人教A版高中数学必修一练习：章末质量评估1(1)-新整理

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新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册课后练习及章末检测含解析

选择性必修第一册全册课后练习及章末测验第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1第1课时空间向量与平行关系........................................................................... - 34 -1.4.1第2课时空间向量与垂直关系........................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离夹角问题................................................................................... - 50 -第一章章末测验............................................................................................................ - 63 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 82 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 86 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 91 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 96 -2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式............................................. - 101 -2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离..................................... - 106 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 112 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 116 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 121 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 127 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 143 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 143 -3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质......................................................................... - 148 -3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用......................................................... - 154 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 162 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 168 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 176 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 182 -第三章章末测验.......................................................................................................... - 189 -第一章空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→， AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. (2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.]14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →， ∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z －(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b|a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．cos 〈a ，b 〉＝－25 B ．a ⊥b C ．a ∥bD ．|a |＝|b |AD [∵向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)， ∴|a |＝5，|b |＝5，a ·b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－25＝－25.由上知A 正确，B 不正确，D 正确．C 显然也不正确．]12．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．D ．22C [建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝BM →·AN →|BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.] 13．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.(－64，－26，－17) [∵a ，b ，c 两两垂直． ∴a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2y －12＝0x －4－4z ＝0－1－2y ＋3z ＝0，解得：x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 故(x ，y ，z )＝(－64，－26，－17)．]14．(一题两空)已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当|P A →|＝|PB →|时，点P 的坐标为________；当AP →·BP →＝0取最小值时，点P 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0 [因为P 在x 轴上，设P (x,0,0)，由|P A →|＝|PB →|，则( x －1)2＋4＋0＝x 2＋1＋1解得x ＝32.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，又AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)．。

高中数学(人教A版)必修一模块质量评估 Word版含解析

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模块质量评估
(第一至第三章)
(分钟分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
.(·聊城高一检测)设集合{<}{>},则∩( )
.∅.{<<}
.{<<} .{<<}
【解析】选.集合{>},所以∩{<<}.
.(·定州高一检测)已知函数()
则( )
【解析】选().
【补偿训练】(·陕西高考)设()则(()) ( )
...
【解题指南】直接利用分段函数,由里及外逐步求解即可.
【解析】选()
则(())().
.函数的图象大致是( )
【解析】选.函数定义域为≠,因为()(),所以函数为奇函数,当
→∞时函数值为正数,所以正确.
.若奇函数()在[]上为增函数,且有最小值,则它在[]上( )
.是减函数,有最小值.是增函数,有最小值
.是减函数,有最大值.是增函数,有最大值
【解题指南】利用奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,然后借助函数图象即可找出正确答案.
【解析】选.奇函数在其对称区间上有相同的单调性,故也是增函数且有最大值.
.(·佳木斯高一检测)对于幂函数(),若<<,则。

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单元质量评估(一)(第一章)(90分钟120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2015·北京高考)设集合A={x|-5<x<2}，B={x|-3<x<3}，则A∩B= ( )A.{x|-3<x<2}B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}【解析】选A.如图，得A∩B={x|-3<x<2}.【补偿训练】(2016·唐山高一检测)集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则(A∩B)∪C= ( )A.{1，2，3}B.{1，2，4}C.{2，3，4}D.{1，2，3，4}【解析】选D.A∩B={1，2}，(A∩B)∪C={1，2，3，4}.2.设a，b∈R，集合{a，1}={0，a+b}，则b-a= ( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选A.由题意得{a =0,a +b =1,所以b-a=1.3.(2016·重庆高一检测)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 ( ) A.y=-1x B.y=|x+1|-1C.y=x|x|D.y=x 2【解析】选C.A 函数为奇函数；B.非奇非偶函数；C.y=x|x|={x 2,x ≥0,−x 2,x <0,根据函数的性质易知其满足条件；D.显然函数为偶函数.4.(2014·浙江高考)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3，则 ( )A.c ≤3B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c>9【解题指南】根据题意先由等式关系求a ，b 的值，然后再由不等关系求c 的范围.【解析】选C.由f(-1)=f(-2)=f(-3)得，{−1+a −b +c =−8+4a −2b +c,−1+a −b +c =−27+9a −3b +c,解得{a =6,b =11,所以f(x)=x 3+6x 2+11x+c ，由0<f(-1)≤3，得0<-1+6-11+c ≤3，解得6<c ≤9.5.(2016·浏阳高一检测)设M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f(x)的定义域为M ，值域为N ，则f(x)的图象可以是图中的 ( )【解析】选B.对A ，函数定义域不是M ；对C ，此图象不是函数图象；对D ，函数值域不是N ；只有B 选项符合要求.6.(2016·天水高一检测)偶函数y=f(x)在区间[0，4]上单调递减，则有 ( ) A.f(-1)>f (π3)>f(-π)B.f (π3)>f(-1)>f(-π)C.f(-π)>f(-1)>f (π3)D.f(-1)>f(-π)>f (π3)【解析】选A.因为f(x)是偶函数，则f(-1)=f(1)，f(-π)=f(π)，又y=f(x)在区间[0，4]上单调递减，所以f(1)>f (π3)>f(π)，从而f(-1)>f (π3)>f(-π).7.(2016·德阳高一检测)已知f(x)={x −5,x ≥6,f(x +2),x <6,则f(3)为 ( )A.2B.3C.4D.5 【解析】选A.由函数解析式可得f (3)=f (5)=f (7)=7-5=2.【补偿训练】设函数f(x)={x 2+1,x ≤1,2x,x >1,则f(f(3))= ( )A.15B.3C.23D.139【解析】选D.f(3)=23，f(f(3))=(23)2+1=139.8.已知函数f(x)在[-5，5]上是偶函数，f(x)在[0，5]上是单调函数，且f(-4)<f(-2)，则下列不等式一定成立的是 ( ) A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) 【解析】选D.因为函数f(x)在[-5，5]上是偶函数，所以f(-4)<f(-2)⇔f(4)<f(2). 又f(x)在[0，5]上是单调函数.所以f(x)在[0，5]上递减，从而f(0)>f(1). 9.(2016·德阳高一检测)函数y=2x−1x+1(x>0)的值域为 ( )A.(-1，+∞)B.(-1，2)C.{y|y ≠2}D.{y|y>2} 【解析】选B.因为y=2x−1x+1=2x+2−3x+1=2-3x+1，因为x>0，所以x+1>1，所以3x+1∈(0，3)，所以函数值域为(-1，2).10.(2016·平湖高一检测)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如图所示：则函数y=f(x)g(x)的图象可能是 ( )【解析】选B.当x<0时f(x)>0，g(x)<0，所以y=f(x)g(x)<0，当x>0时f(x)>0，g(x)>0，所以y=f(x)g(x)>0，因此B正确.11.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于x=0对称，则( )A.f(-1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞，2)上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.由图象知，f(-1)<f(3).【拓展延伸】比较函数值大小常用的方法(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上. (2)利用数形结合法比较.(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较. 12.(2016·石家庄高一检测)已知f(x)={(2a −1)x +4a,x <1,−x +1,x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是 ( ) A.[16,12) B.[13,12] C.(16,12] D.[13,12)【解析】选 A.因为函数是定义在R 上的减函数，所以需满足：{2a −1<0,2a −1+4a ≥−1+1⇒16≤a<12.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)=√x −1.若f(a)=3，则实数a= . 【解析】f(a)=√a −1=3. 则a-1=9，a=10. 答案：1014.(2016·淮安高一检测)集合A={1，2，4，6，7}，B={3，4，5，7}，则A ∩B= .【解析】因为集合A={1，2，4，6，7}，B={3，4，5，7}，所以集合A∩B={4，7}.答案：{4，7}15.若y=f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上为奇函数，且在(0，+∞)上为增函数，f(-2)=0，则不等式x·f(x)<0的解集为.【解题指南】根据题目中的条件画出函数的大致图象，然后结合图象求解不等式.【解析】根据题意画出f(x)大致图象：由图象可知-2<x<0或0<x<2时，x·f(x)<0.答案：(-2，0)∪(0，2)16.(2016·石家庄高一检测)函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是.【解析】根据偶函数定义f(x)=f(−x)，可得函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数时，k=1，即函数为f(x)=-x2+3，故f(x)的递减区间是[0,+∞)(或(0，+∞)).答案：[0,+∞)(或(0，+∞))三、解答题(本大题共4个小题，共40分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·临沂高一检测)已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}.若A∩B=[1，3]，求实数m的值.【解析】A={x|-1≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤m+2}.因为A∩B=[1，3]，所以{m−2=1,m+2≥3,得m=3.18.(10分)(2016·德阳高一检测)李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.方案二：不收管理费，每度0.58元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系.(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【解题指南】(1)分0≤x≤30，x>30两个阶段，根据各档的单价列式即可得解.(2)把自变量L(x)=35代入函数表达式，进行计算即可得x值，求得用电量.(3)分别求得两方案下的函数解析式，通过解不等式求得用电量的取值范围. 【解析】(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x.当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1.所以L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30(注：x也可不取0)(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35得x=66，舍去. 当x>30时，由L(x)=0.6x-1=35得x=60，所以李刚家该月用电60度.(3)设按方案二收费为F(x)元，则F(x)=0.58x. 当0≤x ≤30时，由L(x)<F(x)，得2+0.5x<0.58x ，所以x>25，所以25<x ≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得，0.6x-1<0.58x ，所以x<50，所以30<x<50.综上，25<x<50，故李刚家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好.19.(10分)(2016·长沙高一检测)设定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0，求实数m 的取值范围. 【解析】由f(m)+f(m-1)>0，得f(m)>-f(m-1)，即f(1-m)<f(m).又因为f(x)在[0，2]上单调递减且f(x)在[-2，2]上为奇函数，所以f(x)在[-2，2]上为减函数.所以1-m>m ，又-2≤m-1≤2，-2≤m ≤2，所以解得-1≤m<12.故m 的取值范围是[−1,12).【误区警示】在利用函数的单调性与奇偶性脱掉符号“f ”时，容易忽略函数的定义域，只得出式子1-m>m ，即m 的取值范围为-2≤m<12的错误.【补偿训练】(2016·南昌高一检测)判断函数f(x)=x 2−2x+5x−1在(3，+∞)上的单调性并证明你的结论.【解析】函数f(x)在(3，+∞)上为单调递增函数. 任取3<x 1<x 2，f(x 1)-f(x 2)=(x 1-x 2)(1−4(x 1−1)(x 2−1))所以3<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0， (x 1-1)(x 2-1)>(3-1)(3-1)=4，所以1-4(x 1−1)(x 2−1)>0，所以f(x 1)-f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 所以函数f(x)在(3，+∞)上为单调递增函数.【拓展延伸】定义法证明函数单调性时常用的变形技巧(1)因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常使用因式分解法. (2)通分：当原函数是分式函数时，作差后的变形通常是先通分，然后再对分子使用因式分解法.(3)配方：当原函数是二次函数时，作差后的变形可考虑使用配方法，此时比较容易判断符号.20.(10分)(2016·日照高一检测)定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x ，y ∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f (x+y 1+xy).(1)求证：函数f(x)是奇函数.(2)若当x ∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数. 【解析】(1)证明：函数f(x)定义域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f (x+y 1+xy)，令x=y=0，得f(0)+f(0)=f (0+01+0)，所以f(0)=0.令y=-x ，得f(x)+f(-x)=f (x−x1−x 2)=f(0)=0，所以f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f (x 1−x 21−x 1x 2) =f (−x 2−x 11−x 1x 2)，因为0<x 1<x 2<1，所以x 2-x 1>0，1-x 1x 2>0.所以x 2−x 11−x 1x 2>0.又(x 2-x 1)-(1-x 1x 2)=(x 2-1)(x 1+1)<0，所以0<x 2-x 1<1-x 1x 2.所以-1<-x 2−x 11−x 1x 2<0，由题意，知f (−x 2−x 11−x 1x 2)>0，所以f(x 1)>f(x 2).所以f(x)在(0，1)上为减函数.又f(x)为奇函数，所以f(x)在(-1，1)上也是减函数.【补偿训练】(2016·邢台高一检测)已知函数f(x)={−x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+mx,x <0是奇函数.(1)求实数m 的值.(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【解析】(1)设x<0，则-x>0，所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x.又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，于是x<0时，f(x)=x 2+2x=x 2+mx ，所以m=2.(2)要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知{a −2>−1,a −2≤1,所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].关闭Word 文档返回原板块。

人教A版高中数学必修一新课标章末质量检测训练教师专用含答案

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝2x －1 B ．f (x )＝ln x ＋2x －6C ．f (x )＝x 2－4x ＋4 D ．f (x )＝3x －1解析：选项A 、B 、D 中函数都是单调函数，故能用二分法求零点，选项C 中函数具有二重零根，故不能用二分法求零点，故选C.答案： C2．函数f (x )＝e x －1x的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，2 解析： f ⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，f (1)＝e －1>0，∵f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)<0， ∴f (x )的零点在区间⎝⎛⎭⎫12，1内，故选B. 答案： B3．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．[－2,6] C ．{－2,6} D ．(－∞－2)∪(6，＋∞)解析：若函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则方程x 2＋mx ＋(m ＋3)＝0有两个不相等的实数根，从而应有Δ＝m 2－4(m ＋3)>0. 故m <－2或m >6.故选D. 答案： D4．下列函数增长速度最快的是( )A ．y ＝1100e x B ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x解析：通过三类函数增长的情况比较知：指数函数当底数大于1时，增长速度最快，∵e>2，∴y ＝1100e x 的增长速度最快，故选A.答案： A5．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点．故选C. 答案： C6．方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：y＝2x与y＝x2的交点个数即为方程2x－x2＝0的解的个数．如图所示x＝2时，22＝4x＝4时，24＝42x<0时，y＝2x与y＝x2有一个交点，共3个交点．答案： C7．某林区的森林面积每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：由题意得(1＋10.4%)y＝x，∴y＝log1.104x(y≥0)．答案： D8．当x∈(4，＋∞)时，f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的大小关系是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：在同一坐标系中，画出三个函数的图象，如下图所示．当x＝2时，f(x)＝g(x)＝4，当x＝4时，f(x)＝g(x)＝16，当x>4时，g(x)图象在最上方，h(x)图象在最下方，故g(x)>f(x)>h(x)．故选B.答案： B9．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；…；当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠()A．17 000元B．17 540元C．17 500元D．17 580元解析：这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20＝14 000(元)，只有这位顾客继续把奖励券消费掉，才能得到最多优惠，但当他把14 000元奖励券消费掉可得140×20＝2 800元奖励券再消费又可得到28×20＝560(元)奖励券，560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20＝120元，120元奖励券消费时又得20元奖励券．∴他总共会得到14 000＋2 800＋560＋120＋20＝17 500(元)优惠．答案： C10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元保管费，这个个体户若要获得最大收益，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末一样D ．由成本费的大小确定解析：设这批货成本为a 元，月初售出可收益(a ＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益a ＋1 200－50＝a ＋1 150(元)．令(a ＋1 000)×1.024－a －1 150 ＝0.024a －126.当a >1260.024＝5 250时，月初售出好；当a <5 250时，月末售出好；当a ＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若关于x 的方程x 2－x －(m ＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m 的取值范围是________．解析：方程可化为m ＝x 2－x －1，x ∈[－1,1]，即要求f (x )＝x 2－x －1，x ∈[－1,1]的值域．∵f (x )∈⎣⎡⎦⎤－54，1， ∴m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1时方程必有解．答案： ⎣⎡⎦⎤－54，1 12．函数f (x )＝(x 2－2)(x 2－3x ＋2)的零点为________．解析：由f (x )＝(x 2－2)(x 2－3x ＋2)＝0得 x ＝±2或x ＝1或x ＝2.∴函数f (x )的零点为－2，1，2，2. 答案：－2，1，2，213．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．解析：由题意知：3 860＋500＋1 000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7 000 ∴x 2＋300x －6 400≥0 ∴x ≥20 答案： 2014．对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．已知实数a ∈(4,5)，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的不动点共有________个．解析：由定义，令x 2＋ax ＋1＝x ，则x 2＋(a －1)x ＋1＝0.当a ∈(4,5)时，Δ＝(a －1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈(4,5))有2个不动点．答案： 2三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (1.5)＝1.53－1.5－1＝0.875>0，∴f (x )在区间(1,1.5)∵区间0.1的零点近似值为1.3.16．(本小题满分12分)有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6.描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N ＋)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(参考数据e 0.05≈1.051)解析： (1)当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4).而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)·(x －4)>0.故函数f (x ＋1)－f (x )单调递减．所以当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(2)由题意可知0.1＋15ln aa －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6≈20.50×6＝123.0，且123.0∈(121,127]．由此可知，该学科是乙学科．17．(本小题满分12分)某地区2000年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表，根据此表所给的信息进行预测：(1)如果不采取任何措施，那么到2015年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷； (2)如果从2005年底后采取植树造林措施，每年改造0.6万公顷的沙漠，那么到哪一年年y ＝kx ＋b 的图象．将x ＝1，y ＝0.2与x ＝2，y ＝0.4代入y ＝kx ＋b ，求得k ＝0.2，b ＝0，所以y ＝0.2x (x ∈N )．因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2015年底沙漠面积大约为95＋0.2×15＝98(万公顷)．(2)设从2001年算起，第x 年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意，得95＋0.2x －0.6(x －5)＝90，解得x ＝20(年)．故到2020年底，该地区沙漠面积将减少到90万公顷．18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2； (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．解析： (1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f min (x )＝f (1)＝12，f max (x )＝f (0)＝18， ∴函数f (x )的值域是[12,18]．。

人教A版新教材高中数学必修第一册第一章章末检测试卷(一)

二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的
得 3 分，有选错的得 0 分)
9．已知 U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则( )
A．M∩N＝{4,6}
B．M∪N＝U
C．(∁UN)∪M＝M 答案 BCD
(2)∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}． ∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}． 15．已知集合 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若 x∈A 是 x∈B 成立的一个充分不必
要条件，则实数 m 的取值范围是________．
答案 {m|m>1}
解析由 x∈A 是 x∈B 成立的一个充分不必要条件，
解 (1)由 x－1>0 得 x>1，即 B＝{x|x>1}．所以 A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|x>－1}． (2)集合 A－B 如图中的阴影部分所示．
由于 A－B＝{x|x∈A，且 x∉B}，又 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，所以 A－B＝{x|－1<x≤1}． 21．(12 分)已知非空集合 P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}． (1)若 a＝3，求(∁RP)∩Q； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．解因为 P 是非空集合，所以 2a＋1≥a＋1，即 a≥0. (1)当 a＝3 时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4 或 x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}． (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即 PQ，

高中数学人教a版必修一章末综合测评(一) 含答案

章末综合测评(一) 集合与函数的概念(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于( )A．{1,4} B．{1,5}C．{2,5} D．{2,4}【解析】由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．【答案】 D2．(2016·临沂高一检测)下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①1∈{0,1,2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；②∅⊆{0,1,2}，空集是任何集合的子集，正确；③{1}∈{0,1,2}，集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；④{0,1,2}＝{2,0,1}，根据集合的无序性可知正确．故选A.【答案】 A3．下列各图形中，是函数的图象的是( )【解析】函数y＝f(x)中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，∴函数y＝f(x)的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.【答案】 D4．集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图1阴影部分表示的集合为( ) 【97030070】图1A．{x|x≥1} B．{x|x≥2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x＜2}【解析】易得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)，则题图中阴影部分表示的集合是∁A B＝[1,2)．故选D.【答案】 D5．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于( )A．2 B．11C．5 D．－1【解析】由f(2x＋1)＝3x＋2，得f(1)＝f(2×0＋1)＝3×0＋2＝2，故选A.【答案】 A6．下列四个函数：①y ＝x ＋1；②y ＝x －1；③y ＝x 2－1；④y ＝1x，其中定义域与值域相同的是( ) A ．①②③B ．①②④C ．②③D ．②③④【解析】 ①y ＝x ＋1，定义域R ，值域R ；②y ＝x －1，定义域R ，值域R ；③y ＝x 2－1，定义域R ，值域(－1，＋∞)；④y ＝1x，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)．∴①②④定义域与值域相同，故选B.【答案】 B7．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，(x ≥0)f (x ＋2)，(x<0)，则f(－3)的值为( ) A ．5B ．－1C ．－7D ．2【解析】依题意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故选D.【答案】 D8．定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f(3)＜f(－2)＜f(1)。

高中数学新教材必修第一册(人教A版)模块质量检测

模块质量检测一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.已知集合4 = "卜<3}, 8=3234},则 ACB=（） A. 0 B. {x!0<v<3] C. {xll<¥<3} D. {A I2<X <3}2 .菌数段）=廿+2¥—3的零点所在的一个区间是（） A. （—2, — 1） B. （—1,0） C （0,1） D. （1,2）3 .函数，=,之三的定义域为（）4人人乙A. (—8, 1]B. [-1J]C. [L2）U （2, 4-oo ）D. T, 一加（一；, 14 .下列函数在（0,1）为减函数的是（）y=lgx B. y=2xy=cosx D.1lx — 15 .现有四个函数：①y=x ・sinx ：②y=x ・cosx ：③y=x ・lcosxl ；④y=x ・2”的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A.①©@③B.①④®®C.④①®@D.③④®®6 .某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价 10%,然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来价格相比（）A.略有降低B.略有提高C.相等D.无法确定7 .下列命题中正确的是（）A. y=cos.r 的图象向右平移，个单位长度得到y=sinx 的图象A. C.B.y=sinx的图象向右平移方个单位长度得到y=cosx的图象C.当0<0时，y=sinx的图象向左平移1研个单位长度可得丫=$皿%+夕）的图象D. y=sin（2t+"的图象是由,，=sin 2x的图象向左平移三个单位长度得到的21+2, xW ],8,若函数四）={ 「1，在（一8,旬上的最大值为4,则〃的取值范围为（）llog2（x—1）, x>\A. [0J7]B. （一8, 17]C. [1,17]D. [1, +8）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。

人教A版数学必修一章末质量评估1

()．
A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有 <0，即x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，
所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，
所以f(2)<f(1)<f(0)，
即f(－2)<f(1)<f(0)．
答案f(－2)<f(1)<f(0)
16．若y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集为________．
C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．R
解析要使函数有意义，需满足
即x≥－1且x≠0.
答案C
6．下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点，
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0.
其中正确命题的个数为()．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝，故②错；既奇又偶的函数除了f(x)＝0，还可以是f(x)＝0，x∈[－1,1]，④错．
解析因为M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，N∩∁IM＝∅，所以由韦恩图可知N⊆M，所以M∪N＝M.
答案M
14．(2013·兰州高一检测)已知定义在R上的偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝－x3＋1，则f(－2)·f(3)的值为________．

人教A版高中数学必修一练习：模块质量评估(1)

模块质量评估本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝{1,3,5,6}，N＝{1,2,4,7,9}，则M∪(∁U N)等于() A．{3,5,8}B．{1,3,5,6,8}C．{1,3,5,8} D．{1,5,6,8}解析：∵∁U N＝{3,5,6,8}，∴M∪(∁U N)＝{1,3,5,6,8}．故选B.答案：B2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩CC．(A∩B)∩∁I C D．(A∩∁I B)∩C解析：阴影部分位于集合A与集合C的内部，且位于集合B的外部，因此可表示为(A∩∁I B)∩C.答案：D3．已知函数f(x)＝7＋a x－1的图象恒过点P，则P点的坐标是()A．(1,8) B．(1,7)C．(0,8) D．(8,0)解析：过定点则与a的取值没有关系，所以令x＝1，此时f(1)＝8.所以P点的坐标是(1,8)．故选A.答案：A4．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2和y＝(x)2B．y＝lg(x2－1)和y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C．y＝log a x2和y＝2log a xD．y＝x和y＝log a a x解析：要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，A、B、C中的定义域不同，故选D.答案：D5．若x ＝1是函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的一个零点，则函数h (x )＝ax 2＋bx 的零点是( )A ．0或－1B ．0或－2C ．0或1D ．0或2解析：因为1是函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的零点，所以a ＋b ＝0，即a ＝－b ≠0.所以h (x )＝－bx (x －1)．令h (x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.故选C.答案：C6．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3a B.32a C ．aD ．a 2解析：lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3⎝⎛⎭⎫lg x 2－lg y 2＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案：A7．设a ＝22.5，b ＝log 122.5，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．c >b >aB ．c >a >bC ．a >c >bD ．b >a >c解析：a ＝22.5>22＝4，b ＝log 122.5<log 121＝0，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1，又c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5＞0，所以a >c >b .故选C.答案：C8．函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－13 解析：要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1.故选B.答案：B9．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是( )解析：只要把原函数化为y ＝⎝⎛⎭⎫1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≥0)，e x (x ＜0)，则正确答案不难得出．答案：B10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1(x ≤0)，x 12 (x ＞0)，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：当x 0≤0时，2－x 0－1＞1，即2－x 0＞2， ∴x 0＜－1. 当x 0＞0时，x 012＞1，即x 0＞1.综上可知，x 0＜－1或x 0＞1，故选D. 答案：D11．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.则当x ∈[1,3]时，f (x )的最小值是( )A ．2 B.14 C ．－2D ．－14解析：当x ＜0时， f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－14，在[－3，－1]内，当x ＝－3时，f (x )有最大值2，∵f (x )为奇函数， ∴其图象关于原点对称． ∴f (x )在[1,3]内存在最小值－2. 答案：C12．对于定义域为R 的函数f (x )，若存在非零实数x 0，使函数f (x )在(－∞，x 0)和(x 0，＋∞)上与x 轴均有交点，则称x 0为函数f (x )的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是( )A ．f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )B ．f (x )＝|x 2－1|C ．f (x )＝2－|x －1|D ．f (x )＝x 3＋2x解析：本题以新定义的形式考查了函数的单调性的知识．由于f (x )＝x 3＋2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点．∴函数f (x )＝x 3＋2x 不存在“界点”．故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x －1}，那么M ∩N 为__________．解析：本题主要考查集合中点集的交集运算．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋1，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴M ∩N ＝{(1,0)}．答案：{(1,0)}14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁RQ ，则f (f (2π))＝____________.解析：本题主要考查分段函数函数值的求解．因为2π∈∁R Q ，所以f (2π)＝0.所以f (f (2π))＝f (0)＝1.答案：115．对于函数f (x )＝ln x 的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.上述结论中正确结论的序号是__________．解析：本题考查对数函数的性质．函数f (x )＝ln x 满足ln(x 1·x 2)＝ln(x 1)＋ln(x 2)；由函数f (x )＝ln x 是增函数，知ln x 1－ln x 2x 1－x 2>0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立．故②③正确．答案：②③16．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是__________．解析：本题主要考查指数函数及二次函数的图象和性质，也考查了一元二次方程根的个数问题等知识的应用．作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示，直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x >0)的图象必有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0上有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0在x >0上有两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0，2m >0，2>0，解得m > 2.故实数m 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |2x －4>0}，B ＝{x |2≤2x <16}，C ＝{0,1,2}． (1)求∁U (A ∩B )；(2)如果集合M ＝(A ∪B )∩C ，写出M 的所有真子集．解：(1)∵A ＝{x |x >2}，B ＝{x |1≤x <4}， A ∩B ＝{x |2<x <4}，∴∁U (A ∩B )＝(－∞，2]∪[4，＋∞)． (2)∵(A ∪B )∩C ＝{x |x ≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}， ∴集合M 的真子集有∅，{1}，{2}． 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 2x ＋1x －1.(1)求f (x )的定义域和值域； (2)判断f (x )的奇偶性并证明．解：(1)由题可得x ＋1x －1>0，解得x <－1，或x >1，所以定义域为()－∞，－1∪(1，＋∞)．设u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， u ∈(0,1)∪(1，＋∞)，∴y ＝log 2u ，u ∈(0,1)∪(1，＋∞)． ∴f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (x )的定义域关于原点对称，且f (x )＋f (－x )＝log 2x ＋1x －1＋log 2－x ＋1－x －1＝log 2x ＋1x －1＋log 2x －1x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1·x －1x ＋1＝log 2 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求f (x )的解析式； (2)解关于x 的不等式f (x )≤12.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0. 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝log 2(－x )．又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.(2)由(1)得f (x )≤12等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2 x ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0≤12或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－log 2(－x )≤12，解得0<x ≤2或x ＝0或x ≤－22，即所求x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤2或x ≤－22. 20．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设销售商一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式． (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)当0<x ≤100且x ∈N *时，p ＝60；当100<x ≤600且x ∈N *时， p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100且x ∈N *，62－0.02x ，100<x ≤600且x ∈N *. (2)设该厂获得的利润为y 元，则当0<x ≤100时且x ∈N *，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时且x ∈N *， y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100且x ∈N *，22x －0.02x 2，100<x ≤600且x ∈N *. 当0<x ≤100时且x ∈N *，y ＝20x 是单调增函数， ∴当x ＝100时，y 最大，y max ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时且x ∈N *，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050， ∴当x ＝550时，y 最大，y max ＝ 6 050. 显然6 050>2 000，∴当销售商一次订购550件时，该厂获得的利润最大，最大利润为6 050元．21．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[0,1]时的解析式为f (x )＝－22x ＋a 2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[－1,0]上的解析式． (2)求f (x )在[0,1]上的最大值h (a )．解：(1)设x ∈[－1,0]，则－x ∈[0,1]，f (－x )＝－2－2x＋a 2－x .又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )． ∴f (x )＝－2－2x＋a 2－x ，x ∈[－1,0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋a 2x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]，∴g (t )＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a24. 当a2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1；当1<a2<2，即2<a <4时，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤2，a24，2<a <4，2a －4，a ≥4.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0.(1)写出该函数的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围；(3)若f (x )≤n 2－2bn ＋1对所有x ∈[－1,1]，b ∈[－1,1]恒成立，求实数n 的取值范围．解：(1)函数的图象如图所示，则函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)．(2)作出直线y ＝m ，函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点等价于直线y ＝m 与函数f (x )的图象恰有三个不同交点．根据函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2－x ＋1，x >0的图象，又f (0)＝1，f (1)＝12，∴m ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(3)∵f (x )≤n 2－2bn ＋1对所有x ∈[－1,1]恒成立， ∴[f (x )]max ≤n 2－2bn ＋1.又[f (x )]max ＝f (0)＝1，∴n 2－2bn ＋1≥1，即n 2－2bn ≥0在b ∈[－1,1]上恒成立． ∴h (b )＝－2nb ＋n 2在b ∈[－1,1]上恒大于等于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2n ×(－1)＋n 2≥0，－2n ×1＋n 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋2)≥0， ①n (n －2)≥0. ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≥0，n ＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧n ≤0，n ＋2≤0，解得n ≥0或n ≤－2；同理由②得n ≤0或n ≥2.∴n ∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．∴n 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

高中数学 1 章末质量检测(教师版) 新人教A版必修1

【金版新学案】高中数学 1 章末质量检测（教师版）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{x |x －3<0}，则A ∩B ＝( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－1,3)D ．(1,3)解析： A ∩B ＝{x |x >－1}∩{x |x <3}＝{x |－1<x <3}，故选C.答案： C2．设a ，b ∈R 集合{a,1}＝{0，a ＋b }，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0a ＋b ＝1∴b －a ＝1答案： A 3.设U ＝Z ，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,5}B ．{1,2,3,4,5}C ．{7,9}D ．{2,4}解析：由Venn 图可知阴影部分表示的集合为B ∩(∁U A )＝{2,4}．答案： D4．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤2}解析：如图所示，∴a ≥2答案： A5．如下图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )解析： A 项中元素4,9在集合B 中对应元素不唯一，故不能构成A 到B 的映射，B ，C 项中元素0在集合B 中没有对应元素，故不能构成A 到B 的映射，故选项D答案： D6．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )解析： f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1 x ≥11－x x <1答案： B7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 x >0－2 010 x ＝0，2x x <0则f (f (f (2 010)))的值为( )A ．0B ．2 010C ．4 020D ．－4 020解析： f (2 010)＝0，f (f (2 010))＝f (0)＝－2 010f (f (f (2 010)))＝f (－2 010)＝－4 020答案： D8．函数f (x )＝x 2－2ax ，x ∈[1，＋∞)是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析： f (x )＝(x －a )2－a 2，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．∴a ≤1.答案： C9．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( )A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6解析：由题意知f (x )在[0，＋∞)上有最大值6，∵f (x )是定义在R 上的偶函数．∴f (x )在[－7,0]上是减函数且有最大值6.答案： B10．对任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p 、q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( )A ．(0，－4)B ．(0,2)C ．(4,0)D ．(2,0)解析： (1,2)⊗(p ，q )＝(p －2q,2p ＋q )＝(5,0)∴⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝52p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1q ＝－2(1,2)⊕(p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}中仅有一个元素1，则a ＝________，b ＝________.解析： ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝－a 1×1＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1 答案：－2,112．函数y ＝x 2－2x ＋3，(－1≤x ≤2)的值域是________．解析： y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2当x ＝1时，y min ＝2当x ＝－1时，y max ＝6∴函数的值域是[2,6]．答案： [2,6]13．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋a x为奇函数，则实数a ＝______. 解析： f (－x )＝x 2－a ＋1x ＋a －x＝－f (x ) ∴x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a∴a ＋1＝0，a ＝－1答案：－114．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|0<x <2，2－|x －1|x ≤0或x ≥2，则函数y ＝f (x )与y ＝12的交点个数是________．解析：画出函数f (x )的图象如图所示f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －11≤x <21－x 0<x <11＋x x ≤03－x x ≥2由图知y ＝f (x )与y ＝12有4个不同的交点．答案： 4三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R.(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解析： (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}．∁U A ＝{x |x <2或x >8}．∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解析：由已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∵A ∩B ＝B ，∴B A ，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}．①当m ＝3时，B ＝A ，满足A ∩B ＝B .②当Δ<0，即(－m )2－4×2<0，－22<m <22时，B ＝∅，满足A ∩B ＝B .③当Δ＝0，即(－m 2)－4×2＝0，m ＝±22时，B ＝{2}或B ＝{－2}，显然B ⃘A .综合①②③知，所求实数m 的取值范围是{m |－22<m <22，或m ＝3}．17．(本小题满分12分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x ＞0时，函数的解析式为f (x )＝2x －1. (1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x ＜0时，函数的解析式．解析： (1)设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1 ＝2x 2－x 1x 1x 2， ∵0＜x 1＜x 2，∴x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－2x－1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2x－1，即f (x )＝－2x－1(x ＜0)． 18．(本小题满分14分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx ，f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的值域；(3)若F (x )＝f (x )－f (－x )，试判断F (x )的奇偶性，并证明你的结论．解析： (1)已知f (x )＝ax 2＋bx .由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，即2a ＋b ＝0.①方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等实根，且a ≠0，∴b －1＝0，∴b ＝1，代入①得a ＝－12. ∴f (x )＝－12x 2＋x . (2)由(1)知f (x )＝－12(x －1)2＋12. 显然函数f (x )在[1,2]上是减函数，∴x ＝1时，y max ＝12，x ＝2时，y min ＝0. ∴x ∈[1,2]时，函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. (3)∵F (x )＝f (x )－f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－x 2＋－x ＝2x ， F (x )是奇函数．证明：∵F (－x )＝2(－x )＝－2x ＝－F (x )，∴F(x)＝2x是奇函数．。

人教A版数学必修一第一章集合章末质量评估

第一章集合章末质量评估(时间：80分钟满分：160分2014.9)一、填空题(本大题共12小题，每小题6分，共72分)1．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________．2．若A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x＝________.3．已知A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B之间的关系是________．4．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则使A⊇B成立的实数a的取值范围是________．5．已知A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．6．如图所示，已知A，B均为集合U＝{1,2,5,7,11}的子集，且A∩B＝{2}，(∁U B)∩A＝{11}，则A等于________．7．已知全集A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B ＝A，则实数m的范围是______．8．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.9．设全集U＝{x|x≤5，且x∈N*}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，且(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}，则p＋q＝________.10．已知两个集合A与B，集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2a<x<a＋3}，且满足A∩B＝∅，则实数a的取值范围是______．11．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.12．设集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0，x ∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)13．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．14．(本小题满分14分)已知集合U＝{x|－3≤x≤3}，M＝{x|－1＜x＜1}，∁U N＝{x|0＜x＜2}．求：(1)集合N，(2)集合M∩(∁U N)，(3)集合M∪N.15．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，若A ∩R－≠∅，求实数m的取值范围．16．(本小题满分16分)若集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x ＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a的值，使得∅(A∩B)与A∩C＝∅同时成立．17．(本小题满分16分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(a＋1)x ＋a＝0}．(1)若A∪B＝{1,2,3}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值集合．18．(本小题满分16分)已知集合E＝{x|1－m≤x≤1＋m}，F＝{x|x<－2或x>0}．(1)若E∪F＝R，求实数m的取值范围；(2)若E∩F＝∅，求实数m的取值范围．。

人教A版数学必修一必修1 质量评估检测.docx

必修1 质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ＝{x|x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 解析：因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．答案：A2.(2014·天水高一检测)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xC ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln xD ．f (x )＝log a a x (a ＞0，a ≠1)，g (x )＝3x 3解析：A 中，f (x )与g (x )的值域不同；B 中，f (x )与g (x )的定义域不同；C 中，f (x )与g (x )的定义域不同．故D 正确．答案：D3.(2014·厦门高一检测)函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞)解析：由题意可知⎩⎨⎧x ＞0，lg x －1≠0，x －4≥0，解得x ≥4且x ≠10.答案：D4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.答案：C5.(2014·荆州高一检测)已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )AB CD解析：由题意可知f (x )＝2x，∴f (1－x )＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.显然其过点(0,2)，故选C.答案：C6.(2014·临沂高一检测)设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：设f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (0)＝－4＜0，f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝4－1＝3＞0，f (3)＝172＞0，f (4)＝634＞0，∴f (x )在(1,2)内有零点，即x 0∈(1,2)．答案：B7．设a ＝log 123，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：∵a ＝log 123＜0，b ＝log 1213＝log 23＞1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3∈(0,1)，∴b ＞c ＞a .故选B.答案：B8.(2014·潍坊高一检测)已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，则当x ∈[1,3]时，f (x )的最小值是( )A ．2 B.14C ．－2D ．－14解析：当x ＜0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，在[－3，－1]内，当x ＝－3时，f (x )有最大值2.∵f (x )为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴f (x )在[1,3]内的最小值为－2.答案：C9．已知x 2＋y 2＝1，x >0，y >0，且log a (1＋x )＝m ，log a 11－x＝n ，则log a y 等于( )A ．m ＋nB ．m －n C.12(m ＋n ) D.12(m －n ) 解析：由m －n ＝log a (1＋x )－log a 11－x＝log a (1－x 2)＝log a y 2＝2log a y ，∴log a y ＝12(m －n )，故选D.答案：D10．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象大致是( )AB C D解析：把|x|－ln 1y＝0变形得y＝⎝⎛⎭⎪⎫1e|x|，即y ＝⎩⎨⎧e －x，x ≥0，e x ，x <0，故选B.答案：B 11．已知f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |x <－3或0<x <3}B ．{x |－3<x <0或x >3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}解析：由f (x )是奇函数知， f (3)＝－f (－3)＝0，∵f (x )在(0，＋∞)内单调增， ∴f (x )在(－∞，0)内也单调增，其大致图象如右图．由图象知，x ·f (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)，故选D.答案：D12.(2014·福州高一检测)衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：由已知得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150，∴t 150＝32，t 1＝75.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x (x ＞0)，16x(x ≤0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝____.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝116，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝116.答案：11614．若幂函数f (x )的图象经过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是__________．解析：设f (x )＝x α，由题意可知f (3)＝9，即3α＝9，α＝2，∴f (x )＝x 2，∴f (x )的单调增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞) 15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________(m)．解析：设矩形花园的宽为y m ，则x40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：2016．如果函数f (x )对其定义域内的任意两个实数x 1，x 2都满足不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，则称函数f (x )在定义域上具有性质M .给出下列函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝2x ；④y ＝log 2x .其中具有性质M 的是__________(填上所有正确答案的序号)．解析：根据函数图象的上凸与下凹判断．函数y ＝x 与函数y ＝log 2x 的图象是上凸的，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2；函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象是下凹的，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2. 答案：②③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知全集U ＝R .集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |x －k ≤0}． (1)若k ＝1，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ≠∅，求k 的取值范围．解析：(1)当k ＝1时，B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}． ∴∁U B ＝{x |x >1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |1<x <3}． (5分)(2)∵A ＝{x |－1≤x <3)，B ＝{x |x ≤k }，A ∩B ≠∅， ∴k ≥－1.(10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)． (1)若f (x 0)＝2，求f (3x 0)的值；(2)若f (x 2－3x ＋1)≤f (x 2＋2x －4)，求x 的取值范围．解析：(1)f (3x 0)＝a 3x 0＝()ax 03＝23＝8.(4分) (2)当0<a <1时，f (x )＝a x 在R 上单调递减， ∴x 2－3x ＋1≥x 2＋2x －4,5≥5x ，解得x ≤1；当a >1时，f (x )＝a x 在R 上单调递增．∴x 2－3x ＋1≤x 2＋2x －4,5≤5x ，解得x ≥1. ∴当0<a <1时，x 的取值范围是(－∞，1]；当a >1，x 的取值范围是[1，＋∞)．(12分) 19．(本小题满分12分) 已知定义R 上的函数f (x )＝2x ＋a2x (a 为常数)．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)当f (x )满足(1)的条件的时，用单调性的定义判断函数在[0，＋∞)上的单调性，并判断f (x )在(－∞，0]上的单调性(不必证明)．解：(1)由题意，得f (－x )＝f (x )，即2－x ＋a 2－x＝2x ＋a2x ，所以(a －1)⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x ＝0，又对任意的x ∈R 都成立，所以a ＝1.(4分)(2)由(1)可得f (x )＝2x ＋12x ，在[0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为0≤x 1<x 2，所以2x 1＋x 2>1,2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因为偶函数在对称的区间上单调性相反，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减．(12分)20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b，且f (1)＝52、f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝52，f (2)＝174⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b＝52，22＋22a ＋b ＝174⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0.(4分) (2)f (x )为偶函数，(5分) 证明如下：由(1)可知f (x )＝2x ＋2－x ，定义域为R ，关于原点对称， ∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(8分)(3)函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(9分) 证明如下：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)＝()2x 1＋2－x 1－()2x 2＋2－x 2＝()2x 1－2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝()2x 1－2x 2·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2，∵x 1<x 2且x 1，x 2∈[0，＋∞)， ∴2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数．(12分)21.(2014·台州高一检测，12分)函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0,1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围．解析：(1)此时，f (x )＝2x －1x单调递增，显然函数y ＝f (x )的值域为(－∞，1]．(4分)(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈(0,1]且x 1＜x 2都有f (x 1)＞f (x 2)成立，即(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2＞0，只要a ＜－2x 1x 2即可，由于x 1x 2∈(0,1]且x 1＜x 2，故－2x 1x 2∈(－2,0)，所以a ≤－2，故a 的取值范围是(－∞，－2]．(12分)22.(2014·桂林高一检测，12分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)．(1)求f (0)，f (1)；(2)求函数f (x )的解析式；(3)若f (a －1)＜－1，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为当x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)，所以f (0)＝0.(2分)又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝log 12[－(－1)＋1]＝log 122＝－1，即f (1)＝－1.(4分)(2)令x ＞0，则－x ＜0，从而f (－x )＝log 12(x ＋1)＝f (x )，∴x ＞0时，f (x )＝log 12(x ＋1)．∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ＞0，log 12(－x ＋1)，x ≤0.(8分)(3)设x 1，x 2是任意两个值，且x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0， ∴1－x 1＞1－x 2.∵f (x 2)－f (x 1)＝log 12(－x 2＋1)－log 12(－x 1＋1)＝log 121－x 21－x 1＞log 121＝0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )＝log 12(－x ＋1)在(－∞，0]上为增函数．(10分)又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，由f (a －1)＜－1，f (1)＝－1，得f (|a －1|)＜f (1)．∴|a －1|＞1，a ＜0或a ＞2.故a 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (12分)。

【创新设计】高考数学章末质量评估1配套训练新人教A版必修1

章末质量评估(一)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．如果集合A ＝{x |x ≤3}，a ＝2，那么( )． A ．a ∉A B ．{a AC ．{a }∈AD ．a ⊆A解析 ∵2≤3，∴{a A .答案 B2．函数y ＝2x ＋1＋3－4x 的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)解析由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，3－4x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12，x ≤34.∴－12≤x ≤34.答案 B3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( )．A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3}解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >4}， ∴∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，由数轴分析可知，在数轴上标注A 及∁U B ，再找其公共部分． ∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．答案 D4．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )． A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析 f (3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2， ∴f (t )＝3t ＋2，即f (x )＝3x ＋2. 答案 B5．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，满足A B ，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥2} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥1} D．{a |a ≤2} 解析如图答案 A6．如果奇函数y ＝f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么y ＝f (x )在区间[－5，－1]上是( )．A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－3 解析当－5≤x ≤－1时，1≤－x ≤5， ∴f (－x )≥3，即－f (x )≥3. 从而f (x )≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f (x )在[－5，－1]是减函数．故选D. 答案 D7．设函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )．A ．f (x )是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝f (x ) 解析 ∵f (－x )＝1＋－x21－－x2＝f (x )，且定义域{x |x ≠±1}关于原点对称． ∴f (x )是偶函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－1＋x 21－x 2＝－f (x )，故选C.答案 C8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)：表1 映射f 的对应法则则与f [g (1)]相同的是( )A ．g [f (1)] B ．g [f (2)] C ．g [f (3)] D ．g [f (4)]解析 f (a )表示在对应法则f 下a 对应的象，g (a )表示在对应法则g 下a 对应的象．由表1和表2，得f [g (1)]＝f (4)＝1，g [f (1)]＝g (3)＝1，g [f (2)]＝g (4)＝2，g [f (3)]＝g (2)＝3，g [f (4)]＝g (1)＝4，则有f [g (1)]＝g [f (1)]＝1.答案 A9．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，若对于函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B ，则这个函数的图象可能是( )．解析由函数定义知选D. 答案 D10．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f x ＋f －x2x<0的解集为( )． A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，故f x ＋f －x 2x <0可化为f xx<0.而f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (3)＝0，故当x >3时，f (x )<0.当－3<x <0时，f (x )>0，故f xx的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上．) 11．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值________．解析 ∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}． ∴a ＋2＝3或a 2＋4＝3(舍去)． ∴a ＝1. 答案 112．用列举法表示集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z ＝________. 解析 ∵x ∈Z ，∴当x ＝－3时，有－1∈Z ；当x ＝－2时，有－2∈Z ；当x ＝0时，有2∈Z ；当x ＝1时，有1∈Z ，∴A ＝{－3，－2,0,1}．答案 {－3，－2,0,1}13．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析设任意的x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )3＋1＝－x 3＋1，又f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即当x <0时，f (x )＝－x 3＋1. 答案－x 3＋114．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元．解析把收费y 元看成所走路程x k m 的函数，由题意知，当0<x ≤3时，y ＝8；当3<x ≤10时，y ＝8＋1.5(x －3)＝1.5x ＋3.5；当x >10时，y ＝1.5×10＋3.5＋0.8(x －10)＝0.8x ＋10.5；当x ＝20时，y ＝0.8×20＋10.5＝26.5. 答案 26.5三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解 (1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. (3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.16．(10分)已知y ＝f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )的表达式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1) ＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x . 故有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.所以f (x )＝x 2－2x －1. 17．(10分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．(1)证明任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． (2)解由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，∴最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95.最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32.18．(12分)某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂价是60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式．解 (1)设每个零件的实际出厂单价降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价降为51元．(2)当0<x ≤100时，p ＝60元；当100<x <550时，p ＝60－0.02(x －100)＝62－x50；当x ≥550时，p ＝51.所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，x ∈N*62－x50，100<x <550，x ∈N *51，x ≥550，x ∈N*19．(12分)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f (x )是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．解 (1)∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (0)＝f (0)＋f (0)．∴f (0)＝0.而0＝x －x ，因此0＝f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )．所以函数f (x )为奇函数．(2)设x 1<x 2，由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，知f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0. 又当x >0时，f (x )<0， ∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0. ∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x 1)>f (x 2)．函数f(x)是定义域上的减函数，当x∈[－3,3]时，函数f(x)有最值．当x＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x＝3时，函数有最小值f(3)．f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6.。

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章末质量评估(一)
A 基础达标卷(时间：45分钟满分：75分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列函数中与函数y ＝x 相同的是( )
A ．y ＝x 2
B ．y ＝3t 3
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 2x
解析：y ＝3t 3＝t ，t ∈R .
答案：B
2．函数f (x )＝x |x |的图象是( )
解析：由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x ＞0－1，x ＜0，所以其图象为C. 答案：C
3. 函数f (x )＝x ＋1＋12－x
的定义域为( ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞)
C ．[－1,2)
D ．[－1，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠2. 答案：A
4．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
答案：C
5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2，x ≤1，x 2－x －3，x ＞1，则f (f (2))的值为( ) A ．－1 B ．－3
C ．0
D ．－8
解析：f (2)＝22－2－3＝－1，f (f (2))＝f (－1)＝1－(－1)2＝0.
答案：C
6．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫13，23
B.⎣⎡⎭⎫13，23
C.⎝⎛⎭⎫12，23 D ．⎣⎡⎭⎫12，23
解析：∵函数f (x )是偶函数，∴f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13等价于f (|2x －1|)＜f ⎝⎛⎭
⎫13. 又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23
. 答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.
解析：∵U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}
∴∁U B ＝{2}则A ∪(∁U B )＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
8．若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )
为奇函数，则a ＝________. 解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即－x (－2x ＋1)(－x －a )＋x (2x ＋1)(x －a )
＝0恒成立，可化为(2x ＋1)(x －a )＝(2x －1)(x ＋a )恒成立，整理得2(1－2a )x ＝0恒成立，所以1－2a
＝0，所以a ＝12
. 答案：12
9．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2
在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，∵y ＝1x ＋2
在x ∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a ＞0，∴a ＜12. 答案：a ＜12
10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________. 解析：由已知得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝f (1.5＋2)＝－f (1.5)＝－f (－0.5＋2)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.
答案：－0.5
三、解答题(本大题共2小题，需写出演算过程与文字说明，共25分)
11．(本小题满分12分)已知A ＝{1,2，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∩B ＝B ，求x 的值．。