第三讲：导数的应用

（B）连续，但不可导.
（C）可导，但导数不连续. （D）可导，且导数连续. (1993年)
⑵ 设常数
，函数
在
内零点个数为（ ）
（A）3.
（B）2.
（C）1.
（D）0. (1993年)
⑶若
，在
内
，
，则
在
（） （A）
. （B）
. （C）
. （D）
.(1993年) ⑷设
则
在
处的 （ ） （A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在. （C）左导数不存在，但右导数存在. （D）左、右导数都不存在. (1994年)
. （D）
. (1995年) ⑻设
可导，
.若使 在
处可导，则必有（ ） （A）
. （B） .
（C）
. （D）
. (1995年) ⑼ 设当
时，
是比
高阶的无穷小，则（ ）
（A）
. （B）
. （C）
. （D）
. (1996年) ⑽ 设函数
在区间
内有定义，若当
时，恒有
，则
必是
的（ ）
（A）间断点.
（A） .
（B） .
（C）
. （D）
(1998年)
⒄设
，其中
是有界函数，则
在
处（ ） （A）极限不存在. （C）连续，但不可导.
⒅ 设函数
（B）极限存在，但不连续. （D）可导. (1999年)
满足关系式
，且
，则（ ） (A)
是
的极大值. (B)
是
的极小值. (C) 点
是曲线
的拐点. (D)
不是 的极值， 也不是曲线 的拐点. (2000年) ⒆ 设函数 ， 是大于零的可导函数，且
是区间
上的任一非负连续函数. ① 试证存在
，使得在区间
上以
为高的矩形面积，等于在区间
上以
为曲边的曲边梯形面积. ② 又设
在区间
内可导，且
，证明①中的是唯一的. (1998年) ⒁设
，证明 ①
. ②
. (1998年) ⒂ 设函数
在闭区间
上具有三阶连续导数，且
， ， 证明：在开区间 内至少存在一点 ，使 .(1999年) ⒃求函数 在 处的 阶导数 .(2000年) ⒄设函数 在 上连续，且 ， .试证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 . (2000年) ⒅ 已知 是周期为5的连续函数，它在
⒀ 已知函数
对一切
满足
，若
，则 ( ) (A)
是
的极大值. (B)
是
的极小值. （C）
是曲线
的拐点. (D)
不是
的极值，
也不是曲线
的拐点. (1997年) ⒁ 函数
的不可导点的个数为（ ） (A) 0. (B) 1. (C) 2.
⒂ 已知函数
的任意点
(D) 3. (1998年)
处的增量 ，其中 是比 高阶的无穷小，且 ，则 （） (A) . (B) 2 . (C) . (D) . (1998年) ⒃ 设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在 ，当 时，必有 （ ）
. (2002年) (22) 设函数 连续，且
，则存在
，使得（ ） （A）
在
内单调增加.
（B） 在 内单调减少.
（C）对任意的 有 .
（D）对任意的 有 . (2004年)
三、解答题 ⑴设 ，其中 具有二阶导数，求 . (1993年) ⑵ 作半径为 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 为何值时，其体积 最小，并求出该最小值. (1993年) ⑶设 ，常数 ，证明 . (1993年)
三、 ⑴
. ⑵
. ⑷
，及
. ⑸①
为增区间，
为减区间，极小值
. ②
为曲线的凹区间，无拐点. ③
为铅直渐近线，
为斜渐近线. ⑹
. ⑻
. ⑼ 驻点
，为极小值点. ⑾
. ⑿ 二个根. ⒃
. ⒅
. ⒇
. (23) 有
个交点.
，证明不等式
(22)设函数
. (2002年)
在
的某领域内具有二阶连续导数，且
， 证明：存在唯一的一组实数
，使得 当
时，
是比
高阶的无穷小. (2002年) (23) 讨论曲线
与
的交点个数. (2003年) (24) 设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且
若极限
存在，证明： ① (a, b )内f(x)>0; ② 在(a, b)内存在点
时，方程
有且仅有一个解，求
的取值范围. (1994年) ⑸设
， ① 求函数的增减区间及极值； ② 求函数图象的凸凹区间及拐点； ③ 求其渐近线； ④ 作出其图形. (1994年)
⑹ 设函数
由方程
确定，其中
具有二阶导数，且
求：
(1995年) ⑺设
，且
，证明
. (1995年) ⑻ 求函数
在点
处带拉格朗日型余项的
（B）连续而不可导的点.
（C）可导的点，且
. （D）可导的点，且
. (1996年) ⑾设
处处可导，则 （ ） （A）当
，必有
. （B）当
，必有
. （C）可当
，必有
. （D）当
，必有
. (1996年) ⑿ 在区间
内，方程
（）
（A）无实根.
（B）有且仅有一个实根.
（C）有且仅有二个实根. （D）有无穷多个实根. (1996年)
第四讲 导数的应用习题课
一、内容提要
1、掌握单调区间的求法，利用一阶导数判别单调性，利用单调性证明 不等式。 2、掌握和理解极值点，极值的计算；第一充分定理：设f(x)在x0的某个 邻域内可导，且或不可导点，如果在x0的两侧异号，则x0是f(x)的一个 极值点，导数由+变－为极大值点，导数由—变+为极小值点。
1
+
0
－
－
－
－
－
－
0
+
增，凸 极大值 减，凸
拐点
减，凹
。Y
OX
综合题导数的应用 1、 客观题： 1、
A、任意 B、任意 C、单调增 D、单调增 2、设函数则下列成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、曲线的渐近线有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 4、已知， 若则（ ） A、 B、 C、为拐点 D、不是拐点 2、 K的不同的值，确定根 的个数。 解： 故为极小值点，且图形在上凹， ， 1） 3），有单根。 三、 证明：上以为高的矩形面积等于上以为曲边的梯形的面积；又，证 明唯一。 证：设， 即 唯一性： ，严格单调减，故唯一。 四、设证明： 1）；2） 证：1） ，而 ； 2）设
= .(1993年) ⑵ 已知曲线
过点
，且其上任一点
处的切线斜率为
，则
=
. (1993年)
⑶ 设函数
由参数方程
，所确定，则
= .(1994年) ⑷设
，则
=
.(1997年)
⑸ 曲线
的渐近线方程为 ⑹ 曲线
.(1998年)
上与直线
垂直的切线方程为 .(2004年)
二、选择题 ⑴设
则在点
处函数
（）
（A）不连续.
在点
处的切线方程为
。
5、 函数图形的描绘：（1）初步研究函数的定义域，与坐标轴的交 点，函数的四条性质；
点；
（2）求函数的一阶导数，并求出驻点和不可导点； （3）求函数的二解导数，并求出根和二阶不可导点； （4）求出所有的渐近线； （5）列表描述函数的单调性，凹凸性，求出极值点和拐
（6）利用描点作图（可适当补充点）。
第二充分定理：设函数f(x)在x0处有，，则x0为极值点，。 3、 凸区间，拐点的计算：
拐点的第一充分定理：若f(x)在x0的某个邻域内有二阶导数，且 或不可导点，如果在两侧异号，则（为拐点。 拐点的第二充分定理：若f(x)在x0的某个邻域有三阶导数， 且，，则（为拐点。 4、 近线方程：1）若；
2）若； 3）若，则y=kx+b为斜渐近线。 5、函数在点处的导数的几何意义是曲线上点处切线的斜率。曲线
，则当 时，有（ ）
（A） . （B） .
（C） . （D） . (2000年)
⒇若 ，则 为（ ）
(A)0. (B) 6. (C)36. (D)
. (2000年) (21) 设函数
在
内有界且可导，则 （ ） (A) 当
时，必有
. (B) 当
存在时，必有
. （C）当
时，必有
. (D) 当
存在时，必有
阶泰勒展开式. (1996年) ⑼ 设函数
由方程 所确定，试求 的驻点，并判别它是否为极值点. (1996年) ⑽设 在区间 上具有二阶导数，且 ， .证明存在 和 ，使 及 . (1996年) ⑾设 由
，所确定，求 . (1997年) ⑿就 的不同取值，确定方程： 在开区间
内根的个数，并证明你的结论. (1997年) ⒀设
⑸ 曲线
的渐近线有 （ ）
（A）1条.
（B）2.条
（C）3条.
（D）4条. (1994年)
⑹设
在
内可导，且对任意
，当
时，都有
，则 （ ） （A）对任意
. （B）对任意
. （C）函数
单调增加. （D）函数
单调增加. (1995年) ⑺设函数
在
上
，且
，则
或
的大小顺序是（ ） （A）
. （B）
. （C）
，故。 五、求的最大值。 解：
, 又
，。
三、课内练习题
一、填空题（将正确答案填在横线上） 1、； 2、； 3、； 4、； 5、。
二、。 三、。 四、。 五、。 六、。
四、练习题答案
一、 1、2、 4、
二、 。
3、 5、
三、
四、 五、
。
。
一、填空题： ⑴ 函数
历年考研选题（导数、微分及应用）
由方程
所确定，则
，使
； ③ 在(a, b) 内存在与(2)中
相异的点
，使
(2003年) (25) 设
，证明
. (2004年)
历年考研选题参考答案（导数、微分及应用）
一、⑴
. ⑵
. ⑶
. ⑷
. ⑸
. ⑹
. 二、⑴ A， ⑵ B， ⑶ C， ⑷ B， ⑸ B， ⑹ D，
⑺ B， ⑻ A， ⑼ A， ⑽ C， ⑾ D， ⑿ C， ⒀ B， ⒁ C， ⒂ A， ⒃ C， ⒄ D， ⒅ C， ⒆ A， ⒇ C， (21) B， (22) C.
的某个邻域内满足关系式 其中 式当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程. (2000年)
⒆设 在区间 上具有二阶连续导数， ，
① 写出 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
上至少存在一点 ，使 . (2001年) ⒇ 已知曲线的极坐标方程是 ，求该曲线上对应于
处的切线与法线的直角坐标方程. (2002年) (21) 设
二、例题分析
例1、 求的极大值点与拐点连线的中点的坐标。 解：
，又x=2两侧二阶导发生变号，所以是拐点。
所以中点坐标Leabharlann Baidu。 例2、 试求
解：本题为隐函数的极值问题， 再有， 为驻点；又，得 。
例3、 已知； 若对f（x）在某一点处有极值，问是极大还是极小？ 解：明显f（x）有二阶导数，由极值的必要条件知， ；，所以为极小值。 例四、证明不等式 。 证明：设 所以 。 例五、由y=0,x=8,y=x2所围的曲边三角形OAB，在曲边OB弧上求一点， 使该点作y=x2的切线与OA，AB所围的三角形面积围最大。 解： 例六、试求的曲率K。 解：， 所以 （t）。 例七、作图 解：函数的定义域为； ；