“一副三角板”中的数学问题探索与思考
初中数学一副三角板旋转垂直问题
初中数学一副三角板旋转垂直问题初中数学一副三角板旋转垂直问题问题描述•三角板是由三个不同长度的木条组成的，它们分别是AB、BC和AC。
•当三角板AB与BC成直角时，它可以沿着BC的边旋转。
•现在问题是，当三角板旋转到与BC垂直时，BC的长度是多少？相关问题1.三角板AB与BC之间有什么关系？–AB是直角三角形的斜边，BC是直角三角形的一条直角边。
–根据勾股定理，有AB^2 = AC^2 + BC^2。
2.三角板旋转前后BC的长度是否发生变化？–三角板旋转时，BC的长度不会改变。
–旋转是在平面上进行，不会引起直角边的长度变化。
3.三角板旋转到与BC垂直时，如何计算BC的长度？–通过勾股定理可以求解BC的长度。
–在旋转到与BC垂直时，BC相当于直角边，AB相当于斜边，AC相当于另一条直角边。
–根据勾股定理有AB^2 = AC^2 + BC^2，将AC和AB的长度带入即可求解BC的长度。
4.如何使用三角板进行实际测量？–将三角板平放在水平面上，确定直角顶点A。
–将尺子放在A点上，通过旋转三角板，使得尺子的一端与边AC重合。
–读取尺子上与BC相对应的长度，即为BC的长度。
5.三角板旋转到与BC垂直的时候有哪些应用场景？–建筑工程中，用于确定平面上某一点的垂直位置。
–机械设计中，用于制造垂直构件，如直角支架等。
以上是初中数学一副三角板旋转垂直问题的相关问题。
通过了解和解答这些问题，可以更好地理解三角板旋转垂直问题的原理和应用。
6.三角板旋转到与BC垂直时，三个木条分别代表什么？–AB代表直角三角形的斜边。
–BC代表直角三角形的一条直角边。
–AC代表直角三角形的另一条直角边。
7.为什么三角板旋转到与BC垂直时，BC与AB垂直？–根据直角三角形的性质，直角边和斜边相互垂直。
–旋转到与BC垂直的过程中，AB保持不变，BC在旋转过程中与AB垂直。
8.如何使用勾股定理求解BC的长度？–根据AB^2 = AC^2 + BC^2，将已知的AB和AC的长度带入公式。
“用三角板画角”中的发现
“用三角板画角”中的发现作者：周义博来源：《数学小灵通·3-4年级》2015年第10期自从学习了角的度量，我对三角板的认识更深了一步，原来一副三角板中藏着四种不同的角，分别是90°、60°、30°和45°的角。
老师看我们学习兴致盎然，就给我们出了一道难题：在没有量角器的情况下，用三角板画角，究竟能画出多少种不同的角呢？其实说难也不难，只要我们动手拼一拼，一定能得到正确答案的。
我可是个行动派哟！我马上开始了尝试。
一副三角板上藏着的四个角当然是最先被我画出来的。
这不，90°、60°、30°、45°的角，早已跃然纸上了。
那接着用三角板还可以怎么画角呢？我陷入了思考。
首先我想到的是把这一副中的两个三角板合起来画，也就是把三角板上面的角做加法，那就可以画出90+60=150，90+30=120，90+45=135，60+45=105，45+30=75等不同度数的角。
既然可以把两个三角板合起来画，那能不能把三角板上面的角做减法呢，这样又可以画出一些角来，比如60-45=15，45-30=15等度数的角。
这时我的思路更开阔了，因为我已经学习了平角，周角，再加上可以多次使用三角板，那我就可以画出更大的角来。
在用三角板画角的过程中，我渐渐发现了规律：利用三角板画出角时，不管我是用哪种方法去画的，最小的角是15°，接着依次是30°、45°、60°、75°、90°、105°……仔细一看，这些角可都是15°的倍数呀！因此，只要是让我画出任意一个15°倍数的角，我都可以用三角板直接画出来哟！发现的这个规律还可以帮我们在考试中快速解决问题呢！我们的试题中经常会出现这样的选择题：下面（）的角是不可能用一副三角板拼成的oA.35°B.105°C.120°我们不需要再手忙脚乱地去拼了，只要去找一找谁不是15°的倍数，那答案不就轻而易举得出了？小朋友，你不妨动手试一试，看看我的发现是不是正确呢？“小灵通乐园”参考答案这个数是144。
三角形的内角教学反思.doc
三角形的内角教学反思三角形的内角教学反思一：木节课的教学目标是：1•让学生亲自动手，通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180,并会应用这一知识解决生活屮简单的实际问题。
2.让学生在动手获取知识的过稈中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透转化数学思想。
3.使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。
教学重、难点是让学生经历三角形内角和是180这一知识的形成、发展和应用的全过程。
木节课教学设计符合新课程理念，转变学生的学习方式，能让学生以小组合作的形式进行问题的探索与研究，学生在整节课中学得轻松。
整节课的教学设计，条理清晰，层次清楚，学生思维活跃，教学一开始从学生熟悉的三角板抽象出特殊的三角形探讨三角形的内角和是180,接下来很白然地引导学生探讨所有的三角形的内角和是不是也是180,过渡H然且有吸引力。
在学习活动的过程中，先让学生进行测量、计算，但得不到统一的结果，再引导学生用把三个角拼在一起得到一个平角进行验证。
这时，有部分学生在拼凑的过程屮出现了困难, 花费的时间较长，在这里用课件再演示一遍正好解决了这个问题。
练习设计也具有许多优点, 注意到练习的梯度，并由浅入深，照顾到不同层次学生的需求，嚴后的游戏也很有趣味性, 调动所有学生的积极性。
让学生在游戏屮除疲倦激发兴趣，拓展学生思维。
本课的不足Z处是习题的设计受课木资源的限制，没有大胆突破教材，充分利用生活资源。
让学生利用学过的知识解决生活屮常出现的问题，更能使学生体会到数学不仅來源于生活，学习数学的目的更是为了解决生活屮的问题，体会到学习数学的重要意义。
在整个教学设计屮，木着学贵在思，思源于疑的思想，不断创设问题情境，让学生去实验、去发现新知识的奥妙，从而让学生在动手操作、积极探索的活动屮掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力。
三角形的内角教学反思二：二学期几何里一个重要的知识点三角形内角和，是在学生认识了三角形的特点和分类的基础上这一节课进一步对三角形内角Z间的关系的学习和探究。
初中数学一副三角板旋转垂直问题
初中数学一副三角板旋转垂直问题
摘要：
I.引言
A.问题背景
B.问题描述
II.三角板旋转垂直问题的分析
A.问题解析
B.相关定理和公式
III.解决三角板旋转垂直问题的方法
A.解题思路
B.具体步骤
IV.例题解析
A.例题一
B.例题二
V.结论
A.问题总结
B.对学生的启示
正文：
I.引言
A.问题背景：在初中数学的学习过程中，三角板旋转垂直问题是一个常见且重要的几何问题
B.问题描述：给定一个三角形ABC，通过将三角板绕点A 或B 旋转，使其垂直于原来的位置，求旋转后的位置
II.三角板旋转垂直问题的分析
A.问题解析：三角板旋转垂直问题涉及到几何知识，如旋转、垂直等概念，需要运用相关的定理和公式进行解析
B.相关定理和公式：根据三角形的性质，可以运用正弦定理、余弦定理等公式进行计算
III.解决三角板旋转垂直问题的方法
A.解题思路：首先需要明确旋转的中心和旋转的角度，然后根据相关定理和公式进行计算
B.具体步骤：根据题目给出的条件，逐步进行计算，最终得出旋转后的位置
IV.例题解析
A.例题一：通过具体题目描述，展示三角板旋转垂直问题的解决过程
B.例题二：另一个具体的三角板旋转垂直问题，展示解决过程
V.结论
A.问题总结：通过解决三角板旋转垂直问题，可以加深对几何知识的理解和运用
B.对学生的启示：在学习过程中，要注重基础知识的掌握，善于运用定理和公式解决问题。
中考复习之玩转一副三角板
玩转一副三角板Ⅰ．专题精讲：三角板是最常见的学习工具．而以三角板为道具，以常见的、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转、翻折等变换手段衍生的一系列问题，能为大家动手实践与操作联想提供了思考的空间．也能提高对基本图形的性质掌握程度以及观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力和图形运动变化、分类讨论思想等综合运用的能力． Ⅱ．典型例题剖析: ①求拼接的角度1.（1菏泽）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于_______．2.（11绵阳）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为_______． 3.（11东营）一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是_______． 4. 把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝______度．5．一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE 固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转∠α（α＝∠BAD 且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行． （1）如图①，α＝ °时，BC ∥DE ；（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空： 图②中α＝ °时， ∥ ；图③α＝ °时， ∥ ．6．如图（1）所示，一副三角板中，含45°角的一条直角边AC 在y 轴上，斜边AB 交x 轴于点G ．含30°角的三角板的顶点与点A 重合，直角边AE 和斜边AD 分别交x 轴于点F 、H ． （1）若AB ∥ED ，求∠AHO 的度数；（2）如图2，将三角板ADE 绕点A 旋转．在旋转过程中，∠AGH 的平分线GM 与∠AHF 的平图① 图② 图③第1题 第2题 第3题 第4题30°45°①当∠AHO ＝60°时，求∠M 的度数；②试问∠N +∠M 的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说明理由．7．一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）（1）如图1，这副三角板中，已知AB ＝2，AC ＝ ，A′D ＝ ．（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC 通过旋转或者平移变换可使△ABC 的斜边BC 经过△A′DC′′的直角顶点D ．方法一：如图2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°） 方法二：如图3，将△ABC 沿射线A′C′方向平移m 个单位长度方法三：如图4，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°） 请你解决下列问题：①根据方法一，直接写出α的值为： ； ②根据方法二，计算m 的值； ③根据方法三，求β的值．图1 图2图3 图4②．绕一斜边中点旋转之等线段1．如图1，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ．证明DM =DN ；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？答： （请写出结论，不用证明．）变式1：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、射线CB 于D 、E 两点，图1、2、3是旋转三角板得到的图形中的三种． 探究：（Ⅰ）三角板绕P 点旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？它们的关系为 ，并以图2为例，加以证明；（Ⅱ）如图4，若三角板直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM MB ＝13．和前面一样操作，试问线段DM 和ME 之间的数量关系为 先补全图4，然后加以证明． 图1 图2 图3 图4图1 图2 图 3变式2：图中是一副三角板，45°的三角板Rt △DEF 的直角顶点D 恰好在30°的三角板Rt △ABC 斜边AB 的中点处，∠A ＝30°，∠E ＝45°，∠EDF ＝∠ACB ＝90°，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图①，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM ＝DN ；（2）如图②，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．③．绕一斜边中点旋转之找相似阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点D 旋转，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ，易说明△APD ∽△CDQ ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF （其中∠EDF =30°）的锐角顶点D 与等腰三角形ABC （其中∠ABC =120°）的底边中点O 重合，两边分别与线段AB 、BC 相交于点P 、Q ．写出图中的相似三角形 （直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF 旋转至两边分别与线段AB 的延长线、边BC 相交于点P 、Q ．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由． 连接PQ ，△APD 与△DPQ 是否相似？为什么？探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？变式1：△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，O 是BC 的中点，小敏拿着含45°角的透明三图① 图②图1 图2 图3（2）操作：将三角板绕点O 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于E 、F ．①探索：△BOE 与△CFO 还相似吗？（只需写结论）：连接EF ，△BOE 与△OFE 是否相似？请说明理由．②设EF ＝x ，△EOF 的面积是S ，写出S 与x 的函数关系式．变式:2：等腰△ABC ，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ∽△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．①探究1：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ②探究2：连接EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③设EF ＝m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．变式3：如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF =90°，∠EDF ＝30° 操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 图a 图b图a 图b探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当CEEA ＝1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系，并给出证明．（2）如图3，当CEEA＝2时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系，并说明理由．（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA =m （6）时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若，AC ＝30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 值的取值范围．变式4：现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，现让三角板DEF 绕点O 旋转，使DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求AN BM 的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求出AN BM的值．已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．（1）如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．（2）如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．变式：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．（2）如图1，设AF＝x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE 与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．如图①是一副三角板，其中∠B＝∠E＝90°，∠A＝∠C＝45°，∠F＝30°，AC＝EF＝2．把两个三角板ABC和DEF叠放在一起（如图②），且使三角板DEF的直角顶点E与三角板ABC的斜边中点O重合，DE和OC重合．现将三角板DEF绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形BGEH是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图③）．（1）当旋转角度为45°时，EG和AB之间的数量关系为．（2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角α的度数．（3）在三角板DEF绕O点旋转的过程中，在DF上是否存在一点P，使得∠APC＝90°，若存在，请利用直尺和圆规在DF上画出这个点，并说明理由，若不存在，请说明理由．（4）在射线EF上取一点M，过M作DF的平行线交射线ED于点N（如图⑤），若直线MN上始终存在两个点P、Q，使得∠APC＝∠AQC＝90°，求EM的取值范围．图①图②图③备用图1⑥．两块全等三角板1．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于D．证明：△A1CD是等边三角形；（2）如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1：S2＝1：3；（3）如图3，设AC中点为E，A1B1中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝°时，EP长度最大，最大值为．图1 图2 图32．如图1，我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE在AB 上，DE过点C，已知AC＝DE＝6．（1）将图1中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC 于点P、Q，如图2．①求证：△CQD∽△APD；②连接PQ，设AP＝x，求面积S△PCQ关于x的函数关系式；（2）将图1中的△DEF向左平移（点A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N 设AM＝t，如图3．①判断△BEN是什么三角形？并用含t的代数式表示边BE和BN；②连接MN，求面积S△MCN关于t的函数关系式；（3）在旋转△DEF的过程中，试探求AC上是否存在点P，使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值？说明你的理由．。
专题27 角中的常见思想方法的应用(生)
专题27 角中的常见思想方法的应用【题型5 角中的整体思想】 (1)【题型6 角中的方程思想】 (3)【题型7 角中的分类讨论思想】 (4)【题型8 角中的数形结合思想】 (5)【题型5 角中的整体思想】【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目．将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON 的度数．小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索思路将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．（1）请你直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为______，图3中∠MON的度数为______；特例启发，解答题目（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；拓展结论，设计新题（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知∠AOB 内部有三条射线，其中OE 平分角∠BOC ，OF 平分∠AOC ．（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF 的度数？（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF 的度数，（用含α的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB ，∠COF=23∠COA ，且∠AOB=α，求∠EOF 的度数．（用含α的式子表示）【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知∠AOB ＝120∘，OC 、OD 是过点O 的射线，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠DOB ．（1）如图①，若OC 、OD 是∠AOB 的三等分线，求∠MON 的度数；（2）如图②，若∠COD ＝50∘，∠AOC ≠∠DOB ，则∠MON ＝________；（3）如图③，在∠AOB 内，若∠COD ＝α(0∘<α<60∘)，则∠MON ＝________．【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠AOB ＝60°，∠COD ＝45°，OM ，ON 分别平分∠AOD 、∠COB ．(1)求∠MON 的度数；(2)将图①中的三角板OCD 绕点О旋转到如图②的位置，求∠MON 的度数；(3)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图③的位置，猜想∠MON的度数，并说明理由．【题型6 角中的方程思想】【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．(1)如图①，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC=40°，则∠AOC=________．(2)如图②，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由．∠AOM，则∠BON=________．（可(3)若∠CON=50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC=13用备用图．）【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知∠AOC:∠AOB=2:7,OD是∠AOB的平分线，若∠AOC= 16°，求∠AOD的度数．【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．(1)当∠BON=60°时，求∠COM的度数；(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度数．【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知∠AOB=90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD =45°，OE 平分∠BOC ．(1)如图1，当∠AOC =30°时，∠DOE =_____________°；(2)如图2，当∠AOC =60°时，∠DOE =_____________°；(3)如图3，当∠AOC =α（90°<α<180°）时，求∠DOE 的度数（用α表示）；(4)由前三步的计算，当0°<∠AOC <180°时，请直接写出∠AOC 与∠DOE 的数量关系为_______________________________________．【题型7 角中的分类讨论思想】【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．(1)如图，已知∠AOB ＝120°，若OC 是∠AOB 三等分线，求∠AOC 的度数．(2)点O 在线段AB 上（不含端点A ，B ），在直线AB 同侧作射线OC ，OD ．设∠AOC ＝3t ，∠BOD ＝5t ． ①当OC 是∠AOD 的三等分线时，求t 的值．②当OC 是∠BOD 的三等分线时，求∠BOD 的度数．【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G.(1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °(2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °；(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)(4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)【变式7-2】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．(1)如图1，当OC在OB左侧，且α=80∘时，∠DOE的度数是_________；(2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE的大小与α的数量关系；(3)当∠DOE的度数为36°时，请直接写出α的度数．【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=______；（用含α的代数式表示）；深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请求出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时的值．【题型8 角中的数形结合思想】【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2．(1)求∠AOC ，∠BOC 的度数；(2)作射线OM 平分∠AOC ，在∠BOC 内作射线ON ，使∠BON =70°，补全图形， 并求出∠MON 的度数；(3)若存在射线OD ，使∠AOD =4∠BOD ，请直接写出所有可能的∠COD 的度数．【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）已知∠AOB 、∠COD ，射线OE 平分∠AOD ；(1)如图1，已知∠AOB =180°、∠COD =90°，若∠DOB =46°，求∠COE 的度数；(2)∠AOB 、∠COD 的位置如图2，已知∠COD =12∠AOB ，求∠COE:∠DOB 的值． 【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC ，∠BOD 的内部作射线OM ，ON ，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON 的度数．(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOD ”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC 与∠BOD 的和为90°，所以我们容易得到∠MOC 与∠NOD 的和，这样就能求出∠MON 的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC =13∠AOC ，∠DON =13∠BOD ”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC 的度数为x °，我们就能用含有x °的式子表示出∠COM 和∠DON 的度数，这样就能求出∠MON 的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC =1n ∠AOC ，∠DON=1∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数．n【变式8-3】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．【A组研究】在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设∠BOC=α，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．【B组研究】在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．。
探究与三角板有关的数学问题
课题：小小三角板，数学大舞台教学目的：1、知识与技能：复习初中阶段的一些重要知识点，包括三角形的基本性质、特殊三角形的性质、函数的基本性质等，熟练解题技能并能灵活地加以应用，为中考作准备。
2、过程与方法：通过三角板的摆、找、转等的操作，经历“实验—归纳—猜测—论证”的过程，在感性体验和探索实践中感受数学发现的一般规律，提高归纳、转化、推理的能力。
3、情感与体验：通过合作交流、自主评价，获得在活动中克服困难，运用知识解决问题的成功体验，并使学生在“玩” 三角板中激发学习数学的兴趣，从而热爱数学、热爱生活。
教学重点和难点：一些重要知识点与三角板操作的自然结合，让学生在积极参与、主动探究中体验数学归纳法、转化思想及数形结合的解题思路，提高演绎推理的能力。
教学设计：一、开门见山，直接导入师：今天，老师带来了我们数学课上经常使用的这副三角板，把你的也拿出来。
它为你“服务”好多年了吧，那你平时都用它来做些什么呢？ （生答，一般都会提到利用三角板进行测量和画图） 师：仅此而已吗？那同学们可是有些大材小用喽！今天这节课我们就一起来进一步认识我们手中的这副小小三角板。
[板书部分课题]二、合作探究，归纳推理 １、摆三角板师：首先，我们来看一下这副三角板里的角。
（生按照教师的指示口述各个角度）师：在我们教材八（上）35页课后作业题２中就用这副三角板画出了一些不同角度的角。
（课件出示教材八（上）35页课后作业题２）提问：通过摆这副三角板到底能画出哪些角度的角呢？强调要求：（１）我们采用四人小组合作制，两人通过摆三角板画角，两人检查其正确性并作好记录；（２）角度范围定在小于等于180°。
（生小组活动。
师板书小标题1及三角板图示并观察学生活动。
） （小组代表汇报并加以补充，师板书。
）（引导学生归纳结论：用一副三角板能画出15的倍数的角。
）[板书结论]师：像这种由特殊事例得到一般结论的方法，我们叫做数学归纳法。
一副三角板拼出的中考题
一副三角板拼出的中考题将一副三角板（也叫三角尺）（分别含30°和45°角的直角三角形）进行拼接可以拼出许许多多、形形色色的数学题，这些题目内容丰富，多彩多姿，令人赏心悦目，回味无穷．请看以下例子．例1 将两块三角尺的直角顶点重合为如图1所示的形状，若∠AOD ＝127°，则∠BOC ＝＿＿＿． 分析：设∠BOC ＝x ，∠AOC ＝m ，∠BOD ＝ｎ，则易知1279090x m n x m x n ++=︒⎧⎪+=︒⎨⎪+=︒⎩，解得x ＝53°． 注：本题也可以直接由∠BOC ＝∠AOB ＋∠COD －∠AOD ＝180°－127°＝53°．例2 如图2将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠BOD 的度数是＿＿＿度． 分析：注意∠AOC ＝∠AOD ＋∠DOC ＝∠AOD ＋90°，∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝90°－∠AOD ，故，∠AOC ＋∠BOD ＝180°．例3三角函数 将一副三角尺如图3摆放在一起，连结AD ，试求∠ADB的余切值．分析：从图中可见这是一副大小特殊的三角板，含30°那一块的60°角所对的直角边恰好是等腰那一块的斜边．要求∠ADB 的余切，应设法构造以该角为锐角的直角三角形．作A Ｈ⊥直线BD 于Ｈ，则易知A Ｈ＝B Ｈ（设＝１），从而AB，BCABBD ，故BDD所以CO ｔ∠ADB ＝DHAH例4 将两块三角板如图4放置，其中∠C ＝∠EDB ＝90°，∠A ＝45°，∠E ＝30°，AB ＝DE ＝6，求重叠部分四边形DBCF 的面积．分析：四边形DBCF 的面积等于三角形ABC 的面积减去三角形ADF 的面积．易知DF ＝AD ＝AB －BD ＝6－所以，四边形DBCF 的面积等于9－122AD ＝9－12(26-＝15．例析以“三角板”为道具导演的三角形的全等问题江苏省丰县中学 王锋浏览近年的中考试卷，不难发现有一个备受关注命题焦点——将一副三角板按某种方式巧妙地拼合在一起，然后平移、旋转三角板，使图形的相对位置不断发生变化（但其中隐含的与结论有关的三角形的全等关系不变），让学生在“运动变化的几何图形”中，感悟、猜想、验证几何图形所具有性质的“变”与“不变”.此类问题常常先设置一个让学生探索的问题情景，经过实践操作度量、分析、猜想获得问题的结论，然后在创设一个题设、图形变化的数学环境，进一步探究对结论的影响.解决此类问题需要充分发挥30°、45°60°、90°特殊角及两直角边相等的作用，再借助类比的思维策略，重新审视原来证明方法是否适用，辅助线的添作能否迁移等等，然后抓住运动过程中的“不变因素”，拾级而上，方可获得问题的答案.例1（07河北）在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA的延长线于点图1图3图4图1-3图1-1G ．一等腰直角三角尺按如图1-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．（1）在图1-1中请你通过观察、测量BF 与CG 的 长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图1-2所示的位置时， 一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条 直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于 点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平 移到图1-3所示的位置（点F 在线段AC 上， 且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）分析：（1）通过观察与度量容易猜想BF =CG ；证明线段相等，常常通过2各三角形全等，观察图形只需证明△ABF ≌△ACG 即可.（2）通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，可以猜想DE ＋DF =CG ，欲证明结论：一条线段等于两条线段之和常采用“截长补短”的方法，（如图甲）为此可过点D 作DH ⊥CG 于点H ，相当于在GC 上截取了GH=DE ，只需证CH=DF 即可，因而可证△FDC ≌△HCD 或Rt △FQD ≌Rt △HQC 即可.证明：在△ABF 和△ACG 中，∵∠F =∠G =90°，∠F AB =∠GAC ，AB =AC ， ∴△ABF ≌△ACG （AAS ）， ∴BF =CG ． （2）DE +DF =CG ；证明：过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图甲）． ∵DE ⊥BA 于点E ，∠G =90°，DH ⊥CG ，∴四边形EDHG 为矩形，∴DE =HG ，DH ∥BG ．∴∠GBC =∠HDC ．∵AB =AC ，∴∠FCD =∠GBC =∠HDC ．又∵∠F =∠DHC =90°，CD =DC ， ∴△FDC ≌△HCD （AAS ），∴DF =CH ． ∴GH +CH =DE +DF =CG ，即DE +DF =CG ．（3）仍然成立．（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD ）例2、（07年临沂市）如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =∠，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．E图2图3（第2题图）（1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ． ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．分析（1）通过构造包含DM 、DN 在内的2个三角形全等来解决，为此连接BD ，可以根据判定条件——ASA 证明△BMD ≌△CND 或△ADM ≌△BDN 来说明DM=DN.①证明：连结DB ．在Rt ABC △中，AB BC =，AD DC =．DB DC AD ∴==，90BDC =∠．方法一：45ABD C ∴==∠∠．90MDB BDN CDN BDN +=+=∠∠∠∠，MDB NDC ∴=∠∠．BMD CND ∴△≌△（ASA ）DM DN ∴=．方法二：45A DBN ∴==∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=∠∠∠∠．ADM BDN ∴=∠∠．ADM BDN ∴△≌△（ASA ）． DM DN ∴=．②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△，BMD CND S S ∴=△△．1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S ∴=+=+===△△△△△△四边形． （2）DM DN =仍然成立， 证明：连结DB ． 在Rt ABC △中，AB BC =，AD DC =，DB DC ∴=，90BDC =∠．45DCB DBC ∴==∠∠．135DBM DCN ∴==∠∠． 90NDC CDM BDM CDM +=+=∠∠∠∠，CDN BDM ∴=∠∠．CDN BDM ∴△≌△．DM DN ∴=．（3）DM DN =．评注：本题巧妙地将一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在等腰直角三角板的斜边AC 的中点上，创设了一个4条直角边两两相交的问题情景，让学生思考证明截得（可通过证明△BMD≌△CND 或△ADM ≌△BDN 解决），然后将三角板绕中点旋转，得到图2，让学生先探索猜想线段DM 与DN 的关系、再证明线段DM=DN.这样设计符合学生的认识规律，符合新课标中“提供的内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证”等数学活动，同时使学生亲身感悟、体验了数学知识的发生和发展过程.问题（1）线段的相等证明是通过“全等三角形的对应边相等”来解决的. 面积是通过割补来实现的；问题（2）旋转三角板当交点M 、N 在AB 、BC 的延长线上时，虽然图形发生了变化，但是证明的条件：DB=CD ，∠BDM=∠CDN 仍然成立，只是∠DBM=∠DCN=45°，变成了∠DBM=∠DCN =135°，但∠DBM 、∠DCN 之间的相等关系仍然成立.因而△BMD ≌△CND 关系依然成立，故DM 与DN 的相等关系保持不变. 问题（3）三角板DEF 旋转到形外可通过对顶角将直角的条件转化到形内，从而与问题（1）不谋而合.在整个解题过程中，事实上含30°角的三角板只是直角发挥了应有的作用，因此我们也可将其换成等腰直角三角板便有以下的变式：（06青岛市）把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG(其直角边长为4)叠放在一起(如图)，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕点O 按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件：0°<α<90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图).在上述旋转过程中BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论.解：∵△ABC 为等腰直角三角形，O(G)为其斜边的中点， ∴CG=BG ，CG ⊥AB. ∴∠ACG=∠B=45°又∵∠BGH 与∠CGK 均为旋转角， ∴∠BGH=∠CGK ， ∴△BGH ≌△CGK ，∴BH=CK ，CGK BGH S S ∆∆=，∴CKG CHG CHGK S S S ∆∆+=四边形=BGH CHG S S ∆∆+=21×ABC S ∆=21×21×4×4=4，即四边形CHGK 的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.爱因斯坦说过：“从新的角度看待旧的问题，需要有创造性的想象能力”.如果我们联想到：两个等腰直角三角尺可以拼成一个正方形，因而上述问题又可演变为06河北省课改实验区的一道考题：实验与推理如图1－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图1－2，当EF 与AB 相交于点M GF ，与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．A B FCEG(O)解：（1）通过测量容易得出：BM FN =．证明：GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，45ABD F ∴∠=∠=，OB OF =．又BOM FON ∠=∠，OBM OFN ∴△≌△．BM FN ∴=． （2）BM FN =仍然成立．证明：GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，45DBA GFE ∴∠=∠=，OB OF =．135MBO NFO ∴∠=∠=，又MOB NOF ∠=∠，OBM OFN ∴△≌△．BM FN ∴=．牛刀小试：(04河北省)用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD ，把一个含有60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时(如图)，通过观察和测量BE ，CF 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.(2) 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 延长线相交于点E ，F 时(如图)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.提示：（1）BE-=CF （2）结论仍然成立.两问都是通过△ABE ≌△ACF 证得. （06年山东枣庄市课标卷）两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ． 试判断△EMC 的形状，并说明理由．分析： △EMC 是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得∠DAE ＋∠BAC=900.∴∠DAB=900.又AD=AB ∴△BAD 为等腰直角三角形，又∵DM=MB ∴MA=12DB=DM,∠MDA=∠MAB=450∴∠MDE=∠MAC=60°+45°=1050，又DE=AC ，∴△EDM ≌△CAM∴EM=MC, ∠DME=∠AMC 又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900所以△EMC 是等腰直角三角形评注：本题是以两块全等含30°角的三角板按一种方式的摆放来创设问题情景的，让学生先猜想判断，再说理.试题平中见奇，独具匠心，堪称好题. 解题时要善于发现隐含的条件如∠BAD=90°，BA=AD ，以便运用等腰直角三角形的性质为△EDM ≌△CAM 创造条件，获得问题的答案.图1－1 ()D F ()E A GG N 图1－2 图1－3 A BC DEFABCE D M。
“一副三角板”中的数学问题探索与思考
“一副三角板”中的数学问题探索与思考作者：王艳华来源：《新课程·教师》2013年第07期摘要：一副三角板对于学生来说司空见惯，熟悉得不能再熟悉了，对它们的性质及边角关系也理解得比较透彻。
鉴于此，中考命题人员对一副三角板也进行了研究，并且研究出了不少新颖的题目。
就对近几年的中考题目进行梳理，以飨读者。
关键词：三角板；中考；类型第一类：填空类1.一副三角板按如图1放置，则∠α= 度.（有以下八种形式）2.一副三角板按如图2放置，已知AB=4■，DE=6.则EB= .这一类题目用的知识少，也只考查了三角形的性质及其特殊角的三角函数.学生一般情况下都能做对，也是学生容易拿分的题目，属于容易题.第二类：选择类3.（2011淄博）一副三角板按图3所示的位置摆放.将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图4），测得CG=10 cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）此题是把解（直角）三角形问题融入一个具体环境中，比较新颖，可见命题人的匠心，学生只要认真思考是可以解决的.第三类：解答类4.一副直角三角板如图5放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.此题运用三角函数，平行线的性质等知识，解决难度不大，不过需作辅助线，学生是可以解决的，属于中档题目.第四类：操作类5.一副直角三角板叠放如图6所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°（1）如图7，α=______°时，BC∥DE；（2）请你分别在图8、图9的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：这类题目设计得有挑战性，也很有可操作性，考查了学生的动手能力和观察能力.同时也考查了学生的分类思想，是一道比较好的题目.难度也不大，若改为不画出后两种图形，让学生探索，就有难度了，情况不仅仅是两种了.第五类：探究类6.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图10、11.图10中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6 cm；图11中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm.图12是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC 方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）.（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 .（填“不变”“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.此题是一个探究类题目，充分运用观察、猜想、归纳等分类数学思想方法，是一个很不错的题目.运用了平行线的性质、三角形的性质、三角函数、勾股定理、一元二次方程等知识，达到了综合题的高度，也体现了考查学生的综合数学素养的要求。
三角板拼角的收获与感想
三角板拼角的收获与感想
我了解了“一副三角尺”中“一副”的含义，知道一副三角尺中的两块三角尺各有哪些角，有什么特点。
同时调动锐角、直角、钝角之间大小关系的知识，为“拼角”作好准备。
通过“用一副三角尺拼一个钝角”的活动，在自由拼角中感知，在合作交流中思考，在分类讨论中质疑，在验证优化中升华。
理解根据直角和钝角的关系，以直角为基础和锐角去拼的优势。
体会数学学习过程中的有序思考，可以提高解决问题的效率。
练习时，运用拓展分为三个层次，第一层次在用一副三角尺拼的基础上，用两副三角尺中的两块拼角，提高解决问题的能力;第二层次用两副三角尺中的三块拼角，发散的思维，第三层次用三角板中的各种图形拼，进一步加深对角的认识，培养思维的灵活性，感受三角板中的数学美，发展初步的空间观念。
初中数学一副三角板旋转垂直问题
初中数学一副三角板旋转垂直问题（原创版）目录1.引言：介绍初中数学中的三角板旋转垂直问题2.三角板的概念：解释三角板的定义和用途3.旋转垂直问题的解法：详述如何用三角板解决旋转垂直问题4.结论：总结三角板旋转垂直问题的重要性和解决方法正文初中数学中的一副三角板旋转垂直问题是许多学生感到困扰的难题。
三角板是一个常见的教学工具，它可以用来解决许多与角度有关的问题。
在这篇文章中，我们将详细解释如何用三角板解决旋转垂直问题。
首先，让我们解释一下三角板的定义和用途。
三角板是一个由两个角度为 90 度的直角三角形组成的平面板。
它可以用来测量和绘制角度，以及解决与角度有关的问题。
在初中数学中，三角板通常用于解决涉及直角三角形、等腰三角形和等边三角形的问题。
现在，让我们来看一下如何用三角板解决旋转垂直问题。
旋转垂直问题是指，当一个物体围绕一个点旋转时，如何判断物体的某一边是否与旋转轴垂直。
为了解决这个问题，我们可以使用三角板来模拟物体的旋转过程。
具体来说，我们可以按照以下步骤来解决旋转垂直问题：1.首先，画出物体和旋转轴，并标出物体的各个关键点。
2.其次，使用三角板测量物体的关键点和旋转轴之间的角度。
3.然后，根据测量出的角度，判断物体的哪一边与旋转轴垂直。
4.最后，用三角板验证我们的判断是否正确。
通过以上步骤，我们可以有效地解决旋转垂直问题。
三角板旋转垂直问题是初中数学中的一个重要课题，它涉及到许多与角度有关的问题。
通过熟练掌握三角板的使用方法，我们可以更好地解决这类问题。
总之，三角板旋转垂直问题是初中数学中的一个重要问题。
通过使用三角板这个有效的工具，我们可以更好地理解和解决这类问题。
特殊直角三角形边角关系的探索与研究
特殊直角三角形边角关系的探索与研究作者：赵亚双来源：《学校教育研究》2017年第13期一、问题提出的背景京教版八年级数学上册第十二章三角形的内容包括三角形及其性质、全等三角形、等腰三角形与直角三角形、尺规作图及轴对称。
其中等腰三角形中介绍了等腰三角形和等边三角形的定义、性质、判定。
直角三角形中介绍了“斜边直角边”定理和勾股定理。
介绍完等腰三角形、等边三角形和直角三角形后我们在习题中经常会遇到含有特殊角（30°45°60°角）的直角三角形，因为教材内容的限制，每当遇到这样的三角形时，总让我们有隔纱观景不能尽兴的感觉，能不能在直角三角形这一节中增加一节课，把两个特殊的直角三角形研究透？于是在教学中我们做了这样一个大胆的尝试，以学生活动为主线设计一节特殊直角三角形的探究课，打开天窗说亮话。
二、本节课的教学目标（一）知识与能力1.初步认识含有特殊角的直角三角形，了解图形边、角各具有哪些关系。
2.会根据已知条件，求解其他边长。
（二）数学思考借助活动手册，让学生在活动中经历特殊直角三角形的三边关系的探究过程，培养观察、分析、抽象、概括的能力。
（三）解决问题能够利用已知条件求解其他边长。
（四）情感态度培养积极思考和勇于探索的精神，形成良好的学习习惯.重点：能够利用已知条件求解其他边长难点：推导特殊直角三角形边、角各具有哪些关系三、学生情况分析初二的学生具有强烈的好奇心和求知欲，他们思维活跃，敢于发表自己的见解，并希望得到别人的认可。
经过初一的平行线和初二三角形部分的学习，他们已经具备了初步的几何学习能力，善于观察，能够独立思考一些问题，并具有一定的识图、分析图的能力，借助前边学习过的有关知识应该能够快速解决本节课的有关问题。
四、教学呈现形式借助活动手册，教师引导学生借助手中的一副三角板直观演示，通过推理和证明得出正确结论，并应用这些结论解决问题。
活动一与观察你手中的三角板，你对它们了解多少？五、教学效果及反思几何学习即要重视基本概念、定理的认知，又要重视基本图形的学习，在教学中，应当把“形”放在重要位置上，逐步培养学生对几何图形的识别、组合与分解的能力。
‘一副三角板”中的数学问题探索与思考
治学之法2013-07“一副三角板”中的数学问题探索与思考文/王艳华第一类:填空类=)图12.一副三角板按如图2放置,已知AB=42√,DE=6.则EB=.这一类题目用的知识少,也只考查了三角形的性质及其特殊角的三角函数.学生一般情况下都能做对,也是学生容易拿分的题目,属于容易题.第二类:选择类3.(2011淄博)一副三角板按图3所示的位置摆放.将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后(图4),测得CG=10cm,则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为()图3F)图4A.75cm2B.(25+253√)cm2C.(25+2533√)cm2D.(25+5033√)cm2此题是把解(直角)三角形问题融入一个具体环境中,比较新颖,可见命题人的匠心,学生只要认真思考是可以解决的.第三类:解答类4.一副直角三角板如图5放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.此题运用三角函数,平行线的性质等知识,解决难度不大,不过需作辅助线,学生是可以解决的,属于中档题目.第四类:操作类5.一副直角三角板叠放如图6所示,现将含45°角的三角板ADE固定不动,把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(α=∠BAD且0°<α<180°),使两块三角板至少有一组边平行。
(1)如图7,α=______°时,BC∥DE;(2)请你分别在图8、图9的指定框内,各画一种符合要求的图形,标出α,并完成各项填空:图8中α=°时,∥;图3中α=°时,∥。
图6图7图8图9这类题目设计得有挑战性,也很有可操作性,考查了学生的动手能力和观察能力.同时也考查了学生的分类思想,是一道比较好的题目.难度也不大,若改为不画出后两种图形,让学生探索,就有难度了,情况不仅仅是两种了.第五类:探究类6.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图10、11.图10中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图11中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图12是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐.(填“不变”“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.图10图11图12摘要:一副三角板对于学生来说司空见惯,熟悉得不能再熟悉了,对它们的性质及边角关系也理解得比较透彻。
《三角形的内角和》数学教学反思
《三角形的内角和》数学教学反思《三角形的内角和》数学教学反思「篇一」《课程标准》倡导探究性学习，力图改变学生的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生收集和处理科学信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力等，突出创新精神和实践能力的培养。
探究三角形内角和的过程的时候，我注意鼓励学生通过动手操作、小组合作的方法去探究，并利用多媒体去验证学生的结论，最终得到三角形的内角和都是180°。
给学生一些问题，让他们自己去探索；给学生一片空间，让他们自己飞翔。
“为什么不能画出有两个直角的三角形？三角形的内角度数有何奥秘？”这正是小组合作的契机。
通过小组内交流，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。
教师引导学生通过测量、剪拼、折拼等实际操作，建立解决问题的目标意识，形成学习的氛围，给学生更多的自主学习、合作学习的机会，促进学生的主体参与意识。
在此基础上，教师通过多媒体动画演示，让学生更直观、更清晰地观察到剪拼、折拼的过程，进一步验证探究结论。
同学们通过自主实践、合作探究完成了本节课的教学任务。
整节课的练习设计，由易到难。
在应用“三角形内角和是180°”这一结论时，第一、二层练习是已知三角形两个内角的度数，求另一个角和简单的判断题。
第三层练习是求特殊三角形内角的度数，真正做到了三角形内角和知识与三角形特点的有机结合。
在实际教学中，我多次利用超级画板、flash动画，从开始的激趣引入、观察猜想，到后来的数据验证，多媒体在整个教学中起到了不可忽视的辅助作用。
另外，参与学生的探究活动是我教学的一大特点，询问、点拨、交流，使学生都能积极参与到合作学习之中，更好地完成教学任务。
同时我也发现，学生在合作探究中的组织如合理分工、有效合作等方面不够科学合理，还需更具体的指导，以使每位学生都能真正参与，让合作探究更有效。
《三角形的内角和》数学教学反思「篇二」一、设计思路：这节课是上“三角形内角和”，因为学生对三角尺上每个角的度数比较熟悉，就从这里入手。
初中低年级数学教学中三角板的应用价值研究
初中低年级数学教学中三角板的应用价值研究平面几何是研究平面图形性质的数学学科领域，而图形又是几何研究的基本组成对象，揭示几何问题的解题方法，分析思路和题型的规律性离开了对图形和图形性质的研究是比较缓慢低效的。
教材上的知识点，图形都是以静态形式单一的思维形式呈现的，课堂上如果能采用一些辅助教学例如三角板的应用可以将学生的认知方式，思维能力和实际动手操作结合起来，把静态的知识动态化，让单一的思维方式发散为多角度的知识结构。
在低年级数学几何教学中教师要把握好从实验几何到论证几何过渡的要求，为论证几何的学习打下坚实的基础。
可以通过三角板的辅助教学，让学生从直观具体的思维感受逐渐延深到形象的思维，进行一些简单的逻辑推理。
利用三角板的辅助教学，会让一堂本来枯燥的无味的数学课显得那么自然生动，激发学生学习的欲望和兴趣，而兴趣是学生探究知识的巨大动力，是发展学生创新能力的巨大源泉。
一．作为新概念导入、性质验证的演示工具在上教版七年级数学下册教材第43页中可以利用三角板经过直线上或直线外一点作已知直线的的垂线以及垂线的定义，还可以不用圆规而直接用三角板画已知线段的垂直平分线，角平分线,如图过点o作be的垂线即为线段fc的垂直平分线，连接ap即为∠bac 的角平分线。
《平行线的判定》章中可以用三角板“靠齐，固定，平移”来做已知直线的平行线，用三角板测量两条平行线间的距离，《三角形》章中，当然可以用来介绍三角的相关概念，也可以用来做出已知三角形的高，中线和角平分线。
还可以用三角板来比较两个角的大小，把三角板的任意两个角对齐，其中一个叫的另一边在另一个角的内部，那么这个角较小，反之在另一个角的外部，则这个角较大。
在八年级教材中有关于等腰三角形和直角三角形的性质，还有等腰直角三角形的性质，三角板本身就是这样的三角形，那么利用三角板可以很自然的展现给学生直观的图形，比在黑板上画出来更能提高学生课堂的注意力，在九年级教材中《锐角三角比》的学习中利用三角板来解直角三角形，方便迅速准确的画出有一角为45度和有一角为30度的三角形以及可以在《相似三角形》中用来探索平行线分线段成比例的性质。
用三角板拼出的角度相关问题
三角板拼出的角度问题数学无处不在.瞧！一副小小的三角板竟被命题者敏锐的眼光看中，被选作试题背景，呈现在同学们面前．使同学们经历观察、实验、验证等数学活动的过程，发展合情推理能力，使同学们在此过程中获得成功体验．例１ 如图1是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB ＝_________°． 析解：仔细观察后知道，∠Ａ＝６０°，∠ABC ＝９０°，∠ＥＢＣ＝４５°，则 ∠ＡＢＥ＝９０°-∠ＥＢＣ＝９０°-４５°＝４５°.所以在△ＡＢＥ中，∠AEB ＝１８０°-∠Ａ-∠ＡＢＥ＝１８０°-６０°-４５°＝７５°．同学们交流一下还有其他方法吗？例２. 一副三角板如图所示叠放在一起，则图2中∠α的度数是_________。
析解：为了说明方便，我把图形添上字母，如图，由∠DEF=90°，得∠α=90°-∠DEC ，又∠ACB=∠A=45°则∠ECD=180°-∠ACB=180°-45°=135°.在△DCE 中，∠DEC=180°-∠D-∠ECD=180°-30°-135°=15°，所以 ∠α=90°-∠DEC=90°-15°=75°.同学们的方法和我说的一样吗？如果不一样，同学之间交流一下，看谁的简单.例3.将一副直角三角板按图3所示方法放置（直角顶点重合），则AOB DOC ∠+∠= ． 析解：仔细观察后，发现本题无从入手，怎么办呢？同学们我们 这样来看这两个角的和．AOB DOC ∠+∠=∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ-∠DOC ＋∠DOC ．而∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝９０°，所以AOB DOC ∠+∠=２×９０°＝１８０°.本题采用了整体的数学思想．同学们你还有其它的方法吗？与你的同伴交流一下！图2 A B C E D FB C A D E 图13、（2010年泉州南安市）将一副三角板摆放成如图所示，图中1∠=答案：1201.(2010宁德) 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°， 那么∠2是_______°．55（2010河南）10．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．75º （08长春）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.活动6.（2005衢州） 用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角。
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“一副三角板”中的数学问题探索与思考
摘要：一副三角板对于学生来说司空见惯，熟悉得不能再熟悉了，对它们的性质及边角关系也理解得比较透彻。
鉴于此，中考命题人员对一副三角板也进行了研究，并且研究出了不少新颖的题目。
就对近几年的中考题目进行梳理，以飨读者。
关键词：三角板；中考；类型
第一类：填空类
1.一副三角板按如图1放置，则∠α= 度.（有以下八种形式）
2.一副三角板按如图2放置，已知ab=4■，de=6.则eb= .
这一类题目用的知识少，也只考查了三角形的性质及其特殊角的三角函数.学生一般情况下都能做对，也是学生容易拿分的题目，属于容易题.
第二类：选择类
3.（2011淄博）一副三角板按图3所示的位置摆放.将△def绕点a（f）逆时针旋转60°后（图4），测得cg=10 cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）
此题是把解（直角）三角形问题融入一个具体环境中，比较新颖，可见命题人的匠心，学生只要认真思考是可以解决的.
第三类：解答类
4.一副直角三角板如图5放置，点c在fd的延长线上，ab∥cf，∠f=∠acb=90°，∠e=45°，∠a=60°，ac=10，试求cd的长.
此题运用三角函数，平行线的性质等知识，解决难度不大，不过
需作辅助线，学生是可以解决的，属于中档题目.
第四类：操作类
5.一副直角三角板叠放如图6所示，现将含45°角的三角板ade 固定不动，把含30°角的三角板abc绕顶点a顺时针旋转∠α（α=∠bad且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。
（1）如图7，α=______°时，bc∥de；
（2）请你分别在图8、图9的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：
这类题目设计得有挑战性，也很有可操作性，考查了学生的动手能力和观察能力.同时也考查了学生的分类思想，是一道比较好的题目.难度也不大，若改为不画出后两种图形，让学生探索，就有难度了，情况不仅仅是两种了.
第五类：探究类
6.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图10、11.图10中，∠b=90°，∠a=30°，bc=6 cm；图11中，∠d=90°，∠e=45°，de=4 cm.图12是刘卫同学所做的一个实验：他将△def的直角边de与△abc的斜边ac重合在一起，并将△def 沿ac方向移动.在移动过程中，d、e两点始终在ac边上（移动开始时点d与点a重合）.
（1）在△def沿ac方向移动的过程中，刘卫同学发现：f、c两点间的距离逐渐 .（填“不变”“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△def移动至什么位置，即ad的长为多少时，f、c
的连线与ab平行？
问题②：当△def移动至什么位置，即ad的长为多少时，以线段ad、fc、bc的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△def的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠
fcd=15°？如果存在，求出ad的长度；如果不存在，请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程.
此题是一个探究类题目，充分运用观察、猜想、归纳等分类数学思想方法，是一个很不错的题目.运用了平行线的性质、三角形的性质、三角函数、勾股定理、一元二次方程等知识，达到了综合题的高度，也体现了考查学生的综合数学素养的要求。
从以上五种类型的题目可以看出，一副三角板中蕴涵着丰富的思维宝藏，只要我们做学习上的有心人，善于观察与思考，就能发现数学就在身边，数学无处不在；只要我们肯用心，就能发现数学，就能发别人之未发。
（作者单位山东省菏泽市牡丹区21中）。