数学教师用书配套习题：课时提升作业(四十六) 7.7空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理

课时提升作业(四十六)
空间直角坐标系、向量的
坐标表示和空间向量基本定理
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2015·上饶模拟)已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等
于( )
A.3
B.2
C.
D.5
【解析】选A.a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),
所以|a-b+2c|==3.
2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),
所以a与b不平行,又因为a,b,c三向量共面,
则存在实数x,y使c=x a+y b,
即解得λ=.故选D.
【加固训练】(2015·洛阳模拟)O为空间任意一点,若
=++,则A,B,C,P四点( )
A.一定不共面
B.一定共面
C.不一定共面
D.无法判断
【解题提示】根据=x+y+z(x+y+z=1)⇒P,M,A,B四点共面判断.
【解析】选B.因为=++,且++=1,所以A,B,C,P四点共面.
3.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为( )
A.19
B.-
C.
D.
【解析】选C.||
=
=,
所以当x=时,||min=.
4.(2015·抚州模拟)在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为( )
A.(0,,0)
B.(0,,)
C.(1,0,)
D.(1,,0)
【解析】选D.由于点Q在xOy内,故其竖坐标为0,
又PQ⊥xOy平面,故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同,从而点Q 的坐标为(1,,0).
5.(2015·蚌埠模拟)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角余弦值为
,则λ等于( )
A.2
B.-2
C.-2或
D.2或-
【解析】选C.cos<a,b>===,
λ=-2或.
6.(2015·合肥模拟)到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )
A.x+y+z=-1
B.x+y+z=1
C.x+y+z=4
D.x+y+z=0
【解析】选D.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C应满足
||2=||2,即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得x+y+z=0.
7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中
点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( )
A.(1,1,1)
B.
C. D.(1,1,2)
【解题提示】设PD的长为a,利用cos<,>=,求a的值.
【解析】选A.设PD=a(a>0),
则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E,
所以=(0,0,a),=(-1,1,),
由cos<,>=得=a·,
所以a=2,所以E(1,1,1).
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·安庆模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y 的值为.
【解析】a+b=(-2,-1+y,5),由于a⊥(a+b),
所以a·(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,
答案:12
9.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|= .
【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度. 【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E,所以=,
所以||==.
答案:
10.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,
①(++)2=32;
②·(-)=0;
③向量与向量的夹角是60°;
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是.
【解析】①中,(++=2+2+2=32,故①正
确;②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确,④中,|··|=0,故④也不正确.
答案:①②
(20分钟40分)
1.(5分)(2015·南昌模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC 的中点,则AD与GF夹角的余弦值为( )
A. B.- C. D.-
【解析】选A.已知正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点.
所以以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,如图,则A(0,2,0),
B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),
=(0,-2,2),=(-1,2,1),
所以||=2,||=,·=-2,
所以cos<,>==-,
所以直线AD与GF夹角的余弦值为.
2.（5分）已知{a,b,c}是空间向量的一个基底，{a+b,a－b,c}是空间向量的另一个基底，一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a+b,a－b,c}下的坐标为( )
A.(4,0,3)
B.(3,1,3)
C.(1,2,3)
D.(2,1,3)
【解析】选 B.因为向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,
设p=x(a+b)+y(a-b)+z c,
整理得p=(x+y)a+(x-y)b+z c,
则解得
所以向量p在基底{a+b,a－b,c}下的坐标为(3,1,3).
3.(5分)(2015·蚌埠模拟)给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为,则该点的坐标为.
【解析】设点P的坐标是(x,0,0),
由题意得,|P0P|=,
即=,
所以(x-4)2=25,
解得x=9或x=-1,
所以点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
答案:(9,0,0)或(-1,0,0)
4.(12分)(2015·长春模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,为边的平行四边形的面积.
(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.
【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
所以cos<,>=
===.
所以sin<,>=,
所以以,为边的平行四边形的面积为
S=2×||·||·sin<,>=14×=7.
(2)设a=(x,y,z),
由题意得
解得或
所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).
5.(13分)(能力挑战题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1,
∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模.
(2)求cos<,>的值.
(3)求证:A1B⊥C1M.
【解析】如图,建立空间直角坐标系.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
所以||=
=.
(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
所以=(1,-1,2),
=(0,1,2),
·=3,
||=,||=,
所以cos<,>==.
(3)依题意,得C1(0,0,2),M,=(-1,1,-2),=. 所以·=-++0=0,
所以⊥.所以A1B⊥C1M.
【方法技巧】用向量法解决空间垂直、平行位置关系与空间角计算的技巧.
(1)基向量法:先选一组基向量,将其他向量都用基向量表示出来,然后根据向量的运算求解.
(2)坐标法:根据条件建立适当的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,根据向量的坐标运算求解.。