精品 公开课课件 第1课时 二次根式的乘法
《二次根式的乘除》二次根式PPT(第1课时)
6
6 7
___÷___=____;
7
6
.
10
4.9 .
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
法
二次根
式乘法
则
拓展法则
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
⋅ ⋅ ⋯⋅ = ⋅ ⋅⋯⋅
（ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0）
⋅ = （ ≥ 0, ≥ 0൯
性
质
= ⋅ （ ≥ 0, ≥ 0൯
(2) 3 + 6 2 + 9 2 ≥ 0, ≥ 0
解：（1） 532 − 282 =
53 − 28)(53 + 28
= 53 − 28 × 53 + 28 = 25 × 81 = 45.
（2） 3 + 6 2 + 9 2 =
+ 3
2
= ( + 3) .
注意：a，b都必须是非负数.
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
新课导入
问题引入
站在水平高度为 h m的地方看到可见的水平距离为d 米，
它们近似地符合公式为 = 8
ℎ
5
.
ℎ
5
问题1 某一登山者爬到海拔100m处，即 =
20 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根
号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
m a n b mn ab a 0, b 0
知识讲解
例3
比较大小(一题多解):
人教版数学八年级下册课件1二次根式的乘除(16张)
2利利二、用用次利二 二 根用次次式二根根的次式式乘根乘乘法式法法乘法法则法则则变法解对形则决其对实进其际行进问化行题简计化。算简。下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
二次根式性的质乘知法识法点则回变顾形
利在用本二 章次中根，式如乘果法没法有则特对别其说进明行，化所简有。的字母都表示正数.
2在、本利章用中二，次如根果式没乘有法特法别则说对明其，进所行有化的简字。母都表示正数.
无结果
无结果
二在次本根 章式中性，质如知果识没点有回特顾别说明，所有的字母都表示正数.
01 二次根式的乘法法则
注意公式成立条件 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
这个结果还能化简吗？
01 二次根式的乘法法则变形
注意公式成立条件
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
01 化简二次根式的步骤
20
20
2利、用利二用次二根次式根乘式法乘法法则法对则其对进其行进化行简化。简。
12
12
计第算十下 六列章各二式次，根观式察计算结果，你能发现什么规律？
二计次算根 下式列的各乘式法，法观则察变计形算结果，你能发现什么规律？
30
30
第十六章 二次根式 2利、用利二用次二根次式根乘式法乘法法则法解则决对实其际进问行题化简。
第十六章 二次根式
二次根式的乘除 （第1课时）
目录
学习目标 LEARNING OBJECTIVES
01 1、理解二次根式乘法法则。
2、利用二次根式乘法法则对其进行化简。
02
重点 A KEY
理解二次根式乘法法则。
03
难点 DIFFICULTY
利用二次根式乘法法则对其进行化简。
16.2 第1课时 二次根式的乘法
第十六章二次根式.)0b.,≥..相乘..k a b k⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（例2 计算:(273.⎛⎝(n b mn=例3 比较大小(一题多解):533与；(2)3 6.--方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1.( )B.4 D.22.下面计算结果正确的是( )A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅baabba()______0,0_a b=吵要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 (教材P7例2变式题)化简：（12()00x y ,≥≥ ．方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. 1. 计算：2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，，求出它的面积.a bc n abc ⋅⋅⋅=()m a n b mn =A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数2.下列运算正确的是（）A.532-=(2)(4)8=-⨯-=5315=⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--第十七章勾股定理米的草坪，有极少数（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ” 思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’．求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ．证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°， 根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________.∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)．例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离.探究点3：利用勾股定理求最短距离 想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？2.若已知圆柱体高为12 c m ，底面半径为3 c m ，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 例3 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m ，高AB 是5 m ，π取3）?变式题 小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？距离是（ ）A .24mB .12mC m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这只铅笔的长度可能是（ ）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？10cm和6cm ，A 和B温馨提示：配套课件及全册导学案WORD 版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下载)版见光盘无须登录，直接下。
二次根式的乘法-PPT课件
12．已知 m＝(－ 33)×(－2 21)，则有( A ) A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 13．将式子(a－1) 1－1 a中根号外的式子移入根号内的正确结果是 (C ) A. 1－a B. a－1 C．－ 1－a D．－ a－1
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
(3) 12m3n2(m＞0，n＞0)． 解：2mn 3m
6
9．若 x· x－3＝ x（x－3），则 x 应满足的条件是( D ) A．x≥0 B．x≤0 C．0≤x≤3 D．x≥3 10．若 24· a的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是( D ) A．1 B．2 C．3 D．6 11．设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 54，下列表示正确的 是( B ) A．4ab B．3ab C．9ab D．10ab
第1课时 二次根式的乘法
1
知识点 1：二次根式的乘法法则 1．计算 8× 2的结果是( B ) A. 10 B．4 C. 6 D．2 2．下列各等式成立的是( D ) A．4 5×2 5＝8 5 B．5 3×4 2＝20 5 C．4 3×3 2＝7 5 D．5 2×4 3＝20 6 3．计算 8× 12＋( 2)0 的结果为( C ) A．2＋ 2 B. 2＋1 C．3 D．5
2
4．(例题 1 变式)计算：
(1) 2× 32； (2) 5× 290；
解：(1)8
3 (2)2
(3)3 2×2 7；
(4)9 xy·
1 y.
解：(3)6 14 (4)9 x
3
知识点 2：积的算术平方根 5．下列各式正确的是( D )
A. （－4）×（－9）＝ －4× －9
B.
2024版《二次根式的乘除》二次根式PPT(第1课时)
《二次根式的乘除》二次根式PPT(第1课时)•二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式化简方法•实际应用问题中二次根式求解策略•课堂小结与拓展延伸01二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的代数式叫做二次根式。
注意被开方数$a$是非负数。
表示方法二次根式用根号“$sqrt{}$”来表示，根号下的数或代数式叫做被开方数。
二次根式性质介绍非负性01$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$），即二次根式的值总是非负的。
乘法定理02$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$b geq0$），即两个非负二次根式的乘积等于它们被开方数的乘积的算术平方根。
除法定理03$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$），即一个非负二次根式除以一个正二次根式等于它们被开方数的商的算术平方根。
例题1解析例题2解析典型例题解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据乘法定理，有$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
根据除法定理，有$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} =2$。
02二次根式乘法运算规则运算步骤确认两个二次根式是否为同类根式，即被开方数是否相同。
示例：$sqrt{2} times sqrt{8} = sqrt{2 times 8} = sqrt{16} = 4$若为同类根式，则直接应用乘法公式进行计算。
乘法公式：$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$同类二次根式乘法运算不同类二次根式乘法运算确认两个二次根式是否为不同类根式，即被开方数是否不同。
人教版八年级下册16.2.第1课时二次根式的乘法课件
2.化简二次根式注意事项： (1)将被开方数尽可能地分解成几个平方数.
(2)应用 ab a b(a 0, b 0)
a2 a (a 0) 将平方项化简
当堂检测
1. 14 7
2.3 5 2 10
3. 3x 1 xy
3 同学们自己来算吧！
看谁算得既快又准确！
a • b = a b ( a(≥a≥00,,bb≥≥0)0 ).
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
积的算术平方根的性质
一般的： ab a b （a≥0，b≥0）
积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积.
反过来： a b ab （a≥0，b≥0）
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
例2 计算：(1) 2 3 5 21 (2) 3 2 ( 18)
4
解 ( 1 ) 2 3 5 21 = 25 321 = 10 327 = 30 7 .
(2)
3
2 (-
18 4
)
=
3(-1) 4
2
18
= -3
4
218
=
-系数，就把 系数相乘，仍旧作为二次 根号前的系数。
例3 已知一张长方形图片的长
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
被开方数因数分解（或因式分解），凑出平 如果根号前有系数，就把系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数。
教科书第10页习题16.
方数（或平方式）。
计 算：
( 1 ) 3 15；
答案：3 5
计算：
( 2 ) 6 12；
答案：12 3
计算：
( 3 ) 3 2 2 10 5 .
二次根式的乘除PPT经典教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
自主展示
例4：计算
1 6 15
2 1 24
2
3 a3 ab(a 0,b ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0)
第11页
自主展示
1.计算
1 14 35
(2)2 3 1 3
(3)2 5a 10a (a 0)
(4) 18x y 2 x2 xy (x y 0)
第12页
自主展示
2.化简
1 72 2 192 172 3 9x4 y4
1 x
结果是 1. x
第20页
自主拓展
4.探究过程：观察以下各式及其验证过程．
12 2 2 2
3
3
23 3 3 3
8
8
34 4 4 4
15
15
45 5 5 5 …
24
24
经过上述探究你能猜测出： 并验证你结论．
第21页
自主评价
一路下来，我们认识了很多新知识， 你能谈谈自己收获吗？说一说，让大家 一起来分享。
第22页
课堂小结
二次根式乘法法则：
a • b ab(a 0,b 0)
逆用乘法法则:
ab a • b(a 0,b 0)
第23页
作业布置 书本：67页 1、2．
第24页
自主探究
1.计算：
4 25 10
16 9 12
2
2
•
3 2
3 5
2 5
2.归纳猜测：
4 25 10
16 9 12
2
2 2
•
3
2
5
3 5
乘法法则：a • b ab(a 0,b 0)
文字语言叙述：
二次根式相乘,实际上就是把被开方 数相乘,而根号不变．
二次根式的乘法 公开课一等奖课件
学习难点
二次根式的乘法与积的算术 平方根的关系及应用．
探索学习
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
1. 16 × 25 =_2_0__, 16 25 = 20 .
2. 9 × 49 =__2_1_, 9 49 = 21 .
用你发现的规律填空,并用计算器验算
(1). 2 × 5 ＝ 10 . (2). 3 × 7 ＝ 21 .
A.1到2之间 C.3到4之间
B.2到3之间 D.4到5之间
5.比较大小
2 3 __＜___3 2
- 3 3 __＜___ 2 6
特别提示
根号外面的正数可以平方后移入根号 内与内面的式子相乘.若根号外面的负数则 将“负”号留在外面.如:
2 3 4 3 12 - 3 3 9 3 27
基础知识 一.二次根式乘法法则
a b = ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数 积的算术平方根.
知识拓展
a b k a bk
算术平方根的积等于各个被开方数 积的算术平方根.
智能抢答
abc与 a× b× c 是否相等？ a,b,c有什么限制？ 答:不一定相等.
当a,b,c同为正数或0时 才一定相等.
非
= 36
负
=6
数
思维训练 计算:
(1) 14 7 (2) 3 5 2 10
(3) 3x
1 xy 3
同学们自己来算吧！看谁算得 既快又准确！
特别提示
化简二次根式的步骤: 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 a b a b
3.将平方项应用 a 2 a ( a 0 ) 化简.
过程展示
解:(1) 16 81 16 81
21.2.1《二次根式的乘法》ppt课件
（1）二次根式乘法乘法法则：
a • b ab;(a 0,b0)
（2）积的算数平方根的性质：
ab a • b;(a 0,b0)
1、若 ab ＝ a • b 则 a≥0 ， b≥0 ；
a 若 2 ＝a,则 a ≥0
2、等式 x(x 3) ＝ x • x 3 成立的条件是 X≥3
3、 49 64 5 ＝ 56 5 ， 300 ＝ 10 3
49 4 25 16 9
问:从上面的计算中你发现了什么规律？如
何用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
1.二次根式乘法法则: 两个算术平方根的积，等于它们
被开方数的积的算术平方根.
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们的被开方
⑴ (4) •(9) = 4 • 9 =(-2)(-3)=6 ⑵ (4) •(9) = 4 • 9 =2×3=6 ⑶ 52 42 = 5 4 • 5 4 = 3 ⑷ 52 42 = 52 42 =5-4=1
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
课堂练习1. 化简
7 5 ⑴ 72 52 = 2 2 =7×5=35
⑵ 16 81 = 16 81 =4×9=36
⑶ 292 212 = (29 21)(29 21) = 50 8 = 400 =20
⑷ 2000 = 102 22 5 = 102 22 5 =10 2 5 = 20 5
a -a
|a算：(1)( 7 )2
;( 2 )( 3 5 )2
;
( 3 ) 121
;( 4 ) ( 3 )2
.
2.当x 3时,化简 : ( x 3 )2
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类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间
可以进行哪些运算？ 加、减、乘、除四则运算
两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？
怎样运算？让我们从研究乘法开始． 请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是 多少？ 2 7= ？ 特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开
始思考！
合作探究
活动1：探究二次根式的乘法法则及运算
2.化简二次根式的步骤：
a.将被开方数尽可能分解成几个平方数. b.应用
ab a b
a a (a 0) 化简.
2
c.将平方项应用
随堂训练
课后作业
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab
(4) (9) 36 6
a b
(a 0, b 0)
非 负 数
课堂小结
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根 .
a b
ab a≥0,b≥0
ab
a
b
(a 0, b 0)
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） ab a b
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数．
例2 化简:
（1） 49 121 解： （2） 16ab2c3
(1) 49 121 49 121 7 11 77
(2) 16 ab c
2 3
16 a b c
2
3
4 a b c 2 c 4bc a c
4 bc ac 2
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 a
(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
16.2
二次根式的运算
1.二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
复习引入
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
(a≥ 0) a (a≥0) 2 =∣a∣= a -a (a＜0)
当a 是正数或0 时， a 是实数吗？取a 值分 别为1，2，3，4，5试一试！
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？
6 1. 4 × 9 =____
4 9 _____ 6
2、 16 25 ___, 20 20 16 25 _____
一般地,对于二次根式的乘法法则是:
a b ab (a≥0,b≥0)
知识要点
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
例1
计算
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
1 1 32 16 4 (2) 32 2 2
活动2：探究用积的算术平方根化简二次根式
一般的：
a b ab