2017届广东省金山中学、广雅中学、佛山一中高三下学期联考文科数学试题及答案
2017佛山一模(文科)数学
2017届佛山市普通高中高三教学质量检测（一）一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知集合{}1|<=x x A ，{}0|2<-=x x x N ，则=B A I （ ）A ．[]1,1-B ．[]1,0C ．(]1,0D ．[)1,02．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，=⋅21z z （ ）A ．i 34+-B ．i 34-C ．i 43--D ．i 43-3．命题“00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（ ）A ．0≤∀x ，02<xB ．0≤∀x ，02≥xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x 4．变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 3+=的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．65．本学期王老师任教两个平行班高三A 班、高三B 班，两个班都是50个学生，图1反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（ ）A ．A 班的数学成绩平均水平好于B 班B ．B 班的数学成绩没有A 班稳定C ．下次考试B 班的数学平均分要高于A 班D ．在第1次考试中，A 、B 两个班的总平均分为986．抛物线x y 162=的焦点到双曲线112422=-y x 的渐近线 的距离是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．327．已知函数12cos 2sin 3)(+-=x x x f ，下列结论中错误的是（ ）A ．)(x f 的图像关于)1,12(π中心对称 B ．)(x f 在)1211,125(ππ上单调递减 C ．)(x f 的图像关于3π=x 对称 D ．)(x f 的最大值为38．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若AE AB 2=，AF AD 3=，)(R AK AC ∈=λλ，则=λ（ ）A ．2B ．25C ．3D ．5 9．对任意R a ∈，曲线)21(2a ax x e y x -++=在点)21,0(a P -处的切线l 与圆16)1(:22=+-y x C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能10．如图2所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．1615 B ．1211 C ．813 D ．41311．某几何体的三视图如图3所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．π4B ．π12C ．π48D ．π3612．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，c b a b ax x x g ,,(23)(2++=是常数)，若)(x f 在)1,0(上单调递减，则下列结论中：①0)1()0(≤⋅f f ；②0)1()0(≥⋅g g ；③b a 32-有最小值．正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．函数xax x x f -++=11log 1)(2为奇函数，则实数=a ________ 14．已知20π<<x ，且102)42sin(-=-πx ，则=+x x cos sin ________ 15．数轴上有四个间隔为1的点依次记为A 、B 、C 、D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到 B 、C 两点的距离之和小于2的概率为________16．ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若54=b ，5=c ，C B 2=，点D 为边BC 上 一点，且6=BD ，则ADC ∆的面积位________三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(1*2N n n a S n n ∈-+=（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：4311121<+++n S S S Λ18．（本小题满分12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，PAD ∆为正三角形，CD AB //，CD AB 2=，︒=∠90BAD ， CD PA ⊥，E 为棱PB 的中点（Ⅰ）求证：平面⊥PAB 平面CDE ；（Ⅱ）若2==CD AD ，求点P 到平面ADE 的距离20．（本小题满分12分） 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)1,2(M ，且离心率为23 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且在直线062:2=+-y x l 上存在点M ，使得 MPQ ∆为等边三角形，求直线1l 的方程21．（本小题满分12分）设函数x e x f ax ln )(λ+=，其中0<a ，e 是自然对数的底数（Ⅰ）若)(x f 是),0(+∞上的单调函数，求λ的取值范围； （Ⅱ）若e10<<λ，证明：函数)(x f 有两个极值点请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲在极坐标系中，射线6:πθ=l 与圆2:=ρC 交于点A ，椭圆Γ的方程为θρ22sin 213+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求AF AE ⋅的取值范围23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知不等式0123<--+x x 的解集为),(0+∞x（Ⅰ）求0x 的值；（Ⅱ）若函数)0(1)(0>-++-=m x mx m x x f 有零点，求实数m 的值。
广东省2017届高三下学期联考数学(文)试题 Word版含答案
华附、执信、 深外2017届高三级联考数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集U R =，若集合1{|0}4x A x x-=≥-，}2log |{2≤=x x B ，则=B A （A ）{|4}x x < （B ）{|4}x x ≤ （C ）}41|{<≤x x （D ）{|14}x x ≤≤ （2）平面向量)2,1(=a ，)2,4(=b ，m +=（R m ∈），且c 与a 的夹角等于与的夹角，则=m（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （3）若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为 （A ）4- （B ）45-（C ）4 （D ）45（4）连续两次抛掷一枚骰子,记录向上的点数,则向上的点数之差的绝对值为2的概率是 （A ）19 （B ） 29（C ）49 （D ）13 （5）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足030=∠PAB ，则点P 的轨迹是（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线的一支（6）一个四面体的三视图如右图所示，则该四面体的表面积是（A）1（B）1+（C）2+（D）（7）若变量,x y满足约束条件8,24,0,0,x yy xxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x=-的最大值为a,最小值为b,则a b-的值是（A）48（B）30（C）24（D）16（8）定义在R上的函数()f x满足(6)()f x f x+=.当31x-≤<-时2()(2)f x x=-+，当13x-≤<时,()f x x=。
2017届广东省高三百校联考文科数学试题及答案 精品
广东省百所高中2017届高三11月联合考试数学文一、选择题（50分） 1、复数21ii-等于 A 、1＋i B 、1－i C 、－1＋i D 、－1－i2、已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{－2，0，2}，则{}{}A B M N M C M N 2D M N 02N M ⊆ 、 、＝ 、＝ 、＝， 3、下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A 、y ＝2xB 、y ＝－x 2C 、y ＝x 3D 、y ＝－3x4、已知1(,0),cos 3απα∈-=-，则tan α等于A 、2B 、22C 、3D 、32 5、若点P （1,1）为圆（x －3）2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的斜率为A 、12B 、－12C 、2D 、－26、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于 A 、2B 、23C 、43D 、47、已知x，y满足约束条件503x yx yy-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z＝2x＋4y的最小值是A、－6B、5C、10D、－108、执行如图所示的算法流程图，若输入A的值为2，则输出S的值是A、3B、2312C、136D、25129、设F1、F2分别为双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，椭圆上一点M满足N为MF1的中点且ON⊥MF1，则椭圆的离心率为A 、31-B 、32C、2－2D 、2－110、定义两个平面向量的一种运算则对于两个平面向量a，b，下列结论错误的是11、在等差数列{n a }中，9122a a =＋6，则5a ＝＿＿＿＿ 12、曲线21(0)x y x x+=>在点（1,2）处的切线方程为＿＿＿＿ 13、某校开展“爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的劝无法看清，若记分员计算无误，则数字x ＝＿＿＿14、在极坐标系中，圆C 1的方程为42cos()4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝＿＿＿＿15、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，圆E 过A ，B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连结BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝＿＿＿16、（本小题满分12分）已知函数（1）求5()4f的值； （2）设，求的值。
2017年广州佛山市普通高中高三教学质量检测
2017年广州佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数 学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{560}A x x x =-+≤，{21}xB x =>，则A B = （ ）A ．[2,3]B ．(0,)+∞C ．(0,2)(3,)+∞D ．(0,2][3,)+∞ 【答案】A【解析】∵[2,3]A =，(0,)B =+∞，∴[2,3]A B = ．2．设复数132i z =+，21i z =-，则122z z +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】122232i 1iz z +=++- 32i (1i)43i 5=+++=+=．3．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A ．13 B ．23 C ．12D ．56 【答案】B【解析】甲任意站位有3种，甲站在边上的情况有2种，∴23P =． 4．设,p q 是两个题，若p q ⌝∧是真命题，那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题【答案】C5．已知等比数列{}n a 满足：1310a a +=，4654a a +=，则{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．412n - B ．312n -C ．3142n -+D ．2162n -+【答案】A 【解析】∵3461318a a q a a +==+，∴12q =．由1310a a +=，得18a =，∴1114118()22n n n n a a q---==⨯=．6．执行如图的程序框图，如果输入的10N =，则输出的x =（ ） A ．0.5 B ．0.8 C ．0.9D ．1 【答案】C 【解析】1111122334910x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 11111119(1)()()()2233491010=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．7．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ） A ．3,2πB ．3,πC ．2,2πD ．2,π【答案】B【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+3331cos 2sin 23(cos 2sin 2)2222x x x x =-=- 3cos(2)6x π=+，故选B ．8．(2016广东适应性考试)已知过球面上有三点,,A B C 的截面到球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则此球的半径是（ ）A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】C【解析】设ABC ∆外接圆的半径为r ，则233r =． 设球的半径为R ，则2221()2R R r =+，∴43R =．9．在等腰三角形ABC 中，150A ∠=，1AB AC ==，则AB BC ⋅=（ ）A ．312-- B ．312-+C ．312- D ．312+ 【答案】A【解析】2()AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-2311cos150112=⨯⨯-=-- ． 10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为53，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，则b =（ ）n=n+1x=x+1n (n+1)x输出结束n<Nn=1,x=0是否开始输入N【答案】D【解析】依题意212a =，∴6a =．∵53c e a ==，∴25c =，∴4b =． 11．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A ．203 B ．163C ．86π-D ．83π- 【答案】A【解析】由三视图可知几何体是正方体挖去正四棱锥而成的．3212022133V =-⨯⨯=．12．已知α是第二象限的角，其终边上的一点为(,5)P x ，且2cos 4x α=，则tan α=（ ） A ．155 B ．153C ．155-D ．153-【答案】D 【解析】∵25r x =+，2cos 4x α=，∴2245x x x =+．∵α是第二象限的角，∴0x <， ∴21245x =+，∴3x =-， ∴5515tan 33x α===--． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)处取得最小值，则a 的取值范围是_________． 【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a+<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．正视图侧视图俯视图14．已知双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =_________．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =．15．已知()f x 是定义域为R 的单调减的奇函数，若(31)(1)0f x f ++≥，则x 的取值范围是_________． 【答案】2(,]3-∞-【解析】()f x 是单调减的奇函数，∵(31)(1)0f x f ++≥，∴(31)(1)f x f +≥-， ∴311x +≤-，23x ≤-． 16．顶点在单位圆上的ABC ∆，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ．若3sin 2A =，224b c +=，则ABC S ∆=_________．【答案】34【解析】∵顶点在单位圆上的ABC ∆，∴32sin 2132a R A ==⨯⨯=． ∵2222cos a b c bc A =+-，∴2cos 1bc A =．∵3sin 2A =，且2cos 0bc A >，∴cos 0A >，∴3A π=，1bc =．∴13sin 24ABC S bc A ∆==．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n ∈N ，均有2n a ，2n S ，2n a 成等差数列．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【解析】（1）∵2n a ，2n S ，2n a 成等差数列， ∴242n n n S a a =+．∴211142S a a =+,， ∴211142a a a =+，∴11(2)0a a -=，∵0n a >，∴12a =． （2）∵242n n n S a a =+, ①当2n ≥时，211142n n n S a a ---=+，② ①-②得，2211422n n n n n a a a a a --=+--∴2211220n n n n a a a a -----=， ∴2211220n n n n a a a a -----=，∴111()()2()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， ∴11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列， ∴2(1)22n a n n =+-⨯=，∵1221a ==⨯，∴*2,N n a n n =∈．18．（本小题满分12分）某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况，用简单随机抽样方法调查了该校100名学生，调查结果如下：（1）该校共有500名学生，估计有多少学生喜好篮球？（2）能否有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关？说明原因； 50名女生中按是否看营养说明采取分（3）已知在喜欢篮球的12名女生中，6名女生（分别记为123456,,,,,)P P P P P P 同时喜欢乒乓球，2名女生(分别记为12,B B ）同时喜欢羽毛球，4名女生(分别记为1234,,,)V V V V 同时喜欢排球， 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人，求12,P B 不全被选中的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++，n a b c d =+++．参考数据：)(02k K P ≥ 10.0 0.050 010.0 0.0050k706.2 841.3 6.635 7.879【解析】（1）∵100名学生有47名学生喜好篮球， ∴500名学生中，估计有47500235100⨯=名学生喜好篮球． （2）22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++2100(35282512)578007.7345 474053607473⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． 由于7.7345 6.635>，∴有99%的把握认为该校的学生喜欢篮球与性别有关．（3）从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人的基本事件为：111112113114,,,PBV PBV PBV PBV ，121122123124,,,PB V PB V PB V PB V ，211212213214,,,P BV P BV P BV P BV ，221222223224,,,P B V P B V P B V P B V ，311312313314,,,P BV P BV P BV P BV ，321322323324,,,P B V P B V P B V P B V ，411412413414,,,P BV P BV P BV P BV ， 421422423424,,,P B V P B V P B V P B V ，511512513514,,,P BV P BV P BV P BV ，521522523524,,,P B V P B V P B V P B V ， 611612613614,,,P BV P BV P BV P BV ，621622623624,,,P B V P B V P B V P B V ，共48个， 其中12,P B 全被选中的基本事件为：121122123124,,,PB V PB V PB V PB V ，共4个， ∴12,P B 不全被选中的基本事件有44个，∴12,P B 不全被选中的的概率为44114812P ==．28122535是否喜欢篮球否是女生男生性别如图所示，在直三棱柱ABC DEF -中，底面ABC 的棱AB BC ⊥，且2AB BC ==．点G 、H 在棱CF 上，且1GH HG GF ===．（1）证明：EH ⊥平面ABG ； （2）求点C 到平面ABG 的距离．【解析】（1）证明：设EH 交BG 于点O ， ∵在直三棱柱ABC DEF -中，90GCB HFE ∠=∠=,∵2,1AB BC GH HG GF =====， ∴2,2BC CG FE FH ====，∴45,45CBG CGB FHE FEH ∠=∠=∠=∠= ， ∴90FHE CGB ∠+∠=，即90GHO HGO ∠+∠=， ∴90GOH ∠= ，∴EH GB ⊥． ∵直三棱柱ABC DEF -中，,,AB BE AB BC BE BC B ⊥⊥= ，∴AB ⊥平面BCFE ，∵EH ⊂平面BCFE ，∴AB EH ⊥．∵AB GB B = ，AB ⊂平面ABG ，GB ⊂ 平面ABG ， ∴EH ⊥平面ABG ．（2）设点C 到平面ABG 的距离为d ． ∵C ABG A BCG V V --=，∴1133ABG BCG S d S AB ∆∆⋅=⋅， ∴11113232AB BG d BC CG AB ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯， ∴AB BG d BC CG AB ⨯⨯=⨯⨯，∴222222d ⨯⨯=⨯⨯，∴2d =．∴点C 到平面ABG 的距离为2． H A CBDEF G已知点1(,0)2F 及直线1:2l x =-．P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ⋅=⋅． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设圆M 过点(1,0)A 且圆心M 在P 的轨迹C 上，12,E E 是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长12E E 是一个常数．【解析】（1）设动点(,)P x y ，则1(,)2Q y -． ∴11(,0),(1,),(,),(1,)22QP x QF y FP x y FQ y =+=-=-=- ．∵QP QF FP FQ ⋅=⋅ ，∴11(,0)(1,)(,)(1,)22x y x y y +⋅-=-⋅-，∴21122x x y +=-+，即22y x =．∴动点P 的轨迹C 的方程为22y x =． （2）设圆心2001(,)2M y y ，则 圆M 的方程为222222000011()()(1)(0)22x y y y y y -+-=-+-，∴2222000210x y y x y y y +--+-=， 令0x =，得2200210y y y y -+-=2200(2)4(1)40y y ∆=---=>设1122(0,),(0,)E y E y ，则21201202,1y y y y y y +==-，22212212112()()4E E y y y y y y =-=+-2200(2)4(1)4y y =--=，∴弦长12E E 是一个常数，且常数为2．21．（本小题满分12分）设函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠．（1）当1a >时，证明：1212,(1,),x x x x ∀∈-+∞≠，有1212()()()22x x f x f x f ++>； （2）若曲线()y f x =有经过点(0,1)的切线，求a 的取值范围． 【解析】（1）证明：∵()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠，∵1a >，1212,(1,),x x x x ∀∈-+∞≠，∴1210,10x x +>+>，1211x x +≠+，∴121212(1)(1)1(1)(1)22x x x x x x +++++=>++， ∴121212()log (1)log (1)(1)22a a x x x xf x x ++=+>++ 121log (1)(1)2a x x =++1212()()11log (1)log (1)222a a f x f x x x +=+++=， ∴1212()()()22x x f x f x f ++>． （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞，若曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线经过点(0,1)，则应有()1()f x f x x -'=，即log (1)11(1)ln a x x x a+-=+． [](1)ln [log (1)1]0a x a x x ++--=（1x >-），（*）有解． ∴[]1(1)ln log 0ax x a x a++-=，∴[]1ln(1)ln 0ln x a x a x a++-=， ∴1ln 1x x a x +=+，∴ln(1)ln 1xx a x +-=+， ∴ln ln(1)1xa x x =+-+，令()ln(1)1x g x x x =+-+，则2211()1(1)(1)xg x x x x '=-=+++， 令()0g x '>，解得0x >， 令()0g x '<，解得10x -<<， ∴()g x 在(1,0)-上单调减，在(0,)+∞上单调增， ∴()(0)0g x g ≥=，∴ln 0a >，∴1a >．（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞，若曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线经过点(0,1)，则应有()1()f x f x x -'=，即log (1)11(1)ln a x x x a+-=+． [](1)ln [log (1)1]0a x a x x ++--=（1x >-）, （*）有解．设[]()(1)ln [log (1)1]a F x x a x x =++--（1x >-）， 则[]1()[log (1)1]ln (1)ln 1[log (1)1]ln (1)ln a a F x x a x a x a x a'=+-++-=+-+,令()0F x '=，解得1x a =-．∵当1x a <-时，()0F x '<，当1x a >-时，()0F x '>， ∴(1)1F a a -=-是()F x 的最小值．因此，当10a ->，即01a <<时，方程（*）无解， ∴曲线()y f x =没有经过点(0,1)的切线． 当10a -<时，由于e 11a a ->-时，()(e 1)eln (log e 1)e 110a F a a a a a -=--+=>,∴方程（*）有解，故曲线()y f x =有经过点(0,1)的切线．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2017届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学试题及答案 精品
广东省佛山市2017届高三教学质量检测（二）数学文试题一、选择题1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、复数1z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A. z 的实部为1- B. z 的虚部为1 C.2z z ⋅= D.z i z= 3、已知:1,:1p x q x =-=“”“ ，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246a a +=，则5S = A. 10 B. 12 C. 15 D. 305、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，(],9-∞ D. []89-，6、执行如图所示的程序框图，若输出1011S =，则输入()k k N *∈的值可以为A. 8B. 9C. 10D. 117、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与实轴的夹角为45 ，则双曲线的离心率为8、在圆O AB 不经过圆心，则AO AB ⋅的值为A. 12 C. 19、已知函数()2cos ,f x x x x R =-∈，则A. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()143f f f ππ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10、对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}|1M N M N x f x f x *=⋅=-，已知{}{}246,124A B ==，，，，，则下列结论不．正确的是 A. 1A B ∈* B. 2A B ∈* C. 4A B ∉* D. A B B A *=*二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.记函数f(x)=x 12log 的反函数为g （x ）,则函数y=g(x)在区间[]21，的值域为 12.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为13.设直线x-ky-1=0与圆()()42122=-+-y x 相交于点A,B 两点，且弦AB 的长为32，则实数k 的值是（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.已知曲线1C :sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）与曲线2x ty kt =⎧⎨=-⎩（t 为参数）有且只有一个公共点，则实数k 的值为15.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，已知CD=72，AB=BC=3，则AC 的长为16、（本题满分12分）已知函数()sin sin(),3f x x x x R π=++∈(1) 求函数()f x 的最小正周期。
广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{3，4}C．{1}D．{1，2}2．已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．C． D．﹣23．下列函数中，满足f（x+y）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．C．f（x）=log2x D．f（x）=2x4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1﹣a7+a13=6，则S13=（）A．78 B．91 C．39 D．265．已知圆C：（x+2）2+y2=r2与抛物线D：y2=20x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积是（）A．5πB．9πC．16πD．25π6．执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知数据x1，x2，x3，…，x n是广州市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的2015年的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上比尔．盖茨的2015年的年收入x n+1（约80亿美元），则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）A．y大大增大，x一定变大，z可能不变B．y大大增大，x可能不变，z变大C．y大大增大，x可能不变，z也不变D．y可能不变，x可能不变，z可能不变8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递减区间是（）A．[3k﹣1，3k+2]（k∈Z）B．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈Z）C．[6k﹣1，6k+2]（k∈Z）D．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）9．椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=010．设集合，，函数，若x0∈A，且，则x0的取值范围是（）A．（]B．（] C．D．（）11．已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）A．B．C．D．12．已知a∈R，若函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有3个或4个零点，则函数g（x）=4ax2+2x+1的零点个数为（）A．1或2 B．2 C．1或0 D．0或1或2二、填空题（本题共4道小题，每小题5分）13．已知数列{a n}满足a n+1+2a n=0，a2=﹣6，则{a n}的前10项和等于．14．已知f（x）=ax3+x2在x=1处的切线方程与直线y=x﹣2平行，则y=f（x）的解析式为．15．已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．16．设P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值是．三、解答题：17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．18．（I）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并6．其中x i y i=421，x i2=55，=26.4附1：=，=﹣II2×2列联表：完成上表，并回答：能否在犯错概率不超过的前提下认为“收入与接受培训时间有关系”．K2=．（n=a+b+c+d）19．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．20．已知圆F1：（x+2）2+y2=32，点F2（2，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．（I）求证：|PF1|+|PF2|为定值及动点P的轨迹M的方程；（II）不在x轴上的A点为M上任意一点，B与A关于原点O对称，直线BF2交椭圆于另外一点D．求证：直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，并求出该定值．21．已知函数f（x）=（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）a≥且函数f（x）有3个极值点，求a的范围．选做题：22、23、24题为选做题，考生只能选做一题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．2017-2018学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{3，4}C．{1}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，由交集的定义，分析集合P、Q的公共元素，即可得答案．【解答】解：根据题意，P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，P、Q的公共元素为1、2，P∩Q={1，2}，故选D．2．已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．C． D．﹣2【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1+ai）（2+i）=2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故选A．3．下列函数中，满足f（x+y）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．C．f（x）=log2x D．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据抽象函数的关系式，确定函数的模式为指数函数模型，然后利用单调性进行判断即可．【解答】解：若f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），则f（x）为指数型函数，设f（x）=a x，∵f（x）是增函数，∴a＞1，则f（x）=2x满足条件．故选：D．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1﹣a7+a13=6，则S13=（）A．78 B．91 C．39 D．26【考点】等差数列的前n项和．【分析】由a1﹣a7+a13=6，由等差数列的性质可得：2a7﹣a7=6，再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由a1﹣a7+a13=6，由等差数列的性质可得：2a7﹣a7=6，即a7=6．则S13==13a7=78．故选：A．5．已知圆C：（x+2）2+y2=r2与抛物线D：y2=20x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积是（）A．5πB．9πC．16πD．25π【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线，进而求出弦心距d，结合，可得答案．【解答】解：抛物线D：y2=20x的准线方程为x=﹣5，圆C的圆心（﹣2，0）到准线的距离d=3，又由|AB|=8，∴=25，故圆C的面积S=25π，故选：D．6．执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题中的程序框图，模拟运行，分别求出p，q，a的值，通过判断条件是否成立，若成立，则继续执行循环体，若不成立，则结束运行，输出此时n的值．a=5∴结束运行的时候．故选：B．7．已知数据x1，x2，x3，…，x n是广州市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的2015年的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上比尔．盖茨的2015年的年收入x n+1（约80亿美元），则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）A．y大大增大，x一定变大，z可能不变B．y大大增大，x可能不变，z变大C．y大大增大，x可能不变，z也不变D．y可能不变，x可能不变，z可能不变【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】由于数据x1，x2，x3，…，x n是广州市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入x n+1后，数据的变化特征，易得到答案．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，x n是广州市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的2015年的年收入，而x n+1为比尔．盖茨的2015年的年收入，则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数y大大增大，但中位数x可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差z变大故选：B．8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递减区间是（）A．[3k﹣1，3k+2]（k∈Z）B．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈Z）C．[6k﹣1，6k+2]（k∈Z）D．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数的图象结合两点间的距离公式求出ω，φ的值，求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：由题意可设AB之间的水平距离为d，则d=，则由题意可得d2+[2﹣（﹣2）]2=52，解得d=3，故函数的周期T=2d=2×3=6，则=6，解得ω=，即f（x）=2sin（x+φ），f（2）=2sin（×2+φ）=﹣2，则sin（+φ）=1，则+φ=2kπ+，则φ=2kπ+，∵0≤φ≤π，∴当k=0时，φ=，则f（x）=2sin（x+），由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得6k﹣1≤x≤6k+2，k∈Z，故函数的单调递减区间为[6k﹣1，6k+2]（k∈Z），故选：C9．椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=0【考点】直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的离心率，然后求出（1，e）圆心的斜率，即可得到弦的斜率，求出直线方程．【解答】解：椭圆的离心率为：，圆的圆心坐标（2，2），所以弦的斜率为：=，所以过点（1，）的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是y﹣=（x﹣1）即：4x+6y﹣7=0．故选B．10．设集合，，函数，若x0∈A，且，则x0的取值范围是（）A．（]B．（] C．D．（）【考点】分段函数的应用．【分析】利用当x0∈A时，f[f （x0）+1]∈[0，），列出不等式，解出x0的取值范围．【解答】解：∵1≤x0＜，∴f（x0）+1=x0﹣+1∈[，2]⊆B，∴f[f（x0）+1]=2（2﹣f（x0）﹣1）=2[1﹣（x0﹣）]=2（﹣x0）．∵，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵1≤x0＜，∴＜x0＜．故选：D．11．已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到该几何体的主视图．【解答】解：过点A，P，Q的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：①，它的主视图是B选项中的图；②，它的主视图是C选项中的图；③，它的主视图是D选项中的图；∴该几何体的主视图不可能是A．故选：A．12．已知a∈R，若函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有3个或4个零点，则函数g（x）=4ax2+2x+1的零点个数为（）A．1或2 B．2 C．1或0 D．0或1或2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可采用特殊值的方法，通过排除法得出答案．【解答】解：f（x）=x2﹣|x﹣2a|有3个或4个零点，∴x2=|x﹣2a|，∴x2﹣2x+4a=0和x2+2x﹣4a=0，当a=0时，有三个根，符合题意，代入g（x）=4ax2+2x+1=2x+1有一个零点，排除B；取a=，有四个根，符合题意，代入g（x）=4ax2+2x+1=x2+2x+1有两个零点；若g（x）=4ax2+2x+1没有零点，则a＞1，x2﹣2x+4a=0没有根，不符合题意，故g（x）=4ax2+2x+1一定有零点，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分）13．已知数列{a n}满足a n+1+2a n=0，a2=﹣6，则{a n}的前10项和等于﹣1023．【考点】数列的求和．【分析】由已知得=﹣2，从而数列{a n}是公比q=﹣2的等比数列，由此能求出数列{a n}的前10项和S10．【解答】解：由a n+1+2a n=0，得2a n=﹣a n+1，则=﹣2，∴数列{a n}是公比q=﹣2的等比数列，∵a2=﹣6，∴a1=3，则数列{a n}的前10项和S10==1﹣210=﹣1023．故答案为：﹣1023．14．已知f（x）=ax3+x2在x=1处的切线方程与直线y=x﹣2平行，则y=f（x）的解析式为f（x）=﹣x3+x2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，进而得到f（x）的解析式．【解答】解：f（x）=ax3+x2的导数为f′（x）=3ax2+2x，在x=1处的切线斜率为3a+2，由切线与直线y=x﹣2平行，可得3a+2=1，解得a=﹣，则f（x）=﹣x3+x2．故答案为：f（x）=﹣x3+x2．15．已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．16．设P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值是1+．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9．点Q到圆心（0，2）的距离为d===，故当y=﹣时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+．故答案为：1+．三、解答题：17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知条件化简变形可得：a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可得cosC，结合范围C∈（0°，180°），即可得解C的值．（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大边对大角可求角B的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）2﹣c2=3ab，变形可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°…6分（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，∴S△ABC=bcsinA==…12分18．（I）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并6．其中x i y i=421，x i2=55，=26.4附1：=，=﹣II2×2列联表：“收入与接受培训时间有关系”．2附：K2=．（n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（I）由表数据求得样本中心点（，），利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，将样本中心点代入，求出的值，写出线性回归方程；（II）由数据将表填完整，通过所给的数据计算K2观测值，同临界值表中的数据进行比较，可得到结论．【解答】解：（I）由已知中数据可得：，…∵，∴…，…∴，…当x=6时，=33.9．即第6年该市的个人年平均收入约为33.9千元；…2×2列联表：假设H0：“收入与接受培训时间没有关系”…根据列联表中的数据，得到K2的观测值为K2=≈4.762＞3.841．…∴P（K2＞3.841）≤0.05…故在犯错概率不超过0.05的前提下我们认为“收入与接受培训时间有关系”．…19．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l，推导出B1E⊥CC1，B1E⊥C1E，能证明l⊥CE．（Ⅱ）连接B1C，则平面CEB1即为平面α，过点C1作C1F⊥CE于F，则C1F⊥平面α，直线CC1和平面α所成角为∠FCC1，由此能求出点C1到平面α的距离．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l…∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1∴B1E⊥CC1…∵B1C1=2A1B1=4，E是A1D1的中点∴B1E⊥C1E…又CC1∩C1E=C1∴B1E⊥平面CC1E∴B1E⊥CE，即l⊥CE…（Ⅱ）如图所示，连接B1C，则平面CEB1即为平面α过点C1作C1F⊥CE于F…由（Ⅰ）知B1E⊥平面CC1E，故B1E⊥C1F∵C1F⊥CE，CE∩B1E=E∴C1F⊥平面CEB1，即C1F⊥平面α…∴直线CC1和平面α所成角为∠FCC1…∵在△ECC1中，，且EC1⊥CC1∴C1F=2…∴点C1到平面α的距离为2…20．已知圆F1：（x+2）2+y2=32，点F2（2，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．（I）求证：|PF1|+|PF2|为定值及动点P的轨迹M的方程；（II）不在x轴上的A点为M上任意一点，B与A关于原点O对称，直线BF2交椭圆于另外一点D．求证：直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，并求出该定值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求得圆F1的圆心和半径，运用垂直平分线的性质定理，可得|PF1|+|PF2|为定值R，由椭圆的定义和方程，可得所求轨迹方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），运用直线的斜率公式和点满足椭圆方程，化简整理即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）圆F1：（x+2）2+y2=32的圆心为F1（﹣2，0），半径为4，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=|QF1|=R=为定值．且＞|F1F2|=4，可得动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为，可得，c=2，b2=a2﹣c2=4，故所求动点P的轨迹M的方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），，∵A，D都在椭圆上，∴，∴，∴．则直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，且为﹣．21．已知函数f（x）=（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）a≥且函数f（x）有3个极值点，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解根据导函数的方程，列出表格，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为在（0，1）∪（1，+∞）有两不相等的实根，设函数，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵…..（Ⅱ）由…..当∴x=a为f'（x）=0的一个根，即一个极值点，…..∵，且f（x）在定义域内有三个极值点，∴在（0，1）∪（1，+∞）有两不相等的实根…..设函数，有，∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增，…..从而，所以，…..∵，，且，…..∴满足函数h（x）在和上各有一个零点，当a=1时，显然没有三个零点，…..∴…..选做题：22、23、24题为选做题，考生只能选做一题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）将ρ=4cosθ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立；当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x+1，﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立；当x≥2时，f（x）=﹣3，成立；故﹣3≤f（x）≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2018年8月29日。
2017届高三上学期期末华附、省实、深中、广雅四校联考(文数)
2017届高三上学期期末华附、省实、深中、广雅四校联考数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“准考证号”处填涂准考证号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、班级、考场号、座位号、准考证号填写在答题卷指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．参考公式：球的表面积公式：24R S π=球，柱体体积公式：Sh V =第I 卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},023|{2≤+-=x x x A },12|{>∈=xZ x B 则=⋂B AA ．)2,1(B ．]2,1(C ．]2,1[D ．}2,1{2．复数z 满足|3|)1(i z i -=+，则=zA ．i +1B ．i -1C ．i --1D ．i +-1 3．两个女同学和一名男同学站成一排，则两个女同学相邻的概率是A ．61 B ．21 C ．31 D ．32 4．若正整数N 除以正整数m 后的余数为,n 则记为),(mod m n N ≡ 例如).7(mod 411≡如右图所示的程序框图的算法源于我国古代 闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的=n A. 15 B. 16 C. 17 D. 19 5．已知,20”：“<≤a P :q “直线0=++a y x 与圆122=+y x相交”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线M 的离心率为3，且它的一个焦点到一条渐近 线的距离为2，则双曲线M 的方程是A ．14222=-y xB ．12422=-x yC ．12422=-y x 或12422=-x yD ．14222=-y x 或14222=-x y7．函数）（x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可以是 A ．x x x f sin )(+= B ．xxx f cos )(=C ．x x x f cos )(=D ．)23)(2()(ππ--=x x x x f 8．《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一题： 把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少 的两份之和的7倍，则最多的那份有面包 A ．48个 B ．46个 C ．45个 D ．43个 9．已知函数),(14sin cos 22)(R x x x x f ∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=π则函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值分别是 A ．最大值为,2最小值为－l B ．最大值为,2最小值为2-C ．最大值为,122-最小值为122--D ．最大值为1．最小值为-l10．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y ,121如果目标函数y x z -=的最小值为－l ，则实数m 等于A ． 7B ．5C ．4D ．311．在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面,ABCD 底面ABCD 为正方形，,AB PA =该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A ．21 B ．31 C ．41D ．5112．关于x 的方程0|1|)1(222=+---k x x ，给出以下四个命题： ①存在实数,k 使得方程恰有3个不同的实数根； ②存在实数,k 使得方程恰有4个不同的实数根； ③存在实数,k 使得方程恰有5个不同的实数根；④存在实数,k 使得方程恰有6个不同的实数根；其中假命题的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 非选择题本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在矩形ABCD 中，,3,5,8PD CP AD AB ===则______________=⋅BP AP 14．如下图在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为,θ沿BE 方向前进m 15至点C 处测得顶端A 的仰角为,2θ再继续前进m 35至D 点，测得顶端A 的仰角为,4θ则建筑物AE 的高为15．已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，,2,3===AD EB EA,60 =∠AEB 则多面体ABCD E -的外接球的表面积为16．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，其面积是.34，则_____________2=b三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为.55,3*,,103==∈S a N n S n (I)求数列}{n a 的通项公式： ( II)设2sin 22πn a b n a n n⋅+=，求数列}{n b 的前n 2项和⋅n T 218.（本小题满分12分）某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API 监测数据， API [0,50] (50,100] 100,150] （150,200] (200,250] (250,300] (300,350] 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染天数2459433( I)根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数的平均值；( II)若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API（记为w )的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<-≤≤=350300,2000,300100,40041000,0W W w W S 若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率。
【广东省佛山市】2017届高考高三3月模拟考试数学试卷(一)-答案
广东省广雅中学、江西省南昌二中2017年联考高考模拟数学（文科）试卷答 案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5．CBBCC 6~10．ACDDD 11~12．BC二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）． 13．2 016 14．3- 15．116．[2e,]-+∞三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：（1）∵πsin sin()3a Bb A =-+．∴由正弦定理可得：πsin sin sin sin()3A B B A =-+．即：πsin sin()3A A =-+．可得：1sin sin 23A A A =--，化简可得：tan 3A =-， ∵(0,π)A ∈，∴5π6A =． （2）∵5π6A =，∴1sin 2A =，∵由211sin 24S bc A bc ==，可得：b =， ∴22222cos 7a b c bc A c -=+=，可得：a =，由正弦定理可得：sin sin c A C a =． 18．解：1）由题意知10n =，10i 111i 80810x x n ===⨯=∑，10i 111i 20210y y n ===⨯=∑，又10222i 1i 72010880xx I x nx ==-=-⨯=∑，10i 1i 1184108224xy I x y nxy ==-=-⨯⨯=∑，由此得24ˆ0.380XX xy I b I ===，ˆˆ20.380.4a y bx=-=-⨯=-， 故所求线性回归方程为ˆ0.30.4yx =-． 2）将7x =代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为ˆ0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）．19．解（Ⅰ）证明：由题意知1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，∴BC ⊥平面11ACC A ，又∵1DC ⊂平面11ACC A ，∴1DC BC ⊥． ∵1145ADC A DC ∠=∠=︒， ∴190CDC ∠=︒，即1C D DC ⊥． ∵DCBC C =，∴1DC ⊥平面BDC ，又∵1DC ⊂平面1BDC ， ∴平面1BDC ⊥平面BDC ． （Ⅱ）解：由1122AC BC AA ===，得14AA =，所以2AD =，所以CD ==所以1Rt CDC △的面积142S =⨯， 所以1111842333C BDC B CDC V C S BC --===⨯⨯=．20．解：（Ⅰ）∵1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(b 0)y x a a b+=>>的两个焦点，且122F F =，点在该椭圆上．由题意，得1c =，即221a b -=，①又点在该椭圆上，222312a b ∴+=，②由①②联立解得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设11,(P x y )，22)(,Q x y ，2211(||2)43x y x +=≤，222222212111111||(1)(1)(1)3(1)(4)44x PF x x y x x =-=-+=-+-=-，11111||(4)222PF x x ∴=-=-．连接OM ，OP ，由相切条件知：22222222111111||||||33(1)344x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=，∴11||2PM x =， ∴21111|PF |||2222PM x x +=-+=． 同理可求得22211||||2222QF QM x x +=-+=，∴22224F P F Q PQ ++=+=为定值． 21．解：（1）∵()(3)(2)2ln g x a x a x =----，∴2()3g x a x'=--，∴(1)1g a '=-， 又g(1)1=，∴121110a --==--，解得：2a =， 由2()320g x x'=--=<，解得：02x <<，∴函数()g x 在(0,2)递减；（2）∵()0f x <在1(0,)2恒成立不可能，故要使()0f x <在1(0,)2无零点，只需任意1(0,2x ∈)，()0f x >恒成立，即对1(0,)2x ∈，2ln 21xa x >--恒成立，令2ln ()21xl x x =--，1(0,)2x ∈，则222ln 2()2(1)x xl x x +-'=--， 再令22ln ()2xm x x +-=，1(0,)2x ∈，则22(1)()20x m x x --'=-<， 故()m x 在1(0,)2递减，于是1()()22ln202m x m >=->，从而()0f x '>，于是()l x 在1(0,)2递增，∴1()1()24ln 22l x <--，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要24ln2,[)a ∈-+∞，综上，若函数()y f x =在1(0,)2上无零点，则a 的最小值是24ln2-．22．解：（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，化为直角坐标方程:20x y --=．∵22x =-+，∴242y x =-=-+，∴直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）． （2）曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>，即为22sin 2cos (0)p p ρθρθ=>，可得直角坐标方程：22y px =．把直线l的参数方程代入可得：2828320(t p p +++=-．∴12(82t t p =++12832t t p =+． 不妨设1MP t =，2MQ t =．12||PQ t t ===-∵2•PQ MP MQ =， ∴2832832p p p +=+， 化为：2340p p +-=， 解得1p =．23．解：（1）∵不等式1()21(02f x m m +≥+>）的解集为,2[2,)]∞+∞(--，即|12(1|212x m +≤+)-的解集为]([,22,)-∞-+∞．由221x m ≥+，可得221x m ≥+，或221x m ≤--，求得12x m ≥+，或12x m ≤--，故|]11(,,)[22m m ∞--++∞-的解集为12()212|1x m +-≤+，故有122m +=，且122m --=-，∴32m =．（2）∵不等式()2|23|2yy a f x x ≤+++，对任意的实数x ，y ∈R 恒成立，∴212|2|32||yy a x x -≤+++恒成立，即212|||3|22yy a x x -+≤+-恒成立，故()21||2|3|g x x x -=-+的最小值小于或等于22y ya +． ∵21|23|()2123|=|4||x x g x x x -+=-+-≤-）（， ∴422y ya≤+恒成立，∵22y ya+≥∴4， ∴4a ≥，故实数a 的最小值为4．广东省广雅中学、江西省南昌二中2017年联考高考模拟数学（文科）试卷解 析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】交集及其运算．【分析】把A 中元素代入3y x =-中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【解答】解：把2x =-，1-，0，1，2，3，分别代入3y x =-得：3y =-，2-，1-，0，即B ={3,2,1,0}---，∵2,1,0,1,,{}23A =--， ∴2,10{,}AB --=，故选：C ．2．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由12i z =-，复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，求出2z ，然后代入12z z ，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数12z z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】解：∵12i z =-，复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，∴22i z =--∴122i (2i)(2i)34i 34i 2i (2i)(2i)555z z ---+-+====-+-----+， 则复数12z z 在复平面内对应的点的坐标为：34(,)55-，位于第二象限．故选：B ．3．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f ，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：(5),2()e ,22(),2x f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，∴当2x >时，函数是周期函数，周期为5，(2016)(1)e f f f -===，故选：B ． 4．【考点】茎叶图．【分析】利用平均数求出m 的值，中位数求出n 的值，解答即可．【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78868488959092887m +++++++=⨯，3m ∴= 又乙组学生成绩的中位数是89，∴9n =，∴12m n +=． 故选：C ．5．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3cos (13cos )b C c B =-．利用正弦定理可得3sin cos sin (13cos )B C C B =-，化简整理即可得出． 【解答】解：由正弦定理，设==sin sin sin a b ck A B C=， ∵3cos (13cos )b C c B =-， ∴3sin cos sin (13cos )B C C B =-， 化简可得sin 3sin()C B C =+，又πA B C ++=，∴sin 3sin C A =，∴因此sin :sin 3:1C A =． 故选：C ．6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量2a b -，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可． 【解答】解：a (2,1)=-，b (,3)k =-，c (1,2)=，(22,72)b k a =---，(2)a -b c ⊥，可得：22140k --+=． 解得6k =，(6,3)b =-，所以2||6(b =+ 故选：A ．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO ⊥底面ABC ，∴平面PAC ⊥底面ABC ，而BC AC ⊥， ∴BC PAC ⊥平面，∴BC AC ⊥．该几何体的高2PO =，底面ABC 为边长为2的等腰直角三角形，ACB ∠为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC ．PC ==∴122PBC S =⨯=△12222ABC S =⨯⨯=△，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和故选：C ．8．【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P 的轨迹方程 【解答】解：由题意得，圆心(3,4)C -，半径2r =，如图： 因为PQ PO =，且PQ CQ ⊥，所以222PO r PC +=， 所以22224(3)(4)x y x y ++=-++，即68210x y --=，所以点P 在直线68210x y --=上， 故选D ．9．【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件． 【解答】解：可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D ．10．【考点】球内接多面体．【分析】设AB a =，1BB h =，求出2262a h =-，故正四棱柱的体积是2362V a h h h ==-，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设AB a =，1BB h =， 则OB =，连接1OB ，OB ，则222113OB BB OB +==， ∴2232a h +=，∴2262a h =-，故正四棱柱的体积是2362V a h h h ==-，∴266V h '=-，当01h <<时，0V '>，10h <<时，0V '<， ∴1h =时，该四棱柱的体积最大，此时2AB =． 故选：D ．11．【考点】双曲线的简单性质．||2bc bcc +=，即可求得2243a c =，利用双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线22221(0,b 0)y x a a b+=>>渐近线方程b y x a =±，由OF 的垂直平分线为2c x =，将2cx =，代入b y x a =，则2bc y a =，则交点坐标为(,)22c bca，由(,)22c bc a ，到by x a =-，即0bx ay +=的距离||1||22bc bc c d OF +==，解得：2c b ==2243a c =，则双曲线的离心率e c a ==故选：B ．12．【考点】函数的图象．【分析】直线:1l y kx =-与曲线1()1e x f x x =-+没有公共点，则111e xx kx -+=-无解，可化为211e k x =+，设21(x)1e g x =+，求导，研究此函数的单调性即可解决 【解答】解：若直线:1l y kx =-与曲线1()1e x f x x =-+没有公共点，则111ex x kx -+=-无解，∵0x =时，上述方程不成立，∴0x ≠则111e xx kx -+=-可化为11e x k x =+，设1()1ex g x x =+，∴2(1)()e x x g x x -+'=，∴()g x '满足：在(),1-∞-上()0g x '>， 在()1,0-上()0g x '<，在()0,+∞上()0g x '<，∴()g x 满足：在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，在()0,+∞上递减，(1)1e g =--，而当x →+∞时，()1g x →，∴()g x 的图象：∴()(,1e][1,)g x ∈-∞-+∞ 无解时，](1e,1k ∈-， ∴1max k =， 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）． 13．【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】利用(0)0f =，即可得出结论．【解答】解：∵函数63e ()()32ex xbf x x a =-∈R 为奇函数，∴63(0)032b f a =-=， ∴2016ab =，故答案为2016．14．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数3z x y a =++的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为(0,2)，(1,0)，5(,2)3，目标函数3z x y =+的几何意义是直线的纵截距 由线性规划知识可得，在点5(,2)3A 处取得最大值4．53243a ⨯++=，解得3a =-． 故答案为：3-．15．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a 值，再求三角函数的最值．【解答】解：1()sin 2cos222a f x x x =+， ∵π6x =是对称轴，π(0)()3f f =，∴a =∴π()sin(2)6f x x =+，最大值为1．故答案为1．16．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得2()()e 10xf xg x x ax -=+-≥-对(0,1)x ∈恒成立，从而21e()xx a h x x+-≤=对于(0,1)x ∈恒成立，进而()max a h x ≥，222(2e )(1e )1()()(e 1)x xxx x x x h x x x x--+--'==--，由导数性质得()h x 是增函数，由此能求出实数a 的取值范围．【解答】解：∵当(0,1)x ∈时，函数()e 1xf x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，∴2()()e 10x f x g x x ax =+--≥-对(0,1)x ∈恒成立，∴2e 10x x ax +-≥-，∴21e ()xx a h x x+-≥=对于(0,1)x ∈恒成立， ∴()max a h x ≥，222(2e )(1e )1()()(e 1)x x x x x x x h x x x x--+--'==--， 令()e 1x t x x =--，(0,1)x ∈，()e 10x t x -'=>对(0,1)x ∈恒成立，∴()(0)0t x t ≥=，∴()0h x '>恒成立，()h x 是增函数， ∴2max 11e ()(1)2e 1h x h +-===-， ∴实数a 的取值范围是[2e,)-+∞．故答案为：[2e,)-+∞．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tan A =，结合范围(0,π)A ∈，即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求1sin 2A =，利用三角形面积公式可求b =，利用余弦定理可求a =，由正弦定理即可计算求解．18．【考点】线性回归方程． 【分析】1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b ，a ，然后求出线性回归方程：ˆy bx a =+； 2）通过7x =，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明11BC ACC A ⊥平面，可得1DC BC ⊥，再由已知可得1145ADC A DC ∠=∠=︒，得190CDC ∠=︒，即1C D D C ⊥，结合线面垂直的判定得1DC ⊥平面BDC ，从而得到平面1BDC ⊥平面BDC ； （Ⅱ）由等积法可得三棱锥1C BDC -的体积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由12||2F F =，点在该椭圆上，求出2a =，b =C 的方程． （Ⅱ）设11,(P x y )，22)(,Q x y ，推导出2111||(4)22PF x x =-=-．连接OM ，OP ，由相切条件推导出11|PM |2x =，由此能求出22||||||F P F Q PQ ++为定值．21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算(1)g '，求出a 的值，从而求出()g x 的递减区间即可；（2）问题转化为对1(0,)2x ∈，2ln 21x a x >--恒成立，令2ln ()21x l x x =--，1(0,)2x ∈，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由..，可得24y x =-=-+，即可得出直线l 的参数方程． （2）曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>，即为22sin 2cos (0)p p ρθρθ=>，即可化为直角坐标方程．把直线l 的参数方程代入可得：2828320(t p p +++=-．不妨设1||MP t =，2||MQ t =．12||||PQ t t ==-．利用2||||||PQ MP MQ =，即可得出．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式1()21(0)2f x m m +≥+>的解集，再结合不等式1()2(0)2f x m m +≥+＞的解集为]([,22,)-∞-+∞，求得m 的值．（2）由题意可得()212|3|g x x x =-+-的最小值小于或等于22y ya +，再利用绝对值三角不等式求得()g x的最小值为4，可得422y y a ≤+恒成立，再利用基本不等式求得22y y a +的最小值为可得4≥，从而求得a 的范围．。
广东省2017届六校高三第三次联考(文数)
广东省2017届六校高三第三次联考数学（文科）本试卷共4页，20小题， 满分150分．考试用时120分钟第Ⅰ卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数1ln 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 (A) (),0-∞ (B) ()0,1 (C) ()1,+∞ (D) ()(),01,-∞+∞（2）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= (A) 13-(B) 13(C) 3-(D) 3（3）对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(A) =a b a b (B) +=+a b a b (C) ()()= a b c a b c (D) 2= a a a （4）已知直线l :20x y b +-=,圆C:(224x y +=,则“01b <<”是“l 与C 相交”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （5）正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是(A) n ∀∈*N ，1n n S a +< (B) n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… (C) n ∃∈*N ，212n n n a a a +++= (D) n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+ （6）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值为(A)245 (B) 285(C) 5 (D) 6 （7）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）2⎣正视图 侧视图俯视图22（8）已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数()f x 的单调递减区间是(A) 32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B) 52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (C) 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (D) 5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) （9）已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为(A)169π (B) 163π (C) 649π (D) 643π （10）定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1,00f x f x f '>-=，其中()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1xx ef x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为(A) ()1,-+∞ (B) ()(),10,-∞-⋃+∞(C)()0,+∞ (D) ()(),01,-∞⋃+∞（11）如图1，一个三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为(A) 3 (B) 2(C)(D) 图1 （12）设函数()f x 的定义域为R ,()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为(A) 7 (B) 6 (C) 3 (D) 2第Ⅱ卷二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）曲线()23f x x x=+在点()()1,1f 处的切线方程为 ．DCBAA 1B 1C 1D 1图2（14）已知平面向量a 与b 的夹角为3π，(1=a，2-=a b b = ． （15）已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，点F 关于直线12y x =的对称点在椭圆C上，则椭圆C 的方程为 ．（16）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作．书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢．”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，返回去迎驽马．多少天后两马相遇．”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第_______天，两马相逢．三． 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共6小题，共70分． （17）（本小题满分10分）已知ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，有222sin sin sin sin sin B C A B C +=+． (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求()sin()6f x x A x x ππ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域．（18）（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 已知13a =, 123n n a S +=+(n ∈N *)． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分12分）如图2,在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,60BAD ∠=︒,AB BD =,BC CD =． (Ⅰ) 求证:平面11ACC A ⊥平面1A BD ； (Ⅱ) 若BC CD ⊥,12AB AA ==,求三棱锥11B A BD -的体积．（20）（本小题满分12分）对于函数)0(2)1()(2>-+++=a b x b ax x f ，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为)(x f 的不动点．（Ⅰ）当2,2-==b a 时，求)(x f 的不动点；（Ⅱ）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下判断直线22:a ax y l -=与圆44)3()2(222+=-+-a y x 的位置关系．（21）（本小题满分12分）如图3，椭圆1C ：22221+=x y a b(0>>a b )和圆2C :222+=x y b ,已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分,椭圆1C右焦点到直线2=a x c 的距离为4,椭圆1C 的下顶点为E ,过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ．(Ⅰ) 求椭圆1C 的方程；(Ⅱ) 若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相 交于另一个交点为点P 、M ． 求证：直线MP 经过一定点．（22）（本小题满分12分）设函数()ln f x ax b x x =+-(0a >),()221x g x x=+,若直线y e x =-是曲线C :()y f x =的一条切线,其中e 是自然对数的底数,且()11f =． (Ⅰ) 求a ,b 的值；(Ⅱ) 设01n m <<<,证明:()()f m g n >．数学（文科）参考答案一． 选择题（1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）C （7）A （8）D （9）D （10）C （11）B （12）A 二． 填空题(13) 40x y -+= (14) 2 (15) 2255194x y += (16) 16三． 解答题（17）解：(Ⅰ)∵222sin sin sin sin sin B C A B C +=+，由正弦定理得：222b c a bc +=+，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又∵(0)A π∈，，∴3A π=； …………6分 (Ⅱ)()sin()3f x x x π=-11sin x sin 22x x x x =sin()3x π=+ ………………………………………8分6x ππ-≤≤ ，4633x πππ∴≤+≤，………………………………………9分sin 3x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，………………………………………11分∴()f x的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………………………………12分(18) 解：(Ⅰ) 当2n ≥时, 由123n n a S +=+, 得123n n a S -=+,…………………………1分 两式相减, 得11222n n n n n a a S S a +--=-=, …………………………2分 ∴ 13n n a a +=． ∴13(2)n na n a +=≥． ………………………………………3分 当1n =时,13a =，21123239a S a =+=+=, 则213a a =．…………………4分 ∴数列{}n a 是以13a =为首项, 公比为3的等比数列． ………………………5分 ∴1333n n n a -=⨯=． ……………………………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得()()21213nn n b n a n =-=-⋅．∴ ()23133353213nn T n =⨯+⨯+⨯++-⋅ , ① …………………7分()23413133353213n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅ , ② …………………8分①-②得:()231213232323213nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………9分()()23132333213nn n +=+⨯+++--⋅ ()()2113133221313n n n -+-=+⨯--⋅-()16223n n +=---⋅． …………………………………11分∴ ()1133n n T n +=-⋅+．……………………………………………………12分(19) 解：(Ⅰ)证明：因为AB BD =,60BAD ∠=︒,所以ABD ∆为正三角形， …………1分 所以AB AD =,又CB CD =,AC 为公共边,所以ABC ∆≌ADC ∆， 所以CAD CAB ∠=∠,所以AC BD ⊥．…………2分又四棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD ,1AA BD ⊥，………………3分 又1AC AA A = ,所以BD ⊥平面11ACC A ，…………………………………………………4分 又BD ⊂平面1A BD ,所以平面11ACC A ⊥平面1A BD ．………………………………………5分(Ⅱ)因为11//AA BB ,所以11111B ABD A BB D A BB D V V V ---==，………………………………………7分 由(Ⅰ)知AC BD ⊥,又四棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱,所以1BB ⊥平面ABCD ,1BB AC ⊥，又1BD BB B = ,所以AC ⊥平面1BB D ，…………………………………………………10分 记AC BD O = ,则11111223323A BB D BB D V S AO -∆⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭， 所以三棱锥11B A BD -…………………………………………………12分(20)解：(Ⅰ))0(2)1()(2>-+++=a b x b ax x f ，当2,2-==b a 时,2()24f x x x =--,设x 为其不动点,即x x x =--422，则04222=--x x ,解得2,121=-=x x ，即)(x f 的不动点为-1,2． …………………………………………………2分 (Ⅱ)由x x f =)(得022=-++b bx ax ，关于x 的方程有相异实根,则0)2(42>--=∆b a b ,即0842>+-a ab b ……………………3分 又对所有的R b ∈,0842>+-a ab b 恒成立，故有0)8(4)4(2<⋅-a a , 即022<-a a ， ∵0>a 两边同除以a 得:20<<a ． …………………………………………………6分（Ⅲ）由圆的方程得圆心M )3,2(,半径122+=a r ， M 到直线22a ax y -=的距离222213221|232|aa a aa a d ++-=+--=，∵0]25)21(2[32222>+-=+-a a a ，∴221322aa a d ++-= ……………………………8分 比较d 与r 的大小：1121)322()1(21322122222222+-=++--+=++--+=-a a a a a a a a a a d r ．………………9分由(Ⅱ)知20<<a ,∴当)21,0(∈a 时， d r <,此时直线和圆相离；当21=a 时，d r =, 此时直线和圆相切； 当)2,21(∈a 时，d r >, 此时直线和圆相交． …………………………………………12分(21) 解：(Ⅰ)依题意,1223=⋅b a ,则3=a b ,所以==c ,又22-==a b c c c , 所以1=b ,于是3=a ,所以椭圆方程为2219+=x y ． …………………………………………3分(Ⅱ) 由题意知直线PE 、ME 的斜率存在且不为0,设直线PE 的斜率为k ,则PE :1=-y kx ,由22119=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22218919191⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩k x k k y k 或01=⎧⎨=-⎩x y ,所以2221891,9191⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k ． ………………………6分用1-k 去代k ,得222189,99⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ,…………………………………………7分因为22222229191919181810919----++==+++PM k k k k k k k k k k k ,…………………………………………9分 所以直线PM :222291189109--⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭k k k y x k k k ,即214105-=+k y x k ,…………………………11分 所以直线PM 经过定点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭T ．…………………………………………12分（22）解：(Ⅰ)设切点为()00,T x y ,因为()1ln f x a x '=--,………………………………1分 所以()001ln 1f x a x '=--=-,即0ln a x =……①又切线方程为()00y y x x -=--,即00y x y x =+-,所以00e x y +=．………………………2分 将0000ln y ax b x x =+-代入上式得0000ln e x ax b x x ++-=,将0ln a x =代入上式得0e b x =-,……② ………………………………3分因为()11f =,所以1b a +=,所以00ln e 1x x +-=,即00ln e 10x x -+-=,…………………4分令()ln e 1h x x x =-+-,则()111x h x x x-'=-=,故()h x 是()0,1上递增,在()1,+∞上递减, 且当1x =时,()h x 取极大值()ln11e 1e 20h x =-+-=->,因为()222e2e e 1e 3e 0h ---=--+-=--<,且()e 0h =, 故()h x 在区间()2e ,1-有一个零点0x ',在区间()1,+∞上的零点为e , 因为0a >,所以0ln 0a x =>,所以0e x =,……③将③代入①②可得1a =,0b =． …………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()ln f x x x x =-,令m tn =,则1t >, 要证()()f m g n >,即证()()f tn g n >⇔()22ln 1n tn tn tn n ->+()22ln 1t t tn n ⇔->+,……7分记()()ln t t t tn ϕ=-(1t >),则()()()1ln 1ln ln 0t tn tn m ϕ'=-+=-=->⎡⎤⎣⎦所以()()ln t t t tn ϕ=-是()1,+∞上的增函数,()()11ln t n ϕϕ≥=-, ……………………9分以下再证:221ln 1n n ->+,即证:221ln 01n n n --<+, …………………………………………10分 记()221ln 1n r n n n -=-+(01n <<),则()()()()222222114011n n r n n n n n -'=-=>++,所以()r n 是()0,1上的减函数,所以()()10r n r <=．综上,原不等式成立．……………………………………………………12分 [其它证法,如放缩法]先证()()fm f n >,再证()()f n g n >；先证()()f m g m >,再证()()g m g n >．。
【广东省广雅中学年、江西省南昌二中】2017学年联考高考模拟数学年(文科)试题
当 a 0 时，
f (x)
1 x
1 x2
xa x2
，
若 x (0,a) ，则 f (x) 0 ， f (x) 单调递减，
若 x a ，则 f (x) 0 .
3/6
若 x (a,) ，则 f (x) 0 ， f (x) 单调递增.
当 a 1时，
(11)A.解析： MA MB (CA CM )(CB CM ) (1 CA 1 CB（) 5 CB 2 CA） 366 3
=
7
22 CA CB CA
5
2
CB =
7｜CA｜｜ CB｜cos π
2 | CA |2
5
| CB |2
18
9
36
18
39
36
= 7 8 5 2. 333
18．解：（Ⅰ）设等差数列{an} 的公差为 d ，由题设知 d 0 ，
由 a1
1,
a1,
a3
,
a9
成等比数列，得
1
2d 1
1 8d 1 2d
.……………………………………………（3
分）
解得 d 1,d 0 （舍去），
∴d 1
故{an} 的通项公式为 an =1+(n 1) 1 n .………………………………………………………（6 分）
b2
(14)答案： (1, 2] .
解析：由
4
x2
0, 解得 1 x 2.
x 1 0,
(15)答案： 2πr4 . 解析：因为 (2πr4 ) 8πr3 ，所以 W＝ 2πr4 .
广东省佛山市第一中学、珠海市第一中学、金山中学2018-2019学年高二下学期期中考试文科数学试题含解析
2017级高二下学期期中佛山一中、珠海一中、金山中学三校联考文科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法将集合化简，然后再求.【详解】因为，所以，故选.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，以及一元二次不等式解法，属于基础题.2.已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将化简，然后根据共轭复数的定义得出结果.【详解】因为，所以的共轭复数是，故选.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的定义，属于基础题.3.设、分别为双曲线的左右焦点，点为左支上一点，且，则的值为（）A. 1B. 2C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的定义以及相关性质，即可求出的值.【详解】由双曲线方程可知：，则由题意，有，且所以有，故答案选.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，标准方程及相关性质，属于基础题.4.角是的一个内角，若命题，命题，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知命题：或，所以是的充分不必要条件.5.如下图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由三视图可知，其由一个三棱柱和一个半圆柱组成，然后利用对应的体积公式即可求解.【详解】由三视图可知，其由一个三棱柱和一个半圆柱组成，如图，则，故答案选.【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，以及柱体的体积计算，属于基础题.6.已知，满足约束条件，则的最大值为A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，等价于，作直线，向上平移，易知当直线经过点时最大，所以，故选D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7.已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的等价条件，以及椭圆的性质，即可求出离心率.【详解】因为，所以，因为，所以，即，而，则有，即，由于，所以，故选.【点睛】本题考查了离心率的求解，椭圆的性质以及向量法的运用，属于中档题. 对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.8.执行如下图所示的程序框图，若输出k的值为5，则判断框内可填入的条件是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题目条件，按照程序框图进行，直到符合输出值从而确定判断条件.【详解】由题意，，满足条件，则，满足条件，则，满足条件，则，满足条件，则，由于输出值为，所以此时不满足条件，而满足条件，由此可以判断，条件设为符合，故选.【点睛】本题主要考查了程序框图的判断条件，考查了计算能力，属于基础题.9.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的性质，特殊值法以及排除法，即可判断.【详解】因为，而，所以，所以排除项，因为当时，，则，因为在内单调递减，在内单调递增，如图，两函数只有一个交点，所以只有一个零点，故在至多有一个极值点，排除项，故选项.【点睛】本题主要考查了函数的图像判断，以及函数的相关性质，属于中档题.函数图像的识别可从以下几个方面入手：（1）从函数的定义域判断图像左右位置；从函数的值域判断图像的上下位置；（2）从函数的单调性判断图像的变化趋势；（3）从函数的奇偶性判断图像的对称性；（4）从函数的周期性判断图像的循环往复；（5）取特殊点，把点代入函数，从点的位置判断；（6）必要时可求导研究函数性质，从函数的特征点，排除不合要求的图像.充分利用上述的几个方面，排除、筛选错误与正确的选项.10.对于大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”，，，…，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的值为( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】由题意可知，的三次方就是的奇数相加，而且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现的，由此规律即可找出的“分裂数”中有一个是59时，的值.【详解】由题意，从到，包括从3开始的连续奇数共个；因为59是从3开始的第29个奇数，而当时，从到，包括从3开始的连续奇数共27个；而当时，从到，包括从3开始的连续奇数共35个；故，答案选.【点睛】本题主要考查了数列的相关知识，考查了观察，找规律的能力，属于中档题.11.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据侧面积与底面积的关系求出正方形的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积.【详解】如图：连接交于点，设重合交于点，设正方形的边长为，则，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则，解得，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则有，因为，所以.则，解得，外接球的表面积为，故选.【点睛】本题主要考查了折叠问题，以及外接球问题，属于难题.对于平面图形折叠成空间几何体的相关问题，关键是抓住不变的数量关系以及位置关系；对于外接球问题，关键是找出球心位置并确定半径.12.若存在唯一的正整数，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将不等式存在唯一正整数解的问题转化为对应函数问题，进而通过分离参数，将其转化为两个函数的函数值大小问题，通过图像法寻找到该正整数解，从而确定满足要求的等价条件，求出的范围.【详解】设，则存在唯一的正整数，使得，设，，因为，所以当以及时，为增函数，当时，为减函数，在处，取得极大值，在处，取得极大值.而恒过定点，两个函数图像如图，要使得存在唯一的正整数，使得，只要满足，即，解得，故选.【点睛】本题主要考查了不等式唯一整数解问题，考查了函数与不等式的关系以及图像法的运用，导数的应用等，属于难题.不等式有唯一整数解的问题，关键是寻找出对应的整数解，得到函数在其相邻整数的不等关系，从而求解出参数范围.二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.已知函数(为自然对数的底数)，且函数在点处的切线斜率为1，则_______【答案】【解析】【分析】利用函数的导数几何意义即可求得.【详解】因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.等差数列的公差为，若成等比数列，则数列的前项和=_______【答案】【解析】【分析】利用等差数列通项公式以及等比中项性质，即可建立方程求出，再利用等差数列求和公式求解即可.【详解】由题意，成等比数列，则有，解得，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式、求和公式，以及等比中项的性质，属于基础题.15.直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】利用圆心到直线距离以及半径表示弦长，结合弦长的范围，即可求出的范围.【详解】因为圆：，直线：，而，则，解得：，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了直线与圆的弦长问题，以及圆的性质，属于基础题.16.在中，角的对边分别为，若，且的面积，则的最小值为_______【答案】3【解析】【分析】利用角的关系以及三角恒等变换相关公式将条件中的恒等式化简，即可求出角，然后利用面积公式得到，结合余弦定理以及基本不等式，即可求出的最小值.【详解】因为，而，代入上式化简得：所以，因为，所以；因为，所以得；因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为3.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角恒等变换，面积公式以及基本不等式，属于中档题.这类型题的关键在于结合余弦定理，运用基本不等式求解最值.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为数列的前项和，已知，且.（1）求证：为等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系将条件转化为递推关系，化简即可得，即由定义可证.（2）利用等差数列通项公式求出，从而求得，利用裂项求和法即可求出其前项和.【详解】（1），①当时, ②①-②得，即，∵，∴即，∴为等差数列（2）由已知得，即解得（舍）或∴∴∴【点睛】本题主要考查了等差数列证明，以及裂项求和法的应用，属于中档题. 等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可.18.如图，是圆的直径，是圆上除、外的一点，平面，四边形为平行四边形，，．（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积取最大值时，求此刻点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理，分别证得与垂直，从而证得平面，再由，即可使结论得证.（2）由于动点使得三棱锥的底面积和高都在改变，所以通过设，利用分别表示，从而构建体积的函数，求出体积最大值以及成立的条件，再利用等体积法求出点到平面的距离.【详解】（1）证明：是圆的直径，，平面，平面，，平面，平面，平面，四边形为平行四边形，，平面.（2）设，，平面，为三棱锥的高，平面，，而，当时，即时，三棱锥的体积最大值为，此时，在中，，而，显然，，设点到平面的距离为，.【点睛】本题考查了线面垂直证明，以及点面距离的求解，涉及到函数的思想，运用到了等体积法，属于中档题.对于几何动态问题，关键是弄清楚是什么量引起变化，再合理地选取变量，建立函数进行求解.而点线距离的求解问题，主要有三个方法：（1）定义法，通过找出对应的点线距离，结合解三角形求解距离问题；（2）等体积法，通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；（3）间接法，利用线面平行或者面面平行的性质，将点线距离恰当转化为易求的距离问题，间接求解.19.已知抛物线:的焦点为点在该抛物线上，且.（1）求抛物线的方程;（2）直线与轴交于点E,与抛物线相交于，两点, 自点，分别向直线作垂线，垂足分别为,记的面积分别为.试证明:为定值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用点在抛物线上，以及焦半径公式，即可求出的值，从而求出抛物线方程.（2）结合韦达定理，以及面积公式，分别用表示与，从而化简求得.【详解】（1）抛物线焦点为准线方程为点在该抛物线上①依定义及得②由①②解得抛物线的方程为（2）由消得设，则则又【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及定值问题的证明，涉及到抛物线的相关性质，韦达定理，三角形面积公式等，属于难题.对于定值问题，解这类型问题时，要合理地选择参数（参数可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等），使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标，从而通过代数变换化简，证得定值问题.在化简过程中注意消元，尽量化为单参数问题进行求解.20.已知函数，.（1）求函数的单调区间;（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）结合的定义域，以及导数的零点的情况，确定分类讨论的标准为，从而求出对应的单调区间.（2）由（1）可知，只有当时，在定义域内有一个零点，即为的极大值点.要使得极大值，等价转化为使得，再结合导函数的性质，即可得求得的范围.【详解】（1）函数的定义域为.①当时，，∵∴∴ 函数单调递增区间为.② 当时，令得，.（ⅰ）当，即时， ，∴ 函数的单调递增区间为.（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.若，则，此时，当时，.∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，,单调递增当时，单调递减综上，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为.（2）解：由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；则有极大值，其值为，其中.而，∴设函数，则，则在上为增函数.又，故等价于.因而等价于.即在时，方程的大根大于1，设，由于的图象是开口向下的抛物线，且经过点(0,1)，对称轴，则只需，即解得，而，故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了函数单调区间的求解，以及函数极值问题，涉及到导数在函数单调性、极值问题中的应用，以及函数与方程的思想，属于难题.对于函数（含参）单调性讨论问题，关键是结合函数的定义域，以及导数的零点情况（零点的存在性、个数、求解、分布以及大小关系），确定分类讨论的标准，从而讨论导数符号，确定函数单调性（单调区间）.21.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线：（为参数），：（为参数）.（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）直线的极坐标方程为，若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直线距离的最小值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系消去参数，即可化为普通方程，并根据方程形式判断曲线类型.（2）先根据题意，将直线的直角坐标方程求出来，将坐标求出来，再利用参数法，表示线段的中点到直线距离，从而得到该距离的函数，通过研究函数得到其最小值.【详解】（1）因为：（为参数），消去参数得：，表示以为圆心，为半径的圆；因为：（为参数），消去参数得：，表示焦点在轴上的椭圆.（2）因为直线的极坐标方程为，利用互化公式可得直角坐标方程为：，因为若上的点对应的参数为，所以，因为为上的动点，则设，所以线段的中点，设到直线距离为，则有所以当时，.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及参数方程在点线距离问题当中的运用，属于中档题.对于点线距离最值问题，常常运用参数法，通过利用参数表示动点，再利用点线距离公式得到距离函数，经过恒等变换，即可讨论距离函数的最值.22.已知函数 的解集为．（1）求的值；（2）若，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求解不等式，结合其解集即可求得的值.（2）先将不等式分离参数得，令，则问题等价于，再通过求解一元二次不等式即可出的范围.【详解】（1），，，或 ，又 的解集为．故.（2）等价于不等式，，故，则有，即，解得或即实数的取值范围【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及存在性问题的求解，属于中档题.对于绝对值不等式的求法，主要有以下几种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）零点分段法；（3）图像法；（4）平方法.。
【广东省佛山市】2017届高考高三3月模拟考试数学试卷(一)-答案
广东省广雅中学、江西省南昌二中2017年联考高考模拟数学（文科）试卷答 案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5．CBBCC 6~10．ACDDD 11~12．BC二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）． 13．2 016 14．3- 15．116．[2e,]-+∞三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：（1）∵πsin sin()3a Bb A =-+．∴由正弦定理可得：πsin sin sin sin()3A B B A =-+．即：πsin sin()3A A =-+．可得：1sin sin 2A A A =--，化简可得：tan A =， ∵(0,π)A ∈，∴5π6A =． （2）∵5π6A =，∴1sin 2A =，∵由211sin 24S bc A bc ===，可得：b =， ∴22222cos 7a b c bc A c -=+=，可得：a =，由正弦定理可得：sin sin c A C a =． 18．解：1）由题意知10n =，10i 111i 80810x x n ===⨯=∑，10i 111i 20210y y n ===⨯=∑， 又10222i 1i 72010880xx I x nx ==-=-⨯=∑，10i 1i 1184108224xy I x y nxy ==-=-⨯⨯=∑，由此得24ˆ0.380XX xy I b I ===，ˆˆ20.380.4a y bx =-=-⨯=-， 故所求线性回归方程为ˆ0.30.4yx =-． 2）将7x =代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为ˆ0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）．19．解（Ⅰ）证明：由题意知1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =I ，∴BC ⊥平面11ACC A ，又∵1DC ⊂平面11ACC A ，∴1DC BC ⊥． ∵1145ADC A DC ∠=∠=︒， ∴190CDC ∠=︒，即1C D DC ⊥． ∵DC BC C =I ，∴1DC ⊥平面BDC ，又∵1DC ⊂平面1BDC ， ∴平面1BDC ⊥平面BDC ． （Ⅱ）解：由1122AC BC AA ===，得14AA =，所以2AD =， 所以22222222CD AC AD =+=+=．所以1Rt CDC △的面积1222242S =⨯⨯=， 所以1111842333C BDC B CDC V C S BC --===⨯⨯=g ．20．解：（Ⅰ）∵1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(b 0)y x a a b+=>>的两个焦点，且122F F =，点6(2,)在该椭圆上． 由题意，得1c =，即221a b -=，① 又点6(2,)在该椭圆上，222312a b∴+=，② 由①②联立解得2a =，3b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设11,(P x y )，22)(,Q x y ，2211(||2)43x y x +=≤，222222212111111||(1)(1)(1)3(1)(4)44x PF x x y x x =-=-+=-+-=-， 11111||(4)222PF x x ∴=-=-．连接OM ，OP ，由相切条件知：22222222111111||||||33(1)344x PM OP OM x y x x =-=+-=+--=，∴11||2PM x =，∴21111|PF |||2222PM x x +=-+=．同理可求得22211||||2222QF QM x x +=-+=，∴22224F P F Q PQ ++=+=为定值．21．解：（1）∵()(3)(2)2ln g x a x a x =----，∴2()3g x a x'=--，∴(1)1g a '=-，又g(1)1=，∴121110a --==--，解得：2a =， 由2()320g x x'=--=<，解得：02x <<，∴函数()g x 在(0,2)递减；（2）∵()0f x <在1(0,)2恒成立不可能，故要使()0f x <在1(0,)2无零点，只需任意1(0,2x ∈)，()0f x >恒成立，即对1(0,)2x ∈，2ln 21xa x >--恒成立，令2ln ()21xl x x =--，1(0,)2x ∈，则222ln 2()2(1)x x l x x +-'=--， 再令22ln ()2x m x x +-=，1(0,)2x ∈， 则22(1)()20x m x x --'=-<， 故()m x 在1(0,)2递减，于是1()()22ln202m x m >=->，从而()0f x '>，于是()l x 在1(0,)2递增，∴1()1()24ln 22l x <--，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要24ln2,[)a ∈-+∞，综上，若函数()y f x =在1(0,)2上无零点，则a 的最小值是24ln2-．22．解：（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，化为直角坐标方程:20x y --=．∵2x =-+，∴24y x =-=-+，∴直线l的参数方程为：24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）． （2）曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>，即为22sin 2cos (0)p p ρθρθ=>，可得直角坐标方程：22y px =．把直线l的参数方程代入可得：2828320(t p p +++=-．∴12(82t t p =++12832t t p =+．不妨设1MP t =，2MQ t =．12||PQ t t ====-∵2•PQ MP MQ =， ∴2832832p p p +=+， 化为：2340p p +-=， 解得1p =．23．解：（1）∵不等式1()21(02f x m m +≥+>）的解集为,2[2,)]∞+∞U (--，即|12(1|212x m +≤+)-的解集为]([,22,)-∞-+∞U ．由221x m ≥+，可得221x m ≥+，或221x m ≤--，求得12x m ≥+，或12x m ≤--，故|]11(,,)[22m m ∞--++∞U -的解集为12()212|1x m +-≤+，故有122m +=，且122m --=-，∴32m =．（2）∵不等式()2|23|2y y af x x ≤+++，对任意的实数x ，y ∈R 恒成立，∴212|2|32||y y ax x -≤+++恒成立，即212|||3|22y y ax x -+≤+-恒成立，故()21||2|3|g x x x -=-+的最小值小于或等于22y y a+．∵21|23|()2123|=|4||x x g x x x -+=-+-≤-）（， ∴422y ya≤+恒成立，∵22y y a+≥∴4，∴4a ≥，故实数a 的最小值为4．广东省广雅中学、江西省南昌二中2017年联考高考模拟数学（文科）试卷解 析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】交集及其运算． 【分析】把A 中元素代入3y x =-中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【解答】解：把2x =-，1-，0，1，2，3，分别代入3y x =-得：3y =-，2-，1-，0，即B ={3,2,1,0}---，∵2,1,0,1,,{}23A =--， ∴2,10{,}A B --=I ， 故选：C ．2．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由12i z =-，复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，求出2z ，然后代入12z z ，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数12z z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】解：∵12i z =-，复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，∵22i z =-- ∴122i (2i)(2i)34i 34i 2i (2i)(2i)555z z ---+-+====-+-----+， 则复数12z z 在复平面内对应的点的坐标为：34(,)55-，位于第二象限． 故选：B ．3．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f ，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：(5),2()e ,22(),2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q ，∴当2x >时，函数是周期函数，周期为5，(2016)(1)e f f f -===， 故选：B ． 4．【考点】茎叶图．【分析】利用平均数求出m 的值，中位数求出n 的值，解答即可． 【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78868488959092887m +++++++=⨯，3m ∴= 又乙组学生成绩的中位数是89，∵9n =，∵12m n +=． 故选：C ．5．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3cos (13cos )b C c B =-．利用正弦定理可得3sin cos sin (13cos )B C C B =-，化简整理即可得出． 【解答】解：由正弦定理，设==sin sin sin a b ck A B C=， ∵3cos (13cos )b C c B =-， ∴3sin cos sin (13cos )B C C B =-， 化简可得sin 3sin()C B C =+，又πA B C ++=，∵sin 3sin C A =，∴因此sin :sin 3:1C A =． 故选：C ．6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量2a b -rr，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解：a r (2,1)=-，b r (,3)k =-，c r(1,2)=，(22,72)b k a =---r r ， (2)a -rb rc ⊥r ，可得：22140k --+=． 解得6k =，(6,3)b =-r，所以22||6(3)35b =+-=r．故选：A ．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO ⊥底面ABC ，∴平面PAC ⊥底面ABC ，而BC AC ⊥， ∴BC PAC ⊥平面，∴BC AC ⊥．该几何体的高2PO =，底面ABC 为边长为2的等腰直角三角形，ACB ∠为直角． 所以该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC ．2215PC =+=， ∴12552PBC S =⨯⨯=△，12222ABC S =⨯⨯=△， ∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和2+5． 故选：C ．8．【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P 的轨迹方程 【解答】解：由题意得，圆心(3,4)C -，半径2r =，如图： 因为PQ PO =，且PQ CQ ⊥，所以222PO r PC +=，所以22224(3)(4)x y x y ++=-++，即68210x y --=，所以点P 在直线68210x y --=上， 故选D ．9．【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件． 【解答】解：K10 9 8 s11120可知，10，9时条件成立，8时不成立． 故选D ．10．【考点】球内接多面体．【分析】设AB a =，1BB h =，求出2262a h =-，故正四棱柱的体积是2362V a h h h ==-，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设AB a =，1BB h =， 则2OB a =，连接1OB ，OB ，则222113OB BB OB +==， ∴2232a h +=， ∵2262a h =-，故正四棱柱的体积是2362V a h h h ==-，∵266V h '=-， 当01h <<时，0V '>，10h <<时，0V '<， ∵1h =时，该四棱柱的体积最大，此时2AB =． 故选：D ．11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得交点坐标，利用点到直线的距离公式可知：22||222bc bcc a b +=+，即可求得2243a c =，利用双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线22221(0,b 0)y x a a b +=>>渐近线方程b y x a=±，由OF 的垂直平分线为2c x =，将2c x =，代入b y x a =，则2bcy a=，则交点坐标为(,)22c bca，由(,)22c bc a ，到by x a =-，即0bx ay +=的距离22||122||22bc bc c d OF a b +===+， 解得：2222c b c a ==+，即2243a c =，则双曲线的离心率23e c a ==， 故选：B ．12．【考点】函数的图象．【分析】直线:1l y kx =-与曲线1()1e x f x x =-+没有公共点，则111e xx kx -+=-无解，可化为211e k x =+，设21(x)1e g x =+，求导，研究此函数的单调性即可解决 【解答】解：若直线:1l y kx =-与曲线1()1e x f x x =-+没有公共点，则111ex x kx -+=-无解，∵0x =时，上述方程不成立，∵0x ≠ 则111e xx kx -+=-可化为11e x k x =+，设1()1e x g x x =+，∵2(1)()ex x g x x -+'=，∴()g x '满足：在(),1-∞-上()0g x '>，在()1,0-上()0g x '<，在()0,+∞上()0g x '<，∴()g x 满足：在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，在()0,+∞上递减，(1)1e g =--，而当x →+∞时，()1g x →， ∴()g x 的图象：∵()(,1e][1,)g x ∈-∞-+∞U 无解时，](1e,1k ∈-， ∴1max k =， 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）． 13．【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】利用(0)0f =，即可得出结论．【解答】解：∵函数63e ()()32e x xbf x x a =-∈R 为奇函数，∴63(0)032b f a =-=， ∴2016ab =， 故答案为2016．14．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数3z x y a =++的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为(0,2)，(1,0)，5(,2)3，目标函数3z x y =+的几何意义是直线的纵截距 由线性规划知识可得，在点5(,2)3A 处取得最大值4．53243a ⨯++=，解得3a =-． 故答案为：3-．15．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a 值，再求三角函数的最值．【解答】解：1()sin 2cos222a f x x x =+， ∵π6x =是对称轴，π(0)()3f f =，∴3a =，∵π()sin(2)6f x x =+，最大值为1．故答案为1．16．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得2()()e 10xf xg x x ax -=+-≥-对(0,1)x ∈恒成立，从而21e()xx a h x x+-≤=对于(0,1)x ∈恒成立，进而()max a h x ≥，222(2e )(1e )1()()(e 1)x xxx x x x h x x x x--+--'==--，由导数性质得()h x 是增函数，由此能求出实数a 的取值范围．【解答】解：∵当(0,1)x ∈时，函数()e 1x f x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方， ∴2()()e 10x f x g x x ax =+--≥-对(0,1)x ∈恒成立， ∴2e 10x x ax +-≥-，∴21e ()xx a h x x+-≥=对于(0,1)x ∈恒成立，∵()max a h x ≥，222(2e )(1e )1()()(e 1)x x xx x x x h x x x x--+--'==--，令()e 1x t x x =--，(0,1)x ∈，()e 10x t x -'=>对(0,1)x ∈恒成立，∵()(0)0t x t ≥=，∴()0h x '>恒成立，()h x 是增函数，∴2max 11e()(1)2e 1h x h +-===-，∴实数a 的取值范围是[2e,)-+∞．故答案为：[2e,)-+∞．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tan A =，结合范围(0,π)A ∈，即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求1sin 2A =，利用三角形面积公式可求b =，利用余弦定理可求a =，由正弦定理即可计算求解．18．【考点】线性回归方程．【分析】1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b ，a ，然后求出线性回归方程：ˆybx a =+； 2）通过7x =，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄． 19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明11BC ACC A ⊥平面，可得1DC BC ⊥，再由已知可得1145ADC A DC ∠=∠=︒，得190CDC ∠=︒，即1C D DC ⊥，结合线面垂直的判定得1DC ⊥平面BDC ，从而得到平面1BDC ⊥平面BDC ；（Ⅱ）由等积法可得三棱锥1C BDC -的体积． 20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由12||2F F =，点在该椭圆上，求出2a =，b =，由此能出椭圆C 的方程．（Ⅱ）设11,(P x y )，22)(,Q x y ，推导出2111||(4)22PF x x =-=-．连接OM ，OP ，由相切条件推导出11|PM |2x =，由此能求出22||||||F P F Q PQ ++为定值．21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算(1)g '，求出a 的值，从而求出()g x 的递减区间即可；（2）问题转化为对1(0,)2x ∈，2ln 21x a x >--恒成立，令2ln ()21x l x x =--，1(0,)2x ∈，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由..，可得242y x =-=-+，即可得出直线l 的参数方程． （2）曲线C 的极坐标方程为2sin2cos (0)p p ρθθ=>，即为22sin 2cos (0)p p ρθρθ=>，即可化为直角坐标方程．把直线l 的参数方程代入可得：2828320(t p p +++=-．不妨设1||MP t =，2||MQ t =．12||||PQ t t ==-．利用2||||||PQ MP MQ =g ，即可得出．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式1()21(0)2f x m m +≥+>的解集，再结合不等式1()2(0)2f x m m +≥+＞的解集11 / 11为]([,22,)-∞-+∞U ，求得m 的值．（2）由题意可得()212|3|g x x x =-+-的最小值小于或等于22y ya +，再利用绝对值三角不等式求得()g x 的最小值为4，可得422y y a ≤+恒成立，再利用基本不等式求得22y y a +的最小值为可得4≥，从而求得a 的范围．。
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图 1金山中学、广雅中学、佛山一中2017届高三下联考数学(文科) 试题（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．） 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=（ ）A. {x|-1＜x≤3}B. φC. {x|x=3}D. {x|2≤x﹤3}2. 复数iai z -=3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知数列{}n a 满足)2(2,111≥+==-n n a a a n n ，则=7a （ ）A.53B.54C.55D.109 4．已知一棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．48 5．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b内 （ ）A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点6．曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线与坐标轴 所围三角形的面积为（ ） A ．2e B ．22eC ．24e D ．292e7. 下列程序框图(图2)的输出结果为 （ ） A.20132012 B.20131C. 20142013 D.201418. 设,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则关于θ的方程1cos 2tan θθ-=的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 9. 点P 到图形E 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形E 的距离.已知点(1,0)A ,圆C :2220x x y ++=,那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线D. 射线10．定义两种运算：a b ⊕=22a b -，2()a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数S=0,i=1S=S+1/(i*(i+1))i=i+1否是输出S结束开始i>2013?图2图 3二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．（a →+b →）与a →垂直，且⎥b →⎢=2⎥a →⎢，则a →与b →的夹角为 12. 若等比数列{a n }的前项n 和为S n ，且S 4S 2 = 5，则S 8S 4=13．已知函数21()(2),()(1,2)1xx x f x x g x a a x x -+==>-≥≥． ①若[)02,x ∃∈+∞，使0()f x m=成立，则实数m的取值范围为 ；②若[)12,x ∀∈+∞，[)22,x ∃∈+∞使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点3π4,2A ⎛⎫⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，且2,1,PA PB ==则AB 的长为 .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）如图4,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A ,且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,3ππα.将角α的终边按 逆时针方向旋转6π,交单位圆于点B .记),(),,(2211y x B y x A . (Ⅰ)若411=x ,求2x ;(Ⅱ)分别过,A B 作x 轴的垂线,垂足依次为,C D .记△AOC 的面积为1S ,△BOD 的面积为2S .若21S S =,求角α的值.17.（本小题满分12分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图5：（1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为多少；（2）在样本中，若学校决定身高在185cm 以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．错误！未找到引用源。
身高（cm ）0.06 0.040.016 0.008195 190 185 180 175 170 165 160 155 图5图418．（本小题满分14分）如图6，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，且∠ACB ＝90°，∠BAC＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，点P 、M 、N 分别为BC 1、CC 1、AB 1的中点． （1）求证：PN//平面ABC ； （2）求证：A 1M⊥平面AB 1C 1；（3）求点M 到平面AA 1B 1的距离．19（本题满分14分）已知数列{}n a 满足1331(,2)n n n a a n N n *-=+-∈≥且395a =。
（1）求12,a a 的值；（2）是否存在一个实数t ，使得1()()3n n n b a t n N *=+∈且{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；如不存在，请说明理由； (3) 求数列{}n a 的前n 项和n S .图620．（本小题满分14分）如图7所示，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和 椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1) 求C 1，C 2的方程．(2) 是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB | ？证明你的结论.21. (本小题满分14分)己知函数 21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈(1) 若 (1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2) 若关于x 的不等式 ()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3 若 2a =-，正实数 12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=，证明:12512x x -+≥图7金山中学、广雅中学、佛山一中2017届高三联考数学(文科) 参考答案及评分标准一、选择题： D A C B C A C B D A二、填空题： 11．120°， 12．17 ，13．①[)3,+∞； ②(1,3]． 14．24， 15.51416.解(Ⅰ)解:由三角函数定义,得1cos x =α,)6cos(2πα+=x ………………3分因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,3ππα,41cos =α ,所以415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αα…………………4分所以 8153sin 21cos 236cos 2-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=ααπαx …………………7分 (Ⅱ)解:依题意得 1sin y =α,)6sin(2πα+=y . 所以111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα, (8)分)32sin(41|)6cos(|)6sin(21||21222παπαπα+-=++==y x S ……………9分依题意得3sin2cos 3cos 2sin )32sin(2sin παπαπαα--=+-=,整理得332tan -=α ……………10分 因为23παπ<<, 所以παπ<<232, 所以652πα=,即125πα=…………12分17．（1）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm~190cm 的频率为：……………3分∴800名学生中身高在180cm 以上的人数为：错误！未找到引用源。
人．6分（2）样本中，身高介于185cm~190cm 的学生人数为错误！未找到引用源。
人，身高介于190cm~195cm 的学生人数为错误！未找到引用源。
人． (8)分∴“身高在185cm 以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本1(0.0080.0160.040.040.060.0160.008)50.06-++++++⨯=事件数共10种，…………10分其中抽取的2名学生中“身高在190cm 以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种． ∴所求事件的概率P=0.7 ……………………………………12分错误！未找到引用源。
18. （1）证明：连结CB 1，∵P 是BC 1的中点 ，∴CB 1过点P ， ………………………………1分 ∵N 为AB 1的中点，∴PN//AC,---------------------------2分∵AC ⊂面ABC ，PN ⊄面ABC ,∴ PN//平面ABC.--------------------------------------4分（2）证法一：连结AC 1，在直角ΔABC 中， ∵BC＝1，∠BAC＝30°， ∴ AC＝A 1C 1＝3-----------------------------------5分 ∵111CC AC 111A C MC ==2，∴ 111Rt AC M Rt C CA ∆∆------------------------------------------------7分 ∴111A MC CAC ∠=∠，1111190AC C CAC AC C A MC ∴∠+∠=∠+∠= ∴AC 1⊥A 1M.-------------------------------------------------------------------8分∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，且1111C A CC C ⋂= ∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1，-----------------------------------------------------------9分∴B 1C 1⊥A 1M ，又1111AC B C C ⋂=，故A 1M⊥平面A B 1C 1，---------11分【证法二：连结AC 1，在直角ΔABC 中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，∴ AC＝A 1C 1＝3-------------------------------------------------------------5分设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β ∵11111162tan tan ==123AA MC AC AC αβ=⋅⋅, ----------------------------------7分∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M.----------------------------------------------------8分∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，且1111C A CC C ⋂= ∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1，---------------------------------------------------------9分∴B 1C 1⊥A 1M ，又1111AC B C C ⋂= 故A 1M⊥面A B 1C 1，------------------------------------------------------------11分（3）设点M 到平面AA 1B 1的距离为h ， 由（2）知B 1C 1⊥平面AA 1CC 1∵1111M AA B B MAA V V --= 11111AA B MAA S h S B C ∆∆⋅=⋅----------------------------------12分 ∴∴11111MAA AA B S B C h S ∆∆⋅=13613212262⨯⨯⨯==⨯⨯. 即点M 到平面AA 1B 1的距离为32． ----------------------------------------------14分19.解析：(1)当n=2时，2138a a =+，当n=3时，3223269523a a a =+=⇒=，1123385a a ∴=+⇒=. ……………………2分（2）当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=+-+()113-33n n n a t a t -=+- ()112312133n n ntt +=--=-. ……………… 4分要使{}n b 为等差数列，则必须使1+2t=0,12t ∴=-, ……………… 5分即存在12t =-，使{}n b 为等差数列. …………………… 6分 (3) 因为当t= -1/2时，{}n b 为等差数列，且11n n b b --=，132b =所以n 31(1)22b n n =+-=+ …………………… 8分 所以11()322n n a n =+⋅+ …………………… 9分于是，123151211333222222n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1213353(21)322n nn ⎡⎤=⨯+⨯+++⋅+⎣⎦ …………………… 10分 令123353(21)3n S n =⨯+⨯+++⋅① …………………… 11分23133353(21)3n S n +=⨯+⨯+++⋅② …………………… 12分①—②得 1231233232323(21)3n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⋅化简得13n S n +=⋅ …………………… 13分∴113(31)222n n n n n n S ++⋅+=+= ……………………14分20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝ 1. -----------2分因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332－1b 21＝1，故b 21＝3.由椭圆的定义知2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＋（1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＋（1＋1）2＝2 3.- --------4分于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1. ----------6分 (2)不存在符合题设条件的直线．(i)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|. ------------------8分(ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.--------- ------------------9分当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.-------- ----------------10分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3.因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， ---- -----------------12分于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线 ． ------------- ------------- -------------14分21．（1）因为(1)102af =-=，所以2a =， ………………………………………1分此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ……………………………………… 2分由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >． 所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．………………………………………… 3分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=． (4)分当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x的不等式()1f x ax -≤不能恒成立． ……………………………………5分当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x ag x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数． 故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-．………7分令1()ln 2h a a a =-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <． 所以整数a的最小值为2． …………………………………………………………9分方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立，问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． (5)分因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=． 设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数． 所以00max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． (7)分因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈． 所以2a ≥，即整数a的最小值为2． ……………………………………………… 9分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++= 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ ………………………………… 11分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥， ………………………………………………………13分所以21212()()1x x x x +++≥， 因此12512x x -+≥成立． ………………………………………………………… 14分。