2019届重庆市高三3月月考理科数学试卷【含答案及解析】(1)
重庆市2019-2020学年高三数学月考试题理(含解析)
高三数学月考试题理一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知，，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可.【详解】求解函数的定义域可得：，即求解函数的值域可得，则，据此可得=.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：当时，，选项A错误；当时，，选项B错误，当时，，且，选项C错误；由不等式的性质可知，，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知随机变量服从正态分布,若,则=( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解的值即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的对称轴为，则，故.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意可得：，由于，故，据此可知.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.下列函数中是奇函数且在区间上单调的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可.【详解】逐一考查所给函数的性质：A.，函数为奇函数且时，，当时，，当时，，据此可知函数在区间不具有单调性，不合题意；B.，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在上不具有单调性；C.，易知函数的定义域为，且，故函数为奇函数，由于函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，满足题意；D.，该函数为偶函数，不合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列说法中错误的是（）A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样；B. 从茎叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1;D. 若随机变量，，，则【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确；B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,原命题错误;D. 若随机变量，，，则,据此可得:，原命题正确．本题选择C选项.【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变量的相关性，二项分布的均值方差公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知直线与圆：相交于两点，若三角形为等腰直角三角形，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于m的方程，解方程即可求得实数m的值.【详解】圆C的方程即：，则圆心坐标为，圆的半径为，易知等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C，故圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式有：，解得：或.本题选择B选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8.已知二项式的展开式中的系数是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定展开式的通项公式，然后结合题意得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.【详解】展开式的通项公式为：，令可得，令可得，结合题意有：，据此可得：.本题选择D选项.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9.从区间中任取一个值，则函数在上是增函数的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由函数的单调性求得实数a的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可. 【详解】由函数的解析式：为增函数，则，为增函数，则，且当时，有：，即，解得，综上可得，若函数在上是增函数，则，由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.数列前项和为，，，，若，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知是双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为,有下列四个命题中真命题个数为（）个．①双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为；②若，则的最大值为；③的内切圆的圆心横坐标为；④若直线的斜率为，则．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：由双曲线焦点弦公式：可得：双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为.说法①错误.对于②,若,则由双曲线的定义可得.，,故有,即离心率的最大值为，故②不正确.对于③,设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|−|NF2|=2a=|KF1|−|KF2|，又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K为双曲线的右顶点,又△PF1F2的内切圆的圆心在切点K的正上方,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确.对于④若直线PF1的斜率为k,则由题意可得，∴，故④正确.综上可得，四个命题中真命题个数为2个.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为，所以，因为，所以，因此构造函数，由，当时，即单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.考点：函数的导数与最值.二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为_______【答案】【解析】【分析】由题意首先求得m的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可.【详解】由题意可得：，则圆锥曲线方程为：，则.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14.若实数满足约束条件则的最大值是_______.【答案】8【解析】【分析】由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.袋中有个红球，个黑球和个白球，从中任取个球，则其中三种颜色的球都有的概率是______________．【答案】【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】由题意可得，所求概率为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16.已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为_________________【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.【详解】令，则，设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设，易知，，由向量的绝对值不等式的性质可得：，注意到，且，故，即（）的取值范围为.【点睛】本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值．【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为，结合三角函数的性质可得，单调减区间为(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.试题解析：(1)周期为因为所以所以函数的单调减区间为（2）因为，所以所以，(1)又因为，所以 (2)由（1），（2）可得18.已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)首先将递推关系式整理变形，然后结合等比数列通项公式确定数列的通项公式即可；(2)由题意结合(1)中求得的通项公式放缩证明题中的不等式即可.【详解】（1）由已知（2）左边=不等式成立【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，∴.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.20.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上滑动，若面积的最大值是且有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于点,与轴交于点。
重庆市南开中学2019届高三3月月考试卷(数学理)
重庆南开中学高2019级高三3月考试卷数 学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡上． 1．233lim9x x x →-+=-（ ）A ．13B ．0C ．16D ．16-2．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．424．过抛弧线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．45．若函数812 (,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则使01()4f x >的0x 的取值范围为 （ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(,2)(3,)-∞+∞C ．(,2](4,)-∞+∞ D ．(,3)(4,)-∞+∞6．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<，设(0)a f =，1()2b f = ，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知D 是不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（ ）A.4πB.2π3C. 4π 3D. 2π8．已知*1log (2)()n n a n n N +=+∈我们把使乘积123n a a a a 为整数的数n 叫做“成功数”，则在区间(1,2011)内的所有成功数的和为 （ ）A ．1024B ．2003C ．2026D ．20489．若x y R +∈、≤a 的最小值是 （ ）A. 1 D. 12+10．如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，,,AD BC AD AB PA ⊥=∥32,,2AD BC ==60,ADC O ∠=为四棱锥P ABCD -内一点，1,AO =若DO 与平面PCD 成角最小角为α，则α=（ ）A. 15B. 30C. 45D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）．11．已知(0,1),(1,1)a b ==，且()a nb a +⊥，则n = ；12．在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=，则5678a a a a +++= ；13．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，则cos B = ；14．在体积的球的表面上有,,A B C 三点，1,,AB BC A C ==两点的球面距离为，则球心到平面ABC 的距离为 ； 15．已知过点(,0)(2)A t t >且倾斜角为60的直线与双曲线22:145x y C -=交于,M N 两点，交双曲线C 的右准线于点P ，满足3PA AN =，则t = ．三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求sin cos θθ的值； （2）求函数()f x 的单调区间．17．己知21(1,),(1,)a x m b m x=-+=+，当0m >时，求使不等式0a b >成立的x 的取值范围．18．如图所示， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA AB N ∠===为PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ． （2）求二面角B AN C --的正切值．19．（本小题12分）已知1x =为函数2()(1)xf x x ax e =-+的一个极值点． （1）求a 及函数)(x f 的单调区间；（2）若对于任意2[2,2],[1,2],()22x t f x t mt ∈-∈≥-+恒成立，求m 取值范围．20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；（3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(1)3OP OMλλ=≤<，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．（本小题12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)4,2(2,)2n n n n a S na n n N -==+-≥∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：2*114,(1)2()n n n b b b n b n N +==---∈且，求证：*(2,)n n b a n n N >≥∈；（3）求证：*23344511111(1)(1)(1)(1)2,).n n n n N b b b b b b b b +++++<≥∈重庆南开中学高2019级高三月考（3月）数学参考答案 （理科）一、选择题：DCDBA BBCCA二、填空题： 11．－1 12．12 13．4514．3215．3 三、解答题：16．解：(1)1cos 2()sin 2coscos 2sin662xf x x x ππ+=-+122x =+ ………………………………………………5分 由,1)(=θf 可得sin 2θ=所以1sin cos sin 22θθθ==. …………9分(2)当222,,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即[,],44x k k k Z ππππ∈-++∈时，)(x f 单调递增．所以，函数)(x f 的单调增区间是[,],.44k k k Z ππππ-++∈ (13)分17．解：22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--=-++==> ………………4分∴当0<m <l 时，(0,)(1,)x m ∈+∞；…………………………7分当m =l 时，(0,1)(1,)x ∈+∞； ………………………………10分当m >l 时，(0,1)(,)x m ∈+∞⋅ ………………………………13分18．解：(1) ABCD BD AC PA ABCD BD PA BD PAC BD ABCD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎭是菱形平面平面平面 ………5分(2)由(l)可知，BO ⊥平面P AC ，故在平面P AC 内，作OM ⊥A ， 连结BM （如图），则∠BMO 为二面角B AN C --的平 面角．在Rt BMO ∆中，易知22,3==OM AOtan BMO ∴∠=即二面角B AN C --………………13分19．解：(1)2()[(2)(1)](1)(1),xxf x x a x a e x x a e '=+-+-=++- ……………………2分由(1)0f '=得：,2=a (3)分()(,1),(1,)f x ∴-∞-+∞在上单调递增，)(x f 在(－1,1)上单调递减 (6)分(2))2,2(-∈x 时，)(x f 最小值为0 ………………………………8分2220t mt ∴-+≤对]2,1[∈t 恒成立，分离参数得：tt m 12+≥易知：]2,1[∈t 时,2312≤+t t 23≥∴m ………………………12分 20．解：(1)由题意可得圆的方程为 ,222b y x =+直线02=+-y x 与圆相切，,22b d ==∴即,2=b又,3c e a==即222,,a a b c ==+得,1,3==c a 所以椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………4分(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3- ………………………………………………8分(3)设(,)M x y ，其中[x ∈由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中[x ∈ ………………10分①当33=λ时，化简得,62=y 所以点M 的轨迹方程为),33(6≤≤-±=x y轨迹是两条平行于x 轴的线段；…………………………………………11分 ②当133<<λ时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足33≤≤-x的部分．…………………………………………………………12分21．解：(1)当3≥n 时，(1)2,2n n n n S na -=+-11(1)(2)(1)2,2n n n n S n a ----=-+- 可得：11(1)2,2n n n n a na n a --=---⨯*11(3,)n n a a n n N -∴-=≥∈⋅.3,1222221=∴-+=+a a a a 可得，*4,(1)1(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+⋅≥∈⎩……………4分 (2)1当n =2时，,31422212a b b =>=-=不等式成立．2假设当*(2,)n k k k N =≥∈时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时，21(1)2(1)2222(1)222,k k k k k k b b k b b b k b k k k +=---=-+->->+-=≥+所以当n =k +l 时，不等式也成立．根据(1),(2)可知，当*2,n n N ≥∈时，.n n b a >………………8分 (3)设1()ln(1),()10,11x f x x x f x x x-'=+-=-=<++ )(x f ∴在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴ 当*2,n n N ≥∈时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 23341111ln(1)ln(1)ln(1)n n b b b b b b +∴++++++31213121114131<+-=+-+++-<n n n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ ……………………………12分。
重庆市2019届高三三诊考试理科数学试卷【含答案及解析】
重庆市2019届高三三诊考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，那么（）A. B. C. D.2. 等差数列满足，，则（）A. 7B. 14C. 21D. 283. 已知，，且，则实数（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. ，则________B. ，则C. ，则________D. ，则5. 实数满足且，则的最大值为（）A. -7B. -1C. 5D. 76. 若，则二项式展开式中的常数项是（）A. 20B. -20C. -540D. 5407. 已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 设，，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.9. 函数，设的最大值是，最小正周期为，则的值等于（）A. B. C. 1 D. 010. 如图，某几何体的三视图都是直角三角形，若几何体的最大棱长为2，则该几何体的外接球的体积是（）A. B. C. D.11. 等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 612. 设是双曲线的右顶点，是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知为虚数单位，复数满足，则 __________ ．14. 已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为 __________ ．15. 设直线与圆相交于两点，若点关于直线对称，则 __________ ．16. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________ ．三、解答题17. 在三角形中，角所对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，求三角形的面积.18. 渝州集团对所有员工进行了职业技能测试从甲、乙两部门中各任选10名员工的测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图所示.（1）若公司决定测试成绩高于85分的员工获得“职业技能好能手”称号，求从这20名员工中任选三人，其中恰有两人获得“职业技能好能手”的概率；（2）公司结合这次测试成绩对员工的绩效奖金进行调整（绩效奖金方案如下表），若以甲部门这10人的样本数据来估计该部门总体数据，且以频率估计概率，从甲部门所有员工中任选3名员工，记绩效奖金不小于的人数为，求的分布列及数学期望.19. 如图，正三棱柱中，侧棱，，分别为棱的中点，分别为线段和的中点.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值.20. 已知点在圆：上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值.21. 已知函数，其中 .（1）设是的导函数，求函数的极值；（2）是否存在常数，使得时，恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过定点，且倾斜角为（），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 .（1）写出的参数方程和的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数的最小值是 .（1）求的值；（2）若，是否存在正实数满足？并说明理由.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第23题【答案】。
重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(含参考答案)
重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()23sin cos cos f x x x x +的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（ ）A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（ ）A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（ ） A 733B 733C ．133D ．213310．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ）A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A 3B 3C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,2⎛-∞ ⎝⎦D ．2,2⎛-∞ ⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）． （1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACD DCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt t t ==--==--∑∑． （参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值． 重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒ 三、解答题 17．（1）由12··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos4542422CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=， 在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠， 在BDC △中，由正弦定理可知sin 2sin sin sin CD BD B BD BDBCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin 22sin 22222ADACD CD BCD BD BD CD∠====∠18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5ni ii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+=所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =， 由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，(3P ．(1,0,3),(1,0,0)PC AB =-=，则(1,,),(,1,3)BM x y z PM x y z =-=-- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量， 所以2222cos ,sin 45,2(1)BM n x y z =︒=-++，即222(1)0x y z -+-=． 又M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则,1,33x y z λλ===，由①，②2116x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去），2116x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2612M ⎛- ⎝⎭，从而2612AM ⎛=- ⎝⎭． 设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(22)2600x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||5m n m n m n ⋅==．因此二面角M AB D --的余弦值为5． 20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =， 又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线60x y -=相切，所以632b ==，所以24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ ()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解， 即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增； 当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个； 综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠， 因为()ln 2 f x x ax b '=-+， 所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥． 所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立．当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立； 所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=， 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=． 设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠． （2）将3πθ=代12,C C 的极坐标方程得3,,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅= 所以1553TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(224141141141a b a b ++=++()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当44141a b +=+12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12． （2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322b a a b ≥+⋅=+，当且仅当2b a a b =，即2122a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，取等号所以原式322≤=故原式的最大值为3-．。
重庆市南开中学2019届高三三月测试题数学(理)试题(含参考答案)
重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题2019.03.10一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，1218x N x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是A ．(3,1)--B ．()3,0-C ．[)1,0-D ．(),3-∞-2．设01a <<，则“log 1a b >”是“b a <”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知21log 3a =，35b -=，122c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,55．将函数()2cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个对称中心是（ ） A ．1,42π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,42π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1,122π⎛⎫⎪⎝⎭D ．51,122π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 6．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=，如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．237．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =（ ） A ．23B ．32C ．35D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．38πB ．4πC ．524πD ．724π 9．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（ ）ABC ．D ．10．某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A ．13B ．821C ．37D ．51811．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A．3B．6C ．13D ．1611．若对任意的实数t ，函数()()()333t f x x t x e ax =-+--在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．,2⎛-∞ ⎝⎦D．,2⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z 满足2i1iz =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =________． 14、已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．15．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430352500x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，当OP OA OA ⋅（O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是________．16．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒．将ABE 绕直线BE 、CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．三、解答题17．已知ABC 中，2BC =，45B =︒，AD AB λ=（01λ<<）． （1）若1BCDS=，求CD 的长；（2）若30A =︒，13λ=，求sin sin ACDDCB∠∠的值．18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：（I ）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…， (),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆ,nii i ni i tty y bay bt tt==--==--∑∑． （参考数据：()()612.8ii i tty y =--=∑，计算结果保留小数点后两位）19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于C 、D ，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C ，D ，与3:4l x =交于P ，求证：直线PA ，PF ，PB 的斜率PA k ，PF k ，PB k 成等差数列． 21．设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()xg x e ex =-．（1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()5cos 55sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线()03πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（除极点外），且有定点()4,0T ，求TAB △的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知a ，b 均为正实数，且1a b +=．（1）求2的最大值；（2）求1aba+的最大值． 重庆南开中学高2019级高三数学（理）测试（3．10）一、选择题CBABA CCDDB AA 二、填空题13．1i -- 14．2 15．2 16．70︒三、解答题 17．（1）由1··sin45122BCDSBC BD BD BD =︒==⇒= 在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos454242CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=（2）由123AD AB BD AD =⇒=， 在ADC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD ADACD A ACD CD CD ⋅=⇒∠==∠， 在BDC △中，由正弦定理可知sin sin sin sin CD BD B BD BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==∠，故sin sin 2ADACD BCD CD∠====∠18．（1）由题意可知：123456 3.56t +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5l i t t =-=-+-+-+++=∑，∴()()()12112.8ˆ0.1617.5niii ni t t y y bt t ==--===-∑∑，又70.16 3.5 6.44b a y t =-=-⨯=，∴y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+．（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码8t =，此时0.168 6.447.72y =⨯+= 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7．72万吨．19．（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 的中点，所以EF AD ，12EF AD =， 由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ，又12BC AD =，所以EF BC ，四边形BCEF 为平行四边形，CEBF ．又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE平面PAB ．（2）已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C，(P ．(1,0,(1,0,0)PC AB ==，则(1,,),(,1,BM x y z PM x y z =-=- ．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45︒，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45,2BM n =︒=，即222(1)0x y z -+-=． 又M 在棱PC上，设PM PC λ=，则,1,x y z λ===，由①，②112x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍去），112x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩122M ⎛-⎝⎭，从而122AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0000(2200x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(0,6,2)m =-．于是10cos ,||||m n m n m n ⋅==． 因此二面角M AB D --20．（1）由题意知12c e a ==，所以22214a b a -=，即2243a b =， 又因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆222x y b +=，与直线0x y -+=相切，所以b ==，所以24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为()1y k x =-．由()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=．①设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由题意知直线2l AE 的斜率为1k -，则直线2l 的方程为()11y x k =-- 令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-=⨯+⨯-++-++ 2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++=⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ ()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以,,PA PF PB k k k 成等差数列；21．（1））当b =0时，2()ln ,()ln 2f x x x ax x f x x ax '=--=-，所以2()ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有两个． ∵21ln ()xm x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增； 当,()x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减，()m x 有极大值1e ．又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<．当1,2a e ∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个； 当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln xm x x=的图像的交点有1个； 当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln xm x x =的图象的交点有2个； 综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠， 因为()ln 2 f x x ax b '=-+， 所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220,xx e ax a e +-+->令()ln 22xt x x e ax a e =+-+-，∴()12xt x e a x'=+- 设211()2,()x x x e a x e x x ϕϕ'=+-=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，即()t x '在(1,)+∞单调递增， ∴()()112t t e a x ''>=+-，当12ea +≤且1a ≠时，()0t x '≥． 所以()ln 22xt x x e ax a e =+-+-在(1,)+∞单调递增，∴()()10t x t >=成立． 当12ea +>，因为()t x '在(1)+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<， ()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为1(,1)1,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦． 22．（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为()22525x y +-=，即22100x y y +-=， 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=． 设点(),N ρθ(0)ρ≠，则由已知得,2M a πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin 2πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即()10sin 0ρθρ=≠． （2）将3πθ=代12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()4,0T，所以11||||sin 15,||||sin 2323TOA TOB S OA OT S OB OT ππ∆∆=⋅==⋅=所以15TAB TOA TOB S S S ∆∆∆=-=- 23．（1）(2211=()2211(4141)a b ≤+⋅+++()2422(412)12a b =++=⨯+=⎡⎤⎣⎦，当且仅当=12a b ==时，取等号，故原式的最大值为12． （2）原式=112122ab b a b a ab a b===+++，因为121222()123b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33≥+=+2b a a b =，即12a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩3≤=-故原式的最大值为3-．。
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2019届重庆市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．32【答案】C【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i iz i z i i i ++====∴=--+ 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．已知集合{|A x y ==，2{|230,}B x x x x Z =--<∈，则()RC A B =I （ ） A ．{1} B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再求()R C A B I 得解. 【详解】由题得A={x|x ＜1},B={x|-1＜x ＜3，x ∈Z}={0,1,2}, 所以{|1}R C A x x =≥， 所以()={1,2}R C A B I . 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．若，，，则实数，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出a,b,c 的范围，再比较大小即得解. 【详解】 由题得，，所以a>b>c. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．下列说法正确的是（ ）A ．设m 为实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则m ＞2．B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x +3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3＞0”D ．命题“若x 0为y ＝f （x ）的极值点，则f ’（x ）＝0”的逆命题是真命题 【答案】B【解析】根据双曲线的定义和方程判断A ，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B ，特称命题的否定是全称命题判断C ，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D. 【详解】对于A ：若方程表示双曲线，则()()120m m --<，解得2m >或1m <，故A 错误； 对于B ：若p q ∧为真命题，则p ，q 同时为真命题，则p q ∨为真命题，当p 真q 假时，满足p q ∨为真命题，但p q ∧为假命题，即必要性不成立，则“p q ∧为真命题”是“p q ∧为真命题”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”，故C 错误；对于D ：命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()0f x '=”的逆命题是：“若()0f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在()3f x x =中，()23f x x '=，其中()00f '=，但0x =不是极值点，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题． 5．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环；第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.7．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在ABC ∆内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解. 【详解】 由题得1,=,22ABC ABC aS ah S h S S ∆∆=∴=矩形矩形. 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积. 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一， 故该点落在标记“盈”的区域的概率为14， 故选C ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题 8．将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π B ．23π C ．2π D ．3π 【答案】D【解析】先化简函数的解析式，再平移得到函数2sin(22)6y x πϕ=+-，再根据函数的对称性得解. 【详解】由题得(x)23sin cos cos23sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x π=-=-=-，将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到2sin[2()]2sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-，由题得2,,()6223k k k Z ππππϕπϕ-=+∴=+∈, 当k=0时，=3πϕ.故选D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论： ①若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β； ③若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①③【答案】D【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解． 【详解】对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，m ∥α，n ∥β，则α∥β或相交，又因为m ∥β，n ∥α，则α∥β，故①正确；对于②，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β或α∥β或α，β相交，故②错误， 对于③，若n ⊥α，m ∥α，则n ⊥m ；故③正确，对于④，若α⊥β，m ⊥α，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故④错误， 综上可得：正确的是①③， 故选D ． 【点睛】本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题．10．在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a =(sin )sin C B B A =，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】先化简已知得c 2sin()3B π=+，再求出1sin(2)62h B π=-+，再利用三角函数求h 最大值得解. 【详解】(sin )sin C B B A =+，(sin )(sin )B B a B B =+⋅=+所以c 2sin()3B π=+.所以1h csinB 2sin()sinB 2sinB(sinB )32B B π==+= 所以1sin(2)62h B π=-+, 所以当B=3π时，h 取最大值32. 故选C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A ．71 B ．66C ．59D ．53【答案】A【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案． 【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况， 则分5种情况讨论：①、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，②、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有2612⨯=个“完美四位数”，③、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有6511+=个“完 美四位数”，④、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，⑤、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有336A =种情况，此时有1863=⨯个“完美四位数”，则一共有121211181871++++=个“完美四位数”， 故选：A ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏．12．设[]x 表示不大于实数x 的最大整数，函数2ln [ln ]1,0()(1),0xx x x f x e ax x ⎧-->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()1f x =有且只有5个解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,)e -∞-C ．(,1]-∞-D ．(,]e -∞-【答案】A【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x ＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解. 【详解】首先，确定在x ＞0上，方程f(x)=1的解.{0,1,2,3,4,}n ∈L 时，在(1)(1)[,)n n n n x e e e x e -+--+-∈≤<上，， (1)ln n x n -+≤<-，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又222ln (1),n x n <≤+22()31,n n f x n n ∴+<≤++即在(1)[,)n n x ee -+-∈上，恒有22()31,n nf x n n +<≤++221(x)1n 3,n n f n +-<-≤+取n=0,1()10f x -<-≤，令11,()1,x e f e --==此时有一根1x e -=， 当n≥1时，恒有f(x)-1＞1， 此时在(1)[,)n n x e e -+-∈上无根.在1[,)nn x e e+∈上，1n n e x e +≤<，ln 1[ln ]n x n x n ≤<+=，，又222ln 1n x n ≤<+（），221()(1)1,n n f x n n ∴--≤<+--所以在1[,)nn x e e+∈上，恒有221()n n f x n n --≤<+，222()11n n f x n n ∴--≤-≤+-.n=1时，在2[,e e ）上，有2f -≤≤（x)-11, n=2时，在23,)e [e 上， 有0()15,f x ≤-<()1,f x ∴=即2ln 11,x n --=2ln 2,,n x n x e+=+=所以此时有两根，32,.x e =x=e 这样在+∞（0，）上，f(x)=1, 有三根，132123,,x e x e -==x =e 在(,0]f(x)e (1),xx ax ∈-∞=+上， 显然(0)1,f =有一根4=0x ，所以在-0∞（，）上，f(x)=1有且仅有一根， →∞又x -时，由“洛必达法则” -lim ()lim (1)0.x x x f x e ax →∞→-∞=+=-0∴∞在（，）上，f(x)是先增后减，(1),0x ax a ''++f (x)=e f (x)=得101a x a a+=-<⇒<-或a ＞0. 1--)()a f x a +∞又在（，上，单调递增，()0f x '∴>即1e ()0,01,a aa a a +-⋅->⇒<<-又1.a ∴<-故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最大值是________．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，．【点睛】本题考查简单的线性规划问题.14．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，1322b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=r r r________．【答案】52【解析】先由题意求出b r ，得到a b ⋅r r，进而可求出结果.【详解】因为13,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，所以1b =r ，又向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r ，则1cos 32b a b a π=⋅=r r r r ，所以21(2)52222a b b a b b +⋅=⋅+=+=r r r r r r .故答案为52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型.15．在(0)na x a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x 的项的系数为_________． 【答案】8.【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含6x 的项的系数. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以n=8.因为所有项的系数和为256， 所以81+a)256,1a =∴=（.设81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为8821881()r r r r r r T C x C x x --+==，令8-2r=6,所以r=1.所以含6x 的项的系数为188C =.故答案为：8 【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知抛物线C ：24(0)y mx m =>与直线0x y m --=交于A 、B 两点（A 、B 两点分别在x 轴的上、下方），且弦长8AB =，则过A ，B 两点、圆心在第一象限且与直线50x y +-+=相切的圆的方程为____________． 【答案】22(1)(4)24x y -+-=.【解析】先求出圆的半径为1,4），即得圆的方程. 【详解】联立直线和抛物线的方程得2260,x mx m -+=由题得1，所以m=1.所以2610,x x -+=解之得A(3(3B ++--,所以AB 的垂直平分线方程为y=-x+5, 因为圆心在AB 的垂直平分线上， 所以设圆心（t,-t+5）,因为AB的垂直平分线和直线50x y +-+=平行，因为两平行线间的距离为d ==所以圆的半径为因为点A (3++在圆上，所以22)(3)24,(05)t t t +-=<<（， 所以t=1.所以圆心为（1,4），所以圆的方程为22(1)(4)24x y -+-=. 故答案为：22(1)(4)24x y -+-= 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()*111,2n n n a a n N a +≠=-∈，数列{}n b 中，11n n b a =-，且124,,b b b 成等比数列； （1）求证：{}n b 是等差数列；（2）n S 是数列{}n b 的前n 项和，求数列{1nS }的前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析 (2)21n nT n =+． 【解析】（1）根据递推式构造出111111n n a a +=+--，即11n n b b +=+，可得证；（2）先根据等差数列的前n 项和公式，求出n S ，可得1nS ，再运用裂项求和的方法可得解. 【详解】（1）证明：()*111,2n n n a a n a +≠=-∈N ，可得11111n n n na a a a +--=-=， 所以111111n n a a +=+--，因为11n n b a =-，所以得11n n b b +=+，所以{}n b 是公差为1的等差数列；（2）124,,b b b 成等比数列，可得2214b b b =，可得()()211113b b b +=+，解得11b =，即21(1)22n n nS n n n +=+-=，可得12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则前n 项和11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭L 122111nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查根据递推式证明数列是等差数列，等差数列的前n 项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法，在证明数列是等差数列时，需构造等差数列的定义式，属于中档题. 18．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。
2019-2020学年重庆市南开中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如果复数1−ai 2+i（a ∈R ，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ）A.1B.−1C.3D.−3【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】 求出复数1−ai 2+i 的代数形式，根据复数的实部与虚部相等列出方程，解方程即可得到a 的值． 【解答】 复数1−ai2+i =(1−ai)(2−i)(2+i)(2−i)=(1−a)−(2a+1)i5，复数1−ai2+i 的实部与虚部相等，所以1−a ＝−2a +1，解得a ＝−3，2. 若A ＝{0, 1, 2}，B ＝{x ＝2a , a ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A.{0, 1, 2} B.{0, 1, 2, 3} C.{0, 1, 2, 4} D.{1, 2, 4}【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】求出A ，B ，由此利用并集的定义能求出A ∪B ． 【解答】∵ A ＝{0, 1, 2}，B ＝{x ＝2a , a ∈A}＝(1, 2, 4)，则A ∪B ＝(0, 1, 2, 4)3. 向量a →=(2,t)，b →=(−1,3)，若a →,b →的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A.t <23B.t >23C.t <23且t ≠−6D.t <−6【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】可先求出a →⋅b →=−2+3t ，根据a →，b →的夹角为钝角即可得出a →⋅b →<0，且a →,b →不平行，从而得出{−2+3t <06+t ≠0，解出t 的范围即可．【解答】a →⋅b →=−2+3t ； ∵ a →与b →的夹角为钝角； ∴ a →⋅b →<0，且a →,b →不平行； ∴ {−2+3t <06+t ≠0 ；∴ t <23，且t ≠−6．4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米 【答案】 B【考点】三角函数模型的应用 【解析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长． 【解答】由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴ 两手之间的距离d ＝2r sin π4=√2×1.25≈1.768．5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5＝75种.故选C.6. 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（）A.16+√2B.12+2√2+2√6C.18+2√2D.16+2√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】作出直观图，根据三视图中的尺寸计算各个面的面积．【解答】几何体为四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD // BC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，AD＝4．∴S△PAD=12×2×4=4，S△PAB=12×2×2=2，S梯形ABCD =12×(2+4)×2=6，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，PA⊥CD，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，∵PA＝AB＝2，故PB＝2√2，∴S△PBC=12×2×2√2=2√2，连接AC，则AC＝2√2，∠CAD＝∠BAC＝45∘，∴CD=√16+8−2×4×2√2×cos45=2√2，∴AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC，又CD⊥PA，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，于是CD⊥PC，又PC=√PA2+AC2=2√3，∴S△PCD=12×2√2×2√3=2√6．故四棱锥的表面积为S＝4+2+6+2√2+2√6=12+2√2+2√6．7. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x=π3对称的是（）A.y＝2sin(2x+π3) B.y＝2sin(2x−π6)C.y＝2sin(x2+π3) D.y＝2sin(2x−π3)【答案】B【考点】正弦函数的图象【解析】根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．【解答】C的周期T=2π12=4π，不满足条件．当x=π3时，A，y＝2sin(2×π3+π3=2sinπ＝0≠±2，B．y＝2sin(2×π3−π6)＝2sinπ2=2，D．y＝2sin(2×π3−π3=2sinπ3≠±2，故满足条件的是B，8. 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A.i<20,S=S−1i ,i=2i B.i≤20,S=S−1i,i=2iC.i<20,S=S2,i=i+1 D.i≤20,S=S2,i=i+1D【考点】 程序框图 【解析】由图可知第一次剩下12，第二次剩下122，…由此得出第20次剩下1220，结合程序框图即可得出答案． 【解答】由题意可得：由图可知第一次剩下12，第二次剩下122，…由此得出第20次剩下1220， 可得①为i ≤20？ ②s =s2，③i ＝i +1，9. 已知α是第二象限角，且sin (π+α)=−35，则tan 2α的值为（ ） A.45B.−237C.−247D.−83【答案】 C【考点】二倍角的正切公式 运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】根据诱导公式由已知的等式求出sin α的值，然后由α是第二象限角得到cos α小于0，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos α的值，进而求出tan α的值，把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tan α的值代入即可求出值． 【解答】解：由sin (π+α)=−sin α=−35，得到sin α=35，又α是第二象限角，所以cos α=−√1−sin 2α=−45，tan α=−34， 则tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×(−34)1−(−34)2=−247．故选C .10. 已知抛物线x 2＝4y 焦点为F ，经过F 的直线交抛物线与A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，点A 、B 在抛物线准线上的投影分别为A 1，B 1，以下四个结论：①x 1x 2＝−4，②|AB|＝y 1+y 2+1，③∠A 1FB 1=π2，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为（ ） A.1B.2C.3D.4【答案】命题的真假判断与应用【解析】求得人品微信的焦点和准线方程，设过F的直线方程为y＝kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式，以及中点坐标公式，两直线垂直的条件：斜率之积为−1，二次函数的最值求法，即可判断．【解答】抛物线x2＝4y焦点为F(0, 1)，准线方程为y＝−1，可设过F的直线方程为y＝kx+1，代入抛物线方程可得x2−4kx−4＝0，即有x1+x2＝4k，x1x2＝−4，|AB|＝y1+y2+2；AB的中点纵坐标为12(y1+y2)=12[k(x1+x2)+2]＝1+2k2，AB的中点到抛物线的准线的距离为2k2+2，k＝0时，取得最小值2；由F(0, 1)，A1(x1, −1)，B1(x2, −1)，可得k A1F ⋅k B1F=2−x1⋅2−x2=4x1x2=−1，即有∠A1FB1=π2，综上可得①③④正确，②错误．11. 已知函数f(x)＝x ln x−kx+1在区间[1e,e]上只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A.{k|k＝1或k>e−1}B.{k|1≤k≤1+1e或k>e−1}C.{k|k≥1}D.{k|k＝1或1+1e<k≤e−1}【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】构造方程x ln x−kx+1＝0，可知k=ln x+1x ；将问题转化为求函数g(x)=ln x+1x与直线y＝k只有一个交点时k的取值范围即可，通过对g(x)求导判断其增减区间，进而得到k的取值．【解答】令x ln x−kx+1＝0，则k=ln x+1x；令g(x)=ln x+1x；g′(x)=1x −1x2=x−1x2；∴ 当x ∈[1e ,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x ∈[1, e]时，g′(x)>0，g(x)单调递增； ∴ 当x ＝1时，有g(x)min ＝1； 又∵ g(1e)=e −1，g(e)=1+1e；∴ g(e)<g(1e)；∵ f(x)在[1e ,e]上只有一个零点； ∴ g(x)＝k 只有一个解； ∴ k ＝1或1+1e <k ≤e −1；12. △ABC 中AB =AC =√3，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2+PC 2＝3PA 2＝3，则△ABC 面积最大值为（ ） A.2√233B.5√2316C.√354D.3√3516【答案】B【考点】 正弦定理 【解析】以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设B(−a, 0)，C(a, 0)，(a >0)，则A(0, √3−a 2)，设P(x, y)，运用两点距离公式可得P 在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得a 的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值． 【解答】以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴， 建立直角坐标系，设B(−a, 0)，C(a, 0)，(a >0)，则A(0, √3−a 2)，设P(x, y)，由PB 2+PC 2＝3PA 2＝3，可得(x +a)2+y 2+(x −a)2+y 2＝3[x 2+(y −√3−a 2)2]＝3， 可得x 2+y 2=32−a 2，x 2+(y −√3−a 2)2＝1，即有点P 既在(0, 0)为圆心，半径为√32−a 2的圆上， 也在(0, √3−a 2)为圆心，1为半径的圆上， 可得|1−√32−a 2|≤√3−a 2≤1+√32−a 2， 由两边平方化简可得a 2≤2316，则△ABC 的面积为S =12⋅2a ⋅√3−a 2=a√3−a 2=√3a 2−a 4=√−(a 2−32)2+94， 由a 2≤2316，可得a 2=2316，S 取得最大值，且为5√2316．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）(x+y)(2x−y)5的展开式中x3y3的系数为________．（用数字填写答案）【答案】40【考点】二项式定理及相关概念【解析】由二项式定理及分类讨论思想得：(2x−y)5的展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(−y)r，则(x+y)(2x−y)5的展开式中x3y3的系数为−C5322+C5223=40，得解．【解答】由(2x−y)5的展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(−y)r，则(x+y)(2x−y)5的展开式中x3y3的系数为−C5322+C5223=40，在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且√3a＝2c sin A，c=√7，且△ABC的面积为3√32，则a+b＝________．【答案】5【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理将边化角求出sin C，根据面积公式求出ab，代入余弦定理得出(a+b)的值．【解答】∵√3a＝2c sin A，∴√3sin A＝2sin C sin A，∴sin C=√32．∵S△ABC=12ab sin C=√34ab=3√32，∴ab＝6．∵△ABC是锐角三角形，∴cos C=12，由余弦定理得：cos C=a 2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=(a+b)2−1912=12，解得a+b＝5．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)；①f(3)＝________；②f(n)＝________．【答案】＝1；n＝2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即ℎ7,2n−1【考点】归纳推理【解析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【解答】＝1；n＝2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即ℎ＝3＝22−1；n＝3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用ℎ(1)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用ℎ(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，ℎ(3)＝ℎ(4)×ℎ(5)+1＝3×2+1＝7＝23−1，ℎ(6)＝ℎ(7)×ℎ(8)+1＝7×2+1＝15＝24−1，…以此类推，ℎ(n)＝ℎ(n−1)×ℎ(n−1)+1＝2n−1，故答案为：7；2n−1．四面体ABCD的顶点在空间直角坐标系O−xyz中的坐标分别是A(0,0,√5)，B(√3, 0, 0)，C(0, 1, 0)，D(√3, 1, 5)，则四面体ABCD的外接球的体积为________．【答案】9π2【考点】球的体积和表面积【解析】如图所示，把四面体补为长方体，设四面体ABCD的外接球的半径为R，可得2R为长方体的对角线．【解答】如图所示，把四面体补为长方体，设四面体ABCD的外接球的半径为R，则2R为长方体的对角线．∴(2R)2=12+(√3)2+(√5)2=9，解得R=32．∴四面体ABCD的外接球的体积V=4π3R3=9π2．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.设数列{a n}满足a n+1=13a n+2，a1＝4（1）求证{a n −3}是等比数列，并求a n ；（2）求数列{a n }的前n 项和T n ． 【答案】数列{a n }满足a n+1=13a n +2，所以：a n+1−3=13(a n −3)，故：a n+1−3a n −3=13（常数），故：数列{a n }是以a 1−3＝4−3＝1为首项，13为公比的等比数列． 则：a n −3=1⋅(13)n−1，故：a n =(13)n−1+3（首项符合通项）． 由于：a n =(13)n−1+3，故：T n =(13)0+(13)1+⋯+(13)n−1+(3+3+..+3)，=1(1−13n )1−13+3n ，=32(1−13n )+3n ．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和． 【解答】数列{a n }满足a n+1=13a n +2， 所以：a n+1−3=13(a n −3)， 故：a n+1−3a n −3=13（常数），故：数列{a n }是以a 1−3＝4−3＝1为首项，13为公比的等比数列． 则：a n −3=1⋅(13)n−1，故：a n =(13)n−1+3（首项符合通项）． 由于：a n =(13)n−1+3，故：T n =(13)0+(13)1+⋯+(13)n−1+(3+3+..+3)，=1(1−1 3n )1−13+3n，=32(1−13n)+3n．某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(100, 152)，现从甲校100分以上（含10的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析（试卷编号为001，002，．，200），统计如下：试卷得分135138135137135139142144148150注：表中试卷编号n1<n2<029<n3<n4<...<n20（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号________；（2）该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图）在甲、乙两校这40份学生的试卷中，从成绩在140分以上（含14的学生中任意抽取3人，该3人在全市排名前15名的人数记为X，求随机变量X的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)＝68.3%，P(μ−2σ<X<μ+2σ)＝95.5%，P(μ−3σ<X<μ+3σ)＝99.7%【答案】180由茎叶图得甲、乙两校这40份学生的试卷中，成绩在140分以上（含14的学生有8人，其中145分以上有3人，全市前15名为145分以上，X服从超几何分布，X＝0，1，2，3P(X＝0)=C53C83=528，P(X＝1)=C31C52C83=1528，P(X＝2)=C32C51C83=1556，P(X＝3)=C33C83=156，∴X的分布列为：∴E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【考点】系统抽样方法茎叶图离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）利用系统抽样的性质求解．（2）由茎叶图得甲、乙两校这40份学生的试卷中，成绩在140分以上（含140分）的学生有8人，其中145分以上有3人，全市前15名为145分以上，X服从超几何分布，X ＝0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．【解答】180．由茎叶图得甲、乙两校这40份学生的试卷中，成绩在140分以上（含14的学生有8人，其中145分以上有3人，全市前15名为145分以上，X服从超几何分布，X＝0，1，2，3P(X＝0)=C53C83=528，P(X＝1)=C31C52C83=1528，P(X＝2)=C32C51C83=1556，P(X＝3)=C33C83=156，∴X的分布列为：∴E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，E为PC上的点，且BE⊥平面APC(Ⅰ)求证：平面PAD⊥平面PBC；(Ⅱ)当三棱锥P−ABC体积最大时，求二面角B−AC−P的大小；【答案】（1）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，CB⊥AB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥AP，又BE⊥平面APC，∴BE⊥AP，∴AP⊥平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC；（2）由（1）中，AP⊥平面PBC，得AP⊥PB，设P到AB的距离为ℎ，则AB×ℎ＝PA×PB，∴ℎ=12PA×PB≤12×PA2+PB22=1，当且仅当PA＝PB=√2时取等号，此时，三棱锥P−ABC的体积最大，连接BD交AC于O，连接OE，∵AC⊥OB，∴AC⊥OE（垂直斜线则垂直射影），∴∠EOB即为二面角B−AC−P的平面角，在正方形ABCD中，求得OB=√2，在Rt△PBC中，求得BE=√3，∴sin∠EOB=BEOB =√63，∴∠EOB＝arcsin√63．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)利用面面垂直的性质证得BC⊥AP，利用线面垂直的性质证得BE⊥AP，进而可得AP⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PBC；(Ⅱ)首先由不等式证得当PA＝PB时，三棱锥体积最大，然后结合三垂线逆定理作出二面角的平面角，不难求解．【解答】（1）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，CB⊥AB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥AP，又BE⊥平面APC，∴BE⊥AP，∴AP⊥平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC；（2）由（1）中，AP⊥平面PBC，得AP⊥PB，设P到AB的距离为ℎ，则AB×ℎ＝PA×PB，∴ℎ=12PA×PB≤12×PA2+PB22=1，当且仅当PA＝PB=√2时取等号，此时，三棱锥P−ABC的体积最大，连接BD交AC于O，连接OE，∵AC⊥OB，∴AC⊥OE（垂直斜线则垂直射影），∴∠EOB即为二面角B−AC−P的平面角，在正方形ABCD中，求得OB=√2，在Rt△PBC中，求得BE=√3，∴sin∠EOB=BEOB =√63，∴∠EOB＝arcsin√63．已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为−34．（1）求点M的轨迹方程．（2）设直线AM:x＝my−2(m≠0)与直线l:x＝2交于点P，点Q与点P关于x轴对称，直线MQ与x轴交于点D，若△APD的面积为2√6，求m的值．【答案】设点M的坐标为(x, y)，则yx+2⋅yx−2=−34，化简得点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1(x ≠±2)．根据条件得P(2,4m )，∴ Q(2,−4m )， 将x ＝my −2代入x 24+y 23=1中，得(3m 2+4)y 2−12my ＝0，∴ y ＝0或y =12m 3m 2+4，∴ M(6m 2−83m 2+4,12m3m 2+4)，∴ 直线MQ 的方程为(12m3m 2+4+4m )(x −2)−(6m 2−83m 2+4−2)(y +4m )=0， 令y ＝0，则x =6m 2−43m 2+2，∴ D(6m 2−43m 2+2,0)，∴ △APD 的面积S =12×12m 23m 2+2×4|m|=24|m|3m 2+2，∴ 24|m|3m 2+2=2√6， ∴ 3m 2−2√6|m|+2=0，∴ m =±√63． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 轨迹方程 【解析】（1）设点M 的坐标为(x, y)，由直线AM ，BM 的斜率之积为−34，可得关于x ，y 的方程，化简即可得到点M 的轨迹方程；（2）求出直线MQ 的方程和点D 的坐标，再求出△APD 的面积S ，根据△APD 的面积为2√6得到关于m 的方程，解方程即可得到m 的值． 【解答】设点M 的坐标为(x, y)，则y x+2⋅yx−2=−34，化简得点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1(x ≠±2)．根据条件得P(2,4m )，∴ Q(2,−4m )， 将x ＝my −2代入x 24+y 23=1中，得(3m 2+4)y 2−12my ＝0，∴ y ＝0或y =12m 3m 2+4，∴ M(6m 2−83m 2+4,12m3m 2+4)， ∴ 直线MQ 的方程为(12m 3m 2+4+4m )(x −2)−(6m 2−83m 2+4−2)(y +4m)=0，令y ＝0，则x =6m 2−43m 2+2，∴ D(6m 2−43m 2+2,0)，∴ △APD 的面积S =12×12m 23m 2+2×4|m|=24|m|3m 2+2，∴ 24|m|3m 2+2=2√6， ∴ 3m 2−2√6|m|+2=0，∴ m =±√63．已知函数f(x)＝e x +ax 2，g(x)＝ax ln x +ax −e 3x ． (Ⅰ)求函数f(x)的零点个数；(Ⅱ)若f(x)>g(x)对任意的x∈(0, +∞)恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）由题意，可知f(0)＝1，∴x＝0不是f(x)的零点．当x≠0时，令f(x)＝e x+ax2＝0，整理得，−a=e xx2．令t(x)=e xx2，x≠0．则t′(x)=ex⋅x2−e x⋅2xx4=x(x−2)e xx4．令t′(x)>0，即x(x−2)>0，解得x<0，或x>2；令t′(x)＝0，即x(x−2)＝0，解得x＝2；令t′(x)<0，即x(x−2)<0，解得0<x<2．∴函数t(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增．在x＝2处取得极小值t(2)=e 24．∵x→−∞，t→0；x→0，t→+∞；x→+∞，t→+∞∴函数t(x)大致图象如下：结合图形，可知：①当−a≤0，即a≥0时，−a=e xx2无解，即e x+ax2＝0无解，此时f(x)没有零点，②当0<−a<e24，即−e24<a<0时，e x+ax2＝0有1个解，此时f(x)有1个零点，③当−a=e24，即a=−e24时，e x+ax2＝0有2个解，此时f(x)有2个零点，④当−a>e24，即a<−e24时，e x+ax2＝0有3个解，此时f(x)有3个零点，综上所述，可知当a≥0时，函数f(x)没有零点；当−e 24<a<0时，有1个零点；当a=−e 24时，有2个零点；当a<−e 24时，有3个零点．（2）由已知可得：f(x)−g(x)＝e x+ax2−ax ln x−ax+e3x＝e x+e3x+a(x2−x ln x−x)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，∴e xx+e3+a(x−ln x−1)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，令ℎ(x)=e xx+e3+a(x−ln x−1)，x∈(0, +∞)，ℎ′(x)=e x(x−1)x +a(1−1x)=1x(x−1)(e xx+a)．令e xx +a<0，可得a>−e xx，x∈(0, +∞)．∴a>−e．因此：a>−e时，x＝1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值．ℎ(x)≥ℎ(1)＝e+e3>0恒成立．a＝−e时，函数ℎ(x)在x∈(0, +∞)上单调递增，x→0+，ℎ(x)>0恒成立，a<−e时，令ℎ′(x)=1x (x−1)(e xx+a)＝0，解得x＝1，e x+ax＝0，由e x0+ax0＝0，a<−e，可得e x0=−ax0>ex0，则x0>1．∴函数ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝−a+e3+a(ln(−a)−1)＝a ln(−a)−2a+e3＝F(a)，a<−e．F′(a)＝ln(−a)+1−2＝ln(−a)−1>0，∴F(a)在a<−e时单调递增，而F(−e3)＝−e3ln(−e3)+2e3+e3＝0．∴−e3<a<−e时，ℎ(x)min＝ℎ(x0)>0，满足题意．综上可得：a∈(−e3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，x>0，由此利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象．对a 分类讨论即可得出函数的零点的个数．(Ⅱ)由已知可得：f(x)−g(x)＝e x+ax2−ax ln x−ax+e3x＝e x+e3x+a(x2−x ln x−x)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，可得：e xx+e3+a(x−ln x−1)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，令ℎ(x)=e xx+e3+a(x−ln x−1)，x∈(0, +∞)，ℎ′(x)=e x(x−1)x2+a(1−1x)=1x(x−1)(e xx+a)．对a分类讨论，研究函数的单调性即可得出．【解答】（1）由题意，可知f(0)＝1，∴x＝0不是f(x)的零点．当x≠0时，令f(x)＝e x+ax2＝0，整理得，−a=e xx2．令t(x)=e xx2，x≠0．则t′(x)=ex⋅x2−e x⋅2xx4=x(x−2)e xx4．令t′(x)>0，即x(x−2)>0，解得x<0，或x>2；令t′(x)＝0，即x(x−2)＝0，解得x＝2；令t′(x)<0，即x(x−2)<0，解得0<x<2．∴函数t(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增．在x＝2处取得极小值t(2)=e 24．∵x→−∞，t→0；x→0，t→+∞；x→+∞，t→+∞∴函数t(x)大致图象如下：结合图形，可知：①当−a≤0，即a≥0时，−a=e xx2无解，即e x+ax2＝0无解，此时f(x)没有零点，②当0<−a<e24，即−e24<a<0时，e x+ax2＝0有1个解，此时f(x)有1个零点，③当−a=e24，即a=−e24时，e x+ax2＝0有2个解，此时f(x)有2个零点，④当−a>e24，即a<−e24时，e x+ax2＝0有3个解，此时f(x)有3个零点，综上所述，可知当a≥0时，函数f(x)没有零点；当−e 24<a<0时，有1个零点；当a=−e 24时，有2个零点；当a<−e 24时，有3个零点．（2）由已知可得：f(x)−g(x)＝e x+ax2−ax ln x−ax+e3x＝e x+e3x+a(x2−x ln x−x)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，∴e xx+e3+a(x−ln x−1)>0在x∈(0, +∞)上恒成立，令ℎ(x)=e xx+e3+a(x−ln x−1)，x∈(0, +∞)，ℎ′(x)=e x(x−1)x2+a(1−1x)=1x(x−1)(e xx+a)．令e xx +a<0，可得a>−e xx，x∈(0, +∞)．∴a>−e．因此：a>−e时，x＝1时，函数ℎ(x)取得极小值即最小值．ℎ(x)≥ℎ(1)＝e+e3>0恒成立．a＝−e时，函数ℎ(x)在x∈(0, +∞)上单调递增，x→0+，ℎ(x)>0恒成立，a<−e时，令ℎ′(x)=1x (x−1)(e xx+a)＝0，解得x＝1，e x+ax＝0，由e x0+ax0＝0，a<−e，可得e x0=−ax0>ex0，则x0>1．∴函数ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝−a+e3+a(ln(−a)−1)＝a ln(−a)−2a+e3＝F(a)，a<−e．F′(a)＝ln(−a)+1−2＝ln(−a)−1>0，∴F(a)在a<−e时单调递增，而F(−e3)＝−e3ln(−e3)+2e3+e3＝0．∴−e3<a<−e时，ℎ(x)min＝ℎ(x0)>0，满足题意．综上可得：a∈(−e3, +∞)．（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（2）已知点P(−2, 4)，直线l与曲线C交于M，N两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【答案】曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，转化为直角坐标方程为y2＝2ax．直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．转换为直角坐标方程为x−y−2＝0．把直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．代入y2＝2ax得到：(√22t−4)2=2a(√22t−2)，整理得：t2−(8√2+4√2a)t+32+8a=0，所以t1+t2=8√2+4√2a，t1t2＝32+8a，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：|MN|2＝|PM||PN|，整理得(8√2+2√2a)2=5(32+8a)，解得a＝1或−4（负值舍去）．故a＝1．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ(a>0)，转化为直角坐标方程为y2＝2ax．直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．转换为直角坐标方程为x−y−2＝0．把直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数）．代入y2＝2ax得到：(√22t−4)2=2a(√22t−2)，整理得：t2−(8√2+4√2a)t+32+8a=0，所以t1+t2=8√2+4√2a，t1t2＝32+8a，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：|MN|2＝|PM||PN|，整理得(8√2+2√2a)2=5(32+8a)，解得a ＝1或−4（负值舍去）． 故a ＝1．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝m −|x −1|−|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={5+2x(x <−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x >1) ，由f(x)>2得不等式的解集为{x|−32<x <32}．由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2，该函数在x ＝−1取得最小值2， 因为f(x)={m +2x(x <−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x >1)，在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m −2≥2，即m ≥4． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 分段函数的应用 【解析】（1）当m ＝5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2在x ＝−1取得最小值2，f(x)在x ＝−1处取得最大值m −2，故有m −2≥2，由此求得m 的范围． 【解答】当m ＝5时，f(x)={5+2x(x <−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x >1) ，由f(x)>2得不等式的解集为{x|−32<x <32}．由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2，该函数在x ＝−1取得最小值2， 因为f(x)={m +2x(x <−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x >1) ，在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m −2≥2，即m ≥4．。
重庆市南开中学2019届高三数学第三次教学质量检测考试试题理(含解析)
重庆南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2019.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）A.【答案】D【解析】【分析】故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.）【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.7项和为28）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.）B. 1C. 2D. -8【答案】A【解析】【分析】m的值.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙）A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】.，所以P(85＜X＜的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.A(1,2),的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.）【答案】D【解析】【分析】进行循环体的条件，进而得到答案．时，退出循环，【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0x=-2的值.【详解】令x=0得令x=-2故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.）A. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】的值，一条对称轴是即可求解．，可得：．．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.的取值范围为（）【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（xx a≥3，综合即得解.【详解】由题得代入上面的不等式得a≥3，，（1）在x∈（0＜x≤1恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）.(2)在xx∈上恒成立，又在x的最小值为5，.(3)在x x.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.：：）A. -2B. 1C. 4【答案】B【解析】【分析】由题可设a>0,d＜0.数量积运算化简得解.【详解】由题可设a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以所以|AB|=|FA|-|OB|=，1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.．【答案】-2【解析】14.__________．【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,所以函数f（x）是奇函数，f(x)是定义域上的增函数，=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.中，，，，__________．【解析】【分析】直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与.【详解】所成的角就是直线.所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.中，__________．【答案】9【解析】【分析】，再根据.因为数列是正项递增等比数,所以，9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1（2【答案】（1（2【解析】【分析】（1（2【详解】解：（1）由正弦定理得：（2，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i （ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i（ii324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，.【详解】解：（1）（i y=1.2xy=1.2×240+(x-240)×1.8=1.8x-144 （ii）由，解得∴小李一天收入不低于324（2工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19..（1（2.【答案】（1（2【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2【详解】解：（1两点：，（2，则.，并结合①式得，当且仅当，时取等，所以的最小值为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥（1时，求证：（2与平面.【答案】（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1，再证明（2轴正方向，.【详解】解：（1，，∴，（2的法向量为，即有，由，解得.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.（1仅在处取得极值，求实数（2.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1处取得极值，则，即.，当，a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.（2由题意则有三个根，则有两个零点，则即证：在上单调递增，即证：，，为增函数，∴当时，.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.为参数，，以原点轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：（1（2【答案】（1（2）16.【解析】【分析】（1）（2）【详解】解：（1∴曲线的标准方程为：（2，的参数方程代入，【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.的最小值为（1（2【答案】（1（2）详见解析.【解析】【分析】（1（2）,是减函数，y=是减函数，数，.）. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
重庆市2019届高三上学期第一次月考 数学理Word版含答案
重庆市2019届高三上学期第一次月考数学理数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一. 选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)i i z +=, 则z =( )A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --2. 设0.53a =, 3log 2b =, 0.5log 3c =, 则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a <<3. 函数22x x y e -+=(03x ?) 的值域是（ ）A. 3(,1)e -B. 3[,1)e -C. 3(,]e e -D. (1,]e4. 把ln(1)y x =+的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（ ）A. ln3y x =B. ln 3x y =C. 2ln 3x y += D. ln(32)y x =-5. 函数()2ln 25f x x x =+-的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 3 6．若定义在实数集R 上的偶函数)(x f 满足0)(>x f , )(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 则(2015)f =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 17. 若某程序框图如右图所示, 当输入50时, 则该程序运算后输出的结果是( )A. 8B. 6C. 4D. 28. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h厘米, 已知当0x=时, 13h=. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完. 则函数()h f x=的图像为（）A. B.C. D.9. 函数|1|,1()21,1xa xf xx-ì=ïï=íï+?ïî,若关于x的方程22()(25)()50f x a f x a-++=有五个不同的实数解, 则a的取值范围是（）A.55(2,)(,)22+∞ B.(2,)+? C.[2,)+? D.55[2,)(,)22+?U10. 若定义域在[0,1]的函数()f x满足：①对于任意12,[0,1]x xÎ，当12x x<时，都有12()()f x f x³;②(0)0f=;③1()()32xf f x=;④(1)()1f x f x-+=-,则19()()32014f f+=（）A.916- B．1732- C．174343- D．5121007-二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
2019年重庆大路中学高三数学理月考试题含解析
2019年重庆大路中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f （x）=2﹣x，则f的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】3Q：函数的周期性．【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期和函数的奇偶性整理计算即可求得最终结果．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（﹣2017）=f（﹣504×4﹣1）=f（1），f=f（0），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣x，故f（1）=1，f（0）=2，故f=f（0）+f（1）=3，故选：D．2. （5分）若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为（）A． 1 B．﹣2 C．﹣3 D． 3参考答案：A【考点】：一元二次不等式的应用．【专题】：计算题．【分析】：由一元二次方程与对应不等式关系可知，一元二次不等式解集边界值，就是所对应一元二次方程两根，然后将根代入方程即可求出m的值．解：∵不等式的解集为{x|0＜x＜2}，∴0、2是方程﹣x2+（2﹣m）x=0的两个根，∴将2代入方程得m=1．∴m=1；故答案为：1．【点评】：本题考查一元二次不等式与所对应的二次方程关系，同时转化能力，属于基础题．3. 如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3B．2C．3 D．2参考答案：A【考点】复数求模．【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．4. 若存在正数使成立,则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D略5. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g （1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D6. 设集合，，现有下面四个命题：p1：，；p2：若，则；p3：若，则；p4：若，则．其中所有的真命题为（）A．p1，p4 B．p1，p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p2，p4参考答案：B由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.7. 设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130参考答案：D8. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A．5,10,15, 20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32参考答案：B略9. 已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A10. 定义：设A是非空实数集，若?a∈A，使得对于?x∈A，都有x≤a(x≥a)，则称a是A的最大(小)值 .若B是一个不含零的非空实数集，且a0是B的最大值，则()A．当a0＞0时，a是集合{x－1|x∈B}的最小值B．当a0＞0时，a是集合{x－1|x∈B}的最大值C．当a0＜0时，－a是集合{－x－1|x∈B}的最小值D．当a0＜0时，－a是集合{－x－1|x∈B}的最大值参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现三维空间中球的二雄测度(表面积），三维测度(体积），观察发.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度W=_______.参考答案：12. 数列满足，则= .参考答案：略13. 现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人，每人至少一张,其中有两人各分得两张连号的电影票，则不同的分法有种（用数字作答）.参考答案：14. 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.参考答案：15. 若不等式对一切非零实数均成立,记实数的取值范围为.已知集合，集合，则集合.参考答案：略16. 已知数列{a n}满足a1=0，a2=1，，则{a n}的前n项和S n= ．参考答案：17. 已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
重庆市第一中学校2019届高三数学3月月考试题理(含解析)
重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，B的补集，找出A补集与补集的交集即可．【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合，集合B＝{2，4，6，8}，∴（∁U A）＝{5，6，7，8}，（∁U B）＝{1，3，5，7}，∴（∁U A）∩（∁U B）＝{5，7}，故选：A．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用纯虚数的定义可得a﹣6＝0 且2a+3≠0，求出a值，可得复数z的虚部．【详解】∵复数为纯虚数，∴a﹣6＝0 且2a+3≠0，∴a＝6，复数z3i，则复数的虚部为3，故选：C．【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题．3.实数数列为等比数列，则等于（）A. B. 4 C. 2 D. 或4 【答案】B【解析】【分析】由实数数列是等比数列，可得q3＝8，利用等比数列通项公式即可求出的值【详解】∵实数数列是等比数列，∴q3＝8，∴q=2，∴a2＝1．故选B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．4.某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．【详解】∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：∴该几何体的体积为π23π×22×2＝=，故选：B．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了球体与锥体的体积公式，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为15，18，则输出的为（）A. 12B. 6C. 3D. 1 【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】由a＝15，b＝18，不满足a＞b，则b变为18﹣15＝3，由b＜a，则a变为15﹣3＝12，由b＜a，则a变为12﹣3＝9，由b＜a，则a变为9﹣3＝6，由b＜a，则a变为6﹣3＝3，由a＝b＝3，则输出的a＝3．故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．6.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A. 若，则B. 若，是在内的射影，，则C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A中，在如图所示的正方体中，若取直线为，为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误；由射影定理可知选项B正确；选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；选项D中，在如图所示的正方体中，若取平面为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误.本题选择B选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的值域为R，等价于真数a能取遍一切正实数，由a＝0时，显然成立，a≠0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围【详解】若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，综上知实数a的取值范围是．故选D.【点睛】本题考查了对数函数的值域及性质，二次函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题，关键利用二次函数性质得出△≥0的条件．8.过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则（）A. 3B. 4C.D. 5【答案】D【分析】设出直线方程，利用只需与抛物线联立，利用条件求得直线方程，再利用弦长公式求解即可．【详解】抛物线C：y2＝4x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：x＝my+1，则可得y2﹣4my﹣4＝0，l与C有两个交点A（）、B（），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m＝2，解得m，所以y2﹣2y﹣4＝0的两根满足，，由弦长公式可得=5，故选D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，涉及弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．9.（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接利用两角和的正弦函数及诱导公式化简求解即可.【详解】∵=====.【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查了计算能力，属于基础题.10.已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，（为自然对数的底），则函数在区间上的所有零点之和为（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】D【分析】根据已知，利用导数分析函数的单调性与极值，画出函数f（x）的图象，数形结合，可得函数f（x）在区间[0，4]上的所有零点的和．【详解】∵f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0，且当x∈（0，2）时，，则==0,则x=1，且在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，2）时，单调递增，，=f(2)>0, 故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x＝2对称，故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为3×4+2＝14，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的周期性及奇偶性的应用，考查了函数的零点与函数图象和性质的综合应用，数形结合是解决函数零点问题的常用方法，属于中档题．11.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果．【详解】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），其中（白黑黑白）的取法种数为=，（黑黑白白）的取法种数为=，（黑白黑白）的取法种数为=，综上共有，故选A.【点睛】本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独立概率计算公式的合理运用．12.若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（）组？A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论.【详解】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，不妨设>，过A的切线方程为y=x-, 过B的切线方程为y=x-,∴两条切线距离为d==, 化简得=1+9，令，显然u=1为一解，又-8u+10=0有两个异于1的正根，∴这样的u有3解，而，>，且+=2，即与是一一对应的，∴这样的，有3组，故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.二.填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中的常数项为_______.【答案】【解析】【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．【详解】的通项公式为：T r+1（-1）r x6﹣2r．令6﹣2r＝0解得r＝3，∴（-1）320，所以常数项为-20．故答案为：-20．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．14.已知实数满足，则的最大值是______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域如图，由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，代入得6，此时z最大为6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.的内角的对边分别为，已知，，_____.【答案】【解析】【分析】由cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝1，可得sin A sin C，由a＝2c及正弦定理可得sin A＝2sin C，联解得到sin C的值，从而得到角C的大小【详解】由B＝π﹣（A+C）可得cos B＝﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sin A sin C＝1∴sin A sin C①由可得，得到2sin(A+B)=sinA，即2sinC=sinA，…②，由正弦定理可得可得a＝2c，①②联解可得，sin2C∵0＜C＜π，∴sin C结合a＝2c即a＞c，得C为锐角，∴C故答案为．【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，合理选择公式是解题的关键，属于中档题．16.直线与圆相交于两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．算出OA＝1，得到∠AON，可得∠MON，计算出•的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得2﹣4cos∠AOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．【详解】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2＝a2+b2，∴O点到直线MN的距离OA1，x2+y2＝4的半径r＝2，∴Rt△AON中，设∠AON＝θ，得cosθ，得θ=，cos∠MON＝cos2θ＝，由此可得，•||•||cos∠MON＝2×2×（）＝﹣2，则（）•（）•2•（）＝﹣2+4﹣2•2﹣2||•||•cos∠AOP＝2﹣4cos∠AOP，当，同向时，取得最小值且为2﹣4＝﹣2，当，反向时，取得最大值且为2+4＝6．则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的数量积的定义，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，注意运用转化思想，属于中档题．三.解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．）17.已知数列的前项和满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分n＝1与n≥2讨论，即可求通项公式；（2）化简可得利用裂项求和法求解．【详解】（1）令，，，当时，，，两式作差可得，又n=1时满足，综上，，.（2），∴=.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，同时考查了裂项求和法的应用，属于基础题．18.为调查某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图（如图）.（1）估计这100名学生每周课外阅读的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.①求；②若该校共有10000名学生，记每周课外阅读时间在区间的人数为，试求.参数数据：，若，，.【答案】（1），；（2）①②.【解析】【分析】（1）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（2）①利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；②由①知位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．【详解】（1）,+.（2）①由（1）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，∴P（0.8＜X≤8.3）0.8186；②依题意ξ服从二项分布，即，.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了二项分布、正态分布的知识，着重考查运算求解能力以及数据处理能力，是中档题．19.如图，在四棱锥中，平面，，，底面为菱形，为的中点，分别线段，上一点，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出EF∥PA，根据中位线定理推导出OG∥PA，从而EF∥OG，由此能证明EF∥平面BDG．（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）设交于点，在中，，所以，连结AC，交BD于点O，连结OG，分别为的中点，所以，故，平面，平面；（2），，取中点，分别以为轴建立如图所示的坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，由，可得，所求线面角的正弦值.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间向量法的合理运用．20.已知椭圆的左.右焦点分别为，为坐标原点.（1）若斜率为的直线交椭圆于点，若线段的中点为，直线的斜率为，求的值；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设出A，B点坐标，代入椭圆方程作差并整理，则可求出的值．（2）设（），，先计算有一条直线斜率不存在对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出B，D坐标，化简斜率得出结论．【详解】（1）设，将，作差可得，，，所以；（2）设（），，当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得∴，，则，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∴，当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线，的斜率存在时，，设直线的方程为，则由消去可得：，又，则，代入上述方程可得，∴，∴，则∴，设直线的方程为，同理可得∴直线的斜率为，∵直线的斜率为，∴所以直线与的斜率之积为定值，即.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的应用，考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．21.已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点，，求证：. 【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据不等式构造函数，通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性及极值，求出满足条件的实数a的取值范围．（2）求出x1x2，只需证明，不妨设x1＞x2，只需证明，令t（t＞1），原不等式转化为lnt，结合（1）利用不等式的传递性证明即可．【详解】（1）令，，，令，当时，，且对称轴，所以当时，，在上单调递增，所以恒成立，当时，，可知必存在区间，使得，当时，有，即在上单调递减，由于，此时不合题意，综上；（2），令在有两个不同的零点，，若，则，不合题意； 若，设两个零点分别为，则，可得，要证，即证，即证，即证，即证，即证，令，即证由（1）可得时，，只需证，即证，故原不等式得证.【点睛】本题考查函数的单调性以及函数最值的求法，考查了不等式的证明，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大．请考生在22.23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点. （1）求曲线的直角坐标方程，以及的取值范围；（2）若过原点的直线交曲线于两点，求的最大值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程：，；（2）.【解析】【分析】（1）直接把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，结合圆的性质求得的取值范围．（2）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程，利用一元二次方程根和系数的关系与极径的定义，求得结果．【详解】（1）将代入，曲线的直角坐标方程：，由于直线过圆内定点，注意直线的斜率一定存在，所以.（2）设过原点的直线的极角为，则，，所以的最大值为.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，极径的应用，属于中档题．23.已知函数（1）解不等式；（2）若，且，证明：，并求时，的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1) 通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)利用绝对值三角不等式证明不等式，同时可知=，在结合均值不等式即可得到的值详解：(1)当时,不等式为,；当时,不等式为,不成立；当时,不等式为,, 综上所述,不等式的解集为；（2）解法一: ，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.解法二：，当时，；当时，；当时，的最小值为，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学(理)试题(解析版)
重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，B的补集，找出A补集与补集的交集即可．【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合，集合B＝{2，4，6，8}，∴（∁U A）＝{5，6，7，8}，（∁U B）＝{1，3，5，7}，∴（∁U A）∩（∁U B）＝{5，7}，故选：A．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用纯虚数的定义可得a﹣6＝0 且2a+3≠0，求出a值，可得复数z的虚部．【详解】∵复数为纯虚数，∴a﹣6＝0 且2a+3≠0，∴a＝6，复数z3i，则复数的虚部为3，故选：C．【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题．3.实数数列为等比数列，则等于（）A. B. 4 C. 2 D. 或4【答案】B【解析】【分析】由实数数列是等比数列，可得q3＝8，利用等比数列通项公式即可求出的值【详解】∵实数数列是等比数列，∴q3＝8，∴q=2，∴a2＝1．故选B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．4.某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．【详解】∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：∴该几何体的体积为π23π×22×2＝=，故选：B．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了球体与锥体的体积公式，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为15，18，则输出的为（）A. 12B. 6C. 3D. 1【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】由a＝15，b＝18，不满足a＞b，则b变为18﹣15＝3，由b＜a，则a变为15﹣3＝12，由b＜a，则a变为12﹣3＝9，由b＜a，则a变为9﹣3＝6，由b＜a，则a变为6﹣3＝3，由a＝b＝3，则输出的a＝3．故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．6.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A. 若，则B. 若，是在内的射影，，则C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A中，在如图所示的正方体中，若取直线为，为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误；由射影定理可知选项B正确；选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；选项D中，在如图所示的正方体中，若取平面为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误.本题选择B选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的值域为R，等价于真数a能取遍一切正实数，由a＝0时，显然成立，a≠0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围【详解】若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，综上知实数a的取值范围是．故选D.【点睛】本题考查了对数函数的值域及性质，二次函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题，关键利用二次函数性质得出△≥0的条件．8.过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则（）A. 3B. 4C.D. 5【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，利用只需与抛物线联立，利用条件求得直线方程，再利用弦长公式求解即可．【详解】抛物线C：y2＝4x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：x＝my+1，则可得y2﹣4my﹣4＝0，l与C有两个交点A（）、B（），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m＝2，解得m，所以y2﹣2y﹣4＝0的两根满足，，由弦长公式可得=5，故选D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，涉及弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．9.（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接利用两角和的正弦函数及诱导公式化简求解即可.【详解】∵=====.【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查了计算能力，属于基础题.10.已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，（为自然对数的底），则函数在区间上的所有零点之和为（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用导数分析函数的单调性y与极值，画出函数f（x）的图象，数形结合，可得函数f（x）在区间[0，4]上的所有零点的和．【详解】∵f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0，且当x∈（0，2）时，，则==0,则x=1，且在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，2）时，单调递增，，=f(2)>0,故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x＝2对称，故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为3×4+2＝14，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的周期性及奇偶性的应用，考查了函数的零点与函数图象和性质的综合应用，数形结合是解决函数零点问题的常用方法，属于中档题．11.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果．【详解】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），其中（白黑黑白）的取法种数为=，（黑黑白白）的取法种数为=，（黑白黑白）的取法种数为=，综上共有，故选A.【点睛】本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独立概率计算公式的合理运用．12.若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（）组？A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论. 【详解】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，不妨设>，过A的切线方程为y=x-, 过B的切线方程为y=x-,∴两条切线距离为d==,化简得=1+9，令，显然u=1为一解，又-8u+10=0有两个异于1的正根，∴这样的u有3解，而，>，且+=2，即与是一一对应的，∴这样的，有3组，故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.二.填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中的常数项为_______.【答案】【解析】【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．【详解】的通项公式为：T r+1（-1）r x6﹣2r．令6﹣2r＝0解得r＝3，∴（-1）320，所以常数项为-20．故答案为：-20．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．14.已知实数满足，则的最大值是______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域如图，由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，代入得6，此时z最大为6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.的内角的对边分别为，已知，，_____.【答案】【解析】【分析】由cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝1，可得sin A sin C，由a＝2c及正弦定理可得sin A ＝2sin C，联解得到sin C的值，从而得到角C的大小【详解】由B＝π﹣（A+C）可得cos B＝﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sin A sin C＝1∴sin A sin C①由可得，得到2sin(A+B)=sinA，即2sinC=sinA，…②，由正弦定理可得可得a＝2c，①②联解可得，sin2C∵0＜C＜π，∴sin C结合a＝2c即a＞c，得C为锐角，∴C故答案为．【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，合理选择公式是解题的关键，属于中档题．16.直线与圆相交于两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．算出OA＝1，得到∠AON，可得∠MON，计算出•的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得2﹣4cos∠AOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．【详解】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2＝a2+b2，∴O点到直线MN的距离OA1，x2+y2＝4的半径r＝2，∴Rt△AON中，设∠AON＝θ，得cosθ，得θ=，cos∠MON＝cos2θ＝，由此可得，•||•||cos∠MON＝2×2×（）＝﹣2，则（）•（）•2•（）＝﹣2+4﹣2•2﹣2||•||•cos∠AOP＝2﹣4cos∠AOP，当，同向时，取得最小值且为2﹣4＝﹣2，当，反向时，取得最大值且为2+4＝6．则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的数量积的定义，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，注意运用转化思想，属于中档题．三.解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．）17.已知数列的前项和满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分n＝1与n≥2讨论，即可求通项公式；（2）化简可得利用裂项求和法求解．【详解】（1）令，，，当时，，，两式作差可得，又n=1时满足，综上，，.（2），∴=.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，同时考查了裂项求和法的应用，属于基础题．18.为调查某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图（如图）. （1）估计这100名学生每周课外阅读的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.①求；②若该校共有10000名学生，记每周课外阅读时间在区间的人数为，试求.参数数据：，若，，.【答案】（1），；（2）①②.【解析】【分析】（1）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（2）①利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；②由①知位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．【详解】（1）,+.（2）①由（1）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，∴P（0.8＜X≤8.3）0.8186；②依题意ξ服从二项分布，即，.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了二项分布、正态分布的知识，着重考查运算求解能力以及数据处理能力，是中档题．19.如图，在四棱锥中，平面，，，底面为菱形，为的中点，分别线段，上一点，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出EF∥PA，根据中位线定理推导出OG∥PA，从而EF∥OG，由此能证明EF∥平面BDG．（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）设交于点，在中，，所以，连结AC，交BD于点O，连结OG，分别为的中点，所以，故，平面，平面；（2），，取中点，分别以为轴建立如图所示的坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，由，可得，所求线面角的正弦值.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间向量法的合理运用．20.已知椭圆的左.右焦点分别为，为坐标原点.（1）若斜率为的直线交椭圆于点，若线段的中点为，直线的斜率为，求的值；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设出A，B点坐标，代入椭圆方程作差并整理，则可求出的值．（2）设（），，先计算有一条直线斜率不存在对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出B，D坐标，化简斜率得出结论．【详解】（1）设，将，作差可得，，，所以；（2）设（），，当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得∴，，则，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∴，当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线，的斜率存在时，，设直线的方程为，则由消去可得：，又，则，代入上述方程可得，∴，∴，则∴，设直线的方程为，同理可得∴直线的斜率为，∵直线的斜率为，∴所以直线与的斜率之积为定值，即.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的应用，考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．21.已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据不等式构造函数，通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性及极值，求出满足条件的实数a的取值范围．（2）求出x1x2，只需证明，不妨设x1＞x2，只需证明，令t（t＞1），原不等式转化为lnt，结合（1）利用不等式的传递性证明即可．【详解】（1）令，，，令，当时，，且对称轴，所以当时，，在上单调递增，所以恒成立，当时，，可知必存在区间，使得，当时，有，即在上单调递减，由于，此时不合题意，综上；（2），令在有两个不同的零点，，若，则，不合题意；若，设两个零点分别为，则，可得，要证，即证，即证，即证，即证，即证，令，即证由（1）可得时，，只需证，即证，故原不等式得证.【点睛】本题考查了考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查了不等式的证明，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大．请考生在22.23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程，以及的取值范围；（2）若过原点的直线交曲线于两点，求的最大值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程：，；（2）.【解析】【分析】（1）直接把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，结合圆的性质求得的取值范围．（2）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程，利用一元二次方程根和系数的关系与极径的定义，求得结果．【详解】（1）将代入，曲线的直角坐标方程：，由于直线过圆内定点，注意直线的斜率一定存在，所以.（2）设过原点的直线的极角为，则，，所以的最大值为.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，极径的应用，属于中档题．23.已知函数（1）解不等式；（2）若，且，证明：，并求时，的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：(1) 通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)利用绝对值三角不等式证明不等式，同时可知=，在结合均值不等式即可得到的值详解：(1)当时,不等式为,；当时,不等式为,不成立；当时,不等式为,,综上所述,不等式的解集为；（2）解法一:，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.解法二：，当时，；当时，；当时，的最小值为，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
重庆市第一中学校近年届高三数学下学期第三次月考试题文(含解析)(最新整理)
再由 可得 或 ，
即 ，
令 ，( ），
则 ,
因为 ，所以 ，
即函数 上单调递减，
又 ， ，
所以 .
即 的取值范围是
故选A
【点睛】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题,通常需要结合函数图像求解,灵活运用数形结合的思想即可,属于常考题型.
二.填空题.
13。双曲线 的渐近线方程是________。
第三步： ，此时不能输出，继续循环；
第四步： ，此时不能输出，继续循环；
第五步： ，此时不能输出，继续循环；
第六步： ，此时要输出，结束循环；
故，判断条件为 。
故选B
【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.
10.将函数 图像向左平移 个单位后图像关于点 中心对称，则 的值可能为( ）
11。直线 是抛物线 在点 处的切线，点 是圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值等于（ )
A. B. C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意求出直线 的方程，再求出圆 的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果。
【详解】因为 ，所以 ，
因此抛物线 在点 处的切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
又圆 可化为 ，
所以圆心为 ，半径 ；
则圆心到直线的距离为
又因点 是圆 上的动点,
所以点 到直线 的距离的最小值等于 .
故选C
【点睛】本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题,熟记直线与圆位置关系即可,属于常考题型.
12。已知函数 ,若方程 有四个不同的解 , ， , ,且 ,则 的取值范围是（ ）
重庆市2019-2020学年高三数学月考试题理(含解析)
高三数学月考试题理一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知，，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可.【详解】求解函数的定义域可得：，即求解函数的值域可得，则，据此可得=.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：当时，，选项A错误；当时，，选项B错误，当时，，且，选项C错误；由不等式的性质可知，，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知随机变量服从正态分布,若,则=( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解的值即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的对称轴为，则，故.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意可得：，由于，故，据此可知.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.下列函数中是奇函数且在区间上单调的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可.【详解】逐一考查所给函数的性质：A.，函数为奇函数且时，，当时，，当时，，据此可知函数在区间不具有单调性，不合题意；B.，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在上不具有单调性；C.，易知函数的定义域为，且，故函数为奇函数，由于函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，满足题意；D.，该函数为偶函数，不合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列说法中错误的是（）A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样；B. 从茎叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1;D. 若随机变量，，，则【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确；B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,原命题错误;D. 若随机变量，，，则,据此可得:，原命题正确．本题选择C选项.【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变量的相关性，二项分布的均值方差公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知直线与圆：相交于两点，若三角形为等腰直角三角形，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于m的方程，解方程即可求得实数m的值.【详解】圆C的方程即：，则圆心坐标为，圆的半径为，易知等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C，故圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式有：，解得：或.本题选择B选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8.已知二项式的展开式中的系数是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定展开式的通项公式，然后结合题意得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.【详解】展开式的通项公式为：，令可得，令可得，结合题意有：，据此可得：.本题选择D选项.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9.从区间中任取一个值，则函数在上是增函数的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由函数的单调性求得实数a的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可. 【详解】由函数的解析式：为增函数，则，为增函数，则，且当时，有：，即，解得，综上可得，若函数在上是增函数，则，由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.数列前项和为，，，，若，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知是双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为,有下列四个命题中真命题个数为（）个．①双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为；②若，则的最大值为；③的内切圆的圆心横坐标为；④若直线的斜率为，则．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：由双曲线焦点弦公式：可得：双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为.说法①错误.对于②,若,则由双曲线的定义可得.，,故有,即离心率的最大值为，故②不正确.对于③,设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|−|NF2|=2a=|KF1|−|KF2|，又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K为双曲线的右顶点,又△PF1F2的内切圆的圆心在切点K的正上方,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确.对于④若直线PF1的斜率为k,则由题意可得，∴，故④正确.综上可得，四个命题中真命题个数为2个.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为，所以，因为，所以，因此构造函数，由，当时，即单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.考点：函数的导数与最值.二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为_______【答案】【解析】【分析】由题意首先求得m的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可.【详解】由题意可得：，则圆锥曲线方程为：，则.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14.若实数满足约束条件则的最大值是_______.【答案】8【解析】【分析】由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.袋中有个红球，个黑球和个白球，从中任取个球，则其中三种颜色的球都有的概率是______________．【答案】【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】由题意可得，所求概率为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16.已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为_________________【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.【详解】令，则，设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设，易知，，由向量的绝对值不等式的性质可得：，注意到，且，故，即（）的取值范围为.【点睛】本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值．【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为，结合三角函数的性质可得，单调减区间为(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.试题解析：(1)周期为因为所以所以函数的单调减区间为（2）因为，所以所以，(1)又因为，所以 (2)由（1），（2）可得18.已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)首先将递推关系式整理变形，然后结合等比数列通项公式确定数列的通项公式即可；(2)由题意结合(1)中求得的通项公式放缩证明题中的不等式即可.【详解】（1）由已知（2）左边=不等式成立【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，∴.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.20.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上滑动，若面积的最大值是且有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于点,与轴交于点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019届重庆市高三3月月考理科数学试卷【含答案及
解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 如果复数为纯虚数，则（）
A．______________ B．___________ C．______________ D．
2. 若集合，，则（）
A．______________ B．____________________ C．
______________ D．
3. 某流程图如图所示，现输入四个函数，则可以输出的函数是（）
A．______________ B．
C．___________ D．
4. 已知等差数列满足，则（）
A．___________ B．______________ C．___________ D．
5. 已知实数满足，则的最小值为（）
A．______________ B．___________ C．___________ D．
6. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则正视图中的的值为（）
A．_________ B．___________ C．___________ D．
7. 若，且，则等于（）
A．____________________ B．____________________________ C．
________________________ D．
8. 过抛物线的焦点作直线与其交于两点，若，则
（）
A． _________ B． C． D．
9. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（）
A． B． ________ C． ________ D．
10. 已知三棱锥中，，，，
，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A． ________ B． C． ________ D．
11. 已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆
的一条直径，点在圆内，且满足，则的最小值为（）
A．______________ B．______________ C．______________ D．
12. 已知实数若关于的方程有三个
不同的实根，则的取值范围为（）
A．______________ B．_________ C．___________
D．
二、填空题
13. 已知，则 ______.
14. 函数的最小值为______.
15. 把个不同的球放入个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是_____.
16. 如图，在中，，，，
，则 _____.
三、解答题
17. 已知数列中，， .
（1）求证：数列是等比数列，并求通项公式；
（2）设，求证： .
18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否具有相关性，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到下表中的数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查队他们的良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 1-50 的学生人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
，
19. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，
，，， .
（1）求证：面面；
（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.
20. 若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线
的焦点内分成了的两段.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.
21. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求的取值范围；
（2）记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.
22. 如图所示，在△ ABC中， CD 是∠ACB 的平分线，△ ACD的外接圆交 BC 于点
E ，且 AB= 2AC .
（1）求证：；
（2）当，时，求的长.
23. 在极坐标系中，曲线，，与
有且只有一个公共点.
（1）求；
（2）为极点，为上的两点，且，求的最大值.
24. 设函数 .
（1）若，解不等式；
（2）若函数有最小值，求实数的取值范围.
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】。