江苏常熟中学14-15学年高二下学期期中考试数学(理)试题 (扫描版含答案)
江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高二下学期期中数学试题
PB A （ ）
7
A．
16
7
B．
8
3
C．
7
6
D．
7
4．若函数 f (x) ln x ax2 2x 在区间 (1, 2) 内单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
,
3 8
B．
3 8
,
1 2
C．
1 2
,
D．
1 2
,
5． 用 0，1，2，3，4 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数，其中为偶数的共有（ ）
10．ABD
11．BC
12．ABD
三、填空题
13．3
14．-672
15．
0,
4 e2
1 e
16．
2
,
2(e
1)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.
17．解：（1）∵ f (x) ln x 1 a ， x 0 ，又 f (x) 在 x e2 处取得极值，
∴ f e2 ln e2 1 a 0 ，∴ a 3 ，
A．若 Cmn Ckn ，则 m k
B．若 A1m0 10 9 4 ，则 m 7
C．
A
m n
mA
m n
1
Am n1
D． mCmn nCmn11
10．已知
(1
2 x) 2021
a0
a1x
a2 x2
a3 x3
a x2021 2021
，则（
）
A．展开式中所有项的二项式系数和为 22021
B．
2022~2023 学年第二学期期中试卷
高二数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．()1,3-C ．(0，3)D ．()3,+∞【正确答案】C【分析】先求函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '<，解之即可得到结果.【详解】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >，因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x'---+=--==，令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故本题正确答案为C.本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.2．已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【正确答案】B【分析】根据导数的几何意义可得()11f '=，从而可得a 的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得b 的值，即可求得答案.【详解】解：因为()2ln f x a x x =+，所以()2af x x x'=+.又()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，所以()123f a '=+=，解得1a =，则()2ln f x x x =+，所以()11f =，代入切线方程得310b -+=，解得2b =-，故1a b +=-.故选：B.3．芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A 为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B 为“两人选择的景点不同”，则条件概率()P B A =（）A ．716B ．78C ．37D ．67【正确答案】D【分析】先求出事件A 发生的概率和事件A 和事件B 共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有4416⨯=种，其中事件A 的情况有44337⨯-⨯=种，事件A 和事件B 共同发生的情况有236⨯=种，所以()716P A =，()63168P AB ==，所以()()()67P AB P B A P A ==.故选：D.4．若函数()22f x x ax x +＝ln ﹣在区间()1,2内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．3,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．31,82⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】D求出函数的导数，将问题转化为2112a x x ≥-在()1,2x ∈恒成立，令211()2g x x x=-，求出()g x 的最小值，从而可求得a 的取值范围．【详解】由函数()22f x lnx ax x +-＝可得()122f x ax x'=+-，若()f x 在区间()1,2内单调递增，则()0f x '≥在x ∈()1,2恒成立，即2112a x x≥-在x ∈()1,2恒成立，令2211111()1,222g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1()(1),2g x g <=故12a ≥，即实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ．5．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A ．24个B ．30个C ．36个D ．42个【正确答案】B【分析】根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答.【详解】计算偶数个数有两类办法：个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有24A 12=种结果，个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，再从余下3个数字中选一个作十位，共有111233A A A 18=种结果，由分类加法计数原理得，偶数共有121830+=种结果.故选：B6．函数2()ln 8x f x x =-图象大致为()A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断．【详解】f （x ）的定义域为{x |x ＞0}，排除A ．当x →0+时，f （x ）→+∞，排除D ．当x ＞1时，f （x ）＝lnx 28x -，f ′（x ）14x x =-，令f ′（x ）＝0解得x ＝2，当x ＞2时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（2，+∞）上是减函数，排除B ．故选C ．本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断．7．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A ．1512种B ．1346种C ．912种D ．756种【正确答案】D【分析】先从A 区域涂色，讨论B ，D 区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C ，E ，F 区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.【详解】1、先涂A 区域，则有4种方法，若B ，D 区域涂相同颜色，则有3种方法，C ，E ，F 区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．2、先涂A 区域，则有4种方法，若B ，D 区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E 区域有2种方法，C ，F 分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．故不同的涂色方法共有756种．故选：D8．若对任意的1x ，()2,∈+∞x m ，且12x x <，122112ln ln 1x x x x x x ->-，则m 的取值范围是（）A ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．[)e,+∞D ．)2e ,⎡+∞⎣【正确答案】D【分析】首先得出0m >，再将122112ln ln 1x x x x x x ->-整理为212211ln ln 11x x x x x x -<-，构造函数ln 1()x f x x x=-，其中,()0x ∈+∞，当12m x x <<时，21()()f x f x <，即在(),m +∞，()f x 单调递减，求出()f x '，分析得出()f x 减区间，即可得出m 的取值范围．【详解】由题可知，0m >，因为122112ln ln 1x x x x x x ->-，且120x x <<，所以122112ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x 得，212121ln ln 11x x x x x x -<-，即212211ln ln 11x x x x x x -<-，设函数ln 1()x f x x x=-，其中,()0x ∈+∞，因为当12m x x <<时，21()()f x f x <，所以()f x 在(),m +∞单调递减，因为22ln ()xf x x -'=，令()0f x '=，2e x =，当()20,e x ∈时，()0f x '>，即()f x 在()20,e 上单调递增，当()2e ,x ∞∈+时，()0f x '<，即()f x 在()2e ,∞+上单调递减，所以2e m ≥，故选：D ．二、多选题9．下列命题正确的有（）A ．若C C m kn n =，则m k=B ．若10A 1094m=⨯⨯⨯ ，则7m =C ．11A A A m m mn n n m -++=D ．11C C m m n n m n --=【正确答案】BCD【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可.【详解】A ：若C C m kn n =，则m k =或m n k =-，故A 错误；B ：()1010!10!A 10943!10!mm =⨯⨯⨯==- ，则7m =，故B 正确；C ：()()()()()()()111!!1!!!!A A A !1!1!1!1!m m m n n n n m n n n n m n m m n m n m n m n m n m -++-⋅+⋅+=+=+==--++--++-，故C 正确；D ：()()()()11C C 1!!1!!!!m m n n n n nm m n m m n m n m ---===-⋅-⋅-，故D 正确；故选：BCD.10．已知()20212320210123202112x a a x a x a x a x -=+++++ ，则（）A ．展开式中所有项的二项式系数和为20212B ．展开式中所有奇次项系数和为2021312-C ．展开式中所有偶次项系数和为2021312-D ．123202123202112222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式定理的计算方法与性质即可计算出结果【详解】对于A ，二项式系数之和为0120212021202120212021C C C 2+++= ，故A 正确；对于B ，令=1x -，得2021012320213a a a a a =-+-+- ，①令1x =，得012320211a a a a a -=+++++ ，②①+②，可得()2021022020312a a a -=+++ ，∴2021022020312a a a -+++= ，故B 正确；对于C ，①-②，得()2021132021312a a a +=-+++ ，∴2021132021312a a a ++++=-，故C 错误；对于D ，令0x =，得01a =，令12x =，得2021120220210222a a a a =++++ ．∴202112220211222a a a +++=- ，故D 正确．故选：ABD 11．已知()2sin x f x x x π=--.（）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【正确答案】BC【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π.所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确.因为()f x 在(),0∞-为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.12．（多选）已知函数2()ln f x x x=+，则以下结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调减区间是(0,2)B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +>【正确答案】ABD【分析】先求导数,再解不等式()0f x '<,即可判断A;先构造函数2()ln g x x x x=+-，再利用导数研究其单调性，最后结合零点存在定理判断B;先分离，再利用导数研究函数22ln ()x h x x x=+最值，即可判断C;先构造函数()(2)(2)(0,2)g t f t f t t =+--∈，，再利用导数研究其单调性，最后利用单调性证不等式，即可判断D.【详解】A 选项，因为2()ln f x x x =+，所以22212()x f x x x x'-=-+=，由()0f x '>得，2x >；由()0f x '<得，02x <<，因此函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；故A 正确；B 选项，令2()ln g x x x x=+-，则222221721224()10x x x g x x x x x '⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭=-+-=-=-<显然恒成立；所以函数2()ln g x x x x=+-在(0,)+∞上单调递减；又(1)2ln1110g =+-=>，(2)1ln 22ln 210g =+-=-<，所以函数2()ln g x x x x=+-有且仅有一个零点；故B 正确；C 选项，若()f x kx >，可得22ln x k x x<+，令22ln ()x h x x x =+，则42341ln ln 4()x x x x x h x x x x '----=+=，令()ln 4u x x x x =--，则()1ln 1ln u x x x '=--=-，由()0u x '>得01x <<；由()0u x '<得1x >；所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；因此()(1)30u x u ≤=-<；所以3ln 4()0x x x h x x '--=<恒成立，即函数22ln ()xh x x x=+在(0,)+∞上单调递减，所以函数22ln ()xh x x x=+无最小值；因此，不存在正实数k ，使得()f x kx >成立；故C 错；D 选项，令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，则22t +>；令22242()(2)(2)ln(2)ln(2)ln 2242t t g t f t f t t t t t t t+=+--=++---=++---，则()()2222222416248()02(2)44t t t g t t t tt '---=+⋅=-<+---，所以()g t 在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由()()12(2)f x f x f t =<-，得22x t >-，则12224x x t t +>-++=，当14≥x 时，124x x +>显然成立，所以对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +>.故D 正确.故选：ABD本题考查利用导数研究函数单调区间、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式能成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.三、填空题13．已知函数()2ln f x x x =+，若过点(0,1)-的直线与曲线()y f x =相切，则该直线斜率为______．【正确答案】3【分析】设出切点坐标00(,)x y ，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为()000012ln 2y x x x x x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，再根据切线过点()0,1-，可求出0x ，进而求出结果．【详解】∵点()0,1-不在曲线()2ln f x x x =+上，设切点坐标为()000,,(0)x y x >．又∵()12f x x'=+，所以()0012f x x ='+∴()2ln f x x x =+在00(,)x y 处的切线方程为()000012ln 2y x x x x x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，∵切线过点()0,1-，∴()0000112ln 2x x x x ⎛⎫---=+- ⎪⎝⎭，解得01x =，∴切线斜率为()11231f =+='.故3．14．二项式92x ⎫⎪⎭的展开式中常数项是___________.【正确答案】672-【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到3r =，求出常数项.【详解】由题可知展开式()93r 921992C C 2rrr rr r T x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以9302r-=，解得：3r =，故常数项为339(2)672C -=-.故672-15．已知函数2()e (R)x f x k x k =-∈，若函数()f x 至少有两个零点，则k 的取值范围是______．【正确答案】24(0,]e 【分析】根据题意转化为2ex x k =至少有两个不同的解，令()2e x x g x =，转化为函数()y g x =的图象与y k =至少有两个交点，求得()(2)e xx x g x -'=，求得函数()g x 单调性和极值，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数2()e xf x k x =-至少有两个零点，即2ex x k =至少有两个不同的解，令()2e x x g x =，则函数()y g x =的图象与y k =至少有两个交点，又由()222e e (2)e e x x x xx x x x g x --'==，令()0g x '>，解得02x <<，令()0g x '<，解得0x <或2x >，所以函数()g x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，且()00g =，()242eg =，当x →+∞时，()0g x →，作出函数()y g x =的图象，如图所示，由图象可知，240e k <≤，即实数k 的取值范围是24(0,]e .故答案为.24(0,]e16．已知()f x '是函数()f x 的导函数，在定义域(0,)+∞内满足()()e 0x xf x xf x '--=，且(1)2e f =，若1e 11e 2f a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】1e ,22(e 1)⎛⎤ ⎥-⎝⎦【分析】由()()e 0xxf x xf x '--=，得()1e x f x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用()12e f =，可求得()()e ln 2x f x x =+，利用导数证明()f x 在()0,∞+上递增，1e 11e 2f a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭等价于1112e f f a ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由单调性可得结果.【详解】由()()e 0x xf x xf x '--=，得()1e x f x x'⎡⎤=⎢⎣⎦，()ln e x f x x c ∴=+，令2e 1,02ex c c ==+⇒=，()ln 2e xf x x ∴=+，()()e ln 2x f x x =+，()1e ln 2x f x x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭，令()()221111ln 2,x g x x g x x x x x-'=++=-+=，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()()min 130g x g ∴==>，()()0,f x f x '∴>在()0,∞+上递增，()11e e 1e 12e ef ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，1e 111e 2e f f a ⎛⎫⎛⎫∴-≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11021112e a a ⎧->⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得()1e 22e 1a <≤-，即实数a 的取值范围是()1e ,22e 1⎛⎤ ⎥ -⎥⎝⎦.故答案为:()1e ,22e 1⎛⎤ ⎥ -⎥⎝⎦.利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x =e ，()()0f x f x '+<构造()()e xg x f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等.四、解答题17．已知函数()ln 1f x x x ax =-+在2e x =处取得极值．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2()2f x c c <-在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数c 的取值范围．【正确答案】(1)单调递减区间是()20,e ，单调递增区间是()2e ,+∞；(2)1,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意根据()20e f '=求解，再带回检验即可；（2）求导分析()f x 在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦上的最大值，再根据2max 2()c c f x ->求解不等式即可.【详解】（1）∵()ln 1f x x a '=+-，0x >，又()f x 在2e x =处取得极值，∴()220e e ln 1f a =+-='，∴3a =，检验：当3a =时，()ln 31f x x x x =-+，()ln 2f x x '=-，0x >，令()0f x '=，得2e x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x ()20,e 2e ()2e +∞，()f x '-0+()f x 单调递减21e -单调递增()ln 1f x x x ax =-+在2e x =处取得极小值成立；所以()f x 的单调递减区间是()20,e ，单调递增区间是()2e ,+∞．（2）由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，()23,e e 单调递增，又(1)2f =-，()3e 1f =，则31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()3max ()e 1f x f ==．若2()2f x c c <-在31,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，则2max 2()1c c f x ->=．即2210c c -->，解得12c <-或1c >，所以实数c 的取值范围是1,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ．18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．(1)若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？(2)若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？(3)现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？【正确答案】(1)960(2)3720(3)126【分析】（1）相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理即可；（2）特殊元素优先安排即可；（3）相同元素分配问题插板处理即可.【详解】（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有44A 种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有22A 种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有25A 种排法．故排法共有422425A A A 960=（种）．（2）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有66A 种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有15A 种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有15A 种，其余人全排列，只有55A 种不同排法，共有61156555A +A A A 65432155543213720⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）．法二：7名学生全排列，只有77A 种方法，其中甲在最左边时，有66A 种方法，乙在最右边时，有66A 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有55A 种方法，共有765765A 2A A 76543212654321543213720-⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（种）．（3）法一：16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法59C 126=种．法二：先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：1.四只口罩分给1人，有16C 6=种分法；2.四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有3163C C 60=种分法；3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有2615C =种分法；4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有2162C 30C =种分法；5.四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有46C 15=种分法；则共有660153015126++++=种分法．19．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD ，上部是圆弧AB ，该圆弧所在的圆心为O ，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH （其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上）．过O 作OP AB ⊥，交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB 于P ，已知10OP =，6.5MP =（单位：m ），记通风窗EFGH 的面积为S （单位：2m ）．(1)设(m)MN x =，将S 表示成x 的函数；(2)通风窗的高度MN 为多少时，通风窗EFGH 的面积S 最大？【正确答案】(1)2351284S x x =--0 6.5x <<；(2) 4.5m MN =时，通风窗的面积最大．【分析】（1）用x 表示ON ，再利用勾股定理求出NF ，即可求出面积；（2）令()22()351284f x x x x =--，求导判断单调性从而求得()f x 的最大值，进而问题可解.【详解】（1）由题意知，10OF OP ==， 6.5MP =，故 3.5OM =．因为MN x =， 3.5OM =，所以 3.5ON x =+．在Rt ONF △中，2222351100( 3.5)74NF OF ON x x x =-=-+=--．在矩形EFGH 中，22351284EF NF x x ==--FG MN x ==，故2351284S EF FG x x =⋅=--．即所求函数关系是2351284S x x =--，0 6.5x <<．（2）因为()22351284S x x x =--()22()351284f x x x x =--，则()2(29)(439)0f x x x x '=--+=，则92x =．所以当902x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当91322x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当92x =时，()f x 取到最大值，此时S 有最大值．即 4.5m MN x ==时，通风窗的面积最大．20．一个猜谜语活动，有A 和B 两道谜语，小明猜对A 谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B 谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金．(1)设事件A ：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A 发生的概率P （A ）．；(2)如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C ，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C 谜语的概率为a ，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C 谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C 谜语，即可获得A 谜语、B 谜语和C 谜语的所有奖金．问：概率a 至少为何值，值得小明同学继续猜谜？【正确答案】(1)0.5；(2)①小明应该先猜A ；②当a 至少为13时，值得小明同学继续猜谜．【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）①设选择先猜A 得到的奖金为X 元，选择先猜B 得到的奖金为Y 元，分别求得随机变量X 和Y 的取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式求得()()E X E Y >，即可得到结论；②设小明谜语得到的奖金为Z 元，得到随机变量Z 的取值，列出分布列，求得()90E Z a =，列出不等式，求得a 的范围，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，是否猜对两道谜语之间是相互独立，结合相互独立事件的概率公式，可得两道谜语中小明恰好答对一道的概率为()0.8(10.5)(10.8)0.50.5P A =⨯-+-⨯=.（2）解：①有两种顺序；先猜A ；先猜B ，设选择先猜A 谜语得到的奖金为X 元，选择先猜B 谜语得到的奖金为Y 元，则随机变量X 的可能取值为：0，10，30，可得(0)10.80.2P X ==-=，(10)0.8(10.5)0.4P X ==⨯-=，(30)0.80.50.4P X ==⨯=，所以随机变量X 的的分布列为：X01030P 0.20.40.4所以期望()100.4300.416E X =⨯+⨯=；又由随机变量Y 的可能取值为：0，20，30，可得(0)0.5P Y ==，(20)0.5(10.8)0.1P Y ==⨯-=，(30)0.50.80.4P Y ==⨯=，随机变量Y 的分布列为：Y 02030P 0.50.10.4所以期望为()200.1300.414E Y =⨯+⨯=，衣蛾()()E X E Y >，所以小明应该先猜A ；②设小明终极谜语得到的奖金为Z 元，则随机变量Z 的可能取值为：0，90，则Z 的分布列为：Z090P 1-a a则期望为()90E Z a =，若()30E Z ≥，即9030a ≥，解得13a ≥，即当a 至少为13时，值得小明同学继续猜谜．21．已知二项式2(3)n x x +.（1）若它的二项式系数之和为128.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.【正确答案】（1）①101145945,2835T x T x ==②1213675103,5103T x T x ==（2）1【分析】（1）先求出n 的值，①由于展开式共有8项，所以二项式系数最大的项为第4，5项，②设展开式中系数最大的项为第r 项，然后列不等式组可求得结果，（2）由于201620161201520152015201620162016201620163028C 282C 282C 2=+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯，所以将问题转化为20162被7除的余数，而201667267228(71)==+，从而可求得答案【详解】（1）21287n n =∴= ，通项为727177C (3)3C r r r r r r r T xx x -++==.①二项式系数最大的项为第4，5项，3423104324114757C (3)945,C (3)2835T x x x T x x x ====.②设展开式中系数最大的项为第r 项，则11771177C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，1,2,3,4,5,6r =，37!7!!(7)!(1)!(8)!7!37!!(7)!(1)!(6)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪⋅--⋅-⎪⎨⨯⎪≥⎪⋅-+⋅-⎩，解得56r ≤≤，因为1,2,3,4,5,6r =，所以=5r 或6r =，所以展开式中系数最大的项为第6，7项，2251261261367757C (3)5103,C (3)5103T x x x T x x x ====.（2）当3,2016x n ==时，220162016(3)(327)30n x x +=+=，因为2016201630(282)=+201612015201520152016201620162016201628C 282C 282C 2=+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯，所以二项式的值被7除的余数就是20162被7除的余数，因为201667267228(71)==+67216716716726727C 7C 71=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+，所以20162被7除的余数为1，所以二项式的值被7除的余数为1.22．已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+．(1)若1m =，求()f x 的极值；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若对任意0x >，有()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．【正确答案】(1)极大值为1ln 24-，无极小值．(2)分类讨论，答案见解析.(3)1【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得；（2）求导，分0m ≤，0m >讨论可得；（3）参变分离，将问题转化为2ln 12x x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立问题，记2ln 1()2x x F x x x ++=+，利用导数求函数()F x 的最大值所在区间可得.【详解】（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，当1m =时，2()ln 1f x x x x =--+，令1(1)(21)()210x x f x x x x +-=--=-='，解得11,2x x =-=当102x <<时，()0f x '>，则()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当12x >时，()0f x '<，则()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．所以()f x 在12x =时取得极大值为11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值．（2）因为212(21)1(21)(1)()212(0)mx m x mx x f x mx m x x x+---+'=-+-=-=->当0m ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时当102x m <<时，()0f x '>，则()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当12x m <时，()0f x '<，则()f x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，()f x 在10,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（3）因为对任意0x >，()0f x ≤恒成立，所以()2ln 12x x m x x ++≤+在(0,)+∞上恒成立，即2ln 12x x m x x++≥+在(0,)+∞上恒成立．设2ln 1()2x x F x x x ++=+，则()22(1)(2ln )()2x x x F x x x -++'=+．设()(2ln )x x x ϕ=-+，2()10x xϕ'=--<，则()ϕx 在(0,)+∞上单调递减，因为(1)10ϕ=-<，11112ln 2ln 202222ϕ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=，即002ln 0x x +=．当()00,x x ∈时，()0x ϕ>；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<．所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以()00max 02000ln 11()22x x F x F x x x x ++===+．因为01,1 2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11,122x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故整数m的最小值为1．本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解.。
江苏省常熟市2021-2022高二数学下学期期中试题.doc
江苏省常熟市2021-2022高二数学下学期期中试题注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2?A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e=-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1e ) B.(0，1e ) C.(－∞，0)∪{1e } D.(－∞，0)∪(0，1e) 8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
江苏省苏州市常熟市2024届高三下学期第二次阶段(期中)考试数学试题
江苏省苏州市常熟市2024届高三下学期第二次阶段（期中）考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=3．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 4．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A 23B 3C ．223D ．236．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．()2,1-D ．[]2,1-7．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10B ．9C ．8D ．78．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 10．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±11．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．412． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省常熟市2020届高二数学下学期期中考试理
常熟市2020学年度第二学期高二期中试卷数学试题(理科)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共20题，包含第一卷(填空题)、第二卷(解答题)。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卷交回。
2 •答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3 •请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必 须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚。
第一卷一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答.题卡相应的位置 上.1.已知复数z (m 2) (m 3)i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限， 则实数m 的取值范围是 ▲.2 •式子C ：2 C ：2 =▲(用组合数表示)•42343. 设(2x 1) a 0 a ?x a 3X a q X ，则 a 。
c a ? a 3_____ ▲4. 若复数z 满足z 2i 1 zi (其中i 为虚数单位)，则z ▲•5•函数y x ln(x 1)的单调递减区间为▲•6•上午4节课，一个教师要上 3个班级的课，每个班 1节课，都安排在上午，若不能 3节连 上，这个教师的课有 ▲种不同的排法.1 i7•设随机变量的分布列为P( i) m(—)：i 1,2,3,4,则m 的值为 ▲• 2&甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7，若两人各投2次，则两人都投中1次的概率为 ▲19.曲线y x 3在点(a, a 3) (a 0)处的切线与x 轴、直线x a 所围成三角形的面积为，则a6▲ .猜测第n 个不等式为 ▲10 .观察不等式:1 1 1 1 1111 -1> , - (1 —)》一(-- 21 2 3 3 2 2 4(1--),L ，由此4 611. 一份试卷有10个题目，分为代B两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选择4题，则考生有 ▲ 种不同的选答方法.12•已知 f,x) si nx COSX ,且 f 2(x)f ；(x), f 3(x) f 2(x),…，f n (x)f n!(x),…(n N *,n \2),则 f i (-)彳2(壬)L Lf 2on (-) __▲_.1 n *213.已知数列｛a .｝满足 a i 1 , a na .1( ) (n N ,n >2)，令 T n a i 2 a ? 2 L2a n 2n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得3T n 比2n1=▲.214•已知定义在 R 上的函数 f(x) x (ax 3)，函数 g(x) f(x) f (x)(x [0,2])，若 g(x)在x 0处取得最大值，则正数a 的取值范围是▲ .第二卷二、解答题：本大题共 6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤•(2) 求展开式中的一次项；(3) 求展开式中所有项的二项式系数之和.16.(本题满分14分)一袋子中装着标有数字 1,2,3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的3个小球的数字之和，求：(1) 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)求随机变量的概率分布及数学期望 E .917.(本题满分15分)已知z 为虚数，z 为实数.z 2(1)若z 2为纯虚数，求虚数 z ; 2)求|z 4|的取值范围.S n 是｛a n ｝的前n 项和，且S n 是2a 与2na .的等差中项，其中a 是不等于零的常数15. (本题满分14分)已知二项式 C ，X(1) 求 n ；的展开式中，前三项的系数成等差数列.18.(本题满分15分)已知数列｛a n ｝中,(1)求a1, a2 , a3 ；(2)猜想a n的表达式，并用数学归纳法加以证明.3 219.(本题满分16分)已知函数f(x) xlnx , g (x) x mx nx (m,n为实数).(1)若x 1是函数y g(x)的一个极值点，求m与n的关系式；(2)在(1)的条件下，求函数g(x)的单调递增区间；(3)若关于x的不等式2f(x)< g (x) 1 n的解集为P，且(0, ) P，求实数m的取值范围•20.(本题满分16分)已知数列｛%｝的首项为1,设f n qC；a2C：L a k C n L aQ n N* .(1)若｛a n｝为常数列，求f⑷的值；(2)若｛a n｝为公比为2的等比数列，求f(n)的解析式；(3)数列｛a n｝能否成等差数列，使得fn 1 2n n 1对一切n N*都成立？若能, 求出数列｛a n｝的通项公式；若不能，试说明理由.常熟市2020学年度第二学期高二期中考试数学(理) 参考答案一、填空题: 本大题共14小题, 每小题5分, 共70分.1 3161. (2,3)2. C133. 14.i5. ( 1,0)6. 127.2 21511 1 1 1 1 1 *8. 0.20209. 110.-(1-L)> (-L )(n N )n132n 1 n 2 4 2n11.20012. 013. n114.(0,自二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤•15.解：(1)前三项的系数为C0,-C；,1C2，............................... 1分2 4由题设，得C!：-C； 2 - C i , ............................. 2分4 2x29n (2)8 0 ,解得n = 8或n = 1 （舍去）.C ；（仮厂加 C ；（2）r x 3r 1，得 r 4.所以展开式中的一次项为T 5列) 0 1 2 (3)T C 8 C 8 + C 8 +L 8 小8+ C 8 2•••所有项的二项式系数和为 256. 16.解：（1）记“一次取出的 则 P(A)CCC 2 C 3 （2）由题意P( 4) P(7)3r 4 —435 x ・ 8 256 , 3个小球上的数字互不相同的事件”为 A ,可能的取值为：4, 5, 6,C ；C ；C 6c 2c ； c ；c 2 1—,P( 5)105，P(10分14分7, 8，且Cc ；c ； 8）寺 C65，P( 6)警丄10 所以随机变量 的概率分布为:10 5 5 5 10 17•解: (1)设 z x yi(x, y R,y 0)，则 z 2 x 2 yi ,由z 2为纯虚数得 x 2, • ■ z 2 yi , .......................... 2分 则z z 92 2 yi 2 2 yi (y -)i R,................. y .......... 4分得y 9 ° 0, y y 3 ,........... 6分 所以 z 2 3i 或 z 2 3i ........... 7分10分 14分E 6. 7 1 1 2)2 y 4丄5 6 - 9 x yi 28 - (2) •/ z9 z 29yyi9(x (x 2)2 [y -~~]i(x 2) y(x 2)2 y 20 , Q y 0,A(x2)2 10分o由(x 2)9 得 x ( 1,5),12分• |Z 4| |x yi 4| ,.(x 4)2 ,(x 4)2 (x 2)2、、214x(1,5).15分1&解: (1)由题意S n a na n , 当n1时， S 1a 1 a a 1,当n2时， S 2a 1 a 2a当n 3时，S 3 a 1 a 2 a 3 (用复数几何意义解相应给分) 2a 2,a 3a 3,a (2)猜想: a n n(n 1)(n N). n 1时，由(1)可知等式成立;证明：①当 ②假设n 则当n k a ia 2a 3a 12k(k 》1,k N )时等式成立，即: a k 1 时，a k 1 S k 1 S k a (k 1)a k k(k 1) 1 (a ka k ), a • - (k 2) a k 1 ka k k 1 k(k 1) 即n k 1时等式也成立. a n(n 3x 20,12n 综合①②知：a n 19•解:(1) 由题意得(2)由( g(x)g(1) 4m 21)知: —对任意 1) 2mx n , ••• n(k 1)(k 2) (k 1)[(k 1) 1]14分 2m g (x)3x 2 令 g (x)0,得N 均成立. 3(m 3).2mx 2m z "T (m(2 m 3) 3),15分(x 1)[3x (2m 3)],①当112m ，即3时，由 g(x)• g(x)的单调递增区间是2m T ),(1,②当11细，即m33时，由 g(x)• g(x)的单调递增区间是 ,1),(1细3 n 在 x (0, )上恒成立，).(3)由(0,) P 得 2f(x)W g (x) 1即：2xln x w 3x 2 2mx 1 在 x (0,3 1可得m 》ln x x 在x (0,)上恒成立,2 2x)上恒成立,12分20.解：(1)V a n 为常数列，• a n 1(n N *).1234• f (4) C 4 C 4 C 4 C 4 15................................... 4 分n 1a n 为公比为2的等比数列，• a n 2 （na n 2n 1.设 h(x) 3 In x - 1x —— J2 2x则 h (x)1 3 12 (x 1)(3x 1)2 ，x 22x1 2x令 h (x) 0 ,得 x 1,x（舍）,3•.•当 0 x 1时， h(x)0, h(x)在(0, 1）上单调递增; 当x 1 时,h(x) 0 ,h(x )在(1, +）上单调递减，•当x 1 时,h(x) 取得最大划直,> h (X )max2 ,••• m> 2，即m 的取值范围是［2,)................................... 16分13分设公差为 d ，则 f(n) a 1C na 2C nL a k Ck nL a,C n n 1 n1a n C n ,且 f (n) a n C n a n 1C nLa k CL 2 1a 2C na 1C n-12分相加得2：f(n) 2a n1 (a 1 a n 1)(CnC 2L C LC nC n1),• f (n) a na n 2 -(C n C 2 L c n L c n 1)a a 1a na n 2-(2n 2)1 1(n 1)d 2 (n 2)d (2n 1 1).• f (n) 1 (d 2) 2 (n 2)d 2n 1(n 1)2n 对 n *N 恒成立，即（d2）(d 2)(n 2)2n 10对n N*恒成立，• d 2.•…15分n *（n 1）2对一切n N 都成立,（3）假设数列a n 能为等差数列，使得f(n) 1故a n 能为等差数列，使得f(n) 1 (n 1)2n 对一切 nN *都成立，它的通项公式为(2)V• f(n)C n 2c n 4C 3 L 2n1c n ，• 1 2f (n)3n故 f (n)22C n 22C 223Cn L2n C ； (1 2)n3n ，10分N ).16分。
2014-2015年江苏省苏州市张家港高中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年江苏省苏州市张家港高中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则的虚部为．2．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设．3．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a＝．4．（5分）若8名学生和2位老师站成一排合影，则2位老师不相邻的排法种数为．（只列式不计算）5．（5分）（1+x）7（1﹣x）5的展开式中，含x6项的系数是．6．（5分）设z为纯虚数，且|z﹣1|＝|﹣1+i|，则z＝．7．（5分）观察下列各式9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，则实数k的值是．9．（5分）用数学归纳法证明不等式1+++…+＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取．10．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．11．（5分）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻两人之间至少有2个空椅子，共有种不同的坐法．（用数字作答）12．（5分）将20个相同的球全部放入编号为1，2，3的盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法共有种．（用数字作答）13．（5分）用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从n＝k到n＝k+1成立时，左边增加的项数是项．14．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+＝拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知中至少有一个小于2．16．（14分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（选做）z对应的点在直线x+y+3＝0上．17．（15分）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生必须在一起，有多少种不同的站法？（4）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？（5）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？18．（16分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．19．（16分）已知函数，且f（1）＝log162，f（﹣2）＝1．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列x n的项满足x n＝[1﹣f（1）]•[1﹣f（2）]•…•[1﹣f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；（3）猜想数列x n的通项，并用数学归纳法证明．20．（15分）已知，．（1）当n＝1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．2014-2015学年江苏省苏州市张家港高中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上）1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝1+i，则的虚部为﹣2．【解答】解：∵z1＝1﹣i，z2＝1+i，∴＝＝，∴的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．2．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设三个内角都大于60°．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故答案为三个内角都大于60°．3．（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a＝2．【解答】解：∵T r+1＝C5r•x5﹣r•（）r＝a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r＝3得r＝1，∴由题设知C51•a1＝10⇒a＝2．故答案为24．（5分）若8名学生和2位老师站成一排合影，则2位老师不相邻的排法种数为A88A92．（只列式不计算）【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故答案为：A88A925．（5分）（1+x）7（1﹣x）5的展开式中，含x6项的系数是0．【解答】解：（1+x）7（1﹣x）5＝（1+x）2（1﹣x2）5＝（1+2x+x2）（1﹣x2）5展开式中x6的系数为﹣C53+C52＝0，故答案为：0．6．（5分）设z为纯虚数，且|z﹣1|＝|﹣1+i|，则z＝±i．【解答】解：z为纯虚数设为：ai，且|z﹣1|＝|﹣1+i|，可得＝，解得a＝±1．z＝±i故答案为：±i；7．（5分）观察下列各式9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+3）2﹣（n+1）2＝4（n+2）（n∈N）．【解答】解：观察下列各式9﹣1＝32﹣12＝8＝4×（0+2），16﹣4＝42﹣22＝12＝4×（1+2），25﹣9＝52﹣32＝16＝4×（2+2），36﹣16＝62﹣42＝20＝4×（3+2），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+3）2﹣（n+1）2＝4（n+2）（n∈N）故答案为：（n+3）2﹣（n+1）2＝4（n+2）（n∈N）8．（5分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，则实数k的值是±．【解答】解：∵方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，不妨令x为实数，∴消去x得，∴k＝±．故答案为：k＝±．9．（5分）用数学归纳法证明不等式1+++…+＞（n∈N*）成立，其初始值至少应取8．【解答】解：不等式左边＝＝2﹣21﹣n，当n＝1，2，3，…6，7时不等式不成立．当n＝8，9…时，不等式成立，初始值至少应取8故答案为：8．10．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1＝＝，令12﹣3r＝3，∴r＝3，，∴ab＝1，a2+b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．11．（5分）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻两人之间至少有2个空椅子，共有60种不同的坐法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，用×表示人，用□表示空椅子，先将3人全排列，排好后有2个空位，将4张空椅子分成2组，插入空位，排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，分2种情况讨论：①将剩余的2张椅子分别插入两个空位，如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），即从4个空当中选2个插入，有C42种插法；②2张插入同一个空位，有C41种插法，再考虑3人可交换有A33种方法，所以，共有A33（C42+C41）＝60（种）．故答案为：60．12．（5分）将20个相同的球全部放入编号为1，2，3的盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法共有120种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，先在20个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下的17个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将17个球排成一列，排好后，有16个空位，在16个空位中任取2个，插入挡板，有C162＝120种方法，即有120种将17个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有120种，故答案为：120．13．（5分）用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从n＝k到n＝k+1成立时，左边增加的项数是2k项．【解答】解：在用数学归纳法证明：1+，在第二步证明时，假设n＝k时成立，即++…+＜k，则n＝k+1成立时，有++…+++…+＜k+1，∴左边增加的项数是（2k+2k﹣1）﹣（2k﹣1）＝2k．故答案为：2k．14．（5分）平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则+＝拓展到空间：设三棱锥A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有＝．【解答】解：∵A﹣BCD的三个侧棱两两垂直，∴AB⊥平面BCD．由已知有：CD上的高AE＝，h＝AO＝，∴h2＝，即＝．故答案为：＝．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知中至少有一个小于2．【解答】证明：假设都不小于2，则（6分）因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）即2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立（12分）综上中至少有一个小于2．（14分）16．（14分）已知m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（选做）z对应的点在直线x+y+3＝0上．【解答】解：（1）∵m∈R，复数z＝+（m2+2m﹣3）i为实数，∴，解得m＝﹣3；（2）∵z是纯虚数；∴＝0，m2+2m﹣3≠0，解得m＝0或m＝2；（3）z对应的点位于复平面第二象限；∴＜0，m2+2m﹣3＞0，解得m＜﹣3或1＜m＜2．（4）∵z对应的点在直线x+y+3＝0上．∴+（m2+2m﹣3）+3＝0，解得m＝0或．17．（15分）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生必须在一起，有多少种不同的站法？（4）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？（5）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？【解答】解：（1）先排女生，有A32种方法，再排其余学生，有A55种方法，共有种方法；（2）先排男生，有A44种方法，再插入女生，有A53种方法，共有种方法；（3）女生必须在一起，捆绑与女生全排，有种方法；（4）7名学生全排，甲乙顺序有2种，故有种方法；（5）第一类：女生甲在右端，A66＝720种，第二类，女生甲在不右端，则从中间5个位置中选一个给甲，再从除右端的剩余的5个位置选一个给乙，其余的5个人任意排，则此时的排法数为C51C51A55＝3000种，根据分类计数原理，可得720+3000＝3720种方法．18．（16分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的．（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【解答】解：（1）第r+1项系数为∁n r•2r，第r项系数为∁n r﹣1•2r﹣1，第r+2项系数为∁n r+1•2r+1依题意得到，即，解得n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项．所以，．（2）设第r+1项的系数最大，则解得又因为r∈N，所以r＝5∴展开式中系数最大的项为19．（16分）已知函数，且f（1）＝log162，f（﹣2）＝1．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列x n的项满足x n＝[1﹣f（1）]•[1﹣f（2）]•…•[1﹣f（n）]，试求x1，x2，x3，x4；（3）猜想数列x n的通项，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵，且f（1）＝log162，f（﹣2）＝1．∴＝log162＝，＝1解得：∴函数（2）由（1）中∴x n＝[1﹣f（1）]•[1﹣f（2）]•…•[1﹣f（n）]，当n＝1时，．当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，（3）由（2）中结论我们易得：．当n＝1时，结论显然成立设n＝k时，结论成立，即则当n＝k+1时，＝＝即n＝k+1时，结论也成立．故．20．（15分）已知，．（1）当n＝1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）当n＝1时，f（1）＝1，，f（1）＞g（1），当n＝2时，，，f（2）＞g（2），当n＝3时，，g（3）＝2，f（3）＞g（3）．（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，上面已证．②假设当n＝k时，猜想成立，即则当n＝k+1时，＝；而，下面转化为证明：只要证：，需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．所以，当n＝k+1时猜想也成立．综上可知：对n∈N*，猜想都成立，即成立．。
2020年江苏省苏州市常熟市高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1.已知，那么n=______．2.设i是虚数单位，若复数z满足z•（1-i）=i，则z=______．3.在某比赛中，选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，则有______种选题方法．4.若的二项展开式中二项式系数的和为______．5.已知随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3），则a= ______ ．6.若直线y=3x+b与曲线y=x3的图象相切，则实数b的值是______．7.设i是虚数单位，若复数z满足|z-i|=2，则|z|的最大值为______．8.在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用______来证明．9.从0，1，2，…，9这10个自然数中，任取2个不同的数，则这2个数恰好有一个是偶数的概率______．10.从集合A={1，2，3，4，5}中随机抽取3个数，其中最小数为X，则E（X）=______．11.古埃及发现如下有趣等式：，，，，…，按此规律，=______（n∈N*）．12.的展开式中，含x的项的系数为______．13.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为______．14.设函数f（x）=x2e x-ln t+a，若对任意的，f（x）在区间（-2，2）内总有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知复数（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．16.已知函数f（x）=e2x（sin x-3cos x）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．17.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（1）男、女同学各2名；（2）男、女同学分别至少有1名；（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．18.如图，某地有南北街道5条，东西街道5条，现在甲、乙、丙3名邮递员从该地西南角的邮局A出发，送信到东北角的B地，要求所走路程最短，设图中点C，D，E是交叉路口，且CD路段由于修路不能通行．（1）求甲从A到B共有多少种走法？（用数字作答）（2）求甲经过点E的概率；（3）设3名邮递员恰有ξ名邮递员经过点E，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．19.已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2，a3是展开式的前三项的系数．（1）求m的值；（2）求展开式的中间项；（3）当n≥2时，用数学归纳法证明：．20.设函数f（x）=ax-1-ln x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数在（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数，求证：函数g（x）的极大值小于1．答案和解析1.【答案】8【解析】解：∵A n2=n（n-1）=56∴n=-7或n=8又∵n为正整数，∴n=-7不成立，∴n=8故答案为8利用排列数公式，把A n2展开，再解关于n的一元二次方程即可．本题考查了排列数公式的应用，属于基础题，必须掌握．2.【答案】【解析】解：由z•（1-i）=i，得z=．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】6【解析】解：根据题意，选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，则需要在其他4个试题中选出2道即可，有C42=6种选法；故答案为：6．根据题意，原问题可以转化为在其他4个试题中选出2道，由组合数公式分析可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意问题的转化，属于基础题．4.【答案】32【解析】解：根据题意，若的二项展开式中二项式系数为C50、C51、C52、C53、C54、C55，则其二项式系数的和为C50+C51+C52+C53+C54+C55=25=32；故答案为：32根据题意，求出的二项展开式中二项式系数，结合二项式系数的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，属于基础题．5.【答案】3【解析】解：∵随机变量X的分布列为P（X=i）=，其中i=1，2，3；∴++=1，解得a=3．故答案为：3．根据概率和为1，列出方程即可求出a的值．本题考查了概率和为1的应用问题，是基础题目．6.【答案】±2【解析】解：y′=3x2，∴k=3x2=3，∴x=±1，即切点的横坐标为±1，代入曲线方程得切点坐标（1，1）或（-1，-1）它也在切线上，∴x=1代入y=3x+b，得b=-2，x=-1代入y=3x+b，b=-2，∴实数b为：±2．故答案为：±2．由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，求出实数b即可．本小题主要考查导数的几何意义、直线的斜率的概念等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：由|z-i|=2，所以复数z对应的点在以（0，1）为圆心，以2为半径的圆周上，所以|z|的最大值是点（0，3），故|z|的最大值为3．故答案为：3．由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，1）为圆心，以2为半径的圆周上，由此可得|z|的最大值是点（0，3），从而可得|z|的最大值．本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．8.【答案】A⊆B且B⊆A【解析】解：在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用A⊆B且B⊆A来证明．故答案为：A⊆B且B⊆A．由实数的不等关系类比到集合的包含关系即可本题考查了类比推理，实数的不等关系类比到集合的包含关系，属简单题9.【答案】【解析】解：从0，1，2，…，9这10个自然数中，任取2个不同的数，基本事件总数n=C102=45，取出的这2个数恰好有一个是偶数包含的基本事件个数m=C51C51=25，∴取出的2个数都是偶数的概率是：P===．故答案为：．先求出基本事件总数，再求出取出的2个数都是偶数包含的基本事件个数，由此能求出取出的2个数恰好有一个是偶数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10.【答案】【解析】解：从集合A={1，2，3，4，5}中随机抽取3个数，基本事件为=10（种）；抽出的最小数为X，则X的可能取值为1，2，3；计算P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以数学期望为E（X）=1×+2×+3×=．故答案为：．由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，再求数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是基础题．11.【答案】+【解析】【分析】本题考查了观察能力及归纳推理能力，属简单题.先观察再通过计算可归纳推理出答案.【解答】解：由，，，，…可归纳出：=+.故答案为：+.12.【答案】54【解析】解：在的展开式中，含x的项的系数为：=2+3+4+…+10=．故答案为：54．由已知写出x的项的系数，再由组合数的性质及等差数列的前n项和求解．本题考查二项式定理的应用，考查组合数公式的性质，训练了等差数列前n项和的求法，是基础题．13.【答案】4107【解析】解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2=x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x=1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n==2n-1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n=，可得当n=10即第12行，在加上第13行的前1个数（去除两边的1），所有项的个数和为56，则杨辉三角形的前12项的和为S12=212-1，则此数列前56项的和为S12+12=212+11=4107，故答案为：4107．利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x=1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．14.【答案】（1-，）【解析】解：函数f（x）=x2e x-ln t+a的导数为f′（x）=2xe x+x2e x=xe x（x+2），x∈（-2，2），令f′（x）=0，则x=0，当f′（x）＞0时，即0＜x＜2，当f′（x）＜0时，即-2＜x＜0，∴f（x）在x=0处是极小值，f（x）min=f（0）=a-ln t，∵，∴ln t∈[]，要使函数f（x）在区间（-2，2）内总有两个不同的零点，f（0）=a-ln t＜0，∴a＜；f（-2）＞0，-ln t+a＞0，a＞ln t-=1-；f（2）＞0，4e2-ln t+a＞0，a＞ln t-4e2=1-4e2；综上：a∈（1-，），故答案为：（1-，），判断函数f（x）的单调性，根据函数图象的走势判断．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：=．（1）由，得m=-2；（2）==，∵复数在复平面上对应的点在第四象限，∴，解得-2＜m＜2．【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z．（1）由实部为0且虚部不为0求解；（2）求出复数，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16.【答案】解：（1）函数f（x）=e2x（sin x-3cos x）．f′（x）=2e2x（sin x-3cos x）+e2x（cos x+3sin x）=e2x（cos x+3sin x）=5e2x（sin x-cos x）=5e2x sin （x-）．（1）函数f（x）在点（0，f（0））处即在（0．-3）处切线斜率为k=f′（0）=-5；∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y+3=-5（x-0）；即：y=-5x-3；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．∵f′（x）=5e2x sin（x-）．可知：当x∈[0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）=e2x（sin x-3cos x）单调递减．当x∈（，]时，f′（x）＞0，函数f（x）=e2x（sin x-3cos x）单调递增．由函数的单调性可知：f（）=-为函数在区间上的最小值．f（0）=-3；f（）=eπ；∴函数在区间上的最大值为：f（）=eπ【解析】（1）求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值与切线方程即可．（2）利用函数f（x）在区间上单调性求最大值和最小值即可．本题考查了导数的综合应用问题，属于中档题．17.【答案】解：（1）男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种，故总的不同选法有60×A44=1440种；即男女同学各两名的选法共有1440种．（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，故选人种数为C41×C53+C42×C52+C43×C51=40+60+20=120故总的安排方法有120×A44=2880故不同的选法有2880种．（3）可计算男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有C32+C41×C31+C42=21故总的选法有2880-21×A44=2376故不同的选法种数是2376种.【解析】（1）可分两步求解，先选出四人，再作一全排列计算出不同的选法种数；（2）可分两步求解，先选出四人，再作一全排列计算出不同的选法种数，由于“男、女同学分别至少有1名”包括了三个事件，“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，选人时要分三类计数，然后再进行全排列；（3）可计算出男同学甲与女同学乙同时选出的情况种数，从（2）的结果中排除掉，即可得到事件“在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出”的选法种数.本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是正确理解题设中的事件，及理解计数原理，本题考查了分类的思想及运算的能力．18.【答案】解：（1）C-C•C=52．（2）P==（3）ξ～B（3，），P（ξ=0）=C（）0×（）3=，P（ξ=1）=C••（）2=，P（ξ=2）=C（）2•=，P（ξ=3）=C（）3=，ξ 0 123PEξ=0×+1×+2×+3×=．【解析】（1）间接法；（2）古典概型概率公式可得；（3）利用二项分布概率公式和数学期望公式．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.【答案】解：（1）a1==1，a2=•=，a3=•（）2=，∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即1+=m，解得m=1或m=8．当m=1时，是展开式没有第三项，不符合题意，∴m=8．（2）（1+x）8的展开式共有9项，中间项为第5项，∴展开式的中间项为•14•（x）4=x4．（3）由（1）可知{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列．∴a n=1+3（n-1）=3n-2．当n=2时，++==＞，假设当n=k时，+++……+＞，则当n=k+1时，++……++++……+=+++……++++……+-＞+++……+-，＞+-=+，显然当k≥3时，＞0，故当n=k+1时，++……++++……+＞．∴当n≥2时，．【解析】（Ⅰ）运用二项式定理，求得前三项，运用等差数列中项性质，解方程可得m；（Ⅱ）（1+x）m展开式的中间项是第五项，运用通项公式可得所求；（Ⅲ）运用等差数列通项公式可得a n=3n-2，再由数学归纳法证明，注意检验n=2，不等式成立；假设n=k，不等式成立；证明n=k+1时，运用不等式的性质可得证明．本题主要考查数学归纳法的证明，同时考查二项式定理的运用，等差数列中项性质，考查化简运算和推理能力，属于中档题．20.【答案】（1）解：f'（x）=（x＞0），当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+）上单调递减；当a＞0时，令f'（x）=0，则x=，∴当0＜x＜时，f'（x）＜0；当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增.（2）解：函数f在（0，+∞）时恒成立，即a≥在（0，+）上恒成立，令h（x）=（x＞0），则h'（x）=-，令h'（x）=0，则x=，∴当时，h'（x）＞0；当x＞时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，∴，∴a，∴a的取值范围为[，+）.（3）证明：g =（x＞0），则g'（x）=，令F（x）=1+-ln x（x＞0），显然F（x）在（0，+）上单调递减，又F（1）=2＞0，F（e2）=＜0，∴∃x0∈（1，e2），使得F（x0）=0，∴当0＜x＜x0时，g'（x）＞0；当x＞x0时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，∴g（x）极大值=g（x0）==＜1.∴g（x）的极大值小于1．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和构造法，属中档题．（1）对f（x）求导，分a≤0和a>0两种情况讨论单调性；（2）函数在（0，+∞）时恒成立，即a在（0，+）上恒成立，利用分离参数法求出函数h（x）=的最大值，即可解答；（3）化简得g（x）=，对g（x）求导，判断单调性，然后求出极值，证明其小于1．第11页，共11页。
江苏省常熟市2020-2021学年高二下学期期中考试理数试题
（2）若函数 在 时恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 ，求证：函数 的极大值小于1.
参考答案
1．8
【分析】
由排列数的公式将原式化为关于 的一元二次方程，即可求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，因为 ，
所以 .
故答案为8
【点睛】
本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可，属于基础题型.
14．设函数 ，若对任意的 ， 在区间 内总有两个不同的零点，则实数 的取值范围是____.
二、解答题
15．已知复数 （ ， 是虚数单位）.
（1）若 是纯虚数，求 的值；
（2）设 是 的共轭复数，复数 在复平面上对应的点在第四象限，求 的取值范围.
16．已知函数 .
（1）求函数 在点 处的切线方程；
【详解】
设直线 与曲线 的切点为 ，
由 得 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又直线 与曲线 切于点 ，所以 ，因此 ，所以 或 ，
因为点 在直线 上，所以 .
故答案为
【点睛】
本题主要考查由直线与曲线相切求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
7．3
【分析】
先设复数 所对应坐标为 ，根据 得到 所满足关系式，再由 表示点 到原点的距离，进而可求出结果.
【详解】
说明 集合和 集合元素完全相同，既互为子集的关系
本题正确结果： 且
【点睛】
本题考查合情推理中的类比推理，属于基础题．
9．
【分析】
先求出“从10个数中取出2个不同的数”所包含的基本事件总数，再求出“这2个数恰好有一个是偶函数”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即是所求概率.
江苏省常熟市2019-2020学年高二下学期期中考试数学含答案
2019－2020学年第二学期期中试卷高二数学2020.05注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)，本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知复数z＝21ii(其中i是虛数单位)，则复数z的虛部为A.－1B.－iC.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的关系是v(t)＝0.4t ＋0.6t2，则火车开出几秒时加速度为 2.8m/s2A.32s B.2s C.52s D.73s3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为A.33B.22C.63D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数f(x)＝x3－3bx＋2在区间(2，3)内单调递增，则实数b的取值范围是A.b≤4B.b<4C.b≥4D.b>46.如图，在圆锥PO的轴截面PAB中，∠APB＝60°，有一小球O1内切于圆锥(球面与圆锥的侧面、底面都相切)，设小球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V，则V1：V的值为A.13B.49C.59D.237.若函数2xx f xax e存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1e) B.(0，1e) C.(－∞，0)∪{1e} D.(－∞，0)∪(0，1e)8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为A.252B.216C.162D.228二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
2020-2021学年苏州市常熟中学高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年苏州市常熟中学高二下学期期中数学复习卷1一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是．2.现有4个袋子，其中3个袋中均装有3个白球，2个黑球，1个袋中装有2个白球，1个黑球，从4个袋中分别随机地取出1个球，设X为取出的白球个数，则X的数学期望为______ ．3.已知复数z1=1+2i，z2=2+i，则|z2−z1|=______．4.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是．5.6.已知(x+√a3x )6的展开式中，常数项为40，则∫x a1dx=______ ．7.从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”，其中互为对立事件的有______ .(写出所有正确的编号)8.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有______.(用数字作答)9.已知数列满足，若不等式恒成立，则整数m的最小值是．10.(5x−12y)7的展开式中x2y5的系数是______.(用数值作答)11.一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，∠AEF=90°，AE=a，EF=b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为a 4a 2+(a−b)2．12. 代数式1+11+11+⋯(“…”表示无限重复)是一个固定的值，可以令原式=t ，由1+1t=t 解得其值为√5+12，用类似的方法可得√2+√2+√2+⋯= ______ ．13. 已知A n 3=C n 4，则n = ______ ．14. 已知函数f(x)={x 2−2x −16x−1+a,x ≤0lnx x2,x >0存在三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 设复数z 1=4−3i ，z 2=1+2i ，则复数z =z1z 2在复平面内所表示的点位于第几象限？16. 随着节能减排意识深入人心，共享单车在各大城市大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车，为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：(1)如果用户每周使用共享单车超过3次，那么认为其“喜欢骑行共享单车”请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关；(2)每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，将频率视为概率，在我市所有的“骑行达人”中随机抽取4名，求抽取的这4名“骑车达人”中，既有男性又有女性的概率． 附表及公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ；17. 已知(x +12)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，设(x +12)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ；求：(Ⅰ)求n 的值；(Ⅱ)求a 0−a 1+a 2+⋯+(−1)n a n 的值．18.盒中装有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的).从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．求：(1)X的分布列；(2)至少有5个旧球的概率．19.证明下列命题：(1)若函数f(x)可导且为周期函数，则f′(x)也为周期函数；(2)可导的奇函数的导函数是偶函数．−2)(a+1),a∈R．20.已知函数f(x)=alnx+(1x(Ⅰ)试求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若不等式f(x)≥a(lnx−e x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：96解析：连号的情况有 1，2 ， 2，3 ， 3，4 ， 4，5 ，共四种，比如把连号 1，2 ，3，4，5全部分给4人，每人至少一张，则有种，故不同的分法种数是种.【考点定位】本小题考查了排列和排列数的计算，考查了应用意识．2.答案：3715解析：解：由题意知X =0，1，2，3，4， P(X =0)=(25)3×13=8375，P(X =1)=(25)3×23+C 31(35)(25)2×13=52375， P(X =2)=C 31(35)(25)2×23+C 32(35)2(25)×13=126375， P(X =3)=C 32(35)2(25)×23+C 33(35)3×13=135375，P(X =4)=C 33(35)3×23=54375，∴EX =0×8375+1×52375+2×126375+3×135375+4×54375=3715．故答案为：3715．由题意知X =0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的数学期望． 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．3.答案：√2解析：解：∵z 1=1+2i ，z 2=2+i ， ∴z 2−z 1=2+i −(1+2i)=1−i ， 则|z 2−z 1|=√2． 故答案为：√2根据复数的减法法则进行运算，结合复数的模长公式进行求解即可．本题主要考查复数的模长计算，根据复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．4.答案：解析：试题分析：和联立解得两曲线的交点为(1,1)，的导函数为，所以它在交点处切线的斜率为−1，它在交点处切线的方程为，它与轴交点的坐标为(2,0)，的导函数为，所以它在交点处切线的斜率为2，它在交点处切线的方程为，它与轴交点的坐标为，所以两条切线与轴所围成的三角形的面积为．考点：曲线的切线、曲线的交点．5.答案：100解析：解：由题意知： 故答案是100．6.答案：13解析：解：(x +√a 3x )6的展开式中的通项公式为：C 6r x 6−r (√a 3x)r =C 6r x6−2ra r3， 令6−2r =0，r =3，∴C 63a =40，a =2，则∫x a 10dx =∫x 210dx =13x 3丨01=13，故答案为：13．运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再令x 的次数为0，求出a ，再由定积分的运算法则，即可求得．本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．7.答案：②④解析：解：从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张， ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会为对立事件；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是对立事件．故答案为：②④由题意和互斥事件和对立事件的定义，逐个判断即可．本题考查互斥事件和对立事件，属基础题．8.答案：16解析：解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有C21C42=12种，若在物理、历史两门科目中选两门，则有C22C41=4种，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，故答案为：16．分在物理、历史两门科目中只选一门，在物理、历史两门科目中选两门，分别求解即可．本题考查了分类计数原理，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．9.答案：3解析：本题求通项比较困难，可以写出几项，再猜出通项，后用裂项相消法求和．解：猜想，可以用数学归纳法证明这个猜想正确．所以，所以，，所以，又m 为整数，所以m 的最小值为3． 故答案为3．10.答案：−52532解析：解：(5x −12y)7的展开式的通项公式为T r+1=C 7r⋅(5x)7−r ⋅(−12y)r ， 故令r =5，可得展开式中x 2y 5的系数为C 75⋅×52×(−12)5=−52532，故答案为：−52532．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x 2y 5的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．11.答案：解：令AB =c∵∠AEF =90° ∴△ABE∽△ECF ∴AB EC=AE EF =ab∴EC =bc a∴BE =c(1−ba ) 且有AB 2+BE 2=AE 2 即c 2+c 2(1−ba )2=a 2∴c2=a21+(1−ba )2=a4a2+(a−b)2故正方形ABCD的面积S=a 4a2+(a−b)2又∵正四棱柱的高为1，∴此正四棱柱的体积V=a4a2+(a−b)2故答案为：a 4a2+(a−b)2解析：令AB=c，由△ABE∽△ECF可得ABEC =AEEF=ab，进而得到BE=c(1−ba)，再由勾股定理可得c2=a4a2+(a−b)2，进而代入棱柱体积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积公式，其中根据三角形相似得到BE=c(1−ba)，进而得到c2=a4a2+(a−b)2是解答的关键．12.答案：2解析：解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子．令√2+√2+√2+⋯=m(m>0)，则两边平方得，2+√2+√2+√2+⋯=m2，即2+m=m2，解得，m=2(−1舍去)．故答案为：2．通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．13.答案：27解析：解：∵A n3=C n4，∴n(n−1)(n−2)=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，化为n−3=24，解得n=27．故答案为：27．利用排列与组合计算公式即可得出．本题考查了排列与组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：−16≤a<−11解析：解：当x>0时，由f(x)=lnxx2=0得lnx=0，即x=1，此时函数f(x)在x>0时，只有一个零点，若f(x)存在三个不同的零点，则等价为当x≤0时，f(x)有两个零点，由f(x)=0得x2−2x−16x−1+a=0得−a=x2−2x−16x−1，设ℎ(x)=x2−2x−16x−1，x≤0，则ℎ′(x)=2(x−1)+16(x−1)2=2(x−1)3+16(x−1)2，当ℎ′(x)>0时，2(x−1)3+16>0，即(x−1)3>−8，即x−1>−2，即−1<x≤0，此时ℎ(x)为增函数，当ℎ′(x)>0时得x<−1，此时ℎ(x)为减函数，即当x=−1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(−1)=1+2+8=11，ℎ(0)=16，在要使y=−a与ℎ(x)在x≤0时有两个不同的交点，则11<−a≤16，即−16≤a<−11，故答案为：−16≤a<−11．先求出当x>0时的函数零点个数，转化为求当x≤0时，函数的零点个数，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件利用参数分离法，根据条件构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和图象是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．15.答案：解：∵z1=4−3i，z2=1+2i，∴z=z1z2=4−3i1+2i=(4−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−25−115i，∴z 在复平面内对应的点的坐标为(−25,−115)，在第三象限．解析：把z 1=4−3i ，z 2=1+2i 代入z =z1z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16.答案：解：(1)根据题意完成下面的2×2列联表，根据表中数据，计算K 2=100×(10×30−45×15)255×45×25×75=10033≈3.030<3.841，所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关； (2)视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取1名用户， 该用户为男“骑行达人”的概率为35，女“骑行达人”的概率为25； 抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为 P =1−(35)4−(25)4=528625．解析：(1)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出统计结论； (2)由排列组合以及对立事件的概率公式，计算即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了利用排列组合求概率的应用问题，是基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵(x +12)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，∴2C n 1⋅12=C n 0+C n 2×(12)2，求得n =1(舍去)，或n =8．(Ⅱ)在(x +12)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8中，令x =−1，可得 求a 0−a 1+a 2+⋯+(−1)8a 8=(−1+12)8=128．解析：(Ⅰ)由(x +12)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，可得2C n1⋅12=C n 0+C n 2×(12)2，由此求得求得n 的值．(Ⅱ)在(x +12)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8中，令x =−1，可得a 0−a 1+a 2+⋯+(−1)8a 8的值． 本题主要考查等差数列的定义和性质，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．18.答案：解：(1)X 的可能取值为3，4，5，6，P(X =3)=C 33c 123=1220，P(X =4)=C 32⋅C 91C 123=27220，P(X =5)=C 31⋅C 92C 123=2755，P(X =6)=C 93C 123=2155．故X 的分布列为：(2)P(X ≥5)=2755+2155=4855．至少有5个旧球的概率为4855．解析：(1)根据超几何分布的概率公式计算X 的各种取值对应的概率； (2)根据互斥事件的概率加法计算． 本题考查了超几何分布列，属于基础题．19.答案：证明：(1)设f(x)的周期为T ，则f(x)=f(x +T)．∴f′(x)=[f(x +T)]′=f′(x +T)⋅(x +T)′=f′(x +T)，即f′(x)为周期函数且周期与f(x)的周期相同．…(5分) (2)∵f(x)为奇函数， ∴f(−x)=−f(x)． ∴[f(−x)]′=[−f(x)]′． ∴f′(−x)⋅(−x)′=−f′(x)．∴f′(−x)=f′(x)，即f′(x)为偶函数 …(10分)解析：(1)利用复合函数导数公式及周期性定义即可证明； (2)利用复合函数导数公式及奇偶性定义即可证明；本题考查复合函数的求导公式及周期性及奇偶性的证明，有一定的综合性20.答案：解；(Ⅰ)∵f(x)=alnx +(1x −2)(a +1),(a ∈R,x >0)．∴f′(x)=ax −a+1x 2=ax−(a+1)x 2．①若−1≤a ≤0，则f′(x)<0，即f(x)在区间(0,+∞)上单调递减； ②若a >0，则当0<x <a+1a时，f′(x)<0；当x >a+1a时，f′(x)>0；∴f(x)在区间(0,a+1a)上单调递减，在区间(a+1a,+∞)上单调递增；③若a <−1，则当0<x <a+1a时，f′(x)>0；当x >a+1a时，f′(x)<0；∴函数f(x)在区间(0,a+1a)上单调递增，在区间(a+1a,+∞)上单调递减．综上所述，若−1≤a ≤0，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减； 若a >0，函数f(x)在区间(0,a+1a)上单调递减，在区间(a+1a,+∞)上单调递增； 若a <−1，函数f(x)在区间(0,a+1a)上单调递增，在区间(a+1a,+∞)上单调递减．(Ⅱ)依题意得f(x)≥a(lnx −e x )⇔ae x +(1x −2)(a +1)≥0，令ℎ(x)=ae x +(1x −2)(a +1).∵ℎ(1)≥0，则a(e −1)≥1，即a ≥1e−1>0． 于是，由ae x +(1x −2)(a +1)≥0，得aa+1e x +1x −2≥0， 即aa+1≥2x−1xe x对任意x >0恒成立．设函数F(x)=2x−1xe x(x >0)，则F′(x)=−(2x+1)(x−1)x 2e x．当0<x <1时，F′(x)>0；当x >1时，F′(x)<0； 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减； 所以[F(x)]max =F(1)=1e ． 于是，可知aa+1≥1e ，解得a ≥1e−1． 故a 的取值范围是[1e−1,+∞)．解析：(Ⅰ)f′(x)=ax −a+1x 2=ax−(a+1)x 2.对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．(Ⅱ)依题意得f(x)≥a(lnx −e x )⇔ae x +(1x −2)(a +1)≥0，令ℎ(x)=ae x +(1x −2)(a +1).∵ℎ(1)≥0，则a(e−1)≥1，即a≥1e−1>0.于是，由ae x+(1x−2)(a+1)≥0，得aa+1e x+1x−2≥0，即aa+1≥2x−1xe x对任意x>0恒成立．函数F(x)=2x−1xe x(x>0)，利用导数研究函数的单调性可得最大值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学复习卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设复数z =x +yi(x,y ∈R,y ≠0)，z 2+2z ∈R ，z 在复平面上所对应点在直线y =x 上，则|z|=______ ．2. 设集合A ={x|log 2x <1}，B ={x|x−1x+2<0}，则A ∩B =______． 3. 幂函数y =f(x)的图象经过点(4,12)，则f(4)的值为______． 4. 在△ABC 中，cos 2A2=b+c 2c(a,b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则cosA+B 2= ______ ．5. 已知函数f =4cos x ·sin 的最小正周期为π，则f(x)的最小值为 ．6. 计算的结果为___________．7. 在△ABC 中，D 为BC 边长一点，AD =2，∠DAC =60°.若AC =4−CD 且△ABC 的面积为4√3，则sin∠ABC =______．8. 已知函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤3(x −4)2,x >3，若方程f(x)=m 有四个不同的实数根，由小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则4x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是______ ． 9. 奇函数在上的解析式是，则在上的函数析式是_______________．10. 函数y =log 12(−x 2+3x −4)的单调增区间为______ ． 11. 对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为______12. 已知：sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，则cos(α−β)= ______ ．13. 若函数f(x)=x 3+x ，且f(2a −10)+f(3a)<0，则实数a 的取值范围是______．(x∈R)，若关于x的方程f2(x)−kf(x)+k−1=0恰好有4个不相等的实数根，14.已知f(x)=|x|e x则实数k的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.(本小题满分12分)已知复数，，当时，求的取值范围．16.已知α、，且tanα、tanβ是方程x2−5x+6=0的两根．①求α+β的值．②求tan(α−β)的值．17.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？18.如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上(1)当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；(2)实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．19.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[−5,5]．(1)当a=−1时，求函数y=f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在［−5，5］上是单调增函数．20.已知函数．(Ⅰ)求在点处的切线方程；(Ⅱ)当时，若不等式恒成立，求的取值范围．【答案与解析】1.答案：√2解析：解：∵z2+2z=x2−y2+2x+(2xy−2y)i∈R，∴2xy−2y=0①．又z在复平面上所对应点在直线y=x上，可得x=y②．由①②可得x=y=1，则|z|=√x2+y2=√2，故答案为：√2．根据条件求得2xy−2y=0，且x=y，由此求得x、y的值，从而求得|z|的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2.答案：{x|0<x<1}解析：解：由已知，集合A中的不等式log2x<1=log22，由2>1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域为：x>0得到：0<x<2；而集合B中的不等式x−1x+2<0可化为{x−1>0x+2<0或{x−1<0x+2>0，解得−2<x<1，则A={x|0<x<2}，B={x|−2<x<1}，所以A∩B={x|0<x<1}．故答案为：{x|0<x<1}．把集合A中的1变为log22，然后利用对数函数的定义域和对数函数为增函数即可求出x的范围即可得到集合A；由集合B中的不等式得到x−1与x+2异号，列出不等式求出解集即可得到集合B，然后求出A与B的交集即可．本题考查学生会求对数函数的定义域以及灵活运用对数函数的增减性解决实际问题，理解不等式x−ax−b<0与不等式(x−a)(x−b)<0同解，掌握交集的定义并会进行交集的运算．3.答案：−12解析：解：因为函数y=f(x)为幂函数，所以可设f(x)=x a，依题意得f(4)=12，∴4a =12，解得a =−12 故答案为：−12．根据幂函数概念，设出幂函数的解析式，然后代入点的坐标，解出a.然后计算f(4)． 本题考查了幂函数的解析式的求法，属基础题．4.答案：√22解析：解：在△ABC 中，∵cos 2A2=b+c2c，∴1+cosA 2=sinB+sinC 2sinC=12⋅sinB sinC +12，∴1+cosA =sinBsinC +1，∴cosAsinC =sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∴sinAcosC =0，又sinA ≠0，∴cosC =0，∴C 为直角， ∴cosA+B 2=cosπ−C 2=sin C 2=sin π4=√22， 故答案为：√22．由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式求得cosC =0，可得C 为直角，再根据 cos A+B 2=cosπ−C 2=sin C2求得结果．本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．5.答案：−2+解析：由已知得f(x)=2 cos ωx ·(sin ωx +cos ωx)=(sin 2ωx +cos 2ωx +1)=2sin(2ωx +)+，因为最小正周期为π，所以=π，ω=1，所以f(x)=2sin(2x + )+，所以f(x)的最小值为−2+．6.答案：1.解析：试题分析：由对数恒等式知，根据对数运算法则知，∴．考点：对数的运算及对数恒等式．7.答案：√3926解析：解：如图，设CD=x，则AC=4−x，由题意，△ACD中，根据余弦定理可得：x2=22+(4−x)2−2×2×(4−x)×cos∠DAC，整理可得：x=2，可得：CD=AD=AC=2，可得：C=60°，由于△ABC的面积为4√3=12×AC×BC×sin60°=12×BC×2×√32，解得：BC=8，由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC=√22+82−2×2×8×12=2√13，可得：△ABC的面积为4√3=12×AB×BC×sin∠ABC=12×2√13×8×sin∠ABC，解得：sin∠ABC=√3926．故答案为：√3926．设CD=x，则AC=4−x，由余弦定理可得CD=AD=AC=2，可得：C=60°，利用三角形面积公式可求BC的值，根据余弦定理可求AB的值，进而利用三角形的面积公式可求sin∠ABC的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．8.答案：[12,13)解析：解：作函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤3(x −4)2,x >3的图象如下，由题意知，x 1x 2=1，x 3+x 4=8； 4x 1+x 2≥2√4=4，(当且仅当4x 1=x 2，即4x 1=x 2=2时，等号成立)； 故4x 1+x 2+x 3+x 4≥12， 且4x 1+x 2+x 3+x 4<13； 故答案为：[12,13)．作函数f(x)={|log 3x|,0<x ≤3(x −4)2,x >3的图象，从而可得x 1x 2=1，x 3+x 4=8；从而由基本不等式确定的取值范围．本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于中档题．9.答案：解析：试题分析：为奇函数且在上的解析式是，故当时，，，故．考点：求奇函数在相反区间的解析式10.答案：[32,4)解析：解：∵−x 2+3x −4>0， ∴−3<x <4，令f(x)=−x 2+3x −4， 对称轴x =32，开口向下，∴f(x)在[32,4)递减，∴y =log 12(−x 2+3x −4)在[32,4)递增，故答案为：[32,4)．先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性，结合二次函数以及对数函数的单调性，从而得到函数的单调区间．本题考查了复合函数的单调性，考查了对数函数以及二次函数的性质，是一道基础题．11.答案：−505解析：解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10=55， 且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462−472+482−492+502−512+522−532+542−552 =−(46+47+48+49+50+51+52+53+54+55)=−505， 故答案为：505． 故第10行的第一个数为1+(1+9)×92=46，第10行的最后一个数无45+10=55，由此能求出第10行所有数的和．本题考查数列中第10行所有数的和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．12.答案：34解析：解：∵sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，∴平方相加得sin 2α−2sinαsinβ+sin 2β+cos 2α−2cosαcosβ+cos 2β=14+14=12， 即2−2cos(α−β)=12， 则2cos(α−β)=32， 则cos(α−β)=34， 故答案为：34．根据两角和差的余弦公式，将条件进行平方相加即可得到结论．本题主要考查三角函数值的化简和计算，利用平方关系结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．13.答案：(−∞,2)解析：解：根据题意，函数f(x)=x3+x，则有f(−x)=(−x)3+(−x)=−(x3+x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；又由f′(x)=3x2+1>0，则函数f(x)在R上为增函数；f(2a−10)+f(3a)<0⇒f(2a−10)<−f(3a)⇒f(2a−10)<f(−3a)⇒2a−10<−3a，解可得：a<2，即a的取值范围为(−∞,2)；故答案为：(−∞,2)．根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)=−f(x)，即可得函数f(x)为奇函数，求出f(x)的导数，分析可得f(x)在R上为增函数；据此可得f(2a−10)+f(3a)<0⇒2a−10<−3a，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f(x)的奇偶性与单调性，属于基础题．14.答案：(1,1+1e)解析：解：化简可得f(x)=|x|e x ={xe x,x≥0−xe x,x<0，当x≥0时，f′(x)=1−xe x，当0≤x<1时，f′(x)>0，当x≥1时，f′(x)≤0∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减；当x<0时，f′(x)=x−1e x<0，f(x)为减函数，∴函数f(x)=|x|e x 在(0,+∞)上有一个最大值为f(1)=1e，作出函数f(x)的草图如图：设m=f(x)，当m>1e时，方程m=f(x)有1个解，当m=1e时，方程m=f(x)有2个解，当0<m<1e时，方程m=f(x)有3个解，当m =0时，方程m =f(x)，有1个解， 当m <0时，方程m =f(x)有0个解，则方程f 2(x)−tf(x)+t −1=0等价为m 2−tm +t −1=0，要使关于x 的方程f 2(x)−tf(x)+t −1=0恰好有4个不相等的实数根， 等价为方程m 2−tm +t −1=0有两个不同的根m 1>1e 且0<m2<1e ， 设g(m)=m 2−tm +t −1，则{g(0)=t −1>0g(1e )=1e 2−te +t −1<0−−t 2>0，解得1<t <1+1e ， 故选答案为：(1,1+1e )．求函数的导数，判断函数的取值情况，设m =f(x)，利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．15.答案：解：由题意得：所以即所以所以，解得：，故实数a 的取值范围是．解析：本题主要考查复数的综合计算问题，先化简复数z，然后代入到，再求出，然后根据，建立关于a的不等式即可求出a的取值范围．16.答案：解：①∵tanα、tanβ是方程x2−5x+6=0的两根，解方程可得两根为2和3，即tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，∴α、β∈(0,π2)，α+β∈(0,π)，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，又可得α、β∈(0,π2)，α+β∈(0,π)，∴α+β=3π4；②当tanα=2，tanβ=3时，tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−17；当tanα=3，tanβ=2时，tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=17解析：①解方程可得tanα、tanβ的值，代入两角和的正切公式计算可得其值，结合角的范围可得；②代入两角差的正切公式计算可得．本题考查两角和与差的正切函数公式，涉及一元二次方程和分类讨论的思想，属中档题．17.答案：解：(1)设函数关系式为z=Asin(ωt+φ)+B，A>0，B>0，ω>0，，依题意可知z的最大值为6，最小值为−2，∴{A+B=6−A+B=−2⇒{A=4B=2；水轮转一圈需要12s，则最小正周期为12，，得z=4sin(π6t+φ)+2，当t=0时，z=0，得sinφ=−12，，则φ=−π6，故所求的函数关系式为z=4sin(π6t−π6)+2，t≥0；(2)令z=4sin(π6t−π6)+2=6，得sin(π6t−π6)=1，取，得t =4+12k ，k ∈Z ，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ．解析：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，属于中档题． (1)设函数关系式为z =Asin(ωt +φ)+B ，A >0，B >0，ω>0，，先根据z 的最大和最小值求得A 和B ，利用周期求得ω，当t =0时，z =0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得； (2)令z =6，即z =4sin(π6t −π6)+2=6，可求得时间．18.答案：解：(1)当点M ，N 分别是边AB 中点和AD 靠近D 的三等分点时，tan∠DCN =13，tan∠MCB =12，如图所示； 所以tan(∠DCN +∠MCB)=13+121−13×12=1，所以∠DCN +∠MCB =π4， 所以∠MCN =π4， 所以cos∠MCN =√22；(2)设AM =x ，AN =y ，则MN 2=x 2+y 2=(1.2−x −y)2， 可得xy =1.2(x +y)−0.72， 又tan∠DCN =0.6−y 0.6，tan∠MCB =0.6−x 0.6， 所以tan(∠DCN +∠MCB)=0.6−y 0.6+0.6−x0.61−0.6−y 0.6×0.6−x 0.6=0.72−0.6(x+y)0.6(x+y)−xy，将xy =1.2(x +y)−0.72代入上式，计算得tan(∠DCN +MCB)=1， 所以∠DCN +∠MCB =π4， 所以∠MCN =π4为定值．解析：(1)根据题意计算tan∠DCN 和tan∠MCB 的值，求出tan(∠DCN +∠MCB)的值，即得∠MCN ，再求cos∠MCN ；(2)设AM =x ，AN =y ，利用余弦定理求出xy 、再计算tan∠DCN 、tan∠MCB ，从而求得tan(∠DCN +∠MCB)，得出∠MCN 为定值．本题考查了三角形中边角关系应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，函数表达式是f(x)=x2−2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，在区间(−5,1)上函数为减函数，在区间(1,5)上函数为增函数．∴函数的最小值为[f(x)]min=f(1)=1，函数的最大值为f(5)和f(−5)中较大的值，比较得[f(x)]max=f(−5)=37综上所述，得[f(x)]max=37，[f(x)]min=1；(2)∵二次函数f(x)图象关于直线x=−a对称，开口向上∴函数y=f(x)的单调减区间是(−∞,−a]，单调增区间是[−a,+∞)，由此可得：当[−5,5]⊂[−a,+∞)时，即−5≥−a时，f(x)在[−5,5]上单调增，解之得5≤a．综上所述满足条件的实数a的取值范围是[5,+∞)．解析：本题考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值及函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)当a=−1时f(x)=x2−2x+2，可得区间(−5,1)上函数为减函数，在区间(1,5)上函数为增函数．由此可得[f(x)]max=37，[f(x)]min=1；(2)由题意，得函数y=f(x)的单调增区间是[−a,+∞)，由[−5,5]⊂[−a,+∞)解出5≤a，即为实数a 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)，，，∴在点处的切线方程为，即；(Ⅱ)当时，，记，则有，当时，，∴的递增区间为；当时，，∴的递减区间为，∴，由当时，可知的最大值为，∴，即，∴的取值范围为.解析：本题考查利用导数曲线上某点处的切线方程及函数的单调区间与不等式恒成立问题，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)先求函数的导数，进而即可求得结果；(Ⅱ)不等式恒成立可转化为恒成立，构造新函数利用导数即可求得结果．。
江苏省常熟市高二数学下学期期中试题 文(含解析)
6.计算： ________．
【答案】1
【解析】
【分析】
用对数的运算性质计算即可．
【详解】 ，填 ．
【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：
（1） ；
；
（2） ； ;
（3） ．
7。已知在 中， ， ， 分别为角 ， , 的对边，若 ， ， ,则 _________．
【答案】（1)4；（2) .
【解析】
【分析】
(1）利用辅助角公式把 化为 ，再利用 得到 满足的关系式，结合 可求 的值。
（2）利用周期变换得到 ，算出 后可得 的值域.
【详解】（1)
，
由 ，则 ,
所以 ，则 ，
由 ，可知 .
（2）因为 ，所以 ，
由 ，则 ，
所以 ，即 的取值范围是 。
【点睛】形如 的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为 的形式,再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．
故 ，填 ．
【点睛】本题考查复数的除法及复数的概念，属于基础题．
2。已知集合 , ，则 _________。
【答案】 。
【解析】
【分析】
分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合 和 ，再根据交集的定义求出 .
【详解】∵集合 ，
，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.
18.如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道.已知小区某处三幢房屋分别位于扇形 的三个顶点上，点 是弧 的中点，现欲在线段 上找一处开挖工作坑 (不与点 , 重合),为铺设三条地下天燃气管线 ， , ，已知 米， ，记 ，该三条地下天燃气管线的总长度为 米。
江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试理数试题(含精品解析)
1．7【解析】分析：根据,可得，从而可得结果.详解：因为，所以,可得，故答案为.点睛：本题主要考查的应用，意在考查对基本公式掌握的熟练程度.2．【解析】分析：根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出变量等于和时的概率,结合互斥事件的概率公式可得结果.详解：，，，故答案为.点睛：本题主要考查分布列的性质以及互斥事件的概率公式，属于简单题.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．【解析】分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于列方程求解即可.详解：因为函数，所以可得函数，由函数在点处切线与直线平行，可得，解得，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点解方程即可.点睛：本题主要考查组合数公式的应用，意在考查分类讨论的数学思想以及灵活运用基本公式的能力. 6．15【解析】试题分析：展开式的通项公式为()362161rrrr T C x-+=-，令36042r r -=∴=，常数项为()446115C -=考点：二项式定理7．0.65【解析】分析：根据互相独立事件的概率乘法公式，求得甲乙都没有击中敌机的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可.详解：根据独立事件与独立事件的概率公式可得， 甲乙都没有击中敌机的概率为，由对立事件的概率公式可得， 敌机被击中的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查对立事件及独立事件的概率公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 8．144【解析】试题分析：由题意得：11224342()144.C C C A ⋅⋅=考点：排列组合9．【解析】分析：时，左端为，时，左端为，相减即可得结果.详解：因为假设时，命题成立，左端为；当时，左端为，两式相减可得，从“”需增添的项是，故答案为.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.10．-1【解析】分析：在所给的等式中，令，可得；令可得，，从而求得的值.详解：在中，令可得，，即，在中，令可得，，即，而，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的应用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数和的问题时，常采取赋值法，属于中档题.12．【解析】试题分析：观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）=（＋）＋（＋），有项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＋（＋），有项，因此＋＋＋＋＋＋共有项，利用倒序求和：＋＋＋＋＋+考点：归纳猜想点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：∵函数()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，∴()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，作函数()22,0{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤的图象与y=-kx-1的图象如下，易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），设直线AC与y=xlnx-2x相切于点C（x，xlnx-2x），y′=lnx-1，故ln21ln1x x xxx-+-=，解得，x=1；故k AC=-1；设直线AB与232y x x=+相切于点B23,2x x x⎛⎫+⎪⎝⎭，y′=2x+32，故2313222x xxx+++=，解得，x=-1；故31222ABk=-+=-；故-1＜-k＜-12，故12＜k＜1；考点：函数的性质的判断与应用15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用复数的运算法则化简，由复数为实数的充要条件可得出，从而可得结果；（2）利用复数的运算法则可得，由几何意义列不等式可得结果.（2）∵，根据条件得，解得，∴实数的取值范围为.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算以及复数的几何意义，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误. 16．（1）.（2）.【解析】分析：（1）两名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余个全排，有种排法，共有不同站法种，根据古典概型概率公式可得结果（2）教师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法；两侧全由男生站，教师站除两侧和正中外的另外个位置之一，有种站法，共有种不同站法，利用古典概型概率公式可得结果.学科*网详解：5名师生站成一排照相留念共有种站法，（1）记“两名女生相邻而站”为事件，两名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余3个全排，有种排法，所以事件有不同站法种，则，答：两名女生相邻而站的概率为.点睛：本题主要考查元素有限制的排列问题，以及古典概型概率公式的应用，常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.17．（1）. （2），，.【解析】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程可得结果；（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令的幂指数为有理数，求得的值，即可求得展开式中有理项.详解：（1）因为（其中，）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，.依题意得.可化为，化简得，解得或，∵，∴.（2）展开式的通项，所以展开式中的有理项当且仅当是6的倍数，又，，∴或或，∴展开式中的有理项共3项是，，.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．（1）的分布列为：（2）选择方案2通过测试的概率更大．⑴的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，⑵射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为,；,因为，所以应选择方案2通过测试的概率更大考点：1.随机变量的分布列和期望；2.相互独立事件同时发生的概率公式．19．（1）. （2）165.（3）见解析.（2），所以.（3）因为，所以要得无理项，必为奇数，所以，要证明，只要证明，用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当时，左边=右边，当时，，∴时，不等式成立.（Ⅱ）假设当时，成立，则时，（*）∵，∴结合（*）得：成立，∴时，不等式成立.综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.∴不等式成立 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.20．（1）；（2）见解析；（3）1【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解；（2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解；详解：（1）当时，，则在处的斜率为，又在处的斜率为，则，解得 .（2）函数，则 .∵，∴，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，由于开口向上，且只需要，得，因为，所以，故，当且仅当时取等号，命题得证 .因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增.则取到最小值，所以，即在区间内单调递增，所以，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .。
江苏省苏州市高二下学期期中数学试题(解析版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题．．．．【答案】D【分析】根据导数的几何意义逐项分析判断【详解】结合图象根据导数的几何意义可得：对于B ：由图可得，故B 错误； ()()()213f f f '''<<对于C ：由图可得，故C 错误； ()()()123f f f '''>>对于D ：由图可得，故D 正确； ()()()123f f f '''<<故选：D.4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（ ） A ．156 B ．180 C ．194 D ．672【答案】C【分析】利用组合公式得出所选4名志愿者来自同一单位的选法，再由求4441064C C C --解即可.【详解】所选4名志愿者来自同一单位的共有种选法，则所选4名志愿者4464C C 16+=不全来自同一个单位的选法种数为.4441064C C C 21016194--=-=故选：C5．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，()75,16N 16%34%34%，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验16%A B C D A 数据的最小值可能是（ ）【附：随机变量服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6826P μσξμσ-<<+=，】()220.9544P a μξμσ-≤<+=()330.9974P μσξμσ-≤<+=A ．75 B ．79C ．83D ．91【答案】B【分析】设测验数据为，依题意，根据正态分布的性质可得X ()75,16X N :，即可得解.()790.1587P X ≥≈【详解】设测验数据为，依题意，则，， X ()75,16X N :75μ=4σ=设等级为的测验数据的最小值为，则， A a ()0.16P X a ≥=因为，所以()0.6826P μσξμσ-<<+=二、多选题9．已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法()f x '()f x ()f x 正确的是（ ）A ．在上单调递减 (),1-∞C ．在处取得极小值 1x =【答案】BD【分析】根据导函数符号判断原函数单调性和极值，逐项分析判断【详解】由题意可得：当x <要使方程有两个不等实根，只需要()f x k = ()10,4e,e k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭所以实数的取值范围为k 10,e ⎛ ⎝故选：AD.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在三、填空题13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有________个.【答案】108【分析】分个位为和两种情况讨论，分别利用排列数公式求出所对应的数字个数，05即可得解.【详解】若个位为，则有个，若个位为，则有个，035A 60=51244A A 48=综上可得组成的四位数中，能被整除的有个. 56048108+=故答案为：10814．写出一个同时具有下列性质①②③的函数________. ()f x =①定义域为，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②R ；③为函数的导函数，.()()R,0x f x f x ∀∈-+=()f x '()f x ()R,0x f x '∀∈≥【答案】（答案不唯一）sin x x +【分析】取，验证得到函数满足条件①②，求导得到()sin f x x x =+，满足条件，得到答案.()cos 10'=+≥f x x 【详解】取，()sin f x x x =+函数定义域为，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；R ，函数为奇函数； ()()()sin sin f x x x x x f x -=--=--=-恒成立.()cos 10'=+≥f x x 故答案为：sin x x +四、双空题15．在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：自左向右，第n 行第个数记为（n ，且）.若（且1i +C i n N i ∈i n ≤231515C C k k -=,N n k ∈），则k 的值为________；（且）的值k n ≤123451512C C C C n n -++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+N n ∈614n ≤≤为________.【答案】 或；361819【分析】确定或，解得答案，根据组合公式得到原式为23k k =-2315k k +-=416C 1-，计算得到答案.【详解】，则，或，，故或；231515C C k k -=23k k =-3k =2315k k +-=6k =3k =6k =123123451054112152451C C C C C C C C C n n n n --++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅+=+-⋅.12351511211662451111819C C C C C C n n -=-++⋅⋅-==-=⋅++⋅⋅⋅+故答案为：或；361819五、填空题六、解答题(1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长V (2)多大时，盒子的容积最大? x V 【答案】(1)，. ()2914V x x =-()0,1x ∈(2) 23x =（2）由（1）可得()V x =所以，令()()29234V x x x '=-所以当时203x <<()V x '当时，则213x <<()0V x '<。
学年下学期高二期中考试数学(理)(附答案)
江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间120分钟,满分160分)一､填空题:本大题共14小题.每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.不等式021≤+-x x 的解集为 ▲ . 2.下列命题中,正确的命题个数是 ▲ .①;22bc ac b a >⇒>②;22bc ac b a ≥⇒≥③;bc ac cb c a >⇒> ④;bc ac c b c a ≥⇒≥⑤⎩⎨⎧>>bc ac b a 0>⇒c ;⑥⎩⎨⎧≥≥bcac b a 0≥⇒c 3.在ABC ∆中,3,3,2π=∠==B b a ,那么=∠A ▲ .4.直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行,则=a ▲ .5.已知直线)0(02>=-+a a y a x ,则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时,a 的值是 ▲ .6.点),(y x P 在直线04=-+y x 上,则22y x +的最小值为 ▲ .7.已知数列}{n a 中,,11=a 对所有的*,2N n n ∈≥都有2321n a a a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则数列}{n a 的通项公式为=n a ▲ .8.在ABC ∆中,已知A c b B c a cos cos -=-,则ABC ∆的形状是 ▲ . 9.如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ,那么y x )21(4的最大值为 ▲ . 10.经过点)1,2(P 的直线l 到)1,1(A ､)5,3(B 的距离相等,则直线l 的方程是 ▲ .11.已知c b a ,,是ABC ∆的三条边,c b a ,,成等差数列,c b a ,,也成等差数列,则ABC ∆的形状是 ▲ .12.直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k 的取值范围是▲ .13.已知数列}{n a 的通项公式为12112--=n n a n ,则此数列的前n 项和取最小时,n =▲ .14.若关于x 的不等式(组)92)12(297022<+-+≤n n x x 对任意*N n ∈恒成立,则所有这样的解x 的集合是 ▲ .二､解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x , (1)求a 的值;(2)解不等式:01522>-+-a x ax .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边,已知ba c B C A -=-2c o s c o s 2c o s (1)求AC sin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S .17.(本小题满分15分)(1)若实数y x ,满足:⎩⎨⎧>≤+-001x y x ,求x y 的范围; (2)设正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值; (3)已知45<x ,求25414--+=x x y 的最大值.18.(本小题满分15分)已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值.(1)直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直;(2)直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.19.(本小题满分16分)设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,已知无论βα,是何实数,恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf .(1)求c b +的值;(2)求证:3≥c ;(3)若)(sin αf 的最大值为8,求c b ,的值.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项的和n S ,已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+.(1)求2a 的值;(2)证明:数列}{n a n 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a .江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学答案1. ]1,2(-;2. 4 ;3. 4π; 4. -1 ; 5. 1; 6.8; 7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2()1()1(122n n n n a n ;8.等腰三角形或直角三角形;9.2;10.032=--y x 或2=x ;11.等边三角形;12.01<≤-k 或10≤<k ;13.11或12;14. }92,1{-15.(本小题满分14分)若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x , (1)求a 的值;(2)解不等式01522>-+-a x ax . 解:(1)由题意得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-+=-<221222150a a a …………… 4分解得2-=a …………… 7分(2)由(1)得2-=a ,故原不等式化为03522>+--x x …………… 10分21303522<<-⇒<-+⇒x x x …………… 14分 所以不等式的解集为)21,3(-.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边,已知ba c B C A -=-2c o s c o s 2c o s (1)求AC sin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S . (1)解:由正弦定理得:BA C b a c sin sin sin 22-=- …………… 3分 由已知ba c B C A -=-2cos cos 2cos故A B C B C B A B BA CBC A sin cos sin cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin 2cos cos 2cos -=-⇒-=-C B C B A B A B sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin +=+⇒)sin(2)sin(C B B A +=+⇒ …………… 5分 在ABC ∆中A C B C B A sin )sin(,sin )sin(=+=+2sin sin sin 2sin =⇒=∴AC A C …………… 7分 (2)解:在ABC ∆中,由415sin 41cos =⇒=B B , …………… 9分 由(1)得a c AC 22sin sin =⇒= 由余弦定理得:412244cos 222222⋅⋅-+=⇒-+=a a a a B ac c a b …………… 12分 解得:41541521212,1=⨯⨯⨯=∴==∆ABC S b a …………… 14分17.(本小题满分15分)(1)若实数y x ,满足:⎩⎨⎧>≤+-001x y x ,求x y 的范围;),1(+∞ (2)设正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值;223+ (3)已知45<x ,求25414--+=x x y 的最大值.1 18.(本小题满分15分)已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值.(1)直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直;(2)直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.解:(1)由题意得:⎩⎨⎧=--=++-0)1(043b a a b a …………… 4分解得:⎩⎨⎧==22b a …………… 6分 (2)由直线1l 与直线2l 平行得:)1,0,0(1≠≠≠-=a b a a ba aa b -=⇒1 ① …………… 8分 041:1=+--∴y a a ax l 即0)1(4)1(=-++-aa y x a 由坐标原点到两直线的距离相等得:原点在直线02)1(4)1(=-+++-a a b y x a 可得: 0)1(4=-+a a b ② …………… 12分 解①②得:⎩⎨⎧-==22b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==232b a …………… 15分 19.(本小题满分16分)设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,已知无论βα,是何实数,恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf .(1)求c b +的值;(2)求证:3≥c ;(3)若)(sin αf 的最大值为8,求c b ,的值.（1） 解:因为3c o s 21,1s i n1≤+≤≤≤-βα,所以由题意得:当11≤≤-x 时,0)(≥x f 恒成立;当31≤≤x 时,0)(≤x f 恒成立;所以有0)1(=f …………… 4分101-=+⇒=++⇒c b c b …………… 5分(2)证明:由(1)得:(*)0390)3(≤++⇒≤c b f ……………8分又因为c b c b --=⇒-=+11代入(*)式得:30)1(39≥⇒≤+--+c c c ……… 10分(3)因为)(sin αf 的最大值为8,可得8)1(=-f 所以81=+-c b …………… 14分 解⎩⎨⎧-=+=+-181c b c b 得⎩⎨⎧=-=34c b . …………… 16分20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项的和n S ,已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+. (1)求2a 的值;(2)证明:数列}{na n 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a . (1)解:依题意:当1=n 时1,32131121121==---⨯=a S a S ,解得:42=a … 3分 (2) 证明:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-------=---=-+)2)(1(32)1()1(31)1(232312231231n n n n a n S n n n na S n n n n …………… 5分两式相减得:)2(32)12()133(31)1(221≥---+----=+n n n n a n na a n n n 整理得: )2(1111)2)(1()1(111≥=-+⇒-+=⇒≥+-=++++n na n a n a n a n n n na a n n n n n n n ……6分 又∴=-11212a a 对任意*N n ∈都有111=-++na n a n n …………… 7分 故数列}{na n 是以1为首项1为公差的等差数列, …………… 8分 所以2,1)1(1n a n n n a n n =∴=⨯-+= …………… 10分 (3)证明:由(2)得:2n a n =22222221543211)1(151413121111111111n n a a a a a a a n n +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++∴-4714712145111112151414131312145)1(1)1)(2(1541431321411<-=-+=--+---+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+=-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯++≤n n n n n n n n n n …………… 16分 所以得证.。