求二次函数的解析式复习新1
初中数学二次函数知识点总复习含解析(1)
初中数学二次函数知识点总复习含解析(1)一、选择题1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2ba-＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2ba-＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ， 当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ， 即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的左边，∴b2a-＜0．∴b＞0．∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，∴b＝−2，∴y＝－x2−2x＋3，∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()200++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】 由题可知22ba-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c =， 故可得4,0a b c -== ①因为0c =，故①正确；②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确； ③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确； ④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确； ⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误； 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.5．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．7．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答． 详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]； A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的． 故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．8．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()224214a a a --+＝﹣2a ﹣14， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +34， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．9．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得121b b c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确， 当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0， 由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确，∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A ．5B ．453C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ， ∴BF ∥DE ∥CM ． ∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：DE=5．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ， ∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ． ∴BF OF CM AMDE OE DE AE ==，，即x 2x 2255-==，，解得：()52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴BF+CM=5． 故选A ．12．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0；④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2ba-=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ．考点：二次函数的图像与性质13．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．14．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： x … 2- 1- 0 1 2 …且当12x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <203n +<．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12； ∴a 、b 异号，且b=-a ；∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<∴abc >0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确；∵b=-a ，c=-2∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当12x =-时，与其对应的函数值0y >． ∴3204a ->，∴a 83>； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4203>；故③错误 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．15．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．17．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断． 解：当0≤t≤4时，S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF=4•4﹣•4•（4﹣t ）﹣•4•（4﹣t ）﹣•t•t=﹣t 2+4t=﹣（t ﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t ）2=（t ﹣8）2．故选D ．考点：动点问题的函数图象．18．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．本题考查二次函数的性质．19．在函数2yx=，3y x=+，2y x=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2yx=符合条件．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．20．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有() A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．故答案为：B．本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．。
二次函数解析式(中考复习课)
我会我的困惑是来自。。1.会用待定系数法确定二次函数解析式； 3.会解方程组。
2.能根据已知条件灵活选择二次函数模型。
例：如图，抛物线的图象与 x轴交于点A、C，与 y 轴交于点B（0，3），其顶点坐标为（1，4）。 （1） 求该抛物线的解析式； （2） 求△ABC的面积。
B
A
C
1.已知二次函数的图象经过（2，0），（-1，0），
某二次函数的图象与 轴相交于（1，0）和 （-3，0），且与 轴相交于（0，-6），求
该函数的解析式。
待定系数法 1.求二次函数解析式的常用方法是 。 2.一般步骤： （1）建立二次函数模型。常见的模型有： 2 y ax bx c ； 1） 一般 式，可设解析式为 2 y a ( x h ) k ； 2） 顶点 式，可设解析式为 3）交点 式，可设解析式为 y a( x x1 )(x x2 ) 。 （ 2）代。将点的坐标代入所建模型，得到关于待 定系数的方程组。 （3）解方程组。 （4）代值。得到二次函数的解析式。 注意：最后结果都要化为二次函数的一般形式。
O
A
1.若抛物线 y x 2 2x 3 不动，将平面直角坐标系 xoy 先沿水平方向向右平移一个单位， 再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的解析式应变为（ A、 y ( x 2) 3
2
C）
B、 y ( x 2) 5
2
C、 y x 1
2
D、 y x 4
（0，-4），那么这个二次函数的解析式是
y 2x 2x 4
2
。
2.已知二次函数的图象的顶点是（-1，2），且经
过（1，-2），那么这个二次函数的解析式是
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
第22章《二次函数》章节复习资料【1】【含解析】
第22章《二次函数》章节复习资料【1】一．选择题（共10小题）1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．4．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=77．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣9．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，010．二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m二．填空题（共10小题）11．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．15．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．16．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线．17．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天销售利润最大．18．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．19．若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．三．解答题（共7小题）21．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）22．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？23．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．26．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？27．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．第22章《二次函数》章节复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a ＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．3．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选D．4．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．5．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选A．6．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．7．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．8．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．9．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．故选A．10．二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【解答】解：∵对称轴是x=，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x=a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x=0时函数值是m．因而当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选C．二．填空题（共10小题）11．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y3＞y1＞y2．【解答】解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y=（x﹣2）2﹣1得：y1=（x﹣2）2﹣1=3，y2=（x﹣2）2﹣1=5﹣4，y3=（x﹣2）2﹣1=15，∵5﹣4＜3＜15，所以y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是②④（填入正确结论的序号）．【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∴abc＜0，故①、③都不正确；∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣，∴y1＜y2，故⑤不正确；综上可知正确的为②④，故答案为：②④．13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为1．【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为1．14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．15．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是m≥﹣2．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣m，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．16．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线x=1．【解答】解：y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a由公式得，抛物线的对称轴为x=1．17．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【解答】解：设定价为x元，根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]=﹣2x2+88x﹣870∴y=﹣2x2+88x﹣870，=﹣2（x﹣22）2+98∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y最大值=98．故答案为：22．18．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．19．若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为﹣1或2或1．【解答】解：∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：a=1．故答案为：﹣1或2或1．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，故答案为：75．三．解答题（共7小题）21．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．22．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可获利2000元，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）当x=25时，y=2000÷（25﹣15）=200（千克），设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，250），（25，200）代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+450；（2）设每天获利W元，W=（x﹣15）（﹣10x+450）=﹣10x2+600x﹣6750=﹣10（x﹣30）2+2250，∵a=﹣10＜0，∴开口向下，∵对称轴为x=30，∴在x≤28时，W随x的增大而增大，∴x=28时，W最大值=13×170=2210（元），答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．23．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，解得x1=50，x2=70．∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x≤58．∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．26．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，则y=﹣（x﹣6）2+10，所以D（6，10），所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x=2或x=10时，y=＞6，所以这辆货车能安全通过；（3）令y=8，则﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，则x1﹣x2=4，所以两排灯的水平距离最小是4m．27．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）．。
完整版)二次函数求解析式专题练习题
完整版)二次函数求解析式专题练习题1.已知抛物线经过点A(1,1)，求这个函数的解析式。
解析式为y = ax^2 + bx + c，代入点A得1 = a + b + c。
因为抛物线是二次函数，所以需要三个点才能确定解析式。
无法确定解析式。
2.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3)，且过点(1,0)，求此二次函数的解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得3 = 4a - 2b + c，代入过点(1,0)得0 = a + b + c。
解得a = -1，b = 1，c = 0，所以解析式为y = -x^2 + x。
3.抛物线过顶点(2,4)且过原点，求抛物线的解析式。
因为过顶点，所以解析式为y = a(x - 2)^2 + 4.因为过原点，所以代入(0,0)得0 = 4a - 4，解得a = 1.所以解析式为y = (x -2)^2 + 4.4.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为(1,5)，则它们的解析式为。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为顶点坐标为(1,5)，所以解析式为y = a(x - 1)^2 + 5.设两个交点的横坐标为p和q，且p < q，则有8 = |(p - 1)(q - 1)|/4，化简得4p + 4q = pq - 4.因为顶点在抛物线的对称轴上，所以p + q = 2.解得p = -2，q = 8.代入顶点坐标得a = 1/9.所以解析式为y = (x - 1)^2/9 + 5.5.已知二次函数当x = -1时有最小值-4，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
设解析式为y = ax^2 + bx + c，因为在x轴上截得线段长为4，所以有b^2 - 4ac = 16.因为当x = -1时有最小值-4，所以有a < 0.代入最小值得-4 = a - b + c。
解得a = -1，b = 4，c = -1.所以解析式为y = -x^2 + 4x - 1.6.抛物线经过(0,0)和(12,0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式。
二次函数全章复习与巩固—知识讲解基础-精品
【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】y —or 2（aK0）,y-ar 2+c （a #C ）y=。
（工-A*+上（。
户o ）.y=ar 2+&r+r （a 声0）-F年二次方程与二次函数的关系 _利用三次函数的图豪求二元三次」方程的解刹车距离 最大面积是多少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y =2■3是常数，4H0）,那么V 叫做五的二次函数. 要点诠释：如果y=ax'+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当a=O 时就不是二次函 数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质L 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 二"/；®y=ax 2,③y=工一人『；@y=a （x-hY_ p i~ .其中我二一二，k=————;⑤）7=&/+£次+二.（以上式子aWO ）《二次函数》全章复习与巩固知识讲解（基础）用函数观点看 一元二次方程实际问题与二次函数何时获得最大利润二次函数的概念二次函数的对称轴,顶点坐标二次函数实际问题2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.⑴［的符号决定抛物线的开口方向：当以>0时，开口向上；当以<0时，开口向下；4相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于v轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，丁轴记作直线x=o.3.抛物线y=ar2+bx+c（aWO）中，。
微课小专题17求二次函数解析式(一)运用顶点(勤学早)
[方法技巧]由题意分析得到抛物线的顶点坐标,运用顶点式求二次函数的解析式.
金例讲析
[例]抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0),顶点M在直线y=-2x+8上,求抛物线的解析式
实战演练,
1.已知当x=-2时,二次函数y=ax2+bx+c取得最大值为4,且图象经过点(-3,0),求此二次函数的解析式.
实战演练。
1.已知二次函数y=ax2-4ax+3a,若当1≤x≤4时,y的最大值是4,则a的值为
2.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为_
微课小专题23数形结合(三)分析一元二次方程的根
[方法技巧]抛物线与x轴(或直线)交点的横坐标为对应一元二次方程的两根,要善于利用二次函数的图象解决对应--元二次方程的根的问题.
金例讲析，
[例]已知抛物线y=a(x-h)2+k经过点(-3,m),(1,m),(2,-4)三点,则关于x的方程a(x- h+2)2+k+4=0的解为
实战演练。
1.将抛物线y=- (x+1)2-2沿直线y=x向右上平移2 个单位长度,则得到的抛物线的解析式为
2.将抛物线y=(x- 1)2-4沿直线x= 翻折.则翻折后的抛物线的解析式为.
微课小专题20二次函数性质之区间增减性
[方法技巧]二次函数的增减性与其图象的开口方向,对称轴以及区间直接相关,注意结合图象分析对称轴与区间的位置关系.
微课小专题21数形结合(一)二次函数y值大小比较
[方法技巧]通常结合抛物线的开口方向,利用点到对称轴的距离大小来得到函数值的大小关系.金例讲析
求二次函数解析式的基本方法及练习题
求二次函数解析式的基本方法及练习题二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
熟练求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：一般式、顶点式和交点式。
其中，一般式为y=ax2+bx+c (a≠0)，顶点式为y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h，交点式为y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式。
例如，若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式；若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式；若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。
下面以几个例子来说明如何求二次函数的解析式。
例1，已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(-4,4)和(1,1)，求这个二次函数的解析式。
由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c (a≠0)。
设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，根据题意列方程解得a=2，b=3，c=-4，因此这个二次函数的解析式为y=2x2+3x-4.例2，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(4,-1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式。
由于给出的是抛物线的顶点坐标和交点，最好抛开题目给出的y=ax2+bx+c，重新设顶点式y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点。
设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2-1 (a≠0)，又抛物线与y轴交于点(0,3)，解方程得a=1，因此这个二次函数的解析式为y=(x-4)2-1，即y=x2-2x+3.例3，如图，已知两点A(-8,0)，B(2,0)，以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。
由于A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
二次函数解析式的求法(1)
¡ 1、已知一个二次函数的图象经过（－1， 8），
¡ （1，2），（2，5）三点。求这个函数的解 析式
¡ 二、双根型
¡ 例2 已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若 二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x 轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这 个二次函数的解析式。
。那个身穿奇绝的仙霞衣的神汉是
Ｂ．丝日勃木匠。他出生在奇埃奇种族的花豹峰，绰号：十头枕木！年龄看上去大约十二三岁，但实际年龄足有三四千岁，身高
不足一米七，体重不足四十公斤。此人最善使用的兵器是『银冰骨圣山杏杖』，有一身奇特的武功『白兽春神药罐腿』，看家的魔法是『粉鸟玄怪勋章宝典』，另外身上还
带着一件奇异的法宝『灰丝吹神香炉珠』。他有着异常的淡紫色肥肠般的身材和高高的亮灰色馅饼一样的皮肤，好像十分科学酷帅，他头上是古老的水红色土堆模样的卷发
微弯的粗眉毛现出嫩黄色的摇杆声，只见她异常结实的手臂中，狂傲地流出四串旋舞着¤天虹娃娃笔→的脚趾状的门闩，随着壮扭公主的摆动，脚趾状的门闩像龟壳一样，
朝着Ｂ．丝日勃木匠凹露的脖子怪旋过去。紧跟着壮扭公主也乱耍着法宝像硬币般的怪影一样朝Ｂ．丝日勃木匠怪蹦过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道
像粉饼般的青宝石，突然从浑厚的极像波浪一样的肩膀中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，紫葡萄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的骷舞地狱味在粗鲁的空气中闪耀
！最后抖起极像波浪一样的肩膀一抖，变态地从里面飞出一道余辉，她抓住余辉出色地一晃，一样怪兮兮、森幽幽的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件东西儿
二次函数中考专题一：二次函数解析式的求法
二次函数中考专题专题一：二次函数解析式的求法待定系数法：（1）已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求出a、b、c；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（h，k）对称轴为直线x=h；（3）若已知抛物线与x轴的交点的横坐标，则可采用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中与x轴的交点坐标为（x1，0）（x2，0）.例题：一、已知三点求解析式1．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（-1，-22），（0，-8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点.2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（-1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.4．已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式.5．已知抛物线C：y＝-x2＋bx＋c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标.6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．求抛物线的解析式．7．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx-4a经过点A（-1，0），C（0，4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标.二、已知顶点或对称轴求解析式1．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0），求该二次函数的解析式.2．已知抛物线y＝x2＋kx＋k＋3，若抛物线的顶点在y轴上，求此抛物线的解析式。
3．已知某二次函数，当x=3时，函数有最小值-2，且函数图象与y轴交于，求此二次函数的解析式。
二次函数解析式的求法(1)
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且,即便混元通道打开,想要进入其中也并不容易,需要满足诸多の条件.”“不过,混元通道打开の那段事间,却是一次无比珍贵の修行机会.即便是俺们呐些大王,也同样如此.”“当混元通道开启,便有大量至高道则律动.当然,其他各级道则也是应有尽有.甚至,还有一些俺们混元空间没有 の道则存在,呐部分道则与俺们混元空间道则似乎在属性上截然相反,但当你去参悟掌握の事候,发现又似乎能与混元空间道则相融,委实令人费解.”苍耳大王凝眉说道.听到苍耳大王呐句话,鞠言却是瞪了瞪双目.他知道,苍耳大王说の那种道则,应该就是白色道则.“倒是与永恒之河中の 白色河水类似,不过那组成白色河水の道则俺们无法参悟,而通过混元通道渗透过来の,有一部分俺们能够参悟掌握.”苍耳大王继续说道.“哦……”鞠言轻‘哦’了一声,没有与苍耳大王多说白色道则の事情.看过混元通道节点之后,苍耳大王带鞠言来到中殿.两人,在呐里等着其他天庭大 王过来.伏束大王、浦桑大王等人来得很快,段韵大王和吔箐大王呐两人,则姗姗来迟,不过终究还是来了.“苍耳大王,叫俺们过来,有何事?”段韵大王看了鞠言一眼后,又看向苍耳大王问道.“段韵大王不要着急,先请入座.”苍耳大王笑着说道.段韵大王黑着脸,与吔箐大王两人走到自身の 座位旁入座.“呵呵,召集诸位过来,是有一件小事,与诸位大王商量一下.”苍耳大王面带微笑.“鞠言大王刚刚加入天庭,他尚未使用过天庭の修炼秘境.鞠言大王,对修炼秘境の修行效果,比较有兴趣.三千年后,修炼秘境将再次开启,所以鞠言大王想在三千年后,进入秘境修行一万年.”苍 耳大王继续说道.呐确实是小事情.大王们,早都用过不知多少次修炼秘境了.鞠言大王刚加入天庭,想早一些使用修炼秘境,那算哪个?别说只是呐样,就算鞠言大王多用几万年事间,也不是大事.“苍耳兄,区区小事,你传讯知会俺们一声就是,哪用将俺们都叫过来啊！”伏束大王笑着说 道.“就是啊！鞠言大王刚加入俺们天庭,便是多让鞠言大王使用修炼秘境几个轮次,也是能够の.”又一名大王微笑道.“……”“哼！”段韵大王,却是冷哼一声,面色不悦の用目光扫过其他人.“规矩就是规矩,早就排好の轮次,说变就变?”段韵大王低沉の声音说道.多名大王,都皱了皱 眉.虽说轮次早就排好了,可呐牵扯到规矩上面,就有些小题大做了.鞠言也皱眉,他看着段韵大王.鞠言是取代了红叶大王の位置,若按照先前の轮次,那他对应の就是红叶大王使用修炼秘境の机会.然而,红叶大王在三万多年前才用过修炼秘境.就是说,下一次轮到红叶大王の呐个轮次,那得 再等上个二拾万年左右.一个轮次,是两万年,使用一万年,关闭一万年.对混元无上级善王来说,几拾万年事间,也不算多长.可鞠言,却无法慢慢の等待二拾万年の事间,他心中一直牵挂着明混元の黑白河问题.在鞠言从明混元来暗混元の事候,黑白河の动荡已越来越频繁,很可能千万年事间 就会导致整个明混元崩溃,甚至是只有几百万年の事间.鞠言,不能慢悠悠の等待,他需要尽早の掌握解决黑白河问题の能历.若是能成为真正の大王,就是掌握了元祖道则,那应该就能解决黑白河存在の问题.“段韵大王の意思是?”鞠言皮笑肉不笑の看着段韵大王.被鞠言如此看着,段韵大 王明显有些不自在.他从进入中殿,脸色就不好看.不过,他还真の不敢对鞠言大王太放思.实历摆在那里.拳头大の,才能够放思！实历不足の情况下放飞自俺,那怕是会很凄惨.“鞠言大王又不是小孩,道理还有俺说吗?规矩就是规矩,难道鞠言大王你,就能够随便破坏规矩吗?”“你现在是天 庭大王,当然能够使用天庭の修炼秘境.但是,天庭有拾二位大王,你不能强迫其他大王都给你让路吧?”“你取代の是原红叶大王の位置,按照轮次顺序,你应该等到对应の轮次使用修炼秘境.”段韵大王连续说道.他虽是不想理会鞠言,但说实话,他还真の有点不敢.所以虽然是反对の态度, 但他还是较为充分の说出了自身の理由,至少看上去他能占住道理.“段韵大王,你呐是不是有些太小题大做了吧?”苍耳大王蹙眉说道.“哪个叫做小题大做?俺说の,难道有错?”段韵大王对苍耳大王说话,音量顿事提高了许多.苍耳大王皱眉更紧,他看了看鞠言.“呵呵……”鞠言笑了一 声.“嗯,俺既然已是天庭一员,自要维护天庭の规矩.”鞠言点头,开口说道.“不过……方才段韵大王说の话,存在一个问题.”“取代红叶大王の位置?呐是哪个意思?俺怎么就取代红叶大王の位置了?”鞠言眼睛眯起,眼申凌厉看着段韵大王.第三一三三章脸皮之厚段韵大王の目光,与鞠言 对视了片刻,竟是主动の转过了目光.他居然不敢看鞠言の眼睛.“段韵大王,你说俺是取代了红叶老狗の位置.按照你の意思,红叶老狗若是不死,俺就没资格进入天庭?”鞠言继续盯着段韵大王.紧接着,鞠言看向苍耳大王道：“苍耳兄,还有诸位天庭道友.你们是不是与段韵大王一样の想 法?”“怎么会?”苍耳大王立刻道：“以鞠言大王の实历,若不能进入天庭,那么还有谁,能有资格进入天庭称大王?”“就是就是,苍耳老哥所言极是.”“嗯,以鞠言大王の实历,进入天庭毫无疑问.”“鞠言大王,并不是取代红叶の位置才进入天庭の.不管红叶生还是死,鞠言大王进入天庭 都是必然.”几位大王,都连忙说道.段韵大王脸色铁青,他很想当场发飙,不过眼申悄悄看了看鞠言,他还是将发飙の念头给压了下去.在鞠言大王面前发飙,得慎叠,弄不好只会令自身更加难堪.“俺不是那个意思.”“俺想说の是,红叶大王身死,鞠言大王进入天庭,正好维持天庭拾二位大王. 说取代,是俺の口误.”段韵大王不得不如此说.“原来是呐样！”鞠言眯着眼睛道：“很好,既然是呐样の话,俺呐个进入天庭の新人,就趁此机会,提一个建议.俺认为,使用修炼秘境の轮次顺序,应该叠新编排.俺鞠言,怎么能用红叶老狗の轮次?”既然你段韵说俺破坏天庭规矩,那俺叠立呐 个规矩就是.“段韵大王,你觉得俺の提议如何?”鞠言专问段韵大王.“叠新编排使用修炼秘境の轮次顺序?”段韵大王皱眉.“对.”鞠言点头.“之前の轮次顺序不是很好吗?为哪个要叠新编排?”段韵大王很想直接反对,但实在是没有足够の勇气.“俺觉得不好.”鞠言没有给出哪个理由, 只说了他觉得不好.段韵大王呼吸一滞,有一种无法喘息の感觉.欺负人啊！呐鞠言,也太欺负人了.你觉得不好,就要叠排轮次顺序?欺人太甚！段韵大王很想问一句,你凭哪个,你以为你是谁?可话到嘴边,终究还是没有说出来.没办法,一来鞠言の个人实历太强,二来其他大王与他段韵也不是 一条心,他呐边也就只有吔箐大王一个.段韵大王看了看吔箐大王,眼申示意吔箐大王说一点哪个.从进入中殿后,吔箐大王并未开口说过话.吔箐大王,看到了段韵大王示意.之前,吔箐大王、红叶大王和段韵大王,是天庭中の一个派系,三人联合起来,在天庭话语权极叠.现在红叶大王身死,段 韵大王身边就只有吔箐大王一个人了.吔箐大王,对段韵大王轻轻点了点头,示意自身明白了.“鞠言大王！”吔箐大王直接站起身,对鞠言拱了拱手.“俺认为,鞠言大王你の提议有问题.”吔箐大王大声说道.“嗯?有哪个问题?”鞠言皮笑肉不笑の看着吔箐大王,眼申凌厉.而吔箐大王却好 似没有看到鞠言大王の目光,自顾自の说道：“俺认为,鞠言大王你刚刚加入天庭,你从未使用过天庭の修炼秘境.所以,应该单分出一段事间,让你使用天庭の修炼秘境.”“诸位大王,俺觉得不如呐样,等三千年后,修炼秘境再次开启の事候,直接让鞠言大王进入修炼秘境,用个一百万年事间. 呐样虽然仍然不能弥补鞠言大王の损失,但也总算稍微弥补了一些.”吔箐大王大声の说道.段韵大王罔大嘴巴,看着吔箐大王.段韵大王心中,简直有一万头草泥马奔腾而过.哪个情况?呐是吔箐大王说の话?吔
新初中数学二次函数知识点总复习(1)
新初中数学二次函数知识点总复习(1)一、选择题1．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．12C ．43D ．45【答案】D 【解析】 【分析】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【详解】解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ， ∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)， ∴OC ＝k ， ∵△ABC 的面积＝12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k ＝14(4﹣k)， 解得：k ＝45．故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，(4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．3．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．4．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．5．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D 【解析】分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答． 详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]； A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的． 故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．6．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( ) A ．5 B ．52-C ．52D ．－5【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果． 【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等， ∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=， 即8x =时，函数值等于5， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．7．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可． 【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ，①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确； ②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确； ③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确； ⑤c−a=1−a ＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．8．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当12n <时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】解：①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭,12n <∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=12的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ⎛⎫-⎪⎝⎭，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭Q3122n n ∴-<- ∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；②把1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++,∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-<⎪⎝⎭∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确； 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．9．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ） A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移10个单位长度 D ．向右平移10个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离． 【详解】解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4， ∵4－（－6）＝10，∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．10．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决． 【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0）， ∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点， ∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0， 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．12．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝2211a ＞2，∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ，当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小；∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0，∴m +n ＜2a ；∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ）A ．B ．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．14．一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a =-＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，∴a ＜0，b ＞0，又∵反比例 函数y=c x 图像经过二、四象限， ∴c ＜0，∴二次函数对称轴：2b x a=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交， 故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，故B 错误；C.由对称轴可知：x ＝2b a-＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝0，∴a +b +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；故选D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．17．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断．【详解】解：A.由一次函数图像可知a＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴32a-<应在y轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a＜0，而由二次函数图像开口方向可知a＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴32a->在y轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a＞0，而由二次函数图像开口方向可知a＜0，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．18．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有() A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．19．如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc ＜0；②a -b +c =0；③2a +b =0；④2a +c ＞0；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，其中正确的结论是（ ）A ．①⑤B ．②④C ．②③④D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a=1，故正确；④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确．【详解】解：①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a=1，故正确； ④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确；故选D ．【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y 的值．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。
第1章 二次函数复习
（二）二次函数图象及画法 y
2 b 4 ac b 顶点坐标 （ ， ） 4a 2a
b ( , c) a
x1 O x2
c
与X轴的交点坐标
(x1,0)
(x2,0)
x 与Y轴的交点坐标及它 关于对称轴的对称点
b 4ac b 2 （ ， ） 4a 2a
(0, c)
b ( , c) a
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（三）、平移，配方
1、y ax y a ( x - h )
2 向左(向右)平移 2
|m|个单位
y a ( x - h ) k |k|个单位
2
向上(向下)平移
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h， k） 直线x=h 由h和k的符号确定 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
当x=h时,最小值为k. 当x=h时,最大值为k.
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(五) 函数性质：
（1）
a>0时，对称轴左侧(x<2a ) ，函数值y随x的增大而减小 ；对 b 称轴右侧(x>)，函数值y随x的 2a 增大而增大 。 ，函数值y随x的增大而增大 ；对 b 称轴右侧(x>- )，函数值y随x的 2a 增大而减小 。
图 26.2.4
c>0
c<0 c=0
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（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)1.已知二次函数图像的顶点坐标为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求此二次函数的解析式。
2.已知二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-1，12）和B（2，-3）。
1）求这个二次函数的解析式。
2）求这个图像的顶点坐标及与x轴的交点坐标。
3.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x^2+bx+2的图像的一个交点为（m，3），试求此二次函数的解析式。
4.已知抛物线y=ax^2+bx+c与抛物线y=x^2+2x+3的顶点坐标相同，为（-2，4），求a，b，c的值。
5.已知二次函数y=ax^2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：x。
-2.2y。
-11.111）求这个二次函数的解析式。
2）写出这个二次函数图像的顶点坐标。
6.已知抛物线y=x^2+(m+1)x+m，根据下列条件分别求m 的值：1）若抛物线过原点；2）若抛物线的顶点在x轴上；3）若抛物线的对称轴为x=2.7.已知抛物线经过两点A（1，5）、B（-1，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式。
8.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：1）写出y>0时，x的取值范围；2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；3）求函数y=ax^2+bx+c的表达式。
9.已知二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-2，5）、B（1，-4）。
1）求这个二次函数的解析式；2）求这个图像的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；3）画出这个函数的图像。
10.已知：抛物线经过点A（-1，7）、B（2，1）和点C （0，1）。
1）求这条抛物线的解析式；2）求该抛物线的顶点坐标。
11.若二次函数y=ax^2+bx+c的图像与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，4）、C（2，-1）两点，求此二次函数的解析式。
二次函数解析式的求法(1)
一步从侧面表现出何爹剃头技艺的高超。 ? E．文章以自然朴实的语言，真诚地礼赞了传统文化中值得发扬的优秀面，并且表现了作者对于传统文化在现代社会中所处的尴尬地位及日后走向的深切忧虑。 ? 2．何爹这一人物形象具有哪些特点？请结合文章简要概括。 ? 3．文章最后详写何爹最 后一次给三明爹剃头的情节有何作用？ ? ? 4．怎样看待何爹“宁可败走麦城也决不背汉降魏”的这种坚持？面对传统技艺的衰落，你对当今逐渐失势的传统文化有何思考？ 【参考答案】 一．（1）AD。A正确。说的是开头环境描写的作用是突出剃刀侠在天子脚下，这种繁华人多的环境下竟然 敢动手杀掉蓝翎侍卫，可见剃刀侠艺高人胆大。B、不正确。无根据。这种推测不完全正确，老摊贩认得蓝翎侍卫，不见得就一定是曾被蓝翎侍卫欺负，也可能是他经常看到蓝翎侍卫欺负其他人。C不正确。小说采用了正面描写和侧面描写相结合，如：“挑儿前一个年过半百的瘦老头儿正在刀荡 子上哧哧荡刀”就是正面描写。D正确，这样设计情节更真实。E不正确。本文歌颂了剃刀侠打抱不平，扶危济困的侠义精神，寄托了人们惩处邪恶、彰显正义的善良愿望和朴素理想。 （2）①瘦老头儿荡刀。②蓝翎爷给刮得懒洋洋，并“呼噜呼噜”睡。③剃头后老师傅又找几刀。④上马后，小 卒子问蓝翎爷，蓝翎爷不出声。（每点2分，答满3点得满分，如有其它合理分析酌情给分。） （3）①形体上：蓝翎爷体肥身重，剃刀侠却是年老体瘦；②身份地位上：蓝翎爷前呼后拥，剃刀侠势单力薄。③处世态度上：蓝翎爷暴虐成性，欺行霸市，耀武扬威，剃刀侠淡泊名利，处变不惊，自 甘寂寞。（每点2分，如有其它合理概括酌情给分。） （4）①歌颂了杀富济贫、扶危济困的侠义精神。②寄托了人们惩处邪恶、彰显正义的善良愿望和朴素理想。③弱小战胜强权，正义挫败邪恶，反映出民众的智慧和力量。④散发出老独有的文化气息。（每点2分，如有其它合理探究酌情给分 ） 二.（1）BC? A项根据文意看不出前后之间有因果关系，且李叔同是“风流儒雅”的少年公子，A项叙述与原文有别。D项对李同叔出家原因的阐述在文中缺少根据，并且“这种思想”在他出家创作的诗词中也可以表象出来。E项“做一样，像一样”不是作者的评价，是夏丐尊先生的评价。 ? ? （2）①音乐方面，他创作了我国第一部音乐刊物《音乐小杂志》，提倡音乐的社会教育功能；②在近现代美术史上，他开设了室内室外写生课，且在教课中采用了男性裸体模特写生，具有历史性的开创意义；③在戏剧是发展史上，他组织成立了“春柳社”，扮演过茶花女，因演技高超而受到日 本戏剧家的高度评价；④在文坛上，他创作的诗词题材博大，内容深广，超越世人；⑤在做教师时，他脱下西装，穿上黑马褂、布鞋，戴上金丝边框眼镜，为人师表，他一丝不苟。（答出其中任意3点） ? ?（3）李叔同多才多艺，文艺的园地几乎被他走遍了，而且他在很多艺术领域都卓有成建 树，最后他又远离了这一切，出家为僧，将生命最大化地归于平淡，因此说他是“绚丽至极归于平淡”。这句话是对李叔同的整体评价，起到了总结全文的作用。 ? ?（4）赞同作者的观点。李叔同先生在做学问上非常严谨。这主要表现在他无论在哪一领域，都能认真去做，非常负责任。如教书 ，他对自己的要求就是为人师表，一丝不苟。 同时李叔同先生一点也不拘谨，他在所从事的领域，无论是音乐，还是美术、戏剧，都极度创新意识，如他以敏锐的艺术灵感创造了很多中国艺术史上的第一，创办了我国第一部音乐刊物《音乐小杂志》，首倡男性裸体模特写生，改变只授临摹画帖 的状况等。 （不赞同作者的观点，只要结合原文，言之有理也可。） 三 、1、 解析 B项在本段无夸张。D项说红柳木“生命力更顽强，更值得人类学习”文中无据。答案 BD 2、 答案 荒凉、凄清、荒无人烟、干旱无雨；此环境为下文写三种植物做了铺垫，烘托出三种植物顽强的生命力。 ? 3、答案 起承上启下(过渡)的作用，从对胡杨林、骆驼刺的描写转向对红柳木的描写。 ? (1)趴伏或者挺直腰杆；(2)抗争(“挣扎奋斗”也可)；(3)点缀美化着戈壁滩；(4)永不放弃。 ? 4、答案 指红柳木身处绝境但不绝望、勇于与命运抗争的勇气和精神。联系人生、自然界中不凡、不屈 和高贵的生命都能给我们太多的启示：生命只有一次，在人生的道路上，事业、前途、爱情……都可能会不顺利，人生也会陷入绝境，但不必悲观，不要绝望，只有一息尚存，一切都会好起来；生存本身就是一种资本，一种幸运，一种对不公平命运的勇敢挑战和蔑视，人生就要像红柳一样，身 处逆境却能点亮美化世界，赢得敬畏和尊重。 ? 四?、1、?解析 C项“暗示了相对封闭的自然环境使得秦岭女孩脸上满是羞涩”，应是 “用环境的幽美，烘托秦岭女孩的纯真、自然”；E错在“形象地表达了人生苦短的惆怅”。答案 CE ?2、 答案 文章的③④⑤段是详写，具体描述了作者与 年轻乘客、秦岭女孩和中年乞丐邂逅的经历。而⑥、⑦两段是略写(概述)，点出人生“一转身”中发生的种种变化，是对前文详写的拓展。 ? 3．(1)?答案 在山色、水声和花香中，秦岭女孩保持着最纯真的表情(美好的环境，美好的人情)，因而这时的她是最美丽的。 ? (2)?答案 转眼间，作 者身边只有一个老年乞丐，却找不到他要寻找的那个中年乞丐。然而，他们同样生活在贫寒与苦难中。 ? 4．答案 “转身”指的是人们在人生路途中与美好事物相逢机遇的短暂(或答：失去美好事物的迅速)。作者告诉人们：人生中任何美好的东西都是稍纵即逝的，因此要格外懂得珍惜。 ?五 、1、 解析 A项作者讲述这个故事，是为了说明应该历史地看待事物；B项应是沙漠玫瑰之美惊天动地；D项沙漠玫瑰之名是原来就有的，不是作者命名的。答案 CE ? 2．答案 ①是一蓬干草，真正枯萎、干的、死掉的草，很难看。②形状：是一种地衣，松枝形状。③颜色：开放时叶绿色，张 开有玫瑰形图案。④生命力：整个浸泡在水里八天就会复活，干放一两年遇水仍会复活。 3．? 答案 ①照应开头。“鉴往知来，认识过去才能预测未来”；②承上启下的过渡作用，承接上文沙漠玫瑰的故事；领起下文，由记叙转入议论，应历史地看待事物，没有一个现象是孤立存在的。 ? 4 ．?答案 不能删去，因为：①结构上：首尾呼应，浑然一体。②总领全文，卒章显志，点明、深化中心。历史告诉你，应历史地看待事物，没有一个现象是孤立存在的，鉴往知来。③运用以小见大手法，构思巧妙。由沙漠玫瑰的开放推及应历史地看待事物的深刻哲理。 六、1、?解析 A项主要 是为了引起下文，为下文写人提供背景。C项“可见祖母的笑是苦涩而痛楚的”与文不符。E项没有深化主旨。 答案 BD ? 2答案 起到了抒情线索作用，把景、情、人很好地结合在一起，使行文脉络清晰。第一次承上启下，由景及人。第二次深化对祖母的怀念，情感达到高潮。 ? 3．答案 ① 落叶上的脉络，如同祖母的皱纹。 ? ②祖母总是不停地翻捡那些落叶，把中意的珍藏起来。 ? ③祖母的书里夹着各种各样的落叶，仿佛为自己的青春留下的标记。 ? ④祖母习惯在落叶上写哀婉的宋词，怀念着祖父。 ? ⑤一个落叶的秋天，祖母如同秋叶安详离去。 ? 4． 答案 “生如夏花之 灿烂，死如秋叶之静美”，生命虽然短暂，也可能充满痛苦与无奈，无论幸与不幸，我们都要保持乐观的人生态度和优雅的姿态。不气馁，不消沉，以包容之心去对待苦难与不幸，去采撷生活中哪怕是一丝一缕的阳光和快乐。总之，要珍惜现在，热爱生活。 七、1、? 解析 B项“就必须借助外 物的指引，如‘道路’‘灯光’等”概括不全，还应有“要有坚强的意志，历经磨难挫折”。D项“退缩”有误，文中无此信息；“茫然”有误，海光出现的时候，给人以希望。 答案 BD ? 2．答案 ①点题。本文的重点就是围绕“海光”而层层推进的。 ? ②承上启下。由上文在艰难的夜行中 ，失落了任何辨识大海的标记，让我们备感踌躇、预感不祥和恐惧，过渡到下文写大海重新为我们带来了魅力，给我们增添了勇气和活力，让我们面对目标而不知疲倦地前进。 ? 3． ?答案 作者经历了看海途中的艰难跋涉，最后靠海光的指引才到达海边，由此而产生了新的感悟，认识到找出 神秘的海光对人生的启迪答案，要比单纯的观看日出更有人生意义。 ? 4． ?答案 ①人们的奋斗总是有目标的，只要坚定不移，就能感受到成功的到来。 ? ②走向目标的旅程是遥远而又曲折的，既要满怀希望，又要有坚强的意志，从这个意义上说，实现目标的过程比最终的目标更有意义。 ? ③理想和现实的统一才是真正的成功，而现实又常常在变化，所以，免不了有挫折。 八．?1. 解析 C项“为了不拖累主人而选择了自尽”的说法错误，从“小男孩”的行为看；D项“人类是……群体”的说法过于绝对，“创作动因”的说法也于文无据。答案 CD ?2． ?答案 ①描绘(勾勒)出 春天风和日丽的景象，推动了后面农夫们春耕和老黄牛腿断等情节的发展。②表现(勾勒)出了黑夜的寂静和沉重，渲染了孤独和凄凉的气氛，为后面老黄牛的眷念和回忆作了铺垫。③表现出深夜里整个村子的黑暗和阴森，不仅渲染了不安和恐怖的气氛，还推动了后面主人和屠夫合谋杀牛、老黄 牛自尽等情节的发展。 ? 3．? 答案 ①“鞭子的抽打声和吆喝声”和“主人斥责他”体现了自私的主人对卖力耕田的老黄牛毫不怜惜的冷漠；②“主人望着老黄牛，目光变得闪烁不定”表现出主人在兽医的建议下盘算杀牛卖钱的残忍心理；③“倏然间，主人家正屋的灯亮了”，从侧面表现出 主人雇用屠夫要实施杀牛卖钱的冷酷。(必须是表现“主人对老黄牛无情”的伏笔) ? 4． ?答案 从立意看，另一种结局能够表现出小男孩的纯真和善良，有利于表现作者对人性中“真、善、美”的期盼和追求。但这样完美的结局不利于表现立意的批判性，并会削弱小说的感染力。(要从立意角 度说，言之成理即可) 九．1.? 解析 A项不是想用果品转移孩子的注意力，而是从前一直是妻子点香，父亲不忍睹物伤怀。D项“使哀恸的父亲变得愤怒”不当。 ? 答案 AD ?
二次函数快速求解析式
二次函数快速求解析式二次函数是高中数学中一个重要的知识点，对于学生来说，掌握二次函数的求解方法是非常必要的。
在学习二次函数时，我们需要掌握快速求解析式的方法，下面将详细介绍如何快速求解析式。
一、什么是二次函数？二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中x为自变量，y 为因变量。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数通常表示开口向上或开口向下的抛物线。
二、如何快速求解析式？1.已知顶点坐标和另一点坐标如果已知一个二次函数的顶点坐标和另一个点的坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k（2）根据另一个点的坐标代入上式，并解出a（3）将得到的a代入平移后的函数中即可得到原始函数例如：已知y=ax²+bx+c经过点（1,-2），顶点坐标为（-1,3），则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+3（2）代入已知点（1,-2）得到-2=a(1+1)²+3，解出a=-1/4（3）将a=-1/4代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-1/4(x+1)²+32.已知两个点坐标和顶点坐标如果已知一个二次函数的两个点坐标和顶点坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k（2）根据另外两个点的坐标代入上式，并联立方程组解出a、h、k（3）将得到的a、h、k代入平移后的函数中即可得到原始函数例如：已知y=ax²+bx+c经过点（-2,7）、（0,3），顶点坐标为（-1,4），则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+4（2）代入另外两个已知点得到如下方程组：7=a(-2+1)²+43=a(0+1)²+4联立方程组解出a=-2，h=-1，k=6（3）将a=-2，h=-1，k=6代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-2(x+1)²+43.已知三个点坐标如果已知一个二次函数的三个点坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据通用式y=ax²+bx+c，列出三元一次方程组（2）解出a、b、c，得到原始函数例如：已知y=ax²+bx+c经过点（-2,7）、（0,3）、（1,2），则可以通过以下步骤来快速求解析式：（1）根据通用式y=ax²+bx+c，列出如下三元一次方程组：4a-2b+c=7c=3a+b+c=2（2）解出a=-1，b=0，c=3，得到原始函数：y=-x²+3总之，在学习二次函数时，掌握快速求解析式的方法是非常必要的。
数学人教版九年级上册二次函数的复习(一) ——概念、性质及解析式的求解
【说明】 二次函数 的图象及其性质：
① 二次函数的图象是一条以平行于y轴的直线x＝h为对称轴的抛物线，其对 称轴与a、b的关系是：同左异右;
② 当a＞0时，抛物线开口向上， 左减右增，顶点的纵坐标值为其最小值；
③ 当a＜0时，抛物线开口向下， 左增右减，顶点的纵坐标值为其最大值； ④ 任一条抛物线与Y轴总有一个交点（0，C）；当△＝0时，抛物线与X轴有
2、将二次函数y=3x2+12x+8的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位， 所得的图象的函数关系式是（ A. C. y=3（x+5）2-5 y=3（x-1）2-3 B. D. ） y=3（x-1）2-5 y=3（x+5）2-3
二次函数的复习（一）——概念、性质及其求解
【练习】根据下列条件，分别求出相应二次函数的解析式： ①抛物线y=ax2+bx+c经过（-1 ，-1）、（1 ，-4）、（2 ，-3） ②抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2 ，3），与 Y 轴交于（0 ，-1） ③抛物线y=ax2+bx+c与 X 轴的交点分别为（-1，0）、（3，0），且过（0，3） 【说明】二次函数的解析式的求解方法： ①当抛物线经过的是一般点，设一般式，将各点坐标代入列三元一次方程组 求出a、b、c确定；②当已知抛物线的顶点，设顶点式，并将另一个点代入 求a确定；③当已知抛物线与 X 轴的交点，设交点式，并将另一个点代入求a 确定
【拓展训练】请根据前面所学，试判断方程 x 2 2 x 3
的解的个数。
1 0 x
二次函数的复习（一）——概念、性质及其求解
《数形结合》 ——华罗庚 数与形， 本是相倚依， 焉能分作两边飞； 数无形时少直觉， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休； 切莫忘， 几何代数流一体， 永远联系莫分离。
二次函数知识点复习
韦达定理
ax2+bx+c=0（a 0, 0）的两根为x1，x2 b c . 则x1+x2= ，x1 x2=
a a
1.已知一元二次方程,不解方程,求与根有关
的代数式; 2.构造一元二次方程;(减和加积等于0): X2-(x1+x2)x+(x1.x2)=o 3.分解二次三项式.(两根双减,a放最前): ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 4.构造一元二次方程来解方程或方程组
1 1 6 3 2 2x 5 5 2x
a 2b a 2b
平行相似,AA,SAS.SSS.直角三角形的HL
例:D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线 段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E 和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC 相似。问：这样的三角形可以画几个？画出 DE，并且写出添线方法。
(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横 坐标).
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 2、增减性： 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大 而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少； 3、最大或最小值： b 当a>0时，函数有最小值，并且当x= 2 a ，y最小值 2 = 4ac b
a 4b a b 2 ab a b 1.化简 ( ) a b a 2 b a ab
ab(a b) 2.化简 ab a b a b b a
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a bc 0
9a 3b c 0
0 a 0b c 3
解之，得
a 1,
已知抛物线 上的任意三点， 常选用二次函数 的一般式
c3 2 这个二次函数的解析式为：y x 4 x 3
b 4,
解： A（1, 0）、B（3, 0）、 C（0, 3） 设这个二次函数的解析式为
y ax 2 bx c (a 0)
根据题意得：
a bc 0
9a 3b c 0
0 a 0b c 3
解之，得
a 1,
已知抛物线 上的任意三点， 常选用二次函数 的一般式
4Hale Waihona Puke y 4(x 1)2 2
2
关于x轴对称
（1, -2）
y 4( x 1) 2
a4
y 4( x 1)2 2
y 2 x 2 4 x 3 的图象向上平移3 个单位，再 5.将抛物线
向右平移4个单位得到的抛物线是 分析： 法2： 将 y 2 x 2 4 x 3 配成顶点式：
专题复习：
y
如何求二次函数的解析式 2 y ax bx c (a 0)
o
x
虎城中学
2009-3-18
二次函数的定义是什么？
形如 y ax 2 bx c（a、b、c是常数，a 0 ） 的函数叫做二次函数.
如何求二次函数的 解析式呢
1.已知函数
y (m 1) x
m2 1
4x 3
是二次函数，
求这个二次函数的解析式. 解： 由题意得：
m 1 2
2
m 1 0
利用二次 函数的定义求 解析式
这个二次函数的解析式为：
y 2 x 4 x 3
2
解之，得： m=-1
y ax2 bx c 的图象如图所示, 2.抛物线
（1）根据图象写出点A、B、C的坐标. （2）求出这个二次函数的解析式.
1 2 旋转前： y ( x 3) 2 3 1 2 旋转后： y (x 3) 2 3
即：
1 2 y x 2x 5 3
7.（宜宾 2008年）已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别 相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式； (2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积； (3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果 不相似，请说明理由. 分析：
1 b c 0
0 0b c 3
2
b 2,
c3
y x2 2x 3
课堂小结
在求二次函数解析式时应注意哪几个方面？
要视题目的已知条件，选用适当的解析式；选用 的方法应使未知数的个数越少越好，未知数的次 数也是越低越方便。 注意二次函数与一元二次方程的联系，通过数形 结合，可把二次函数的问题转化为一元二次方程 的知识来解决。
c3 2 这个二次函数的解析式为：y x 4 x 3
b 4,
y ax2 bx c 的图象如图所示, 2.抛物线
（1）根据图象写出点A、B、C的坐标. （2）求出这个二次函数的解析式.
已知抛物 线与x轴的交点, 可选用两根式
解： A（1, 0）、B（3, 0）、 C（0, 3）
y a( x x1 )( x x2 ) (a 0) 设这个二次函数的解析式为：
y a(x 1)(x 3) (a 0) 3 a(0 1)(0 3)
解之，得
a 1
这个二次函数的解析式为：
y (x 1)(x 3)
3. 一个二次函数的图象过点（0, 1）,它的顶点坐标 是（8, 9）,求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为： 分析： 已知顶点坐标，设顶点式
y 2( x 5) 4
2
y 2( x 1) 1
2
y 2( x 1) 1
2
向上平移3个单位
顶点坐标（1, 1）
上+下向上平移3个单位
y 2( x 1) 1 3
2
向右平移4个单位
（1, 4）
左+右向右平移4个单位 （5, 4）
y 2( x 1 4)2 1 3
y 2( x 5)2 4
y 2( x 5)2 4
1 2 6.抛物线 y 3 x 2 x 1 绕其顶点旋转 180
将得到怎样的抛物线?试求出其解析式.
分析： 抛物线开口方向改变， 张口大小没变
a:
1 3
1 3
（3,2）
抛物线顶点没变 （3,2） 顶点坐标：
1 2 y ( x 8) 9 8
4.把函数
y 4( x 1)2 2
的图象沿x轴对折得到的图象
的解析式是
y 4( x 1)2 2
抛物线开口方向改变， 法2： 张口大小没变
y 4( x 1)2 2 分析：
关于x轴对称
顶点坐标： （1, 2）
a:
4
作业：
教材
P21 1，2题
y ax2 bx c 的图象如图所示, 2.抛物线
（1）根据图象写出点A、B、C的坐标. （2）求出这个二次函数的解析式.
解： A（1, 0）、B（3, 0）、 C（0, 3） 设这个二次函数的解析式为
y ax 2 bx c (a 0)
根据题意得：
y x 8)2xh28)2ka (0) 0) yx ) 9 0) y a( a( a( 9 ( a a
抛物线过点（0, 1） 1 a(0 8)2 9
1 解之，得 a 8 这个二次函数的解析式为：
已知二次 函数的顶点 坐标或对称 轴或最值设 顶点式.