2012聚焦新中考数学(含11真题带解析)考点跟踪训练7一元二次方程

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2012中考数学-第25讲-二次函数(含答案)附2011中考真题精选共58页

2012年中考数学一轮复习精品讲义第二十五章二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【本章难点】会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题．【学习本章应注意的问题】1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y＝ax2(a≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y＝ax2＋k，y ＝a(x－h)2一直到y＝ax2＋bx＋c，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验．小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图二次函数的概念二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二次函数二次函数的性质二次函数的应用一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函数的最大(小)值在实际问题中的应用分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．【解题策略】解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．例 2 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是( )x-1 0 1 ax 21 ax 2+bx +c 8 3A ．y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8分析由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1×(－1)2＋b ×(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．【解题策略】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8．例3 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析由图象可知a ＜0，2b a＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．【解题策略】抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析由a ＞0，得抛物线开口向上，由2b a -＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C .【解题策略】此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2分析因为y ＝x 2＋4x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝－2，所以x =134-与x ＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y 2＜y 1＜y 3．故选B ．【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x =134-的函数值转化为x ＝－34的函数值．例6 在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1与y ＝－32(x －1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析直线y ＝－x ＋1与y 轴交于正半轴，抛物线y ＝－32(x －1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D ．专题2 抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a 相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x 轴左、右平移，此时与k 的值无关；顶点上、下变化，即沿y 轴上、下平移，此时与h 的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．例7 把抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x －1)2C ．y ＝－2x 2＋1D ．y ＝－2x 2－1分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C ．【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．例8 把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则 ( )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21分析 y ＝x 2－3x ＋5变形为y ＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋5－94，即y ＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y ＝2332x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋114＋2，即y ＝x 2＋3x ＋7，所以b ＝3，c ＝7．故选A ．【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y ＝x 2－3x ＋5，那么抛物线y ＝x 2－3x ＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ．专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2b a-和244ac b a -的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，则a 的值是 .分析因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2b a-时，y 有最小值为244ac b a -；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2b a-时，y 有最大值为244ac b a-．例10 已知实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填52．专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．例11 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)．(1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ．(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．【解题策略】求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．(1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y ＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．例12 根据下列条件求函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．分析(1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c 将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．即y＝－2x2－4x－5．(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y=－x2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a·3·(－1)＋4，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，即y＝－x2－2x＋7．【解题策略】(1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．三、思想方法专题专题7 数形结合思想【专题解读】把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．例13 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2b a-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．【解题策略】解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置．专题8 分类讨论思想【专题解读】分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．例14 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3． (2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为y＝－15x＋1，当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为y＝－25x＋2．(3)由题意可知M30,2⎛⎫⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M关于x轴的对称点为M′3 0,2⎛⎫-⎪⎝⎭，点A关于抛物线对称轴x＝3的对称点为A′(6，3)，连接A′M′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是点P运动的最短总路径的长．所以A′M′与x轴的交点为所求的E点，与直线x＝3的交点为所求的F点．可求得直线A′M，的解析式为y＝34x－32．所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为3 3,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A′M′＝152．所以点P运动的最短总路径(ME＋EF＋F A)的长为152．【解题策略】(2)中点D的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E，F两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．专题9 方程思想【专题解读】求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y＝0或x＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．例15 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴交点的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个分析可设x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y＝x2－2x＋1与x轴只有一个交点．故选B．【解题策略】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝o(a≠0)的根的个数来确定．专题10 建模思想【专题解读】根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题．例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值．解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2b a＝60时，W 有最大值，又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．【解题策略】求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解．例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元．(1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x (万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 与x 之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费)解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)×10×250－10×200－x,即S＝－25x2＋499x＋500，整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y=12-x2＋10x＋18000(3)当y＝17600时，－12x2＋10x＋400=0，即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．例19 （09·泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝3-x＋m与x轴交于点E．(1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，则OF=OAcos 60°=1，AF=OFtan 60°3∴点A(13．代入直线解析式，得3×1＋m3m43∴y=3x43当y=0时，3x43，解得x＝4，∴点E(4，0)．(2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线过原点，∴c＝0，∴3,1640,a ba b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得343ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝3243.例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．(1)求点B的坐标；(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式．解：(1)如图26－95所示，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．∵OA⊥OB，∴∠AOF＋∠BOE＝90°．又∵∠BOE＋∠OBE＝90°，∴∠AOF＝∠OBE．∴Rt△AFO∽Rt△OEB．∴BE OE OBOF AF OA==＝2∴BE＝2，OE＝4．∴B(4，2)．(2)设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c．则2,1642,0.a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y＝12x2－32x.例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．解：(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，∴01,200,b cc=++⎧⎨=++⎩解得3,2,bc=-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．(2)∵A(1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2，可得旋转后C点的坐标为(3，1)．当x＝3时，由y=x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)．∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1．例22 如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC 对称的点的坐标．解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，∴40,4 4.a b aa--=⎧⎨-=⎩解得1,3. ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．(2)如图26－98所示，点D(m，m＋1)在抛物线上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，即m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．由(1)得B点的坐标为(4，0)，∴OC=OB，∴∠CBA＝45°．设点D关于直线BC的对称点为点E．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．∴OE＝1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．综合验收评估测试题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题1．抛物线y＝－3(x－2)2＋9的对称轴、开口方向和顶点坐标分别为( ) A．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(2，9)B．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(2，9)C．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(－2，9)D．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(－2，－9)2．将抛物线y＝－(x＋1)2－3向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为( ) A．(－1，0) B．(1，0) C．(1，－6) D．(－1，－6)3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2x；③y＝3－2x；④y＝2x2＋x(x≥0)．其中在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大的函数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知点A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝2(x＋1)2－12的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y1＞y3＞y2D.y2＞y1＞y35．如图26－99所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两个坐标轴的交点分别为A，B，E，且△ABE 是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列式子不成立的是( )A．b＝0 B．S△ABE＝c2C．ac＝－1 D．a＋c＝06．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－100所示，则下列判断正确的是( )A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＞0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜07．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋1，则它的图象大致为(如图26－101所示) ( )8．有3个二次函数，甲：y ＝x 2－1；乙：y ＝－x 2＋1；丙：y ＝x 2＋2x －1．下列叙述正确的是 ( )A ．甲的图象经过适当的平移后，可以与乙的图象重合B ．甲的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合C ．乙的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合D ．甲、乙、丙3个图象经过适当的平移后，都可以重合9．已知关于x 的不等式组3,155x a x a-⎧⎨-⎩≥≤无解，则二次函数y =(a －2)x 2－x ＋14的图象与x 轴 ( )A ．没有交点B ．相交于两点C ．相交于一点D ．相交于一点或没有交点 10．如图26－102所示，二次函数y ＝ax 2＋x ＋a 2－1的图象可能是 ( )二、填空题11．请写出一个开口向上、与y 轴交点的纵坐标为－1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式：．12．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是．13；如果函数y ＝(k －1)22kk x -+＋kx －1是关于x 的二次函数，则k ＝． 14．抛物线y ＝12(x －2)2＋1的对称轴是直线，顶点坐标为．15．用配方法将二次函数y＝4x2－24x＋26写成y＝a(x－h)2＋k的形式是．16．将y＝3x2的图象向平移2个单位，再向平移3个单位，就得到y＝3(x ＋2)2－3的图象．17．二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图26－103所示，当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是．18．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点坐标为．19．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－104所示，P＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q＝|a＋b ＋c|＋|2a－b|，则P，Q的大小关系为．20．初三数学课本上，用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的囱象时，列了如下表格：x …－2 －1 0 1 2 …y …－162－4 －122－2 －12…根据表格中的信息，该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝.三、解答题21．用周长为6 m的铝合金制成如图26－105所示的窗框，则宽和高各为多少时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少?22．如图26－106所示，⊙O1，⊙O2外切于点P，点P在y轴上，⊙O1，⊙O2分别与x轴相切于A，B两点．(1)求证P A⊥PB；(2)若点A(－1，0)，B(4，0)，求过A，B，P三点的抛物线的解析式；(3)(2)中所确定的抛物线的顶点是否在⊙O1与⊙O2的圆心的连线上?23．抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．(1)求m的值，并在图26－107中画出这条抛物线；(2)求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；(3)当x取何值时，抛物线在x轴上方?(4)当x取何值时，y的值随x的增大而减小?24．某农用车生产企业上年度生产农用车的投入成本为0.5万元／辆，出厂价为0.6万元／辆，年销售量为10万辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当地增加投入成本，若每辆车投入成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的百分率为0.75x，同时预计年销售量增加的百分率为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与每辆车投入成本增加的百分率x之间的函数关系式；(2)当每辆车投入成本增加的百分率为多少时，本年度的利润与上年度持平?(结果保留小数点后一位)25．已知抛物线经过点A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，抛物线交y轴于点E，请在抛物线上另找一点P，先分别求出点A，C，E，P到点D的距离，再求这些点与直线y＝2的距离；(3)你发现这条抛物线上的点具有何种规律?26．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)的图象经过(0，y1)，(1，y2)和(－1，y3)三点，且满足y12＝y22＝y32＝1．(1)求这个二次函数的关系式；(2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，其中．x1＜x2，C为图象的顶点，连接AC，BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值．27．如图26－108所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝14x 2－6与直线y ＝12x 相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大?最大面积是多少?(3)如图26－109所示，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C ，D 两点，垂足为点M ，分别求出OM ，OC ，OD 的长，并验证等式222111OC OD OM +=是否成立．参考答案1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B8．B [提示：丙函数y ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，所以甲函数y ＝x 2－1的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到丙函数的图象．]9．A [提示：解不等式组得a ＞3，Δ＝3－a ＜0．]10．B [提示：把x ＝0代入y ＝ax 2＋x ＋a 2－1，得y ＝a 2－l ，因为a ≠0，所以对称轴x ＝12a -≠0，所以C ，D 选项是不正确的，若选项A 是正确的，则a ＝±1，当a ＝1时，12a -＝12-，即对称轴应为直线x ＝－12，故选项A 错误，若选项B 是正确的，则a ＝－1，对称轴为直线x ＝12(1)-⨯-＝12，因此选项B 是正确的．] 11．y ＝4x 2－1(答案不唯一)[提示：∵抛物线经过点(0，－1)，(1，3)，∴1,3,c a b c =-⎧⎨++=⎩，∴a。

第07讲一元二次方程(练习)(解析版)-2024年中考数学复习

第07讲一元二次方程目录题型01识别一元二次方程题型02由一元二次方程的概念求参数的值题型03一元二次方程的一般形式题型04由一元二次方程的解求参数的值题型05由一元二次方程的解求代数式的值题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根题型07选用合适的方法解一元二次方程题型08错看或错解一元二次方程问题题型09配方法的应用题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况题型11判断含字母的一元二次方程根的情况题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围题型13应用根的判别式证明方程根的情况题型14与根的判别式有关的新定义问题题型15由根与系数的关系直接求代数式的值题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值题型18与根与系数有关的新定义问题题型19构造一元二次方程求代数式的值题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用题型21分裂（传播）问题题型22碰面（循环）问题题型23增长率问题题型24营销问题题型25与图形有有关的问题题型01识别一元二次方程式方程是一元二次方程是解题的关键．题型02由一元二次方程的概念求参数的值【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．题型03一元二次方程的一般形式【答案】2−3−6=0【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可．【详解】解：2−3−2=8，2−3+2=8，2−3−6=0，故答案为：2−3−6=0．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即B2+B+=0(≠0)．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．题型04由一元二次方程的解求参数的值题型05由一元二次方程的解求代数式的值1．（2022·浙江金华·统考一模）已知是方程22−3−5=0的一个解，则−42+6的值为（）A．10B．－10C．2D．－40【答案】B【分析】将a代入方程得到22−3=5，再将其整体代入所求代数式即可得解．【详解】∵a是方程的一个解，∴有22−3−5=0，即，22−3=5，∴−42+6=−2(22−3p=−2×5=−10，故选：B．题型06已知一元二次方程的一个根，求另一个根（1）解：∵关于x的一元二次方程2−2+3−2=0有实数根，∴其根的判别式Δ≥0，即(−2)2−4(3−2)≥0，解得：≤1．（2）解：将=4代入2−2+3−2=0，得：42−2×4+3−2=0，解得：=−2，∴该一元二次方程为2−2−8=0．即(−4)(+2)=0，∴1=4，2=−2，∴方程的另一根为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程．（1）掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ=2−4B≥0”是关键；（2）理解一元二次方程的解的定义和解一元二次方程的方法是关键．题型07选用合适的方法解一元二次方程∴4+12−3=4(+3p−3=4×2−3=5∴4+12−3=5．【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．题型08错看或错解一元二次方程问题题型09配方法的应用1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2−2+4=0，则2+2+2的最小值是（）A．8B．−8C．−9D．9【答案】A【分析】由已知得2=2−4，注意x的取值范围，代入2+2+2再配方，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∵2−2+4=0，∴2=2−4，且2−4≥0即≥2，∴2+2+2=2+2−4+2=2+4+4−8=+22−8，∵+22≥0，≥2∴当=2时，2+2+2的最小值是8，故选：A．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知s s为实数，且+=5−4+32,−=1−2+2，则s s 之间的大小关系是（）A．<≤B．<≤C．≤<D．<≤【答案】A【分析】先根据已知等式求出=2−+2,=22−3+3，再利用完全平方公式判断出−s−的符号，由此即可得出答案．【详解】∵+=5−4+32,−=1−2+2，∴=2−+2,=22−3+3，∴−=2−+2−，=2−2+2，=(−1)2+1>0，∴<，又∵−=1−2+2=(−1)2≥0，题型10判断不含字母的一元二次方程根的情况1．（2023殷都区一模）一元二次方程2−3+1=0的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【分析】根据判别式Δ=2−4B即可判断求解．【详解】解：由题意可知：=1,=−3,=1，∴Δ=2−4B=(−3)2−4×1×1=5>0，∴方程2−3+1=0有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当Δ=2−4B>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ= 2−4B=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=2−4B<0时，方程没有实数根．2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无实数根【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可.【详解】解：∵2x2﹣32x＝3，∴2x2﹣32x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，∴有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键.题型11判断含字母的一元二次方程根的情况题型12由方程根的情况确定字母的值或取值范围1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程2+2+=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ=4−4>0，解出m的取值范围即可进行判断．【详解】解：根据题意，得Δ=4−4>0，解得<1，∵0<1，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程B2−2−1+−2=0有两个不相等题型13应用根的判别式证明方程根的情况题型14与根的判别式有关的新定义问题1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：u=B−2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2，则方程2◎=5的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【答案】C【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．【详解】方程2◎=5化为2−2=5，一元二次方程化为一般式为2−2+5=0，∵Δ=−22−4×1×5=−16<0，∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应题型15由根与系数的关系直接求代数式的值题型16由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知，是一元二次方程2+−2021=0的两个实数根，则代数式2+ 2+的值等于（）题型17由方程两根满足关系求字母或代数式的值题型18与根与系数有关的新定义问题1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义★=2+−2+4，例如3★7=32+3×7−2+4=28，若方程★=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（）A．−2B．−3C．−4D．−5【答案】C【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．【详解】解：∵★=2+(−2)+4∴2+(−2)+4=0∵方程2+(−2)+4=0的一个根是−1，设另一个根为，则有：−1×=4解得，=−4故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握根的定义是解本题的关键．2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5题型19构造一元二次方程求代数式的值1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果，是两个不相等的实数，且满足2+=4，2+=4，那么代数式32−B−3的值是（）结合他们的对话，请解题型20根与系数的关系和根的判别式的综合应用1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程2−2B+2−9=0．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；题型21分裂（传播）问题1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为2个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为2个，依题意，得：1++2=43，解得：1=−7（舍去），2=6．故选C．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+2=43B．1++2=43C．+2=43D．(1+p2=43【答案】B【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有(1++2)个，从而可得答案.【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则1++2=43故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键. 3．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．【答案】每轮每人传染的人数为7人【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4人被感染，第二轮中有4+4人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4人被感染，第二轮中有4+4人被感染，根据题意得：4+4+4+4=256，即4+12=256，解得：1=7，2=−9(不符合题意，舍去)．答：每轮每人传染的人数为7人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型22碰面（循环）问题【答案】D【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛72场，可列出方程．【详解】解：设有x个队参赛，则x（x-1）=72．故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．题型23增长率问题1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为()A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50【答案】A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到30(1+p2=50，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，30(1+p2=50，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．2．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2=461B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442D．368（1+x）2=442【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．3．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？【答案】(1)这两个月游客人数的月平均增长率为10%(2)按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人【分析】根据增长率的定义处理（1）设平均增长率为x，依题意，得101+2=12.1，解方程；（2）基期数据为12.1，增长期间为1个月，依公式计算求解．【详解】（1）解：设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：101+2=12.1，解得1=−2.1（舍去），2=0.1．答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%．（2）12.1×1+10%=13.31（万人）．答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人【点睛】本题考查一元二次方程的应用；熟练增长率的定义及计算公式是解题的关键．题型24营销问题1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应(2)该产品的售价每件应定为90元【分析】（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设=B+（≠0，k，b为常数），待定系数法求解析式即可；（2）根据小王预计每月盈利8200元，列一元二次方程，求解即可．【详解】（1）解：由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设=B+（≠0，k，b为常数），将=80，=500和=82，=490代入，得80+=50082+=490，解得=−5=900，∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为=﹣5+900；（2）解：根据题意，得−70−5+900−800=8200，解得1=160，2=90，∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，∴x=90，答：该产品的售价每件应定为90元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．题型25与图形有有关的问题1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48B2，则该有盖纸盒的高为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【分析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，【答案】通道的宽是6米．【分析】设通道的宽是x米，则铺花砖的部分可合成长为花砖的面积为640平方米，即可得出关于【详解】解：设通道的宽是x根据题意得：52−228−2−40+204=0，直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？【答案】宽为6尺，高为8尺，长为10尺【分析】设长竿的长x尺，再表示宽和高，根据勾股定理列出方程，然后求出解，即可确定答案．【详解】解：设竿长为尺，则门的宽为−4尺，高为−2尺，依题意，得−42+−22=2整理，得2−12+20=0解得1=10，2=2，∵K4，∴只取=10，故−4=10−4=6，−4=10−2=8．答：宽为6尺，高为8尺，长为10尺．【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，勾股定理是求线段长的常用方法．∴1+2=8，∵1=32，∴2=2,1=6，∴=12=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．7．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程2−5+2=0根的判别式的值是（）A．33B．23C．17D．17【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式△=2−4B求出答案．【详解】解：∵=1，=−5，=2，∴△=2−4B=−52−4×1×2=17．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程2+B+=0有两个相等的实数根，则2−21+2=（）A．－2B．2C．－4D．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情况可得2−4=0，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x的一元二次方程2+B+=0有两个相等的实数根∴Δ=2−4=0∴2−21+2=2−4−2=0−2=−2，故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(+p展开式的系数规律．1(+p0=111(+p1=+121(+p2=2+2B+21331(+p3=3+32+3B2+3当代数式4−123+542−108+81的值为1时，则x的值为（）A．2B．−4C．2或4D．2或−4【答案】C【分析】由规律可得：+4=4+43+622+4B3+4，令=，=−3，可得−34=1，再解方程即可．【详解】解：由规律可得：+4=4+43+622+4B3+4，令=，=−3，∴−34=4−123+542−108+81，∵4−123+542−108+81=1，∴−34=1，∴−3=±1，∴=4或=2，故选：C．【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．10．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数，是一元二次方程2−2−3=0的两个根，且<，则点s所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得．【详解】∵实数，是一元二次方程2−2−3=0的两个根，且<，∴=−1，=3,∴s为−1,3，∴−1,3在第二象限，故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（）A．5m B．70m【答案】A【分析】设小路宽为F，则种植花草部分的面积等于长为根据花草的种植面积为3600m2，即可得出关于【详解】解：设小路宽为F，则种植花草部分的面积等于长为积，依题意得：100−250−2=3600解得：1=5，2=70（不合题意，舍去）∴小路宽为5m．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m【答案】6【分析】由m是方程2−2−1=0的根，可得形即可．【详解】解：∵m是方程2−2−1=02−2−1=0，即2=2+1，。

2012年中考数学复习考点跟踪训练08 列方程(组)解应用题

考点跟踪训练8 列方程(组)解应用题一、选择题1．(2010·曲靖)练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x 元，那么下面所列方程正确的是( )A ．5(x －2)＋3x ＝14B ．5(x ＋2)＋3x ＝14C ．5x ＋3(x ＋2)＝14D ．5x ＋3(x －2)＝14答案 A解析水性笔的单价为x 元，则练习本的单价为(x －2)元，5本练习本和3支水性笔的总价为5(x －2)＋3x 元，故选A.2．(2010·恩施)某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为( )A. 21元B. 19.8元 C ．22.4元 D ．25.2元答案 A解析设该商品的进价为x 元，28×0.9－x ＝20%x,1.2x ＝28×0.9，x ＝21.3．(2011·泰安)某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买了多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 D.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝30，x ＋y ＝400 答案 B解析甲种奖品每件16元、x 件需16x 元，乙种奖品每件12元、y 件需12y 元，合计16x ＋12y ＝400，故选B.4．(2010·绵阳)有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为( )A ．129B ．120C ．108D ．96答案 D解析设1艘大船一次载客x 人，1艘小船一次载客y 人，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝46，2x ＋3y ＝57，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝7，∴3x ＋6y ＝3×18＋6×7＝54＋42＝96. 5．(2011·凉山)某品牌服装原价173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A ．173()1＋x %2＝127B ．173()1－2x %＝127C ．173()1－x %2＝127D ．127()1＋x %2＝173答案 C解析该品牌服装降价一次后为173－173×x %＝173(1－x %)元，降价两次后为173(1－x %)－173(1－x )×x %＝173(1－x %)2元，故选C.二、填空题6．(2011·湘潭)湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为________．答案 50－8x ＝38解析每个莲蓬的单价为x 元，8个莲蓬合计8x 元，找回(50－8x )元，所以50－8x ＝38.7．(2011·浙江)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买5束鲜花和5个礼盒的总价为 ________元．答案 440 解析设一束鲜花的价格为x 元，一个礼盒的价格为y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝143，①2x ＋y ＝121，②由①＋②得3x ＋3y ＝264.∴x ＋y ＝88.∴5x ＋5y ＝88×5＝440.8．(2011·潼南)某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a 度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费．某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a ＝________度．答案 40解析 0.50×100<56，可知该用户超量用电.0.50a ＋0.50(1＋20%)(100－a )＝56,0.5a ＋60－0.6a ＝56，－0.1a ＝－4，a ＝40.9．(2011·上海)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．答案 20%解析设每年屋顶绿化面积的增长率为x .2000(1＋x )2＝2880.(1＋x )2＝1.44.1＋x ＝±1.2.所以x 1＝0.2，x 2＝－2.2(舍去)．故x ＝0.2＝20%.10．(2011·宿迁)如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m 2，则AB 的长度是______m(可利用的围墙长度超过6m)．答案 1解析设AB 长为x m ，则BC ＝(6－2x )m.∴x (6－2x )＝4，x 2－3x ＋2＝0.x 1＝2，x 2＝1.当x ＝2时，AB ＝2，BC ＝2，不合题意，舍去，所以x ＝1.三、解答题11．(2011·安徽)江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克．求粗加工的该种山货质量．解设粗加工的该种山货质量为x 千克，根据题意，得x ＋(3x ＋2000)＝10000.解得 x ＝2000.答：粗加工的该种山货质量为2000千克．12．(2011·扬州)古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12x ＋8y ＝乙：⎩⎨⎧ x ＋y ＝ x 12＋y 8＝根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x 表示____________________，y 表示 __________________；乙：x 表示 ____________________，y 表示 __________________；(2)求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？(写出完整的解答过程)解 (1) 甲：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，12x ＋8y ＝180；乙：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝180，x 12＋y 8＝20. 甲：x 表示A 工程队工作的天数，y 表示B 工程队工作的天数；乙：x 表示A 工程队整治的河道长度，y 表示B 工程队整治的河道长度；(2)若解甲的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20， ①12x ＋8y ＝180， ② ①×8，得：8x ＋8y ＝160， ③③－②，得：4x ＝20，∴x ＝5.把x ＝5代入①得：y ＝15，∴ 12x ＝60,8y ＝120.若解乙的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝180， ①x 12＋y 8＝20， ② ②×12，得：x ＋1.5y ＝240， ③③－①，得：0.5y ＝60.∴y ＝120.把y ＝120代入①，得，x ＝60.答：A 、B 两工程队分别整治河道60米和120米．13．(2011·益阳)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨(含14吨)时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？(2)设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；(3)小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？解设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元．⎩⎨⎧ 14x ＋()20－14y ＝29，14x ＋()18－14y ＝24，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝x ；当x >14时，y ＝14×1＋()x －14×2.5＝2.5x －21，所求函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧x ()0≤x ≤14，2.5x －21()x >14. (3)∵x ＝24>14，∴把x ＝24代入y ＝2.5x －21，得：y ＝2.5×24－21＝39.答：小英家3月份应交水费39元．14．(2011·烟台)去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务．部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？解设原计划每天打x 口井，由题意可列方程30x －30x ＋3＝5，去分母得，30(x ＋3)－30x ＝5x (x ＋3)，整理得，x 2＋3x －18＝0，解得x 1＝3，x 2＝－6(不合题意，舍去)．经检验，x 2＝3是方程的根，∴x ＝3.答：原计划每天打3口井．15．(2011·衢州)某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：解设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有()x ＋3株，平均单株盈利为()3－0.5x 元，由题意，得()x ＋3()3－0.5x ＝10.化简，整理得x 2－3x ＋2＝0.解这个方程，得x 1＝1，x 2＝2，∴x ＋3＝4或5.答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：________________________________________________.请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．解 (1)平均单株盈利×株数＝每盆盈利；平均单株盈利＝3－0.5×每盆增加的株数；每盆的株数＝3＋每盆增加的株数．(2)解法解法2(图象法)：如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利.从图象可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．解法3(列分式方程)：设每盆花苗增加x 株时，每盆盈利10元，根据题意，得10x ＋3＝3－0.5x . 解这个方程，得x 1＝1，x 2＝2.经验证，x1＝1，x2＝2是所列方程的解．∴x＋3＝4或5.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．四、选做题16．(2011·义乌)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？解(1)2x,50－x.(2)由题意得：(50－x)(30＋2x)＝2100，化简得：x2－35x＋300＝0，解得：x1＝15, x2＝20，∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去. ∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．。

2012年全国各地中考数学解析汇编第二十章一元二次方程

（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十章一元二次方程20.1一元二次方程（2012江苏泰州市，4,3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。

设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是Ａ．36（1－x）2＝36－25 Ｂ．36（1－2x）＝25　Ｃ．36（1－x）2＝25 Ｄ．36（1－x2）＝25【解析】解题的关键是连续两次降价，一次降价可表示为36(1-x)，再次降价既再乘(1-x)，则可列方程为：36（1－x）2＝25．　【答案】Ｃ【点评】本题是以实际问题为背景考查学生对一元二次方程应用的掌握情况，（连续降价两次）降价率问题的固定模式是M(1-x)2＝N，M为原始数据，N为（连续增长两次）最后数据．（2012四川成都，10，3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B．C． D．解析：原价是100元，第一次提价后变为元，第二次提价后变为元，所以本题的方程为。

答案：C点评：增长率问题，也是考得比较勤的考点，若原来为a，增长率为b%，则结果为a(1+b%)，而不是a+b%。

20.2 解一元二次方程(2012山东省临沂市，7，3分）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B. C. D.【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．配方法得，.【答案】选D.【点评】本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．（2012山东省聊城，13，3分）一元二次方程的解是 .解析：用分解因式法解得，x(x-2)=0，即x=0或x-2=0,所以答案：点评：解一元二次方程解法思路，一般先考虑直接开平方法，再考虑分解因式法，最后考虑配方法与公式法.（2012贵州铜仁，17，4分一元二次方程的解为____________；【解析】运用分解因式法容易得出.由得（x+1)(x-3)=0∴x+1=0 或 x-3=0解得，【解答】，【点评】此题考查一元二次方程的解法，一元二次方程有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，要能够根据方程的不同特点，进行比较、鉴别，灵活选用适当的方法解方程.(2012四川省南充市，5，3分) 方程x(x-2)+x-2=0的解是（）A．２ B．－２,１ C．－１ D．２，－１解析：x(x-2)+x-2=0，化简得，解得.答案：D点评：针对方程特点选用适宜的解法是正确解答一元二次方程的关键。

全国各地2012年中考数学分类解析专题9 一元二次方程

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题9：一元二次方程一、选择题1. （2012某某市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2. （2012某某某某3分）用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是【】 A．（x－1）2=2 B．（x－1）2=4 C．（x－1）2=1 D．（x－1）2=7【答案】B。

【考点】用配方法解一元二次方程。

【分析】由x 2－2x －3=0移项得：x 2－2x=3，两边都加上1得：x 2－2x ＋1=3＋1，即（x －1）2=4。

则用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是（x －1）2=4。

2012年中考复习考点跟踪训练7 一元二次方程(含答案)

考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1 2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．25．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．x2－y2－4＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．9．(2011·黄石)解方程：||10．(2011·兰州)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．三、解答题11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4.14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．参考答案一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1答案 C解析x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1.2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9答案 C解析x2－2x－5＝0，x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6.3．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案 A解析x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 A解析当x＝－a时，得a2－ab＋a＝0，a(a－b＋1)＝0，又a≠0.所以a－b＋1＝0，a－b＝－1.5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8答案 D解析由题意，得b2－4ac＝0，(m－2)2－4(m＋1)＝0，m2－8m＝0，m＝0或m＝8. 二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．答案x1＝0，x2＝2解析x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.答案a1＝2＋11，a2＝2－11解析a2－4a－7＝0，a2－4a＝7.a2－4a＋4＝11，(a－2)2＝11，a－2＝±11，∴a＝2±11. 8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．答案 1，－3解析当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4解析 ⎩⎨⎧ x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4，相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.解解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，x ＝4±122＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.解得：y ＝1或y ＝－3.将y ＝1或y ＝－3代入①，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．解由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。

(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)分3个考点精选48题)

（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第十一章因式分解(分3个考点精选48题）11.1 提公因式法（2012北京，9，4）分解因式：269mn mn m ++= ．【解析】原式=m (n 2+6n +9)=m (n +3)2【答案】m (n +3)2【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。

（2012广州市，13， 3分）分解因式a 2－8a 。

【解析】提取公因式即可分解因式。

【答案】:a(a －8).【点评】本题考查了因式分解的方法。

比较简单。

（2012浙江省温州市，5，4分）把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（）A. ()4a a -B. (2)(2)a a +-C. (2)(2)a a a +-D. 2(2)4a --【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式．【答案】A【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．（湖南株洲市3,9）因式分解：22a a -= .【解析】22(2)a a a a -=-【答案】(2)a a -【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．（2012四川成都，1l ，4分）分解因式：25x x -=________．解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。

本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。

观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。

答案：x(x-5)。

点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。

（2012湖北随州，11,4分）分解因式：249x -=______________________。

解析：22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。

中考数学《一元二次方程》专题训练(附带答案)

中考数学《一元二次方程》专题训练（附带答案）一、单选题1．关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞－12．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥43．关于x的一元二次方程方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．方程x2﹣5x=0的解是()A．x1=0，x2=﹣5B．x=5C．x1=0，x2=5D．x=05．用配方法解一元二次方程x2+6x−10=0，此方程可变形为（）A．(x+3)2=1B．(x−3)2=1C．(x−3)2=19D．(x+3)2=19 6．已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．ab≥18B．ab≤18C．ab≥14D．ab≤147．已知A=x2+3，B=2x+1，则A，B的大小关系正确的是（）A．A＞B B．A＜BC．A=B D．与x的大小有关8．已知关于x的一元二次方程2x²+4x·sinα+1=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x −12）2=54C．（x −12）2＝1D．（x −12）2=3410．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500(1+x)2=3200B．2500(1−x)2=3200C．3200(1−x2)=2500D．3200(1−x)2=250011．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19B．（x﹣2）2=7C．（x+2）2=7D．（x+4）2=1912．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x﹣3=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x+5=0二、填空题13．某企业2018年底缴税80万元，2020 年底缴税96.8万元，设这两年该企业交税的年平均增长率为x根据题意，可得方程为。

2024年中考数学一轮复习考点07 一元二次方程(精讲)(解析版)31

考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。

预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。

【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。

2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。

2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。

3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。

4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a-±=即可。

5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。

6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。

2012年中考数试题学分类解析专题9 一元二次方程

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题：一元二次方程一、选择题1. （2012天津）若关于x 的一元二次方程（x －2）（x －3）=m 有实数根x 1,x 2，且x 1≠x 2，有下列结论： ①x 1=2，x 2=3；②1m 4>-；③二次函数y =（x －x 1）（x －x 2）＋m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）32. （2012佛山）用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是【】A ．（x －1）2=2B ．（x －1）2=4C ．（x －1）2=1D ．（x －1）2=73. （2012江苏淮安）方程032=-x x 的解为【】A 、0=xB 、3=xC 、3,021-==x xD 、3,021==x x4. （2012福建莆田）方程()()x 1x 20-+=的两根分别为【】 A ．1x ＝－1，2x ＝2 B ．1x ＝1，2x ＝2 C ．1x ＝―l ，2x ＝－2 D ．1x ＝1，2x ＝－25. （2012荆门）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【】A ．（x ﹣1）2=4B ．（x +1）2=4C ．（x ﹣1）2=16D ．（x +1）2=166. （2012襄阳）如果关于x的一元二次方程2kx 10-+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【】A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0 C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k ≠07. （2012常德）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【】A . m 1≤-B . m 1≤C . m 4≤D .m 12≤8. （2012株洲）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【】A ．b =﹣1，c =2B ．b =1，c =﹣2C ．b =1，c =2D ．b =﹣1，c =﹣29. （2012广安）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l =0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是【】A ．a ＞2B ．a ＜2C ．a ＜2且a ≠lD ．a ＜﹣2 10. （2012安顺）已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +1=0的一个根，则m 的值是【】A ． 1B ．﹣1C ．0D ．无法确定 11. （2012东营）方程()21k 1x =04--有两个实数根，则k的取值范围是【】． A ． k ≥1B ． k ≤1C ． k >1D ． k <112. （2012日照）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【】(A ) k >34且k ≠2 (B )k ≥34且k ≠2 (C ) k >43且k ≠2 (D )k ≥43且k ≠213. （2012河池）一元二次方程2x 2x 20++=的根的情况是【】A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根14. （2012来宾）已知关于x 的一元二次方程x 2+x +m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A ．－2B ．0C ．1D ．215. （2012南昌）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a =0有两个相等的实数根，则a 的值是【】 A ． 1 B ﹣1 CD ．﹣16. （2012湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是【】 A ．5500（1+x ）2=4000 B ．5500（1﹣x ）2=4000 C ．4000（1﹣x ）2=5500 D ．4000（1+x ）2=550017. （2012泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是【】A ．236(1x )3625-=-B ．36(12x)25-=C ．236(1x )25-=D ．236(1x )25-=二、填空题1. （2012北京）若关于x 的方程2x 2x m=0--有两个相等的实数根，则m 的值是．2. （2012上海）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +c =0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是．3. （2012常州）已知关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，则m = ，另一根为。

2012版中考数学精品课件(含10-11真题)第8讲一元二次方程(51张)

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3.在复习本讲时,应注意转化思想的运用,还应注意配方法在解题中的作用,它是利用配方法解方程和推导求根公式的基础.
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【例2】(2011·南京中考)解方程：x2-4x+1=0. 【思路点拨】此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因式分解法，解题时要注意步骤. 【自主解答】方法一：配方法，移项，得x2-4x=-1. 配方，得x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3. 由此可得
值为_____.
【解析】将x=2代入方程，得4-2-a2+5=0,
解得
a 7.
答案： 7
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3.(2011·株洲中考)孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得
x1=1,x2=2,则c的值为_____. 【解析】把x=1代入x2-3x+c=0中，得1-3+c=0,所以c＝2.
=1+8+4=13.
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2.(2010·綦江中考)用配方法解方程：x2－2x－1＝0. 【解析】移项，得x2－2x＝1，配方，得x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，∴ x 1 2， x1 1 2，x2 1 2.
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一元二次方程的有关概念

2012聚焦新中考数学(含11真题带解析)考点跟踪训练6一次方程与方程组

考点跟踪训练6 一次方程与方程组一、选择题 1．(2011·凉山)下列方程组中是二元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x ＋y ＝2 B. ⎝ ⎛5x －2y ＝3，1x＋y ＝3C.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋z ＝0，3x －y ＝15D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y 3＝7 答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y3＝7每个方程都是一次方程，且总共含有两个未知数．2．(2011·东营)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2 C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，①x －y ＝－1，② ①＋②，得2x ＝2，x ＝1，①－②，得2y ＝4，y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.3．(2010·河北)小明买书需用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x 张，根题意，下列所列方程正确的是( )A ．x ＋5(12－x )＝48B ．x ＋5(x －12)＝48C ．x ＋12(x －5)＝48D ．5x ＋(12－x )＝48 答案 A解析 1元纸币x 张，则5元纸币(12－x )张，共值48元，则1·x ＋5(12－x )＝48.4．(2010·台湾)解二元一次联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，6x －4y ＝5，得y ＝( )A ．－112B ．－217C ．－234D ．－1134答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，①6x －4y ＝5，② ①×3－②×4，得34y ＝－11，∴y ＝－1134.5．(2011·荆州)对于非零的两个实数a 、b ，规定a ⊗b ＝1b －1a，若1⊗(x ＋1)＝1，则x 的值为( )A.32B.13C.12 D ．－12 答案 D解析由规定，得1x ＋1－11＝1，1x ＋1＝2,2(x ＋1)＝1，x ＝－12.经检验，x ＝－12是所列方程的根．二、填空题6．(2011·滨州)依据下列解方程0.3x ＋0.50.2＝2x －13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为3x ＋52＝2x －13， ( )去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1). ( ) 去括号，得9x ＋15＝4x －2. ( )( )，得9x －4x ＝－15－2. ( ) 合并，得5x ＝－17. ( )( )，得x －175. ( )答案原方程可变形为3x ＋52＝2x －13，(分式的基本性质)去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1). (等式性质2)去括号，得9x ＋15＝4x －2. (去括号法则或分配律)[来源:学*科*网] (移项)，得9x －4x ＝－15－2.(等式性质1) 合并，得5x ＝－17.(合并同类项)(系数化为1)，得x ＝－175. (等式性质2)7．(2011·淮安)小明根据方程5x ＋2＝6x －8编写了一道应用题，请你把空缺部分补充完整．某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________，请问手工小组有几个人？(设手工小组有x 人)．答案如果每人做6个，那么就比计划多8个．8．(2011·泉州)已知x 、y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，x ＋2y ＝4，则x －y 的值为________．答案 1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，①x ＋2y ＝4，②①－②，得x －y ＝1.9．(2011·湛江)若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为________．答案－1解析把x ＝2代入方程，4＋3m －1＝0，m ＝－1.10．已知关于x 、y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a ＋2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1解析解法一：取a ＝1，得3y ＋3＝0，y ＝－1，取a ＝－2，得－3x ＋9＝0，x ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 解法二：整理，得(x ＋y －2)a ＝x －2y －5， ∵方程有一个公共解， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 三、解答题 11．(2010·乐山)解方程：5(x －5)＋2x ＝－4. 解 5x －25＋2x ＝－4,7x ＝21，∴x ＝3.12．(2011·怀化)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝8，①5x －3y ＝4.②解 ①＋②得，6x ＝12，解得x ＝2，将x ＝2代入①得y ＝2，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.13．(2011·桂林)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y －5，①3y ＝8－2x .②解把①代入②得：3y ＝8－2(3y －5)，∴y ＝2.把y ＝2代入①可得：x ＝3×2－5，∴x ＝1.所以此方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.14．(2011·河北)已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x 、y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解．求(a ＋1)(a－1)＋7的值．解将x ＝2，y ＝3代入3x ＝y ＋a 中，2 3＝3＋a ，得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9.15．已知下面两个方程3(x ＋2)＝5x ，①；4x －3(a －x )＝6x －7(a －x )，②；有相同的解，试求a 的值．解由方程①可得3x －5x ＝－6，所以x ＝3.由已知，x ＝3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x ＝3代入方程②，有4×3－3(a －3)＝6×3－7(a －3)，7(a －3)－3(a －3)＝18－12,4(a －3)＝6,4a －12＝6,4a ＝18，a ＝184＝92.四、选做题16．已知关于x 的方程a (2x －1)＝3x －2无解，试求a 的值．解将原方程变形为2ax －a ＝3x －2，即 (2a －3)x ＝a －2.由已知该方程无解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －3＝0，a －2≠0，解得a ＝32，所以a ＝32即为所求．。

(原创,共页)江苏省2012年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)：一元二次方程

（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）一元二次方程◆知识讲解1．一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0） 2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是x=2b a-（b 2－4ac ≥0）．3．二元三项式ax 2+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）．其中x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac ．当△>0时，•方程有两个不相等的实数根x 1x 2；当△=0时，方程有两个相等实数根x 1=x 2=－2ba；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a． 6．以x 1，x 2为根的一元二次方程可写成x 2－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0．7．使用一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac •解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两根，则ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0．反之，若ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0，且x 1≠x 2，则x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 （2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长.【答案】解: 由已知得，正五边形周长为5（217x +）cm ，正六边形周长为6（22x x +）cm.…2分因为正五边形和正六边形的周长相等，所以22517=2x x x ++（）6（）. ………………3分整理得212850x x +-=, 配方得2+6=121x （），解得12=5=x x ，-17(舍去).………6分故正五边形的周长为25517=⨯+（）210(cm). …………………………………………7分又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm. ……………………………………………8分例2已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程： x 2－1=0 （1） x 2+x －2=0 （2） x 2+2x －3=0 （3） ……x 2+（n －1）x －n=0 （n ）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n ）；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一般进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x －1）=0，所以x 1=－1，x 2=1． <2>（x+2）（x －1）=0，所以x 1=－2，x 2=1． <3>（x+3）（x －1）=0，所以x 1=－3，x 2=1． ……<n>（x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．2011年真题一、选择题1. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C2. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2 【答案】B3. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A. ()22891256x -= B. ()22561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A5. （2011山东威海，9，3分）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（）A ．0B ．8C ．4D ．0或8【答案】D6. （2011四川南充市，6，3分）方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（）（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D7. （2011浙江省嘉兴，2，4分）一元二次方程0)1(=-x x 的解是（）（A ）0=x（B ）1=x（C ）0=x 或1=x（D ）0=x 或1-=x【答案】C8. （2011台湾台北，20）若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为0、2，则b a 43＋之值为何？A ．2B ．5C ．7D ． 8【答案】B9. （2011台湾台北，31）如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。

2024年中考数学一轮复习考点07 一元二次方程(精练)(解析版)32

考点07.一元二次方程（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +的值等于()A ．－2B ．－3C ．－1D ．－6【答案】A【分析】将x =1代入原方程即可求出答案．【详解】解：将x =1代入原方程可得：1+a +2b =0，∴a +2b =-1，∴24a b +=2(a +2b )=2×(-1)=-2，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属基础题型．2．（2023·湖北鄂州市·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）A ．74B ．75C ．76D ．04．（2023·湖北·校联考一模）如果方程()2(1)2+=0x x x m --的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A ．01m B ．34m C ．314m D ．3<14m4．（2023·安徽·校考模拟预测）若方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，,,a b c 满足0a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,2-B ．1,0-C ．1,0D ．无法确定【答案】A【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．【详解】解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把2x =-代入得：420a b c -+=，即方程的一个解是2x =-；故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A ．方程x 2－3x ＋2＝0是2倍根方程B ．若关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程，则m ＋n ＝0C ．若m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程D ．若2m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程x 2＋(m －n )x －mn ＝0是2倍根方程6.（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2x x n mx ++=的两个实数根．若120x x <<，则（）A ．1,0m n >⎧⎨>⎩B ．1,0m n >⎧⎨<⎩C ．1,0m n <⎧⎨>⎩D ．1,0m n <⎧⎨<⎩【详解】解：依题意得：()23201405x +=，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．8．（2023·山东·统考三模）新定义：关于x 的一元二次方程a 1(x ﹣m )2+k ＝0与a 2(x ﹣m )2+k ＝0称为“同族二次方程”．如2(x ﹣3)2+4＝0与3(x ﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程2(x ﹣1)2+1＝0与(a +2)x 2+(b ﹣4)x +8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax 2+bx +2026能取的最小值是（）A ．2020B ．2021C ．2023D ．201810．（2023·广东·校考模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（）A ．k ＞﹣9B ．k ≤3C ．﹣9＜k ＜6D ．k 384-＞∵原方程有两个解，∴方程290t t k +--=有一正根和负根，∴1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，∴k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．11．（2023·四川绵阳·二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（）A ．6B ．3-C ．3D ．0【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出2,2m n a mn +==，将代数式化简，然后整体代入求解即可【详解】解：∵实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=，∴m 、n 是方程2220x ax -+=的两个根，∴2,2m n a mn +==，∴()()2211m n -+-222121m m n n =-++-+()()2222m n mn m n =+--++24442a a =--+()2213a =--∵m n ≠，且4m n +≥，∴()()2211m n -+-的最小值是()2413936--=-=，故选：A ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．12．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．【答案】23-或1-##1-或23-13.（2023·浙江·校考模拟预测）已知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22242m n m ++-的最小值等于_____．【答案】13-【分析】由21m n -=可得21,n m =-再代入22242m n m ++-，再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解： 21m n -=，21,n m \=-()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m =+-()231313,m =+-³-所以22242m n m ++-的最小值是13,-故答案为：13-【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.14．（2023·广东九年级课时练习）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅=-= ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且x ＞0，则4323x x x -+的值为______．15.（2023·浙江·校考模拟预测）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．1【分析】由(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0变形为()()321=0x b x c b x c +-+--，根据一一对应的原则求得b 、c 的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．【详解】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴()()2110x x x -+-=，∴1=0x -，210x x +-=，∴由求根公式得：11=22x --=，则原方程所有的解为：12-或1，故答案为：12-或1．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b 、c 的值．16．（2023·四川泸州·校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为x ，则根据题意列出的方程是______．【答案】()()220020012001720x x ++++=【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x ，∴八月份的营业额为()2001x +万元，∴九月份营业额为()22001x +万元，∴可列方程为()()220020012001720x x ++++=，故答案为：()()220020012001720x x ++++=．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．17．（2023·四川成都·二模）已知m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个根，则（m 2+2018m ﹣3）（n 2+2020n ﹣1）＝__．【答案】2020【分析】由于m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m +n ＝﹣2019，mn ＝﹣2，并且m 2+2019m ﹣2＝0，n 2+2019n ﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．（2023·福建·校考一模）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)判断这个一元二次方程的根的情况．(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根(2)8或10【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．【详解】（1）解：()()2224214b ac m m m ∆=-=-+-+⎡⎤⎣⎦2244144m m m m =++--10=>；∴一元二次方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴3是腰长，3x =是方程22(21)0x m x m m -+++=的一个根，∴2233(21)0m m m -+++=，整理，得：2560m m -+=，解得：2m =或3m =，当2m =时，2560x x -+=，解得122,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,2，周长3328=++=；当3m =时，27120x x -+=，解得124,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,4，周长33410=++=．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．20．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y （y 为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．【详解】解：（1）设销售单价为x 元（20x >），(15)[2005(20)]2250x x ---=，解得，130x =，245x =，3045<，∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；（2）由题意得，222005(20)180y y ≥⎧⎨--≥⎩解得：2224y ≤≤，因为y 取正整数，所以y 取22或23或24，所以有三种销售方案：方案一：销售价为22元，销售利润为(2215)(300522)1330--=⨯⨯（元），方案二：销售价为23元，销售利润为()23153005231480()-⨯-⨯=（元），方案三，销售价为24元，销售利润为()24153005241620()-⨯-⨯=（元），162014801330>>，第三种方案利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．【答案】(1)1米；(2)①21251682a a -++；②14a =．【分析】（1）设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为（2）①先用a 表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；22．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，且0a ≠），我们规定：若该方程的两根满足122x x =-，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，1x 、2x 称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）①23530x x -+=②2280x x +-=③12x x+=-(2)已知关于x 的一元二次方程()22210x t x t t -+++=为“灵粹二次方程”，求：当12x -≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)直线3y x =+与直线1y x =-+相交于点A ，并分别与x 轴相交于B 、C 两点，若m 、n 是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D 点坐标为（m ，n ），当点D 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部时．①试求出m 的取值范围．②若m 为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(1)x +人，则传染(1)x x +人，依题意列方程：1(1)36x x x +++=．【详解】由题意得：1(1)36x x x +++=，故选：C ．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）A ．()201231.2x +=B ．()20122031.2x +-=C ．()220131.2x +=D ．()22012031.2x +-=【答案】D【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得()22012031.2x +-=，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2022·山东临沂·中考真题）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为()()460,x x +-=从而可得答案．【详解】解：22240x x --=，()()460,x x \+-=40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x ==-故选B【点睛】本题考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．7．（2022·宜宾·中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（）A ．0B ．－10C ．3D ．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．8．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=10．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．11．（2020·上海中考真题）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是()A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【详解】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得23,340a b a a +=-+-=，从而得到234+=a a ，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程2340x x +-=的两根，∴23,340a b a a +=-+-=，∴234+=a a ，∴243a a b ++-233a a a b =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．13.（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______．【答案】1【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x -+=；243101x x -++=+；2441x x -+=；()221x -=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．14.（2022·云南·中考真题）方程2x 2+1=3x 的解为________．【答案】1211,2x x ==【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∴()()2110x x --=，∴210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．+/426+【答案】6642【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为(2)羊圈的面积能达到6502m【详解】（1）解：设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ．根据题意，得()722640x x -=．化简，得2363200x x -+=．解得116x =，220x =．当16x =时，722723240x -=-=；当20x =时，722724032x -=-=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得()722650x x -=．化简，得2363250x x -+=．∵()236432540⨯=--=-<∆，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到6502m ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．19.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∴2100500x -=，答：4月份再生纸的产量为500吨；(2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1：为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x =，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2)间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ¹，求44a b +的值；(3)拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．。

2012年全国中考数学试题汇编---一元二次方程

2012年全国中考数学试题汇编-------一元二次方程一、选择题1. （2012·荆州）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【】 A ．（x ﹣1）2=4 B ．（x +1）2=4 C ．（x ﹣1）2=16 D ．（x +1）2=162.（2012·南充）方程x （x -2）+x -2=0的解是【】（A ）2 （B ）-2,1 （C ）－1 （D ）2,－13. （2012·常德）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【】A . m 1≤-B . m 1≤C . m 4≤D .m 12≤4. （2012·广安）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是【】A ．a ＞2B ．a ＜2C ．a ＜2且a ≠lD ．a ＜﹣25. （2012·株洲）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【】A ．b =﹣1，c =2B ．b =1，c =﹣2C ．b =1，c =2D ．b =﹣1，c =﹣26. （2012·天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x +a =0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【】A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣137. （2012·日照）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【】 (A ) k >34且k ≠2 (B )k ≥34且k ≠2 (C ) k >43且k ≠2 (D )k ≥43且k ≠2 8. （2012·襄阳）如果关于x的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【】A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k ≠09. （2012·东营）方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取值范围是【】．A ． k ≥1B ． k ≤1C ． k >1D ． k <110. （2012·包头）关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【】A .2B . 6C . 2或6D . 7 二、填空题1. （2012·滨州）方程x （x ﹣2）=x 的根是．2. （2012·资阳）关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．3. （2012·北京）若关于x 的方程2x 2x m=0--有两个相等的实数根，则m 的值是．4. （2012·岳阳）若关于x 的一元二次方程kx 2+2（k +1）x +k ﹣1=0有两个实数根，则k 的取值范围是．5. （2012·德州）若关于x 的方程ax 2＋2（a ＋2）x ＋a =0有实数解，那么实数a 的取值范围是．6. （2012·张家界）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则11+m n= ． 7. （2012·日照）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为 . 8. （2012·南通）若m 、n 是一元二次方程x 2+3x -7＝0的两根，则m 2＋4m+n 的值是 9. （2012·鄂州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a = .10. （2012·随州）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= 。

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考点跟踪训练7 一元二次方程
一、选择题
1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x －1)＝0的解是( )
A. x ＝0
B. x ＝1[来源:学&科&网Z&X&X&K]
C. x ＝0或x ＝1
D. x ＝0或x ＝－1
答案 C
解析 x (x －1)＝0，x ＝0或x －1＝0，∴x 1＝0，x 2＝1.
2．(2011·兰州)用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )[来源:学+科+网Z+X+X+K]
A ．(x ＋1)2＝6
B ．(x ＋2)2＝9
C ．(x －1)2＝6
D ．(x －2)2＝9
答案 C
解析 x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6.
3．(2011·福州)一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根[来源:学,科,网Z,X,X,K]
答案 A
解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．[来源:学|科|网]
4．(2011·济宁)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a (a ≠0)，则a －b 值为A ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
答案 A
解析当x ＝－a 时，得a 2－ab ＋a ＝0，a (a －b ＋1)＝0，又a ≠0.所以a －b ＋1＝0，a －b ＝－1.
5．(2011·威海)关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )
A ．0
B ．8
C ．4±2 2
D ．0或8
答案 D
解析由题意，得b 2－4ac ＝0，(m －2)2－4(m ＋1)＝0，m 2－8m ＝0，m ＝0或m ＝8.
二、填空题
6．(2011·衢州)方程x 2－2x ＝0的解为________________．
答案 x 1＝0，x 2＝2
解析 x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2.
7．(2011·鸡西)一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为 ____________.
答案 a 1＝2＋11，a 2＝2－11
解析 a 2－4a －7＝0，a 2－4a ＝7.a 2－4a ＋4＝11，(a －2)2＝11，a －2＝±11，∴a ＝2±11.
8．(2011·镇江)已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝______，另一根
是______．
答案 1，－3
解析当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.
9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．
答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝2 5，y ＝4
解析 ⎩⎨⎧ x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，
代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4，相应地x 1＝5，x 2＝2 5.
10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．
答案 x 1＝－4，x 2＝－1
解析依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.
三、解答题
11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.
解解法一：移项，得x 2－4x ＝－1. 配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，
由此可得x －2＝±3，
∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.
解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.
b 2－4a
c ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，
x ＝4±122
＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.
12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.
解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.[来源:学§科§网Z §X §X §K]
13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③
将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.
解得：y ＝1或y ＝－3.
将y ＝1或y ＝－3代入①，得：
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝－3.[来源:学§科§网Z§X§X§K] ∴原方程的解有两个，
⎩
⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x
＋bx ＝1的解．解由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.
由方程1x
－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12
. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12
是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12
. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．
解由已知得，正五边形周长为5(x 2
＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.
因为正五边形和正六边形的周长相等，
所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．
整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，
解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．
故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.
答：这两段铁丝的总长为420 cm.
四、选做题
16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.
(1)求k 的取值范围；
(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．
解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12
. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2. 以下分两种情况讨论：[来源:学|科|网]
①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∵k ≤12
， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．[来源:学科网ZXXK]
②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－
3.
∵k ≤12
，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.
解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.
由(1)可知k ≤12
. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，
∴－2(k －1)＝k 2－1，
解得k 1＝1，k 2＝－3.
∵k ≤12，∴k ＝－3.[来源:学&科&网]。