专题10 双曲线-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)

专题10 双曲线【真题感悟】1、【2019年江苏，7】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =. 【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.2、【2018江苏，理8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为2，则其离心率的值是 ▲ ． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线,b y x a =±即0bx ay ±=的距离为,bc b c ==所以2b c =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==3. 【2017江苏，8】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线为y =，则)P，Q ，1(F ，2F ，则S ==4. 【2016江苏，3】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 .【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴==5. 【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点P 到直线01=+-y x 的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=【考纲要求】1．了解双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程． 2．知道双曲线的几何性质． 3．了解双曲线的一些实际应用． 4．掌握双曲线的几何性质． 5．了解直线与双曲线的位置关系．【考向分析】双曲线是历年高考命题的重点热点，多与直线、圆、椭圆、抛物线、平面向量等综合命题，尤以考查双曲线的离心率与渐近线为最常见，常以填空题的形式呈现，较少考查直线与双曲线的位置关系，在解答题不考双曲线．【高考预测】考查双曲线本身特点与性质，此部分以填空题形式考查．难度为容易题或中档题【迎考策略】（1）已知离心率求渐近线方程，即e ＝c a ⇒c 2＝e 2·a 2＝a 2＋b 2⇒e 2＝1＋b 2a 2，即得渐近线方程为y ＝±e 2－1x ；（2）已知渐近线方程y kx =±，若焦点位置不明确要分k ＝b a 或k ＝ab两种情况讨论．已知渐近线方程为b y x a =±，可由222a b c +=，得22221b c a a +=，从而求得离心率e =；（3）已知离心率可得出双曲线的渐近线方程，即得出渐近线的斜率，从而可解决与渐近线夹角有关的问题；通过联立方程组求得直线与双曲线的渐近线的交点，把条件转化为一个关于b a 的不等式，再利用222a b c +=，转化为关于ca的不等式，即得离心率的取值范围．【强化演练】1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A BC ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 3．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.4．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60b a =︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．6．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，，即.故答案为：.7．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________.【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，由题意可得，解得.双曲线方程为.渐近线方程为.故答案为：.8．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.9．若双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】.由双曲线方程可知：，且：，，则，双曲线的离心率：，解得：，则双曲线的渐近线满足：，整理可得渐近线方程为：.10．在平面直角坐标系中，若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：11．已知双曲线：，过双曲线的右焦点作的渐近线的垂线，垂足为，延长与轴交于点，且，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】双曲线：的渐近线方程为，右焦点过与渐近线垂直的直线为由可解得：，在中，令，可得：，整理得：，则即双曲线的离心率为12．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有，，故的最小值为.13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C且经过点P(﹣2，则双曲线C的焦距为_______．设双曲线C的方程为，解得223{9ab==则212c=，则双曲线C的焦距为14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲公共的渐近线，且经过点，则双曲线C的焦距为____．【解析】∵双曲线C与双曲线∴设双曲线C的方程为∵双曲线C经过点λ=-=∴413∴双曲线C的方程为∴双曲线C的焦距为15．过双曲线的左焦点作直线与双曲线的左支交于两点．当轴时，，则右焦点到双曲线的渐近线的距离是___________．【答案】【解析】由题意，设双曲线的左焦点为()，则．当轴时，将直线的方程代入双曲线方程，化简得，即，再由，可得，从而右焦点到双曲线的渐近线的距离．。