高三新课标数学(理)一轮复习(讲义+课件+课时训练)：第八篇 平面解析几何(必修2、选修21)(17

(2)已知双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)和椭圆 x2 + y 2 =1 有相同的焦点,且双
a2 b2
16 9
曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为
.
解析:(1)设双曲线方程为 x2-y2=a2(a>0),
由抛物线的准线方程为 x=-4, 代入上式得 y2=16-a2. ∴16-a2=12,∴a2=4,a=2, 故双曲线的实轴长为 2a=4.故选 C.
夯基固本
考点突破
规范答题
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.直线和圆锥曲线的位置关系 已知直线 l:ax+by+c=0,圆锥曲线 M:f(x,y)=0.
联立方程组
ax

f
(
x,
by y)

c 0,
0,
消去
y,整理得
Ax2+Bx+C=0.
(1)若 A=0 且 B≠0,则直线 l 和圆锥曲线 M 只有一个公共点.
a
a
a4
所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为 x2 - y 2 =1. 43
答案:(1)C (2) x2 - y 2 =1 43
反思归纳 圆锥曲线间的综合问题,涉及两种及以上的曲线的方程 和性质的相关运算,准确记忆方程中各参数的几何意义,彼此之间 的关系和相关几何性质是解决此类问题的关键.尤其是区分椭圆和 双曲线标准方程中a、b、c三者的关系.
【即时训练】已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2).
(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有
公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存 5
在,说明理由.
【例 3】 如图,已知抛物线 C:y2=2px(p>0)和☉M:(x-4)2+y2=1,过抛物线 C 上 一点 H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线与☉M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线于 E、 F 两点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 17 .
4 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当∠AHB 的平分线垂直于 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t,求 t 的最小值.
则|AB|= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
= (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
=
(1
1 k2
)[( y1

y2 )2

4 y1 y2 ]
(k
为直线斜率)
3.直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法 (1)涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用 弦长公式计算弦长. (2)涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标, 弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化. (3)特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的, 不要忽略判别式,判别式 大于零 是检验所求参数的值是否有意 义的依据.
第6节 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 1.了解圆锥曲线的简单 应用.
2.理解数形结合的思想. 3.掌握解决直线与圆锥曲线位置关系的 方法.
编写意图 直线和圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的重点和热 点,通常作为解答题中的压轴题出现,试题有一定的难度;多种圆锥 曲线的综合,多以选择题或填空题进行考查,属中等难度.本节围绕 高考命题的重点设置了圆锥曲线的综合问题、直线和圆锥曲线、圆 与圆锥曲线等三个考点,精心选编例题和练习题,并根据该部分命题 的热点设置了规范答题栏目,起到解题示范作用,并归纳了相应的解 题步骤,让学生可以按部就班地解决相关问题,突破难点.
所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥- 1 . 2
另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 可得 t = 1 ,
5
55
解得 t=±1.
因为-1

1，+ 2

,1∈

1，+ 2

,所以
t=1,
故符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.
考点三 圆与圆锥曲线的综合问题
y kx,
∴CO:y=-
1 k
x.由

x
2
4

y2
1
得(1+4k2)x2=4,|AB|=2|OA|=2 x2 y2 =4 k 2 1 , 4k 2 1
同理可得|OC|=2 k2 1 , k2 4
S = △ABC 1 |AB|·|CO|=4 2
(k 2 1)2
=
答案:(1)B (2)y2=8x
考点二 直线与圆锥曲线
【例 2】 (2015 哈师大附中月考)如图,已知圆 E:(x+ 3 )2+y2=16,点 F( 3 ,0),P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q.
(1)求动点 Q 的轨迹Γ 的方程; (2)已知 A,B,C 是轨迹Γ 上的三个动点,点 A 在第一象限,B 与 A 关于原点对 称,且|CA|=|CB|,问△ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此最小值及 相应直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由.
线的准线方程为
.
解析:(1)由双曲线的方程知 m>0,
故双曲线的渐近线为 y=±
1
x,由

y


1 x, m
m
y2 mx,
解得 A(m2,m m ),B(m2,-m m ). 所以|AB|=2m m ,点 O 到直线 AB 的距离 d=m2.
故 S = △OAB 1 |AB|×d= 1 ×2m m ×m2=m3 m =27 3 .解得 m=3.
解:(1)Q 在线段 PF 的垂直平分线上, 所以|QP|=|QF|, 得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4. 又 EF=2 3 <4, 得 Q 的轨迹是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,
故动点 Q 的轨迹Γ的方程为 x2 +y2=1. (2)由点 A 在第一象限,B 与 A 4关于原点对称, 设 AB:y=kx(k>0), |CA|=|CB|, ∴C 在 AB 的垂直平分线上,
解:(1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4+ p = 17 , 24
∴p= 1 ,∴抛物线 C 的方程为 y2=x. 2
(2)∵当∠AHB 的平分线垂直于 x 轴时,点 H(4,2), ∴kHE=-kHF, 设 E(x1,y1),F(x2,y2),
∴ yH y1 =- yH y2 , xH x1 xH x2
质疑探究:若直线和圆锥曲线只有一个公共点,则直线和圆锥曲线 相切吗?
(提示:不一定相切,如图(1)、(2)所示. 即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只 有一个公共点;与抛物线对称轴平行的直 线与抛物线只有一个公共点,但此时它们 的位置关系是相交而不是相切)
2.直线被圆锥曲线截得的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),
(2)椭圆 x2 + y 2 =1 的焦点坐标为 F1(- 7 ,0),F2( 7 ,0),离心率为 e= 7 .
16 9
4
由于双曲线 x2 - y 2 =1 与椭圆 x2 + y 2 =1 有相同的焦点,
a2 b2
16 9
因此 a2+b2=7.
又双曲线的离心率 e= a2 b2 = 7 ,所以 7 = 2 7 ,
基础自测
1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 x2 + y 2 =1 的位置关系是( A )
94 (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定
解析:y=kx-k+1=k(x-1)+1, 显然直线恒过点A(1,1),而点A在椭圆内, 故直线和椭圆总相交.
2.(2014 湖北孝感模拟)已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,则 a2 b2
.
解析:∵圆的一条切线为 x=1,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, ∴椭圆的右焦点为(1,0),即 c=1,
设点 P(1, 1 ),连接 OP,则 OP⊥AB.∵kOP= 1 ,∴kAB=-2,
2
2
又∵直线 AB 过点(1,0), ∴直线 AB 的方程为 2x+y-2=0. ∵点(0,b)在直线 AB 上,∴b=2.
①当曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线平行; ②当曲线为抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行.
(2)若A≠0,则Δ =B2-4AC ①当Δ >0时,直线和圆锥曲线M有两个不同的公共点; ②当Δ =0时,直线和圆锥曲线M相切,只有 一个公共点; ③当Δ <0时,直线和圆锥曲线M 没有 公共点.
又∵c=1,∴a2=5,∴椭圆的方程为 x2 + y 2 =1.
答案: x2 + y 2 =1
54
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 圆锥曲线间的综合问题
【例 1】 (1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x
的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3 ,则 C 的实轴长为( ) (A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8
2
2
所以双曲线方程为 y2- x2 =1. 3
故 a=1,c=2,所以 e= c =2.故选 B. a
(2)椭圆 x2 + y 2 =1 的半焦距 c= 9 5 =2, 95