15.4 因式分解-考点训练：提公因式法与公式法的综合运用-同步练习
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
15.4 因式分解-考点训练：因式分解-运用公式法-同步练习
智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩 【考点训练】因式分解-运用公式法-1一、选择题（共5小题）2二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•厦门）x2﹣4x+4=（_________）2．7．（2013•绍兴）分解因式：x2﹣y2=_________．8．（2013•盐城）因式分解：a2﹣9=_________．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2011•广州）分解因式：8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．10．（2007•资阳）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，a n=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．【考点训练】因式分解-运用公式法-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）2二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•厦门）x2﹣4x+4=（x﹣2）2．7．（2013•绍兴）分解因式：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）．8．（2013•盐城）因式分解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）9．（2011•广州）分解因式：8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．10．（2007•资阳）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，a n=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．关注中学生习题网官方微信公众号，免费学习资源、学习方法、学习资讯第一时间掌握。
(练习+答案)提公因式、公式法练习题
中考因式分解试题精选（共63题）(提公因式、公式法)．一、选择题1. （2011江苏无锡）分解因式2x 2 − 4x + 2的最终结果是 （ ）A ．2x (x − 2)B ．2(x 2 − 2x +1) C ．2(x − 1)2 D ．(2x − 2)2 2. （2011河北）下列分解因式正确的是（ ）A ．）（23a 1-a a a -+=+B ．2a-4b+2=2（a-2b ）C ．()222-a 4-a =D ．()221-a 1a 2-a =+ 3. （2011山东泰安）下列等式不成立．．．的是（ ） A.m 2-16=(m-4)(m+4) B.m 2+4m=m(m+4)C.m 2-8m+16=(m-4)2D.m 2+3m+9=(m+3)24.(浙江金华）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A ．x 2 +1 B.x 2+2x －1 C.x 2+x +1 D.x 2+4x +45. （2011山东济宁）把代数式 322363x x y xy −+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +−B ．223(2)x x xy y −+ C ．2(3)x x y − D ．23()x x y − 6. （2011浙江丽水）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A ．x 2 +1B.x 2+2x －1C.x 2+x +1D.x 2+4x +4二、填空题1. （2011四川绵阳）因式分解：a 3-a =____2. （2011四川凉山州）分解因式：32214a ab ab −+−= 。
3. （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy −+= ．4. （2011湖北黄冈）分解因式8a 2－2=____________________________．5. （2011湖北黄石）分解因式：2x 2-8= 。
6. （2011湖南邵阳）因式分解：a 2-b 2=________。
因式分解技巧及练习题附答案解析
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
15．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式的考察，
【详解】
A、C、D都无法进行因式分解
B中， ，可进行因式分解
故选：B
【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：
完全平方公式：
16．若多项式 含有因式 和 ，则 的值为（）
【详解】
解： ；
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2y3＝2x2⋅4y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【答案】D
C．x2-4x+3=(x-2)2-1D．a2-b2=(a+b)(a-b)
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.
【详解】
解：A.不是因式分解，而是整式的运算
B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0
因式分解-提公因式和公式法专项练习(原卷版)
因式分解-提公因式和公式法专项练习（一）知识点1：因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．【典例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）【变式1-1】下列各式从左到右不属于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【变式1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）知识点2：公因式的公因式是．【典例2-2】4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是．【变式2-1】多项式．4ab2+8a2b的公因式是．【变式2-2】多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是．【变式2-3】多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是．知识点3：提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．【典例3】分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【变式3-1】因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【变式2-2】因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【变式3-3】分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．知识点4：公式法＝．【变式4-1】因式分解：a2﹣169＝．【变式4-2】因式分解：4a2﹣b2＝．【变式4-3】把多项式a2﹣9b2分解因式结果是．【典例5】分解因式：a2+8a+16＝．【变式5-1】因式分解x2﹣6ax+9a2＝．【变式5-2】分解因式：a2﹣6a+9＝．知识点5：提公因式与公式法综合1.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2.公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）【典例6】分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【变式6-1】因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【变式6-2】因式分解：（1）2x3y﹣2xy3（2）﹣a3+2a2﹣a．【变式6-3】分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【变式6-4】因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【达标测评】一．选择题（共8小题）1．（2023秋•泉港区期末）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（）A．4a2B．4abc C．2a2D．4ab 2．（2023秋•莱西市期末）多项式3m2+6mn的公因式是（）A．3B．m C．3m D．3n 3．（2023秋•纳溪区期末）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（）A．（x﹣10）（x+8）B．（x+8）（x+1）C．（x﹣2）（x+4）D．（x+2）（x﹣4）4．（2023秋•泰山区期末）分解因式：64﹣x2正确的是（）A．（8﹣x）2B．（8﹣x）（8+x）C．（x﹣8）（x+8）D．（32+x）（32﹣x）5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）因式分解：mx2﹣4m＝（）A．m（x2﹣4）B．m（x+2）（x﹣2）C．mx（x﹣4）D．m（x+4）（x﹣4）6．（2023秋•哈密市期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1D．x2﹣x＝x（x﹣1）7．（2024•裕华区校级开学）若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（）A．1B．C．D．98．（2023秋•南沙区期末）已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（）A．4B．8C．﹣8D．±8二．填空题（共5小题）9．（2023秋•临潼区期末）式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是．10．（2024•榆阳区校级一模）因式分解：2x2y+10xy＝．11．（2024•西山区校级模拟）分解因式：m3+6m2+9m＝．12．（2023秋•哈密市期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．13．（2024•临潼区一模）因式分解：3a2﹣12＝．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式：（1）4a3﹣16ab2；（2）3（x﹣1）2+12x．15．（2023秋•洪山区期末）因式分解．（1）x3﹣2x2y+xy2（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）16．（2023秋•寻乌县期末）因式分解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x；（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）．。
知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)
知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)1．分解因式：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x）=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；分解因式：a2+4ab+4b2=（a+2b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：常规题型。
分析：把（x﹣y）看作一个整体并提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x），=m2（x﹣y）﹣4n2（x﹣y），=（x﹣y）（m2﹣4n2），=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；a2+4ab+4b2=（a+2b）2．故答案为：（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n），（a+2b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．2．分解因式：a5﹣a=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
专题：因式分解。
分析：先提取公因式a，再根据平方差公式进行三次分解．解答：解：a5﹣a=a（a4﹣1）=a（a2+1）（a2﹣1）=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行多次分解，注意分解要彻底．3．（2011•湖州）因式分解：a3﹣9a．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：首先提公因式a，然后即可利用平方差公式进行分解．解答：解：原式=a（a2﹣9）（3分）=a（a+3）（a﹣3）．（3分）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．4．（2010•清远）分解因式：2x3y﹣2xy3．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x3y﹣2xy3，=2xy（x2﹣y2），=2xy（x+y）（x﹣y）．点评：此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（2010•河源）分解因式：a3﹣ab2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。
因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a 2-b 2 (2) 完全平方公式：(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 (3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)（5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
八上数学每日一练：提公因式法与公式法的综合运用练习题及答案_2020年填空题版
八上数学每日一练：提公因式法与公式法的综合运用练习题及答案_2020年填空题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年八上数学：数与式_因式分解_提公因式法与公式法的综合运用练习题1.(2020乌海.八上期末) 分解因式：9m -4m=________。
考点：提公因式法与公式法的综合运用;2.(2020龙岩.八上期末) 因式分解：________；考点： 提公因式法与公式法的综合运用;3.(2020淮滨.八上期末) 分解因式：3x -6x+3=________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;4.(2020南召.八上期末) 因式分解：ax -4ax+4a=________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;5.(2020息.八上期末) 分解因式 -2a +8ab-8b =________.考点： 提公因式法与公式法的综合运用;6.(2020安陆.八上期末) 因式分解：a +2a +a=________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;7.(2020盘锦.八上期末) 因式分解：2x ﹣8=________；（x +1）﹣4x =________；x ﹣x ﹣12=________．考点：提公因式法与公式法的综合运用;8.(2019椒江.八上期末) 因式分解：________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;9.(2019大连.八上期末) 分解因式：________.考点： 提公因式法与公式法的综合运用;10.(2019道里.八上期末) 把多项式4m ﹣16n 分解因式的结果是________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;2020年八上数学：数与式_因式分解_提公因式法与公式法的综合运用练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：32223222222224.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。
因式分解经典题及解析
2013组卷1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________ ．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________ ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________ ．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________ ，由②到③这一步的根据是_________ ；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________ ；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．13．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．答案1．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．x=时多项式的值为×6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幂的乘法法则；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是（1+x）2007；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．12．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．。
提取公因式法同步练习及参考解析
提取公因式法同步练习及参考解析学习能够如此来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。
查字典数学网编辑了提取公因式法同步练习及参考答案，期望对您有所关心!基础训练1.多项式8x3y2-12xy3z的公因式是_________.2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c3.下列用提公因式法因式分解正确的是( )A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)4.下列多项式应提取公因式5a2b的是( )A.15a2b-20a2b2B.30a2b3-15ab4-10a3b2C.10a2b-20a2b3+50a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b25.下列因式分解不正确的是( )A.-2ab2+4a2b=2ab(-b+2a)B.3m(a-b)-9n(b-a)=3(a-b)(m+3n)C.-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab(-3ax-5b2y);D.3ay2-6ay-3a=3a(y2-2y-1)6.填空题：(1)ma+mb+mc=m(________); (2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是____ _____;(3)3a2-6ab+a=_________(3a-6b+1);(4)因式分解：km+kn=_________;(5)-15a2+5a=________(3a-1); (6)运算：213.14-313.14=_________.7.用提取公因式法分解因式：(1)8ab2-16a3b3; (2)-15xy-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab; (4)-3a3m-6a2m+12am.8.因式分解：-(a-b)mn-a+b.提高训练9.多项式m(n-2)-m2(2-n)因式分解等于( )A.(n-2)(m+m2)B.(n-2)(m-m2)C.m(n-2)(m+1)D.m(n-2)(m-1)10.将多项式a(x-y)+2by-2bx分解因式，正确的结果是( )A.(x-y)(-a+2b)B.(x-y)(a+2b)C.(x-y)(a-2b)D.-(x-y)(a+2b)11.把下列各式分解因式：(1)(a+b)-(a+b)2; (2)x(x-y)+y(y-x);(3)6(m+n)2-2(m+n); (4)m(m-n)2-n(n-m)2;(5)6p(p+q)-4q(q+p).应用拓展12.多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于( )A.2an-1B.-2anC.-2an-1D.-2an+113.用简便方法运算：3937-1334=_______.14.因式分解：x(6m-nx)-nx2.参考答案1.4xy22.C3.C4.A5.C6.(1)a+b+c (2)8pq3 (3)a (4)k(m+n)(5)-5a (6)-31.47.(1)8ab2(1-2a2b) (2)-5x(3y+x)(3)ab(a2b2+ab-1) (4)-3am(a2+2a-4)8.-(a-b)(mn+1)9.C10.C11.(1)(a+b)(1-a-b) (2)(x-y)2 (3)2(m+n)(3m+3n-1)宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
精品-八年级数学上册-因式分解----提公因式法-同步讲义+同步练习题
因式分解----提公因式法知识点：因式分解： ，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.)1)(1(12-+−−−→−-x x x 因式分解 )1)(1(12-+−−−−←-x x x 整式乘法提公因式法：多项式mc mb ma ++中的各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.)(c b a m mc mb ma ++=++就是把mc mb ma ++分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式)(c b a ++是mc mb ma ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.公式：提公因式法注意事项：(1)系数：(2)相同字母或式子：(3)首项有负号时：例1.下列变形是否是因式分解？为什么，(1))3(322x x y y xy y x -=+-；(2)2)1(3222+-=+-x x x ；(3))1)(1(1222-+=-+xy xy xy y x ；(4)n n n x xn x x x x +-=+-++122)1(.例2.用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ay ax -； (2)236xz xyz -; (3)y x z x 43+-；(4)ab abx aby 61236+-； (5))(2)(3a b y b a x -+-； (6)))(())((m y m x m y m x m x -----(7)3()()m x y n y x --- (8)7(a －3) – b (a －3) (9)()()y x y y x x ---2(10)()()()()q p n m q p n m -+-++ (11)324(1)2(1)q p p -+- (12)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)例3.已知3)(,7)(22=-=+b a b a ,求ab 与22b a +的值。
例4.已知03410622=++-+n m n m ，求2m-3n 的值.例5.已知：22322)(,b a b a x x x x x x =÷=÷，其中x>0，且1≠x 。
2024年初中升学考试专题复习数学总复习(按知识点分类)提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用10．（2023•赤峰）分解因式：x3－9x＝x（x＋3）（x－3）．【答案】见试题解答内容【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．【解答】解：原式＝x（x2－9）＝x（x＋3）（x－3），故答案为：x（x＋3）（x－3）．【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．提公因式法与公式法的综合运用3．（2023•东营）因式分解：3ma2－6mab＋3mb2＝3m（a－b）2．【答案】3m（a－b）2．【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：3ma2－6mab＋3mb2＝3m（a2－2ab＋b2）＝3m（a－b）2，故答案为：3m（a－b）2．【点评】本题考查因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．4．（2023•辽宁）分解因式：m3－4m2＋4m＝m（m－2）2．【答案】见试题解答内容【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：m3－4m2＋4m＝m（m2－4m＋4）＝m（m－2）2．故答案为：m（m－2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．提公因式法与公式法的综合运用13．（2023•宜宾）分解因式：x3﹣6x2+9x＝x（x﹣3）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，＝x（x2﹣6x+9），＝x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．提公因式法与公式法的综合运用15．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．16．（2023•武威）因式分解：ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．【解答】解：ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．提公因式法与公式法的综合运用16．（2023•邵阳）因式分解：3a2+6ab+3b2＝3（a+b）2．【答案】见试题解答内容【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：3a2+6ab+3b2，＝3（a2+2ab+b2），＝3（a+b）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．提公因式法与公式法的综合运用10．（2023•张家界）因式分解：x2y+2xy+y＝y（x+1）2．【答案】y（x+1）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：x2y+2xy+y＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2．故答案为：y（x+1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．提公因式法与公式法的综合运用)−1+(4−π)0；6．（2023•齐齐哈尔）（1）计算：|√3−1|−4sin30°+(12（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．【答案】（1）√3；（2）2a（a﹣3）2．【分析】（1）根据绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．+2+1【解答】解：（1）原式=√3−1﹣4×12=√3−1﹣2+2+1=√3；（2）原式＝2a（a2﹣6a+9）＝2a（a﹣3）2．【点评】本题考查实数的运算及因式分解，特别注意因式分解必须彻底．提公因式法与公式法的综合运用11．（2023•菏泽）因式分解：m3﹣4m＝m（m+2）（m﹣2）．【答案】m（m+2）（m﹣2）【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），故答案为：m（m+2）（m﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2023•常德）分解因式：a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2．【答案】a（a+b）2．【分析】先提取公因式a，再运用完全平方公式分解．【解答】解：a3+2a2b+ab2＝a（a2+2ab+b2）＝a（a+b）2．故答案为：a（a+b）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．提公因式法与公式法的综合运用15．（2023•眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝x（x﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．故答案为：x（x﹣2）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。
考点04 提公因式法与公式法的综合运用(原卷版)
考点04 提公因式法与公式法的综合运用1.（2020-2021·福建·月考试卷）把4a2−16因式分解的结果是()A.4(a2−4)B.(2a+4)(2a−4)C.4(a−2)2D.4(a+2)(a−2)2.（2020-2021·河南·月考试卷）若ab=2，a−b=1，则代数式a3b−2a2b2+ab3的值为()A.2B.3C.4D.53.（2020-2021·山东·期末试卷）我们所学的多项式因式分解的方法主要有：①提公因式法；①平方差公式法；①完全平方公式法．现将多项式(x−y)3+4(y−x)进行因式分解，使用的方法有（）A.①①B.①①C.①①D.①①①4.（2020-2021·河南·月考试卷）把代数式mx2−6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是()A.m(x+3)2B.m(x+3)(x−3)C.m(x−4)2D.m(x−3)25.（2020-2021·河南·期中试卷）将多项式a2b−b3分解因式的结果是（）A.b(a2−b2)B.b(a−b)2C.(ab+b)(a−b)D.b(a+b)(a−b)6.（2019-2020·黑龙江·同步练习）把a3−2a2+a分解因式的结果是（）A.a2(a−2)+aB.a(a2−2a)C.a(a+1)(a−1)D.a(a−1)27.（2019-2020·黑龙江·同步练习）下列分解因式不正确的是（）A.x2−16=(x+4)(x−4)B.a2−1=(a+1)(a−1)C.x2−9=(x−3)(x+3)D.2x2−8=2(x2−4)8.（2019-2020·黑龙江·单元测试）下列等式中，因式分解正确的是（）A.x2y=x2(y+1x) B.x4−y4=(x2+y2)(x+y)(x−y)C.x2−12x+14=(x−12)2D.−13a−9a4=−a(13−9a3)9.（2020-2021·湖南·月考试卷）因式分解：m3n−mn=________.10.（2020-2021·江苏·月考试卷）分解因式2x2+4x+2=________．11.（2020-2021·湖南·期中试卷）因式分解：a2(a−b)+9(b−a)=________.12.（2020-2021·上海·期中试卷）因式分解：2a3−4a2b+2ab2=________．13.（2019-2020·黑龙江·单元测试）m，n满足|m+2|+(n−4)2=0，因式分解(x2+y2)−(mxy+ n)=________．14.（2019-2020·四川·同步练习）一个多项式因式分解的结果是(b3+2)(2−b3)，那么这个多项式是____________.15.（2019-2020·四川·同步练习）9(a−b)2+12(a2−b2)+4(a+b)2因式分解的结果是____________.16.（2020-2021·河北·期末试卷）分解因式.(1)5x2+10x+5；(2)(a+4)(a−4)+3(a+4).17.（2020-2021·湖北·月考试卷）分解因式：(1)ax2−2ax+a；(2)2m(a−b)−6n(b−a).18.（2020-2021·福建·月考试卷）因式分解：(1)4a2x2−16a2y2；(2)(2x−1)2−6(2x−1)+9.19.（2020-2021·山西·期末试卷）下面是小华同学分解因式9a2(x−y)+4b2(y−x)的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式=9a2(x−y)+4b2(x−y)①=(x−y)(9a2+4b2)①=(x−y)(3a+2b)2．①任务一：以上解答过程从第________步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．20.（2020-2021·河北·月考试卷）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解．如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：.x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)分解因式：x2−4y2−2x+4y；(2)△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．。
提公因式法与公式法的综合运用-北京习题集-教师版
提公因式法与公式法的综合运用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•海淀区期末）在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是( )A ．2224(2)x x x ++=+B ．24(4)(4)x x x -=+-C ．2244(2)x x x -+=-D ．224(2)x x +=+2．（2019秋•北京期末）能用平方差公式分解因式的多项式是( )A ．221x x -+B ．29x +C ．ax ay -D ．24x -+3．（2017春•平谷区期末）下列因式分解正确的是( )A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．2221(1)x x x -+=-C ．2222(1)1a a a -+=-+D ．2482(24)a a a a -=-4．（2017春•昌平区校级期中）下列分解因式错误的是( )A ．2222()()()x y x y x y x y --=--=-+-B ．21555(31)a a a a +=+C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．3222(1)a a a a a -+=-5．（2016•大兴区一模）把多项式32x xy -分解因式， 下列结果正确的是( )A ．2()x x y +B ．2()x x y -C ．()()x x y x y -+D ．22()x x y -6．（2016秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是( )A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+-C ．22244(2)a ab b a b -+=-D ．256(5)6x x x x --=--7．（2016春•顺义区期末）下列因式分解正确的是( )A ．29(3)(3)b b b -=-+B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2222(1)1a a a -+=-+D ．2482(24)a a a a -=-二．填空题（共4小题）8．（2020•北京模拟）因式分解：39a a -= ．9．（2020•北京模拟）分解因式：2x y y -= ．10．（2020•东城区校级模拟）把2363a b ab b -+因式分解的结果是 ．11．（2020•海淀区校级模拟）因式分解：24ab a -= ．三．解答题（共3小题）12．（2019秋•海淀区期末）（1）计算：08611(3)33()3π---÷+； （2）因式分解：22312x y -．13．（2019秋•北京期末）分解因式：（1）3x x -；（2）2363x y xy y -+．14．（2019秋•北京期末）阅读下列材料分解因式：3416x x -小云的做法：原式3164x x =-①24(41)x x =-②4(21)(21)x x x =-+③小朵的做法：原式4x = 2(14)x -①4(14)x x =- (14)x +②小天的做法：原式x = 2(416)x -①22[2(4)]x x =-②(24)x x =- (24)x +③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小朵的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小天的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．提公因式法与公式法的综合运用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•海淀区期末）在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是( )A ．2224(2)x x x ++=+B ．24(4)(4)x x x -=+-C ．2244(2)x x x -+=-D ．224(2)x x +=+【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式不能分解，不符合题意； B 、原式(2)(2)x x =+-，不符合题意；C 、原式2(2)x =-，符合题意；D 、原式不能分解，不符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2019秋•北京期末）能用平方差公式分解因式的多项式是( )A ．221x x -+B ．29x +C ．ax ay -D ．24x -+【分析】利用平方差公式判断即可．【解答】解：A 、原式2(1)x =-，不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式()a x y =-，不符合题意；D 、原式(2)(2)x x =-++，符合题意，故选：D ．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．（2017春•平谷区期末）下列因式分解正确的是( )A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．2221(1)x x x -+=-C ．2222(1)1a a a -+=-+D ．2482(24)a a a a -=-【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式不是分解因式，不符合题意； B 、原式2(1)x =-，符合题意；C 、原式不能分解，不符合题意；D 、原式4(2)a a =-，不符合题意．故选：B ．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．（2017春•昌平区校级期中）下列分解因式错误的是( )A ．2222()()()x y x y x y x y --=--=-+-B ．21555(31)a a a a +=+C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．3222(1)a a a a a -+=-【分析】根据分解因式的步骤：先提公因式，后用公式法进行分解即可．【解答】解：A 、2222()x y x y --=-+，不能分解，故原题分解错误，故此选项符合题意；B 、21555(31)a a a a +=+，分解正确，故此选项不合题意；C 、()(1)()k x y x y k x y +++=++分解正确，故此选项不合题意；D 、32222(21)(1)a a a a a a a a -+=-+=-分解正确，故此选项不合题意；故选：A ．【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握添括号时，添上括号和负号，放进括号里的各项都变号．5．（2016•大兴区一模）把多项式32x xy -分解因式， 下列结果正确的是( )A ．2()x x y +B ．2()x x y -C ．()()x x y x y -+D ．22()x x y -【分析】原式提取公因式， 再利用平方差公式分解即可 ．【解答】解： 原式22()x x y =-()()x x y x y =+-，故选：C ．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用， 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 ．6．（2016秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是( )A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+-C ．22244(2)a ab b a b -+=-D ．256(5)6x x x x --=--【分析】利用分解因式的方法，首先提取公因式，进而利用公式法分解因式即可；结合利用十字相乘法、完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：A 、3221055(21)a a a a +=+，故此选项错误；B 、249(23)(23)x x x -=+-，故此选项错误；C 、22244(2)a ab b a b -+=-，正确；D 、256(6)(1)x x x x x --=-+，故此选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．7．（2016春•顺义区期末）下列因式分解正确的是( )A ．29(3)(3)b b b -=-+B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2222(1)1a a a -+=-+D ．2482(24)a a a a -=-【分析】A 、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断；B 、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断；C 、原式不能分解，错误；D 、原式提取公因式得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式(3)(3)b b =+-，正确；B 、原式(1)(1)x x =+-，错误；C 、原式不能分解，错误；D 、原式4(2)a a =-，错误，故选：A ．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共4小题）8．（2020•北京模拟）因式分解：39a a -= (3)(3)a a a +- ．【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(9)a a =-(3)(3)a a a =+-，故答案为：(3)(3)a a a +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2020•北京模拟）分解因式：2x y y -= (1)(1)y x x +- ．【分析】首先提取公因式y ，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：2x y y -2(1)y x =-(1)(1)y x x =+-．故答案为：(1)(1)y x x +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10．（2020•东城区校级模拟）把2363a b ab b -+因式分解的结果是 23(1)b a - ．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式223(21)3(1)b a a b a =-+=-，故答案为：23(1)b a -【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（2020•海淀区校级模拟）因式分解：24ab a -= (2)(2)a b b +- ．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)a b =-(2)(2)a b b =+-，故答案为：(2)(2)a b b +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三．解答题（共3小题）12．（2019秋•海淀区期末）（1）计算：08611(3)33()3π---÷+； （2）因式分解：22312x y -．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式21331935=-+=-+=-；（2）原式223(4)3(2)(2)x y x y x y =-=+-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2019秋•北京期末）分解因式：（1）3x x -；（2）2363x y xy y -+．【分析】（1）原式提取x ，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取3y ，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式2(1)(1)(1)x x x x x =-=+-；（2）原式223(21)3(1)y x x y x =-+=-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2019秋•北京期末）阅读下列材料分解因式：3416x x -小云的做法：原式3164x x =-①24(41)x x =-②4(21)(21)x x x =-+③小朵的做法：原式4x = 2(14)x -①4(14)x x =- (14)x +②小天的做法：原式x = 2(416)x -①22[2(4)]x x =-②(24)x x =- (24)x +③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从 ① 步出现错误的，错误的原因是： ．小朵的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小天的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．【分析】（1）观察小云的解题过程，找出出错的步骤，分析原因即可；（2）写出正确的解题过程即可．【解答】解：（1）小云的解题过程从①步出现错误的，错误的原因是：提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式；小朵的解题过程从②步出现错误的，错误的原因是平方差公式用错；小天的解题过程从③步出现错误的，错误的原因是：分解因式不完整还可以继续分解；（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．原式24(14)4(12)(12)x x x x x =-=-+．故答案为：（1）①，提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式；②，错误的原因是平方差公式用错；③，分解因式不完整还可以继续分解；【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
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A．
y（x2﹣2xy+y2）
B．
x2y﹣y2（2x﹣y）
C．
y（x﹣y）2
D．
y（x+y）2
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
解答：
解：x2y﹣2y2x+y3
=y（x2﹣2yx+y2）
=y（x﹣y）2．
故选：C．
点评：
本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
B．
2（a2﹣2a）
C．
a（2a﹣4）
D．
（a﹣2）（a+2）
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
2a2﹣4a中两项的公因式是2a，提取公因式即可分解．
解答：
解：2a2﹣4a=2a（a﹣2）．
故选A．
点评：
本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．
5．（2013•崇左）因式分解a3﹣a的结果是（ ）
故选D．
点评：
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
3．（2013•佛山）分解因式a3﹣a的结果是（ ）
A．
a（a2﹣1）
B．
a（a﹣1）2
C．
a（a+1）（a﹣1）
D．
（a2+a）（a﹣1）
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
解答：
解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），
故选：C．
点评：
此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
4．（2012•邵阳）把2a2﹣4a因式分解的最终结果是（ ）
A．
2a（a﹣2）
A．
a2
B．
a（a2﹣1）
C．
a（a+1）（a﹣1）
D．
a（a﹣1）2
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
首先提取公因式a再利用平差公式分解因式即可．
解答：
解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）．
故选：C．
点评：
此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，正确利用公式法分解因式是解题关键．
C．
a（2a﹣4）
D．
（a﹣2）（a+2）
5．（2013•崇左）因式分解a3﹣a的结果是（ ）
A．
a2
B．
a（a2﹣1）
C．
a训练】提公因式法与公式法的综合运用-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（ ）
B．
a（a2﹣2a）
C．
a（a+1）（a﹣1）
D．
a（a﹣1）2
3．（2013•佛山）分解因式a3﹣a的结果是（ ）
A．
a（a2﹣1）
B．
a（a﹣1）2
C．
a（a+1）（a﹣1）
D．
（a2+a）（a﹣1）
4．（2012•邵阳）把2a2﹣4a因式分解的最终结果是（ ）
A．
2a（a﹣2）
B．
2（a2﹣2a）
2．（2013•贺州）把a3﹣2a2+a分解因式的结果是（ ）
A．
a2（a﹣2）+a
B．
a（a2﹣2a）
C．
a（a+1）（a﹣1）
D．
a（a﹣1）2
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
解答：
解：a3﹣2a2+a
=a（a2﹣2a+1）
=a（a﹣1）2．
【考点训练】提公因式法与公式法的综合运用-1
一、选择题（共5小题）
1．（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（ ）
A．
y（x2﹣2xy+y2）
B．
x2y﹣y2（2x﹣y）
C．
y（x﹣y）2
D．
y（x+y）2
2．（2013•贺州）把a3﹣2a2+a分解因式的结果是（ ）
A．
a2（a﹣2）+a