二次函数基础知识巩固(1)

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第1章二次函数(巩固篇)(解析版)

2020—2021九年级上下单元过关卷（浙教版）第1章二次函数（巩固篇）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知二次函数2(1)y a x =-，当0x >时，y 随x 增大而增大，则实数a 的取值范围是（） A ．0a >B ．1a >C ．1a ≠D ．1a < 【答案】B【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．【详解】∵二次函数2(1)y a x =-的对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 增大而增大，∴二次函数2(1)y a x =-的图像开口向上，∴a -1＞0，即：1a >，故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 2．已知二次函数224y mx mx m =-+，其中0m <，当03x ≤≤时，y 的最大值与最小值的差为16，则m 的值为（）A ．83B ．8-C ．2-D ．2【答案】C【分析】根据函数表达式得到对称轴，再根据x 的范围求出最大值和最小值，据此得到关于m 的方程，解之即可．【详解】解：224y mx mx m =-+，∵m ＜0，∴2m ＜0，∴开口向下，∴对称轴为直线x =()4122m m --=⨯， ∵0≤x ≤3，∴当x =1时取最大值，为y =2m -4m +m =-m ，又∵1-0=1，3-1=2，∴3到对称轴的距离较远，∴当x =3时，取到最小值y =18m -12m +m =7m ，∴-m -7m =16，∴m =-2，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．3．已知抛物线的解析式为()21122y x =-+，则抛物线的顶点坐标是（） A ．()2,1B ．()2,1-C ．()2,1-D ．1,2 【答案】A【分析】根据题目中的抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线的解析式为()21212y x =-+， ∴该抛物线的顶点坐标为()2,1，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在13x ≤≤的范围内有解，则t 的取值错误的是（）A ． 2.5t =B ．3t =C ． 3.5t =D ．4t =【答案】A【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m =4，进而求出抛物线的解析式；把关于x 的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线24y x x =-+与直线y =t 的交点问题，可求出t 的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t 的范围加以对照，即可得出正确答案．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x =2,∴()221m -=⨯-．解得，m =4．∴抛物线的解析式为24y x x =-+．当x =2时，2242=4y =-+⨯，∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．当x =1时，2141=3y =-+⨯，当x =3时，2343=3y =-+⨯，∵关于x 的一元二次方程是240x x t -+-=，∴24x x t -+=．∵方程24x x t -+=在13x ≤≤的范围内有解，∴抛物线24y x x =-+与直线y =t 在13x ≤≤范围内有公共点，如图所示．34t ≤≤∴．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，而熟知二次函数与一元二次方程的互相转化是解题的关键．5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >；②20a b ->；③420a b c -+<；④()22a c b +<．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数的图象，可以得到a ＜0，b ＜0，c ＞0，对称轴在x ＝﹣1右边，x ＝﹣2时、x ＝﹣1时和x ＝1时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，对照判断各个选项即可解答本题．【详解】解：①根据函数图象的开口向下知，0a <，∵抛物线与x 轴交点一个在（-2,0）和（-1,0）之间，另一个在（0,0）和（1,0）之间，可得抛物线的对称轴在()1,0-的右边，在y 轴左边，02b a∴-<， 0b ∴<，∵抛物线与y 轴交于正半轴，0c ∴>，0abc ∴>．故①正确；②∵抛物线的对称轴在()1,0-的右边，，12b a∴->-， 12b a∴<， 0a <，2b a ∴>，20a b ∴-<，故②错误；③由函数图象可知，当2x =-时，0y <，即420y a b c =-+<，故③正确；④由函数图象可知，当1x =-时，0y >，即0y a b c =-+>，当1x =时，0y <，即0y a b c =++<，()()()220a c b a c b a c b +-=+++-<，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数图象的特点，运用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．6．函数a y x=与2y ax a =-（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【详解】解：当a>o 时，函数a y x =的图象位于一、三象限，2()0y ax a a =-≠的开口向上，交y 轴的负半轴，没有符合的选项；当a<o 时，函数a y x =的图象位于二、四象限，2()0y ax a a =-≠的开口向下，交y 轴的正半轴，C 选项符合．故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.．7．已知二次函数()()211612y m x n x =-+-+（0m ≥，0n ≥），当12x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（）． A ．4B ．6C ．8D ．494 【答案】D【分析】由二次函数解析式求出对称轴的直线方程，分类讨论抛物线的开口方向向下或向上的,m n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【详解】解：抛物线()()211612y m x n x =-+-+的对称轴为直线61n x m -=-，当1m 时，抛物线开口向上，12x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，621n x m -∴=≥-，即28m n +≤，解得:82n m ≤-，2(82)2(2)8mn m n m ∴≤-=--+，8mn ∴≤．当01m ≤<时，抛物线开口向下，12x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，611n x m -∴=≤-，即7m n +≤，解得：7m n ≤-，2749(7)()24mn n n n ∴≤-=--+， 494mn ∴≤，综上所述：mn 的最大值为494，故选：D【点睛】本题考查来二次函数的性质及最值问题，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，主要根据抛物线的开口方向进行分类讨论．8．已知二次函数2()y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足13x ≤≤时，其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为（）A ．2或4B ．0或4C ．2或3D ．0或3 【答案】B【分析】根据函数的对称轴为：x=h 和13x ≤≤的位置关系，分三种情况讨论即可求解．【详解】解：函数的对称轴为：x=h ，①当3h ≥时，x =3时，函数取得最小值1，即2(3)1h -=，解得h =4或h =2（舍去）；②当1h ≤时，x =1时，函数取得最小值1，即2(1)1h -=，解得h =0或h =2（舍去）；③当13h <<时，x=h 时，函数取得最小值1，不成立，综上，h =4或h =0，故选：B ．【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．9．已知二次函数1y ＝a 2x +ax ﹣1，2y ＝2x +bx +1，令h ＝b ﹣a ，（）A ．若h ＝1，a ＜1，则2y ＞1yB ．若h ＝2，a ＜12，则2y ＞1yC ．若h ＝3，a ＜0，则2y ＞1yD ．若h ＝4，a ＜﹣12，则2y ＞1y 【答案】B【分析】先利用2y 减去y 1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a ＞0，△＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，据此对各个选项计算分析即可．【详解】解：2y ﹣1y ＝（1﹣a ）2x +（b ﹣a ）x +2，由2y ＞y 1得2y ﹣1y ＞0，∴1﹣a ＞5，△＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，A 、若h ＝1，a ＜1，则b ﹣a ＝1，1﹣a ＞0∴△＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝1﹣8（1﹣a ）＝﹣7+8a ，无法判断△与0的大小关系,故A 错误；B 、若 h ＝2，a ＜12，则b ﹣a ＝2，8a ＜4, ∴△＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝4﹣8（1﹣a ）＝﹣4+8a ＜0，故B 正确；C 、若h ＝3，则b ﹣a ＝3，a ＜0,∴△＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝9﹣8（1﹣a ）＝1+8a ，无法判断△与0的大小关系,故C 错误；D 、若h ＝4，a ＜﹣12，则b ﹣a ＝4，1﹣a ＞32, ∴△＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝16﹣8（1﹣a ）＝8+8a ＜4，无法判断△与0的大小关系,故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用根的判别式和不等式的性质是解题的关键．10．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①0c >；②0a b c ++<；③20a b -<；④244b a ac ->，其中正确的是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】C【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴交点来判断a 、b 、c 的符号，进而判断各结论是否正确．【详解】解：根据二次函数的图象知：抛物线交y 轴于负半轴，则c <0，故①错误；由图知：当x =1时，y <0，即a +b +c <0，故②正确；∵对称轴-02b a >，开口向上，0a >， ∴0b <，所以2a -b ＞0，故③错误；∵由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，∵a ＞0，∴4a ＞0，由图知，0x =时，10y c ==-<，∴()44410ac a a c +=+=，∴b 2＞4a +4ac ，∴b 2-4a ＞4ac ，故④正确；所以正确的结论为②④，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a ，b ，c 的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y =a +b +c ，y =a -b +c ，然后根据图象判断其值． 11．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线1x =-，且过点()3,0-．下列说法：①0abc <；②2b a =-；③40b c +>；④若()15,y -，()22,y 是抛物线上的两点，则12y y >．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向得到a ＞0，根据抛物线的对称轴得b =2a ＞0，则2a -b =0，则可对②进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c ＜0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；由于x =1时，y =0，则得到a +b +c =0，则可对③进行判断；通过点（-5，y 1）和点（2，y 2）离对称轴的远近对④进行判断；．【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线对称轴为直线x =-2ba=-1， ∴b =2a ＞0，所以②错误；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；（-3，0）关于直线x =-1的对称点为（1，0）， ∴令x =1，y =a +b +c =0， ∵b =2a ∴c =-3a ， ∵a ＞0，∴4b +c =8a -3a =5a ＞0，故③正确；∵点（-5，y 1）离对称轴的距离比点（2，y 2）离对称轴的距离远， ∴y 1>y 2，所以④正确．所以正确的结论有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线AB 上的动点（点E 不与点A ，点B 重合），点F 在线段DA 的延长线上，且AF AE =，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EG ，连接,,EF FB BG ．设AE x =，四边形EFBG 的面积为y ，下列图象能正确反映出y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD 是边长为1的正方形， ∴∠DAB =90°，AD =AB ，在△ADE 和△ABF 中，AD AB DAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ），∴∠ADE =∠ABF ，DE =BF ， ∵∠DEG =90°，∴∠ADE +∠AED =∠AED +∠BEG ， ∴∠BEG =∠ADE ， ∴∠BEG =∠ABF ， ∴EG //BF ， ∵DE =BF ，DE =GE ， ∴EG =BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∴四边形EFBG 的面积=2△BEF 的面积=2⨯12BE •AF ，设AE =x ，四边形EFBG 的面积为y ，当0≤x ≤1时，y =（1-x ）•x =-x 2+x ；当x ＞1时，y =（x -1）•x =x 2-x ；综上可知，当0≤x ≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x ＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B ，故选：B ．【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．二次函数()2y x h k =-+（h 、k 均为常数）的图象经过()113,P y -、()221,Py -、()331,P y 三点．若213y y y <<，则h 的取值范围是_________________ 【答案】21h -<<- 【分析】由二次函数()2y x h k =-+可知，开口向上，对称轴为x h =，再根据1P ，2P ，3P 三点横纵坐标的大小关系进行判断求解．【详解】解：由二次函数()2y x h k =-+可知，开口向上，对称轴为x h = 在对称轴左侧函数值随x 的增加而减小，在对称轴右侧随x 的增大而增大．注意到1P ，3P 两点的横坐标之和正好是2P 横坐标的二倍，又∵213y y y << ∴-1h <（若-1h ≥，13y y ≥，不符合题意）又∵21y y <∴2h >-（若-2h ≤，12y y ≤，不符合题意）故答案为：21h -<<-．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．14．将二次函数2241y x x =--的图像沿着y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是_________．【答案】2241y x x =+-（或22(1)3y x =+-）【分析】根据关于y 轴对称的点的特征，即可得2241y x x =--的图像关于y 轴对称的函数表达式．【详解】根据关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等．则2241y x x =--关于y 轴对称的函数表达式为：22()4()1y x x =⨯--⨯--即：22241=2(1)3y x x x =+-+-故答案为：2241y x x =+-（或22(1)3y x =+-）【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的特征，函数图像可以看作是满足函数关系式的点构成的图形，所以满足关于y 轴对称的点的特征，理解关于y 轴对称的点的特征是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点(2,4)A 在抛物线2y ax =上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C 、D 在线段AB 上，分别过点C 、D 作x 轴的垂线交抛物线于E 、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为_________．【答案】225-+ 【分析】点(2,4)A 代入抛物线中求出解析式为2y x =，再设CD =2x ，进而求得E 点坐标为(x ,4-2x )，代入2y x =中即可求解．【详解】解：将点(2,4)A 代入抛物线2y ax =中，解得1a =， ∴抛物线解析式为2y x =，设CD 、EF 分别与y 轴交于点M 和点N ，当四边形CDFE 为正方形时，设CD =2x ，则CM=x=NE ，NO=MO-MN =4-2x ，此时E 点坐标为(x ,4-2x )，代入抛物线2y x =中，得到：242xx ，解得11x =-21x =-负值舍去)， ∴2225CDx ，故答案为：2-+．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．16．抛物线22y x x a =++与直线3y x =-+没有交点，则a 的取值范围是___________．【答案】 3.5a > 【分析】根据抛物线22y x x a =++与直线3y x =-+没有交点列出方程，运用二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：由题意可列方程223x x a x ++=-+，当抛物线22y x x a =++与直线3y x =-+没有交点时，方程223x x a x ++=-+无解，将方程整理得：22230x x a ++-=，根据根的判别式得：2242(3)0a -⨯⨯-<，解得： 3.5a >．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数相交问题，将图像问题转换为方程问题是解决本题的关键． 17．在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．【答案】321a a a >>．【分析】抛物线的开口方向由a 的符号决定，开口大小由a 的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．【详解】解：∵二次函数y 1=a 1x 2的开口最大，二次函数y 3=a 3x 2的开口最小，而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数， ∴321a a a >>，故答案为：321a a a >>．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a 的值决定是解题的关键．18．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，则下列说法：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④240b ac -<，其中正确的为______．（填序号）【答案】②③ 【分析】根据图象的开口方向可判断a 的符号，由抛物线与x 轴的交点坐标可得对称轴为直线x =1，从而可判断b 与2a 的关系，当x =1时，根据图象可判断此时函数值a +b +c 的符号，根据图象与x 轴的交点可判断24b ac -的符号，从而可对结果作出判断．【详解】观察图象知，抛物线的开口向下，所以a <0，故①错误；由抛物线与x 轴的交点坐标分别为(-1,0)和(3,0)，由于抛物线的对称轴为直线x =2ba-，所以有：(1)322b b a a ⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭，即12b a -=，所以20a b +=，故②正确；当x =1时，y =a +b +c ，由图象知，0a b c ++>，故③正确；观察图象知，抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->，故④错误．综上所述，正确的为②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题的关键是数形结合，此类题的常用方法：看抛物线的开口方向定a 的符号；看抛物线的对称轴在y 轴的左边还是右边，定b 的符号；看抛物线与y 轴的交点定c 的符号；看抛物线与x 轴的交点定判别式的符号．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，抛物线2y ax bx c =++过(1,0)，(3,0)，(0,6)三点，边长为4的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴上，y 轴上．（1）求抛物线解析式，并直接写出当14x -≤≤时y 的最大值与最小值的差．（2）将正方形OABC 向右平移，平移距离记为h ． ①当点C 首次落在抛物线上，求h 的值．②当抛物线落在正方形内的部分，满足y 随x 的增大而减小时，请直接写出h 的取值范围．【答案】（1）y =2x 2-8x +6，18；（2）①23；②233h <≤【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质可确定y 的最大值与最小值，进而可得答案；（2）①当点C 首次落在抛物线上，则24286Cy x x，解方程即可求出结果；②当点C首次落在抛物线上，2h =23h时，抛物线落在正方形内的部分，满足 y随x 的增大而减小，当3h =时，即正方形运动到点(3,0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足 y 随x 的增大而减小，当3h >时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y 随x 的增大而减小，故3h ，进而求解．【详解】解：（1）由题意得：09306a b c a b c c ，解得 286abc，故抛物线的表达式为2286y x x =-+，由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2,2)-，当1x =-时，228616yx x，故当14x -≤≤时，1x =-时，y 取得最大值16，而在顶点处取得最小值 2-，y ∴的最大值与最小值的差为16(2)18；（2）①当点C 首次落在抛物线上，则24286C y x x，解得2=x由于点C 首次落在抛物线上，则23hx；②当点C首次落在抛物线上，2h =23h 时，抛物线落在正方形内的部分，满足 y随x 的增大而减小，当3h =时，即正方形运动到点(3,0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y 随 x 的增大而减小，当3h >时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y 随x 的增大而减小，故3h ；故23h ≤．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质、图形的平移等，确定正方形和抛物线的位置关系是本题解题的关键．20．已知抛物线2(1)y a x h =-+经过点(0,3)-和(3,0)．（1）求a 、h 的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．【答案】（1）1a =，4h =-；（2）242y x x =-+ 【分析】（1）将点(0,3)-和(3,0)，代入解析式求解即可；（2）将2(1)4y x =--，按题目要求平移即可．【详解】（1）将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ⎧-+=-⎨-+=⎩ 解得：14a h =⎧⎨=-⎩∴1a =，4h =- （2）原函数的表达式为:2(1)4y x =--，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：∴平移后的新函数表达式为:22(11)42=42y x x x =---+-+即242y x x =-+ 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．21．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客入住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．（1）扣除各种费用后的总收入为10640元，且入住率超过60%时，有几间房空闲？（2）定价为多少时，宾馆可获最大利润？【答案】（1）12间；（2）350元．【分析】（1）根据扣除各种费用后的总收入为10640元列一元二次方程，再解一元二次方程，验根即可解题；（2）先写出利润为w 与x 间房空闲的函数关系式，配方成顶点式，结合二次函数的最值性质解题．【详解】解：（1）设有x 间房空闲，依题意得，(1801020)(50)10640x x -=+-化简得，2342640x x -+=(2)(22)0x x ∴-=-1∴112x =，222x =∵入住率要超过60%∴12x =答：有12间房空闲.（2）设利润为w 元，依题意得：2(16010)(50)103408000w x x x x =+-=-++∵－10＜0∴当340172(10)x =-=⨯-时，w 可取最大值，∴定价为180＋17×10＝350（元），答：定价为350元时，宾馆可获最大利润.【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题．22．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为y （瓶）．（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）40880y x =-+（16x >）；（2）当销售单价为19元时，每天的销售利润最大为360元【分析】（1）根据题意即可直接列出关于x 、y 的等式，整理即可得出每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式．（2）设每天的销售利润为w 元，根据利润=销量×（售价-成本）即可列出关于w 与x 的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由题意得：2080200.5x y -=+⨯， ∴()4088016y x x =-+≥．（2）设每天的销售利润为w 元，则有 ()()()240880164019360w x x x =-+-=--+，∵400a =-<，∴二次函数图象开口向下，∴当19x =时，w 有最大值，最大值为360元．故当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键． 23．已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是直线 1x =-．（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数y =kx +b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，P A ：PB =1：5，求一次函数的表达式．【答案】（1）m =2，n =﹣2；（2）一次函数的表达式为y =x +4【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求得m 的值，把点P 的横、纵坐标代入抛物线解析式，可求得n 的值；（2）过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，利用相似三角形的对应边成比例，可求点B 的坐标，进而用待定系数法求得一次函数的解析式．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线1x =-，∴﹣21m ⨯=﹣1， ∴m =2 ∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点P （﹣3，1），∴9﹣3m +n =1，得出n =3m ﹣8．∴n =3m ﹣8=﹣2．（2）∵m =2，n =﹣2，∴二次函数的解析式为y =x 2+2x ﹣2．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ，如图所示．∴APCABD △△． ∴PC PA BD AB=． ∵P （﹣3，1），∴PC =1．∵P A ：PB =1：5，∴1BD =16． ∴BD =6．∴点B 的纵坐标为6．把y =6代入y =x 2+2x ﹣2得，6=x 2+2x ﹣2．解得x 1=2，x 2=﹣4（舍去）．∴B （2，6）．∵一次函数的图象经过点P 和点B ，∴3126k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩．∴一次函数的表达式为y =x +4．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、相似三角形、待定系数法等知识点，构造相似三角形和待定系数法是解题的关键．24．如图，二次函数243y x x =-+图象与x 轴的交点为A ，与直线y kx b =+交于点B （4，3）（1）求此二次函数的顶点坐标和点A 的坐标；（2）根据函数的图象，直接写出当函数值243x x -+＞kx b +时，自变量x 的取值范围．【答案】（1）顶点坐标为(2，-1)，点A 的坐标为(1，0)；（2）1x <或4x >【分析】（1）利用配方法把二次函数配成顶点式即可求解；（2）观察图象，利用数形结合即可求解．【详解】解：（1）()22243444321y x x x x x =-+=-+-+=--， ∴顶点坐标为(2，-1)，令0y =，则()2210x --=，解得：1213x x ，==， ∴点A 的坐标为(1，0)；（2）观察图象，知：当1x <或4x >，二次函数243y x x =-+图象在直线y kx b =+的上方，∴当函数值243x x -+＞kx b +时，自变量x 的取值范围为1x <或4x >．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．。

苏教版九年级下册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0．由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限．同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ．【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA •OB=OC 2．以上说法正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【思路点拨】①二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），因而将M 、N 两点坐标代入即可消去a 、c 解得b 值．②根据图象的特点及与直线MN 比较，可知当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在直线MN 的下方． ③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA •OB 的值，当x=0时，可得到OC 的值．通过c 建立等量关系求证．【答案】C ；【解析】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元（x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

二次函数基础知识点详解(配对应练习)

二次函数知识点详解（1）班级________姓名_________知识点一：二次函数定义1. 已知二次函数2y ax = (a ≠0)，则y 与2x 是次函数．y 与x 是次函数。

知识点二：二次函数0≠a 的运用1. 当≠m 时，函数m x m x m y +-+-=)2()3(2是二次函数；2. 当≠m 时，函数m x x m y ++-=2)5(2是二次函数；3. 当m ＝时，函数1)1(12++-=+x xm y m 是二次函数； 4. 已知22212()(3)m m y m m x m x m --=-+-+是x 的二次函数，=m知识点三：二次函数表达式的求法1.二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－9 的图象过原点，则m 为2. 抛物线2ax y =经过点（3，5），则a ＝；3. 抛物线y ＝ax 2＋3经过点（－1，5），则a ＝ y ＝x 2＋bx －4经过点（3，17），则b ＝4. 二次函数2ax y =的图象经过点（3，18），则a = ；当4=y 时，x ＝；知识点四：二次函数图像上点的求法及对称点的求法1.点A(－2，a)是抛物线2y x =上一点，则a ＝，A 点关于原点的对称点B 是， A 点关于y 轴的对称点C 是；其中点B 、点C 在抛物线2y x =上的是；2. 点M(2，a )是抛物线y ＝2x 2－3上一点，则a ＝，M 点关于x 轴的对称点坐标是，3. 点A(a ，－4)是抛物线y ＝x 2＋2x －3上一点，则a ＝，4. 点 (2，－3)是否抛物线y ＝2x 2－x －1上一点；点 (3，0)是否抛物线y ＝x 2－x －6上一点知识点五：二次函数与一次函数交点求法1. 抛物线2ax y =与直线x y 4=交于（1，m ），则m = ；抛物线的解析式是2. 抛物线2ax y =与直线x y -=交于（1，m ），则m = ；抛物线的解析式是3. 抛物线2ax y =＋3x －3与直线y ＝2x+1交于（2，m ），则m= ；抛物线的解析式是知识点六：二次函数顶点式k h x a y +-=2)(的意义1. 抛物线5)1(42+--=x y 的开口向，顶点坐标是，对称轴是直线2. 抛物线1)4(22+-=x y 的开口向，顶点坐标是，对称轴是直线3. 抛物线2)4(+-=x y 的开口向，顶点坐标是，对称轴是直线知识点七：二次函数顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=的意义及用法 1. 抛物线522-+=x x y 开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；2. 抛物线322++-=x x y 开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；3. 抛物线c x ax y ++=22的顶点是（31 ，－1），则a ＝， c ＝。

1=二次函数专题知识点

（一）二次函数基础知识背记知识随堂笔记（开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性）二次函数y=ax 2的对称轴为，顶点为．当a ＞0时，开口向；当x= 时，有最小值；在对称轴的侧，则x 0时，y 随x 的增大而；在对称轴的侧，即x 0时，y 随x 的增大而．当a ＜0时，开口向；当x= 时，有最大值；在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 0时，y 随x 的增大而．【例1】已知抛物线y=（m ＋1）xmm +2开口向下，求m 的值．【2】 k 为何值时，y=（k ＋2）x622--k k 是关于x 的二次函数？【3】已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．（二）二次函数图像性质(1)图像平移(左加右减X ，上加下减看Y 值)【例4】将抛物线y=3(x+3)2-5向_________平移__________个单位,向_________平移________个单位,才能使顶点在原点.【例5】把函数22x y =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是；习题：把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有( )A b=3，c=7B b=-9，c=-15C b=3，c=3D b=-9，c=21（2）代数式符号判断: y=2ax +bx+c 的a 、b 、c 的符号a+b+c a-b+c 4a+2b+c b 2-4ac【例6】已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a -b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 . 其中所有正确结论的序号是（）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③【例7】二次函数y=mx 2+2mx-（3-m ）的图像如图22-2，那么m 的取值范围是（）（A ）m ＞0（B ）m ＞3（C ）m ＜0（D ）0＜m ＜3 （3）图像合理性判断:【例8】直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为（）y y y y O OO x x x O x A B C D 【例9】在同一坐标系中，作出函数2kx y =和)0(2≠-=kkx y 的图象，只可能是（）（三）二次函数的解析式的求法二次函数三种表达方式；（１）一般式:y=ax 2+bx+c （a ≠0）（２）顶点式:y=a(x-h)2+k （a ≠0）（３）交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）【例10】．已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为2=x ，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为；y y y y x x xx OO O O -2-2-2A B C D2【例11】.二次函数在23=x 时，有最小值41-，且函数的图象经过点（0,2），则此函数的解析式为________________________.【例12】．已知抛物线经过(2，0)、(3， 0)两，且经过（５，２），求抛物线的解析式．【例13】．抛物线过A （2，8），B （0，-4），且在x 轴上截得的线段长为3，求此抛物线的解析式.（三）二次函数的实际运用１、用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根。

精品_高中数学专题—二次函数巩固

2 当x [－1,1]时，由x 2－x＋1 2x＋m，
得x 2－3x m－1.当x＝1时， ( x 2－3x) min＝－2，所以m－1 －2，则m －1.故实数m的取值范围是(－，－1)．
考点二、二次函数的零点分布
【例2】已知函数 f(x)＝x2 ＋ 2mx＋2m ＋1的零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围．
高中数学专题
二次函数专题巩固
知识梳理
• 1、二次函数的解析式（待定系数法）
• ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 • ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－x2)， a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标。
2 【解析】 1 设函数 f x ＝ ax ＋bx＋1(a 0)，
则a( x＋1) 2＋b( x＋1)＋1＝ax 2＋bx＋1＋2x， 2a b b 2 a 1 整理得，解得 . a b 1 1 b 1 所以f x ＝x 2－x＋1.
f (2) 0 于是设f x ＝a( x－2) ＋c.由， f (0) 48 16a c 0 a 4 即，得， 4a c 48 c 64 所以f x ＝－4x 2＋16x＋48.
2
【练习1】已知二次函数 f(x) 满足 f(x ＋ 1) － f(x) ＝ 2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2) 在区间 [ － 1,1] 上，函数 f(x) 的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，求实数m 的取值范围．
③当t 2时，函数f x 在区间[t，t＋1]上递减，此时g t ＝f t ＝－t 2＋4t－1， t 2 2t 2(t 1) 综上，g t ＝3(1 t 2) t 2 4t 1(t 2)

二次函数全章复习与巩固—巩固练习提高-精品

《二次函数》【巩固练习】一、选择题1.已知抛物线。

：丁=/+31-10,将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、C关于直线x=l对称.则下列平移方法中，正确的是（）.A.将抛物线C向右平移2个单位B.将抛物线C向右平移3个单位2C.将抛的线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位2.已知二次函数y=4X2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中，其值大于0的个数为（）.A.2B.3C.4D.53.二次函数）=以2+区+。

的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）.C.a+b+c>0D. b1 -4ac > 0第2题4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=/+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180。

，所得抛物线的解析式是（）A.j=-(x+l)2+2B.y=-(x-l)2+4C.y=-(x-l)2+2D.y=-(x+l)2+45.二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A.函数有最小值B.对称轴是直线x二-2 C.当xV,，y随x的增大而减小2D.当-1V X V2时，y>06.如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3,0)；小彬说：过点(4,3)和(0,3)；小明说：a=l,c=3；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有().A.1个B.2个C.3个D.4个已知抛物线产Q Y+B X+C与x轴交于(1,0),试添加一个条件，使它的对称轴为直线x=2.7.己知一次函数y= +的图象过点(-2,1),则关于抛物线y=一版+3的三条叙述:①过定点(2,1)；②对称轴可以是直线x=L③当aVO时，其顶点的纵坐标的最小值为3・其中所有正确叙述的有().A.0个B.1个C.2个D.3个8.已知二次函数)=/—4冗+。

，下列说法错误的是().A.当xVI时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则aW4C.当a=3时，不等式冗2一4了+々>0的解集是1V X V3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a=-3二、填空题9.由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为r4 、10.已知一元二次方程笈一3=0的一根为-3.在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点一一，州、i5 j,yi、y?、丫3、的大小关系是11.如图，一段抛物线y=-x(x-1)(OWxWl)记为1山，它与x轴交点为0、Ai,顶点为1\；,顶点为P2；将叱绕点A2旋转180°得m3,交将n绕点A1旋转180°得叱，交x轴于点A2x轴于点A：,,顶点为P3,…，如此进行下去，直至得m>,顶点为Pm则Pi。

二次函数基础知识点总结

二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0）的图像和性质③y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-ab2。

当a ＞0时，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=ab ac 442-；性质，当a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小.三、会结合图像确定y= 2ax +bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的四种符号a 的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a ＞0；开口向下a ＜0; b 的符号：有对称轴的位置和的a 符号确定：对称轴是y 轴，b=0；对称轴在原点的左侧：02 a b-，对称轴在原点的右侧，02 ab-；c 的符号：看抛物线与y 轴交点的位置：交点在原点，c=0；交点在原点以上，c ＞o ；交点在原点以下，c＜0。

b2－4ac的符号：看抛物线与x轴交点的个数：抛物线与x轴有两个交点 b2－4ac＞0；抛物线与x轴有一个交点 b2－4ac=0，抛物线与x轴没有交点 b2－4ac＜0，四、掌握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：对于表达式是y=ax2（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：知道图像上一个点的坐标。

对于表达式是y=ax2+bx（a≠0）的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。

二次函数全章复习与巩固—知识讲解基础-精品

【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】y —or 2（aK0）,y-ar 2+c （a #C ）y=。

（工-A*+上（。

户o ）.y=ar 2+&r+r （a 声0）-F年二次方程与二次函数的关系 _利用三次函数的图豪求二元三次」方程的解刹车距离最大面积是多少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y =2■3是常数，4H0）,那么V 叫做五的二次函数. 要点诠释：如果y=ax'+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当a=O 时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质L 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 二"/；®y=ax 2,③y=工一人『；@y=a （x-hY_ p i~ .其中我二一二，k=————;⑤）7=&/+£次+二.（以上式子aWO ）《二次函数》全章复习与巩固知识讲解（基础）用函数观点看一元二次方程实际问题与二次函数何时获得最大利润二次函数的概念二次函数的对称轴,顶点坐标二次函数实际问题2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.⑴［的符号决定抛物线的开口方向：当以>0时，开口向上；当以<0时，开口向下；4相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于v轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，丁轴记作直线x=o.3.抛物线y=ar2+bx+c（aWO）中，。

九年级数学二次函数(巩固篇)(专项练习)Word版含解析

专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列函数：①2y x =-，①3y x=，①2y x ，①234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数中，二次函数是（） A ．y ＝﹣4x +5B ．y ＝x （2x ﹣3）C ．y ＝ax 2+bx +cD ．21y x =3．设y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是（） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数D ．以上均不正确4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ）、（c ）、（d ）对应的图象排序（）（1）（2）（3）（4）（a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）（b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A 地的距离与时间的关系）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C ．（4）（3）（1）（2）D ．（3）（4）（2）（1）知识点二、根据二次函数定义求参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．已知函数y =ax 2+bx +c ，其中a ，b ，c 可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（） A ．125个B ．100个C ．48个D ．10个7．如果函数22(2)27m y m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（） A ．2m =±B ．2m =C ．m ＝﹣2D ．m 为全体实数8．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对知识点三、列二次函数解析式9．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（） A ．230(030)y x x x =-<< B ．230(030)y x x x =-+< C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<11．二次函数2y ax c =+的图象与22y x =的图象形状相同,开口方向相反,且经过点()1,1,则该二次函数的解析式为( ) A ．221y x =-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．223y x =-+12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-+-C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-二、填空题知识点一、二次函数的判断 13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）15．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是______A. y ＝x(x ＋1)B. xy ＝1C. y ＝2x 2－2(x ＋1)2D. y =16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．知识点二、根据二次函数定义求参数17．已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__． 18．若y ＝（m +1）x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数，则m 满足_____． 19．函数()21m y m x =++是关于x 的二次函数，则m=___ 20．若函数()2262mm y m x --=+是二次函数，则m =________．知识点三、列二次函数解析式21．矩形周长等于40，设矩形的一边长为x ，那么矩形面积S 与边长x 之间的函数关系式为____.22．在①ABC 中，已知BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y 与x 之间的关系为__________．23．正方形边长为2，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是______． 24．用一根长为10m 的木条，做一个长方形的窗框，若长为xm ，则该窗户的面积y （m 2）与x （m ）之间的函数表达式为_____．三、解答题25．已知函数y=-(m+2)2-2m x (m 为常数),求当m 为何值时：(1)y 是x 的一次函数?(2)y 是x 的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标．26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym2 ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?28．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．()1如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利多少元？()2如果商场每天要赢利1200元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？()3用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？参考答案：1．A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项①符合题意； 2y x 是二次函数，故选项①不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项①不符合题意；①y 是x 的反比例函数的个数有：1个故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解． 2．B【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】A 、y ＝﹣4x+5是一次函数，故选项A 不合题意； B 、y ＝x （2x ﹣3）是二次函数，故选项B 符合题意；C 、当a ＝0时，y ＝ax 2+bx+c 不是二次函数，故选项C 不合题意；D 、21y x =不是二次函数，故选项D 不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3．C【分析】设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，根据y ＝y 1﹣y 2得到y ＝k 1x ﹣k 2x 2，由此得到答案．【详解】解：设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 2，则y ＝k 1x ﹣k 2x 2，所以y 是关于x 的二次函数，故选：C ．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．A【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．【详解】解：根据题意分析可得：（a ）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）；（b ）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）；（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）．故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 5．A【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意得：a ﹣1≠0，解得：a ≠1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．B【分析】根据二次函数的定义得到0a ≠，依据a 、b 、c 的选法通过计算即可得到答案【详解】由题意0a ≠， ①a 有四种选法：1、2、3、4，①b 和c 都有五种选法：0、1、2、3、4， ①共有455⨯⨯=100种，故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义2(0)y ax bx c a =++≠，有理数的乘法运算，根据题意得到a 、b 、c 的选法是解题的关键． 7．C【分析】根据二次函数定义可得m -2≠0，222m -=，再解即可．【详解】解：由题意得：m -2≠0，222m -=，解得：m=-2，故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．8．B【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，①m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．9．C【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．10．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．11．D【分析】根据二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.【详解】①二次函数y=ax2+c的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向相反，①a=−2，①二次函数是y=−2x2+c，①二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，①1=−2+c，①c=3，①抛该二次函数的解析式为y=−2x 2+3；故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解. 12．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．【详解】解：每件的利润为（x -21）， ①y =（x -21）（350-10x ） =-10x 2+560x -7350．故选B ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 ①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点睛】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．①①①【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．【详解】解：y 是x 的二次函数的有①，①，①．故答案是：①，①，①．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）． 15． C B A【详解】根据题意可知y=x （x+1）=x 2+x ，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y ＝2x 2－2(x ＋1)2= y ＝2x 2－2(x 2+2x+1)=-4x -2，是一次函数；函数y . 故答案为C 、B 、A. 16． 3 0【分析】根据二次函数的定义解答即可．【详解】二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．故答案是：3；0．【点睛】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0． 17．k ≠2【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 18．m ≠﹣1【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可；【详解】解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案为：m≠﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键； 19．2【分析】根据二次函数的定义可得220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，求解即可．【详解】解：①函数()21my m x =++是关于x 的二次函数，①220m m ⎧=⎪⎨+≠⎪⎩，解得2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0． 20．4【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】由题意得：2262m m --=，且20m +≠，解得：4m =．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最高次项系数不为0． 21．220S x x =-+【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．【详解】解：设矩形的一边长为x 米，另一边长为（20-x ）米， ①由矩形的面积公式，得 2(20)20S x x x x =-=-+【点睛】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式． 22．y=x 2+12x【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可．【详解】①BC 边长为x(x>0)，BC 边上的高比它的2倍多1， ①这条边上的高为：2x+1，根据题意得出：y=12x （2x+1）=x 2+12x ．故答案为y=x 2+12x ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解题关键． 23．y=x 2+4x【分析】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．【详解】新正方形的边长为2x +，原正方形的边长为2． ∴新正方形的面积为2(2)x +，原正方形的面积为4， 22(2)44y x x x ∴=+-=+，故答案为24y x x =+．【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．24．y ＝﹣x 2+5x【分析】直接利用根据实际问题列二次函数解析式关系式，正确表示出长方形的宽是解题关键．【详解】设长为xm ，则宽为（5﹣x ）m ，根据题意可得：y ＝x （5﹣x ）＝﹣x 2+5x ．故答案是：y ＝﹣x 2+5x ．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出长方形的宽是解题关键．25．(1)(2) m =2，纵坐标为-8的点的坐标是，-8)，（，-8）【分析】（1）根据一次函数的定义求m 的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y =-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标．【详解】(1)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的一次函数，得221,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得 ①当y 是x 的一次函数；(2)由y=-(m+2)22m x -(m 为常数)，y 是x 的二次函数，得222,20,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=2，m=-2(不符合题意的要舍去)，当m=2时，y 是x 的二次函数，当y=-8时，-8=-4x 2，解得故纵坐标为-8的点的坐标是-8)和（，-8）．【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．26．y=﹣12x2+20x ，自变量x 的取值范围是0＜x≤25．【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y 与x 之间的函数关系式.试题解析：①四边形ABCD 为矩形，BC=x①AB=40-2x ．根据题意得：24012022x y BC AB x x x -⎛⎫=⨯==-+ ⎪⎝⎭，因为墙长25米，所以025x <≤． 27．(1) y ＝x2－9x ＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x ＜4.【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；（2）通过二次函数的定义可判断；（3）根据x 取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x)·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20．(2)上述函数是二次函数．(3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4．点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键.28．（1）如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；()2每件衬衫应降价20元．()3每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w 元，每件衬衫应降价x 元，据题意可得利润表达式，（1）把x ＝5代入求得相应的w 的值即可；（2）再求当w ＝1200时x 的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．【详解】（1）设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w ＝（40−x ）（20＋2x ）＝−2x 2＋60x ＋800＝−2（x−15）2＋1250当x ＝5时，w ＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元）答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；()2当w 1200=时，22x 60x 8001200-++=，解之得1x 10=，2x 20=．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．()3商场每天盈利()()40x 202x -+22(x 15)1250=--+．所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键．。

(苏科版)第六章二次函数巩固练习(1)

第六章二次函数练习巩固(1)制卷：孙祥审核：孙祥时间：90分钟分值：150分一、填空题：（每小题4分，共40分）1．抛物线()52212+--=x y 的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .2.用配方法将二次函数1232--=x x y 化成()k h x a y +-=2的形式是 .3.已知二次函数32++=bx x y 的图象的顶点的横坐标是1，则b= .4.二次函数x x y 42+-=的图象的顶点坐标是，在对称轴的右侧y 随x 的增大而 .5.已知抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是（-2，3），则bc = .6.若抛物线c x x y +-=242的顶点在x 轴上，则c= .7.已知二次函数m x x y +-=62的最小值是1,那么m 的值是 .8.若抛物线()x m mx y 122+-=经过原点，则m= .9.已知二次函数()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是 .10.若抛物线()4152322---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是二、选择题：（每小题3分，共30分）11.若直线y=ax+b 不经过一、三象限，则抛物线c bx ax y ++=2 （）(A)开口向上，对称轴是y 轴; (B) 开口向下，对称轴是y 轴;(C)开口向上, 对称轴是直线x=1;(D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;12.抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是 ( )(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);13.若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴; 则点⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a P ,在（）（A ）第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;14.对于抛物线171222+-=x x y ,下列结论正确的是（）(A)对称轴是直线x=3,有最大值为1；(B)对称轴是直线x=3,有最小值为-1；(C)对称轴是直线x=-3,有最大值为1；(D)对称轴是直线x=-3,有最小值为-1；15.已知直线y=x+m 与抛物线2x y =相交于两点，则实数m 的取值范围是 ( )（A ） m ﹥41-; (B)m ﹤41-; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41.16.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（）(A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤017.抛物线232+-=x x y 不经过（）(A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限18.已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（）(A) 342---=x x y , (B)342+--=x x y ,(C) 342--=x x y ,(D) 342-+-=x x y ,19.在同一直角坐标系中，抛物线542-+=x x y 与直线y=2x-6的交点个数是( )(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.20.若反比例函数x k y =图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=图象大致为( ) 三、解答下列各题：（共80分）1.（本题8分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.A ．B ．C ．D ．2.（本题8分）已知抛物线()8=x-y,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线122++与x轴的两个交点间的距离.3.（本题10分）已知抛物线c=2(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛+y+axbx物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.4.（本题10分）围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.5.（本题10分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．2的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x 6.（本题6分）已知抛物线kx=4-xy+轴交于B,C两点.求抛物线的顶点坐标.7.（本题12分）如图，在一块三角形区域ABC 中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上。

二次函数(基础知识)

二次函数一、知识网络⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⇒+=+=⇒=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒程的关系二次函数与一元一次方图像平移变换轴的位置关系的判定图像与顶点与对称轴开口方向及单调性抛物线形状二次函数的性质二次函数概念c bx ax y k h x a y h x a y b ax y ax ：y x ：22222)()( 二、知识点与典型例题知识点1：二次函数的概念：形如++=bx ax y 2c(a ≠0)的函数叫二次函数，其中ax 2叫做二次项，a 叫二次项系数；bx 叫一次项，b 叫一次系数；c 叫常数项。

特别注意：a ≠0例1：下列函数中，哪些是二次函数（1）y=3x-1;(2)y=3x 2-1;(3)y=3x 3+2x 2;(4)y=(x+2)2-x 2;(5)y=x 2+21x;(6)y=2x 2+x-21>（2）①若y=)2()1()3(72-++---m x m x m m是二次函数，则m 的值是。

②函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．知识点2：二次函数图像的画法：列表→描点→连线。

特强强调：因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以列表时一定要把顶点写在中间。

例2：作出y=x 2+2x+2的图像知识点3：a 、b 、c 符号的确定（1）a 的符号由抛物线的开口方向决定：a ＞0时，函数开口向上；a ＜0时开口向下； -（2）b 的符号由对称轴和a 的符号共同决定：①⎪⎩⎪⎨⎧>>-002a a b 时，b ＜0；②⎪⎩⎪⎨⎧<>-002a a b 时 b ＞0；③⎪⎩⎪⎨⎧><-002a a b 时 b ＞0；④二次函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-2aab时，b＜0；⑤02=-ab时，b=0。

（3）c的符号由图像与y轴的交点决定，当c＞0时，图像与y轴的交点在y的正半轴；当c=0时，图像与y轴的交点坐标原点；当c＜0时，图像与y轴的交点在y的负半轴；例3：（1）（2008龙岩）已知函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜0（2）函数2y ax b y ax bx c=+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ))知识点4：会用配方法把++=bxaxy2 c (一般式)转化为khxay++=2)(（顶点式），并且说出二次函数的开口方向、单调性、对称轴、顶点和最大（小）值。

二次函数基础知识复习

1题二次函数基础知识复习一、二次函数的定义1、下列函数不属于二次函数的是（）A.y ＝(x －1)(x ＋2)B.y ＝21(x ＋1)2 C. y ＝1－3x 2 D. y ＝2(x ＋3)2－2x 2二、二次函数的条件 1、已知函数2(1)m m y m x +=-是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。

2、当m=_________时，函数y = (m 2 －4))3(42-+--m x m mx + 3是二次函数，其解析式是__________________，图象的对称轴是_______________，顶点是________，当x =______时， y 有最____值是_______． 3、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m= 若函数432)1(+++=m m xm y 是二次函数，则m 的值为三、对称轴的应用1、抛物线y=－(x+4)(x －2)的对称轴是直线，顶点坐标是2、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线3、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是四、图像的变化1、已知a ＜－1，点（a －1，y1）、（a ，y2）、（a ＋1，y3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．123y y y << B ．132y y y << C 321y y y << D ．213y y y <<2、已知二次函数y =2x 2+8x +7的图象上有有点A 1(2)y -，，B 21(5)3y -，，C 31(1)5y -，，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A ． y 1 > y 2> y 3 B ． y 2> y 1> y 3 C ． y 2> y 3> y 1 D ． y 3> y 2> y 1 3、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )（A ）123y y y << （B ）213y y y << （C ）312y y y << （D ）132y y y << 4、抛物线y ＝x 2－bx ＋8的顶点在x 轴上，则b 的值一定为 5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；五、图像的移动1、抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x 2平移得到，则下列平移过程正确的是（） A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位2、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为y=x 2﹣3x+5，则b= ，c=3、要得到二次函数y=﹣x 2+2x ﹣2的图象，需将y=﹣x 2的图象（） A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位4、将抛物线y=x 2﹣4x+3关于x 轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为5、将二次函数y=x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 6、要由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2（x ﹣1）2+3，则抛物线y=2x 2必须（） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位7、将抛物线y=x 2+1的图象绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的函数关系式 8、把二次函数y =213212---x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则平移后的图象的解析式是六、图像与系数的关系（所有题目都要写过程）1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（） (A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0 (C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜02、如图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分，图像过点A ()3,0-，对称轴1x =-，给出四个结论：①2b ＞4ac ，②20a b+=，③0ab c -+=，④5a ＜b ，其中正确的结论是（）3题2题3、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（）4、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（）4题 5题5、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a ＜b ．其中正确结论是（）．6、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式： ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b中，其值大于0的个数为（）7、如图所示，已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过原点和点（-2，0），则2a -3b 0.(填＞、＜、＝)题8题8、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于（x 1，0），（x 2，0），且0<x 1<1， 1<x 2<2，与y 轴交于点（0，－2），下列结论：①2a +b >1 ②3a +b >0③a +b <2 ④a <-1，其中正确的个数有（） 9、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于（x 1，0）（x 2，0）两点，且0＜x 1＜1，1＜x 2＜2，与y 轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b ＞-1，②3a+b ＞0，③a+b ＜-2，④a ＞0，⑤a-b ＜0，其中结论正确的个数是（）9题10题10、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,记2p a b c a b =-+++，2q a b c a b =+++-,则p 与q 的大小关系为11、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（）11题 1212、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（）13、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（）七、二次函数与其它函数图像、系数之间的关系1、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）2、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（）3、已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是图26-7中的（）4、已知反比例函数y=xk 的图象如图26-8所示，则二次函数y=2kx 2-x+k 2的图象大致为图26-9中的（）5、在同一坐标系中，函数y=ax 2+c 与y=xc（a ﹤c ）的图象可能是图26-10中的（）6、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）7、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）。

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )．A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（）3．（2016•永州）抛物线y=x 2+2x +m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m ≤2 D ．m ＜﹣24. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211122y x x =--+ D ．22y x x =-++5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第4题第5题6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y >7．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）8．（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ．4个二、填空题9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，且与x 轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是．11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为___ _____．13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________．14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(32+，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x 2﹣2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y…3m﹣1﹣13…其中，m= ．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x |=0有个实数根；②方程x 2﹣2|x |=2有个实数根；③关于x 的方程x 2﹣2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是．18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元． (1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?20.（2015•温州模拟）已知：如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m 个单位，使其顶点落在D 点，求m 的值．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ；【解析】2y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），开口方向及大小不变，所以1a =，即2(1)2y x =-=．2.【答案】C ；【解析】①当a ＞0时，二次函数y=ax 2的开口向上，一次函数y=ax+a 的图象经过第一、二、三象限，排除A 、B ；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2的开口向下，一次函数y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除D ．故选C ．3.【答案】A.【解析】∵抛物线y=x 2+2x +m ﹣1与x 轴有两个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0，即4﹣4m +4＞0，解得m ＜2，故选A ．4.【答案】D ；【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ． 5.【答案】D ；【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <．由图象可知a ＞0，c ＜0，则b ＜0，故abc ＞0．当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0． ∵ 12bx a=-=，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确． 6.【答案】D ；【解析】画出21y x =-的图象，对称轴为0x =，若12y y =，则12x x =-；若12x x =-，则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．7．【答案】A ； 8．【答案】C ；【解析】∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象经过原点，∴c=0，∴abc=0 ，∴①正确；∵x=1时，y ＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确； ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b ＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b ＜0，∴a＞b ，∴③正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，4ac ﹣b 2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C ．二、填空题 9．【答案】＞；【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >． 10．【答案】y=﹣x 2+2x+3；【解析】∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，∴=1，解得b=2，∵与x 轴的一个交点为（3，0）， ∴0=﹣9+6+c ，解得c=3，故函数解析式为y=﹣x 2+2x+3．11．【答案】1；【解析】92k =，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03⎛⎫⎪⎝⎭． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．13．【答案】-1；【解析】因为抛物线过原点，所以210a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1． 14．【答案】4s ；【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．15．【答案】(1，-6)；【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴1522x -+==，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．16．【答案】y 1＞y 3＞y 2．【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别为2，1，2，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．三、解答题17.【答案与解析】解：（1）把x=﹣2代入y=x 2﹣2|x |得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x 2﹣2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x |=0有3个实数根；②如图，∵y=x 2﹣2|x |的图象与直线y=2有两个交点，∴x 2﹣2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2﹣2|x |=a 有4个实数根， ∴a 的取值范围是﹣1＜a ＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a ＜0．18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2)． (2)依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯，整理得21557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米．(3)设建花坛的总费用为y 万元，则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦． ∴ y ＝0.04x 2-0.5x+240．当0.56.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．19.【答案与解析】(1)由题意可知，当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以5000350010025010x -≤+=，即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元．故y 1＝6000x-10x 2；当x ＞250时，购买一个需3500元．故y 1＝3500x ．所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x xx x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩y 2＝5000×80%x ＝4000x ．(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2+900000＜1400000；所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400．由4000x ＝1400000，得x ＝350．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．20.【答案与解析】(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2+25，把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1，所以22(5)2510y x x x =--+=-+．当5≤x ≤15时，y ＝25．即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的时间为(30-x)分钟．当0≤x ＜5时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+．所以当x ＝4时，76Z =最大．当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85．因为Z 随x 的增大而减小，所以当x ＝5时，75Z =最大．综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结第一篇：二次函数基础知识一、什么是二次函数二次函数是具有一般式y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不为0。

二、二次函数的图像1.开口向上的二次函数当a>0时，函数图像开口向上，其中x=-b/2a为函数的对称轴，抛物线的最低点为（x,-Δ/4a），其中Δ=b²-4ac为判别式。

2.开口向下的二次函数当a<0时，函数图像开口向下，其中x=-b/2a为函数的对称轴，抛物线的最高点为（x,-Δ/4a），其中Δ=b²-4ac为判别式。

三、二次函数的性质1.对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

2.二次函数的图像为抛物线，对称轴方程为x=-b/2a。

3.当a>0时，二次函数抛物线开口向上，当a<0时，二次函数抛物线开口向下。

4.当a≠0时，二次函数与x轴最多有一个交点。

5.二次函数的解析式y=ax²+bx+c与顶点式y=a(x-p)²+q之间的关系为y=a(x-p)²+q=ax²-2apx+ap²+q，所以q=c+ap²，p=-b/2a。

6.当a>0时，二次函数的取值范围为[y（x）>= Δ/4a](其中x为实数)；当a<0时，二次函数的取值范围为[y(x)<=Δ/4a](其中x为实数)，其中Δ=b²-4ac为判别式。

四、二次函数的应用1.利用二次函数模型求最值问题。

2.用二次函数解决物理运动中的问题，如自由落体、抛体等。

3.用二次函数理解和解决概率问题，如正态分布等。

4.用二次函数解决经济问题、金融问题等。

以上就是二次函数的基础知识，通过学习这些知识可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

接下来，我们将深入了解二次函数的相关内容。

第二篇：二次函数进阶知识一、变形1.左右平移：y=a(x-h)²+k，其中（h，k）为顶点坐标，顶点向左平移h个单位，向右平移-h个单位。

二次函数基础知识练习

二次函数的基础知识练习（1）徐秀前编辑于2014/7/191.下列函数中，图象经过原点的是（）2.抛物线y =x 2﹣2x +3开口向________,顶点坐标是 ,对称轴是______________,有最_______值，最值是___________；可由抛物线y =x 2___________________________________平移得到当x __________时，y 随x 的增大而增大，当x __________时，y 随x 的增大而减小。

画草图：3. 如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为，当x _______________时，y =0；当x _______________时，y >0；当x _______________时，y <0；当x _______时，y 有最_________值4. 如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是【】A ．1x 3-≤≤B ．x 1≤-C ．x 1≥D ．x 1≤-或x 3≥5.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．6.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y＜5时，x的取值范围是．画草图：228. 对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 310.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞011.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D． 1个13. “如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（）画草图：14. 已知函数y =（x ﹣m ）（x ﹣n ）（其中m ＜n ）的图象如图所示，则一次函数y =mx+n 与反比例函数y =的图象可能是（）A ．BCD ．15. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。

二次函数巩固练习(基础)含答案

中考总复习：二次函数—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A．(-1，8)B．(1，8)C．(-1，2)D．(1，-4)2．若A(-3,y)、B(-2,y)、C(-1,y)，三点都在函数y=-1231x的图象上，则y、y、y的大小关系是()123A.y＜y＜y123B.y=y=y123C.y＜y＜y132D.y＞y＞y1233．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()4.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．A．②④B.①④C.②③D.①③5.抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数y=标系内的图象大致为（）a+b+cx在同一坐6.矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）二、填空题7．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是．8．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P、Q的大小关系为.9．给出下列命题：命题1．点(1，1)是双曲线y=命题2．点(1，2)是双曲线y=命题3．点(1，3)是双曲线y=1x2x3x第8题与抛物线y=x2的一个交点．与抛物线y=2x2的一个交点．与抛物线y=3x2的一个交点．……请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数):.10．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是. 11．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A的坐标是．⎪第 11 题⎧(x - 1)2 - 1(x ≤3) 12．已知函数 y = ⎨ ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为.⎪⎩(x - 5)2 - 1(x ＞3)三、解答题13．已知双曲线 y = kx与抛物线 y=zx 2+bx+c 交于 A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点 A 、点 B 、点 △C 并求出ABC 的面积.y1-1 o-11 x第 13 题图14. 已知：二次函数 y =x 2＋bx －3 的图像经过点 P （－2,5）．（1）求 b 的值，并写出当 1＜x ≤3 时 y 的取值范围；（2）设点 P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上．①当 m =4 时，y 1、y 2、y 3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．15．关于 x 的方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0⎝ 2a 4a （1）当 a 取何值时，二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 总有实数根.16. 如图，开口向上的抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于 A （ x ，0）和 B （ x ，0）两点， x 和 x 是1 212方程 x 2 + 2 x - 3 = 0 的两个根（ x < x ），而且抛物线交 y 轴于点 C ，∠ACB 不小于 90°. 1 2（1）求点 A 、点 B 的坐标和抛物线的对称轴；（2）求系数 a 的取值范围；（3）在 a 的取值范围内，当 y 取到最小值时，抛物线上有点 P ，使 S的点 P 的坐标.∆APB= 2 3 ，求所有满足条件【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】求抛物线的顶点坐标有两种方法： ① 抛物线 y = ax 2 + bx + (c a ≠0) 的顶点坐标为⎛ b 4ac - b 2 ⎫- , ⎪ ，将 y = -3x 2 - 6x + 5 中的 a ，b ，c 直接代入即可求出；②采用配方法， ⎭即将 y = -3x 2 - 6 x + 5 变形为 y = -3(x + 1)2 + 8 ，所以 y = -3x 2 - 6 x + 5 的顶点坐标为(-l ，8)．2.【答案】A ；【解析】主要考查反比例函数的图象和性质. 解答时，应先画出 y = -1 x的图象，如图，然后把A(-3,y )、B(-2,y )、C(-1,y ) 三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知 y ＜y ＜y ，123123故应选 A.3.【答案】C ；【解析】当 a >0 时，抛物线开口向上，一次函数图象过一、三象限，所以排除 A 选项，再看 B 、C 选项，抛物线对称轴在 y 轴右侧，a 、b 异号，所以一次函数应与 y 轴交于负半轴，排除 B 选项；当 a <0 时，抛物线开口向下，而一次函数图象过二、四象限，排除 D 选项.所以答案选 C.4.【答案】B ；5.【答案】D ；【解析】从二次函数图像可看出a >0， - b2a>0,得 b ＜ 0,c ＜ 0,b 2-4 a c>0.又可看出当 x=1 时，y ＜ 0.所以 a + b + c ＜ 0，由此可知 D 答案正确.6.【答案】A ；【解析】分段函数 y 1=-2x 2+48 (0≤x<4)； y 2=-8x+48 (4≤x<6),故选 A.二、填空题 7．【答案】－1；【解析】图象经过原点（0,0），把点（0,0）代入 y = ax 2 - 3x + a 2 - 1 得 a = ±1 ，因为抛物线开口向下，所以 a = -1 . 8．【答案】P<Q ；【解析】由抛物线的图象可以知道：（1）开口向下， a ＜0；（2）抛物线过原点，c=0 ；（3）对称轴 x=﹣ b2a ＞1，则 b ＞﹣2a ，即 b+2a ＞0；（4）当 x=﹣1 时，y =ax 2＋bx ＋c= a －b+ c ＜0；（5）当 x=1 时，y =ax 2＋bx ＋c= a+b+ c ＞0；（6）因为 a ＜0，b ＞﹣2a ，所以，b ＞0，因此，2a －b ＜0；则：P －Q=[﹣（a －b+c ）+(2a+b)]－[(a+b+c)－(2a －b)]=﹣a+b －c+2a+b －a －b －c+2a －b =2a ＜0所以，P ＜Q9．【答案】点(1，n )是双曲线 y =n x与抛物线 y = nx 2 的一个交点．10．【答案】【解析】如图，四条直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成正方形 ABCD ，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得 a ＞0，而且 a 值越大，抛物线开口越小，因此当抛物线分别过 A （1，2），C （2，1）时，a 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a= ；⎪由此得出 a 的取值范围是．11．【答案】（3，）、（，）、（2 ，2）、（，）．【解析】由题可得 A 的纵坐标是横坐标的则 Q 的坐标为（0，2t ）或（0，倍，故设 A 的坐标为（ t ）；t ，t ）；可求得 P 点对应的坐标，解得 t 的值有 4 个，为，，2，；故点 A 的坐标是（3，）、（，）、（2，2）、（，）．12．【答案】3；⎧(x - 1)2 -1(x ≤3)【解析】函数 y = ⎨ 的图象如图：⎪⎩(x - 5)2 -1(x ＞3)，根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，∴k=3．三、解答题y13.【答案与解析】·A(2,3)(1)把点 A(2,3)代入 y = k x得：k=6.1·B(2,3)6∴反比例函数的解析式为： y =.x6把点 B(m,2)、C(－3,n)分别代入 y =得： m=3,n=-2.x把 A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入 y=ax 2+bx+c 得：-1 o-1·C(-2,-3)1 x第 13 题图a =-⎪9a - 3b + c = -2 ⎪⎪c = 3(⎧4a + 2b + c = 3⎪ ⎨9a + 3b + c = 2解之得 ⎨b = ⎩∴抛物线的解析式为：y=-(2)描点画图1 2x 2 + x + 3 . 3 3△S A BC = 1 1 1 35 1(1+6)×5- ×1×1- ×6×4= - - 12 =5. 2 2 2 2 214.【答案与解析】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－2）2－2b －3，解得 b=－2.当 1＜x ≤3 时 y 的取值范围为－4＜y ≤0.（2）①m=4 时，y 1、y 2、y 3 的值分别为 5、12、21，由于 5+12＜21，不能成为三角形的三边长．②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 的值分别为 m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3，由于，m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0，当 m 不小于 5 时成立，即 y 1＋y 2＞y 3 成立．所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，15.【答案与解析】(1)解：∵二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2∴ -- (1 - 3a ) 2a= -2解得 a=-1经检验 a=-1 是原分式方程的解.所以 a=-1 时，二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2；（2）①当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1；②当 a≠0 时，原方程为一元二次方程， a x 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 ，当 b 2 - 4ac ≥ 0时，方程总有实数根，∴ [- 1 - 3a )]2 - 4a (2a -1) ≥ 0⎧ 若∠ACB ＞90°，则 OC < 3 ， a < 3y = 3 x 2 + x - 3 ，由 AB ＝ - 3 - 1 = 4 ， S ，整理得， a 2 - 2a + 1 = 0(a -1) 2 ≥ 0∵a≠0 时，(a -1) 2 ≥ 0 总成立所以 a 取任何实数时，方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 总有实数根.16.【答案与解析】（1）A （－3，0）B （1，0），对称轴 x = -1；（2） ⎨9a - 3b + c = 0⎩a + b + c = 0⎧b = 2a化简得 ⎨ OC ＝ 3a .⎩c = -3a若∠ACB ＝90°，则 OC 2 = OA ⋅ OB ， OC =3 ， a = 3 3；3；所以 0 < a ≤ .3 3（ 3 ）由（ 2 ）有 y = ax 2+ 2ax - 3a ，当 a 在取值范围内， y 取到最小值时， a =33，2 33 3∆APB = 2 3得： y = ± 3 . P当 y = P3 时， x = 1 + 7 ， x = 1 - 7 ，∴ P （ - 1＋ 7 ， 3 ） P （ - 1 - 7 ， 3 ）； 1 2 1 2当 y = - 3 时， x = 0 ， x = -2 ，∴ P （0， - 3 ）， P （－2， - 3 ）.P 3 434。

二次函数知识巩固题目1

二次函数知识巩固题目1注重形式，提高对应能力；对应也是数学解题的一种行之有效的方法：1.已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.2.下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-2x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x23.若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定4．已知函数y=ax2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．5．函数y=（m －n ）x2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数，且m≠0B ．m 、n 为常数，且m≠nC ．m 、n 为常数，且n≠0D ．m 、n 可以为任何常数根据等量关系，正确列出函数关系式：6.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________.7.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.8.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=πx2-4B.y=π(2-x)2;C.y=-(x2+4)D.y=-πx2+16π9.现有铝合金窗框材料8米,准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度AB 必须小于窗户的高度BC).已知窗台距离房屋天花板2.2米.设AB 为x 米,窗户的总面积为S(平方米). (1)试写出S 与x 的函数关系式;(2)求自变量x 的取值范围.10．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．分析：面积问题是二次函数考察的一类重点题目，应当引起重视。

浙教版九年级数学上《1.1二次函数》巩固练习含答案

1.1 二次函数（巩固练习）姓名班级第一部分：1．二次函数的一般形式为______．2．二次函数y=πx （x －1）的二次项系数是______，常数项是_______．3．已知二次函数y=ax 2+1，当x=－2时，y=2，则此二次函数的关系式为______．4．已知一个二次函数y=2x 2+bx+c ，当x=1时，y=1；当x=2时，y=8，则这个二次函数的解析式为_______．5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，a+b=16，则Rt △ABC 的面积S 与边长a•的函数关系式是_______，当a=8时，S=_____．6．在函数y=－3x 2+2x+1，y=－x+5，y=2x －3，y=x （2+x ）+1中，以x 为自变量的二次函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．正方形的边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）A ．y=x 2+9B ．y=（x+3）2C ．y=x 2+6xD ．y=9－3x 28．已知关于x 的一个二次函数，当x=0时的值是－1，当x=－1时的值是－2，当x=1时的值是4，求这个二次函数的解析式．第二部分9．当m=_______时，y=（m －3）x 232m m -++mx+1是二次函数．10．若矩形的周长是8，则这个矩形的面积y 与一边长x 的函数关系式是______，自变量x 的取值范围是______．11．半径为9cm 的圆面上，挖去半径为xcm 的圆面，剩下一个面积为ycm 2的圆环，•则y 与x 之间的函数关系式为（）A ．y=－πx 2+81B ．y=π（x －9）2C ．y=－πx 2+9D ．y=－πx 2+81π12．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠B=60°，梯形的周长为60，设腰AB=x ，梯形面积为y ．（1）写出y 关于x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当x=15时，求y的值．13．如图，已知矩形的长为3，宽为2，现在矩形上截去一个边长为x的正方形，求：（1）余下部分的面积y关于x的函数表达式；（2）当x=1时，y的值；（3）当x为何值时，余下部分的面积是截去部分面积的2倍？14．已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），问当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？谈谈你的看法，和同学一起交流．第三部分15．请设计一个二次函数，使得函数的二次项系数为1，且当x=1时，y=2．2。

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二次函数基础知识巩固（1）
1．二次函数的三种形式．
（1）一般式：__________________________．顶点坐标：_______________，对称轴：_____________．（2）顶点式：__________________________．顶点坐标：_______________，对称轴：_____________．（3）交点式：__________________________．对称轴：_____________．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条__________，当a＞0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的__________；当a＜0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的__________．
3．二次函数图象平移的法则是_________________________．
2＋bx＋c的性质．
5．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标：当x＝0时，y＝_____，所以交点坐标为_________．求二次函数图象与x轴的交点坐标：当y＝0时，即ax2＋bx＋c＝0，求出方程的根x1，x2，所以交点坐标为_________和_________．
6．抛物线y＝－x2＋4x＋5与y轴的交点坐标是_________，与x轴的交点坐标是_________________．7．二次函数y＝－x2－4x－3的开口方向_________，顶点坐标是____________，对称轴是____________．8．二次函数y＝2(x＋1)2－3的开口方向_________，顶点坐标是____________，对称轴是____________．9．已知某二次函数的顶点坐标是（2，－3），则可设该二次函数的表达式为_________________．
10．二次函数y＝－(x＋2)(x－4)的开口方向_______，顶点坐标是__________，对称轴是____________．11．已知某抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（－1，0），则可设该抛物线表达式为________________．12．抛物线y＝2(x―2)2＋1的图象可以由抛物线y＝2x2的图象先向_____平移_____个单位，再向_____平移_____个单位得到．
13．抛物线y＝－(x―1)2－2的图象先向_____平移_____个单位，再向_____平移_____个单位就得到抛物
线y ＝－x 2．
14．抛物线y ＝(x ＋3)2＋2的图象可由抛物线y ＝(x －1)2＋4的图象先向_____平移_____个单位，再向
_____平移_____个单位得到．
15．若二次函数y ＝a (x ＋m )2＋k 的图象的顶点坐标是（－1，－2），且形状
与y ＝－2x 2的图象相同，则该二次函数的解析式是_____________________． 16．根据二次函数图象判断a 、b 、c 的符号．
如图，a ____0，b ____0，c ____0，b 2－4ac ____0．
17．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象经过点（－2，－1），（1，5）．求这个二次函数的表达式．
18．已知一个二次函数的顶点坐标为（2，1），且图象过点（0，－3），求这个二次函数的表达式．
19．已知一个二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标分别为3、2，且图象经过点（1，－3），求这个二次
函数的表达式．
20．已知一个二次函数当x ＝3时,函数有最大值2，且图象过点（0，－1），求这个二次函数的表达式．
21．已知二次函数的图象过（－2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．
22．已知二次函数的图象过（3，0）、（2，－3）两点，且对称轴是直线x ＝1，求这个二次函数的解析式．
y
x。