e(x＋y)，则f[x2，g(x，y)]＝_______．正确答案：ln(x4＋e2x＋2y)解析：f[x2，g(x，y)]＝f[x2，e(x－y)]＝ln(x4＋e2(x＋y))＝ln(x4＋e2x＋2y)．7．设处的值为_______．正确答案：解析：8．由曲面围成的闭区域Ω上的三重积分(x，y，z)dv等于用球面坐标表示的(积分顺序为r，φ，θ的)三次积分为_______．正确答案：解析：因为Ω＝{r，θ，φ)|1≤r≤2，0≤θ≤2π，0≤φ≤)，由Ω在yOz平面的投影区域如下图阴影部分所示知(0≤P≤)，9．设∑是球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞0)的内侧，则曲面积分(x2＋y2＋z2)dydz＝_______．正确答案：0解析：将∑分为两部分，∑1：前半球面，取后侧；∑2：后半球面，取前侧．∑1和∑2在Oyz面的投影区域为D．10．微分方程xdy—ydx＝y2eydy的全部解为________．正确答案：x＋yey＝Cy及y＝0解析：y＝0是所给微分方程的解，下面考虑y≠0，将所给微分方程改写为所以，所给微分方程的全部解是及y＝0，即x＋yey＝Cy及y＝0．计算题11．设平面π经过点P1(4，2，1)和P2(－2，－3，4)，且平行于y轴，求平面丌的方程．正确答案：设平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0 ∵点P1和P2在平面上∴∵平面平行于Y轴∴{A，B，C)⊥{0，1，0) 即：B＝0 ③联立①②③得：所以所求平面方程为x＋2z—6＝0．12．求直线的对称方程．正确答案：由直线方程，直线的方向向量为{－5，－3，3)×{3，－2，1) ＝＝{3，4，－1} 令z＝1，可得x＝12，y＝18，即直线过点(12，18，1) 则直线的对称方程为．13．求椭球面x2＋2y2＋z2＝4在点(1，－1，1)处的切平面方程和法线方程．正确答案：设F(x，y，z)＝x2＋2y2＋z2－4 ∵∴在点(1，－1，1)处切平面的法向量为，n＝{2，－4，2) 所以所求切平面方程为2(x－1)－4(y＋1)＋2(z－1)＝0 即：x－2y＋z－4＝0 所求法线方程为．14．设二元函数z＝z(z，y)由方程z＝x＋yez确定，求。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷50(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设函数f(1／y，1／x)＝（x＋y）／（x－y），则f(x，y)＝（）A．（x＋y）／xyB．（x＋y）／x－yC．（x－y）／（x＋y）D．xy／（x＋y）正确答案：B解析：令m＝1／y，n＝1／x，即y＝1／m，x＝1／n，则有f(m，n)＝（1／n＋1／m）／1／n－1／m＝（m＋n）／m－n，即f(x，y)＝（x＋y）／x－y，故B选项正确．2．设函数f(x，y)＝x3＋y3，则点(0，0)是f(x，y)的（）A．极小值点B．间断点C．极大值点D．连续点正确答案：D3．设积分区域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2，则二重积分的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不确定正确答案：C解析：积分区域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2（如下图所示），区域D关于x轴对称，被积函数f(x，y)＝y是关于y的奇函数，故原积分为零．4．微分方程dy／dx＝（x2＋y2）／xy是（）A．齐次微分方程B．可分离变量的微分方程C．一阶线性齐次微分方程D．一阶线性非齐次微分方程正确答案：A解析：将（x2＋y2）／xy的分子分母同时除以x2，得dy／dx＝［1＋（y／x）2］／y／x，上式符合齐次微分方程的形式，故选A5．幂级数的和函数为（）A．ln(1＋x)B．arctanxC．ln(1－x)D．arctan(－x)正确答案：C解析：因为幂级数ln（1＋x）＝所以ln（1－x）＝故选C填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．区域Ω是由平面z＝0，x2＋y2＋z2＝1(z≤0)所围成的闭区域，则____________正确答案：2／3π解析：．7．二重积分____________正确答案：4解析：（x＋2y）dy＝（4－2x）dx＝4．8．设D是由x2＋y2＝1(y＞0)，y＝0所围成的区域，则____________正确答案：0解析：此时积分区域D(如下图所示)关于y轴对称，被积函数xy关于x是奇函数，从而9．设L是抛物线x2＝y2上是O(0，0)与A(1，1)之间的一段弧，则____________正确答案：解析：曲线L如下图所示，y∈［0，1］10．设L是圆x2＋y2＝1，取逆时针方向，则____________正确答案：0解析：令P(x，y)＝(x＋y)2，Q(x，y)＝－(x2＋y2)，则＝－2x，＝2（x＋y）将L所围成的闭区域记为D，根据格林公式有(x＋y)2dx－(x2＋y2)dy ＝（－2x－2x－2y）dxdy＝（4x＋2y）dxdy＝（2rcosΘ＋rsinΘ）rdr＝（2cosΘ＋sinΘ）dΘ＝－2／／3（2sinΘ－cosΘ）＝0．计算题11．设平面π经过点P(5，3，－2)，且平行于平面π1：x＋4y－3z－11＝0，求平面π的方程正确答案：平面π1的法向量为{1，4，－3}，所求平面π平行于平面π1，于是其点法式方程为(x－5)＋4(y－3)－3(z＋2)＝0，即x＋4y－3z－23＝0．12．求过点P(1，0，7)且与平面x－z＝10和y＋2z＝3都平行的直线方程正确答案：两平面的法向量分别为n1＝{1，0，－1}，n2＝{0，1，2}．设所求直线的方向向量为v，由于直线与两平面都平行，所以v⊥n1且v⊥n2，v＝n1×n2＝＝{1，－2，1}，又直线过点P（1，0，7），则其对称式方程为（x－1）／1＝y／－2＝（z－7）／1．已知直线L1：和直线L2：（x－3）／4＝y／－2＝（z＋5）／113．求出直线L1的对称式方程；正确答案：直线L1的方向向量为v1＝＝{－28，14，－7}＝－7{4，－2，1}，令z＝1，则方程组变为，解之得x＝2，y＝－3．所以点（2，－3，1）在直线上．故直线L1的对称式方程为x－2／4＝y＋3／－2＝z－1／1．14．求直线L1和直线L2的夹角．正确答案：直线L2的法向量为v2＝{4，－2，1}，显然v1∥v2，从而直线L1和直线L2互相平行，即夹角Θ＝0．15．已知平行四边形的3个顶点A(3，－4，7)、C(1，2，－3)和D(9，－5，6)，求与顶点D相对的第4个顶点B正确答案：取O点为AC的中点，则O点的坐标为(1＋3／2，－4＋2／2，7－3／2)，即O(2，－1，2)．则O点也是BD的中点，设B(x，y，z)，有164解之得x＝－5，y＝3，z＝－2．故所求B点坐标为(－5，3，－2)．16．设α、β都是非零向量，且满足关系式｜α－β｜＝｜α＋β｜，证明α·β＝0正确答案：由于｜α－β｜＝｜α＋β｜，故｜α－β｜2＝｜α＋β｜2．即(α－β)(α－β)＝(α＋β)(α＋β)．α·α－α·β－β·α＋β·β＝α·α＋α·β＋β·α＋β·β．即α·α＋β·β－2(α·β)＝α·α＋β·β＋2(a·β)．又因α，β均为非零向量，要使上式成立，必有α·β＝0．17．设曲线方程为求它在三个坐标面上的投影曲线正确答案：将原方程化为消去z，联立z＝0，得曲线在Oxy平面上的投影曲线消去y，联立y＝0，得曲线在Oxz平面上的投影曲线消去x，联立x＝0，得曲线在Oyz平面上的投影曲线18．设z＝f（x＋y，exy），f是可微函数，求正确答案：设z＝f(u，v)，u＝x＋y，v＝exy，则求下列函数的定义域：19．z＝正确答案：令2x－x2－y2＞0得（x－1）2＋y2＜1．故定义域D＝{(x，y)｜(x－1)2＋y2＜1)，为一圆内部的区域(不包括边界)．20．z＝＋ln(x＋y)；正确答案：D＝{(x，y)｜x＞0且x＋y＞0)．21．z＝arcsin(x－2y)．正确答案：D＝{(x，y)｜－1≤x－2y≤1}．22．在所有周长等于6的直角三角形中，求出斜边最小的三角形正确答案：设直角三角形的两直角边为x，y，斜边为z，则有构造拉格朗日函数L(x，y)＝＋λ（x＋y＋z－6）＝（1＋λ）＋λ（x＋y－6），解方程组当λ＝－1时，方程组的前两个式子都不成立，故λ≠－1．解得x＝y＝3(2－)．由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为3(2－)时，斜边最小．23．求函数u＝[*]在点(1，2，1)处的梯度正确答案：gardu（1，2，1）＝｛e6，2e6，2e6｝．24．求函数u(x，y，z)＝x2＋2xy＋z2在点P(1，2，0)处沿方向l＝?2，－1，2?的方向导数正确答案：因为＝2x＋2y，＝2x，＝2z，cosα＝2／3，cosβ＝－1／3，cosy＝2／3．所以＝10／3．25．求空间曲线L：x＝31nΘ，y＝2sinΘ，z＝Θ，(一∞＜Θ＜＋∞)在点P(3lnπ，0，π)处的法平面方程及切线正确答案：x?(Θ)＝3／Θ，y?(Θ)＝2cosΘ，z?(Θ)＝1，于是点P（3lnπ，0，π）处的法平面方程为x?（π）（x－3lnx）＋y?（π）y＋z?（π）（z－π）＝0，即3（x－3lnx）／π－2y＋z－π＝0．点P(3lnx，0，π)处的切线方程为（x－3lnπ）／x?（π）＝y／y?（π）＝（z－π）／z?（π），即π（x－3lnπ）／3＝y／－2＝（z－π）／1．综合题26．在xy平面上求一点，使它到三直线x＝0，y＝0，2x＋y－6＝0的距离平方和最小正确答案：设所求点为(x，y)，该点到三直线的距离平方和为z＝x2＋y2（2x＋y－6）2／5由得驻点（6／5，3／5）由于Zxx＝15／8＞0，Zyy＝12／5，则△＝Z2xy－ZxxZyy＝16／5－18／5·12／5＜0，因此（6／5，3／5）是z的极小值点．由实际意义知，在点（6／5，3／5）处z 取得最小值．27．求曲面z＝xy包含在圆柱x2＋y2＝1内部分的曲面面积S正确答案：设所求曲面∑面积为S，该曲面在Oxy坐标面上的投影D：x2＋y2≤1．28．将函数f(x)＝ln(1＋x)展开成(x－1)的幂级数正确答案：对原函数求导f?(x)＝1／（1＋x）1／（1＋x）＝1／2·1／1－［－（x－1）／2］＝1／2［－（x－1）／2］n｜（x－1）／2｜＜1＝（－1）n（x－1）n／2n＋1，｜x－1｜＜2对上式等式两边积分f(x)＝ln（1＋x）＝｜x－1｜＜2．。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷48(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷48(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系中，方程3y－4z＝0的图形是（）A．垂直于x轴的平面B．平行于x轴的直线C．通过原点的直线D．通过x轴的平面正确答案：D2．若函数f(x，y)在(x0，y0)点存在偏导数，且在该点取得极小值，则下列结论正确的是（）A．一定是最小值点B．一定是驻点C．一定是最大值点D．无法判断正确答案：B解析：偏导存在极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点；极值点不一定是最值点．3．设f(x)是连续函数，区域D：x2＋y2≤4，则二重积分＝（）A．B．C．D．正确答案：A解析：4．微分方程y?－2y?＋y＝0的通解y＝（）A．C1ex。
B．(C1cosx＋C2sinx)exC．(C1＋C1x)exD．C1sinxex正确答案：C解析：微分方程y?－2y?＋y＝0的张、特征方程为r3－2r＋1＝0，故微分方程的特征根r1＝r2＝1，故微分方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex．5．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（）A．B．C．D．正确答案：C解析：对于选项A由于，故此级数发散；对于选项B，由于也发散；对于选项D，由于，故选项D也发散；选项C故397收敛．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．过点(1，4，－1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为____________正确答案：x－1＝0解析：因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其方程为Ax＋D＝0，又因为该平面过点（1，4，－1），所以A＋D＝0，即A＝－D，因此所求平面方程为x－1＝0．7．设函数z＝exy(x2＋y－1)，则＝____________正确答案：exy（x2y＋2x＋y2－y）解析：函数z＝exy（x2y＋2x＋y－1），则＝yexy（x2＋y－1）＋exy（2x）＝exy（x2y＋y2－y）＋2xexy＝exy（x2y＋2x＋y2－y）8．设∑为平面x＋y＋z＝1，第一卦限中的部分，则对面积的曲面积分＝____________正确答案：解析：9．已知y1＝ex，y2＝x2是微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)的两个特解，则Q(x)＝____________正确答案：（x2－2x）ex／x2－ex解析：将y1＝ex，y2＝x2代入微分方程y’＝P(x)y＝Q(x)得解方程组得Q(x) ＝（x2－2x）ex／x2－ex．10．无穷级数1／1·6＋1／6·11＋…＋1／［（5n－4）（5n＋1）］＋…的和为____________正确答案：1／5解析：Sn＝1／1·6＋1／6·11＋…＋1／（5n－4）（5n＋1）＝1／5（1－1／6＋1／6－1／11＋…＋1／5n?4?1／5n＋1）＝1／5（1－1／5n＋1）．1／5（1－1／5n＋1）＝1／5．故所求无穷级数的和为1／5．计算题11．设平面π1：2x－y＋z－7＝0和平面π2：x＋y＋2z－11＝0，求π1和π2的夹角正确答案：设两平面的夹角为Θ，由于两平面的法向量分别为n1＝｛2，－1，1｝，n2＝｛1，1，2｝，故即两平面的夹角Θ＝π／3．12．求曲面z＝arctan（y／x）＋x－y在点(1，1，π／4)处的切平面方程正确答案：Zx＝则Zx （1，1）＝1／2，Zy（1，1）＝－1／2，故所求切平面方程1／2（x－1）－1／2（y－1）－（z－π／4）＝0．13．设方程z2＋xyz－exy＝1确定函数z＝z(x，y)，求正确答案：令F（x，y，z）＝z2＋xyz－exy－1，则14．求函数f(x，y)＝ln(x2y＋x)的梯度gradf(x，y)正确答案：Fx＝（2xy＋1）／x2y＋x，fy＝x2／x2y＋x＝x／xy＋1，故gardf(x，y)＝［（2xy＋1）／x2y＋x，x／xy＋1］．15．计算积分正确答案：16．已知积分区域Ω是由x2＋y2＝1，z＝－1及z＝1所围成，求三重积分正确答案：17．计算对坐标的曲线积分，其中L为从(1，1，1)到(3，4，5)的直线段正确答案：由题意知，直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝1＋3t，z＝1＋4t（0≤t≤1），故18．计算对坐标面的曲面积分，其中∑是柱面x2＋y2＝1(0≤z≤1)外侧正确答案：积分区域，如下图所示，利用柱坐标变换．令x＝cosΘ，y＝sinΘ，0≤z≤1．19．求微分方程y?－2y?＋y＝0的通解正确答案：微分方程的特征方程为r2－2r＋1＝0，则其特征根为r1＝r2＝1，故所求通解为y＝（C1＋C2x）ex．20．求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于x＋3y＝1，且点(1，2)在该曲线上正确答案：由题意知y?＝－1／3，所以y＝－1／3＋C．又因为点（1，2）在该曲线上，故有C＝2＋1／3＝7／3，因此所求方程为y＝－1／3x＋7／3即3y＋x＝7．21．判断级数的敛散性正确答案：因此该级数收敛．22．设函数f(x)＝的傅里叶级数展开式为求系数a3正确答案：an＝故a3＝－2／9π．综合题23．求曲面x2＋y2＋z＝4将球体x2＋y2＋z2≤4z分成两部分的体积之比正确答案：由得z＝1，z＝4（两曲面的切点），两曲面的交线为如下图所示，两曲面所交的体积为V1和V22．V2＝4／3π·23－37／6π＝27／6π．故V1／V22＝37／27．24．计算，其中∑是圆锥曲面z2＝x2＋y2平面z＝0和z＝2所围成的区域的外侧正确答案：由∑区域(如下图所示)是封闭曲面，故．25．求旋转抛物面z＝x2＋y2被平面z＝2和z＝0所截部分的曲面面积正确答案：曲面Oxy平面上的投影区域D(如下图所示)：x2＋y2≤2，且＝2x，＝2y．设所要求的曲面面积为S，则。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷15(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．点(7，2，一1)到平面2x一3y一6z+7=0的距离( )A．3B．6C．一3D．一6正确答案：A解析：2．设函数f(x，y)的二重极限，则( )A．B．C．D．正确答案：C解析：累次极限存在，表明其对应的P(x，y)→P0(x0，y0)的路径为二重极限f(x,y)的P→P0各种路径中的一条，所以，3．设f(u)是连续函数，区域D：x2+y2≤1，则二重积分= ( )A．2π∫01f(r)drB．2π∫01f(r2)drC．4π∫01rf(r)drD．2π∫01rf(r)dr正确答案：D解析：4．微分方程dy=(x2+y-1)dx是( )A．齐次微分方程B．可分离变量的微分方程C．一阶线性微分方程D．二阶线性微分方程正确答案：C解析：原方程可化为y’一y=x2-1，所以为一阶线性微分方程．5．下列级数中，只是条件收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．二重积分，其中D由x=2，y=x，xy=1围成．正确答案：解析：7．设积分区域D：x2+y2≤1，则二重积分在极坐标下化为二次积分为_______.正确答案：∫02πdθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr解析：由积分区域，x2+y2≤1，即r2cos2θ+r2sin2θ≤1，r2≤1，故r≤1．8．区域Ω是由平面z=0，x2+y2+z2=1(z≤0)所围成的闭区域，则正确答案：解析：9．设L是圆周x2+y2=a2顺时针方向的周界，则正确答案：2πa2解析：因P=y，Q=一x，故由格林公式10．设向量场u(x，y，z)=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k，则u在点(1，2，1)处的散度divu=______．正确答案：8解析：P=x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy，计算题11．从点A(2，一2，1)沿a=(2，一10，11)的方向取长度为45的线段AB，求点B的坐标．正确答案：由x一2=6，y+2=一30，z一1=33，得所求点B的坐标是(8，一32，34)．12．求曲面z=处的切平面方程．正确答案：13．求函数u=x+y2+yz在曲线x=t，y=t2，z=t3上点(1，1，1)处，沿曲线在该点的切线正方向的方向导数．正确答案：切向量T=(t，2t，3t2)|(t,1)=(1，2，3)，e=，grad u|(1,1,1)=(1，2y+z，y)|(1,1,1)=(1，3，1)．所求方向导数为14．求z=x2ey+(x一1)arctan在点(1，0)处的一阶偏导数，全微分．正确答案：dz|(1,0)=2dx+dy．15．求函数f(x，y)=x3一4x2+2xy—y2一1的极值．正确答案：函数有两个极值f(0，0)=1，f(2，2)=一3分别为极大值与极小值．16．计算其中D是由直线x=一2，y=0，y=2及曲线所围成的平面区域．正确答案：积分区域如右图所示．17．计算由(x+y)2+z2=1，z≥0，x≥0，y≥0所围成的体积．正确答案：18．计算积分(2xy一x2)dx+(x+y2)dy；其中L是由抛物线y2=x和y=x2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性．正确答案：19．计算xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑为上半球体x2+y2≤a2，0≤z≤的表面外侧．正确答案：20．求微分方程的通解．正确答案：线性微分方程的特点是其中的未知函数及其导数都是一次方，本题中的y及其导数y’都是一次方，故为一阶线性微分方程．原方程变形为Q(x)=一x，按一阶线性微分方程的通解公式得所以原方程的通解为y=x2(一ln|x|+C)．21．求幂级数的收敛区间．正确答案：22．判断级数的敛散性．正确答案：设级数部分和数列为{Sn}，则即该级数的部分和Sn有界，由正项级数收敛的充要条件知该级数收敛．综合题23．将函数f(x)=展开为x+4的幂级数，并求此级数的收敛域．正确答案：24．求幂函数的收敛半径和收敛区间．正确答案：则对任意的x都有故级数的半敛半径R=+∞，收敛域为(一∞，+∞)．25．验证在整个Oxy平面内(x2+2xy+y2)dx+(x2+2xy一y2)dy是某个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个u(x，y)．正确答案：令P(x，y)=x2+2xy+y2，Q(x，y)=x2+2xy—y2，所以(x2+2xy+y2)dx+(x2+2xy—y2)dy是某个二元函数u(x，y)的全微分．故u(x，y)=∫(0,0)(x,y)(x2+2xy+y2)dx+(x2+2xy—y2)dy =∫0xx2dx+∫0y(x2+2xy-y2)dy=。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷17(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷17(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数f(x，y)=的定义域是( )A．((x，y)| 4＜x2+y2＜9)B．{(x，y)|2＜x2+y2＜3)C．{(x，y)| 4＜x2+y2≤9)D．((x，y)|2＜x2+y2≤3)正确答案：A解析：函数f(x，y)=的定义域应满足下列不等式综上所述函数f(x，y)的定义域为{(x，y)|4＜x2+y2＜9}．2．过点(2，4，一2)且垂直于平面2x一3y—z+2=0的直线方程是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：平面的法向量n={2，一3，一1}，因为直线垂直于该平面．故该直线的方向向量v／／n．故取v={2,-3，-1}．因此育线的方程为3．设积分区域D：x=1，x=一1，y=0，y=2，则二重积分的值( ) A．大于零B．等于零C．小于零D．不确定正确答案：B解析：积分区域D：x=1，x=一1，y=0，y=2(如右图所示)，①区域D关于y轴对称，②被积函数f(x，y)=x是关于y的奇函数，故原积分为零．4．设C是直线2x+y=4由点(0，4)到(2，0)的一段，则∫Cydx= ( ) A．∫04(4—2x)dxB．∫40(4—2x)dxC．∫02(4-2x)dxD．∫20(4—2x)dx正确答案：C解析：把C写成y=4—2x，当C由点(0，4)变到(2，0)时，x从0变到2，于是曲线积分∫Cydx=∫02(4—2x)dx．5．方程的通解加上( )A．一个常数B．C．一个任意常数D．正确答案：D解析：非齐次微分方程的通解即为其对应的齐次方程的通解加上原方程的一个特解．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．设z=(1+xy)x，则正确答案：1+2ln2解析：令1+xy=u，x=v，则故=vuv-1.y+uvlnu.1=xy(1+xy)x-1+(1+xy)x.ln(1+xy)，7．正确答案：解析：8．设Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域，则(x2+y2)dv=_______正确答案：解析：9．微分方程y”一2y’+y=2ex的一个特解为y*=_______．正确答案：x2ex解析：f(x)=2ex属于eλxPm(x)型(m=0，λ=1)，原非齐次微分方程对应的齐次微分方程特征方程为r2一2r+1=0，其特征根为r1=r2=1，故λ=1是对应齐次方程的特征根，且为二重根，因此设特解为y’=b0x2ex，代入微分方程得2b0ex=2ex，故b0=1，于是原微分方程的一个特解为．y*=x2ex,10．将函数f(x)=|x|在[一π，π]上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数bn=_______．正确答案：0解析：由于f(x)=|x|为偶函数，故傅里叶系数bn=0．计算题11．求经过点A(-2，一1，2)，且垂直于直线段AB的平面方程，点B的坐标是B(0，一2，5)．正确答案：本题考查平面方程的求解．由于所求平面垂直于直线段AB，所以其法向量可取为={2，一1，3}，又平面过点A(一2，一1，2)，因此其点法式方程为2(x+2)-(y+1)+3(z一2)=0，即2x—y+3z一3=0．12．求抛物面z=x2+4y2在点(0，1，2)处的切平面方程．正确答案：zx=2x，zy=8y，zx(0，1)=0，zy(0，1)=8，故取法向量n={0，8，一1}，故切平面方程为0.(x一0)+8(y—1)一(z—2)=0，即8y—z=6．13．设函数求全微分dz．正确答案：14．求螺旋线x=acos θ，y=asinθ,z=bθ在点(a，0，0)处的切线和法平面方程．正确答案：=(一asinθ，acosθ，b)|(a,0,0)=(0，a，b)，切线方程为：法平面方程为：ay+bz=0．15．计算二重积分(x—y)dxdy，其中D是由x+y=一1，x=0，y=0所围成的区域．正确答案：积分区域D，如右图所示，于是16．计算三重积分，Ω由旋转抛物面z=x2+y2及平面z=1围成．正确答案：Ω在平面投影为x2+y2=1，从而Ω在Oxy平面投影为Dxy：x2+y2≤1，于是17．求(x2+y2+2z)ds，其中L为球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线．正确答案：18．计算对坐标的曲线积分∫L(x2—2xy)dx+(y2一2xy)dy，其中L为图中的有向折线ABO．正确答案：∫L(x2一2xy)dx+(y2一2xy)dy=∫AB(x2一2xy)dx+(y2一2xy)dy+∫BO(x2一2xy)dx+(y2一2xy)dy，因在AB段dy=0，y=1，在BO段dx=0，x=0．故原式=∫AB(x2一2xy)dx+∫BO(y2一2xy)dy=∫AB(x2一2x)dx+∫BOy2dy=∫10(x2一2x)dx+∫10y2dy=19．计算y2dzdx，其中∑是曲面的上侧．正确答案：∑为曲面即x2+y2+z2=1(z≥0)的上侧，将∑分成左右两片：∑=∑1+∑2，其中∑1的方程为(z≥0，y≥0)，取右侧；∑2的方程为(z≥0，y≤0)，取左侧；∑1和∑2在Oxz 面上的投影均为半圆形区域：Dxz={(x，z)|x2+z2≤1，z≥0}，于是20．求满足初始条件特解：y”+4y’+13y=0，y|x=0=0，y’|x=0=6．正确答案：特征方程为λ2+4λ+13=0，特征根为λ1=一2+3i，λ2=一2—3i，故原方程的通解为y=e-2x(C1cos 3x+C2sin 3x)．则y’=一2e-2x(C1cos 3x+C2sin 3x)+e-2x(一3C1sin 3x+3C2cos 3x)，把y|x=0=0，y’|x=0=6代入解得C1=0，C2=2故所求特解为y=2e-2xsin 3x．21．计算幂级数的收敛区间：幂级数anxn 的收敛半径为2．正确答案：故由级数收敛的逐项可导性的性质知收敛半径相同，均为2，由|x 一1|＜2得，一1＜x＜3．22．判断无穷级数的敛散性．正确答案：由比值判别法知，原级数收敛．综合题23．求x+2x2+3x3+…+nxn+…的和函数(一1＜x＜1)．正确答案：令和函数为s(x)，则s(x)=x+2x2+3x3+…+nxn+…=x(1+2x+3x2+…+nxn-1+…) =x(x+x2+x3+…+xn+…)’=24．平面图形由曲线与直线x=1及y=0组成，求其绕x轴旋转而成的立体图形的体积．正确答案：25．设f(x)在[a，b]上连续且恒大于零．试利用二重积分证明正确答案：其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，于是。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷30(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷30(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设函数，则f(x，y)=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：令m=，n=，即y=，x=，则有f(m，n)=，即f(x，y)=，故B选项正确。
2．设函数f(x，y)=x3+y3，则点(0，0)是f(x，y)的( )A．极小值点B．间断点C．极大值点D．连续点正确答案：D3．设积分区域D：y=1，y=-1，x=0，x=2，则二重积分的值( )A．大于零B．小于零C．等于零D．不确定正确答案：C解析：积分区域D：y=1，y=—1，x=0，x=2（如下图所示），区域D关于x 轴对称，被积函数f(x，y)=y是关于y的奇函数，故原积分为零。
4．微分方程是( )A．齐次微分方程B．可分离变量的微分方程C．一阶线性齐次微分方程D．一阶线性非齐次微分方程正确答案：A解析：将的分子分母同时除以x2，得，上式符合齐次微分方程的形式，故选A。
5．幂级数的和函数为( )A．In(1+x)B．arctanxC．ln(1-x)D．arctan(一x)正确答案：C解析：因为幂级函数，所以，故选C。
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．过点(1，4，一1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为________．正确答案：x-1=0解析：因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其方程为Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，一1)，所以A+D=0，即A=一D，因此所求平面方程为x一1=0．7．设函数z=exy(x2+y一1)，则．正确答案：exy(x2y+2x+y2一y)解析：函数z=exy(x2+y一1)，则=yexy(x2+y一1)+exy(2x)=exy(x2y+y2一y)+2xexy=exy(x2y+2x+y2一y)8．设∑为平面x+y+z=1，第一卦限中的部分，则对面积的曲面积分正确答案：解析：9．已知y1=ex，y2=x2是微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个特解，则Q(x)=_________．正确答案：解析：将y1=ex，y2=x2代入微分方程y’+P(x)y=Q(x)得解方程组得Q(x)=10．无穷级数的和为________．正确答案：解析：故所求无穷级数的和为计算题11．已知原点在平面π上的投影点P的坐标为(2，9，一6)，求此平面方程．正确答案：由题意可知OP⊥平面π，向量=(2，9，一6)，即所求平面π过点(2，9，一6)且平面π的法向量n={2，9，一6}，故所要求的平面π的方程为2(x一2)+9(y一9)一6(z+6)=0，即2x+9y一6z一121=0．12．已知函数z=ysinx，求全微分dz．正确答案：zx=ycosx，zy=sinx，则所求的全微分dz=ycosxdx+sinxdy．13．求函数f(x，y，z)=x2yz+yz在点(一1，2，1)处的梯度．正确答案：=2xyz，=x2z+z，=x2y+y，则=—4，=2，=4，故gardf(—1，2，1)=(—4，2，4)。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷24(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷24(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系中，方程z=x2+y2的图形是( )A．椭球面B．球面C．椭圆抛物面D．椭圆锥面正确答案：C2．设函数z=sin(x+y)，则( )A．cos(x+y)B．一cos(x+y)C．sin(x+y)D．一sin(x+y)正确答案：A3．设∑为半球面x2+y2+z2=1，z ( )A．4πB．2πC．3πD．π正确答案：B解析：z=—，则dS=dxdy=dxdy，曲面∑在Oxy 面上的投影为x2+y2≤1，所以。
4．微分方程dy=(x2+y一1)dx是( )A．可分离变量的微分方程B．二阶线性微分方程C．一阶线性微分方程D．齐次微分方程正确答案：C5．幂级数的收敛半径R= ( )A．0B．2C．+∞D．1正确答案：D解析：令an=，则an+1=，因此，故幂级数的收敛半径为1．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量α={1，一2，2}的模为_______．正确答案：3解析：｜α｜==37．设函数z=f(xy，y2)，则．正确答案：解析：由z=f1 (xy，y2)，则=f(xy)’=yf1，8．设积分区域D由x2+y2=1(y>0)，y=0所围成，将二重积分化为直角坐标下的二重积分为___________．正确答案：解析：积分区域D，如下图所示，则9．微分方程ydx—xdy=0的通解为__________．正确答案：y=Cx．(C为任意常数)解析：ydx—xdy=0，即两边同时积分得lny=lnx+lnC，即y=Cx．(C 为任意常数)10．函数f(x)=展开成x+1的幂级数为________．正确答案：解析：由，得计算题11．计算．正确答案：12．计算，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x+y}．正确答案：利用极坐标系区域D可写为则13．计算，其中Ω是由锥面与平面z=1所围成的闭区域．正确答案：区域Ω在Oxy平面上的投影区域Dxy(如上图所示)：x2+y2≤1，则14．求由x2—2x+y2=0，，与z=0所围成的立体的体积．正确答案：积分区域D：(x-1) 2+y2≤1，0≤z≤，由柱面坐标法得15．计算三重积分，其中Ω是由一2≤x≤2，一3≤y≤6，0≤z≤1所围成．正确答案：16．求由直线x+y=2，x=2，y=2所围成的面积．正确答案：积分区域D：x+y≥2，x=2，y=2，如下图所示．17．计算的值，L是抛物线x=一y2上点A(一2，一)与O(0，0)之间的一段弧．正确答案：弧微分公式：ds=dy．因为x=一y2，所以ds=dy，故有18．计算曲线积分，其中L是有向线段，起点为A(1，1)，终点为B(2，2)．正确答案：令P(x，y)=(x2sinxy一1)，Q(x，y)=(1+x2sinxy)dy，则故曲线积分与路径无关，选取路径如上图所示，在线段AC上y=1，dy=0，在线段BC上，x=2，dx=0．故19．设，求原函数u(x，y)．正确答案：令P(x，y)=x2+xy，Q(x，y)=y2+，则有20．计算曲面积分，其中∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分．正确答案：积分区域∑如下图所示，∑：z=1一x—y，则曲面的面积微元21．将坐标的曲线积分转换成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线y=x2+2从点A(0，2)到B(1，3)．正确答案：ds=dx=dx，cosα==，则cos β=sinα==故22．应用格林公式计算曲线积分，C由x=0，y=0，y—x=1围成．正确答案：闭区域D：x=0，y=0，y—x=1，如下图所示．综合题23．求点M(2，1，4)到直线L：的距离．正确答案：设点M到直线L的垂足为N，则就是点M到直线L的距离，因点N在直线L上，故设N对应的参变量为t，则N(3t+1，一2t一1，t+3)，又因直线L的方向向量为v={3，一2，1}，由题意可知v⊥，={3t一1，一2t一2，t—1}，则v?=0．即3(3t一1)+(一2)?(一2t一2)+(t一1)=0，解得t=0，从而={一1，一2，一1)，则有，于是点M到直线L的距离为．24．(1)已知函数x+y+z=sin(x+y+z)，求z对x，y的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数z=，求dz．正确答案：(1)令F(x，y，z)=x+y+z一sin(x+y+z)，则Fx=Fy=Fz=1一cos(x+y+z)．故(2)所以dz==25．求曲面z=x2+2xy+4y2在点(1，一2，13)处的切平面及法线方程．正确答案：设F(x，y，z)=x2+2xy+4y2一z，则有Fx=2x+2y，Fy=2x+8y，Fz=一1．故Fx(1，一2，13)=一2，Fy(1，一2，13)=一14，Fz(1，一2，13)=一1．因此切平面方程为一2(x一1)一14(y+2)一(z一13)=0．即2x+14y+z+13=0．法线方程为．。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷46(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷46(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
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1．微分方程(y?)4＋2(y?)5＝x2＋x3的阶数是（）A．5B．4C．3D．2正确答案：D2．y?＝sin(－x)的通解为（）A．sin(－x)B．－sin(－x)+C1x＋C2C．－sin（x）D．sin(－x)+C1x＋C2正确答案：B解析：对方程两边积分得y?＝cos(－x)＋C1，对方程两边积分得y＝－sin(－x)＋C1x＋C2，即为原方程的通解．3．微分方程x3y2dx－(2y＋xysinx)dy＝0是（）A．可分离变量微分方程B．一阶线性齐次微分方程C．一阶线性非齐次微分方程D．齐次微分方程正确答案：A4．下列命题中正确的是（）A．若收敛，则必收敛B．若都发散，则必发散C．若必发散D．若收敛，则必有＝r＜1正确答案：C解析：可用排除法．A选项对于交错级数不成立；对于B选项，若＝1＋1＋1＋…＋1＋…，＝－1－1－1＋…＋（－1）＋…，则都发散，但＝0收敛，故B选项错误；对于D选项，当收敛时，有可能为1，故D选项错误；则选C．5．幂级数x＋2x2＋3x3＋…＋nxn＋…的收敛区域为（）A．［－1，1］B．(－1，1)C．(－1，1]D．[－1，1)正确答案：B解析：收敛半径R＝＝1，又因为当x＝1时，幂级数为1＋2＋3＋…＋n＋…，此时幂级数发散．而当x＝－1时，幂级数化为－1＋2－3＋…＋（－1）nn＋…,此时幂级数发散，故收敛区域为（－1，1）．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．已知向量a＝{1，4，－2｝和β＝{k，－2，－2｝垂直，则常数k＝____________正确答案：4解析：因为向量α⊥β，则有α·β＝0，即k＋4×（－2）＋（－2）×（－2）＝0，得k＝4．7．设函数z＝x4－2xy＋y2＋1，则＝____________正确答案：-2解析：＝4x3－2y，故＝4x3－2y｜（1，3）＝4－2×3＝－2．8．设积分区域D：x2＋y2≤2x，则二重积分在极坐标下的二次积分为____________正确答案：解析：积分区域D：x2＋y2≤2x即（x－1）2＋y2≤1，如下图所示．故二重积分9．微分方程dy／dx＝（y2＋x2）／xy的通解为____________正确答案：y2＝2x2lnx＋Cx2解析：微分方程dy／dx＝（y2＋x2）／xy，将方程右边分子分母同时除以x2得dy／dx＝［（y／x）2＋1］／y／x．令u＝y／x，则dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式得u＋xdu／dx＝（u2＋1）／u，xdu／dx＝1／u，分离变量得udu＝dx ／x，两边同时积分得1／2u2＝lnx＋C，将u＝y／x代入得y2＝2x2lnx＋Cx2，即所要求的通解．10．设f(x)＝则f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝π／2处的值为____________正确答案：1／2解析：将f(x)作以2π为周期的延拓且f(x)按段光滑．而x＝π／2是f(x)的间断点，故f(x)收敛于1／2［f（π／2＋0）＋f（π／2－0）］＝1／2（0＋1）＝1／2，即f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝0处的值为1／2．计算题11．已知原点在平面丌上的投影点P的坐标为(2，9，－6)，求此平面方程正确答案：有题意可知OP⊥平面π，向量＝（2，9，－6），即所求平面π过点（2，9，－6）且平面π的法向量n＝｛2，9，－6｝，故所要求的平面π的方程为2（x－2）＋9（y－9）－6（z＋6）＝0，即2x＋9y－6z－121＝0．12．已知函数z＝ysinx，求全微分dz正确答案：Zx＝ycosx，Zy＝sinx，则所求的全微分dz＝ycosxdx＋sinxdy．13．求函数f(x，y，z)＝x2yz＋yz在点(－1，2，1)处的梯度正确答案：＝2xyz，＝x2z＋z，＝x2y＋y，则故gardf（－1，2，1）＝（－4，2，4）．14．设函数z＝arctanx＋xy2－2xy，求正确答案：＝1／（1＋x2）＋y2－2y，＝2y－2．15．求空间曲线x＝t3，y＝2t，z＝t2－t在点(1，2，0)处的法平面方程正确答案：由题意知t＝1，则x?故所求的法平面方程为3（x－1）＋2（y－2）＋z＝0．16．设D是由x2＋y2＝π2与x2＋y2＝4π2所围成的区域，求二重积分正确答案：令x＝rcosΘ，y＝rsinΘ且0≤θ≤2π，π≤r≤2π，所以17．计算三重积分，其中Ω：0≤x≤1，0≤y≤正确答案：18．计算对坐标的曲线积分正确答案：令P（x，y）＝y－2x，Q（x，y）＝x＋y2，则＝1．于是选择积分曲线对折线ABC，如下图所示．在AB段，y＝1，dy＝0，在BC段，x＝2，dx＝0，则＝－2＋8＋（64／3）－2－（1／3）＝25．19．计算曲面积分，其中∑为锥面x2＋y2＝z2与平面z＝1，z＝0所围成的空间区域的表面，方向取外侧正确答案：利用柱坐标面变换得原式＝20．求微分方程dy／dx－（1／x）y＝1／x2的通解正确答案：由一阶线性微分方程的通解公式有21．求无穷级数的和正确答案：两式相减所以＝3，即原级数的和为3．22．求幂级数1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＋…的和函数正确答案：令an＝n，由得级数的收敛半径R＝1，又x＝±1时原级数均发散，则原级数的收敛域为（－1，1），设S(x)＝x∈（－1，1），逐项求积得＝1／（1－x）－1＝x／（1－x）x∈（－1，1），故S(x)＝［x／（1－x）］?＝1／（1－x）2x∈（－1，1）．综合题23．设矩形的周长为4，如何选取矩形的长和宽，能使得矩形的面积最大正确答案：设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则S＝xy，x＋y＝2构造拉格朗日函数F(x，y，λ)＝xy＋λ(x＋y－2)解方程组可得驻点x＝1，y＝1，λ＝－1．由于驻点唯一，且实际问题存在最大值，故(1，1)是问题的最大值点，最大值为S＝1．24．求平面2x＋2y＋z＝4在第一卦限部分的面积正确答案：设所求曲面∑的面积为S，∑在Oxy面上投影区域为D：x＋y ≤2，则有∑：z＝4－2x－2y，(z，y)∈D，故＝3×1／2×2×2＝6．25．将函数f(x)＝x／（3＋x）展开成(x＋1)的幂级数正确答案：f(x)＝x／3＋x＝。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷41(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷41(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．微分方程x3y2dx一(2y+xysinx)dy=0是( )A．可分离变量微分方程B．一阶线性齐次微分方程C．一阶线性非齐次微分方程D．齐次微分方程正确答案：A2．设函数f(x，y)在点(x0，y0)处偏导数存在，并且取得极小值，则下列说法正确的是( )A．fx(x0，y0)>0，fxx(x0，y0)>0B．fx(x0，y0)=0，fxx(x0，y0)0，fxx(x0，y0)0正确答案：D3．二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数fx(x0，y0)和fy(x0，y0)存在，是f(x，y)在该点连续的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充分且必要的条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：D解析：本题考查二元函数偏导数的应用．由函数在某点连续的定义知，f(x0，y0)和fy(x0，y)存在不能保证(x，y)＝f(x0，y0)，故fx(x0，y0)和fy(x0，y0)存在不是f(x，y)在该点连续的充分条件，也不是其必要条件．答案为D．4．设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．5．已知函数f(x＋y，x－y)＝x2y2，则fx(x，y)＋fy(x，y)＝( )A．2x－2yB．x＋yC．2x＋2yD．x－y正确答案：D解析：因f(x＋y，x－y)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y) 故f(x，y)＝xy 从而fx(x，y)＋fy(x，y)＝y＋x．答案为B。
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全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷43(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷43(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．已知向量α、β的模分别为｜α｜＝3，｜β｜＝，α·β＝3，且α与β的夹角为Θ，则Θ＝（）A．π／2B．π／4C．π／3D．π／6正确答案：B解析：由α·β＝｜α｜·｜β｜cosΘ＝3×＝3，于是cosΘ＝，从而Θ＝π／4．2．点P(2，－3，1)关于Oxz坐标面的对称点是（）A．(－2，3，－1)B．(－2，－3，－1)C．(2，－3，－1)D．(2，3，1)正确答案：D解析：设点P(2，－3，1)关于Oxz坐标面的对称点为P0(x0，y0，z0)，则x0＝x，y0＝－y，z0＝z，故P0(2，3，1)．3．若直线（x－3）／－8＝y／2＝（z＋2）／m与平面4x－y＋3z＝4垂直，则m＝（）A．-6B．6C．34／3D．－34／3正确答案：A解析：直线的方向向量和平面的法向量分别为v＝{－8，2，m｝和n＝{4，－1，3｝．若直线与平面垂直，则v∥n，即－8／4＝2／－1＝m／3，故m＝－6．4．设函数f(x，y)＝2x2－y2＋1，则点(0，0)（）A．是f(x，y)的驻点但不是极值点B．是f(x，y)的极小值点C．是f(x，y)的极大值点D．不是f(x，y)的驻点正确答案：A解析：fx＝4x，fy＝－2y，令fx＝fy＝0得x＝y＝0，因此(0，0)是驻点．由于A＝fxx(0，0)＝4＞0，B＝fxy(0，0)＝0，C＝fyy(0，0)＝－2，△＝B2－AC＝8＞0，故(0，0)不是极值点．5．已知函数f(x，y)在(0，1)处的偏导数存在，则［f（x，1）－f（0，1）］／2x（）A．fx(0，1)B．fx(0，2)C．1／2fx(0，1)D．2fx(0，1)正确答案：C解析：＝1／2＝1／2fx（0，1）填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷37(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷37(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．微分方程xy”－y’＝0的通解是( )A．y＝C1＋B．y＝C1x2＋C2C．y＝C1＋D．y＝C1x＋C2ex正确答案：B解析：令y’＝P，则∴y＝C1x2＋C2．2．点(－1，2，3)关于y轴的对称点的坐标是( )A．(1，－2，－3)B．(－1，－2，－3)C．(1，2，－3)D．(1，－2，3)正确答案：C解析：点(x，y，z)关于y轴的对称点坐标为(－x，y，－z)．答案为C．3．∫02πdθ∫02dr∫12rdz= ( )A．6πB．8πC．2πD．4π正确答案：D解析：∫02πdθ∫02dr∫12rdz=2π∫02rdr=4π．4．设函数f(x，y)=x3+y3，则点(0，0)是f(x，y)的( )A．极小值点B．间断点C．极大值点D．连续点正确答案：D5．设fx(x0，y0)－0，fy(x0，y0)＝0，则在点(x0，y0)处函数f(x，y) ( ) A．连续B．一定取得极值C．可能取得极值D．的全微分为零正确答案：C解析：A是错误的．因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续．B 也是错误的．由题目的条件只能断定点(x0，y0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点．C是正确的．因为驻点是可疑的极值点．D是错误的．一般会认为df＝f(x0，y0)dx＋fy(x0，y0)dy＝0。
是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x0，y)处可微．而在多元函数中可导不一定可微．答案为C．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．将函数f(x)＝｜x｜在[－π，π]上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数bn＝________．正确答案：0解析：f(x)为偶函数，故傅里叶级数为余弦级数，所以bn＝0．7．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[－π，π)上表达式为，s(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则s(π)＝_______．正确答案：解析：因为f(x)是周期为2π的周期函数，可得x＝π为f(x)的间断点，根据狄里克雷收敛准则，可得f(x)的傅里叶级数在x＝π处收敛于．8．已知向量a=(0，一1，3}和b={一1，一2，1}，则一2a+b=______．正确答案：{一1，0，一5}解析：—2a+b=一2{0，一1，3)+{一1，一2，1}={0，2，一6}+{一1，一2，1}={一1，0，一5}．9．若向量a=(λ，一3，2)和b={1，2，λ}互相垂直，则λ=________．正确答案：2解析：两向量垂直 a.b=0，即λ一6+2λ=0，则λ=2．10．设三元函数，则过点A(1，1，1)且与方向l 垂直的平面方程为________，其中l是使为最大的方向．正确答案：x＋y＋4z＝6解析：因为使为最大的方向是计算题11．设平面π经过点P(5，3，一2)，且平行于平面π1：x+4y一3z一11=0，求平面π的方程．正确答案：平面π1的法向量为{1，4，一3}，所求平面π平行于平面π1，于是其点法式方程为(x-5)+4(y-3)-3(z+2)=0，即x+4y-3z-23=0．12．已知直线L1：和直线L2：(1)求直线L1的对称式方程．(2)求直线L1和直线L2的夹角．正确答案：(1)直线L1的方向向量为解之得x=2，y=-3．所以点(2，一3，1)在直线上．故直线L1的对称式方程为(2)直线L2的法向量为v2={4，一2，1}，显然v1∥v2，从而直线L1和直线L2互相平行，即夹角θ=0．13．求微分方程y”－2y’－3y＝0的通解．正确答案：特征方程为r2－2r－3＝0特征根为r1＝－1，r2＝3方程通解为y＝C1e－x＋C2e3x.14．求z＝sinxcosy在点的切平面与法线方程．正确答案：令F(x，y，z)＝sinxcosy－z15．设Ω是由旋转抛物面z=x2+y2，平面z=0及平面z=1所围成的区域，求三重积分．正确答案：积分区域Ω，如下图所示，Ω在Oxy坐标面上的投影域为Dxy：x2+y2≤1，(x2+y2+z)dxdydz=(r2+z)dz=16．求函数f(x，y)=ln(x2y+x)的梯度gradf(x，y)．正确答案：fx=，fy=，故gardf(x，y)=。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷21(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷21(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．微分方程x3y2dx-(2y+xysin x)dy=0是( )A．一阶线性非齐次微分方程B．可分离变量微分方程C．齐次微分方程D．一阶线性齐次微分方程正确答案：B解析：方程可化为显然为可分离变量微分方程．2．方程y’=ex+y的通解为( )A．ex一e-y=CB．ex一ey=CC．ex一e-y=CD．ex+e-y=1正确答案：C解析：将y’=ex+y分离变量得，e-ydy=exdx，∫e-ydy=∫exdx，从而ex+e-y=C3．级数A．收敛于0B．发散C．收敛于D．收敛于正确答案：D解析：该级数是公比的等比级数，且|q|=＜1，故该级数收敛，则4．幂级数(a＞1)的收敛半径为( )A．3B．0C．D．1正确答案：B解析：所以收敛半径R=0．5．幂级数的和函数为( )A．1n(1-x)B．arctan(一x)C．arctan xD．ln(1+x)正确答案：A解析：因为幂级数ln(1+x)=，所以填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．Oxz平面上的抛物线z2=3x绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是__________．正确答案：y2+z2=3x解析：因为抛物线z2=3x绕其对称轴旋转，故有y2+z2=3x．7．设函数u(x，y)=则du|(3,4)=________．正确答案：解析：8．函数z=ln(2一x2)+的定义域为________．正确答案：解析：9．微分方程y”+(y’)3一2x4+1=0的阶数是_______．正确答案：2解析：微分方程y”+(y’)3一2x4+1=0中出现的未知函数的最高阶导数为二阶，因此该微分方程为二阶．10．设函数f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里叶级数展开式为(ancosnx+bnsinnx)，则其系数b3=_______．正确答案：解析：计算题11．一向量的起点在点A(一1，1，一2)，此向量在z轴、Y轴和z轴的投影依次为4、一4和6，求此向量的终点B的坐标．正确答案：设B(x，y，z)，则={x+1，y一1，z+2}．又向量在三个坐标轴上的投影分别为向量的各分量，因此解之得x=3，y=一3，z=4．从而终点为B(3，一3，4)．12．证明不存在．正确答案：13．求曲面x2+y2+z=25上点(2，3，)处的切平面和法线方程．正确答案：令F(x，y，z)=x2+y2+z一25，则Fx=2z，Fy=2y，Fz=1，从而故取法向量n={4，6，1}，于是切平面方程为4(x一2)+6(y一3)+(z-)=0即4x+6y+z=法线方程为14．求函数u=xyz在点(3，1，2)处，沿A(3，1，2)到B(7，4，14)的方向l的方向导数．正确答案：15．求函数f(x，y)=ln(xy2+x)的梯度gradf(x，y)．正确答案：16．设z=f(2x—y，ysin x)，其中f(u，v)具有连续性的二阶偏导数，求正确答案：17．计算二次积分正确答案：．积分区域如右图所示阴影：18．计算∫L(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy，其中L是x2+y2=4x的上半圆周由A(4，0)至B(0，0)的半圆．正确答案：积分路线如右图所示．因P=y+2xy，Q=x2+x+y2，故∫L(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy=(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy=∫40(0+2x.0)dx+0=0．19．计算对坐标面的曲面积分(x+y+z)dydz，其中∑是柱面x2+y2=1(0≤z ≤1)外侧．正确答案：设曲面∑1：z=0(下侧)；∑2：z=1(上侧)；Ω表示由∑、∑1、∑2围成的几何图形．由高斯定理，原式==π×12×1—0—0=π．20．求幂级数的和函数．正确答案：收敛域(一1，1)21．判定级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．正确答案：22．求微分方程e2x-ydx—ex+ydy=0的通解．正确答案：原方程可化为：e2ydy=exdx．两边积分∫e2ydy=∫exdx，所以通解为综合题23．求函数(a＞0，b＞0)的极值．正确答案：令fx’(x，y)=0，fy’(x，y)=0，得x=y=0故此函数无极值．24．求直线与平面x+2y一4z+1=0的交点坐标．正确答案：将直线方程写成参数式方程代入到平面方程得5t+13+2(2t+1)一4(3t+4)+1=0．解之得t=0，故平面与直线的交点坐标为(13，1，4)．25．正确答案：。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷3(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设向量a＝(2，1，－1}与y轴正向的夹角为β，则β满足( )A．B．C．D．β＝π正确答案：A解析：设y轴正向的矢量为b＝(0,y,0)(y＞0)则(y＞0)故β∈．答案为A．2．函数f(x，y)＝在(0，0)点( )A．连续B．不连续C．可微D．偏导数存在正确答案：A解析：＝0＝f(0，0) ∴f(x,y)在(0，0)点连续从而f(x，y)＝可在(0．0)点不可微．答案为A．3．设积分区域D是由直线x＝y，y＝0及所围成，则二重积分的值为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：．答案为D 4．微分方程xy”－y’＝0的通解是( )A．y＝C1＋B．y＝C1x2＋C2C．y＝C1＋D．y＝C1x＋C2ex正确答案：B解析：令y’＝P，则∴y＝C1x2＋C2．5．在下列无穷级数中，收敛的无穷级数是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：A．为调和级数∴不收敛．B．故不收敛。
C．为P级数∴故其收敛．D．其一般项在n→∞时为→∞≠0故不收敛．答案为C。
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a＝{1，1，)与x轴的夹角α＝_______．正确答案：解析：由题意知，．7．设f(x，y)＝e－xsin(x＋2y)，则_______．正确答案：－2e－xEsin(x＋2y)＋cos(x＋2y)]解析：[－e－xsin(x＋2y)＋e－x.cos(x＋2y)]＝－e－x.cos(x＋2y).2－e－x.sin(x＋2y).2＝－2e－x[sin(x＋2y)＋cos(x＋2y)]．8．设∑是上半球面的上侧，则对坐标的曲面积分y3dxdy＝_______．正确答案：0解析：由高斯公式计算得知：∫∫∑y3dxdy＝0．9．微分方程x2dy＋(3xy—y)dx＝0的通解是_______．正确答案：解析：原方程变形为，两端积分得lny＝－－3lnx＋lnC，即．10．设f(x)是周期为2π的函数，f(x)在[－π，π]上的表达式为．S(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则S(0)＝_______．正确答案：0解析：当x＝0时，s(x)＝0．计算题11．求经过点A(2，－1，2)，且垂直于直线段AB的平面方程，点B的坐标是B(8，－7，5)．正确答案：本题考查平面方程的求解．由于所求平面垂直于直线段AB，所以其法向量可取为n＝＝{6，－6，3)，又平面过点A(2，－1，2)，因此其点法式方程为6(x－2)－6(y＋1)＋3(z－2)＝0，即2x－2y＋z－8＝0．12．设函数．正确答案：13．求曲线3x2＋y2－z2＝27在点(3，1，1)处的切平面方程和法线方程．正确答案：本题考查曲线在某点的切平面方程和法线方程．令F(x，y，z)＝3x2＋y2－z2－27，则有Fx＝6x，Fy＝2y，Fz＝－2z．于是Fx(3，1，1)＝18，Fy(3，1，1)＝2，Fx(3，1，1)＝－2．切平面方程为：18(x－3)＋2(y－1)－2(z－1)＝0，即9x＋y－z＝27．法线方程为：14．求函数f(x，y)＝xy在点(2，3)处沿从点(2，3)到点的方向的方向导数．正确答案：方向15．求，其中。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷31(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷31(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数f(x,y)=的定义域是( )A．{(x，y)｜1≤x2+y2故选C．2．下列结论不正确的是( )A．点(0，0)是曲线y=x2的驻点B．x=0是函数y=x2的极小值点C．y=0是函数y=x2的极小值D．点(0，0)不是曲线y=x2的拐点正确答案：D解析：函数y=x2的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C正确，D选项错误．3．交换积分顺序，则f(x，y)dy=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由二重积分f(x，y)dy可知，积分区域D：0＜x＜1，0＜y ＜，如下图所示，故原积分=f(x，y)dx．4．微分方程y”=ex的通解是( )A．ex+C1x+C2B．exC．ex+C1xD．ex+C1正确答案：A解析：y”=ex，两边同时积分y=ex+C1，两边再同时积分y=ex+C1x+C2．5．设无穷级数收敛，则( )A．P>1B．p<一1C．P<1D．p>一1正确答案：B解析：无穷级数，当一p>1，即p绕y轴旋转的旋转曲面方程为________．正确答案：y=解析：曲线绕y轴旋转，则y不变，将x换成±，从而得旋转曲面的方程为y=．7．设函数z=u·v，u=x+y，v=x—y，则．正确答案：2x解析：=v·1+u·1=x+y+x—y=2x．8．设二次积分，则交换积分次序得I=________．正确答案：解析：将区域D分成两个小区域D1与D2，如下图所示．即D=D1+D2故9．微分方程y”+(y’)3一2x4+2=0的阶数是_________．正确答案：210．设f(x)=xln(1+x)展成x幂级数为，则系数a2=________．正确答案：解析：由ln(1+x)=,得xln(1+x)=，则a2=—计算题11．求与平面3x+2y—z+4=0和平面3x+2y—z=0的距离都相等的动点的轨迹方程．正确答案：设动点P为(x，y，z)，则点P到两平面的距离分别为，则有d1=d2，即两边平方并整理得3x+2y—z+2=0．12．求空间曲线L：x=t2，y=3t，z=2t3在点(1，一3，一2)处的法平面方程．正确答案：由于点(1，一3，一2)在空间曲线上，将点代入曲线方程得t=一1，所以==—2，=3，==6，则所求法平面的法向量为{一2，3，6}，故所求法平面为一2(x一1)+3(y+3)+6(z+2)=0．13．设函数z=f(x+y，lnxy)，其中f是可微函数，求，．正确答案：=f1+f2 (lnxy)’=f1+f2=f1+f2，=f1+f2 (lnxy)’=f1+f2=f1+f2．14．求函数f(x，y)=exy在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2+)的方向的方向导数．正确答案：方向l={2—1，2+—2}={1，}=yexy，=xexy，cos α=，cosβ=．故15．求曲面z=3一x2一2y2上平行于平面2x+4y+z+8=0的切平面方程．正确答案：由z=3一x2一2y2，于是zx=一2x，zy=一4y，由于所求切平面平行于平面2x+4y+z+8=0，因此，解上式得x=1，y=1，z=0，则=—2，=—4，故所求平面方程为z=—2(x—1)—4(y —1) ．16．计算二重积分，其中积分区域D是x2+y2≤R2．正确答案：17．计算三重积分，其中Ω是椭圆锥面z2=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域．正确答案：积分区域Ω如下图所示，Ω在Oxy面上的投影域为Dxy：x2+y2≤1(x=0)，于是18．计算对弧长的曲线积分，其中L是以原点为中心，半径为1的上半圆．正确答案：曲线L的参数方程x=cosθ，y=sinθ，则(x2一y2)ds==π．19．计算对坐标的曲线积分，其中L为y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的闭曲线，依顺时针方向．正确答案：积分曲线L如下图所示．对于弧AO，有y=sinx，dy=cosxdx，对于线段AO，有y=0，dy=0，故20．求微分方程(1+x)dy一dx=0的通解．正确答案：分离变量得ydy=，两边积分得y2=ln(1+x)+C，即为原微分方程的通解21．判断无穷级数的敛散性．正确答案：，由比值审敛法知原级数发散。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷16(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设B是圆形区域x2+y2≤4，则二重积分( )A．4πB．πC．D．正确答案：C解析：令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤θ≤2π，0≤r≤2，故2．设积分区域Ω：x2+y2+z2≤R2，则三重积分f(x，y，z)dxdydz，在球坐标系中的三次积分为( )A．∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(x,y,z)r2sinφdrB．∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(rcosθsin φ，rsin θsinφ，rcos φ)r2sin φdrC．∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(rcosθsinφ，rsin θsinφ，rcosφ)rsin2φdr D．∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(rcosθsinφ，rsinθsinφ，rcosφ)dr正确答案：B解析：球坐标中体积元素为r2sinφdθdrdφ，直角坐标与球坐标关系综合，B正确．3．记其中D1={(x，y)|x2+y2≤1)，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤2)，D3={(x，y)|2≤x2+y2≤4)，则下列关系式中________成立．( )A．I2＜I3＜I1B．I1＜I2＜I3C．I2＜I1＜I3D．I3＜I2＜I1正确答案：D解析：由在D1上(等号仅在圆周x2+y2=1上取到)知，I1＞0；由在D2上-1≤知I3＜一π．于是有I3＜I2＜I1．4．设空间闭区域Ω1={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1，z≥0}，Ω2为区域Ω1在第一卦限的区域，则有( )A．B．C．D．正确答案：D解析：积分区域Ω1关于Ozy对称，三重积分的被积函数x是奇函数，故5．设AB为从点A(1，0)沿曲线到点B(0，1)的弧段，则下列等式正确的是( )A．B．∫ABf1(x，y)dx+f2(x，y)dy=+f2(x，y)dy，其中的f(x，y)是连续函数，f1(x，y)，f2(x，y)是有连续偏导数的函数C．D．∫ABf1(x，y)dx+f2(x，y)dy=正确答案：A解析：如果将L的参数方程表示为于是B不正确，因为∫Lf1(x，y)dx+f2(x，y)dy未必与积分路径无关．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
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一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 方程y 2+z 2－4x +8=0，表示（ ）
A.单叶双曲面
B.双叶双曲面
C.旋转抛物面
D.锥面 2.交换积分次序
()2110,y dy f x y dx ⎰⎰ =（ ） A.
(
)100,dx f x y dy ⎰ B.
(
)11
0,dx f x y dy ⎰ C. ()2100,x dx f x y dy ⎰⎰ D. ()211
0,x dx f x y dy ⎰⎰ 3.判断极限00
lim x y x x y →→+ =（ ） A.0 B.1
C.无法确定
D.不存在 4.下列方程是齐次微分方程的是（ ）
A.y ′=2
x x y
+ B.y ′=32x x y + C.y ′=x y
e x
+ D.y ′=x y x + 5.设幂级数
0n n n a x ∞=∑在x =－2处收敛，则该级数在x =3处（ ） A.发散
B.敛散性无法确定
C.条件收敛
D.绝对收敛
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.已知两点A (4,－7,1),B (6,2,z )间的距离为11,则z =______.
7.设区域D :x 2+y 2≤a 2(a >0),又有D
⎰⎰(x 2+y 2)dxdy =8π,则a =______.
8.若函数f (x ,y )=2x 2+ax +bxy 2+2y 在点(1,－1)取得极值,则常数a =______,b =______.
9.微分方程y ′+y cos x =0的通解是______.
10.设∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧,则积分zdxdy ydzdx xdydz ∑
++⎰⎰=______.
三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
11.求过点(3,－1,3)且通过直线L : 211312
x y z +==－－的平面方程.
12.设z =22()y f x y －，求11z z x x y y
∂∂+∂∂. 13.设z =z (x ,y )由方程sin z =xyz 所确定的隐函数，求dz .
14.求D
⎰⎰(x 2+y 2)d σ，其中D 为矩形区域：|x |<1,|y |<1.
15.计算xydxdydz Ω
⎰⎰，其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =1,x =0,y =0所围成且在第一卦限内的区域.
16.函数u =xyz 在M (5,1,2)处沿从点M (5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.
17.微分方程y ′+ 1
y x + =(x +1)e x 的通解. 18.微分方程y ″－5y ′+6y =xe 2x 的一个特解.
19.计算
L ⎰ x 2ydx －xy 2dy ，其中L 是沿圆周x 2+y 2=a 2的正向封闭曲线. 20.计算L ⎰xds ,其中L 是抛物线y =x 2从原点O 到点B (1,1)间的一段弧.
21.幂级数()015
n
n n x n ∞=+⋅∑的收敛半经和收敛域. 22.判断级数1
02(1)3n n n ∞
=+∑－－的敛散性. 四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
23.写出积分2cos 4
00(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθθ⎰⎰在直角坐标系下二种不同次序的二次积分.
24.证明曲面z =xf (y x
)上的所有切平面都相交于原点，其中f (u )是可导函数. 25.设曲线积分()()224
2()L xyf x
dx f x x dy +⎰－与路径无关，其中f (x )可导，且f (0)=2，求f (x ).。