第三讲：导数的应用
《数学物理方法》第三讲导数解析函数
高阶导数概念
01
高阶导数定义
若函数y=f(x)的导数f'(x)仍然可导，则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，
记作f''(x)或y''。类似地，可以定义三阶、四阶等更高阶的导数。
02
几何意义
二阶导数f''(x)表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率。当二阶导数大于零
时，曲线在该点处向上凹；当二阶导数小于零时，曲线在该点处向下凹。
判定方法
判断一个复变函数是否解析，需要验 证其在定义域内是否满足柯西-黎曼方 程，同时实部和虚部的一阶偏导数需 要连续。
柯西-黎曼条件（C-R条件）
定义
柯西-黎曼条件是复变函数在一点可导的必要条件，即函数在该点的实部和虚 部的一阶偏导数需要满足一定的关系。
具体形式
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，在一点z0=x0+iy0处可导的必要条件是，u 和v在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在且连续，并且满足柯西-黎曼方程： du/dx=dv/dy, du/dy=-dv/dx。
预备知识提示
针对下一讲涉及的知识点，提醒学生 复习相关基础知识，如极限、连续、 微分等概念，为顺利学习下一讲内容 打好基础。
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解析函数与实函数关系
解析函数是实函数的扩展
实函数是解析函数在复平面上的特例，当复变函数的虚部为0 时，就退化为了实函数。
解析函数具有更丰富的性质
与实函数相比，解析函数具有更多的性质和运算规则，例如 解析函数的导数仍然是解析函数、解析函数可以展开为泰勒 级数等。
解析函数运算性质
导数与导数的应用
导数与导数的应用一、导数的概念与性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在数学中，我们常用 f'(x) 或 dy/dx 表示函数 f(x) 的导数。
导数的计算方法有很多，其中最常见的是使用极限的定义，即 f'(x) = lim (h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。
导数具有一些重要的性质。
首先，如果函数 f(x) 在某一点 x0 处可导，则它在该点处连续。
这意味着导数可以用来判断函数在某一点是否连续。
其次，导数还具有乘法法则和链式法则。
乘法法则指出，如果两个函数 f(x) 和 g(x) 都在某点 x0 处可导，则它们的乘积 f(x)g(x) 在该点处也可导，并且导数为 f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)。
链式法则则描述了复合函数的导数计算方法，即如果函数 y = f(g(x)) 在某一点 x0处可导，则它的导数为 dy/dx = f'(g(x0))g'(x0)。
二、导数的应用导数不仅仅是一个抽象的数学概念，它还具有广泛的应用。
下面将介绍导数在几个领域中的具体应用。
1. 最优化问题导数在最优化问题中具有重要的作用。
最优化问题的目标是寻找一个函数的最大值或最小值。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的驻点，即导数为零的点。
在这些驻点附近，函数的取值可能达到极值。
进一步分析导数的符号可以确定这些驻点是极大值还是极小值。
因此，导数可以帮助我们解决各种最优化问题，如求解函数的最大值、最小值，以及优化生产过程中的资源分配等。
2. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学研究中有广泛的应用。
运动学研究物体的位置、速度和加速度之间的关系。
速度是位置的导数，而加速度又是速度的导数。
通过计算导数，我们可以得到物体的速度和加速度随时间的变化情况。
这对于分析物体的运动轨迹和研究物体的力学性质非常重要。
3. 经济学中的边际分析导数在经济学中的边际分析中扮演着重要角色。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
导数的基本运算与应用
导数的基本运算与应用导数是微积分中的重要概念，通过研究函数在某点附近的变化率，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
导数的基本运算包括求导法则，而导数的应用则广泛涉及到各个领域，例如物理、经济学和工程学等。
本文将探讨导数的基本运算和应用，帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义和求导法则导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
求导法则是求导数的一些基本规则，下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，那么f'(x) =nx^(n-1)。
3. 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。
5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，那么f'(x) = [g'(x)h(x) -g(x)h'(x)]/h(x)^2。
6. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x))h'(x)。
通过使用求导法则，我们可以计算更复杂函数的导数。
然而，在应用导数之前，我们需要了解导数的物理意义和实际应用。
二、导数的物理意义导数不仅是函数的变化率，还可以表示函数的斜率。
对于函数y=f(x)，导数f'(x)可以表示曲线在某一点的切线斜率。
在物理学中，速度和加速度的概念可以通过导数来描述。
例如，我们考虑一个物体的位移函数x(t)，其中t表示时间。
物体的速度可以表示为x'(t)，即位移函数的导数。
高二第三讲导数的实际应用定积分的概念及应用
第三讲 导数的实际应用定积分的概念及应用一、知识梳理1、若函数f （x ）在区间A 上有唯一一个极值点0x ，且0()f x 是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f （x ）在区间A 上的最大（小）值。
2、定积分的几何意义：当f (x )>0时()b af x dx ⎰表示由直线__________，__________，__________ 和曲线y =f （x ）所围成的曲边梯形的面积。
3、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：如果()f x 是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ()()x f x '=，那么()F()F()baf x dx b a =-⎰。
常常把F()F()b a -记作F()|b a x 。
二、典例导析例1、用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？变式训练1、（1）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为（ ）A ．33cm B ．3310cm C ．3316cm D ．3320（2）从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形的边长几分之几时，箱子容积最大？例2、计算下列定积分：（1）2111e x dx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰；（2）0(2sin 32)x x e dx π-+⎰；变式训练2、计算下列定积分：（1）⎰--+322616dx x x（2）2201x dx -⎰例3、求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）。
变式训练3、由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积是（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln2例4、在曲线y =x 2（x ≥0）上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为121。
《导数的应用》ppt课件
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0
导数的应用教学课件ppt
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
第03讲 利用导数求函数的单调性-《高中数学选修2-2重难点解读》(解析版)
第三讲 利用导数求函数的单调性1．函数单调性与导数的关系在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； 如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减； 如果恒有f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0. 2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f ′(x )|越大，则函数f (x )的切线的斜率越大，函数f (x )的变化率就越大考点一 利用导数求单调区间【例1】求下列函数的单调区间。
（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得f(x)的定义域为R ，2()63f x x '=-. 令2()630f x x '=->，解得2x <或2x >. 当2(,)2x ∈-∞-时，函数为增函数；当2)2x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2()630f x x '=-<，解得22x <<.当(x ∈时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和,)2+∞，单调递减区间为(22-.（2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x-+'=-=.令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<.故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)2+∞，单调递减区间为(0,2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x2x －x 2＞0.即⎩⎨⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎨⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．1．函数()e x f x x -=的单调递减区间是 。
专题2函数与导数第3讲导数的简单应用
100%
二阶导数判断
二阶导数大于零的点为曲线拐点 ，表示曲线在该点处由凹变凸或 由凸变凹。
80%
单调性变化
在拐点处，函数的单调性也会发 生变化。
02
导数在研究函数中的应用
单调性判定
总结词
导数可以用于判断函数的单调性，通过导数的正负来判一个函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间内单调递增； 如果导数小于0，则函数单调递减。
在19世纪，数学家们对导 数进行了深入的研究，并 对其性质和应用进行了更 深入的探讨。
现代的应用
在现代数学中，导数被广 泛应用于分析函数的变化 趋势、优化问题、概率统 计等领域。
导数在现代数学中的应用
微分方程
导数在解决微分方程中起 到关键作用，用于研究函 数的动态变化和行为。
最优化问题
导数用于求解最优化问题， 如最大值、最小值等，是 经济、工程等领域的重要 工具。
03 总结词
约束条件下的优化问题
04
详细描述
在许多实际问题中，变量之间存 在一定的约束条件。利用导数， 我们可以构建拉格朗日函数，将 约束条件转化为无约束的最优化 问题，从而找到满足所有条件的 最佳解。
运动规律问题
总结词
导数描述速度和加速度
总结词
瞬时速度和瞬时加速度
详细描述
在研究物体的运动规律时，速度和加速度是非常 重要的参数。导数可以用来描述物体的速度和加 速度的变化规律。通过求导，我们可以得到速度 和加速度关于时间的变化率，进一步分析物体的 运动状态。
利用导数求解最值问题
通过求导数，找到函数的极值 点，从而求解最值问题。
导数与方程根的讨论
1 2
利用导数研究函数的零点
通过求导数，找到函数的极值点，从而确定函数 的零点。
导数的应用与求导法则知识点总结
导数的应用与求导法则知识点总结导数在数学和物理学中具有广泛的应用。
它是描述函数变化率的工具，可以用来解决许多实际问题。
在本文中，我们将讨论导数的应用以及一些常用的求导法则知识点。
一、导数的应用1. 切线与法线导数可以用来求解曲线上的切线和法线。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来获得曲线上任意一点的切线斜率。
切线的斜率是导数的值。
与切线垂直的线被称为法线。
法线的斜率是切线斜率的负倒数。
2. 最值问题导数可以帮助我们找到函数的最值点。
在一个区间内，函数的最大值和最小值通常出现在导数为零或不存在的点。
因此，我们可以通过求解导数为零的方程来找到这些临界点，然后通过比较函数值来确定最值。
3. 凹凸性与拐点导数可以用来判断函数的凹凸性以及拐点的位置。
如果导数在某个区间内是递增的，那么函数在该区间内是凹的；如果导数是递减的，那么函数是凸的。
拐点发生在导数变化的方向改变的点。
4. 高阶导数导数的概念可以进一步推广到高阶导数。
高阶导数描述了函数变化的更高阶性质，比如曲率和弯曲程度。
通过求解导数的导数，我们可以计算出函数的高阶导数。
二、求导法则知识点1. 基本导数法则基本导数法则是求导的基础。
它包括了常数规则、幂函数规则、指数函数规则、对数函数规则和三角函数规则。
这些法则允许我们快速求解各种类型的函数导数。
2. 乘积法则乘积法则可以用来求解两个函数的乘积的导数。
假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的乘积为f(x) = u(x)v(x)。
那么，f'(x) = u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
3. 商积法则商积法则可以用来求解两个函数的商的导数。
假设有两个函数u(x)和v(x)，它们的商为f(x) = u(x) / v(x)。
那么，f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v(x)^2。
4. 链式法则链式法则可以用来求解复合函数的导数。
导数的应用课件
02
导数在函数中的应用
Chapter
函数的单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性 ，通过导数的正负来判断函数在 某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增； 如果导数小于0，则函数在此区间 内单调递减。
函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，当导数 由正变为负或由负变为正时，函数在 此点取得极值。
06
导数在其他领域的应用
Chapter
在化学反应速率中的应用
总结词
导数在化学反应速率中的应用主要表现在反 应速率的计算和反应机理的研究上。
详细描述
在化学反应中，反应速率是描述反应快慢的 重要参数。通过导数的计算，可以精确地描 述反应速率随温度、压力、浓度等条件的变 化情况，进而研究反应的动力学特征和机理 。导数分析有助于深入理解化学反应的本质 ，为优化反应条件和提高产率提供理论支持 。
速度与加速度
速度
瞬时速度是物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，它由物体运动的距离和时间的比值定义。导数可以用来计 算瞬时速度，通过求位移函数的导数，得到瞬时速度的表达式。
加速度
加速度是速度的变化率，表示物体运动的快慢和方向。导数可以用来计算加速度，通过求速度函数的导数，得到 加速度的表达式。
斜抛运动
05
导数在经济学中的应用
Chapter
边际分析
01
边际成本
导数可以用来计算边际成本，即生产某一数量的产品所需增加或减少的
成本。通过导数分析，企业可以确定生产某一数量的产品时，成本增加
或减少的速度。
02
边际收益
导数还可以用来计算边际收益，即销售某一数量的产品所增加或减少的
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
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导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
高中三年级导数的应用
高中三年级导数的应用导数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题的求解中发挥着重要的作用。
在高中三年级中，导数的应用非常广泛，涵盖了函数的图像、极值、增减性、中值定理等多个方面。
本文将围绕这些应用展开讨论，以帮助同学们更好地理解和应用导数。
一、函数图像的分析在高中数学中，函数的图像是一个常见的考察点。
通过导数的应用，可以更加深入地分析函数的图像特征。
首先，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
其次，通过导数的零点，即函数的驻点，可以判断函数的极值。
“高点”和“低点”就是极大值和极小值。
另外，导数的变化趋势也能反映函数的凸凹性。
例如，导数的增大表示函数在该区间上凸起，导数的减小表示函数在该区间上凹陷。
二、极值问题的求解极值问题是导数应用的重要方向之一。
对于一个函数，极值点是指在该点附近，函数值相对于其他点都较大或较小的点。
求解极值的关键在于找到导数为零的点。
对于一个定义在闭区间上的函数，极值点可能出现在区间内部的驻点，也可能出现在区间的端点上。
通过求解函数的导数，我们可以找到这些点，并进行判断，从而求解出函数的极值。
三、中值定理的应用中值定理也是导数应用的重要内容之一。
中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明在某个区间上，如果函数连续且可导，那么一定存在一点，该点的导数等于函数在该区间上的平均斜率。
这个定理可以帮助我们推导出一些重要的结论。
例如，中值定理可以用来证明柯西中值定理，后者是微积分中的另一个重要定理，常用于求解函数的零点或者证明函数性质。
四、应用实例：曲线的切线和法线曲线的切线和法线是导数的典型应用之一。
对于一个曲线上的一点，切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处相切；法线是与切线垂直的一条直线。
求解曲线的切线和法线，关键在于求解该点的导数和斜率。
具体方法是，先求解导函数，然后求出导函数在该点的函数值，即为斜率。
然后，通过给定的点和斜率可以得到切线的方程，进而求解法线的方程。
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上的任一非负连续函数. ① 试证存在
，使得在区间
上以
为高的矩形面积，等于在区间
上以
为曲边的曲边梯形面积. ② 又设
在区间
内可导，且
，证明①中的是唯一的. (1998年) ⒁设
，证明 ①
. ②
. (1998年) ⒂ 设函数
在闭区间
上具有三阶连续导数，且
， ， 证明：在开区间 内至少存在一点 ，使 .(1999年) ⒃求函数 在 处的 阶导数 .(2000年) ⒄设函数 在 上连续，且 ， .试证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 . (2000年) ⒅ 已知 是周期为5的连续函数，它在
⒀ 已知函数
对一切
满足
，若
，则 ( ) (A)
是
的极大值. (B)
是
的极小值. （C）
是曲线
的拐点. (D)
不是
的极值，
也不是曲线
的拐点. (1997年) ⒁ 函数
的不可导点的个数为（ ） (A) 0. (B) 1. (C) 2.
⒂ 已知函数
的任意点
(D) 3. (1998年)
处的增量 ，其中 是比 高阶的无穷小，且 ，则 （） (A) . (B) 2 . (C) . (D) . (1998年) ⒃ 设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在 ，当 时，必有 （ ）
= .(1993年) ⑵ 已知曲线
过点
，且其上任一点
处的切线斜率为
，则
=
. (1993年)
⑶ 设函数
由参数方程
，所确定，则
= .(1994年) ⑷设
，则
=
.(1997年)
⑸ 曲线
的渐近线方程为 ⑹ 曲线
.(1998年)
上与直线
垂直的切线方程为 .(2004年)
二、选择题 ⑴设
则在点
处函数
（）
（A）不连续.
（B）连续而不可导的点.
（C）可导的点，且
. （D）可导的点，且
. (1996年) ⑾设
处处可导，则 （ ） （A）当
，必有
. （B）当
，必有
. （C）可当
，必有
. （D）当
，必有
. (1996年) ⑿ 在区间
内，方程
（）
（A）无实根.
（B）有且仅有一个实根.
（C）有且仅有二个实根. （D）有无穷多个实根. (1996年)
⑸ 曲线
的渐近线有 （ ）
（A）1条.
（B）2.条
（C）3条.
（D）4条. (1994年)
⑹设
在
内可导，且对任意
，当
时，都有
，则 （ ） （A）对任意
. （B）对任意
. （C）函数
单调增加. （D）函数
单调增加. (1995年) ⑺设函数
在
上
，且
，则
或
的大小顺序是（ ） （A）
. （B）
. （C）
第四讲 导数的应用习题课
一、内容提要
1、掌握单调区间的求法，利用一阶导数判别单调性，利用单调性证明 不等式。 2、掌握和理解极值点，极值的计算；第一充分定理：设f(x)在x0的某个 邻域内可导，且或不可导点，如果在x0的两侧异号，则x0是f(x)的一个 极值点，导数由+变－为极大值点，导数由—变+为极小值点。
，使
； ③ 在(a, b) 内存在与(2)中
相异的点
，使
(2003年) (25) 设
，证明
. (2004年)
历年考研选题参考答案（导数、微分及应用）
一、⑴
. ⑵
. ⑶
. ⑷
. ⑸
. ⑹
. 二、⑴ A， ⑵ B， ⑶ C， ⑷ B， ⑸ B， ⑹ D，
⑺ B， ⑻ A， ⑼ A， ⑽ C， ⑾ D， ⑿ C， ⒀ B， ⒁ C， ⒂ A， ⒃ C， ⒄ D， ⒅ C， ⒆ A， ⒇ C， (21) B， (22) C.
二、例题分析
例1、 求的极大值点与拐点连线的中点的坐标。 解：
，又x=2两侧二阶导发生变号，所以是拐点。
所以中点坐标为。 例2、 试求
解：本题为隐函数的极值问题， 再有， 为驻点；又，得 。
例3、 已知； 若对f（x）在某一点处有极值，问是极大还是极小？ 解：明显f（x）有二阶导数，由极值的必要条件知， ；，所以为极小值。 例四、证明不等式 。 证明：设 所以 。 例五、由y=0,x=8,y=x2所围的曲边三角形OAB，在曲边OB弧上求一点， 使该点作y=x2的切线与OA，AB所围的三角形面积围最大。 解： 例六、试求的曲率K。 解：， 所以 （t）。 例七、作图 解：函数的定义域为； ；
时，方程
有且仅有一个解，求
的取值范围. (1994年) ⑸设
， ① 求函数的增减区间及极值； ② 求函数图象的凸凹区间及拐点； ③ 求其渐近线； ④ 作出其图形. (1994年)
⑹ 设函数
由方程
确定，其中
具有二阶导数，且
求：
(1995年) ⑺设
，且
，证明
. (1995年) ⑻ 求函数
在点
处带拉格朗日型余项的
（A） .
（B） .
（C）
. （D）
(1998年)
⒄设
，其中
是有界函数，则
在
处（ ） （A）极限不存在. （C）连续，但不可导.
⒅ 设函数
（B）极
，则（ ） (A)
是
的极大值. (B)
是
的极小值. (C) 点
是曲线
的拐点. (D)
不是 的极值， 也不是曲线 的拐点. (2000年) ⒆ 设函数 ， 是大于零的可导函数，且
（B）连续，但不可导.
（C）可导，但导数不连续. （D）可导，且导数连续. (1993年)
⑵ 设常数
，函数
在
内零点个数为（ ）
（A）3.
（B）2.
（C）1.
（D）0. (1993年)
⑶若
，在
内
，
，则
在
（） （A）
. （B）
. （C）
. （D）
.(1993年) ⑷设
则
在
处的 （ ） （A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在. （C）左导数不存在，但右导数存在. （D）左、右导数都不存在. (1994年)
，证明不等式
(22)设函数
. (2002年)
在
的某领域内具有二阶连续导数，且
， 证明：存在唯一的一组实数
，使得 当
时，
是比
高阶的无穷小. (2002年) (23) 讨论曲线
与
的交点个数. (2003年) (24) 设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且
若极限
存在，证明： ① (a, b )内f(x)>0; ② 在(a, b)内存在点
，则当 时，有（ ）
（A） . （B） .
（C） . （D） . (2000年)
⒇若 ，则 为（ ）
(A)0. (B) 6. (C)36. (D)
. (2000年) (21) 设函数
在
内有界且可导，则 （ ） (A) 当
时，必有
. (B) 当
存在时，必有
. （C）当
时，必有
. (D) 当
存在时，必有
阶泰勒展开式. (1996年) ⑼ 设函数
由方程 所确定，试求 的驻点，并判别它是否为极值点. (1996年) ⑽设 在区间 上具有二阶导数，且 ， .证明存在 和 ，使 及 . (1996年) ⑾设 由
，所确定，求 . (1997年) ⑿就 的不同取值，确定方程： 在开区间
内根的个数，并证明你的结论. (1997年) ⒀设
. (2002年) (22) 设函数 连续，且
，则存在
，使得（ ） （A）
在
内单调增加.
（B） 在 内单调减少.
（C）对任意的 有 .
（D）对任意的 有 . (2004年)
三、解答题 ⑴设 ，其中 具有二阶导数，求 . (1993年) ⑵ 作半径为 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 为何值时，其体积 最小，并求出该最小值. (1993年) ⑶设 ，常数 ，证明 . (1993年)
，故。 五、求的最大值。 解：
, 又
，。
三、课内练习题
一、填空题（将正确答案填在横线上） 1、； 2、； 3、； 4、； 5、。
二、。 三、。 四、。 五、。 六、。
四、练习题答案
一、 1、2、 4、
二、 。
3、 5、
三、
四、 五、
。
。
一、填空题： ⑴ 函数
历年考研选题（导数、微分及应用）
由方程
所确定，则
1
+
0
－
－
－
－
－
－
0
+
增，凸 极大值 减，凸
拐点
减，凹
。Y
OX
综合题导数的应用 1、 客观题： 1、
A、任意 B、任意 C、单调增 D、单调增 2、设函数则下列成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、曲线的渐近线有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 4、已知， 若则（ ） A、 B、 C、为拐点 D、不是拐点 2、 K的不同的值，确定根 的个数。 解： 故为极小值点，且图形在上凹， ， 1） 3），有单根。 三、 证明：上以为高的矩形面积等于上以为曲边的梯形的面积；又，证 明唯一。 证：设， 即 唯一性： ，严格单调减，故唯一。 四、设证明： 1）；2） 证：1） ，而 ； 2）设
. （D）
. (1995年) ⑻设