2018届浙江省杭州市建人高复高三下学期第四次月考数学试卷word版含答案
浙江省高三下学期4月高考模拟数学试题(解析版)
浙江省高考模拟试卷〔4月份〕数学一、选择题〔共10小题〕.1．集合A ＝{x |y ＝1x -}，B ＝{x |x 〔x ﹣2〕＜0}，那么〔∁R A 〕∪B ＝〔 〕 A ．〔1，2〕 B ．〔0，1〕 C ．〔0，+∞〕D ．〔﹣∞，2〕2．设复数z 的共轭复数为z ．假设z ＝1﹣i 〔i 为虚数〕，那么2z z z+的值为〔 〕 A ．iB ．﹣iC ．0D ．3i3．a ，b ∈R ，那么“|a |+|b |＜2〞是“|ab |＜1〞的〔 〕 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件4．设平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点P ∈α，且P ∉l A ．过点P 且垂直于α的直线平行于l B ．过点P 且垂直于α的直线平行于β C ．过点P 且垂直于α的平面平行于lD ．过点P 且垂直于α的平面平行于β5．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b ＝g 〔a 〕的图象可以是〔 〕A ．B ．C ．D ．6．等差数列{a n }前n 项和为S n ，且4813S S =，那么816S S 等于〔 〕 A ．18 B ．19 C ．13 D ．3107．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台方案在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，那么不同的播放方式有〔〕A．120种B．48种C．36种D．18种8．实数x，y满足不等式组1023610x yx yy-+⎧⎪+⎨⎪+⎩．设z＝2|x|﹣y，那么z的取值范围为〔〕A．[﹣1，10] B．[﹣1，1] C．[﹣10，1] D．[﹣1，5]9．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二、四象限的公共点，假设AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，那么8e1+e2的最小值为〔〕A．6+322B．643C510D5510．三棱锥D﹣ABC中，∠ACD＝2∠ACB＝120°，CD＝2BC，那么异面直线AC与BD所成的角可能是〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题〔共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分〕11．我国古代书籍《九章算术》第七章“盈缺乏〞专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有〔人〕共买物，〔每〕人出八〔钱〕，盈〔余〕三钱，人出七〔钱〕，缺乏四〔钱〕，问人数、物价各几何〞，请你答复此题中的人数是，物价是〔钱〕．12．某几何体的三视图〔：cm〕如图，那么这个几何体的外表积为cm2，其体积为cm3．13．bx n +1＝a 0+a 1〔x ﹣1〕+a 2〔x ﹣1〕2+…+a n 〔x ﹣1〕n 对任意x ∈R 恒成立，且a 1＝9，a 2＝36，那么b ＝ ；a 1+2a 2+…+na n ＝ ．14．由1，2，3，4，5组成的可重复数字的三位数构成的集合记为M ，现从M 中任取一个数．设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为ξ，例如：假设取出的数为212，即ξ＝1；假设取出的数为214，即ξ＝2．那么概率P 〔ξ＝0〕＝ ，数学期望E 〔ξ〕＝ ． 15．实数x ，y 满足x 2+xy ＝1，那么y 2﹣2xy 的最小值为 ．16．点O 是△ABC 的外心，∠BAC ＝60°，设AO mAB AC =+，且实数m ，n 满足m +4n ＝2，那么mn 的值是 ．17．设圆O ：x 2+y 2＝1上两点A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕满足12OA OB ⋅=-，那么|x 1﹣2y 1|+|x 2﹣2y 2|的取值范围是 ．三、解答题〔本大题共5小题，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且b tan A ＝〔2c ﹣b 〕tan B ． 〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕假设向量m ＝〔cos B ，2cos A 〕，n ＝〔0，cos 22C〕，求|m ﹣2n |的取值范围． 19．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 为正三角形，PA ⊥平面ABC ，AG ⊥平面PBC ，垂足为G ． 〔Ⅰ〕问G 是否可能是△PBC 的垂心？说明你的理由；〔Ⅱ〕假设G 恰是△PBC 的重心，求直线BC 与平面ABG 所成的角．20．数列{a n }前n 项和为S n 满足S 1＝2，S n +1＝3S n +2〔n ∈N *〕． 〔Ⅰ〕求通项公式a n ； 〔Ⅱ〕设b n ＝n na S 〔n ∈N *〕，求证：13≤b 1+b 2+…+b n ﹣23n ≤12．21．点P 〔2，1〕到抛物线C ：y 2＝ax 〔a ＞0〕的准线的距离为52，设过点P 的直线与C 相交于两点A ，B 〔异于坐标原点O 〕． 〔Ⅰ〕求实数a 的值；〔Ⅱ〕求cos ∠AOB 的取值范围．22．设函数f 〔x 〕＝alnx ﹣1ax 2+x +b 〔a ，b ∈R 〕． 〔Ⅰ〕求f 〔x 〕的极值；〔Ⅱ〕a ＞0．假设存在实数b ，使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对x ∈[1，e ]恒成立，求a 的取值范围．〔其中e 是自然对数的底数〕参考答案一、选择题〔共10小题〕.1．解：∵A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴∁R A ＝{x |x ＞1}，∴〔∁R A 〕∪B ＝〔0，+∞〕． 应选：C ．2．解：因为z ＝1﹣i 〔i 为虚数〕，所以2z z z +＝11i i +-+〔1﹣i 〕2＝2(1)(1)(1)i i i +-+﹣2i ＝22i ＝i ﹣2i ＝﹣i ，应选：B ．3．解：由“|a |+|b |＜2〞，得||ab ≤||||2a b +＜1，所以|ab |＜1，充分性成立； 由|ab |＜1，不能得出|a |+|b |＜2成立， 例如：15,6a b ==时，满足|ab |＜1，但|a |+|b |＝516＞2，所以必要性不成立； 是充分不必要条件． 应选：B ．4．解：对于A ：过点P 且垂直于α的直线垂直于α内的所有直线，那么垂直于l ，故A 错； 对于B ：在β内作一直线l 1垂直于l ，由平面α⊥平面β，α∩β＝l ，可得l 1⊥α， 从而有过点P 且垂直于α的直线平行于l 1，进而平行于β，故B 正确；对于C ，D ，过点P 且垂直于α的平面可以围绕过点P 且垂直于α的直线旋转， 那么过点P 且垂直于α的平面与l 不一定平行，与β也不一定平行，故C ，D 均错误． 应选：B ．5．解：根据选项可知a ≤0a 变动时，函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，∴2|b |＝16，b ＝4 应选：B ．6．解：等差数列{a n }前n 项和为S n ，且41814613828S a d S a d+==+，∴a 1＝52d ，那么8116158288283251612010161202dd s a d d S a d d ⨯++===+⨯+，应选：D ．7．解：根据题意，分3步进行分析：①先将一条奥运宣传广告放在最后，有2种情况，②将3个商业广告全排列，安排在奥运宣传广告之前，有336A =种情况， ③另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种情况， 那么有2×3×6＝36种播放方式， 应选：C ．8．解：由z ＝2|x |﹣y 得y ＝2|x |﹣z ，画出y ＝2|x |的折线图象，当该折线图像沿y 轴向上平移经过点B 〔0，1〕时，﹣z 取最大值为1；当该折线图像沿y 轴向下平移经过点9,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，﹣z 取最小值为﹣10， 即﹣10≤﹣z ≤1，即﹣1≤z ≤10， 应选：A ．9．解：连接AF 2，BF 2，那么由对称性及AF 1⊥BF 1，得矩形AF 1BF 1， 故22212(2)AF AF c +=． 由1122ce AF AF =+,2212c e AF AF =-，得2212112e e +=．令21(1)e t t e =>，那么2112t e t +=，2121(8)18(8)2t t e e t e t +++=+=． 设2(8)1()2t t f t t++=，由3228()021t f t tt -'==+，得t ＝2，当1＜t ＜2时，f ′〔t 〕＜0，函数是减函数，t ＞2时，f ′〔t 〕＞0，函数是增函数， t ＝2时，函数取得最小值， 故min 510()(2)2f t f ==， 应选：C ．10．解：设CD ＝2BC ＝2m ．3()||||cos 60||||cos 60||2AC BD AC BC CD AC BC AC CD m AC ⋅=⋅+=⋅︒+⋅︒=． 由于∠ACB +∠ACD ＝180°，将侧面ACD 沿AC 展开到平面ABC ， 那么三点B 、C 、D 共线，又此三棱锥可看成将△ACD 沿直线AC 3||3m BD m <<．设异面直线AC与BD所成的角为θ，那么||313 cos,22||||2||AC BD mAC BD BDθ⎛⎫⋅==∈ ⎪⎪⎝⎭，即θ∈〔30°，60°〕，应选：B．二、填空题〔本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分〕11．7，5．解：人数是x，物价是y〔钱〕，那么由题意，得8374x yy x-=⎧⎨-=⎩，解得753xy=⎧⎨=⎩，所以人数是7，物价是53钱．故答案为：7，53．12.1223+cm2，23cm3．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为2的为等边三角形，高为2的三棱柱体；如下列图：所以该几何体的体积为：V＝1222⨯=，该几何体的外表积为：1S 222222222=⨯⨯⨯+⨯+⨯＝故答案为：12+此几何体为侧面水平放置的棱长均为2的正三棱柱． 13． 1； 2304．解：设x ﹣1＝t ，那么20121(1)1n n n n bx b t a a t a t a t +=++=++++，由此得11229,36,n n a bC a bC ⎧==⎨==⎩，解得1,9.b n =⎧⎨=⎩ 另一方面，等式两边对t 求导，得112(1)2n n n bn t a a t na t --+=+++，再令t ＝1，得181222922304n n a a na bn -+++==⋅=．故答案为：1；2304． 14．27125， 122125． 解：M 中元素有53＝125个，这125个三位数〔可重复数字〕可分以下三类： ①ξ＝0，即全有奇数字组成的三位数〔可重复数字〕有33＝27个；P 〔ξ＝0〕＝27125， ②ξ＝1即只有一个不同的偶数字的三位数〔可重复数字〕有3×3×2×3+3×3×2+2＝74个，P 〔ξ＝1〕＝74125， 〔注意不要遗漏形如252，344，222等三位数〕；③ξ＝2即只有两个不同的偶数字的三位数〔可重复数字〕有13333324C A ⨯++=个，P 〔ξ＝2〕＝24125， 〔注意不要遗漏形如242，244等三位数〕． 所以ξ的分布列如下：所以()2125125125E ξ=+⨯=． 故答案为：27125，122125．15．4．解：由x 2+xy ＝1，得1y x x=-， 所以，2222211234234234y xy x x x x -=+--=-，这里等号能成立． 故答案为：234-． 16． 0．解：由AO mAB nAC =+，得22221||,21|,|2AB AO AB mAB AC AB AC AO AC mAB AC nAC ⎧=⋅=+⋅⎪⎪⎨⎪=⋅=⋅+⎪⎩又∠BAC ＝60°，即有11,2211,22c cm bn b cm bn ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2,332.33b m cc n b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101424233b c m n c b ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， 由取等号条件知b ＝2c ，从而10,2m n ==．mn ＝0． 故答案为：0．17． 15,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 解：由12OA OB ⋅=-，得∠AOB ＝120°． 设11222255x y x y h --=+表示两点A ，B 分别到直线x ﹣2y ＝0的距离之和．取直线x ﹣2y ＝0为x 轴重新建立直角坐标系后，那么h 表示两点A ，B 分别到x 轴的距离之和． 在新的直角坐标系下，设A 〔cos θ，sin θ〕，B 〔cos 〔θ+120°〕，sin 〔θ+120°〕〕，那么有h ＝|sin θ|+|sin 〔θ+120°〕|，由对称性，不妨设点B 在x 轴上或上方，即﹣120°≤θ≤60°． 所以()()sin sin 120,060sin sin 120,00,12h θθθθθθ++︒︒⎧⎪=⎨-++︒︒︒︒-<⎪⎩①当0°≤θ≤60°时，h ＝sin θ+sin 〔θ+120°〕＝sin 〔θ+60°〕，∵0°≤θ≤60°，∴60°≤θ+60°≤120°，∴sin 〔θ+60°〕∈，1]，∴h ∈，1]，②当﹣120°≤θ＜0°时，h ＝﹣sin θ+sin 〔θ+120°〔θ+60°〕， ∵﹣120°≤θ＜0°，∴﹣60°≤θ+60°＜60°，∴cos 〔θ+60°〕∈[12，1]，∴h ∈，综上得32h ，从而得112222x y x y -+-=∈⎣．故答案为：⎣． 三、解答题〔本大题共5小题，共74分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．解：〔I 〕由b tan A ＝〔2c ﹣b 〕tan B ，及正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BBC B A B=-， 即sin A cos B +cos A sin B ＝2sin C cos A ，即sin 〔A +B 〕＝2sin C cos A ， 所以1cos 2A =，A ＝60°． 〔II 〕()(22cos ,12cos (cos ,cos )cos ,cos 1202C m n B B C B B ⎛⎫-=-==︒- ⎪⎝⎭， 可得2cos m n -=所以，()()()2221cos 24021cos 212cos cos 1201sin 230222B B m n B B B +︒-+-=+︒-=+=--︒． 由于0°＜B ＜120°，得()1sin 230,12B ⎛⎤-∈- ⎝︒⎥⎦，所以22,22m n ⎡-∈⎢⎣⎭． 19．解：〔I 〕设G 是△PBC 的垂心，那么BG ⊥PC ，由AG ⊥平面PBC ，得AG ⊥PC ，所以PC ⊥平面ABG ， 即PC ⊥AB ，又由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥AB ，所以，AB ⊥平面PAC ，从而AB ⊥AC ，这与正三角形ABC 矛盾． 所以，G 不可能是△PBC 的垂心．〔II 〕延长BG 交PC 于E ，连AE ，那么E 是PC 中点．延长PG 交BC 于F ，连AF ，那么F 是BC 中点，由G 恰是△PBC 的重心，得PG ＝2GF ．不妨设AB ＝2． 正三角形ABC 中，3AF =，BC ⊥AF ． 由AG ⊥平面PBC ，可得AG ⊥PF ，AG ⊥BE ．由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥AF ．在RT △PAF 中，由AF 2＝FG ⋅FP ＝3FG 2，得FG ＝1， 进而3,2,6PF AG PA ==2210PB PC PA AB =+在△PBC 中，由2〔BE 2+CE 2〕＝PB 2+BC 2，得322BE =． 设BC 与平面ABG 所成的角为θ，点C 到平面ABG 的距离为h ，那么sin h BCθ=． 由E 是PC 中点，可得12C ABE P ABC V V --=，即有12h AG BE PA AF BC ⋅⋅=⋅⋅， 所以1632223222h ==⋅2sin 452θθ==︒， 即BC 与平面ABG 所成的角为45°．20．【解答】〔I 〕解：由S n +1＝3S n +2〔n ∈N *〕，得S n ＝3S n ﹣1+2〔n ≥2〕，两式相减，得a n +1＝3a n 〔n ≥2〕． 由S 2＝3S 1+2＝a 1+a 2，S 1＝a 1＝2，得a 2＝6＝3a 1，所以，()*13n n a a n N +=∈，即数列{a n }是以2为首项，公比为3的等比数列，从而有123n n a -=⋅．〔II 〕证明：由〔I 〕知31n n S =-，从而122222322333133138331n n n n n n b ---⋅==+=+--⋅+-， 所以，当n ≥2时，212222133383343n n n b --+=+⋅⋅， 从而有11211112322211(1)1(1)1333213n n n b b b n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+++-++-； 当n ＝1时，不等式显然成立． 综上，有12121332n b b b n +++-成立．21．解：〔I 〕抛物线C ：y 2＝ax 〔a ＞0〕的准线方程为4ax =-， 所以点P 到准线的距离为5242a +=，得a ＝2．………… 〔II 〕设221212,,,22y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并设AB 方程为t 〔y ﹣1〕＝x ﹣2，将x ＝ty +2﹣t 代入抛物线方程y 2＝2x ，得y 2﹣2ty +2t ﹣4＝0，进而有y 1+y 2＝2t ，y 1y 2＝2t ﹣4． 由于A ，B 异于坐标原点O ，所以y 1y 2＝2t ﹣4≠0，即t ≠2．所以，()2121214cos y y y y y y y y AOB ++∠==2)t ≠，①当t 〔t ﹣2〕＞0，即t ＞2或t ＜0时，cosAOB ∠==，由t ＞2或t ＜0，得1110, 0 2tt <<<或，所以10cos , cos 2AOB AOB <∠∠≠且；②当t 〔t ﹣2〕＝0〔t ≠2〕，即t ＝0时，cos ∠AOB ＝0；③当t 〔t ﹣2〕＜0，即0＜t ＜2时cos AOB ∠==由0＜t ＜2，得12t >，所以cos 0AOB <∠<； 综上，cos ∠AOB的取值范围12⎛⎤⋃ ⎥ ⎝⎭⎝⎦． 22．解：〔I 〕a ≠0，x ＞0，()(2)()x a x a f x ax--+'=，①当a ＞0时，当0＜x ＜a 时，f '〔x 〕＞0；当x ＞a 时，f '〔x 〕＜0． 所以f 〔x 〕的增区间为〔0，a ]，减区间为[a ，+∞〕， 所以f 〔x 〕有极大值为f 〔a 〕＝alna +b ，无极小值； ②当a ＜0时， 当02a x <<-时，f '〔x 〕＞0；当x ＞﹣2a时，f '〔x 〕＜0． 所以f 〔x 〕的增区间为0,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦，减区间为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以f 〔x 〕有极大值为3aln 224a a f ab ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值． 综上可知，当a ＞0时，f 〔x 〕的极大值为f 〔a 〕＝alna +b ，无极小值； 当a ＜0时，f 〔x 〕的极大值为3aln 224a a f ab ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值． 〔II 〕假设0＜a ≤1，那么由〔I 〕知f 〔x 〕在[1，e ]上单调递减， 故要使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对[1，e ]恒成立，只要存在实数b ，使得2211(1)1()e f b a ae ef e a e b a a ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩成立， 即要2221e e e a e b a a ++---，从而只要2221e e e a e a a++---，又0＜a ≤1，解得112e a -+．假设1＜a ＜e ，那么由小题〔I 〕知f 〔x 〕在[1，a ]上单调递增，在[a ，e ]上单调递减， 故要使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对[1，e ]恒成立，只要存在实数b ，使得221()ln 1(1)1()e f a a a b a e f b a a e e f e a e b a a ⎧+=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-++⎪⎩成立，即要122211ln 1ln e e b a a a ae e e a e b a a aa +⎧+--⎪⎪⎨++⎪---⎪⎩， 从而只要2222ln l 1n e a e a e a aea a a--⎧---⎪⎨⎪⎩， 即222ln 0(*)(1ln )(1)10(**)e e a a a a a a e ⎧-+-⎨-+-+⎩ 由于1＜a ＜e ，可知e 2﹣e +a ﹣a 2lna ≥e 2﹣e +a ﹣a 2＝〔e ﹣a 〕〔e +a ﹣1〕≥0成立，从而〔*〕式成立； 由于1＜a ＜e ，可知〔**〕式显然成立． 所以，当1＜a ＜e 时，符合题意．假设a ≥e ，那么由〔I 〕知f 〔x 〕在[1，e ]上递增，故要使得e ≤af 〔x 〕≤e 2+1对[1，e ]恒成立，只要存在实数b ，使得221(1)11()e f b a ae ef e a e ba a ⎧=-+⎪⎪⎨+⎪=-++⎪⎩成立， 即要21211e e b a e a a ++---，从而只要21211e e a e a a++---， 解得1﹣2e ≤a ≤e ，又a ≥e ，所以a ＝e ；综上所述，a a e ．。
2018届浙江省杭州市高三下学期第四次月考数学试卷Word版含解析
2018届浙江省杭州市高三下学期第四次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．（4分）设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤1或x≥2}3．（4分）在等比数列{an }中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q=（）A．2 B．3 C．4 D．54．（4分）如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）5．（4分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．86．（4分）直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B．C．D．7．（4分）在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n﹣5的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项8．（4分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{an }为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件D．“”必要不充分条件是“”9．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．10．（4分）已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知sin（α+）=，则cos（﹣α）= ； cos（﹣2α）= ．12．（6分）若函数f（x）=﹣1+logn（x+1）经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是； a= ．13．（6分）设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是，最大值是．14．（6分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为，体积为．15．（4分）一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．16．（4分）已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是．17．（4分）设函数f（x）=x2﹣2ax+15﹣2a的两个零点分别为x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．19．（15分）如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．20．（15分）已知函数f （x ）=ln （ax+1）+x 3﹣x 2﹣ax ．（1）若x=为y=f （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若a=﹣1时，方程f （1﹣x ）﹣（1﹣x ）3=有实根，求实数b 的取值范围．21．（15分）设x ，y ∈R ，向量分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线y=kx+m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．22．（15分）已知数列中，a 1=1，a 2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：（i ）对一切n ∈N *，都有＞；（ii ）对一切n ∈N *，有a 12+a 22+…+a n 2＜．2018届浙江省杭州市高三下学期第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数虚部的定义即可得出．【解答】解：复数1﹣2i的虚部是﹣2．故选；A．【点评】本题考查了复数虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q={x|x＞0}，∴∁U（P∪Q）={x|x≤0}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．3．在等比数列{an }中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{an}中，∵a3=2S2+3，a4=2S3+3，∴a4﹣a3=2S3+3﹣（2S2+3）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：B．【点评】本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．4．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．5．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得B（4，8），此时B也在直线y=m上，∴m=8，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，即A（﹣16，8），此时z=x+y=﹣16+8=﹣8，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．6．直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心C到直线x﹣2y﹣3=0距离，利用勾股定理求出EF，再利用三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心坐标为C（2，﹣3），半径为3，∴C到直线x﹣2y﹣3=0距离为=，∴EF=2=4，∴△ECF的面积为=2．故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列a=3n﹣5的（）nA．第2项B．第11项C．第20项D．第24项【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得含 x4项的系数是=55，可得含 x4项的系数是a n =3n ﹣5 的第20项．【解答】解：在（1+x ）5+（1+x ）6+（1+x ）7 的展开式中，含 x 4项的系数是=55，所以，含 x 4项的系数是a n =3n ﹣5 的第20项， 故选C ．【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质、等差数列通项公式，属于中档题．8．下列说法正确的是（ ）A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1”B ．{a n }为等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“a 4＜a 5”的既不充分也不必要条件C ．若a ，b ∈R ，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件D ．“”必要不充分条件是“”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，即可判断A ；运用等比数列的通项公式，可得首项与公比的关系，判断单调性，结合充分必要条件定义，即可判断B ；由绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|，结合充分必要条件的定义，即可判断C ；由等价命题“tan α=”是“α=”的必要不充分条件，结合充分必要条件的定义，即可判断D ．【解答】解：对A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故A 错； 对B ，{a n }为公比为q 的等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”即为a 1＜a 1q ＜a 1q 2， 可得a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1，{a n }为递增数列，可得“a 4＜a 5”；若“a 4＜a 5”，即为a 1q 3＜a 1q 4，可得a 1＞0，q ＞1或q ＜0，推不出“a 1＜a 2＜a 3”． 则“a 1＜a 2＜a 3”是“a 4＜a 5”的充分不必要条件，故B 错；对C ，若a ，b ∈R ，由|a|+|b|≥|a+b|，可得|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的必要而不充分条件，故C 错；对D ，“”必要不充分条件是“”⇔“tan α=”是“α=”的必要不充分条件，故D 正确．故选：D．【点评】本题考查四种命题和充分必要条件的判断，考查等比数列的单调性和绝对值不等式的性质，考查判断能力，属于基础题．9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】说明M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线．通过PF2⊥PF1，可得|PF2|=，设P（x，y），推出 c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：如图9，∵，∴M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．连接PF1，OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2 a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，设P（x，y），则 c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．由勾股定理得 y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2有 e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=xe x，则y'=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在时（如图11），满足g（x）=﹣1的x有4个，由，解得．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知sin（α+）=，则cos（﹣α）= ； cos（﹣2α）= ﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：cos（﹣α）=sin[﹣（﹣α）]=sin（α+）=，cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=﹣1=﹣，故答案为：，﹣．【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．12．若函数f（x）=﹣1+log（x+1）经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则n点F的坐标是（0，﹣1）； a= ﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数经过的定点坐标，即可定点抛物线的焦点坐标，然后求解a即可．（x+1）经过的定点F（0，﹣1），【解答】解：函数f（x）=﹣1+logn抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是（0，﹣1）．可得，解得a=﹣．故答案为：（0，﹣1）；﹣．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．13．设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是，最大值是．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，首先有基本不等式可得1=a+b≥2，即≤，对于a2+b2，将其变形可得a2+b2=（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab，结合≤，分析可得其最小值；对于，有（）2=a+b+2=1+2，结合≤，分析可得其最大值；即可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a，b满足a+b=1，则有1=a+b≥2，即≤，a2+b2=（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥，即a2+b2最小值是，对于，有（）2=a+b+2=1+2≤2，则有≤；则最大值是；故答案为：，．【点评】本题考查基本不等式的应用，关键要熟悉基本不等式的形式，并能灵活应用．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为，体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入半圆锥体积和表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面直径为2，高h=2，故半圆锥的底面半径r=1，母线长为，故半圆锥的体积V==，半圆锥的表面积S=×2×2+（1+）=故答案为：，【点评】本题考查的知识点半圆锥的体积和表面积，空间几何体的三视图．15．一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】设白球的个数为x，则红球和黑球的个数为10﹣x，记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件，由此求出白球的个数；得出ξ的取值可能为0，1，2，3，求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：设白球的个数为x，则黑球和红球的个数为10﹣x；记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件；所以p（A）=1﹣==，解得x=5，所以白球的个数为5；从袋中任意摸出3个球，到白球的个数ξ的取值可能为：0，1，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列为：ξ所以的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．故答案为：．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．16．已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是 [﹣2，1]，λ≠0． ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理可得：1+cos α=λ（﹣1﹣2cos β），sin α=﹣λsin β，利用1=cos 2α+sin 2α，化为：λ=，令2cos β+1=t ∈[﹣1，3]，可得λ==f （t ），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵，∴=λ，∴1+cos α=λ（﹣1﹣2cos β），sin α=﹣λsin β，∴1=cos 2α+sin 2α=[λ（﹣1﹣2cos β）﹣1]2+（﹣λsin β）2，化为：λ=，令2cos β+1=t ∈[﹣1，3]．则λ==f （t ），f′（t ）=，可知：t=1时，函数f （t ）取得最大值，f （1）=1．又f （﹣1）=﹣2，f （3）=． ∴λ∈[﹣2，1]，由于t=0时，λ=0，点A 与C 重合，舍去． ∴λ∈[﹣2，1]，λ≠0． 故答案为：[﹣2，1]，λ≠0．【点评】本题考查了向量共线定理、平方共线、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．设函数f （x ）=x 2﹣2ax+15﹣2a 的两个零点分别为x 1，x 2，且在区间（x 1，x 2）上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 （，] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数y=的图象和直线y=2a 有两个交点，这2个交点的横坐标分别为x 1，x 2，在区间（x 1，x 2）上恰有两个正整数．再令x+1=t ，则m （t ）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，这2个交点的横坐标分别为t1，t2，则在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，求得a的范围．【解答】解：令f（x）=0，可得x2 +15=2a（x+1），即=2a，由题意可得方程=2a 有2个解x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，故函数y=的图象和直线y=2a有两个交点，且这2个交点的横坐标分别为x1，x2．再令x+1=t，则y==t+﹣2，即m（t）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，且这2个交点的横坐标分别为t1，t2，在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，而这两个正整数应为2和4．令t=5，则m（t）=，令t=3，则m（t）=，∴＜2a+2≤，求得＜a≤，故符合条件的a的范围是：{a|＜a≤}．故答案为：（，]．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的图象，函数零点的定义，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2017春•杭州月考）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用两角差的余弦公式展开，利用辅助角公式即可求得f（x），根据周期公式，即可求得函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦定理，求得B=，则0＜A＜，根据正弦函数的性质即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由=cos2xcos+sin2xsin+sin2x，=sin2x+cos2x，=sin（2x+），则f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由正弦定理： ===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由（2a﹣c）cosB=bcosC，则（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，则2sinAcosB=sin（B+C），由sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴cosB=，由0＜B＜π，则B=，=sin（2×+）=sin（A+），由0＜A＜，则＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，则＜sin（A+）≤，∴f（A）∈（，]．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，考查正弦函数的图象及性质，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（15分）（2013春•荆门期末）如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（II）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．【解答】证明：（Ⅰ）连接PC，交DE于N，连接MN，在△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC…（2分）因为MN⊂面MDE，AC⊄面MDE，∴AC∥平面MDE…（4分）解：（Ⅱ）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0， a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以=（a，a， a），=（﹣a，a，0），…（6分）平面PAD的单位法向量为=（0，1，0）…（7分）设面PBC的法向量=（x，y，1），则有，解得：x=y=则=（，，1），…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴cosθ==即平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为…（12分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．20．（15分）（2017春•杭州月考）已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3﹣x2﹣ax．（1）若x=为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）因为x=为y=f（x）的极值点，所以f′（）=0，就可求出a的值．（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，就可得到方程lnx﹣（1﹣x）2+（1﹣x）=由实根，即b=xlnx+x2﹣x3在x＞0上有解，只需求出函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域，而b在这个范围内，就可得到b的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=+3x2﹣2x﹣a=∵x=为f（x）的极值点，∴f′（）=0∴3a+（3﹣2a）﹣（a2+2）=0且a+1≠0∴a=0．又当a=0时，f′（x）=x（3x﹣2），从而x=为f（x）的极值点成立．（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=可得lnx ﹣（1﹣x ）2+（1﹣x ）=即b=xlnx ﹣x （1﹣x ）2+x （1﹣x ）=xlnx+x 2﹣x 3在x ＞0上有解 即求函数g （x ）=xlnx+x 2﹣x 3的值域． 令h （x ）=lnx+x ﹣x 2由h′（x ）=+1﹣2x=∵x ＞0∴当0＜x ＜1时，h′（x ）＞0，从而h （x ）在（0，1）上为增函数； 当x ＞1时，h′（x ）＜0，从而h （x ）在（1，+∞）上为减函数． ∴h （x ）≤h （1）=0，又∵x ＞0 ∴g （x ）的值域为（﹣∞，0] ∴b 的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题主要考查函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的值域，借助函数值域求参数的范围，属于综合题．21．（15分）（2017•茂名一模）设x ，y ∈R ，向量分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线y=kx+m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过，得到，说明点M （x ，y ）到两个定点F 1（，0），F 2（，0）的距离之和为4，推出点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（，0），F 2（，0）的距离之和为4…（2分） ∴点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为，a=2∴b 2=a 2﹣c 2=1…（3分）其方程为…（4分） （Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，∴△＞0，由韦达定理可得：，．…所以…（6分）因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为（0，m ），所以△OAB 的面积…（7分）=…（8分）设将y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m 2=1+4k 2即t=1，…（11分）又因为，故为定值．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力．22．（15分）（2016•浙江模拟）已知数列中，a 1=1，a 2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：（i ）对一切n ∈N *，都有＞；（ii ）对一切n ∈N *，有a 12+a 22+…+a n 2＜．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n ≥2时，通过裂项、变形可知，进而并项相加即得结论；（Ⅱ）（i ）通过（I ）代入计算、利用作差法计算即得结论；（ii ）当k ≥2时通过放缩可知＜（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由已知，对n ≥2有：，两边同除以n ，得：，即，于是， [﹣]=﹣ [﹣]=﹣（1﹣），即，所以，即，又n=1时也成立，故；（Ⅱ）（i ）由（I ）可知﹣=[3（n+1）﹣2]2﹣（3n ﹣2）2=18n ﹣3＞0，∴，即对一切n ∈N *，都有；（ii ）当k ≥2，有，所以n≥2时，有=，又n=1时，满足上式，故对一切n∈N*，有．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法，分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷4(答案+解析)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷4参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()U A B =ð（）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则（） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．64B ．72C ．80D ．1124．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3A π=，ABC ∆的面积b c +=（） A ．4B ．6C ．8D ．105．设实数,x y 满足 A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值6．在二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（）A ．80-B ．40-C ．5D ．107．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是（） A ．120B ．110C ．310D ．7208．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（） A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个9．已知向量)1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是（）A ．218πB ．518πC ．718πD ．1118π10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时（）A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则z =___________，zz=___________． 12．设等比数列{}n a 的首项11a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则公比q =___________；数列{}n a 的前n 项和n S =___________．13．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆C 的坐标是___________，半径是__________；圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是___________．14．已知函数()211,0,22ln ,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则()()1f f -=___________；若函数()y f x a =-有一个零点，则a 的取值范围是___________．15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有___________种不同的排法． 16．设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值是___________． 17．如图，ABC α⊥平面，且ABCBC α=平面，1AB =，BC 56ABC ∠=π，平面α内一动点P 满足6PAB π∠=，则PC 的最小值是___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求()f x ；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC C A B A A A ===111，︒=∠90ABC ，︒=∠45BAC ，N M ,分别是B A CC 11,的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线N C 1与平面ABC 所成的角的余弦值．20．（本题满分15分）已知函数()()21504a f x x x x =++>，()ln 4g x x =+，曲线()y g x =在点()14，处的切线与曲线()y f x =相切． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()f x g x >．21.（本题满分152个焦点与1 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =，求直线l 的方程．22．（本题满分15分）设数列{}n a 满足113a =，212n n n a a a n +=+，*n ∈N ．证明：（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）数列{}n a 为递增数列；（Ⅲ）212121n n n a n n -≤≤++，*n ∈N ．【参考答案】一、选择题 1．B【解析】因为{}|1A x x =>，所以{}|1U A x x =≤ð，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}|01UA B x x =<<ð．2．D【解析】因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．C【解析】该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803+⋅⋅=．4．B【解析】由1sin 2S bc A ==8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．5．C【解析】不等式组20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为如图的阴影部分，目标函数示阴影部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值．6．A【解析】二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()555315521C 2C 21rr r rrr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()1145C 2180⋅⋅-=-．【解析】从10个数中任取3个共有310120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有33C 1=种取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有33C 1=种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336⋅⋅=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是41136712020+++=． 8．D【解析】如图，由0FA FB FC ++=得F 为ABC ∆的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-，则点M 坐标为003,22x y -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，只要满足点M 在抛物线内部，即2003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，002x ≤<时，直线00034:22x y l y x y -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，此时ABC ∆为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．9．B【解析】如图，若向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b 的起点为原点，则其终点在射线()()tan 115y x x π=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π⎛⎫π ⎪⎝⎭，．【解析】因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x mn m--<=---，因此()f x x m n +<+． 二、填空题 11．12i -；1 【解析】12i z =-，1z z z z==． 12．2；21n -【解析】由1234,2,a a a 成等差数列得21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，1212112nn n S -=⋅=--．13．()34，，5；()()225225x y -+-=【解析】由圆C 的方程为()()223425x y -+-=得圆心坐标为()34，，半径为5，圆心()34，关于直线:10l x y --=的对称点的坐标为()52，，所以圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是()()225225x y -+-=． 14．2；10,ln 22⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】()()()112f f f -==；由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x-'=-=，因此()y f x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故11ln 222f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小，函数()y f x =的图象如图所示，所以当10,ln 22a ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数()y f x a =-有一个零点．15．120【解析】符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，令222x x '=-，332x x '=-，则12347x x x x ''+++=．因此原问题等价于求方程12347x x x x ''+++=的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310C 120=组自然数解，故共有120种不同的排法．16．2【解析】令2a b x a b y +=⎧⎨+=⎩，显然,0x y >，则2a y x b x y =-⎧⎨=-⎩，所以22222a b y x x y y xa b a b x y x y--+=+=+-≥++，当x =，即a =时，等号成立．17 【解析】如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为6π的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，以抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，显然AOB ∆为底角为6π的等腰三角形，所以OB PB ABC ⊥平面时，tan 6PB AB π=⋅=，此时点P 的坐标为⎝⎭，因此抛物线的方程为2y =，点C 的坐标为⎫⎪⎭，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为222216534x y x x ⎛⎛+=+=+ ⎝⎝，故PC ．三、解答题18．（Ⅰ）解：由函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π得2ω=．由sin 233y f x x ϕπ⎛π⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象过()0,1点得22,32k k ϕππ+=+π∈Z ．又由0ϕ-π<<得6ϕπ=-．所以函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）解：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2,666x ππ5π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．19．解：（Ⅰ）如图，设AB 的中点P ，连结PC NP ,，则11//,//AA MC AA NP ，且MC AA NP ==121，故四边形MNPC 为平行四边形，得PC MN //．又⊂PC 平面ABC ，⊄MN 平面ABC ，因此//MN 平面ABC ． （Ⅱ）因为M 为1CC 的中点，所以，1NPMC 是平行四边形， 故MP N C //1．设AC 的中点Q ，连结BQ ．因为︒=∠90ABC ，Q 是AC 的中点，所以，CQ BQ AQ ==，又因为C A B A A A 111==，所以CQ A BQ A AQ A 111∆≅∆≅∆，则︒=∠=∠9011QC A QB A ， 所以BQ Q A CQ Q A ⊥⊥11,，故⊥Q A 1平面ABC ．过M 作AC MH ⊥交AC 的延长线于点H ，连结PM PH BH ,,，则⊥MH 平面ABC ，所以，MPH ∠是直线N C 1与平面ABC 所成的角． 设41=A A ．在APH ∆中，︒=∠==45,5,2BAC AH AP ，故17=PH ． 在MPH Rt ∆中，3,17==MH PH ，所以1085cos =∠MPH ． 因此，直线1CN 与平面ABC20．（Ⅰ）解：由()1g x x'=得()11g '=，所以曲线()y g x =在点()14，处的切线方程为3y x =+． 设曲线()y f x =与直线3y x =+切于点()00,x y ，由()0003()1f x x f x ⎧=+⎪⎨'=⎪⎩得2000020153,4101,a x x x a x x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01.21.x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（Ⅱ）证明：令()()()2111354F x f x x x x x =-+=+--，则()()()222215211101x x x F x x x x --+'=--=，所以函数()y F x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0x >时，()102F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此当0x >时，()3f x x ≥+，当且仅当12x =时等号成立． 令()()()31ln G x x g x x x =+-=--，则()111x G x x x-'=-=，所以函数()y G x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10G x G ≥=，因此当0x >时，()3x g x +≥，当且仅当1x =时等号成立．因为()3f x x ≥+，()3x g x +≥，且等号成立的条件不同，所以()()f x g x >．21．c =，b =由2122S c b =⋅⋅=a =b （Ⅱ）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=，所以202613k x k =+， ()2122113k AB x x k +=-=+．点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k -=-=-=++．由以线段AB 为直径的圆截直线1x =得2222AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎢⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+． 22．（Ⅰ）解：2114399a =+=，2342409981a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：（1）1n =时，1103a =>； （2）假设n k =时，0k a >，2120k k k a a a k+=+>； 所以由（1）（2）得0n a >，*n ∈N ． 所以2120n n n a a a n+-=>，即1n n a a +>，数列{}n a 为递增数列． （Ⅲ）证明：由21122n n n n n a a a a a n n ++-=<得221111*********n n a a n n n n +-<<=---+， 所以1111212n a a n -≤--，故2121n n a n -≤+． 由21121n n a n -≤<+得2122n n n n n a a a a a n n +=+<+，所以221n n a n >+，故211221n n n n n a a a a a n n ++-=>+， 所以22111111111n n a a n n n n n +->≥=-+++， 因此11111n a a n -≥-，故21n n a n ≥+．。
2018年浙江省杭州市高级中学高考仿真测试数学试题卷(word)
2018年浙江省杭州市高级中学高考仿真测试数学试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷 （选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}30|≤≤∈=x N x P ，{}01|2>-=x x Q ，则=⋂Q PA.[]3,1B.(]3,1C.{}3,2D.{}3,2,1 2.已知函数x x f =)(的定义域为()2,1，则函数)(2x f 的定义域是A.()2,1B.()4,1C.RD.()()2,11,2⋃--3.已知p ：直线m x y +=2与圆122=+y x 至少有一个公共点，q ：5≤m ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知实数y x ,满足y x ln ln >，则下列关系式中恒成立的是A.y x 11<B.yx 22> C.y x sin sin > D.yx ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 5.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若bc c b a -+=222，且C B cos 3sin =，则下列结论中正确的是 A.6π=A B.a c 2= C.2π=C D. ABC ∆是等边三角形6.若()55443322105)1()1()1()1()1(12++++++++++=+x a x a x a x a x a a x ，则=4aA.32-B.32C.80-D.80 7.若正数y x ,满足0122=-+xy x ，则y x +2的最小值是 A.22 B.2 C.23 D.38.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥-030620y x y x y x ，则xy 的最大值是A.29 B.25108 C.4 D.2572 9.已知函数)(x f 满足：)1()1(x f x f +=-，且当1≤x 时，a x x f +=2)(()R a ∈,若存在实数[]1,0∈t ，使得关于x 的方程t x f =)(有且仅有四个不等实根，则实数a 的取值范围是 A.()1,2- B.()1,∞- C.()2,-∞- D.(]1,∞-10.在斜边长为5的等腰直角三角形ABC 中，点D 在斜边AC (不含端点)上运动，将CBD ∆沿BD 翻折到BD C 1∆位置，且使得三棱锥ABD C -1体积最大，则AD 长为 A.2 B.25C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分)二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分；单空题每小题4分. 11. 若复数z 满足i i z -=+3)1(，则z 的虚部是 ▲ ，z 等于 ▲ .A1CBCD12.已知等差数列{}n a 中，731=+a a ，设其前n 项和为n S ，且64S S =,则其公差=d ▲ ，其前n 项和为n S 取得最大值时=n ▲ .13.一个盒子中有大小形状完全相同的m 个红球和6个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为X ，若3=EX ，则=m ▲ ，==)2(X P ▲ .14.已知某几何体的三视图的外围都是边长 为1cm 的正方形，如图所示，则该几何体的表面积是 ▲ 2cm ，体积是 ▲ 3cm .15. 已知双曲线12222=-by a x 的两个焦点为21,F F ,以2F 为圆心过原点的圆与双曲线在第一象限交于点P ,若2PF 的中垂线过原点，则离心率为 ▲ . 16.记{}⎩⎨⎧>≤=ba b ba ab a ,min ，已知向量cb a ,,21==，且1=⋅b a ，若b a c μλ+=（0,≥μλ，且12=+μλ），则当{}⋅⋅,min = ▲ .17.若关于x 的不等式0)2)((2≥+-b x a x 在()b a ,上恒成立，则b a +2的最小值为 ▲ . 三、解答题：本大题共5小题，共74分。
【数学】浙江省杭州市2018届高考模拟试卷4(word附答案解析版)
浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷4参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Shh 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则()U A B =ð（ ）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ． {}|1x x <2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．1124．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3A π=，ABC ∆的面积b c +=（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．设实数,x y 满足 ） A ．z 有最大值，有最小值 B ．z 有最大值，无最小值 C ．z 无最大值，有最小值D ．z 无最大值，无最小值6．在二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（ ）A ．80-B ．40-C ．5D ． 107．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是（ ） A ．120B ．110C ．310D ．7208．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个9．已知向量)1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是（ ）A ．218π B ．518π C ．718π D ．1118π 10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时（ ）A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则z =___________，zz=___________． 12．设等比数列{}n a 的首项11a =，且1234,2,a a a 成等差数列，则公比q =___________；数列{}n a 的前n 项和n S =___________．13．已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆C 的坐标是___________，半径是__________；圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是___________．14．已知函数()211,0,22ln ,0,x x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩则()()1f f -=___________；若函数()y f x a =-有一个零点，则a 的取值范围是___________．15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有___________种不同的排法． 16．设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值是___________． 17．如图，ABC α⊥平面，且ABCBC α=平面，1AB =，BC =56ABC ∠=π，平面α内一动点P 满足6PAB π∠=，则PC 的最小值是___________．三、 解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求()f x ；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC C A B A A A ===111，︒=∠90ABC ，︒=∠45BAC ，N M ,分别是B A CC 11,的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABC ；（Ⅱ）求直线N C 1与平面ABC 所成的角的余弦值．20．（本题满分15分）已知函数()()21504a f x x x x =++>，()ln 4g x x =+，曲线()y g x =在点()14，处的切线与曲线()y f x =相切． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()f x g x >．21.（本题满分15分）以椭圆的2 个焦点与1 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =，求直线l 的方程．22．（本题满分15分）设数列{}n a 满足113a =，212nn n a a a n+=+，*n ∈N ．证明：（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）数列{}n a 为递增数列；（Ⅲ）212121n n n a n n -≤≤++，*n ∈N ．【参考答案】一、选择题 1．B【解析】因为{}|1A x x =>，所以{}|1U A x x =≤ð，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}|01UA B x x =<<ð．2．D【解析】因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．C【解析】该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803+⋅⋅=．4．B【解析】由1sin 2S bc A ==8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．5．C【解析】不等式组20,240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域为如图的阴影部分，目标函数示阴影部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值．6．A【解析】二项式5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()555315521C 2C 21rr r rrr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()1145C 2180⋅⋅-=-．【解析】从10个数中任取3个共有310120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有33C 1=种取法；第三类：这3个数从3,6,9中取，共有33C 1=种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336⋅⋅=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是41136712020+++=．8．D【解析】如图，由0FA FB FC ++=得F 为ABC ∆的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-，则点M 坐标为003,22x y -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，只要满足点M 在抛物线内部，即2003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，002x ≤<时，直线00034:22x y l y x y -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，此时ABC ∆为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．9．B【解析】如图，若向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭b 的起点为原点，则其终点在射线()()tan 115y x x π=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π⎛⎫π ⎪⎝⎭，．【解析】因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x mn m--<=---，因此()f x x m n +<+． 二、填空题 11．12i -；1 【解析】12i z =-，1z z z z==． 12．2；21n -【解析】由1234,2,a a a 成等差数列得21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，1212112nn n S -=⋅=--．13．()34，，5；()()225225x y -+-=【解析】由圆C 的方程为()()223425x y -+-=得圆心坐标为()34，，半径为5，圆心()34，关于直线:10l x y --=的对称点的坐标为()52，，所以圆C 关于直线:10l x y --=对称的圆的方程是()()225225x y -+-=． 14．2；10,ln 22⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】()()()112f f f -==；由()22ln f x x x =-得()21414x f x x x x-'=-=，因此()y f x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故11ln 222f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小，函数()y f x =的图象如图所示，所以当10,ln 22a ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，函数()y f x a =-有一个零点．15．120【解析】符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，令222x x '=-，332x x '=-，则12347x x x x ''+++=．因此原问题等价于求方程12347x x x x ''+++=的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310C 120=组自然数解，故共有120种不同的排法．16．2【解析】令2a b x a b y +=⎧⎨+=⎩，显然,0x y >，则2a y x b x y =-⎧⎨=-⎩，所以22222a b y x x y y x a b a b x y x y--+=+=+-≥++，当x ，即a =时，等号成立．17【解析】如图，因为射线AP 的轨迹为以AB 为轴，母线与轴夹角为6π的圆锥面，且平面α平行于该圆锥面的一条母线，所以平面α截该圆锥面所得的截线即P 点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线．以BC 为x 轴，以抛物线的顶点为原点O 建立直角坐标系，显然AOB ∆为底角为6π的等腰三角形，所以OB AB ==PB ABC ⊥平面时，tan 6PB AB π=⋅=此时点P 的坐标为⎝⎭，因此抛物线的方程为2y x =，点C 的坐标为⎫⎪⎭，所以抛物线上的点到点C 的距离的平方为222216534x y x x ⎛⎛+=+=+ ⎝⎝，故PC三、解答题18．（Ⅰ）解：由函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+>-π<<的最小正周期是π得2ω=．由sin 233y f x x ϕπ⎛π⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象过()0,1点得22,32k k ϕππ+=+π∈Z ．又由0ϕ-π<<得6ϕπ=-．所以函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）解：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2,666x ππ5π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．19．解：（Ⅰ）如图，设AB 的中点P ，连结PC NP ,，则11//,//AA MC AA NP ，且MC AA NP ==121，故四边形MNPC 为平行四边形，得PC MN //．又⊂PC 平面ABC ，⊄MN 平面ABC ，因此//MN 平面ABC ． （Ⅱ）因为M 为1CC 的中点，所以，1NPMC 是平行四边形， 故MP N C //1．设AC 的中点Q ，连结BQ ．因为︒=∠90ABC ，Q 是AC 的中点，所以，CQ BQ AQ ==，又因为C A B A A A 111==，所以CQ A BQ A AQ A 111∆≅∆≅∆，则︒=∠=∠9011QC A QB A ， 所以BQ Q A CQ Q A ⊥⊥11,，故⊥Q A 1平面ABC ．过M 作AC MH ⊥交AC 的延长线于点H ，连结PM PH BH ,,，则⊥MH 平面ABC ，所以，MPH ∠是直线N C 1与平面ABC 所成的角． 设41=A A ．在APH ∆中，︒=∠==45,5,2BAC AH AP ，故17=PH ． 在MPH Rt ∆中，3,17==MH PH ，所以1085cos =∠MPH ． 因此，直线1CN 与平面ABC． 20．（Ⅰ）解：由()1g x x'=得()11g '=，所以曲线()y g x =在点()14，处的切线方程为3y x =+． 设曲线()y f x =与直线3y x =+切于点()00,x y ，由()0003()1f x x f x ⎧=+⎪⎨'=⎪⎩得2000020153,4101,a x x x a x x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01.21.x a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（Ⅱ）证明：令()()()2111354F x f x x x x x =-+=+--，则()()()222215211101x x x F x x x x --+'=--=，所以函数()y F x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0x >时，()102F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，因此当0x >时，()3f x x ≥+，当且仅当12x =时等号成立． 令()()()31ln G x x g x x x =+-=--，则()111x G x x x -'=-=，所以函数()y G x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()10G x G ≥=，因此当0x >时，()3x g x +≥，当且仅当1x =时等号成立．因为()3f x x ≥+，()3x g x +≥，且等号成立的条件不同，所以()()f x g x >．21．c =，b =由2122S c b =⋅⋅==a =b （Ⅱ）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=，所以202613k x k =+， ()2122113k AB x x k +=-=+．点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k -=-=-=++．由以线段AB 为直径的圆截直线1x =2222AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎢⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+． 22．（Ⅰ）解：2114399a =+=，2342409981a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）证明：（1）1n =时，1103a =>； （2）假设n k =时，0k a >，2120k k k a a a k +=+>； 所以由（1）（2）得0n a >，*n ∈N ． 所以2120n n n a a a n+-=>，即1n n a a +>，数列{}n a 为递增数列． （Ⅲ）证明：由21122n n n n n a a a a a n n ++-=<得221111*********n n a a n n n n +-<<=---+， 所以1111212n a a n -≤--，故2121n n a n -≤+． 由21121n n a n -≤<+得2122n n n n n a a a a a n n +=+<+，所以221n n a n >+，故211221n n n n n a a a a a n n ++-=>+， 所以22111111111n n a a n n n n n +->≥=-+++， 因此11111n a a n -≥-，故21n n a n ≥+．。
浙江省杭州市建人高复学校高三数学第四次月考试题 理 新人教A版
第4题图浙江省杭州市建人高复学校2012届高三第四次月考试题数学(理科)问卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1. 设A ｝｛1,log |2 x x y y ==，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞C ．(0,)AB =+∞D ． }{()2,1R C A B =--2. 设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则 （A ）31,22a b == （B ）3,1a b ==（C ）13,22a b == （D ）1,3a b == 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )A ．2B ．12-C ．3-D ．135. 已知ABC ∆中，条件甲：,sin sin 2cos cos 2tan AC AC A -+=条件乙：ABC ∆为等边三角形，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件 6. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知5ln 520112012201320122log 3,2ln 3-=+=S a a S ，则公比q =（ ） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）67. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若实数0x 满足关于x 的方程02223=+++b ax bx ax ，则下列选项的命题中为假命题的是（A ）)()(,0x f x f R x ≤∈∃ （B ）)()(,0x f x f R x ≥∈∃ （C ）)()(,0x f x f R x ≤∈∀ （D ）)()(,0x f x f R x ≥∈∀8. 设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线22x a－22y b ＝１（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1P F 2=60°，OP =,27a 则该双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 29. 已知数列⋅⋅⋅，，，，，，，，，，41322314312213211211依据此规律，可以判断这个数列的第2012项2012a 满足（ ）A. 10102012 aB.11012012 a ≤ C. 1012012 a ≤ D. 102012 a 10.已知函数|,12|)(2--=x x x f 若)()(,1b f a f b a = ，则16)(3)(2223+++--=ab b a a b u 的范围是（ ）A. )21,1(+B. )3,21(+C. [0,5)D. [0,2) 二、填空题：本大题共7小题，共28分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上。
浙江省2018届高三4月学考科目考试数学试题(WORD版)
A. S 甲>S 乙，V 甲>V 乙
B. S 甲>S 乙， V 甲 <V 乙
C. S 甲<S 乙 ，V 甲>V 乙
D. S 甲， S 乙，体积为 V
D. S 甲<S 乙，V 甲<V 乙
aa a
aa
aa
aa
a
a 正视图
侧视图
a 正视图
侧视图
俯视图
图1
俯视图
图2
16. 如图， F 为椭圆 + =1( a>b>0) 的右焦点，过 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，点 A， B 分别为 椭圆的右顶点和上顶点， O 为坐标原点，若△ OAB 的面积是
△ OPF 面积的 倍，则该椭圆的离心率是 ( )
y B
A. 或
B. 或
F O
x A
P
ห้องสมุดไป่ตู้C.
或
D. 或
17. 设 a 为实数，若函数 f(x)=2 x2- x+a 有零点，则函数 y=f[ f(x)] 零点的个数是 (
A. 1 或 3
B. 2 或 3
C. 2 或 4
) D. 3 或 4
18. 如图，设矩形 ABCD 所在平面与梯形 ACEF 所在平面相交于 AC，若 AB=1，BC= ，AF =FE =EC=1，
则下列二面角的平面角大小为定值的是
A. F- AB- C
B. B- EF - D
C. A- BF - C
D. B- AF- D
F
E
D
A
C
B 二、填空题 (每空 3 分，共 15 分 )
19. 已知函数 f (x)=2sin(2x+ )+1，则 f(x)的最小正周期是 _________________________ ，f(x)的最大值 是 _________________________
浙江省杭州市高考数学四模试卷
浙江省杭州市高考数学四模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·台州期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·太原模拟) 已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A . （﹣1，﹣2）B . （﹣1，2）C . （1，﹣2）D . （1，2）3. （2分） (2017高一下·西城期末) 如表是某校120名学生假期阅读时间（单位：小时）的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10，15），[15，20），[20，25），[25，30）四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（）分组频数频率[10，15）120，10[15，20）30a[20，25）m0.40[25，30）n0.25合计120 1.00A . 2，5，8，5B . 2，5，9，4C . 4，10，4，2D . 4，10，3，34. （2分） (2016高一下·三原期中) 已知函数g（x）=2sin（3x﹣）+1，当x∈[0， ]时方程g（x）=m恰有两个不同的实根x1 ， x2 ，则x1+x2=（）A .B .C . πD . 2π5. （2分） (2015高三上·秦安期末) 已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2 + = ，则向量等于（）A . ﹣B . ﹣ +C . 2 ﹣D . ﹣﹣26. （2分） (2018高二下·惠东月考) 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球的球面上，球的表面积是（）A .B .C .D .7. （2分）某程序框图如图所示，若输出结果是126，则判断框中可以是（）A . i>6?B . i>7?C . i≥6？D . i≥5?8. （2分）展开式的二项式系数之和为64,则n的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分）(2018·上饶模拟) 若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是A . 1B .C .D .10. （2分）数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（）A .B .C .D .11. （2分）椭圆的左、右焦点分别为是上两点，，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高三上·和平期末) 已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A . （0，2）B . （2，+∞）C . （﹣∞，﹣2）D . [2，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·北京期中) 命题“ ”的否定是________14. （1分） (2018高二上·巴彦期中) 以为渐近线且经过点的双曲线方程为________．15. （1分） (2016高一下·苏州期末) 已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为________．16. （1分）(2017·九江模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1=1，an•an+1=2Sn ，设bn= ，若存在正整数p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差数列，则p+q=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分） (2019高三上·牡丹江月考) 设函数 .（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求周长的取值范围.18. （15分） (2016高二上·湖州期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DB= ，AB=1，M是PB的中点．（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．19. （5分） (2017高二下·莆田期末) 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．20. （10分）(2020·泉州模拟) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由21. （10分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+ ，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．22. （10分）已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ+4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程和参数方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．23. （5分）(2017·资阳模拟) 已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2017-2018高三第四次月考理数试题解答
2018届高三第四次月考 数学试卷（理科） （第Ⅰ卷 选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U A B =∩ð ( C )A. {|20}x x x 或><B. {|12}x x <<C. {|12}x x ≤<D. {|12}x x ≤≤ 解：2{|20}(,0)(2,)A x x x =->=-∞+∞∵∪，[0,2]U A =∴ð，(1,)B =+∞∵，()(1,2]U A B =∩ð （2）i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解：(2)122555i i i z i i ---===--+∵，Z ∴点在第三象限内 （3）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是 （ D ）A.若21x ≥，则11x x ≥≤-，或 B.若11x -<<，则21x < C.若11x x ><-，或，则21x > D.若11x x ≥≤-，或，则21x ≥ （4）为了得到函数sin 2cos 2y x x =+的图像，只需把函数sin 2cos 2y x x =-的图像( A )A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位（5）根据右边框图，当输出的10y =时，输入的x 为（ B ） A.4 B.6或0 C.0 D.4或6（6）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα= ，且a 与b 共线，则tan α=（ D ）A ．43 B ．43- C ．34- D ．34（7）在等差数列{}n a 中，已知65a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =（ C ）A.45B.50C.55D.60解：11123456789101161155S a a a a a a a a a a a a =++++++++++== （8）已知52log 2a =， 1.12b =，0.81()2c -=，则a 、b 、c 的大小关系是（ A ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b c a <<解：1,2,12,a b c a c b ∵0∴<<><<<<（9）设变量,x y 满足条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A.-7B.-4C.1D.2解：如图当5,3x y ==时min 7z =-（10）已知直线a 和平面α，则能推出a α∥的是（ C ） A.存在一条直线b ，a b ∥，且b α∥B.存在一条直线b ，a b ⊥，且b α⊥C.存在一个平面β，a β⊂，且αβ∥D.存在一个平面β，a β∥，且αβ∥（11）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB |= （ B ）（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ） 10 解：12|AB |628x x p =++=+= （12）设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x ->成立的取值范围是（ B ） 1A.(,)(1,)3-∞+∞∪ 1.(,1)3B 11.(,)33C - 11.(,)(,)33D -∞-+∞∪解：()()f x f x -∵=，所以()f x 是偶函数，又()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以要使()(21)f x f x ->成立，则|||21|x x ->，23410x x -+∴<，113x ∴<<(第Ⅱ卷 非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省建人高三复读班2018-2019学年12月份月考数学试卷含答案
浙江建人高复2018学年12月份月考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件B A ,互斥，那么 柱体的体积公式)()()(B P A P B A P +=+； V Sh =如果事件B A ,相互独立，那么 椎体的体积公式)()()(B P A P B A P ⋅=⋅； 13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 24S R π=k n kk n n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n). 球的体积公式台体的体积公式 343V R π=1(+3V h S S =下上选择题部分（共40分）一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设复数z x yi =+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，若1yi x i -=+，则复数在复平面内对应的点位于（ ▲ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ▲ ）A ．4B ．8C ．12D ．243.()f x 是R 上奇函数，对任意实数都有3()()2f x f x =--，当13(,)22x ∈时，2()log (21)f x x =-，则(2018)(2019)f f +=（ ▲ ）A ．0B ． 1C ．1-D ． 24.函数的图像可能是（ ▲ ）AB.C. D.5.已知函数())14f x x π=+-，给出下列四个结论：（ ▲ ）①函数的最小正周期是； ②函数在区间上是减函数；③函数图像关于(,0)8π-对称； ④函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到．其中正确结论的个数是（ ▲ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知的内角所对的边分别是，，则“”是“有两解”的（ ▲ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝(▲)A ．29．B.210C ．211D ．2128．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F .若M 是抛物线上的动点，则|OM ||MF |的最大值为( ▲ )A.33B.63C.233D.2639.在中，已知AB AC =，点D 满足2BD DC =，则AD BC ⋅的取值范围为（ ▲ ）A.B.C.D.10.已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ▲ ）A.B.C.为减函数D.为增函数非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 双曲线2214x y -=的焦距为 ▲ ；渐近线方程为 ▲ . 12已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则n = ▲ ；p = ▲ .13.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 ▲ ．14．若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5则0a = ▲ ；a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5= ▲ 15.如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt △，2=AB ，2π=∠=∠CBD BAD ，且二面角A －BD －C 的大小为65π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为 ▲ . 16．已知()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+，，，，，. 若012λμ≤≤≤≤时，()0 0x yz m n m n=+>>，的最大值为2，则m n +的最小值为 ▲ . 17.已知函数()ln xf x a x=-，则()f x 的单调递减区间为 ▲_ ；若存在两个不相等的实数，使得12()()f x f x e ==-（其中为自然对数的底数），则实数a 的取值范围为_______▲______．三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18．（本小题14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知4A π=，sin()sin()44b C c B a ππ+-+=.()1求角B ；()2若a =ABC ∆的面积．19. （本小题15分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ， AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点， AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. （本小题15分）若数列是公差为2的等差数列，数列满足，，且．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数λ的取值范围．21. （本小题15分）设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2的面积S 的最大值．22. （本小题15分）设a R ∈，函数()ln f x x ax =-（1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 有两个相异零点，且12ln ln x x m +>恒成立，求：求实数m 的最大值．数学答案一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.12y x =±12. 10；0.8 13. 26 14.-1；1015.20π 16.52+ 17. (0,1),(1,)e ；(2,)e +∞三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18、解：()1由sin sin 44b C c B a ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应用正弦定理， 得sin sin 4B C π⎛⎫+⎪⎝⎭-sin C sin sin 4B A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin sin 22222B C C C B B ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理得sin cos cos sin 1B C B C -=，即 ()sin 1B C -= 由于30,,4B C π<<从而2B C π-=，因为34B C π+=，联立解得58B π= ……6分 ()2由()1得8C π=因为4a A π==得sin 54sin sin 8a B b A π== 同理得4sin 8c π=分所以ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==154sin 28π⨯4sin 8π⨯5sin 88ππ=sin()sin 288πππ=+sin 88ππ=⋅4π=2=19、解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB . (2)如图，取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，则PM ＝(0,2，－4)，PN ＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0.取z ＝1可得n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN 〉|＝8525. 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525. 20、【解析】（1）数列满足，，且，可得，解得，利用等差数列的通项公式可得，可得，化为，利用等比数列的通项公式可得；（2）设数列满足，利用“错位相减法”可得数列的前项和为，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出． 试题解析：（1）∵数列满足，，且，∴，解得，又数列是公差为2的等差数列，∴，∴，化为，∴数列是等比数列，公比为2，∴．（2）设数列满足，数列的前项和为，∴，∴，∴，不等式，化为：，时，，∴；时，，∴，综上可得：实数的取值范围是．21、解：(1)设P (x ，y )，则＝(－c －x ，－y )，＝(c －x ，－y )，所以·＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a 2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简得m 2＝2k 2＋1.设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|，所以|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k ||d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |.∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2，∴S <2. ②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，S ＝2， 所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2. 22、【详解】(1)①若时，则是区间上的增函数，∵∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上， ，函数是增函数；在区间故在区间(2)因为， 是方程的两个不同的实数根.∴又（1）知1()0f a>时，即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时有两个不同零点，由于(1)0f a =-<所以1211x x a<<<，且12()()0f x f x == 记221()()()ln ln()22,(1,)F x f x f x x x ax x a a a=--=---+∈则2(1)'()20(2)ax F x x ax -=>-所以()F x 在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，即，1()()0F x F a <=2()()f x f x a ∴<-112122()()()()f x f x f x f x a a ⇒<-⇒<-由于()F x 在1(,)a +∞单调递减，所以21122()2x x a x x a>-⇒+>而1212ln ln ()2x x a x x +=+> 则m 的最大值为2。
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2018届浙江省杭州市建人高复高三下学期第四次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．（4分）设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤1或x≥2}3．（4分）在等比数列{an }中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q=（）A．2 B．3 C．4 D．54．（4分）如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）5．（4分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．86．（4分）直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B．C．D．7．（4分）在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n﹣5的（）A．第2项B．第11项C．第20项D．第24项8．（4分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．{an }为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件D．“”必要不充分条件是“”9．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．10．（4分）已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知sin（α+）=，则cos（﹣α）= ； cos（﹣2α）= ．12．（6分）若函数f（x）=﹣1+logn（x+1）经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是； a= ．13．（6分）设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是，最大值是．14．（6分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为，体积为．15．（4分）一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．16．（4分）已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是．17．（4分）设函数f（x）=x2﹣2ax+15﹣2a的两个零点分别为x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．19．（15分）如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．20．（15分）已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3﹣x2﹣ax．（1）若x=为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，求实数b的取值范围．21．（15分）设x ，y ∈R ，向量分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线y=kx+m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．22．（15分）已知数列中，a 1=1，a 2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：（i ）对一切n ∈N *，都有＞；（ii ）对一切n ∈N *，有a 12+a 22+…+a n 2＜．2018届浙江省杭州市建人高复高三下学期第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数虚部的定义即可得出．【解答】解：复数1﹣2i的虚部是﹣2．故选；A．【点评】本题考查了复数虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：U=R，P={x|x＞1}，Q={x|0＜x＜2}，则P∪Q={x|x＞0}，∴∁U（P∪Q）={x|x≤0}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．3．在等比数列{an }中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{an}中，∵a3=2S2+3，a4=2S3+3，∴a4﹣a3=2S3+3﹣（2S2+3）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：B．【点评】本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．4．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．5．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12，即x+y=12，由，得B（4，8），此时B也在直线y=m上，∴m=8，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，即A（﹣16，8），此时z=x+y=﹣16+8=﹣8，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．6．直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心C到直线x﹣2y﹣3=0距离，利用勾股定理求出EF，再利用三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9的圆心坐标为C（2，﹣3），半径为3，∴C到直线x﹣2y﹣3=0距离为=，∴EF=2=4，∴△ECF的面积为=2．故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，含x4项的系数是等差数列a=3n﹣5的（）nA．第2项B．第11项C．第20项D．第24项【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得含 x4项的系数是=55，可得含 x4项的系数是a n =3n ﹣5 的第20项．【解答】解：在（1+x ）5+（1+x ）6+（1+x ）7 的展开式中，含 x 4项的系数是=55，所以，含 x 4项的系数是a n =3n ﹣5 的第20项， 故选C ．【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质、等差数列通项公式，属于中档题．8．下列说法正确的是（ ）A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1”B ．{a n }为等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“a 4＜a 5”的既不充分也不必要条件C ．若a ，b ∈R ，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件D ．“”必要不充分条件是“”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，即可判断A ；运用等比数列的通项公式，可得首项与公比的关系，判断单调性，结合充分必要条件定义，即可判断B ；由绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|，结合充分必要条件的定义，即可判断C ；由等价命题“tan α=”是“α=”的必要不充分条件，结合充分必要条件的定义，即可判断D ．【解答】解：对A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故A 错； 对B ，{a n }为公比为q 的等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”即为a 1＜a 1q ＜a 1q 2， 可得a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1，{a n }为递增数列，可得“a 4＜a 5”；若“a 4＜a 5”，即为a 1q 3＜a 1q 4，可得a 1＞0，q ＞1或q ＜0，推不出“a 1＜a 2＜a 3”． 则“a 1＜a 2＜a 3”是“a 4＜a 5”的充分不必要条件，故B 错；对C ，若a ，b ∈R ，由|a|+|b|≥|a+b|，可得|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的必要而不充分条件，故C 错；对D ，“”必要不充分条件是“”⇔“tan α=”是“α=”的必要不充分条件，故D 正确．故选：D．【点评】本题考查四种命题和充分必要条件的判断，考查等比数列的单调性和绝对值不等式的性质，考查判断能力，属于基础题．9．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】说明M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线．通过PF2⊥PF1，可得|PF2|=，设P（x，y），推出 c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：如图9，∵，∴M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．连接PF1，OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2 a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，设P（x，y），则 c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．由勾股定理得 y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2有 e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．10．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=xe x，则y'=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在时（如图11），满足g（x）=﹣1的x有4个，由，解得．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知sin（α+）=，则cos（﹣α）= ； cos（﹣2α）= ﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：cos（﹣α）=sin[﹣（﹣α）]=sin（α+）=，cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=﹣1=﹣，故答案为：，﹣．【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．12．若函数f（x）=﹣1+log（x+1）经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则n点F的坐标是（0，﹣1）； a= ﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数经过的定点坐标，即可定点抛物线的焦点坐标，然后求解a即可．（x+1）经过的定点F（0，﹣1），【解答】解：函数f（x）=﹣1+logn抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是（0，﹣1）．可得，解得a=﹣．故答案为：（0，﹣1）；﹣．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．13．设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是，最大值是．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，首先有基本不等式可得1=a+b≥2，即≤，对于a2+b2，将其变形可得a2+b2=（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab，结合≤，分析可得其最小值；对于，有（）2=a+b+2=1+2，结合≤，分析可得其最大值；即可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a ，b 满足a+b=1，则有1=a+b ≥2，即≤，a 2+b 2=（a+b ）2﹣2ab=1﹣2ab ≥，即a 2+b 2最小值是，对于，有（）2=a+b+2=1+2≤2，则有≤；则最大值是；故答案为：，．【点评】本题考查基本不等式的应用，关键要熟悉基本不等式的形式，并能灵活应用．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为，体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入半圆锥体积和表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥， 半圆锥的底面直径为2，高h=2，故半圆锥的底面半径r=1，母线长为，故半圆锥的体积V==，半圆锥的表面积S=×2×2+（1+）=故答案为：，【点评】本题考查的知识点半圆锥的体积和表面积，空间几何体的三视图．15．一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】设白球的个数为x，则红球和黑球的个数为10﹣x，记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件，由此求出白球的个数；得出ξ的取值可能为0，1，2，3，求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：设白球的个数为x，则黑球和红球的个数为10﹣x；记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件；所以p（A）=1﹣==，解得x=5，所以白球的个数为5；从袋中任意摸出3个球，到白球的个数ξ的取值可能为：0，1，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列为：ξ所以的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．故答案为：．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．16．已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是 [﹣2，1]，λ≠0． ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理可得：1+cos α=λ（﹣1﹣2cos β），sin α=﹣λsin β，利用1=cos 2α+sin 2α，化为：λ=，令2cos β+1=t ∈[﹣1，3]，可得λ==f （t ），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵，∴=λ，∴1+cos α=λ（﹣1﹣2cos β），sin α=﹣λsin β，∴1=cos 2α+sin 2α=[λ（﹣1﹣2cos β）﹣1]2+（﹣λsin β）2，化为：λ=，令2cos β+1=t ∈[﹣1，3]．则λ==f （t ），f′（t ）=，可知：t=1时，函数f （t ）取得最大值，f （1）=1．又f （﹣1）=﹣2，f （3）=． ∴λ∈[﹣2，1]，由于t=0时，λ=0，点A 与C 重合，舍去． ∴λ∈[﹣2，1]，λ≠0． 故答案为：[﹣2，1]，λ≠0．【点评】本题考查了向量共线定理、平方共线、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．设函数f （x ）=x 2﹣2ax+15﹣2a 的两个零点分别为x 1，x 2，且在区间（x 1，x 2）上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 （，] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数y=的图象和直线y=2a 有两个交点，这2个交点的横坐标分别为x 1，x 2，在区间（x 1，x 2）上恰有两个正整数．再令x+1=t ，则m （t ）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，这2个交点的横坐标分别为t1，t2，则在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，求得a的范围．【解答】解：令f（x）=0，可得x2 +15=2a（x+1），即=2a，由题意可得方程=2a 有2个解x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，故函数y=的图象和直线y=2a有两个交点，且这2个交点的横坐标分别为x1，x2．再令x+1=t，则y==t+﹣2，即m（t）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，且这2个交点的横坐标分别为t1，t2，在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，而这两个正整数应为2和4．令t=5，则m（t）=，令t=3，则m（t）=，∴＜2a+2≤，求得＜a≤，故符合条件的a的范围是：{a|＜a≤}．故答案为：（，]．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的图象，函数零点的定义，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2017春•杭州月考）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用两角差的余弦公式展开，利用辅助角公式即可求得f（x），根据周期公式，即可求得函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦定理，求得B=，则0＜A＜，根据正弦函数的性质即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由=cos2xcos+sin2xsin+sin2x，=sin2x+cos2x，=sin（2x+），则f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由正弦定理： ===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由（2a﹣c）cosB=bcosC，则（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，则2sinAcosB=sin（B+C），由sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴cosB=，由0＜B＜π，则B=，=sin（2×+）=sin（A+），由0＜A＜，则＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，则＜sin（A+）≤，∴f（A）∈（，]．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，考查正弦函数的图象及性质，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（15分）（2013春•荆门期末）如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．（II）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．【解答】证明：（Ⅰ）连接PC，交DE于N，连接MN，在△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点∴MN∥AC…（2分）因为MN⊂面MDE，AC⊄面MDE，∴AC∥平面MDE…（4分）解：（Ⅱ）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0， a），B（a，a，0），C（0，2a，0），所以=（a，a， a），=（﹣a，a，0），…（6分）平面PAD的单位法向量为=（0，1，0）…（7分）设面PBC的法向量=（x，y，1），则有，解得：x=y=则=（，，1），…（10分）设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，∴cosθ==即平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为…（12分）【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．20．（15分）（2017春•杭州月考）已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3﹣x2﹣ax．（1）若x=为y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）因为x=为y=f（x）的极值点，所以f′（）=0，就可求出a的值．（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=有实根，就可得到方程lnx﹣（1﹣x）2+（1﹣x）=由实根，即b=xlnx+x2﹣x3在x＞0上有解，只需求出函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域，而b在这个范围内，就可得到b的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=+3x2﹣2x﹣a=∵x=为f（x）的极值点，∴f′（）=0∴3a+（3﹣2a）﹣（a2+2）=0且a+1≠0∴a=0．又当a=0时，f′（x）=x（3x﹣2），从而x=为f（x）的极值点成立．（2）若a=﹣1时，方程f（1﹣x）﹣（1﹣x）3=可得lnx ﹣（1﹣x ）2+（1﹣x ）=即b=xlnx ﹣x （1﹣x ）2+x （1﹣x ）=xlnx+x 2﹣x 3在x ＞0上有解 即求函数g （x ）=xlnx+x 2﹣x 3的值域． 令h （x ）=lnx+x ﹣x 2由h′（x ）=+1﹣2x=∵x ＞0∴当0＜x ＜1时，h′（x ）＞0，从而h （x ）在（0，1）上为增函数； 当x ＞1时，h′（x ）＜0，从而h （x ）在（1，+∞）上为减函数． ∴h （x ）≤h （1）=0，又∵x ＞0 ∴g （x ）的值域为（﹣∞，0] ∴b 的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题主要考查函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的值域，借助函数值域求参数的范围，属于综合题．21．（15分）（2017•茂名一模）设x ，y ∈R ，向量分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线y=kx+m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：△OAB 的面积为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过，得到，说明点M （x ，y ）到两个定点F 1（，0），F 2（，0）的距离之和为4，推出点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（，0），F 2（，0）的距离之和为4…（2分） ∴点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为，a=2∴b 2=a 2﹣c 2=1…（3分）其方程为…（4分） （Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣16=0显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，∴△＞0，由韦达定理可得：，．…所以…（6分）因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为（0，m ），所以△OAB 的面积…（7分）=…（8分）设将y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m 2=1+4k 2即t=1，…（11分）又因为，故为定值．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力．22．（15分）（2016•浙江模拟）已知数列中，a 1=1，a 2=，且a n+1=（n=2，3，4，…）．（Ⅰ）证明：求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求证：（i ）对一切n ∈N *，都有＞；（ii ）对一切n ∈N *，有a 12+a 22+…+a n 2＜．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n ≥2时，通过裂项、变形可知，进而并项相加即得结论；（Ⅱ）（i ）通过（I ）代入计算、利用作差法计算即得结论；（ii ）当k ≥2时通过放缩可知＜（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】证明：（Ⅰ）由已知，对n ≥2有：，两边同除以n ，得：，即，于是， [﹣]=﹣[﹣]=﹣（1﹣）， 即，所以，即，又n=1时也成立，故；（Ⅱ）（i ）由（I ）可知﹣=[3（n+1）﹣2]2﹣（3n ﹣2）2=18n ﹣3＞0，∴，即对一切n ∈N *，都有；（ii ）当k ≥2，有，所以n ≥2时，有=，又n=1时，满足上式，故对一切n∈N*，有．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法，分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。