2.2-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 秋学期高中数学必修4(人教A版)学案

A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋2(a ＋b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
答案：C
2．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，则向量DC →
＝( )
A.12
BA →＋BC →
B.12BA →－BC → C ．－12BA →－BC →
D ．－12
BA →＋BC → 解析：因为D 是AB 的中点，所以BD →＝12
BA →
， 所以DC →＝BC →－BD →＝BC →－12
BA →
. 答案：D
3．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D
B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
解析：因为AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，
所以AC →＝AB →＋BC →＝－4a ＋8b ，BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝BD →＝2AB →
， 所以A ，B ，D 三点共线．
答案：A
4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( ) A.PA →＋PB →
＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →
＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0
解析：如图，因为BC →＋BA →＝2BP →
，
所以P 是线段AC 的中点，
所以PA →＝－PC →，即PC →＋PA →
＝0.
答案：B
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段
OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →
＝
( )
A.13a ＋b
B.12
a ＋b
C ．a ＋13b
D ．a ＋12
b 解析：由已知条件可知BE ＝3DE ，
所以DF ＝13
AB ， 所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13
a ＋
b . 答案：A
二、填空题
6．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝______b .
解析：因为|a |＝5，|b |＝7，所以|a ||b |＝57
， 又方向相反，所以a ＝－57
b . 答案：－57
7．设向量a ，b 不平行，向量λ a ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．
解析：因为λ a ＋b 与a ＋2b 平行，
所以λ a ＋b ＝t (a ＋2b )，即λ a ＋b ＝t a ＋2t b ，
所以⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.
答案：12
8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →
＝0，若存在实数m
使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m 的值为________．
解析：因为MA →＋MB →＋MC →
＝0，所以点M 是△ABC 的重心，所以AB →＋AC →＝3AM →
，所以m ＝3.
答案：3
三、解答题
9．(1)已知3(x ＋a )＋3(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0(其中a ，b 为已知向量)，求x ；
(2)已知⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝a ，2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，求x ，y . 解：(1)原方程可化为3x ＋3a ＋3x －6a －4x ＋4a －4b ＝0，
即2x ＋a －4b ＝0，所以x ＝2b －12
a . (2)⎩⎨⎧3x ＋4y ＝a ，①2x －3y ＝
b ，②
由②得y ＝23x －13
b ， 代入①，得3x ＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x －13b ＝a ， 所以3x ＋83x －43
b ＝a ，即17x ＝4b ＋3a ， 所以x ＝417b ＋317
a ， 所以y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫417
b ＋317a －13
b ＝851b ＋217a －13b ＝217a －317b .
10．已知e ，f 为两个不共线的向量，且四边形ABCD 满足AB →
＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →
＝－5e －3f .
(1)将AD →
用e ，f 表示；
(2)求证：四边形ABCD 为梯形．
(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .
(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →
，
所以AD →与BC →同向，且AD →的长度为BC →
长度的2倍，
所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，
所以四边形ABCD 是梯形．
B 级 能力提升
1．如图，△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是( )
A.BG →＝23
BE →
B.CG →＝2GF →
C.DG →＝12AG →
D.13DA →＋23FC →＝12
BC → 解析：因为G 是△ABC 的重心，
所以BG ＝23BE ，CG ＝2GF ，DG ＝12
AG ， 所以BG →＝23BE →，CG →＝2GF →，DG →＝－12
AG →
， 所以13DA →＋23FC →＝DG →＋GC →＝DC →＝12
BC →
.所以C 不正确． 答案：C
2．若AP →＝tAB →(t ∈R)，O 为平面上任意一点，则OP →
＝________(用OA →，OB →
表示)．
解析：AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →
.
答案：(1－t )OA →＋tOB →
3．设a ，b 是不共线的两个非零向量．
(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →
＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线；
(2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值；
(3)若OM →＝ma ，ON →＝nb ，OP →
＝α a ＋β b ，其中m ，n ，α，β均
为实数，m ≠0，n ≠0，若M ，P ，N 三点共线，求证：αm ＋βn
＝1. (1)证明：因为AB →＝OB →－OA →
＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ， 而BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－(2a ＋4b )＝－2AB →，
所以AB →与BC →
共线，且有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．
(2)解：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，
所以存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，
即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.因为a 与b 不共线，
所以⎩⎨⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，
解得λ＝±2，所以k ＝2λ＝±4.
(3)证明：因为M ，P ，N 三点共线，O 为直线外一点，
所以存在实数x ，y ，使得OP →＝xOM →＋yON →
，且x ＋y ＝1.
又因为OP →
＝α a ＋β b ，且a ，b 不共线，
所以OP →
＝xma ＋ynb ＝α a ＋β b ，所以xm ＝α，yn ＝β，
所以αm ＋βn
＝x ＋y ＝1.。