上海市师大附中2011届高三上学期期中考试数学试题0
高三试卷数学-湖北华中师范大学第一附属中学2024届高三上学期11月期中数学试卷及参考答案
华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,23.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()21y f x =-5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-36.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6B.7C.8D.9二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b+> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.202512.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.1e>a 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.16.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先化简求出z ,再根据共轭复数定义求出i z +,最后根据模长公式求解即可.【详解】()()()()()221i 21i 2i 21+i 2,1i 1+i 1i 1i 1i z z z z --+=∴=∴====--+- ，,=1i i=1+i+i=1+2i z z +∴+ ，,i =12i z ++.故选:D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合A ，从而求解R A ð，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B ，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合{}{}242xA x x x =>=>，所以{}R 2A x x =≤ð，又{}{}{}32Z log 3Z 021,2,3,4,5,6,7B x x x x =∈<=∈<<=，所以()R A B ⋂=ð{}1,2.故选：C3.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()21y f x =-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】()sin (0)f x x ωω=>过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭得1sin =π2ωω=∴,()sinπf x x ∴=,由图1和图2可知：函数的周期减半，就是()()2f x f x →,图1→图2说明图象向右平移12单位，得到()21y f x =-的图象．故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,,,A C B F 的坐标，求出AC BF ⋅即可得出答案．【详解】正六边形ABCDEF 中，每个内角都是120 ，30FEA FAE ∠=∠= ，有EA AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2==AB AF ，1cos1202=-，3sin1202= ，则有(F -，所以(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，AC =，(BF =- ，由平面向量数量积的运算可得()33936AC BF ⋅=⨯-+-+=-.故选：B ．6.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D 【解析】【分析】对于选项A 、B ，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C 、D ，通过所给函数关系020lgp pL p =代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A ，30~100Hz 的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB ，1000~10000Hz 的高频对应的听觉下限阈值低于20dB ，所以对比高频更容易被听到，故A 错误；对于B ，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B 错误；对于C ，240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，50210Pa P -=⨯，令020lg20p pL p ==，此时0100.0002p p ===Pa ，故C 错误；对于D ，1000Hz 的听觉下限阈值为0dB ，令020lg0p pL p ==，此时0p p =，所以240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D 正确.故选：D .7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】由切线放缩可求a ，根据对数函数性质和正弦值域可判断b ，由不等式的关系可判断b c >.【详解】因为0sin1<1<，当0x >时，设()e 1xf x x =--，则()e 1xf x '=-，易知当0x =时，()00e 10f =-='，当0x >时，()f x 单调递增，所以e 1x x ≥+；()0x >所以sin1=e 10a a a a a +≥++⇒<；由已知可得0b >，因为0sin1<1<，所以01b <<；ln 0b <，所以sin1ln b b =-；00c ≥⇒≥，所以sin1c b =-<；故a c b <<；故选：A8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D 选项，再计算说明C 选项正确即可.【详解】()πsin =2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,当=6ω时,()π2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ππππ=2sin π+2sin 3π06233f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A选项错误;当=7ω时,()π2sin 73f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()ππ7ππ7ππ=2sin +2sin 210626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 选项错误;当=9ω时,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ9ππ9ππ=2sin +2sin 110626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ11π29π,,9,62366x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有三个极值点，D 选项错误;当=8ω时,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ8ππ8ππ=2sin +2sin 0626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ5π13π,,8,62333x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，C 选项正确;故选:C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值【答案】BC 【解析】【详解】根据图象得到()()f x f x -'的符号，即可得到()g x '的符号，进而得到()g x 的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当x a <时()()0f x f x '->，当a x b <<时，()()0f x f x '-<，当x b >时，()()0f x f x '->，()()()exf x f xg x '-'=，因e 0x>，故当x a <时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),a -∞上单调递减，当a x b <<时，()()()0exf x f xg x '-'=>，()g x 在区间(),a b 上单调递增，当x b >时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),b ∞+上单调递减，故()g x 在x a =处取得极小值，在x b =处取得极大值，故选：BC10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b +> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以112a b+>，A 正确，由于212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，221122a b ab+≥=≥，当且仅当2211a b =且a b =时，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以22112a b +>，B 正确，由2a b +=以及0,0,a b a b >>≠可得224a b +≥=，当且仅当22a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以2242a b +>>，故C 正确，2222log log log log 10a b ab +=≤=，当且仅当b a a b=，即a b =时取等号，由于a b ¹，22log log 0a b +<所以D 错误，故选：ABC11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD 【解析】【分析】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，将函数零点转化为两个函数()y g x =与tan =-y a x 的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.【详解】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，对于函数()()sin cos g x x =，由[]cos 1,1x ∈-，可知()()[]sin cos sin1,sin1=∈-g x x ，因为()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤+=+==⎣⎦g x x x g x ，且()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤-=-==⎣⎦g x x x g x ，()g x 的周期为2π，且关于直线πx =对称，又因为()()cos cos sin '=-⋅g x x x ，当[]0,πx ∈，则[][]cos 1,1,sin 0,1∈-∈x x ，且()cos cos 0>x ，可知()()cos cos sin 0'=-⋅≤g x x x ，则()g x 在[]0,π上单调递减，可知()g x 在[]π,2π上单调递增，若0a =时，因为tan y x =的定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则cos 0x ≠，可知()()sin cos 0=≠f x x ，无零点，不合题意，若0a <时，0a ->，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内各有一个交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内没有交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内有2个零点，在()π,2π内没有零点（区间端点均不是零点），因为()y g x =与tan =-y a x 的周期均为2π，则()f x 周期为2π，结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2023或2024，若0a >时，0a -<，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内没有交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内各有一个交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内没有零点，在()π,2π内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2024或2025；综上所述：整数n 可以是2023或2024或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数()f x 转为两个函数：()y g x =与tan =-y a x 的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a 的符号.12.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数 D.1e>a 【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数()=e e xxg x --的单调性可求()2013sin f x x x=+判断A ，根据奇函数的定义判断B ，根据导数符号判断函数的单调性判断C ，根据奇函数和单调性把不等式化为21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.【详解】20132013sin sin e e eey x xx yx ----=-，有()20132013sin sin e e =e ey x y x xx ------，记()=e e xxg x --，则()=e e0xxg x -+>'，所以()=e e x x g x --在R 上单调递增，所以2013sin y x x -=，所以()2013sin f x x x =+，故选项A 错误；因为()()()()()20132013sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-且定义域R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，故选项B 正确；记()()2012cos 2013h x f x x x=+'=，[)0,x ∈+∞，则()2011sin 20132012h x x x=-+⨯'，[)0,x ∈+∞，对[)0,x ∈+∞，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-≤，即函数sin y x x =-在[)0,∞+单调递减，又0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，根据幂函数性质知201120132012x x ⨯>，所以()2011sin 20132012sin 0h x x xx x =-+⨯>-≥'，所以函数()()2012cos 2013h x f x x x=+'=在[)0,∞+上单调递增，所以()()010f x f '='≥>，所以函数()2013sin f x x x=+在[)0,∞+上单调递增，又()f x 是奇函数，由奇函数性质知()f x 是增函数，故选项C 正确；因为对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，所以()()()21eln ln x f x a f x x f x x --<-=-在()0,∞+上恒成立，所以21e ln x x a x x --<-即21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，记()1ln m x x x =--，()0,x ∈+∞，则1()1m x x=-'，当()0m x '=时，1x =，当()0m x '>时，1x >，当()0m x '<时，01x <<，所以()1ln m x x x =--在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()1ln (1)0m x x x m =--≥=，所以1ln x x ≥+，所以22121ln e e x x x x x x --+≤，()0,x ∈+∞，记()221e x x n x -=，()0,x ∈+∞，则()()2121ex x x n x --'=，当()0n x '=时，1x =，当()0n x '>时，01x <<，当()0n x '<时，1x >，所以()221ex x n x -=在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()22111e ex x n x n -=≤=，所以21ln 1e x x x x -+≤，当且仅当1x =时等号成立，所以1e>a ，故选项D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e 1x y b -=-+，则1e x y -'=，设切点坐标为()00,x y ，则00110e 1e 1x x b x a--⎧=⎪⎨-+=+⎪⎩，解得011x a b =⎧⎨+=⎩.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.【答案】π【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以，112π13α⨯=⨯⨯，可得2π3α=，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112+=，因此，该扇面的面积为()2212π21π23⨯⨯-=.故答案为：π.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.【答案】①.11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）②.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB ∠，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数的周期即可计算得解.【详解】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，OB 旋转的角速度为2πrad/h -，11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，Z k ∈，111π34|sin |6|sin |26S AOB t =⨯⨯∠=，而当6,N 11n t n =∈时，不能构成三角形，所以11π6|sin |6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；显然函数11π6|sin|6S t =的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411=⨯，所以S 取得最大值的次数为44.故答案为：11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；4416.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】通过证明ABC 是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD 中，4,2120BD ADC ABC ∠∠=== ，∴60,180ABC ABC ADC ∠=︒∠+∠=︒,∴四边形ABCD 四点共圆，在ACD 中，AD CD =，120ADC ∠= ,∴ACD 是等腰三角形，30ACD CAD ∠=∠=︒，在ABC 中，2120ABC ∠= ∴60ABC ∠=︒，()22133sin 248S AB BC ABC AB BC AB BC =⋅∠=⋅≤+,当且仅当AB BC =时，等号成立，∵当AB BC =时，BD 垂直平分AC ,∴AC BD ⊥,ABC 是等边三角形，2AC AE =，∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,1602ADE CDE ADC ∠=∠=∠=︒∴180306090BAD BCD ∠=∠=︒-︒-︒=︒,∴,3AE BE DE ===,∵44BD BE DE DE =+==,∴1,2DE AE AC AE ====∴ABC 面积的最大值为(22max 44S AC ==⨯=,故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12x a x ≤≤时，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，满足题意，从而计算即可得解.【小问1详解】由题意()π12sin sin 2sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311π1sin cos 22sin 222262x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22π+Z 262k x k k -≤-≤∈,解得()ππππ+Z 63k x k k -≤≤∈，令()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππZ 212k x k =+∈，所以()f x 的单调递增区间与对称中心分别为()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的函数图象如图所示，由题意当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故当且仅当12x a x ≤≤，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，令()π13sin 2622f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 3x k k =+∈，所以()13min 0|min 3|πππZ 2,30x x f x x k x k ⎧⎫⎧⎫==>==>=⎨⎬⎨⎩∈⎬⎩⎭⎭+，令()π1sin 2062f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 66x k k -=-+∈或()π7π22πZ 66x k k -=+∈，解得()πZ x k k =∈或()2ππZ 3x k k =+∈，所以()132π2πmin 0|min 0|ππ,Z 233x x f x x x k x k k ⎧⎫⎧⎫=>==>==+∈=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，综上所述：满足题意的实数a 的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得BAD CAD ∠=∠，结合ABC ABD ACD S S S =+ ，得到()2bc b c =+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C ，由正弦定理可得πsin sin 2sin sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B C A C ，则()sin sin sin sin sin cos cos sin sin +=++=++B C A C C A C A C C ，π312sin sin 2sin sin sin sin cos622⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A C C A C A C ，即sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C A C A C ++=+，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πA ∈，则ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠且AD =π6BAD CAD ∠=∠=，由ABC ABD ACD S S S =+ ，可得131111222222⨯=⨯+⨯bc c ，整理得()2bc b c =+≥，则16bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，故ABC 面积的最小值为11622⨯⨯=．19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.【答案】（1）答案见解析（2【解析】【分析】（1）首先对()f x 求导，然后分01a <<和1a >讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,log 33ln 122log 3333ln a a a a a ⎛⎫>-=⎪⎝-⎭，通过构造函数()1log 3a g x x x =-，说明()max23g x g ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即可得解.【小问1详解】由题意()()2l ,013n f x x x ax =->'，分以下两种情形来讨论函数()f x 的单调区间，情形一：当01a <<时，()()201ln 0,3l 0,n a f x x x ax '<<->=，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间.情形二：当1a >时，令()3201l 1n 0,n 3ln ln 3l a f x x x a x ax a -'>=-==，解得0x =>，当x ⎛∈ ⎝时，()313ln 0ln f x x a x a '-=>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()313ln 0ln f x x a x a '-=<，所以()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间；当1a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.【小问2详解】由题意若函数()f x 有最大值122log 333a -，则由（1）可知当且仅当1a >时，()f x 有最大值()maxf x f =⎡⎤⎣⎦，因此3111log 122log l 33ln 33l og 33n a a a f a a ⎛⎫==---=⎭ ⎪⎝，不妨令()1log 3a g x x x =-，求导得()()113ln 1,0,13ln 3ln x ag x x a x a x a -'=-=>>，令()13ln 03ln x a g x x a -'==，解得103ln x a=>，当10,3ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=>，当1,3ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=<，所以()1log 3a g x x x =-在10,3ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 111log 333l 122l l o n 3g 33n a a g x a a ⎛⎫=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，故只能13ln 23a =，解得1ln ,12a a ==>符合题意；综上所述，满足题意的实数a.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.【答案】（1）2020πsin sin 3θθ=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y （2）80万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sin θ=EG ，1πsin 3θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭GF ，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得2π80sin 3π4sin 33θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭y，换元令πsin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，结合函数单调性求最值.【小问1详解】在Rt AEG △中，因为sin ∠=AG AEG EG ，可得2sin sin θ==∠AG EG AEG ，在AFG 中，可知π3θ∠=-AFG ，由正弦定理sin sin =∠∠GF AGGAF AFG，可得sin 1πsin sin 3θ⋅∠==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭AG GAFGF AFG，所以20201020πsin sin 3θθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y EG GF .【小问2详解】由（1）可知：202020πsin sin sin 3θθθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y2ππ80sin 80sin 332ππ2cos 214sin 333θθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π03θ<<，则ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π3sin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，则280803434==--t y t t t，且34,==-y t y t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，可知34y t t =-在3,12⎛⎤⎥ ⎝⎦上单调递增，所以280803434==--t y t t t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，当1t =，即π6θ=时，修建道路的总费用y 取到最小值80万元.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）2个（2）1-【解析】【分析】（1）令()e sin sin 0xf x x x x =+-=可得e sin 1x x x =-，利用导数判断出函数()e 1x g x x =-在[]π,0x ∈-上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数()e 1xg x x =-与sin y x =在[]π,0-内的图象，根据交点个数即可求得()f x 的零点个数；（2）易知()e 1xx ≥+，sin x x ≥在[]π,0x ∈-上恒成立，则可得()()()e 1sin 11xf x x x x x x =+-≥++-，求出221y x x =-++在[]π,0x ∈-上的最小值即可得2π2π14k -++≤，便可知整数k 的最大值为1-.【小问1详解】根据由题意可知，令()e sin sin 0xf x x x x =+-=，又[]π,0x ∈-，整理可得e sin 1xx x =-；令()[]e,π,01xg x x x ∈=--，则()()()()()22e e 112e 1x xx x x x g x x =-----'=，显然当[]π,0x ∈-时，()()()2e 012x x g x x -=-'<恒成立，所以可得()e 1x g x x =-在[]π,0-上单调递减，且()e 01xx g x =-<在[]π,0x ∈-上恒成立，易知函数sin y x =在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；且()()πe sin π0ππ1g ---=-=+>，()πsin 1,sin 00120g ⎛⎫-=-=- ⎪⎝=⎭>画出函数()[]e ,π,01xg x x x ∈=--和函数[]sin ,π,0y x x =∈-在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数()e 1xg x x =-与sin y x =在区间[]π,0-上有两个交点，即可得函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-有两个零点；【小问2详解】若()40k f x -≤恒成立，可得()4f x k ≤，令()[]π,0sin ,h x x x x -∈-=，则()1cos 0h x x '=-≥在[]π,0-上恒成立，即可得()sin h x x x =-在[]π,0-上单调递增，所以()()sin 00h x x x h =-≤=，所以sin 0x x -≤在[]π,0-上恒成立，即sin x x ≥；令()()[]0e 1,π,xx x x ϕ∈-=-+，则()e 10xx ϕ'=-≤在[]π,0-上恒成立，即()()e 1xx x ϕ=-+在[]π,0-上单调递减，即()()()e 100xx x ϕϕ=-+≥=，所以()e 1xx ≥+在[]π,0-上恒成立，可得()()()2e sin sin e 1sin 1121xxf x x x x x x x x x x x =+-=+-≥++-=-++；易知函数221y x x =-++在[]π,0x ∈-上单调递增，因此2min π2π1y =-++，即只需2minπ2π14y k =-++≥即可得2π2π14k -++≤，易知()2π2π1 2.57961,044-++-≈∈-，所以1k ≤-；注意到，由（1）可知，由()f x 有两个零点可知，必存在[]0π,0x ∈-，使得()00f x <，所以当0k ≥时，()()0040k f x f x -≥->，故()40k f x -≤不恒成立；综上，整数k 的最大值为1-.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.【答案】（1）22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得()()32e x xf x k x x --⋅'=在()0,∞+上至少有三个实数根，即可知e x k x =在()0,∞+有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出()()e ,0,xg x x x=∈+∞的单调性并在同一坐标系下画出函数()g x 与函数y k =的图象即可求得实数k 的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x =，将要证明的不等式化为131ekx x <，利用分析法可得需证明311e x x -<，由()g x 的单调性可知()()()3113ex g x g g x -=<，化简可得313e 01ln x x---<，构造函数()1e ,11ln x h x x x -=-->即可得出证明.【小问1详解】根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()224332e e e 222221e xx x x x f x k k x x x x x x kx x x x x -⎛⎫'⎭-⋅-⋅--=--+=-⋅=⎪⋅ ⎝，由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()3e 02x xf x xk x -'-⋅==在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()20f '=，则需方程3e 0x kx x-=，也即e 0xkx -=有两个不等于2的不相等的实数根；由e 0xkx -=可得e xk x=，()0,x ∈+∞，令()()e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()2e 1,0,x x g x x x-'=∈+∞，显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；所以()()1e g x g ≥=，画出函数()()e ,0,xg x x x=∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可得e k >且2e 2k ≠时，e xk x=在()0,∞+上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知当22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()32e x xf x k x x --⋅'=在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围时22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】根据题意结合（1）中的图象，由123x x x <<可知12x ≠，若2是()f x 的一个极大值点，易知函数()f x 在()10,x 上单调递减，可知22x =；因此13,x x 是方程e x kx =的两个不相等的实数根，即3113,e ex xkx kx ==所以()33333233333e 22ln ln l 1n x k k f x k x k x k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()111ln 1f x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()333313333131313113111111ln l 11n ln ln 1l 1n x x x k x k x k x x k f x f x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-===----由3113,e e x x kx kx ==可知3331111331e e ln ln ln lne e ex x x x x x x k x x x k-====-,所以()()13131111331313331313131n 1l x x x x x k k x x f x f x x x x x x k x x x x x x x x --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===⎝--⎭-又22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要证()()23131e f x f x k k x x -<--，即证21311ek k k x x -<⎛⎫⎪⎭-⎝，也即13111e k x x -<-，所以131e k x x <；只需证13e kx x <，即31e e x x <⋅可得311e x x -<；由（1）可得1301,1x x <<>，所以可得310e 1x -<<，且根据（1）中结论可知函数()e xg x x=在()0,1上单调递减；所以要证证311e x x -<，即证()()311ex g g x -<，又3131e e x x k x x ==，即()()13g x g x =，即证()()313e x g g x -<，即1333e13e e e x x x x --<，可得13e 3e e x x -<，即3131e ln x x --<，可得313e 01ln x x ---<，令()1e ,11ln xh x x x -=-->，则()11e 1e 1x x x h x x x --=-+-'=，令()1e 1,1x x x x u --=>，则()()1e 01x u x x -'=-<，所以()u x 在()1,+∞上单调递减，即()()10u x u <=，所以()0h x '<，即()h x 在()1,+∞上单调递减；因此()()10h x h <=，即可得证.【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.。
上海市华东师大二附中2025届高三(最后冲刺)数学试卷含解析
上海市华东师大二附中2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．32．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．43．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．364．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．3165．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．87．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-8．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．6010．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤11．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2 B ．2C ．0D ．1或212．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
2025届广东华南师大附中高三上学期综合测试(月考)(一)数学试题+答案
2025届高三综合测试（一）数学满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．82．直线l 过抛物线2:4C x y =−的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（ ） A ．1y x =−−B ．1y x =−+C ．1y x =−D ．1y x =+3．已知0x >，0y >，则（ ）A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅C ．ln ln ln ln 777x y x y −=+D ．()ln ln ln 777xy xy =⋅4．函数()1ln f x a x x=+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知a ，b ，c 满足23a =，ln 21b =，32c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．若正数x ，y 满足2220x xy −+=，则x y +的最小值是（ ）AB C ．D ．27．已知1a >，1b >.设甲：b a ae be =，乙：b a a b =，则（ ） A ．甲是乙的充要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充分条件但不是必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知正实数1x ，2x ，3x 满足12111212x x x x ++=，22222313x x x x ++=，32333414xx x x ++=，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A ．213x x x <<B ．123x x x <<C ．321x x x <<D ．132x x x <<二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知函数()31f x x x =−+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有一个零点C ．点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线10．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +⋅−=−，()12f =，()1f x +为偶函数，则（ ） A ．()32f =B ．()f x 为奇函数C ．()20f =D ．()202410k f k ==∑11．已知函数()2ln f x x =，曲线():C y f x =，过不在C 上的点()(),0P a b a >恰能作两条C 的切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，()12x x <，则（ ） A ．a e >B ．()21a e b =+ C ．1x a <D ．()2f x b >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
电磁感应综合题
电磁感应综合题1．如图，一个边长为l 的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l 的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab 与导线框的一条边垂直，ba 的延长线平分导线框。
在t ＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab 方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。
以i 表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。
下列表示i —t 关系的图示中，可能正确的是 （ ）2、两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面，质量均为m 的金属细杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R ，整个装置处于磁感应强度大小为B ，方向水平向右的匀强磁场中，当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下以速度v 沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以某一速度向下匀速运动，重力加速度为g ，以下说法正确的是( )A ．ab 杆所受拉力F 的大小为μmg ＋B 2L 2v2RB ．cd 杆所受摩擦力为零C ．cd 杆向下匀速运动的速度为2mgRB 2L2 D ．ab 杆所受摩擦力为2μmg3如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R 1和R 2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab ，质量为m ，导体棒的电阻与固定电阻R 1和R 2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab 沿导轨向上滑动，当上滑的速度为V 时，受到安培力的大小为F 。
此时( ) A ．电阻R 1消耗的热功率为Fv/3 B ．电阻 R 1消耗的热功率为Fv/6C ．整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθD ．整个装置消耗的机械功率为（F ＋μmgcosθ）vB 的匀强磁场，磁场的宽度MJ 和JG 均为L ，一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab 边刚越过GH 进入磁场区时，恰好以速度 v 1做匀速直线运动；当ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度v 2做匀速直线运动，从ab 进入GH 到MN 与JP 的中间位置的过程中，线框的机械能减少量为△ E，重力对线框做功的绝对值为W 1，安培力对线框做功的绝对值为W 2，下列说法中不正确的有（ ）A ．v 2 ：v 1= 1 ：2B ．v 2 ：v 1 = 1 ：4C ．从ab 进入GH 到MN 与JP 的中间位置的过程中，W 2 等于 △ED ．从ab 进入GH 到MN 与JP 的中间位置的过程中，线框动能变化量为W 1－W 25．两条平行的裸导体轨道M 、N 所在平面与水平面间的夹角为 ，相距L ，导轨下端与电阻R 相连，质量为m 的金属棒ab 放在 导轨上，导轨处在方向垂直斜面上的匀强磁场中，磁感应强度 为B ，如图所示。
上海师大附中高三数学上学期期中试卷理(含解析)
2015-2016学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．不等式log x≥2的解集为__________．2．已知复数z=，则z=__________．3．已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=__________．4．若，则行列式=__________．5．函数f（x）=x+的值域__________．6．设g（x）=，则g（g（））=__________．7．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，则不等式f（2x+1）＞f（2﹣x）的解集__________．8．函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于y轴对称，若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则y=f﹣1（x2﹣2x）的单调递增区间是__________．9．将函数y=log2x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m（m＞0）倍，得到图象C，若将y=log2x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m=__________．10．如果，那么函数f（x）=cos2x+sinx的最小值是__________．11．函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象交点恰为3个，则实数k=__________．12．数列{a n}满足（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{a n}是常数数列；②“数列{a n}中存在某一项”是“数列{a n}为有穷数列”的充要条件；③若{a n}为单调递增数列，则a1的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）；④只要，其中k∈N*，则一定存在；其中正确命题的序号为__________．13．已知函数f（x）=，x∈，函数g（x）=ax+2，x∈．若对任意x1∈，总存在x2∈，使f （x1）=g（x2）成立．则实数a的取值范围是__________．14．设表示不超过x的最大整数，如=1，=﹣2．若函数（a＞0，a≠1），则g （x）=+的值域为__________．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是( )A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x17．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=( ) A．B．C．﹣D．018．若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）*，则得到一个新数列{（a n）*}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，a n=n2，则（（a n）*）*=( ) A．2n B．2n2C．n D．n2三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值．20．（14分）设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．21．（14分）已知复数z0满足|2z0+15|=|+10|，（1）求证：|z0|为定值；（2）设x=，z n=z0x n，若a n=|z n﹣z n﹣1|，n∈N*，求（a1+a2+…+a n）．22．（16分）已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数．若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在上有解，求m的取值范围；（3）若f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，求t的取值范围．23．（18分）已知函数f（x）=kx+m，当x∈时，f（x）的值域为，当x∈时，f（x）的值域为，依此类推，一般地，当x∈时，f（x）的值域为，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．（1）若k=1，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b n}满足b n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若k＜0，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求（T1+T2+…+T2014）﹣（S1+S2+…+S2014）．2015-2016学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1．不等式log x≥2的解集为（0，]．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式两边化为同底数，然后利用对数函数的性质得答案．【解答】解：由log x≥2，得log x≥，∴0．∴不等式log x≥2的解集为（0，]．故答案为：（0，]．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题．2．已知复数z=，则z=﹣1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘除法运用，即可得出结论．【解答】解：复数z====﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．【点评】本题考查复数的乘除法运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后把cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．若，则行列式=．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】根据行列式的运算法则可得式=cosθ2﹣sinθ2，再利用二倍角的余弦公式化为 1﹣2sin2θ，运算得结果．【解答】解：则行列式=cosθ2﹣sinθ2=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为．【点评】本题考查行列式的运算，二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为1﹣2sin2θ，是解题的关键．5．函数f（x）=x+的值域（﹣∞，﹣3]∪∪上为增函数，则不等式f（2x+1）＞f（2﹣x）的解集（﹣3，）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，∴f（x）在【考点】正弦函数的定义域和值域；二次函数的性质；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合x的范围，求出sinx的范围，然后求出函数的最小值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+，因为，所以sinx∈，当sinx=时，函数取得最小值：．故答案为：．【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，常考题型．11．函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象交点恰为3个，则实数k=1或．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作出函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象，由图象求实数k的值．【解答】解：作出函数y=|x2﹣1|的图象与函数y=x+k的图象如下图：当过点（﹣1，0）时，成立，此时，k=﹣1；当x∈（﹣1，1）时，y=1﹣x2，y'=﹣2x=1，解得x=﹣，此时，切点为（﹣，），=+k，则k=．故答案为：1或．【点评】本题考查了学生的作图能力，属于基础题．12．数列{a n}满足（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{a n}是常数数列；②“数列{a n}中存在某一项”是“数列{a n}为有穷数列”的充要条件；③若{a n}为单调递增数列，则a1的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）；④只要，其中k∈N*，则一定存在；其中正确命题的序号为①④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列{a n}满足（n∈N*）．举出正例a1=1或a1=2，可判断①；举出反例a1=，可判断②；举出反例a1=﹣2，可判断③；构造数列b n=，结合已知可证得数列{b n}是以为公比的等比数列，进而可判断④．【解答】解：当a1=1时，a n=1恒成立，当a1=2时，a n=2恒成立，故①正确；当a1=时，a2=﹣1，数列{a n}为有穷数列，但不存在某一项，故②错误；当a1=﹣2时，a1∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2），此时a2=10 a3=，数列不存在单调递增性，故③错误；∵∴=…①且=…②①÷②得：=•令b n=，则数列{b n}是以为公比的等比数列则b n=∴a n==2+当时，2+的极限为2，否则式子无意义，故④正确故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题13．已知函数f（x）=，x∈，函数g（x）=ax+2，x∈．若对任意x1∈，总存在x2∈，使f （x1）=g（x2）成立．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪，总存在x2∈，使f（x1）=g（x2）成立”，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集即可．【解答】解：若对任意的x1∈，总存在x2∈，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．f（x）=，x∈的值域为，下求g（x）=ax+2的值域．①当a=0时，g（x）=2为常数，不符合题意舍去；②当a＞0时，g（x）的值域为，要使⊆，得2﹣a≤0且4≤2+8a，解得a≥2；③当a＜0时，g（x）的值域为，要使⊆，得2+8a≤0且4≤2﹣a，解得a≤﹣2；综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪∪表示不超过x的最大整数，如=1，=﹣2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=+的值域为{0，﹣1}．【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】先求出函数f（x）的值域，然后求出的值，再求出f（﹣x）的值域，然后求出的值，最后求出g（x）=+的值域即可．【解答】解：=∈（0，1）∴f（x）﹣∈（﹣，）=0 或﹣1∵f（﹣x）=∈（0，1）∴f（﹣x）﹣∈（，）则=﹣1或0∴g（x）=+的值域为{0，﹣1}故答案为：{0，﹣1}【点评】本题主要考查了函数的值域，同时考查分类讨论的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15．若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a 的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i （其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选B．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．16．如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是( )A．y=﹣x B．y=3x C．y=x3D．y=log3x【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】证明题．【分析】先将已知条件转化为函数性质，如条件（2）反映函数的奇偶性，条件（3）反映函数的单调性，再利用性质进行排除即可【解答】解：由条件（1）定义域为R，排除D；由条件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0，即任意x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数，排除B由条件（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．即x+t＞x时，总有f（x+t）＞f（x），即函数f（x）为R上的单调增函数，排除A故选 C【点评】本题考查了抽象函数表达式反映函数性质的判断方法，基本初等函数的单调性和奇偶性，排除法解选择题17．已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f= ( ) A．B．C．﹣D．0【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果．【解答】解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6个一循环2015÷6=370余5f=f（5）=．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数．18．若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）*，则得到一个新数列{（a n）*}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，a n=n2，则（（a n）*）*=( ) A．2n B．2n2C．n D．n2【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】对任意的n∈N*，a n=n2，可得=0，=1==，=…=，…，可得=1，=4，=9，…，即可猜想出．【解答】解：对任意的n∈N*，a n=n2，则=0，=1==，=…=，=3=…=，…，∴=1，=4，=9，…，猜想（（a n）*）*=n2．故选：D．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题．三、解答题（12+14+14+16+18=74分）19．在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理得到=，将a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，将a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A及cos2A的值，将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=，sinC=2sinA，∴根据正弦定理=得：c=a=2a=2；（Ⅱ）∵a=，b=3，c=2，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=cos2A﹣sin2A=，则sin（2A﹣）=sin2Acos﹣cos2Asin=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（14分）设P表示幂函数在（0，+∞）上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．【考点】交集及其运算；并集及其运算；幂函数的性质；不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据幂函数的性质得到幂函数为增函数时，指数大于0，求出解集即可得到P；因为不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立，即只需找到不等式|x﹣1|+|x﹣2c|的最小值即可求出c的范围得到Q，然后求出P∩Q；（2）根据（1）求出的P∩Q，可以举例为解集为P∩Q的一个不等式即可．【解答】解：（1）∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴c2﹣5c+6＞0，即P=（﹣∞，2）∪（3，+∞），又不等式|x﹣1|+|x﹣2c|＞1对任意x∈R恒成立，∴|2c﹣1|＞1，即Q=（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴P∩Q=（﹣∞，0）∪（1，2）∪（3，+∞）．（2）一个解集为P∩Q的不等式可以是 x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0．【点评】考查学生掌握幂函数的增减性，理解函数恒成立时所取的条件，以及会求集合并集的运算．本题第二问是开放性题目，答案不唯一，考查学生发散思维的能力．21．（14分）已知复数z0满足|2z0+15|=|+10|，（1）求证：|z0|为定值；（2）设x=，z n=z0x n，若a n=|z n﹣z n﹣1|，n∈N*，求（a1+a2+…+a n）．【考点】复数求模；极限及其运算．【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】（1）设z0=x+yi（x，y∈R），利用|2z0+15|=|+10|，可得x2+y2=75，即可证明：|z0|为定值；（2）a n=|z n﹣z n﹣1|=，再求极限．【解答】（1）证明：设z0=x+yi（x，y∈R），则∵|2z0+15|=|+10|，∴|2x+15+2yi|=|x+10﹣yi|，∴（2x+15）2+（2y）2=3（x+10）2+3y2，∴x2+y2=75，∴|z0|=5；（2）解：∵x=，z n=z0x n，∴a n=|z n﹣z n﹣1|=，∴（a1+a2+…+a n）=5•=5．【点评】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）已知函数f（x）=log2（2x+1）．（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数．若关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在上有解，求m的取值范围；（3）若f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，求t的取值范围．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位；（2）先求得反函数f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域；（3）原不等式转化为2x+t+1＞22x，x∈恒成立，解得即可．【解答】解：（1）任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x1+1）﹣log2（2x2+1）=log2，∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，∴0＜＜1，log2＜0∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增（2）∵f﹣1（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），∴m=f﹣1（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）=log2=log2（1﹣）当1≤x≤2时，≤≤，∴≤1﹣≤∴m的取值范围是．（3）∵f（x+t）＞2x对于x∈恒成立，∴log2（2x+t+1）＞2x=log222x，∴2x+t+1＞22x，x∈恒成立∴22+t+1＞24，解得t＞log2．故t的取值范围为（log2，+∞）．【点评】本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了用单调性的定义证明函数的单调性以及构造函数研究函数的性质等问题，还考查了转化思想和构造转化函数的能力．23．（18分）已知函数f（x）=kx+m，当x∈时，f（x）的值域为，当x∈时，f（x）的值域为，依此类推，一般地，当x∈时，f（x）的值域为，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1．（1）若k=1，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b n}满足b n=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若k＜0，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求（T1+T2+…+T2014）﹣（S1+S2+…+S2014）．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）由f（x）递增，可得值域，进而得到a n=a n﹣1+m，b n=b n﹣1+m（n≥2），由等差数列的通项公式，即可得到所求；（2）由单调性求得f（x）的值域，m=2，则b n=kb n﹣1+2（n≥2），再由b n+=k（b n﹣1+）（n≥2），运用等比数列的定义和通项公式，即可得到结论；（3）运用函数的单调性，可得f（x）的值域，由作差，运用等比数列的定义和通项公式，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求．【解答】解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈时，f（x）为递增函数，所以其值域为，于是a n=a n﹣1+m，b n=b n﹣1+m（n≥2），又a1=0，b1=1，则a n=（n﹣1）m，b n=1+（n﹣1）m；（2）因为f（x）=kx+m，（k＞0），当x∈时，f（x）单调递增，所以f（x）的值域为，由m=2，则b n=kb n﹣1+2（n≥2）；法一：假设存在常数k＞0，使得数列{b n}，得4=4k+2，则k=符合．法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b n}满足b n=4，当k=1不符合．当k≠1时，b n=kb n﹣1+2，n≥2⇔b n+=k（b n﹣1+）（n≥2），则b n=（1+）k n﹣1﹣，当0＜k＜1时，b n==4，解得k=符合，（3）因为k＜0，当x∈时，f（x）为递减函数，所以f（x）的值域为，于是a n=kb n﹣1+m，b n=ka n﹣1+m，n≥2，则b n﹣a n=﹣k（b n﹣1﹣a n﹣1），因此{b n﹣a n}是以﹣k为公比的等比数列，又b1﹣a1=1则有T i﹣S i=，进而有（T1+T2+…+T2014）﹣（S1+S2+…+S2014）=．【点评】本题考查等差（比）数列的定义和通项公式的运用，考查存在性问题的解法，注意无穷递缩等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．。
湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷版)
湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（ ） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（ ） A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（ ） A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（ ）A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（ ）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（ ） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3n n n a n b =−=， （i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由； （ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由； （2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的。
湖南省长沙市湖南师大附中2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题(含解析)
湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集个数是（ ）A.7B.8C.15D.162.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）A.B.C.D.4.设向量，满足，等于（ ）A. B.2C.5D.85.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B.C.，且 D.，且6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）A.B.C. D.7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且棱台的高为（ ）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：{}0,1,2,311x -<240x x -<αP ()3,4a a 0a ≠sin2α=4372524252425-a b a b += a b -=a b ⋅ θsin cos 10y x θθ⋅+⋅+=2215x y m -=m 1m ≥01m <≤05m <<1m ≠1m ≥5m ≠()2f x ()()130f x f x ++-=()2,4x ∈()()12log 2f x x m =--+()()2025112f f -=-m 132323-13-111ABC A B C -AB =11A B =“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点B.与有相同的最大值点C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）A.B.直线恒过定点C.点的轨迹方程是D.的最小值为选择题答题卡题号1234567891011得分ab cd n()()()2266n nS b d a b d c c a⎡⎤=++++-⎣⎦ab()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd+++⋅++-+-=2024220240122024(12)x a a x a x a x+=++++2024a=20240120243a a a+++=012320241a a a a a-+-++=12320242320242024a a a a-+--=-()sin cosf x x x=+()sin cos22g x x xππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x()g x()f x()g x()f x()g x()f x()g x()0,2P2:4C x y=()11,A x y()22,B x yC A2y=-N NM AP⊥AB M5OA OB⋅=-MNM()22(1)10y x y-+=≠ABMN答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，的模长为1，且，则________.13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e 的零点，则的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：，）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）1z 2z 21111z z +=12z z +=ABC ∆A B C a b c 5a =4b =()31cos 32A B -=sin B =1x ()2e e xf x x x =--2x ()()()3e ln 1e g x x x =---()122e ex x -25%10%101.12.594≈101.259.313≈P ABCD -ABCD 222AD AB BC ===P Q AC A PCD H 2PA PD ==PAB PCD已知函数，为的导数.（1）证明：当时，；（2）设，证明：有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，①求的取值范围；②求四边形的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记，）()e sin cos x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()2f x '≥()()21g x f x x =--()g x xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C 12F PF θ∠=23πθ=12F PF ∆C ()0,2B l M N M B N Q C OQ OM ON =+ OBMOBNS S OMQN X 11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ξη()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y1若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x i x ξ={}j y η={}{}{}()()1,,j i i j jii i P y x p x y Py x P x p x ηξηξξ=======∣i x ηξ=∣{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑ξ{}E ηξ∣{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣0ξ=1ξ=2ξ=ηE η湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合共有（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，，，故选C.4.B 【解析】.5.B 【解析】易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.6.D 【解析】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则，而，所以由可得，而，所以，解得.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为，，过点，，，的截面如图：{}0,1,2,342115-=240x x -<04x <<11x -<02x <<11x -<240x x -<44tan 33y a x a α===22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ 1d ==2215x y m -=()1,0±01m <≤()f x ()f x ()()()133f x f x f x +=--=-()f x ()()20251f f =()()11f f -=-()()2025112f f -=-()113f =()()13f f =-()121log 323m --=13m =-13r =24r =A 1A 1O 2O，，，故选A.8.B 【解析】由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为，为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令，则，故A 错误；对于B ：令，则，故B 正确；对于C ：令，则，故C 正确；对于D ，由，两边同时求导得，令，则，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】，.令，则，；令，则，，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.的最大值点是，，的最大值点是，，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C 正确.曲线的对称轴为，，曲线的对称轴为，，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：24OO ==13OO ==211h OO OO ∴=-=6c a =+6d b =+()()()772223866b d a b dc c a ⎡⎤++++-=⎣⎦()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦()321ab a b ++=773aba b +=-<a b 3ab =6,3a b ab +=⎧⎨=⎩5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩63a b ab +=⎧⎨=⎩6ab =0x =01a =1x =20240120243a a a +++= 1x =-012320241a a a a a -+-++= 2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ 202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ 1x =-12320242320244048a a a a -++-=- ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x =4x k ππ=-+k ∈Z ()0g x =34x k ππ=+k ∈Z ()f x 24k ππ+k ∈Z ()g x 324k ππ-+k ∈Z 2πω()f x ()g x 2π()y f x =4x k ππ=+k ∈Z ()y g x =54x k ππ=+k ∈Z设直线的方程为（斜率显然存在），，，联立消去整理可得，由韦达定理得，，A.，，故A 错误；B.抛物线在点处的切线为，当时，，即，直线的方程为，整理得，直线恒过定点，故B 正确；C.由选项B 可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，故C 正确；D.，则，，，则，设，，当单调递增，所以，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.AB 2y tx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩x 2480x tx --=124x x t +=128x x =-221212444x x y y =⋅=1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- C A 21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y =-11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-()2,2N t -MN ()122y x t t +=--xy t=-MN ()0,0M OP O M ()22(1)10y x y -+=≠2MN AB ===22ABMN ===m =m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f m m m =-m ≥()2110f m m=+>'m ≥()f m min ()f m f==12.1【解析】设，，因为，所以.因为，，所以，所以，所以，，所以.【解析】在中，因为，所以.又，可知为锐角且.由正弦定理，，于是.将及的值代入可得，平方得，故.14.e 【解析】依题意得，，即，，，即，，，，，又，，同构函数：，则，又，，，，又，，单调递增，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为（万元）.……（3分）()1i ,z a b a b =+∈R ()2i ,z c d cd =+∈R 21111z z +=1222111z z z z z z +=111z z =221z z =121z z +=()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=1a c +=0b d +=()()12i 1z z a c b d +=+++=ABC ∆a b >A B >()31cos 32A B -=A B -()sin A B -=sin 5sin 4A aB b ==()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦()cos A B -()sin A B -3sin B B =2229sin 7cos 77sin B B B ==-sin B =1211e e 0xx x --=1211e e xx x -=10x >()()322e ln 1e 0x x ---=()()322e ln 1e x x --=2e x >()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦2ln 1x > 2ln 10x ->∴()()1e e ,0x F x x x +=->()()312ln 1e F x F x =-=()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+0x > 0e e 1x ∴>=e 10x ∴->1e 0x x +>()0F x ∴'>()F x 12ln 1x x ∴=-()()()31222222e ln 1e e e eeex x x x ---∴===()1010110%26⨯+≈（2）A 方案10年共获利：（万元），……（5分）到期时银行贷款本息为（万元），所以A 方案净收益为：（万元），……（7分）B 方案10年共获利：（万元），……（9分）到期时银行贷款本息为（万元），……（11分）所以B 方案净收益为：（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接，有平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因为，所以，，所以，，故，即.又因为，，平面，所以平面.平面，所以平面平面.……（5分）过作垂直于点，因为平面平面，平面平面，且平面，有平面.……（7分）（2）依题意，.故为，的交点，且.所以过作直线的平行线，则，，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- 1010(110%)25.9⨯+≈33.325.97-≈()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= ()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- 23.517.56-≈PQ PQ ⊥ABCD PQ CD ⊥ACD ∆2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠ABC ∆222cos AC ABC =-∠180ABC ADC ∠+∠= 1cos 2ADC ∠=()0,180ADC ∠∈ 60ADC ∠=AC =222AC CD AD +=AC CD ⊥PQ AC Q = PQ AC ⊂PAC CD ⊥PAC CD ⊂PCD PCD ⊥PAC A AH PC H PCD ⊥PAC PCD PAC PC =AH ⊂PAC AH ⊥PCD AQ DQ ==Q AC BD 2AQ ADCQ BC==23AQ AC ==PQ ==C PQ l l AC CD C则：，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取.同理，平面的法向量，，……（14分）故所求锐二面角余弦值为.……（15分）17.【解析】（1）由，设，则，当时，设，，，，和在上单调递增，，，当时，，，则，函数在上单调递增，，即当时，.()1,0,0D P ⎛ ⎝()A 12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CD = CP ⎛= ⎝ 0,AP ⎛= ⎝ 1,2BP ⎛= ⎝ PCD (),,m x y z =)0,0,m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,m =- PAB )1n =-1cos ,3m n m n m n ⋅==13()e cos sin xf x x x =+'+()e cos sin xh x x x =++()e sin cos xh x x x =+'-0x ≥()e 1x p x x =--()sin q x x x =-()e 10x p x ='-≥ ()1cos 0q x x ='-≥()p x ∴()q x [)0,+∞()()00p x p ∴≥=()()00q x q ≥=∴0x ≥e 1x x ≥+sin x x ≥()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'∴()e cos sin x h x x x =++[)0,+∞()()02h x h ∴≥=0x ≥()2f x '≥（2）由已知得.①当时，，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，在上仅有一个零点.……（10分）②当时，设，则，在上单调递减，，，，在上单调递减，又，，由零点存在定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设，为椭圆的焦半距，，，当时，最大，此时或，不妨设，当时，得，所以，又因为，所以，.从，而椭圆的标准方程为.……（3分）（2）由题意，直线的斜率显然存在.设，.……（4分），同理，..……（6分）联立，……（8分）()e sin cos 21xg x x x x =+---0x ≥()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ()g x ∴[)0,+∞()010g =-< ()e 20g πππ=->∴()g x [)0,+∞0x <()2sin cos (0)e x x xm x x --=<()()2sin 10exx m x -=≤'()m x ∴(),0-∞()()01m x m ∴>=e cos sin 20x x x ∴++-<()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'()g x ∴(),0-∞()010g =-< ()e 20g πππ--=+>∴()g x (),0-∞()g x ()00,P x y c C 12122F PF p S c y ∆=⋅⋅00y b <≤ 0y b =12F PF S ∆()0,P b ()0,P b -()0,P b 23πθ=213OPF OPF π∠=∠=c =12F PF S bc ∆==1b =c =2a =∴C 2214x y +=l ()11: 2.,l y kx M x y =+()22,N x y 1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=2OBN S x ∆=12OBM OBN S xS x ∆∆∴=()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，.……（9分）又，，，同号..，，.令，则，解得，.……（12分）（3），.且四边形为平行四边形.由（2）知，，.而在椭圆上，.化简得.……（14分）线段，……（15分）到直线的距离……（16分）.……（17分）()()222Δ(16)4121416430k k k∴=-⨯⨯+=->234k ∴>1221614k x x k -+=+ 12212014x x k=>+1x ∴2x ()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===++++234k > ()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭211216423x x x x ∴<++<()120x x λλ=≠116423λλ<++<()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ OQ OM ON =+()1212,Q x x y y ∴++OMQN 1221614k x x k -+=+()121224414y y k x x k ∴+=++=+22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭Q C 2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2154k =∴MN ====O MN d ==OMQN S MN d ∴=⋅==四边形19.【解析】（1），，2，3，…，所以，，2，3，…，记，则.作差得：，所以，.故.……（6分）（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，.且对应的概率，.所以，又，所以.……（12分）（ⅱ），；，；，，，故.……（17分）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭1k =()56k k k P X k ⋅==1k =()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ 2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ 1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- 611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑{}E ηξ∣{}i E x ηξ=∣1,2,,i n = {}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣1,2,,i n = {}()()()()()111111111[{}],,nnm n m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣()()()()21111111,,,n m m n mn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣{}01E E ηξη==+∣156p ={}12E E ηξη==+∣2536p ={}22E η==3136p ={}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣42E η=。
上海市上师大附中2014届高三5月模拟考试数学试题 Word版
上海市上师大附中2014届高三5月模拟考试数学试题一、填空题1．设复数,则等于．2．集合集合，则等于．3．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．4．设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，，有，，则．5．设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是．6．已知数列是等差数列, 若, 则该数列前11项的和为．7．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是．8．已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为．9．正方形的边长为2，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点，则三棱锥的体积是．10．设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，则的面积为．11．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则= ．12．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是 _ ．①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.13．已知直线（为参数）与圆（为参数），则上各点到的距离的最小值为 .14．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： .二、选择题15．过点P（1，1）作直线L与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线L有（）A．一条 B．两条 C．三条 D．四条16．“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件17．如图所示,已知正方体的棱长为2, 长为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为（）A． B． C． D．18．某饮料厂搞促销，公开承诺，“凡购买本厂的某种饮料的顾客可用3只空罐换一罐饮料。
上海市华东师大一附中2011-2012学年高二上学期期末考试数学试卷
开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是否华东师大一附中2011学年度第一学期高二年级数学学科期末考试试题注意：1．答卷前，你务必在答题纸上指定位置将班级、学号、姓名填写清楚． 2．本试卷共有20道试题，满分100分．考试时间90分钟． 3．细致冷静，诚实守信，数学老师祝你考出好成绩！ 一．填空题（本大题满分11×4=44分）应在空格内直接填写结果． 1.已知向量)1,(),3,2(-=-=m b m a ，且b a //，则=m ．2.用数学归纳法证明)12(312)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅++n n n n n n 时，从k n =推到1+=k n 时，不等式左端应添加的代数式为 ．3.系数矩阵为1221⎛⎫ ⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是 ．4.=++++++++∞→)122124122121(lim nnnnnn ．5.程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为1a ，2a ， n a ， 那么数列{}n a 的通项公式为=n a ．6.在正四面体ABCD 中，点E 为棱AD 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的大小为 ．7.若圆锥的侧面展开图是弧长为2πcm 、半径为2cm 的扇形， 则该圆锥的体积为 3cm .8.在北纬 45东经 30有一座城市A ，在北纬 45东经120有一座 城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的球面距离是 ． 9.已知等比数列的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学计算得220,S =336,S =654=S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 ．10.某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有x 辆国产车和y 辆进口车，国产车的交易价格为每辆m 万元，进口车的交易价格为每辆n 万元．我们把),(y x a =叫交易向量，),(n m b =叫价格向量，则b a ⋅的实际意义是 ．11.设平面上三点C B A ,,不共线，平面上另一点D 满足BD BC BA 243=+，则ABC ∆的面积与四边形ABCD 的面积之比为 ．二．选择题（本大题满分5×3=15分）每题有仅有一个正确答案，应在括号内填写选项． 12.设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件13.右图是某同学为求1006个偶数：2, 4, 6, …, 2012的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ） （A ）1006?,1006x x i =< （B ）2012?,1006x x i =≤ （C ）1006?,1006x x i => （D ）2012?,1006x x i =≥14.下列四个命题中真命题是（ ） （A ）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（B ）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； （C ）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱； （D ）过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.已知等差数列}{n a ，)(14*N n n a n ∈-=，将其中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列}{n b ，则2010b 的值为（ ）（A ）15011 （B ）15067 （C ）15071 （D ）1513116.一位同学对三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （其中实系数)3,2,1(,,=i c b a i i i 不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当0=D ，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解； 结论2：当0=D ，且z y x D D D ,,都不为零时，方程组有无穷多解； 结论3：当0=D ，且0===z y x D D D 时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x ； （3）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x（A ）（1）（2）（3） （B ）（1）（3）（2） （C ）（2）（1）（3） （D ）（3）（2）（1）三．解答题（本大题满分41分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.(本题满分4+5=9分)平面上三个非零向量a 、b 、c 的模均为1，它们之间的夹角均为120.（1）求证：)(c b a-⊥；（2）若1||>++c b a k，求实数k 的取值范围．18.(本题满分9分)已知命题P ：0)12(lim =-∞→nn c （其中c 为常数），命题Q ：把三阶行列式xcx 4146325--中第一行、第二列元素的代数余子式记为)(x f ，且函数)(x f 在区间]41,41[-上单调递增．若命题P 是真命题，命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围．19.(本题满分5+5=10分)如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F 、分别为11A D 和1C C 的中点．（1）求证：EF ∥平面1A C D ；（2）求二面角1D AC B --大小的余弦值．20.(本题满分3+5+5=13分)设数列{}n a 的通项公式为)0,(>∈+=*p N n q pn a n . 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若31,21==q p ，求3b ；（2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前m 2项和m S 2；（3）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.答案1.1或22.)12(2+k3.2323x y x y +=⎧⎨+=⎩4.25.132-⋅n （2010,*≤∈n N n ）6.63arccos7.3π8.R 3π9.363=S10.该批轿车的交易总金额 11.7:2 12.C 13.C 14.B 15.C 16.B 17.（1）证： c a b a c b a ⋅-⋅=-⋅)(120cos 11120cos 11⨯⨯-⨯⨯= 0= )(c b a -⊥∴（2）解：将1||>++c b a k平方得1)21(2)21(2)21(2112>-+-+-+++k k k即022>-k k 0<⇒k 或2>k 故实数k 的取值范围为0<k 或2>k 。
师大附中高三期中考试数学试卷及答案
江苏省南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三期中考试数学试卷命题人：江卫兵审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲；5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为▲；6．若函数的定义域为，则的取值范围是▲；7．设复数，则▲；8．已知变量、满足条件则的最大值是▲；9．函数在（0，）内的单调增区间为▲；10．若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲；11．已知等比数列中，，则该数列的通项= ▲；12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是▲；13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则▲；14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为▲= ▲；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级学号＿＿＿＿＿＿姓名得分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．BAC DE17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为. 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．１２３４５６７８９10…………20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；{4，5}2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；负3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲ ； 12 5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的 值为 ▲ ；6．若函数的定义域为，则的取值范围是 ▲ ；7．设复数，则▲ ； 18．已知变量、满足条件则的最大值是▲ ； 6 9．函数在（0，）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是 ▲ ；13．若为的各位数字之和，如，， 则；记，，…，，，则▲ ； 1114．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为 15 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.解：(1)由sin=又0<<∴cos=,tan=∴=（2）tan(16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）因为，，所以．所以．（Ⅱ）在中，，由正弦定理BACDE．故．17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．解：（1）因为，所以；由，即，（2）由（1）得由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），∴与的函数关系式为（2）由得，（舍）当时；时，∴函数在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．解：（1）∵三角形数表中前行共有个，即第行的最后一个数是 ∴=（2）由题意，先求使得是不等式的最小正整数解． 由，得∵，∴，∴１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………（另解：∵∴）于是，第63行的第一个数是，故（3）前行的所有自然数的和为则，所以，当时，，当时，也适合，20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（0,+）恒成立，，则的取值范围是.（II）设当，即时，函数在[1,2]上为增函数，当时，；当时，.综上所述：（III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则设则 (1)令，则，，所以在上单调递增，故，则，与（1）矛盾！。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
2024届湖南师范大学附属中学高三上学期月考卷(四)数学及答案
湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
生物丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试生物试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试生物试题一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．汉塞巴尔通体（小型细菌，如图）经猫抓、咬后侵入人体而引起的感染性疾病，严重者可能出现脑病、关节病等汉塞巴尔通体在室温中易死亡，但在干粪中，即使是室温，亦能保持传染性数月。
下列说法错误的是（）A．汉塞巴尔通体细胞中只含有核糖体这一种细胞器B．汉塞巴尔通体的遗传物质主要存在于染色体上C．汉塞巴尔通体在室温中易死亡，可能与DNA不太稳定有关D．可通过抑制细胞壁的形成抑制汉塞巴尔通体的繁殖2．脂质具有多种功能，下列关于脂质的叙述错误的是（）A．动、植物细胞膜和细胞器膜中含有磷脂和胆固醇B．某些脂质可能具有储能、保温和缓冲减压作用C．脂质分子可促进生殖器官发育和生殖细胞形成D．胆固醇可参与血液中脂质运输3．母乳的水分充足，营养价值较高，富含蛋白质、脂肪、乳糖、维生素等营养物质，母乳中的抗体有助于婴儿抵御疾病和免于死亡。
下列有关母乳中营养物质的叙述，正确的是（）A．抗体的合成、加工需要核糖体、内质网、高尔基体和线粒体的参与B．母乳中的这些成分均可以出现在内环境中C．即使新生儿的肠道中缺少乳糖酶，也能够正常发育D．母乳中的这些物质都要被分解成更小的分子才能被婴儿吸收4．研究发现，番茄植株中的抗病蛋白（NRC蛋白）即使在无病原体入侵时也维持较高水平，并且NRC蛋白倾向于形成二聚体或四聚体，并且这些多聚体处于非活性构象。
下列关于NRC蛋白的说法错误的是（）A．让NRC蛋白二聚体和四聚体解聚有利于番茄对病原体的抵抗B．NRC蛋白的N原子主要存在于肽键附近中C．高温条件易引发植物病害，可能与NRC蛋白构象改变有关D．番茄体内的NRC蛋白基因过量表达会对自身产生过度伤害5．在偏碱性的土壤中Fe3+通常以不溶于水的Fe（OH）3形式存在，溶解度低，难以被植物吸收。
福建师大附中2011届高三上学期期中考试数学理试题
福建师大附中2010－2011学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果角α的终边过点(1,，则sin α的值等于（ ）A ．21B ．21-C ．23-D ．33-2．设全集U R =，集合{|22}M x x =-≤≤，集合N 为函数ln(1)y x =-的定义域，则()U M C N ⋂等于（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|2}x x ≥-C ．{|21}x x -≤≤D ．{|2}x x ≤3．若c b a 、、是常数,则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知)(x f = 2(5),0;log (),0,f x x x x -≥⎧⎨-<⎩ 则f （ 2011 ） 等于（ ）A ．–1B ．0C ．1D ．25．把函数5sin(2)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移3π个单位，得到图象的解析式为 （ ）A ．5cos y x =B ．5cos y x =-C ．5cos 4y x =D ．5cos 4y x =-6．在ABC ∆中， c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，若cCb B a A cos cos sin ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．若函数y ＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（ ）A ．1，3πB ．1，–3πC ．2，3πD ．2，–3π 8．若函数)0(1)6sin()(>-+=ωπωx x f 的导数)(x f '的最大值为3，则)(x f 的图像的一条对称轴的方程是（ ）A ．9x π= B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=9．函数tan cos y x x = 的部分图象是（ ）10．已知a ∈R ，函数()e exxf x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，若曲线()y f x = 的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（ ）A ．ln 22-B ．ln 2-C ．ln 22D ．ln 211．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称()f x 为“有界泛函”，给出以下函数：()21()f x x =；()2()2xf x =；()23()1xf x x x =++；()4()sin f x x x =．其中是“有界泛函”的个数为 （ ）A B C DA ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若1sin(),,032ππαα⎛⎫+=∈- ⎪⎝⎭，则tan α= ; 14．在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33，则c 的长度为 ;15．由曲线cos y x =与直线0y =所围成的区域在直线0x =和2x π=间的面积为 ; 16．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数()y f x =的图像恰好．．经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数．已知函数：①2sin y x =；②2y x =；③1xy e =-；④cos()6y x π=+．其中为一阶格点函数的序号为 ．三、解答题：本大题共6题，共70分17．（本小题10分）在ABC ∆中， c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，已知a b 、是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．求C ∠的度数和c 的长度．18．（本小题12分）设函数2()2cos cos f x x x x =+⋅， （I ）求)(x f 的最小正周期以及单调增区间； （II ）当5[,]1212x ππ∈-时，求)(x f 的值域；（Ⅲ）若66,35)(ππ<<-=x x f ，求sin 2x 的值．19．（本小题12分）已知函数32()3f x x ax x =-+．（I ）若)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（II ）若3x =是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．20．（本小题12分）如图，一只船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进4km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围5.3km 范围内有暗礁，现该船继续东行．（I ）若0602==βα，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B 处向东航行多少距离会有触礁危险？ （II ）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？21．（本小题12分）设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式； （II ）设23()()(3)3,2G t g t a t at a R =---∈，讨论()G t 在区间(11)-，内的单调性．22．（本小题12分）已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数）是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数．（I ）求a 的值；（II ）若2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数．参考答案1-6 CCADBD 7-12 CACDBC13． 14 15．4 16．①③ 17．解：依题意得，1cos cos()2C A B =-+=- ∵ 0180oC <<，∴120oC =．∵a b 、是方程220x -+=的两个根∴2a b ab ==+，由余弦定理得222222cos 12210c a b ab C a b ab =-=+=-=++∴c =18．解：（1）1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f∴)(x f 的最小正周期为π． 由222262k x k πππππ-+≤+≤+得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈)(x f 的单调增区间为 [,],36k k k Z ππππ-+∈（2）∵5[,]1212x ππ∈-∴22[,]633x πππ+∈-，∴sin(2)[6x π+∈-∴()[11]f x ∈-，∴)(x f 的值域为[11]-． （3）351)62sin(2=++πx ∴31)62sin(=+πx∵322)62cos(,0)62cos(,2626,66=+>+∴<+<-<<-πππππππx x x x62236sin )62cos(6cos )62sin()662sin(2sin -=+-+=-+=ππππππx x x x19．解：（Ⅰ） 2'()323f x x ax =-+，要)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，则有 23230x ax -+≥在∈x [1，＋∞)内恒成立， 即3322x a x ≤+在∈x [1，＋∞)内恒成立又33322x x+≥（当且仅当x =1时取等号），所以3a ≤ （Ⅱ）由题意知2'()3230f x x ax =-+=的一个根为3x =，可得5a =，所以2'()31030f x x x =-+=的根为3=x 或 13x =（舍去）， 又(1)1f =-，(3)9f =-，(5)15f =，∴ f （x ）在1[∈x ，5]上的最小值是(3)9f =-，最大值是(5)15f =．20．解：（Ⅰ）作AB MC ⊥，垂足为C ，由已知060=α，030=β，所以0120=∠ABM ，030=∠AMB所以4==AB BM ，060=∠MBC ，所以5.33260sin 0<=⋅=BM MC ，所以该船有触礁的危险．设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险， 则5.3=MD ，在△MBC 中，4=BM ，2=BC ，32=MC ，5.0)32(5.322=-=CD ，所以，5.1=BD （km ）．所以，该船自B 向东航行5.1km 会有触礁危险．（Ⅱ）设x CM =，在△MAB 中，由正弦定理得，MABBMAMB AB ∠=∠sin sin ，即αβαcos )sin(4BM =-，)sin(cos 4βαα-=BM ，） 而)sin(cos cos 4cos sin βαβαβ-=⋅=∠⋅=BM MBC BM x ，所以，当5.3>x ，即27)sin(cos cos 4>-βαβα，即87)sin(cos cos >-βαβα时，该船没有触礁危险．21．解：（I ）232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+ 222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）323233()433(3)34(3)3(1)322G t t t a t at t a t a t =-+---=---++ '2()123(3)3(1)3(1)[4(1)]G t t a t a t t a =---+=+-+令'()0G t =，得11t =-（舍去），214a t +=当114a +≤-，即5a ≤-时，'()0G t >，()G t 在区间(11)-，内单调递增 当114a +≥，即3a ≥时，'()0G t <，()G t 在区间(11)-，内单调递减 当1114a +-<<，即53a -<<时，当114a x +-<<时'()0G t <，当114a x +<<时'()0G t >，即()G t 在区间1(1,)4a +-单调递减，在区间1(,1)4a +单调递增综上，当5a ≤-时， ()G t 在区间(11)-，内单调递增； 当3a ≥时， ()G t 在区间(11)-，内单调递减；当53a -<<时， ()G t 在区间1(1,)4a +-单调递减，在区间1(,1)4a +单调递增． 22．解：（Ⅰ）)ln()(a e x f x+=是奇函数，则)ln()ln(a e a e x x+-=+-恒成立．∴()() 1.xx ea e a -++=即211,xx aeae a -+++=∴()0,0.xxa e e a a -++=∴=（II ）由（I ）知(),f x x =∴()sin g x x x λ=+∴'()cos g x x λ=+又)(x g 在[－1，1]上单调递减， ∴max ()(1)sin1,g x g λ=-=--且'()cos 0g x x λ=+≤对x ∈[－1，1]恒成立， 即cos x λ≤-对x ∈[－1，1]恒成立， ∴1λ≤-∵2()1g x t t λ≤++ 在[1,1]x ∈-上恒成立 ∴2sin11,t t λλ--≤++即2(1)sin110t t λ++++≥对1λ≤-恒成立令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t∴21sin10t t t ≤-⎧⎨-+≥⎩ ，2sin10,t t -+≥而恒成立1-≤∴t ．（Ⅲ）由（I ）知,2ln ,)(2m ex x xxx x f +-=∴=方程为令m ex x x f x xx f +-==2)(,ln )(221， 21ln 1)(x xx f -=' ，当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数；),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，当e x =时，.1)()(1max 1ee f x f == 而222)()(e m e x x f -+-=， )(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当e e m e e m 1,122+>>-即时，方程无解． ②当e e m e e m 1,122+==-即时，方程有一个根．③当ee m e e m 1,122+<<-即时，方程有两个根．。
上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
上师大附中高二期中数学试卷2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.直线过点，法向量为，则的一般式方程为______.2.顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______.3.已知直线：，：，若，则实数______.4.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.5.经过点且与圆相切的直线方程为______.6.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则抛物线的焦点到准线的距离为______cm.图1图27.已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点的坐标为，且为钝角，则的取值范围为______.8.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______.9.过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB 的中点，且OP 的斜率为，则椭圆的标准方程为______.10.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为______.11.已知是抛物线：的焦点，双曲线：（，）的渐近线与抛物线交于抛物线、两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为______.l (1,2)(1,2)n = l x (2,4)M --1l 10x ay +-=2l 10ax y +-=12//l l a =l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭(5,4)-2225x y +=221167x y +=1F 2F P (),P P x y 12F PF ∠P x A 22(2)9x y ++=B 22(2)1x y -+=C A B C C 22221(0)x y a b a b+=>>F l 20x y --=C A B P 12-C 1F 2F C 22221(0)x y a b a b+=>>1F C P Q 121::6:3:2PF PF FQ =C F C 22(0)y px p =>E 22221x y a b -=0a >0b >C A B 120AFB ︒∠=12.已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为______.二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.方程表示椭圆的充要条件是（ ）A. B. C. D.或14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.4 B.6 C.8 D.1015.所表示的曲线为（ ）A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线16.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廊为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）图1图2三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知三边所在直线方程为AB ：，BC ：，CA ：.（1）求AC 边上的高所在的直线方程；（2）求直线AB 与直线CA 的夹角.18.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，为线段PQ 的中点.（1）求椭圆的方程；22114425x y -=1F 2F P M 1F P 12F F 2F P 22PM PF PF ⋅ 2214x y m+=0m >0m <4m >04m <<4m >22143x y +=1F 2F P 12PF F △3+-O O AB BC ==CD ABC △34120x y ++=43160x y -+=220x y +-=C 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12A C 12AF =1260F AF ︒∠=2F l C P Q N C（2）已知点，且，求线段MN 所在的直线方程.19.如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km ，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN 段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km ，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km ，线路NP 段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求道路的曲线方程；（2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标）20.已知圆：和圆：.（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求实数的值；（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，求所有满足条件的点的坐标.21.已知双曲线：（，）的渐近线方程为，、分别为双曲线的顶点，且.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线交于、两点，且，求的值；（3）设动点，其中，直线AM 、BM 与双曲线分别交于、两点，求证：直线CD 过定点.10,8M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN PQ ⊥A B O C O M N P --A B M O O x M N P --M N P --Q Q C Q Q 1C 226260x y x y ++-+=2C 222810410(0)x y x y r r +--+-=>1C 2C r l 1y kx =+1C P Q 4OP OQ ⋅= k 2r =P P 1l 2l 1C 2C 1l 1C 2l 2C P E 22221x y a b-=0a >0b >20x y ±=A B E 4AB =E 1y kx =-E P Q POQ S =△2k (1,)M m m ∈R E C D参考答案一.填空题1. 2. 3. 4.5.或6.7.8.9.12.二.选择题13.D14.B 15.A 16.B 三.解答题17.（1）；（2）18.（1）；（2）或19.（1）（，），；（2），20.（1；（23）或21.（1）；（2）或；（3）250x y +-=28y x =-1-(,(1,)-∞+∞ 5x =9402050x y --=278⎛ ⎝221(1)3y x x -=>22184x y +={}1240x y -+=1arctan 222143x y +=16810x y +-=162430x y +-=22144x y -=2x ≤≤06y ≤≤224(0)x y y +=≤53,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭min CQ =22r -<<+51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭2214x y -=116514(4,0)。
上海师大附中等六校2011届高三联考数学(文)
上海市六校 2011 届 高 三 联 考数学试题（文科）满分150分 时间14：00-16：00一、填空题（本题共14小题，每小题4分，共56分） 1．函数x x f lg 1)(-= 的定义域为_____________2．过(1,2)P ,以(3,4)n =为法向量的点法向式直线方程为_____________ 3．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于_____________ 4．设集合{}{}0| 12|<-=<<-=a x x B x x A ，，若B A ≠⊂,则a 的取值范围为_____ 5．若函数)0(sin2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan)(xx g =的最小正周期相 等，则正实数ω的值为_____________6．现有2010年上海世博会各展览馆卡片5张,卡片正面分别是中国馆、台湾馆、沙特馆、日本馆、韩国馆，每张卡片大小、质地和背面图案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次性随机抽出两张，则抽到台湾馆的概率是_____________ 7．设 ，++++=) 3+(2 443322104x a x a x a x a a x 则2312420)+(－)++(a a a a a 的值为_______8．已知0y >x ,且0y －9－y =x x ,则y +x 的最小值为_____________9．已知|a |＝|b |＝2, a 与b 的夹角为3π，则a +b 在a 上的投影为_____________10．在锐角△ABC 中, 角B 所对的边长01b =,△ABC 的面积为01,外接圆半径31R =,则△ABC 的周长为__ __11．若y x ,满足 .0,0,93,82⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 则y x z 2 +=的最大值为 _____________12．如下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_____________13．等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，20111-=a ，22010201220102012=-S S ，则2011S 的值为_____________ 14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当圆”中，面积的最小值为____________ 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15．“Z k k ∈+=,2βπα”是“βαsin sin =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A ．2)(x x f = B．xx x f ||)(=C ．xx xx e e e e x f --+-=)( D ．x x f =)(17．已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的（ ）A ．)212(-=x f y B ．)12(-=x f yC ．)12(-=f y D ．)212(-=f y 18．数列}{n a 满足11=a ，14121=+⋅+nn a a （*∈N n ），记22221n n a a a S +++= ， 若3012m S S n n ≤-+对*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 （ ） A ．10 B ． 9 C ． 8 D ． 7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
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上海师大附中2009—2010学年度高三第一学期期中考试数 学 试 题一、填空题（每小题4分，共56分） 1．已知1sin 3θ=-且3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ可表示成 ． 2．若()sin 01tan 0cos 0sin 01xf x x x -=，则()1f -的值为 ． 3．（文）集合{},,12R x x y y M ∈-==集合{}24N x y x ==-，则N M 等于 ． （理）若{},20,sin cos π≤≤<=x x x x E {}x x x F sin tan <=，那么=F E ．4．若点（1，2）既在函数2ax b y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式 ． ５．（文）不等式22+>+x xx x 的解集是 ． （理）关于x 的不等式22log log x x x x +<+的解集是 ． 6．（文）已知()1a xf x x a -=--图像的对称中心是（3，－1），则实数a 等于 ．（理）设函数),2(21)(+∞-++=在区间x ax x f 上是增函数，那么a 的取值范围是 ．7．已知()2tan 5αβ-=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ． 8．（文）不等式11<-x ax的解集为{或,1<x x }2>x ，则a 的值是 ． （理）不等式b ax x +≤-1的解集为{或,1=x x }2≥x ，则a b ⋅的值是 ．9．设()s i n ()c o s ()f x a x b x παπβ=++++，其中,,,a b αβ均为非零实数，若(2009)6f =，则(2010)f 的值是 ．10．若关于x 的方程0)1(2)21(2=+-++m x i x 有实根，则纯．虚数m ＝ ．[来源:学.科.网]11．已知函数()l g (4)(R )af x xa x=+-∈的值域为R ，则实数a 的取值范围是 .12．在高校自主招生中，某班级50人报考交大和复旦两所大学，已知每人至少报考其中一所学校。
估计报考交大的人数占全班80%到90%之间，报考复旦的人数占全班32%到40%之间，设M 是两所大学都报的人数的最大值，m 是两所大学都报的人数的最小值，则-M m= ．13．下列命题中假．命题的个数为 ． ①sin cos y x x =的周期为π，最大值为12； ②若x 是第一象限的角，则sin y x =是增函数； ③在ABC ∆中，若sin sin A B =，则A B =； ④()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数； ⑤.0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且βαsin cos <，则，2πβα>+； ⑥cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴为8x π=-14．已知函数)()(R x q px x x x f ∈++=，给出下列四个命题：①)(x f 为奇函数的充要条件是q =0；②)(x f 的图象关于点（0，q ）对称；③当p=0时，方程)(x f =0的解集一定非空；④方程)(x f =0的解的个数一定不超过两个。
其中所有正确命题的序号是 ． 二、选择题（每小题4分，共16分）15．给出以下四个命题：①若0232=+-x x ，则21==x x 或；②若0)3)(2(,32≤--<≤-x x x 则；③若0==y x ，则022=+y x ；④若x 、y *∈N ，y x +是奇数，则x 、y 中一个是奇数，一个是偶数.则（ ）A ．①的逆命题真B ．②的否命题真C ．③的逆否命题假D ．④的逆命题假16、已知函数1279,4322+--=-+=x x x y x x y 的值域分别是集合P 、Q ，则（ ）A ．B ．P=QC ．D ．以上答案都不对17、()3cot sin ,0,,2y x x x πππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的图象是 （ ）18、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表： 表1 市场供给量单价（元/kg ） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量（1000kg ） 506070758090表2 市场需求量单价（元/kg ） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量（1000kg ）506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间 （ ） A ．（2.3，2.6）内 B ．（2.4，2.6）内 C ．（2.6，2.8）内 D ．（2.8，2.9）内三、解答题19．（本题14分）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.[来源:学科网][来源:学*科*网Z*X*X*K]20．（本题14分）设函数)0(1)(≠+=x xx x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g . （1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.21．（本题16分）设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ⋅=+-； ②(2)0f =； ③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)21()1(f f 及的值；（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.22．（本题16分）已知函数x x x f sin 1sin 1)(-++= （1）求函数的定义域和值域，并作函数在[],ππ-内的图象 （2）（文）求函数的最小正周期（理）证明函数)(x f 是周期函数，并求函数的最小正周期（1）写出函数的单调增区间和单调减区间；（3）函数的单调增区间是：函数的单调减区间是：[来源:学_科_网] [来源:学科网]23．（本题18分）已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且 （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(|<x f 的解集为a x x 求},2121|{<<-的值； （3）（文）设)(x f 的反函数为)(1x f-，若关于x 的不等式∈<-m m x f ()(1R ）有解，求m 的取值范围.（理）设)(x f 的反函数为)(1x f-，若31)1(1=-f ，解关于x 的不等式∈<-m m x f()(1R ）.[来源:学科网ZXXK]参考答案一、填空题 1．1arcsin 3π+ ； 2．1-；3．（文）[]1,2-、（理）⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2； 4．22x y -+=；5．（文）(-2,0)、（理）（0，1）； 6．（文）2、（理）21>a ； 7．1318；8．（文）21、（理）-1； 9．8；10、i i 2-或；11、4]∞（-，；12、9；13、1；14、（1）（2）（3） 二、选择题15、A ；16、C ；17、Ｃ；18、C 三、解答题19．i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x .[来源:学科网ZXXK]20．（1）设),(v u p 是x x y 1+=上任意一点，uu v 1+=∴ ① 设P 关于A （2，1）对称的点为⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+∴y v xu y v x u y x Q 2424),,( 代入①得4124142-+-=⇒-+-=-x x y x x y ));,4()4,((412)(+∞⋃-∞∈-+-=∴x x x x g（2）联立,094)6(4122=+++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-==b x b x x x y b y004)94(4)6(22=⇒=-=+⨯-+=∆∴b b b b b 或,4=b（1）当0=b 时得交点（3，0）； （2）当4=b 时得交点（5，4）.（数形结合或利用基本不等式求解相应给分） 21．（1）取a=b=1，则(1)2(1) 1.(1)1f f f =-=故 又11(1)(2)(2)()122f f f f =⋅=+-. 且(2)0f =.得：1()(1)(2)11122f f f =-+=+=（2）设,021x x <<则：222111111()()()()[()()1]x x f x f x f x f x f f x x x -=⋅-=+-1()f x -21()1x f x =- 依1,01221><<x x x x 可得再依据当1>x 时，总有()1f x <成立，可得21()1x f x < 即0)()(12<-x f x f 成立，故),0()(+∞在x f 上是减函数。
22．⑴．定义域R ，值域2,2⎤⎦，偶函数，（2）周期π，（3）增区间 ,2k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，减区间,.2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（图略） 23．（1）)(,0101x f x x ∴⎩⎨⎧>->+ 定义域为)();1,1(x f x -∈为奇函数；xxx f -+=11log )(2， ①当1>a 时，在定义域内为增函数；[来源:学+科+网] ②当10<<a 时，在定义域内为减函数；（2）①当1>a 时，∵)(x f 在定义域内为增函数且为奇函数，3,23log ,1)21(=∴==⇔∴a f a 得命题；②当)(,10x f a 时<<在定义域内为减函数且为奇函数，33,231log ,1)21(=∴==-⇔∴a f a 得命题； （3）（文）1()f x -的值域为()11，-，关于x 的不等式∈<-m m x f ()(1R ）有解的充要条件是1->m （理）)1(11111log +=-⇒-+=⇒-+=y y y aa x a xxa x x y 111,()(11y x y x a a x f x x a a ---⇒=∴=∈++R ）；1111(1),2,331a f a a --=∴=⇒=+121()21x x f x m --∴=<+，m m x +<-⇒1)1(2；①当1≥m 时，不等式解集为∈x R ；[来源:学科网ZXXK]②当11<<-m 时，得m m x-+<112，不等式的解集为}11log |{2mmx x -+<； ③当1,m x ≤-∈∅[来源:]。