北师大版高中数学必修4课件-向量应用举例
北师大版数学必修四课件：第2章§7 向量应用举例
及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到 达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o， 并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移. 分析
PQ y0 - y1
PQ x0 - x1
例题讲解
例1 求P 1, 2 到直线l： 2 x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2 , A 2 ,B 1,C 1. 由点到直线的距离公式，得 d 2 1 1 2 1 2 1
么？
几何问题向量化 向量运算关系化
向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂 线段哟！
l
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
.M
o
(x0,y0)
x
点到直线的距离公式 已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0.
则P点到直线 l 的距离d为:
d=
Ax 0 + By 0 + C A +B
d PM n0 x0 x , y0 y A x 0 x B y0 y A B
2 2
, 2 2 2 2 A B A B A B A2 B 2
Ax0 By0 Ax By
又因为P x , y 为l 上任意一点，所以c Ax By , Ax0 By0 C 故d . 2 2 A B
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.7.2向量的应用举例课件
-7-
7.2
1 2
向量的应用举例
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
3
3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大 小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不 计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行 四边形法则求两个速度的合速度.
3 4 4 4 1 3
所以������������ = ������������,且 D,E,F,B 四点不共线, 所以四边形 DEBF 是平行四边形.
反思本题是证明图形中线段平行与相等的问题,可以先选择适当的 一组基底,把未知向量逐步向基底方向进行分解,再利用向量相等 来证明四边形DEBF是平行四边形.
1
名师点拨平面几何中的向量方法: (1)几何法: ①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法 则. ②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常 运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). ③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两 直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a· b=0(或 x1x2+y1y2=0). ������ · ������ ④求与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ=
典例透析
随堂演练
1
1.向量在平面几何中的应用 由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景,平面几何图 形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中 的一些问题.
高中数学北师大版必修4第2章7《向量应用举例》ppt课件
－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0(即向量b不与坐标轴平行)，则上式可
变形为
x1 y1
＝
x2 y2
，但当两向量与坐标轴平行时，不能应用a∥b⇔
xy11＝yx22，否则容易漏解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
• 已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C 上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝ 2AN，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
由M→A＝2A→N得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．
∴
x0＝3－2x， y0＝3－2y.
(1)设点P是过点A且与直线l平行的直线上的动点，P点坐 标为(x，y)，直线l的方向向量为v
则A→P＝(x＋1，y－2)． ∵所求直线与直线l平行，∴A→P∥v， 即1×(y－2)－43×(x＋1)＝0， 整理得4x－3y＋10＝0， 这就是所求的过A且平行于l的直线方程．
(2)设Q(x，y)为过点A且垂直于直线l的直线上任一点，则 A→Q＝(x＋1，y－2)为直线l的法向量，∴A→Q⊥v.
联系，将_几_何__问_题__转_化__为_向__量_问__题_________通过向__量_运__算___研究几何
元素之间的关系；还原到几何问题中作答．
• 3．向量在物理中的应用
• 力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的 ___________相类似，可以用向量的方法来解决．
减法与加法
1．若向量
向量在解析几何中的应用
已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正
高中数学第二章平面向量27向量应用举例课件北师大版必修4
解法二：(1)∵所求直线与向量 a＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝15(x－2)， 即 x－5y－7＝0. (2)∵所求直线与向量 a＝(5,1)垂直， ∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝－5(x－2)， 即 5x＋y－9＝0.
对直线 l：Ax＋By＋C＝0 的方向向量及法向量的两点说明 (1)设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P→1P2＝ (x2－x1，y2－y1)及其共线的向量 λP→1P2均为直线的方向向量．显 然当 x1≠x2 时，向量(1，yx22－ －yx11)与P→1P2共线，因此向量(1，－AB) ＝B1(B，－A)为直线 l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B， －A)为直线 l 的方向向量．
又因为点 M(x0，y0)在圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 上， 所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 所以(2x)2＋(2y)2＝4，即 x2＋y2＝1， 所以点 N 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
——易错警示——
向量在几何应用中的误区
【例 5】
在 △ ABC
中，
已
知向
量
→ AB
(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用 向量 表示； ②转化为 向量问题 的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
[答一答] 3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？
提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为 数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学 模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的 数值去解释一些物理现象．
高一数学北师大版必修4课件2.7 向量应用举例
课程目标 1.会用向量的线性运算和数量积运算解决平面几 何问题、解析几何问题. 2.能用向量平行的条件解决直线的方向向量问 题、判断直线的位置关系问题. 3.理解用向量解答物理问题的模式,会用向量知 识解答物理问题.
学习脉络
1.点到直线的距离公式 若 M(x0,y0)是平面上一定点,它到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d 为 d=
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 向量在平面解析几何中的应用
利用向量的运算解决几何问题时,要理解几何关系与向量表示的内在 联系,正确理解向量条件是解题的基础.向量的坐标表示使向量成为解决解 析几何问题的有利工具,对于证明垂直、求夹角、 写直线方程等问题显示出 了它的优越性.在处理解析几何问题时,要将向量用点的坐标表示,利用向量 的有关法则、性质列出方程,从而使问题解决.
3.向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助于向量求 和的三角形法则或平行四边形法则求解. (2)用向量方法解决物理问题的步骤: ①把物理问题中的相关量用向量表示; ②转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决; ③结果还原为物理问题.
思考 3 向量可以解决哪些物理问题?
提示:解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问 题,以及与力做功相关的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求点到直线的距离
先把直线化成一般式 :Ax+By+C=0,利用公式 d=
|������������0+B������0+C| ������2+������2
求出点
M(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离,两平行线间的距离常转化为点到直线 的距离去求.
高中数学北师大版必修四课件 §2.7向量应用举例
4．河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．
解析：设小船的静水速度为 v，依题意|v|＝ 22＋102＝2 26. 答案： 2 26 m/s
5 ．一质点受到平面上的三个力 F 1 ，F 2，F 3( 单位：牛顿) 的作用而处于平衡状态，已知 F 1、F 2 成 60° 角，且 F 1、F 2 的 大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小为________．
1．已知▱ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，试求对 角线AC的长．
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作 为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何
问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的
思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平 行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
解析：由向量加法的平行四边形法则知 F3 的大小等于以 F1、F2 为邻边的平行四边形 的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|· cos 60° ＝4＋16＋8＝28， ∴|F3|＝2 7. 答案： 2 7
6．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b. 若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.
1．点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0
|Ax0＋By0＋C| 的距离d＝ A2＋B2 .
2．直线的法向量 (1)定义：称与直线的方向向量 垂直的向量为该直线的法向 量．
(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－
A)，则直线l的法向量n＝ 3．向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何 中的应用；二是在 物理中的应用． (A，B) ．
高B数学必修四课件向量的应用
1) + 3*2 = 4。
已知向量AB = (2,1)，AC = (1,3)，若向量AD = AB + λAC，且AD ⊥ AB，求实数λ
的值。
根据题意，有AD = AB + λAC = (2+λ, 1+3λ)。由于 AD ⊥ AB，根据向量垂直的 充要条件，有AD · AB = 0， 即(2+λ)*2 + (1+3λ)*1 = 0 。解这个方程得到λ = -1。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
向量的基本概念和性质
向量是具有大小和方向的量，可以进 行加、减、数乘等运算，满足一定的 运算律。
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，向量可以用有 序数对表示，即向量的坐标表示。通 过向量的坐标可以进行向量的加、减 、数乘等运算。
向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘运算统称为 向量的线性运算，是向量运算的基础 。
，以及计算物体的位移、速度变化量等。
空间向量在解决实际问题中的应用
03
空间向量在实际问题中的应用包括机器人路径规划、3D打印技
术、航空航天技术等。
04
向量在几何中的应用
利用向量证明平行或垂直关系
1 2
向量共线定理
如果两个向量平行，则它们之间存在一个实数使 得一个向量等于另一个向量的数乘。
向量垂直的充要条件
拓展延伸：向量在其他领域应用
物理中的应用
在物理学中，向量被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量。例如，力的合成与分解、运动的合成与分解等问题 都可以通过向量的运算来解决。
北师版高中数学高一必修4课件2.7.2向量的应用举例
探要点·究所然 情境导学 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当 向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为 代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极 大的方便.本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法.
明目标、知重点
探究点一 平面向量在几何中的应用
导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点 共线、线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清 晰、简洁直观.其基本方法是： (1)要证明线段 AB＝CD,可转化为证明|A→B|＝|C→D|. (2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得A→B ＝λC→D,且 A、B、C、D 不共线即可.
明目标、知重点
思考3 请利用向量的方法解决下列问题：如图所示,
在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子 与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况； 答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, 得－G＝F1＋F2,|F1|＝co|Gs |θ, |F2|＝|G|tan θ, 当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角,α
为锐角),
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20 3 km/h.
明目标、知重点
跟踪训练2 某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速
为4 3 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方 向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示,设此人的实际速度为O→B,水流速度为O→A.
明目标、知重点
1234
1234
3. 正 方 形 OABC 的 边 长 为 1, 点 D 、 E 分 别 为 AB 、 BC 的 中 点 , 试 求
北师大版高中数学必修四1.2向量的概念课件(共18张PPT)
研究。 教学过程（二）问题引领，逐步探究 （3）模相等，方向相反的向量有:
数量
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量 .
给你一个坐标系， 你就在我心空飞翔。 给你一个坐标系， 你就在我心空飞翔。 请学生回答下列问题：
1 速度
（1）这节课你学到了哪些知识？ （2）通过本节课的学习，对于研究数学新对象，你有什么体会？
平面向量的概念及表示 （2）若a=b，则a，b是共线向量；
其实，人生也像时钟一样，到了子夜就要“从零开始”，只有归零，才会有新的周期与辉煌。 ()
（3）若 // ，则 与 的方向相同。 不管多少个向量相加，只要从一个起点出发，依次首尾相连，最后一个向量的终点回到了起点，其结果均为零向量！ 优美的动态结构， 没有人情冷暖世态炎凉。 例1 判断下面的说法是否正确
向量 特殊向量
特殊关系
大方 小向 （（ 数形 ））
几字 何母 向向 向 量量 量
教学过程（六）引例再究，前后呼应
孔雀东南飞
厦门
本节课的主题 大小与方向
我的向量
给你一个方向，
你就成为我的向量。
给你一个坐标系， 是啊，回到起点，向量之和均关乎零，这不禁令我们想到了人生的归零智慧。
谢谢指导
（1）这节课你学到了哪些知识？ （2）通过本节课的学习，对于研究数学新对象，你有什么体会？ (2)与向量 长度相等的向量有多少个?
()
力
(6) 四点不共线,若 形( )
,则四边形 为平行四边
位移
我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行
繁( 复的) 几何（关系4，）变成方纯代向数的相情殇同, 或相反的向量有:
北师大版数学必修四课件：2.7向量应用举例
uur
整理得4x-3y+10=0,这就是所求的过A且与l平行的直线方程.
uuu r (2)设Q(x,y)为直线l上一动点，则AQ =(x+1,y-2)，点Q在 r uuu r 过A且垂直于l的直线上，当且仅当 ugAQ 0, 转化为坐标
【审题指导】要判断哪根绳受力最大，则需比较
uuu r uuu r uuu r OA 、 OB 、 OC 的大小，可借助物理的相关知识结
合向量的运算解决.
r r r 【规范解答】设OA，OB，OC三根绳子所受力分别是 a,b,c ，
则 a b c 0， a,b 的合力为 c a b, c c ， 如图，在平行四
共线(点)问题
证明共线(点)问题的策略
解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为
基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，
把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相 等建立方程，从而解出相关参数的值.
uuu r uuu r AC BD，
uuu r uuu r AC BD.
方法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，
如图所示：
设A(a,b),B(0,0),C(c,0),则由|AB|=|BC| 得a2+b2=c2.
uuu r uur uuu r AC BC BA c,0 a, b c a, b ， uuu r uuu r uur BD BA BC a, b c,0 a c, b . uuu r uuu r ACgBD (c a, b)g a c, b c 2 a 2 b 2 0. uuu r uuu r AC BD,
向量应用举例课件-北师大版高中数学必修4
得x＝65， y＝85，
所以点 P 坐标为65，85.
所以| AP |＝ 652＋852＝2＝| AB|，即 AP＝AB.
2．[变条件，变设问]如图，在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对 角线 AC 的长． 解：设―A→D ＝a，―A→B ＝b，则―B→D ＝a－b，―A→C ＝a＋b， 而|―B→D |＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b ＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12， 又|―A→C |2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴|―A→C |＝ 6，即 AC＝ 6.
4 ． 过 点 A( － 1,2) ， 且 平 行 于 向 量 a ＝ (3,1) 的 直 线 方 程 为 __________．
解析：设点 P(x，y)是所求直线上的任意一点， 则 AP＝(x＋1，y－2)． ∴ AP∥a，∴(x＋1)－3(y－2)＝0. 即 x－3y＋7＝0.∴直线方程为 x－3y＋7＝0. 答案：x－3y＋7＝0
§7 向量应用举例
一、预习教材·问题导入 1．如何计算点 M(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离？ 2．直线的法向量的定义是什么？
二、归纳总结·核心必记
1．点到直线的距离公式
|ax0＋by0＋c|
点 M(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2＋b2 .
2．直线 l：ax＋by＋c＝0 的法向量 (1)与直线的方向向量 垂直 的向量称为该直线的法向量．
已知直线 l 经过点 A(1，－2)，且直线 l 的一个法向量 n＝(2, 3)， 求点 B(2, 3)到直线 l 的距离．
解：依题意得 AB＝(1,5)，由距离的向量公式 d＝
高中数学北师大版必修4《平面向量应用举例》ppt导学课件
【解析】(法一)(基向量的方法)
������������·������������=(������������+1 ������������)·(������������+2 ������������)=(1 ������������-������������)·(������������+2 ������������-2 ������������)
∴A(a,0),B(0,a),E(������ ,2������ ),D(0,������ ),
33
2
∴������������ =(������ ,2������ ),������������ =(-a,������ ).
33
2
∴������������ ·������������ =-������ 2 +2������ ×������ =-������ 2 +������ 2 =0,
问题1 利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?
向量法解决几何问题的“三步曲”. (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的 几何元素,把平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
问题2 向量法可以解决几何中的哪些问题?
【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°. 在△OAC 中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
所以|������������|=|������������|cos 30°=300× 3=150 3(N),
2
|������������|=|������������|sin 30°=300×1=150(N),|������������|=|������������|=150(N).
北师大版高中数学必修四7.2 向量的应用举例(一)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）7．2 向量的应用举例(一)课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔ ________⇔______________________．(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a ⊥b ⇔__________⇔______________________________．(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝__________＝________________________________________________________________________． (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： |a |＝__________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5B ．52 5C ．3 5D ．7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2B ．12C ．－3D ．－135．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形6．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心二、填空题7．已知边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________．8．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．9．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5．则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________________________________________________________________．10．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是______．三、解答题11．求证：△ABC 的三条高线交于一点．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF ．能力提升13．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________．14．已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．7．2 向量的应用举例(一) 答案知识梳理(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 (4)x 2＋y 2 作业设计1．B [BC 中点为D (32，6)，AD →＝(－52，5)，∴|AD →|＝525．]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →．∴(OA →－OC →)·OB →＝0． ∴OB →·CA →＝0．∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ， OC ⊥AB ，∴O 三条高的交点．]3．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°． ∴△ABC 是直角三角形．] 4．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33， ∴|BC ||CE |＝3， ∴BC →＝－3CE →．]5．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC ．∴AB ＝AC ．而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°． 故△ABC 为正三角形，选D ．]6．C [如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →．依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心．∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB → ＝CA →·PB →＝0．同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 7．2解析 注意|AC →|＝|c |＝1， 而a ＋b ＝c ，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |＝2． 8．2 3 解析如图所示，以a 、b 为邻边作平行四边形ABCD ，AC ＝ AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos π3＝23，BD ＝ BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 2π3＝2 7．∵23＜2 7，∴较短的一条对角线长为2 3． 9．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9．∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25． 10．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形． 11．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b ． ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H ．12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ．∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF ．∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0， ∴P A →⊥EF →．∴P A ⊥EF ．13．－252解析设{AB →，AC →}为一平面内一组基底．如图所示，设O 为△ABC 的外心，M 为BC 中点，连结OM 、AM 、OA ，则易知OM ⊥BC ．又由BC →＝AC →－AB →，AO →＝AM →＋MO →＝12(AB →＋AC →)＋MO →．∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →) ＝BC →·AM →＋BC →·MO → ＝BC →·AM →(其中BC →·MO →＝0) ＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →)＝12(AC 2→－AB 2→) ＝12×(122－132) ＝－252．14．解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )， BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)． 因为BB ′、CC ′为AC 、AB 边的中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝⎝⎛⎭⎫3c 2，a 2， 同理CC ′→＝⎝⎛⎭⎫－3c 2，a 2． 因为BB ′→⊥CC ′→，所以BB ′→·CC ′→＝0，即－9c 24＋a 24＝0，a 2＝9c 2，又cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45．。
北师大版高中数学必修四§7 向量应用举例
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作§7 向量应用举例7．1 点到直线的距离公式 课时目标 1．了解直线的方向向量、法向量．2．能利用直线的法向量推导点到直线的距离公式．3．能利用直线的法向量判断两直线的位置关系．1．直线的法向量(1)直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________．(2)直线l ：y ＝kx ＋b 的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________． 所以，一条直线的法向量有__________个，它们都是__________向量．2．点到直线的距离公式设点M (x 0，y 0)为平面内任一点，则点M 到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0 (a 2＋b 2≠0)的距离 d ＝_____________________________________________________________________．3．两平行线间距离直线l 1：ax ＋by ＋c 1＝0与直线l 2：ax ＋by ＋c 2＝0 (a 2＋b 2≠0且c 1≠c 2)的距离 d ＝_____________________________________________________________________．4．两直线的位置关系设直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0的法向量依次为n 1，n 2．则：(1)l 1⊥l 2⇔______________⇔______________________________________________；(2)l 1与l 2重合或平行⇔__________⇔______________________．一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．12B ．32C ．22D ．3222．已知三点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( )A ．以A 为直角顶点的直角三角形B ．以B 为直角顶点的直角三角形C ．以C 为直角顶点的直角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形3．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．－2B ．12C ．－2或12D ．－12或2 4．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．235．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°6．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则两平行线间的距离是( )A ．131313B ．5513C ．5135D ．1355二、填空题7．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为________．8．过点A (－2,1)且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________________．9．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是____________．10．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离为________．三、解答题11．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点．(1)求直线DE 、EF 、FD 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在的直线方程．12．已知M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (AB ≠0)外一点．(1)求过点M 与直线l 垂直的直线l 1；(2)求过点M 与直线l 平行的直线l 2．能力提升13．已知向量c ＝(0,1)，i ＝(1,0)，经过原点O 以c ＋λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以i －2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，求点P 的轨迹方程．14．如图所示，在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB的平分线上，且|OC →|＝2，求向量OC →的坐标．1．若直线方程为ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)，则(a ，b )就是它的一个法向量，(b ，－a )是它的一个方向向量；若直线方程为y ＝kx ＋b ，则(1，k )就是它的一个方向向量，(k ，－1)是它的一个法向量．2．点M (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2．利用该公式求点到直线的距离必须先将方程化为一般式．利用点到直线的距离公式可以推导出两条平行线ax ＋by ＋c 1＝0与ax ＋by ＋c 2＝0间的距离为|c 1－c 2|a 2＋b 2． 3．直线的法向量或方向向量在求两直线夹角、计算点到直线的距离或判断两条直线的位置关系中都有着重要应用，应熟练掌握．§7 向量应用举例7．1 点到直线的距离公式答案知识梳理1．(1)(b ，－a ) (a ，b ) (2)(1，k ) (k ，－1) 无数多 共线2．|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2 3．|c 1－c 2|a 2＋b 24．(1)n 1·n 2＝0 a 1a 2＋b 1b 2＝0 (2)n 1∥n 2 a 1b 2－a 2b 1＝0作业设计1．D 2．A3．C [(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝(m ＋2)(4m －2)＝0，∴m ＝－2或12．] 4．B [直线l 1的法向量n 1＝(a,2)，直线l 2的法向量n 2＝(1，a －1)，∵l 1∥l 2，∴n 1∥n 2，∴a (a －1)－1×2＝0，解得：a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0，∴l 1∥l 2．当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0．∴l 1与l 2重合，a ＝2舍．综上所述，a ＝－1．]5．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22． ∴l 1与l 2的夹角为45°．]6．D [AB →＝(m ＋2,4－m )，AB →·(2,1)＝0，∴m ＝－8，∴直线AB 方程为：2x ＋y ＋12＝0．∴d ＝|12－(－1)|5＝1355．] 7． 28．x －3y ＋5＝0解析 设P (x ，y )是所求直线上的任一点，AP →＝(x ＋2，y －1)．∵AP →∥a ．∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0．即所求直线方程为x －3y ＋5＝0．9．2x ＋y －7＝0解析 设直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)．由AP →·a ＝2(x －2)＋(y －3)＝0，得2x ＋y －7＝0．10．110解析 取直线l 2的一个法向量为n ＝(6,8)，分别在直线l 1和l 2上任取一点M (0，12)和P (12，0)． 则PM →＝(－12，12)，设PM →与n 的夹角为θ． ∴点M 到直线l 2的距离d ＝|PM →|·|cos θ|＝|PM →|·|PM →·n |PM →|·|n || ＝|PM →·n ||n |＝|－3＋410|＝110． 又∵两条平行线间的距离处处相等，∴点M 到直线l 2的距离即为两平行线l 1与l 2间的距离，∴两平行线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －3＝0之间的距离为110． 11．解 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)．设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，∴(－2)×(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0．(2)设点N (x ，y )是CH 所在的直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0．又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)，∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 所在的直线方程．12．解 (1)设P (x ，y )为直线l 1上任一点．由MP →·(B ，－A )＝0，得(x －x 0，y －y 0)·(B ，－A )＝0，∴B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0，即x －x 0A ＝y －y 0B． (2)设P (x ，y )为直线l 2上任一点，由MP →·(A ，B )＝0．∴(x －x 0，y －y 0)·(A ，B )＝0．∴A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0．13．解 设P 点坐标为(x ，y )，∵i ＝(1,0)，c ＝(0,1)，∴c ＋λi ＝(λ，1)，i －2λc ＝(1，－2λ)，直线OP 与AP 的方程分别为λy ＝x 和y －1＝－2λx ，消去参数λ，所求的轨迹方程为2x 2＋y 2－y ＝0．14．解 如图所示，已知A (0,1)，B (－3,4)，过B 作BD ∥y 轴，与OC 的延长线交于点D ，过D 作OB 的平行线交y 轴于E ，所以四边形OBDE 为菱形，所以D (－3,9)，E (0,5)．设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，所以OC →＝2310OD →，所以(x 1，y 1)＝2310(－3,9)， 所以⎩⎨⎧ x 1＝2310×(－3)，y 1＝2310×9，所以⎩⎨⎧ x 1＝－105，y 1＝3105， 所以C ⎝⎛⎭⎫－105，3105， 所以OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105．。