(湖北专用)高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线教学案理新人教A版

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高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案文新人教A版

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案文新人教A 版第7讲抛物线一、知识梳理 1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈Ry ≥0， x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2常用结论与焦点弦有关的常用结论(以图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p (通径)．二、习题改编1．(选修11P58例1(2)改编)若抛物线的焦点是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，则抛物线的标准方程为．答案：x 2＝－2y2．(选修11P59练习T2改编)抛物线y 2＋4x ＝0的准线方程．答案：x ＝13．(选修11P59练习T3(2)改编)抛物线y 2＝12x 上与焦点的距离等于6的点的坐标是．答案：(3，±6)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区(1)不注意抛物线方程的标准形式； (2)忽视p 的几何意义．1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D.设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x . 答案：y 2＝±42x抛物线的定义(典例迁移)(1)(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，12在C 上，且|PF |＝34，则p ＝( ) A.14 B.12 C.34D ．1(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为．【解析】 (1)抛物线的准线方程为y ＝－p 2，因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12在抛物线上，所以点P 到准线的距离d ＝12＋p 2＝|PF |＝34，则p ＝12，故选B.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4【迁移探究1】 (变条件)若将本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.【迁移探究2】 (变设问)若本例(2)条件不变，求P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是．解析：由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案：2抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.2．(2020·沈阳市质量监测(一))抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为．解析：由y 2＝6x ，知p ＝3，由焦半径公式得x 1＋p 2＝92，即x 1＝3.代入得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)，故填3 3.答案：3 3抛物线的标准方程及性质(师生共研)(1)(2020·陕西榆林二模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x(2)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，由抛物线的定义可得x M ＋p 2＝x M ＋12，所以p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝2x .故选B.(2)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，故选B. 【答案】 (1)B (2)B(1)求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p . (2)抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．若抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程为．解析：令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y2．(2020·沈阳质量检测(一))已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，因为点A 在抛物线y 2＝3x 上，所以14a 2＝3×32a ，所以a ＝6 3. 答案：6 33．(2020·东北四市模拟)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为．解析：由题意知x 2＝12y ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝ x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2x 20－182＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.答案：18直线与抛物线的位置关系(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解】设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.。

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§9.7 抛物线2014高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法． 1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下1．抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简． 2．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案 y 2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p的值为________．答案 4解析因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.3． (2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.答案 56解析由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12代入y 2＝2x ，得k2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＝2x ，∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14.而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.4． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝ ( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．25 答案 B解析由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4] 答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.题型一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA |＋|PF |的问题可转化为求|PA |＋d 的问题．解将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．探究提高与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34 B ．1 C.54 D.74 答案 C解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 题型二抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解由题意，抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧，则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－52＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋1＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2k 2＋1＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .题型三直线与抛物线的位置关系例3 (2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)证明设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．直线与抛物线的位置关系问题典例：(12分)(2011·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．审题视角 (1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l 1的斜率为k ，依题设条件可求出AD →·EB →关于k 的解析式，利用基本不等式求最值．规范解答解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．[5分](2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.[7分]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.[9分] 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.[11分]当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，AD→·EB→取最小值16.[12分]答题模板第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．温馨提醒解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；(2)不要忽略对Δ>0的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝2psin2θ；(3)若F为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2p.失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y25－x24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y答案D解析由题意得c＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y. 2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p 2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36. 3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16 答案 B解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 28，y ，则A (－2，y )，由k AF ＝－3，即y －0－2－2＝－3，得y ＝43， |PF |＝|PA |＝y 28＋2＝8. 4．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20 D.15 答案 B解析由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10，选B. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是_______．答案 x 2＝12y解析由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.答案 3解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.7．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为______．答案 5 解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |.如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值，此时|BF |＝－1－12＋1－02＝ 5.三、解答题(共22分)8． (10分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p . 设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8.① 又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0. ∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .综上，抛物线的方程为y 2＝±4x .9． (12分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )．∵AE →·AF →＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，∴y E ·y F ＝－4，①又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP→，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－y x ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)， ∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k， AM →·AN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0，∴－12<k <0，则实数k 的取值范围为(－12,0)．B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为 ( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)答案 C解析依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3答案 B解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)答案 D解析如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin π－∠MAF＝3，∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)．二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．答案 92解析设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连接FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________．答案 2 解析由抛物线定义可知|BM |＝|BF |，又由平面几何知识得|BM |＝|BA |，所以点B 为AF 的中点，又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1在抛物线上，所以12＝2p ×p 4，即p 2＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.答案 212p 解析过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p .∴|OA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＋3p 2＝212p . 三、解答题7． (13分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC →＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )；则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.①由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ， ∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x .∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97，∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.②将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0.∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2>0，即－24<k <24，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k 2－4k2，x 1x 2＝64. 代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k2＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12. ∵k ＝±12∉⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－24，24， ∴这样的直线l 不存在．。

【创新方案】2020年高考数学一轮复习第九篇解析几何第7讲抛物线教案理新人教版

第7讲抛物线【2020年高考会这样考】1考查抛物线定义、标准方程.2. 考查抛物线的焦点弦问题.3•与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等.【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用.* j KACUIZIZHUD A0KUED1 •考基自主导学基础梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线1（1不过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线.其数学表达式：|MF = d（其中d为点M到准线的距离）.^=肋学腿毎----一个结论2 P P焦半径：抛物线y= 2px（p> 0）上一点P（x o, y o）到焦点F -, 0的距离| PF = x o+号.两种方法（1）.......................................................................... 定义法.：.…根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定…P.的值，，得到抛物.线的标進方程. （2）..................................................................................... 待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数............................................. P.的值.，这里要注意抛物线标准方程..…有四种形式.•一.丛简单化角度出发，…焦点在x .轴旳'…设为…y.2亍ax（. a于0）.，焦点在. y 轴.的,设为.2x = by（b 工0）.双基自测1.（人教A版教材习题改编）抛物线y2= 8x的焦点到准线的距离是（）.A. 1 B . 2 C . 4 D . 8解析由2p= 8得p= 4，即焦点到准线的距离为 4.答案C2.(2020•金华模拟）已知抛物线的焦点坐标是（0，—3），则抛物线的标准方程是()A.2x =—12y B. x2= 12yC.2y =—12x D. y2= 12x解析2= 3,.・.p= 6,「. x2=- 12y.答案A3. （2020 •陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程x =- 2，则抛物线的方程是（）.2 2 2 2A. y =—8x B . y =—4x C . y = 8x D . y = 4x解析由准线方程x=—2,顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F（2,0）;②该2抛物线的焦准距p= 4.故所求抛物线方程为y = 8x.答案C4 . （2020 •西安月考）设抛物线y2= 8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是（）.A. 4 B . 6 C . 8 D . 12解析据已知抛物线方程可得其准线方程为x = —2，又由点P到y轴的距离为4,可得点P的横坐标X P= 4,由抛物线定义可知点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF = X P+号=X P+ 2 = 4 + 2= 6.答案B5. （2020 •长春模拟）抛物线y1 2 3 4= 8x的焦点坐标是____ .解析•••抛物线方程为y. 8x,「. 2p= 8,即p= 4. 焦点坐标为（2,0）.答案（2,0）mi KAOXIANQTAIMJIUDAOXI.............. ................. *・*n*”・**m*+***-—*+m*n“**i ・**”-■.”******.—・*»****02 ®考向探究导析晴析丢同：乘祈娶醸设抛物线的准线为I，作AA丄l于A, BB丄l于B，由抛物线的定义知| AA| + | BB| = | AF1 1 5+ | BF = 3,贝U AB的中点到y轴的距离为2(| AA| + | BB|) — 4 = 4.答案 C miiz涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解.【训练1】（2020 •济南模拟）已知点P是抛物线y2= 2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）.解析由抛物线的定义知，点P到该抛物线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点离之和，显然，当P、F、（0,2）三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于考向二抛物线的标准方程及性质考向一抛物线的定义及其应用【例1】?（2020 •辽宁）已知F是抛物线y2= x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，| AF +|BF = 3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）.3 5代4 B . 1° 4 D.［审题视点］由抛物线定义将|AF + I BF转化为线段AB的中点到准线的距离即可.解析A.17亍 C. ：5 D.P到点（0,2）的距离与点P到焦点的距,172答案 A【例2】？(1)(2020 •南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P( —2,—4)的抛物线方程为__________ •⑵(2020 •浙江)设抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 __________ .［审题视点］(1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论.⑵抓住FA的中点B在抛物线上，求出p.解析(1)由于点P在第三象限.①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为 2 y =—2px(p>0),2把点R —2,—4)代入得：(一4) =—2p x ( —2),解得p= 4,.••抛物线方程为2y = —8x.设方程为x2= —2py(p> 0)，把点R —2, —4)代入得：(一2)2②当焦点在y轴负半轴上时，=—2p x ( —4).1 2解得p= 2* •••抛物线方程为x = —y.综上可知抛物线方程为y2=—8x或x2=—y.(2)抛物线的焦点F的坐标为2, 0，则线段FA的中点B的坐标为p 1 ,代入抛物线方程得1 = 2p x 4,解得p^2,故点B的坐标为誓,1 ,故点B到该抛物线准线的距离为申+ 迈=座2 4 *2 23迈答案(1) y =—8x 或x =—y (2) 4丐匚吒• 1 “求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【训练2】已知F为抛物线x2= 2py( p> 0)的焦点，M为其上一点，且| MF = 2p,则直线MF 的斜率为()•A. — B .土申C >/3 D .±^3p p解析依题意，得F 0, 2，准线为y = —$，过点M作MN垂直于准线于N,过F作FQ垂直于MN于Q则| MN =|MF = 2p, |MQ = p,故/ MF= 30即直线MF的倾斜角为150。

适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第7节抛物线课件新人教A版

弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就
越小.
常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若
A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 ;

所以 2 =3,2p=12,其方程为x2=-12y.
(3)(2024·北京丰台模拟)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块
碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域
的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该
条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎
有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
(3)(2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,
线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为( A )
A.10
B.8
C.5
D.4
解析设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,
C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( A )
A.x2=-12y
B.x2=12y
C.y2=12x
D.y2=-12x
解析设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M与点C(0,-3)的距离是
r+1,点M到直线y=2的距离是r,则点M到直线y=3的距离是r+1.由抛物线的

高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.7 抛物线教学案理新人教A版-新人教A版高三全册数学

§9.7 抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用. 抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径 x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p2通径长 2p概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二教材改编2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3答案 A解析由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三易错自纠5.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x 答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.6.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是__________. 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________. 答案 4解析如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________. 答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)(2019·某某中学调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝4x B.y 2＝36xC.y 2＝4x 或y 2＝36x D.y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6).因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .抛物线的几何性质例3(1)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D.2 答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E . ∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)(2020·某某检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点.O 为坐标原点.若△OAB 的面积为1，则p 的值为________. 答案2解析双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △AOB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. (3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值X 围是________.答案 (8,12)解析设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12). ∴△ABF 的周长的取值X 围是(8,12).思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)(2020·某某期中)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12B.4C.6D.8 答案 B解析由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.(2)(2020·某某龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PF |＝m |PA |，则m 的最小值为________. 答案22解析过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN |＝|PF |，∵|PF |＝m |PA |，∴|PN |＝m |PA |，则|PN ||PA |＝m ，设PA 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0， ∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1， ∴m 的最小值为22. 直线与抛物线例4(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)由题设可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). ③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2020·某某模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程.解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2－kmk2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2，从而⎝⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，k DE·k ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.1.抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B.－14C.4D.－4 答案 B解析由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a＝1，解得a ＝－14.2.(2019·某某青山区模拟)已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A.2B.3C.3D. 2 答案 B解析因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，结合定义点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.4.(2020·某某调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN →|等于( )A.58B.12C.38D.1 答案 A解析由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点N 的坐标为(a ,0)，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－18，MN →＝(a －x 0，－y 0)，由2FM →＝MN →可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝a －x 0，2y 0－14＝－y 0，解得y 0＝112，x 0＝13a ，代入抛物线方程可得x 0＝±612，则a ＝±64，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±64，0，由两点之间的距离公式可得|FN |＝58.5.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A.4B.3 3 C.43D.8 答案 C解析由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |， ∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在Rt△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4， ∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.6.(2019·某某模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A.6B.22C.23D.4 答案 A解析根据题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0).设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x ，得 y 2－4k y －4＝0，y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，则x 1＋x 2＝y 1＋y 2k ＋2＝4k2＋2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k2＋2＋2＝6，则k ＝±2， |y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝26，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×26＝6，∴△AOB 的面积为 6.7.(2020·某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x 答案 B解析如图所示，过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′，设|AF ′|＝3x ，因为cos∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝|PF |＋|AA ′|·|PA ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .8.(2019·某某模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为________.答案 10解析由抛物线的定义可知|PF |＝|PM |＝5，并且点P 到准线的距离x P ＋1＝5， ∴x P ＝4，y P ＝±4， ∴S ＝12×5×4＝10.9.(2020·江淮十校联考)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________. 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 10.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的的直线与C 交于A ，B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？说明理由.解建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3).设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)，所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0). 因为车与箱共高4.5m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)，则x 20＝32，所以|x 0|＝32＝62，所以2|x 0|＝6<3，故此车不能通过隧道.12.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知点F (0,1)，点A (x ，y )(y ≥0)为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足|AF |＝|AB |＋1.(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于两个不同点P ，Q (非原点)，过P ，Q 两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M ，设线段PQ 的中点为N ，若|FM |＝|FN |，求直线l 的斜率. 解 (1)由|AF |＝|AB |＋1，得x 2＋y －12＝|y |＋1，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，设N (x N ，y N )，则x N ＝x 1＋x 22＝2k ，y N ＝2k 2＋b ，又曲线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，y ′＝x2，∴过P 点的切线斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21.同理，过Q 点的切线方程为y ＝x 22x －14x 22，联立两切线可得交点M 的坐标为x M ＝x 1＋x 22＝2k ，y M ＝14x 1x 2＝－b .所以x M ＝x N ，又因为|FM |＝|FN |，所以MN 中点纵坐标为1，即2k 2＋b －b2＝1，k ＝±1，故直线l 的斜率为k ＝±1.13.长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________. 答案 34解析由题意知，2大于抛物线的通径，即AB 可以过焦点.设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图.由梯形的中位线定理，可得|MN |＝12(|AC |＋|BD |).连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |.根据平面几何知识，可得|AF |＋|BF |≥|AB |，当且仅当点F 在AB 上时取等号， ∴|AC |＋|BD |≥|AB |＝2，∴|MN |＝12(|AC |＋|BD |)≥12|AB |＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN |＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为34.14.过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3).若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________. 答案 4解析若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则线段AB 的垂直平分线过点D .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减得x 1＋x 2＝4y 1－y 2x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24，则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率 k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2，所以y 1＋y 2＝2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.15.(2019·全国100所名校联考)已知点P (1,2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若Rt△PAB 内接于该抛物线，且∠A ＝90°，则点B 的纵坐标的取值X 围是________. 答案 (－∞，－6)∪[10，＋∞)解析由题意可得抛物线的方程为y 2＝4x ，设A (x ，y )，B (x 0，y 0)，△PAB 的外接圆的方程为(x －1)(x －x 0)＋(y －2)(y －y 0)＝0，所以(4x －4)(4x －4x 0)＋16(y －2)(y －y 0)＝0，即(y 2－4)(y 2－y 20)＋16(y －2)(y －y 0)＝0，化简可得y 0＝－16y ＋2－y ＝－16y ＋2－(y ＋2)＋2. 令t ＝－(y ＋2)，且y ≠y P ，则y 0＝－16y ＋2－y ＝16t＋t ＋2∈(－∞，－6)∪[10，＋∞). 16.已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜率为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B两点，求|FA |·|FB |的取值X 围.解 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20. 令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0.又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 4，则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34.∴|FA |·|FB |＝y 23＋94·y 24＋94＝y 3y 42＋94y 23＋y 24＋8116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－342＋94⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y 20－2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－34＋8116＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|. ∵x 0≥0，∴|FA |·|FB |∈[3，＋∞).。

(新课标)高考数学总复习第九章解析几何教案理新人教A版-新人教A版高三全册数学教案

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习第九章解析几何教案理新人教A 版第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.( ) (3)倾斜角越大，斜率越大．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( )(7)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋yn＝1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×2．若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________. 答案：－23．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为________．答案：60°4．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝05．直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为________．答案：3x ＋4y －14＝0[典题1] (1)直线2x cos α－y －3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[听前试做] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．答案：(1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[探究1] 若将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－－1＝13，k BP ＝3－00－－1＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. [探究2] 若将题(2)条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点”，求直线l 的倾斜角α的范围．解：法一：如图所示，k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 法二：由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0. ∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．[典题2] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[听前试做] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7.∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[典题3] 已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．[听前试做] 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S△ABO＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k ·4－k ＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本(均值)不等式求解最值．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 即k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.———————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系θ 0° 0°<θ<90°90° 90°<θ<180°kk >0 不存在k <02.(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．[易错防范]1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0的情况，当B ＝0时，k不存在；当B ≠0时，k ＝－AB.[全盘巩固]一、选择题1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 4．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )A B C D解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．二、填空题6．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.答案：－137．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝08．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)三、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[冲击名校]1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.3．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本(均值)不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：164．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为________．解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.答案： 35．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：36．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]第二节两直线的位置关系考纲要求：1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两条直线的交点 3．三种距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．( )(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．( )(6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√ 2．已知直线l 过点P (1,2)，直线l 1：2x ＋y －10＝0. (1)若l ∥l 1，则直线l 的方程为________；(2)若l ⊥l 1，则直线l 的方程为________．答案：(1)2x ＋y －4＝0 (2)x －2y ＋3＝03．经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y －7＝0的直线方程为____________．答案：4x －3y －6＝04．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________．答案： 55．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．答案：32[典题1] (1)已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为________．(2)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．①l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[听前试做] (1)∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1.解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.(2)①由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.(*) 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2. ②∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .(ⅰ)又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.答案：(1)－10(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． [典题2] 经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．[听前试做] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0[探究] 若将本例中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ∥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝34，∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3平行，∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，∴λ＝27，∴直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0. (1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)常见的三大直线系方程①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.[典题3] 已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[听前试做] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．1．已知两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为_________________________________________．解析：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18.故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成为4x －8y －2＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22.故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 答案：2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝02．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度：角度一：点关于点的中心对称问题[典题4] 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．[听前试做] 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.答案：x ＋4y －4＝0角度二：点关于直线的对称问题[典题5] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．[听前试做] 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 角度三：直线关于直线的对称问题[典题6] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．[听前试做] 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用[典题7] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．[听前试做] 以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的反射定理，知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4－x )、P 2(－x,0)，与△ABC 的重心D 43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43，AP ＝43.答案：43(1)点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(如角度一)(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．(如角度二)(3)若直线l 1、l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．(如角度三)(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．(如角度四)——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.3．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)，则： (1)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； (2)l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)； (3)l 1与l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)； (4)l 1与l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．[易错防范]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；2．运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为对应相等．[全盘巩固]一、选择题1．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0.故交点在第二象限． 2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( )A.23 B ．－1 C ．2 D ．－1或2 解析：选A ∵a ×1＋(a －1)×2＝0，∴a ＝23.3．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：选A 因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. 5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝4＋42＋8－22＝10.二、填空题6．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8, l 1∥l 2，则实数m 的值为________．解析：由(3＋m )(5＋m )－4×2＝0，得m ＝－1或m ＝－7，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去；当m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ，两直线平行．答案：－77．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案：－98．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0 三、解答题9．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.[冲击名校]1．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522D ．15 2 解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝5 2.2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.4．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 的直线与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)5.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)6．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)；当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：5第三节圆的方程考纲要求：1.掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程． 1．圆的定义及方程(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) (5)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析：选D 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.3．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4. 即a 2<1，故－1<a <1. 答案：(－1,1)5．经过三点(2，－1)、(5,0)、(6,1)的圆的一般方程为________________．解析：设所求方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧22＋－12＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5，故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －8y －5＝0[典题1] 根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． [听前试做] (1)法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (3)法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，3－x 02＋－2－y02＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.求圆的方程的方法(1)方程选择原则求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：角度一：斜率型最值问题[典题2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．[听前试做] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3.答案： 3 － 3 角度二：截距型最值问题[典题3] 在典题2条件下，求y －x 的最大值．[听前试做] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示圆心为(2,0)，半径r ＝ 3 的圆．设y －x ＝b ，y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.。

高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线课件理

的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－m1 ＝－2，所以实数 m＝12. 答案：12
[典题 3] 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2
的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝
9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若
(2)由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0，则 x1＝1， x2＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)．设 C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(4λ＋1,4 2λ －2 2)．
又 y23＝8x3，所以[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2 ＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
(2)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，
|MF|＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )
A．y2＝4x 或 y2＝8x
B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x
2．抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为： y2＝2px(p>0) ； (2)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为： y2＝－2px(p>0) ； (3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为： x2＝2py(p>0) ； (4)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为： x2＝－2py(p>0) ．

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案理（含解析）新人教A版第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离□01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．其数学表达式：□03|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A.2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( )A.194 B.92C ．3D ．4 答案 D解析抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D.3．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2 C．4 D ．±4 答案 D解析由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D.4．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线方程为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10 答案 B解析由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又∵x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 答案 C解析利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C.核心考向突破考向一抛物线的定义角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2019·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 答案 B解析由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．2将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.)即时训练 1.(2019·潍坊质检)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 答案 B解析如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义，知|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，即当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A ，C ，D ，故选B.2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4 (1)(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . (2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析抛物线的准线方程为y ＝－p2，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝3＋p 24，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点，得p ＝32|AB |，即p 2＝34×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 24，所以p ＝6. 触类旁通求抛物线的标准方程应注意的几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种． 2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系. 3要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题. 即时训练 3.(2019·上海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x答案 B解析设M (x ，y )，∵|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，∴|MF |＝2p ，由抛物线的定义知x ＋p2＝2p ，∴x ＝32p ，∴y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，∴12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．∴抛物线的方程为y 2＝8x .4．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．答案 x 2＝3y解析设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py ，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )．即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3.∴p ＝32，∴抛物线的方程为x 2＝3y .考向三抛物线的性质例5 (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 C解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，整理得x 2－3px ＋p 24＝0，由AB 中点的横坐标为3，得3p ＝6，解得p ＝2，故抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.(2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．触类旁通1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化. 2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.即时训练 5.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝2222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52. 考向四直线与抛物线的位置关系例6 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；。

高考数学一轮复习第九章解析几何 9.7 抛物线学案(文,含解析)新人教A版

学习资料9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理 1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的的点的轨迹叫做抛物线。

点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线。

2。

抛物线的几何性质Fp2,0 F —p2,0 F 0，p 2F 0,-p 2e=1。

设AB 是过抛物线y 2=2px （p>0)焦点F 的弦，若A (x 1,y 1),B (x 2，y 2),如图所示，则（1）x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2；(2）弦长|AB|=x 1+x 2+p=2psin 2α(α为弦AB 所在直线的倾斜角）；（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切;（4)S △AOB =p 22sinα(α为弦AB 所在直线的倾斜角）; (5）∠CFD=90°。

2.抛物线y 2=2px (p 〉0）的通径长为2p 。

考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2）若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. （ ) (3)若一抛物线过点P （—2，3),则其标准方程可写为y 2=2px (p 〉0）. ( ）（4）抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形。

（ )（5)方程y=ax2（a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a，0.4(）2.（2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0）的焦点间的距离为2，则p的值为()A。

2√3B。

4 C.6 D.123。

（2020北京，7）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l。

P是抛物线上异于O 的一点，过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线（）A。

经过点O B。

经过点PC。

平行于直线OP D.垂直于直线OP4。

新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线课件文

第十九页，共27页。
(4)当直线 AB 的斜率不存在时，|A1F|＋|B1F|＝|A1A1|＋|B1B1|＝x1＋1 p2＋
x2＋1 p2＝1p＋1p＝2p；当直线 AB 的斜率存在时，因为 x1＋x2＝yk1＋p2＋
yk2＋p2＝y1＋k y2＋p＝2kp2 ＋p，x1x2＝p42，所以|A1F|＋|B1F|＝|A1A1|＋|B1B1|＝
p 2
1＋（
＝2，所以 p 3）2
第十二页，共27页。
(2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3，2)，则|PB| ＋|PF|的最小值为________．
解：如图，过点 P 作 PQ 垂直准线于点 Q，
则|PQ|＝|PF|. 则有|PB|＋|PF|＝|PB|＋|PQ|≥|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 故填 4.
A.－12，12
B．[－2，2]
C．[－1，1]
D．[－4，4]
解：由已知得 Q(－2，0)，由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由 Δ ＝ (4k2 － 8)2 － 4k2 · 4k2 ＝ 64(1 － k2) ≥ 0 ，解得－ 1≤k≤1.故选 C.
○17
○18 向左
○19 向上
○20
第四页，共27页。
自查自纠： 1．l 焦点准线
2．①p2，0 ③0，p2 ⑥x＝p2 ⑧y＝p2
⑩x≤0，y∈R ○11 y≥0，x∈R ○13 x 轴 ○17 向右 ○20 向下
○16 e＝1
第五页，共27页。
抛物线 y＝2x2 的焦点坐标是

高三数学一轮复习第九章解析几何9-7抛物线学案文含解析新人教A版

9.7 抛物线必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.Fp2,0 F -p2,0 F 0,p2 F 0,-p2 e=1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p2,y1y2=-p2;4(α为弦AB所在直线的倾斜角);(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(α为弦AB所在直线的倾斜角);(4)S△AOB=p22sinα(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(),0.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a42.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.2√3B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P 作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用,0)为圆〖例1〗(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(92心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.2√2D.4(2)(2020新高考全国1,13)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px (p>0)上一点,由定义易得|PF|=x 0+p2;若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长为|AB|=x 1+x 2+p ,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y 2=8x的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与抛物线的准线交于点C ,若B 是AC 的中点,则|AB|=( )A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质〖例2〗(1)(2020重庆调研)已知抛物线y 2=2px (p>0),点C (-4,0),过抛物线的焦点F 作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A ,B 两点,若△CAB 的面积为24,则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=-8x(2)(2020全国3,文7)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M (x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上的一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p2交于E ,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程为( )A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x(2)已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点A (0,2),若线段AF 的中点B 在抛物线上,则|BF|=( )A.54B.52C.√22D.3√24考点与抛物线相关的最值问题〖例3〗(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则|MN ||AB |的最大值是( )A.√34B.√33C.√32D.√3(2)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与抛物线C 交于A ,B 两点,直线l 2与抛物线C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )B.14C.12D.10? 解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C :y 2=2x ,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C 于A ,B 两点(A ,B 均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( )A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l 过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F (1,0),且与C 交于M ,N 两点,则p= ,|MF |9−1|NF |的最小值是 .考点抛物线与其他圆锥曲线的综合〖例4〗(1)已知过抛物线C :y 2=4x 焦点F 的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆x 2+y 2-2x=0于M ,N 两点,其中P ,M 位于第一象限,则1|PM |+4|QN |的值不可能为( )A.3B.4C.5D.6(2)已知P 是抛物线y 2=4x 上任意一点,Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为( )A.52B.3C.√3+1D.2√3-1?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F 为抛物线C 1:y 2=2px (p>0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |=( ) A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E 与圆M (x-1)2+y 2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E 的轨迹方程为 ;过点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为 .考点直线与抛物线的关系〖例5〗(1)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点Q 作斜率为k (k<0)的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2|BF|,则k 的值为( )A.-2√23B.-√73C.-√63D.-√53(2)已知F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过点C 作抛物线准线的垂线交准线于点C 1,若CC 1的中点为M (1,4),则p=( ) A.4 B.8 C.4√2 D.8√2 解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x 2+p (焦点在x 轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,设点M (3,0).若△MAB 的面积为4√2,则|AB|=( )A.2B.4C.2√3D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ,O 为坐标原点,若S △OBM ∶S △OBA =1∶2,则k= .1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax 2与y 2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.9.7 抛物线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离相等焦点准线2.(0,0) y 轴 1考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.A 由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),(0,p2),两焦点的距离为√1+p 24=2,解得p=2√3.故选A.3.B 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P.故选B.4.C 设点A 的坐标为(x ,y ).由点A 到y 轴的距离为9可得x=9,由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.√15 由于焦点F (1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知直线l 的斜率存在且不为零,设l :y-1=k (x-1),由{y -1=k (x -1),y 2=4x 消去x ,得ky 2-4y+4-4k=0,由P 为线段AB的中点可知y 1+y 2=4k =2,所以k=2,所以直线l 的方程为y=2x-1,y 1y 2=-2,所以|AB|=√1+(1k )2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√15.关键能力·学案突破例1(1)A (2)163 (1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),抛物线的焦点坐标为(12,0),则|PF|=92−12=4,则圆的方程为(x -92)2+y 2=16,与抛物线方程联立,消去y ,得x 2-7x+174=0,则x 1+x 2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x 1+12+x 2+12=8.故选A.(2)如图所示,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p.由{y =√3(x -1),y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0, 所以x 1+x 2=103, 则|AB|=103+2=163. 对点训练1(1)B (2)C(1)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为D ,E ,设|AB|=|BC|=m ,直线l 的倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m (1-|cos α|),所以|cos α|=|AD ||AC |=m (1-|cosα|)2m,解得|cos α|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2p sin 2α,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4|FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∴|PQ ||PF |=34.过Q 作QQ'⊥l ,垂足为Q',设l 与x 轴的交点为A (图略),则|AF|=4,∴|PQ ||PF |=|QQ '||AF |=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C .例2(1)D (2)B (1)因为AB ⊥x 轴,且AB 过焦点F ,所以|AB|=2p ,所以S △CAB =12×2p ×(p2+4)=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y 2=8x ,所以直线AB 的方程为x=2,所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2=-8x.故选D .(2)∵抛物线C 关于x 轴对称,直线x=2垂直于x 轴,又OD ⊥OE , ∴△ODE 是等腰直角三角形.不妨设点D 在第一象限,则点D 的坐标为(2,2),将其代入y 2=2px ,得p=1,所以抛物线C 的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C (2)D(1)如图所示,作MD ⊥EG ,垂足为D.因为点M (x 0,2√2)(x 0>p2)在抛物线上,所以8=2px 0,即px 0=4.①由题意,可知|DM|=x 0-p2,|MF|=x 0+p2,因为sin ∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x 0-p2=13(x 0+p2), 解得x 0=p.②由①②,解得x 0=p=-2(舍去)或x 0=p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.故选C. (2)由已知得点F 的坐标为p2,0,因为点A (0,2),所以AF 的中点B 的坐标为p 4,1.因为点B 在抛物线上,所以1=p 22,解得p=√2或p=-√2(舍去).所以点F 的坐标为√22,0,点B 的坐标为√24,1,所以|BF|=√(√22-√24)2+(0-1)2=3√24.故选D .例3(1)B (2)A (1)设A ,B 在直线l 上的投影分别是A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|.又因为M 是AB 中点,所以|MN|=12(|AA 1|+|BB 1|), 则|MN ||AB |=12·|AA 1|+|BB 1||AB |=|AF |+|BF |2|AB |.在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos 2π3=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|AF|+|BF|)2-(|AF |+|BF |2)2=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以(|AF |+|BF |)2|AB |2≤43,即|AF |+|BF ||AB |≤2√33,所以|MN ||AB |≤√33.故选B .(2)由题意,可知直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,点F (1,0).设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k (x-1)(k ≠0).由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2k 2+4k 2.因为l 1⊥l 2,所以直线l 2的方程为y=-1k (x-1).同理,x 3+x 4=2+4k 2. 由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+2+x 3+x 4+2=2k 2+4k 2+2+4k 2+4=4k 2+4k 2+8≥2√4k 2·4k 2+8=16,当且仅当4k 2=4k 2,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C (2)2 -13 (1)设直线AB 的方程为x=my+t ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{x =my +t ,y 2=2x ,得y 2-2my-2t=0,所以y 1y 2=-2t. 由题意可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24+y 1y 2=0,即t 2-2t=0.由题意可知t ≠0,所以t=2,所以直线AB 过定点(2,0).所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2-12=32.故选C .(2)因为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),所以p=2.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x ,得y 2-4my-4=0,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=1. (方法1)|MF |9−1|NF |=x 1+19−1x 2+1=x 1+19−11x 1+1=x 1+19+1x 1+1-1≥-13,当且仅当x 1+1=3,即x 1=2时,等号成立.(方法2)1|MF |+1|NF |=1x 1+1+1x 2+1=1my 1+2+1my 2+2=m (y 1+y 2)+4(my 1+2)(my 2+2)=m (y 1+y 2)+4m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4-4m 2+8m 2+4=1,所以|MF |9−1|NF |=|MF |9−(1-1|MF |)=|MF |9+1|MF |-1≥-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A (2)D (1)作图如下.由题意可知,F 为圆x 2+y 2-2x=0的圆心,设|PF|=m ,|QF|=n ,则|PM|=m-1,|QN |=n-1. 根据抛物线的常用结论,可知1m +1n =2p =1,则m+nmn =1,即m+n=mn , 所以1|PM |+4|QN |=1m -1+4n -1=4m+n -5mn -(m+n )+1=4m+n-5.又4m+n=(4m+n )·(1m +1n )=4+4m n +nm +1≥5+2√4m n·nm=9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即1|PM |+4|QN |≥4.故1|PM |+4|QN |的值不可能为3.故选A .(2)设点P 的坐标为14m 2,m ,由圆的方程(x-4)2+y 2=1,可得圆心坐标为A (4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14m 2-4)2+m 2=116(m 2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2√3.因为Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2√3-1.故选D .对点训练4(1)A (2)y 2=4x -1 (1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C 1的焦点F ,所以|BF|=|CF|=p2,所以|AB ||CD |=|AF |-p 2|DF |-p 2.设点A (x A ,y A ),D (x D ,y D ),由抛物线的定义得|AF|-p 2=x A ,|DF|-p2=x D .由{4x -3y -2p =0,y 2=2px ,整理得8x 2-17px+2p 2=0,解得x A =2p ,x D =p 8.故|AB ||CD |=x A x D =2pp 8=16.故选A .(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E 到直线x=-1的距离等于到点M (1,0)的距离,所以动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点,以x=-1为准线的抛物线, 则其轨迹方程为y 2=4x.点P 坐标为(1,2),则点P 在圆心E 的轨迹上. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由已知设直线PA :m (y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y 2=4my-8m+4,即y 2-4my+8m-4=0, 则y 1+2=4m ,故y 1=4m-2.设直线PB :-m (y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y 2=-4my+8m+4,即y 2+4my-8m-4=0, 则y 2+2=-4m ,故y 2=-4m-2.x 1-x 2=my 1-2m+1-(-my 2+2m+1)=m (y 1+y 2)-4m=-8m.直线AB 的斜率k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-8m 8m=-1.例5(1)A (2)B (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F (2,0),准线x=-2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|=x 1+2,|BF|=x 2+2,由|AF|=2|BF|得x 1+2=2(x 2+2),即有x 1=2x 2+2,① 联立y 2=8x与直线y=k (x+2)的方程得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0,则有x 1+x 2=-4k 2+8k 2(k<0),② x 1x 2=4.③由①③得x 1=4,x 2=1,代入②中得5=-4k 2+8k 2(k<0),解得k=-2√23.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),从而有y 1=2y 2.联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得ky 2-8y+16k=0,则有y 1+y 2=8k , ①y 1y 2=16,② 由y 1=2y 2则有y 1+y 2=3y 2=8k, ③ y 1y 2=2y 22=16, ④ 消去y 2得(8k)216=92(k<0),解得k=-2√23,故选A.(方法3)几何法设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),从而有y A =2y B .则B 是QA 的中点,则有|OB|=12|AF|(O 是原点),而|BF|=12|AF|,则|OB|=|FB|,故点B 在线段OF 的垂直平分线上,则x B =1,从而y B =-2√2,则y A =-4√2,x A =4,故k=-2√23, 故选A.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ).由题意CC 1的中点坐标为(1,4),所以可得y A +y B =8,x C -p 2=2×1, 所以x C =2+p 2,x A +x B =4+p. 设直线AB 的方程为x=my+p 2,代入抛物线的方程可得y 2-2pmy-p 2=0,所以y A +y B =2pm ,x A +x B=m (y A +y B )+p=8m+p.则{8=2pm ,8m +p =4+p ,解得p=8,m=12. 对点训练5(1)D (2)2√2 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),可设直线l 的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y 2-4ty-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,则|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+t 2·√16t 2+16,△MAB 的面积为12|MF|·|y 1-y 2|=12×2|y 1-y 2|=4√2, 即√16t 2+16=4√2,解得t=±1.则|AB|=√1+1×√16+16=8.故选D .(2)联立{kx -y -k =0,y 2=4x消去x ,得y 2-4k y-4=0,设A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2),则M (-1,y 2),则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4,∵k OM=y2-1=-y2=4y1,k OA=y1x1=4y1,∴A,O,M三点共线,∴S△OBM∶S△OAB=|OM|∶|OA|=1∶2,∴|OA|2=4|OM|2,x12+y12=4(1+y22),x12+4x1=4(1+16y12),x12+4x1=4(1+164x1),则(x12-4)(1+4x1)=0,∵x1>0,∴x1=2,∴A(2,2√2).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0),∴k=2√2-02-1=2√2,故答案为2√2.。

(湖北专用)高考数学一轮复习第九章解析几何9.9曲线与方程教学案理新人教A版

9.9 曲线与方程考纲要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的____；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_________________________________________．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．1．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )．A ．抛物线的一部分B ．双曲线的一部分C ．圆D ．半圆2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )． A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足AP →·BP →＝x 2－6，则P 点的轨迹方程是________．5．过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线PN ，N 为垂足，则线段PN 中点M 的轨迹方程为__________．一、直接法求轨迹方程【例1－1】已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【例1－2】已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值．方法提炼建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点的坐标，找出动点满足的等量关系，化简即得所求曲线方程．请做演练巩固提升1二、用定义法求轨迹方程【例2】已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．方法提炼若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则只需设出标准方程并确定出方程中的基本量即可，这也是求轨迹方程的首选方法．请做演练巩固提升2三、代入法求点的轨迹方程【例3】已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．方法提炼若A 点的运动与B 点的运动相关，且B 点的运动有规律，则找出两点坐标间的关系，用A 点坐标表示出B 点坐标，代入B 点所满足的方程，整理即得A 点的轨迹方程．请做演练巩固提升4曲线轨迹方程的求解【典例】(14分)(2012湖北高考)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．规范解答：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．(4分)因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；(6分) 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(8分)(2)方法一：如图2,3，∀k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.(10分)因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)，PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝－m 2k 2x 21m 2＋4k 2＝0，(13分)即2－m 2＝0.又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .(14分)图1 图2(0＜m ＜1) 图3(m ＞1)方法二：如图2,3，∀x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③(10分)依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合．故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得 y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④(12分)又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m22＝－1.又m ＞0，得m ＝ 2.故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .(14分)答题指导：解决轨迹的问题时，要注意以下几点：(1)当动点(或动直线)的位置不确定时，要注意对它们所有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏一种或几种情况；(2)解决直线与曲线的交点问题，不仅仅要考虑方程解的个数，还要注意数形结合．1．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．2．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 2＝4的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1QF 2平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹方程是__________．3．如图，已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且|AB |＝2，点M 分有向线段AB →的比为λ，求点M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．4．已知点M 是抛物线y 2＝x 上一动点，以OM 为一边(O 为原点)作正方形MNPO ，求动点P 的轨迹方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)解 (2)曲线上的点基础自测1．D 解析：由y ＝9－x 2得x 2＋y 2＝9，因为x 2＋y 2＝9表示一个圆，所以y ＝9－x 2表示一个半圆．2．A 解析：以MN 的中点为原点建立直角坐标系，并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM uuu r ·PN uuu r＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9，故P 点的轨迹是圆．3．D 解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0可得2x ＋3y －1＝0或x －3＝1，即2x ＋3y －1＝0或x ＝4(x ≥3)．4．y 2＝x 解析：AP uu u r ＝(x ＋2，y )，BP uur ＝(x －3，y )，AP uu u r ·BP uur＝(x ＋2)(x －3)＋y 2＝x 2－6，整理得y 2＝x .5.x 24＋y 2＝1 解析：设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 02＋y 02＝4.∴x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.考点探究突破【例1－1】解：如图所示，设直线MN 切圆于N 点，则动点M 组成的集合是：P ＝{M ||MN |＝λ|MQ |}(λ＞0)．因为圆的半径|ON |＝1，所以|MN |2＝|MO |2－|ON |2＝|MO |2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理，得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0，当λ＝1时，方程化为x ＝54，它表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0，半径为1＋3λ2|λ2－1|的圆．【例1－2】解：(1)设动点P (x ，y )，则MP uuu r ＝(x －4，y )，MN uuu r ＝(－3,0)，PN uuu r＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得：3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹C 的方程是：x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆C 的与直线l 平行的切线l ′：x ＋2y ＋D ＝0，将其代入椭圆方程消去x ，化简得16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0.Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0，解得D ＝±4.l ′和l 的距离最小值为|12－4|5＝855.∴点Q 到直线l 的距离的最小值为855.【例2】解：如图，连接PA ，依题意可知|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1.∴P 点轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆．其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【例3】解：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 02－1. ∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，整理得y ＝9x 2＋12x ＋3.∴△ABC 重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3. 演练巩固提升1．x ＋2y －4＝0 解析：OP uu u r ＝(x ，y )，OA uu r ＝(1,2)，则OP uu u r ·OA uu r＝x ＋2y ＝4.∴点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.2．x 2＋y 2＝4 解析：如图，延长F 1P 交QF 2于F ′1点，连接PO .则在△F 1F 2F ′1中，|PO |＝12|F 2F ′1|＝12(|QF ′1|－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝2，即|PO |＝2，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.3．解：设M 点坐标为(x ， y )，A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则a 2＋b 2＝4，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a1＋λ，y ＝λb1＋λ，当λ≠0时，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝(1＋λ)x ，b ＝1＋λλy ，∴ (1＋λ)2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋λλ2y 2＝4.(1)若λ＝1，则x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心半径为1的圆； (2)若λ＞1或λ＜－1，则x 24(1＋λ)2＋y 24λ2(1＋λ)2＝1表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆；(3)若0＜λ＜1或－1＜λ＜0，则x 24(1＋λ)2＋y 24λ2(1＋λ)2＝1表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；(4)若λ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝0.又－2≤a ≤2，即y ＝0，－2≤x ≤2，则M 点的轨迹表示线段． 4．解：设动点P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵在正方形MNPO 中，|OM |＝|OP |，OP ⊥OM ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 02＋y 02＝x 2＋y 2，y x ·y 0x 0＝－1.①②又点M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝x 上， ∴得y 02＝x 0.③由②得y 0＝－x 0x y ，代入③得x 0＝x 02x 2y2，∴x 0＝y 2x2.④将③代入①，得x 02＋x 0＝x 2＋y 2，⑤将④代入⑤，得y 4x 4＋y 2x 2＝x 2＋y 2，化简，得y 2＝x 4，∴x 2＝±y (y ≠0)为所求轨迹方程．。

高考数学一轮复习第九篇解析几何第7讲抛物线教案理新人教版

第7讲抛物线【2013年高考会这样考】1．考查抛物线定义、标准方程．2．考查抛物线的焦点弦问题．3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．基础梳理1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质一个结论焦半径：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2＝by (b ≠0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析由2p ＝8得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )．A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析 p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .答案 A3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )．A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C4．(2012·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B5．(2012·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)．答案 (2,0)考向一抛物线的定义及其应用【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可．解析设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.答案 C涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.172 B ．3 C. 5 D.92解析由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172. 答案 A考向二抛物线的标准方程及性质【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．(2)(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论．(2)抓住FA 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)．解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y .综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案 (1)y 2＝－8x 或x 2＝－y (2)324求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．【训练2】已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 解析依题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p2，过点M 作MN 垂直于准线于N ，过F 作FQ 垂直于MN 于Q ，则|MN |＝|MF |＝2p ，|MQ |＝p ，故∠MFQ ＝30°，即直线MF 的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33. 答案 B考向三抛物线的综合应用【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[审题视点] (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．【训练3】设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点． (1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)证明设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．阅卷报告14——忽视“判别式”致误【问题诊断】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.【防范措施】解题后任何情况下都来检验判别式Δ.【示例】►(2010·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．实录 (1)将点A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.错因遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ，由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1.故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.正解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【试一试】 (2012·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．[尝试解答] (1)由C 2：y 2＝4x ，知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，M 在C 2上，因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53，得x 1＝23，y 1＝263.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，于是⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b2＝1，b 2＝a 2－1，消去b 2并整理得9a 4－37a 2＋4＝0.解得a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝13不合题意，舍去. 故b 2＝4－1＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由MF 1→＋MF 2→＝MN →，知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同．故l 的斜率k ＝26323＝ 6.设l 的方程为y ＝6(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝6x －m消去y 并整理得9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝16m 9，x 1x 2＝8m 2－49.因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6(x 1－m )(x 2－m ) ＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m 9＋6m 2＝19(14m 2－28)＝0. 所以m ＝± 2.此时Δ＝(16m )2－4×9(8m 2－4) ＝－32m 2＋144＝－32×2＋144＞0.故所求直线l 的方程为y ＝6x －23，或y ＝6x ＋2 3.。

【优化设计】高考数学一轮复习第九章解析几何椭圆教学案理新人教A版

9.5 椭圆考纲要求1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．理解数形结合的思想．3．了解椭圆的简单应用，了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为____；短轴B 1B 2的长为____焦距 |F 1F 2|＝____ 离心率 e ＝____∈(0,1)a ，b ，c 的关系_____________________1．已知椭圆x 210－m ＋y2m －2＝1，长轴在x 轴上，若焦距为4，则m 等于( )．A ．4B ．5C ．7D ．8 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )． A ．45 B ．35 C ．25 D ．153．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则该椭圆方程为( )．A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )．A ． 3B ．32C ．83D ．235．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________；∠F 1PF 2的大小为__________．一、椭圆的定义及标准方程【例1－1】已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，若△PF 1F 2的周长为12，离心率e ＝12，则此椭圆的标准方程为__________．【例1－2】一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．方法提炼1．在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a ＞|F 1F 2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．2．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a ，b ，c 的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．请做演练巩固提升3二、椭圆的几何性质【例2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________．方法提炼离心率是椭圆的几何性质中考查的重点，求离心率的方法通常是根据条件列出a ，c 所满足的齐次方程(或不等式)，然后再求离心率的值或取值范围．请做演练巩固提升4椭圆主观题的规范解答【典例】(12分)(2012山东高考)如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T .求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值．规范解答：(1)设椭圆M 的半焦距为c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，4ab ＝8，所以a ＝2，b ＝1.(3分)因此椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64m 2－80(m 2－1)＝80－16m 2＞0，得－5＜m ＜ 5.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4(m 2－1)5.所以|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝452(5－m 2)(－5＜m ＜5)．(7分) 线段CD 的方程为y ＝1(－2≤x ≤2)，线段AD 的方程为x ＝－2(－1≤y ≤1)．①不妨设点S 在AD 边上，T 在CD 边上，可知1≤m ＜5，S (－2，m －2)，D (－2,1)，所以|ST |＝2|SD |＝2[1－(m －2)]＝2(3－m )，因此|PQ ||ST |＝455－m 2(3－m )2，令t ＝3－m (1≤m ＜5)，则m ＝3－t ，t ∈(3－5，2]，所以|PQ ||ST |＝455－(3－t )2t 2＝45－4t 2＋6t －1 ＝45－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋54，由于t ∈(3－5，2]，所以1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3＋54，因此当1t ＝34，即t ＝43时，|PQ ||ST |取得最大值255，此时m ＝53.(9分)②不妨设点S 在AB 边上，T 在CD 边上，此时－1≤m ≤1，因此|ST |＝2|AD |＝22，此时|PQ ||ST |＝255－m 2，所以当m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.(10分)③不妨设点S 在AB 边上，T 在BC 边上，－5＜m ≤－1，由椭圆和矩形的对称性知|PQ ||ST |的最大值为255，此时m ＝－53.综上所述，当m ＝±53或m ＝0时，|PQ ||ST |最大值为255.(12分)答题指导：从圆锥曲线定义入手掌握有关知识，注意总结规律和防范细节性的错误．1．(2012江西高考)椭圆x2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A ．14B ．55C ．12 D ．5－2 2．已知椭圆的中心为原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆方程为( )．A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 24＋y 216＝1 3．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为____________________．4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围为__________．5．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．焦点焦距2．2a 2b 2c c ac 2＝a 2－b 2基础自测1．A 解析：椭圆焦点在x 轴上， ∴a 2＝10－m ，b 2＝m －2.又c ＝2，∴(10－m )－(m －2)＝4. ∴m ＝4.2．B 解析：由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b .又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．D 解析：2a ＝12，c a ＝13，∴a ＝6，c ＝2，b 2＝32， ∴椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．B 解析：∵a 2＝2，b 2＝m ， ∴c 2＝2－m .∵e 2＝c 2a 2＝2－m 2＝14.∴m ＝32.5．2 120° 解析：由题意知a ＝3，b ＝2，c ＝7. 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6. ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2. 又∵|F 1F 2|＝27，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得cos∠F 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 考点探究突破【例1－1】x 216＋y 212＝1 解析：由于△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝12，椭圆的离心率e ＝ca ＝12，故a ＝4，c ＝2，b 2＝12，椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.【例1－2】解：如图所示，设动圆的圆心为C ，半径长为r .则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ， ∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6＜10.∴点C 的轨迹是以O 1，O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.【例2】27－5 解析：A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，直线A 1B 2的方程为y ＝b a x ＋b ，直线B 1F 的方程为y ＝b cx －b ，联立解得交点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a －c ，b (a ＋c )a －c .又∵中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －c ，b (a ＋c )2(a －c )在椭圆上，则⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －c 2a2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤b (a ＋c )2(a －c )2b2＝1⇒3a 2－c 2－10ac ＝0，即e 2＋10e －3＝0.又∵0＜e ＜1，∴e ＝27－5.演练巩固提升1．B 解析：因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c . 又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2.所以离心率e ＝c a ＝55，故选B.2．A 解析：抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，即半焦距c ＝ 3.又离心率e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.故所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.3．x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.4．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，令|PF 1|＝t 1，|PF 2|＝t 2，则cos 60°＝t 12＋t 22－|F 1F 2|22t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－|F 1F 2|2－2t 1t 22t 1t 2，∴t 1t 2＝4a 2－2t 1t 2－4c 2.∴t 1t 2＝43b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1＋t 222＝a 2.∴3a 2≥4b 2＝4(a 2－c 2)． ∴c a ≥12，∴e ≥12. 又0＜e ＜1，∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 5．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2，解得b ＝22.。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线教学案理新人教A版

9.7 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的____，直线l 叫做抛物线的____．F ______F ______ F ______A ．x ＝－2B ．x ＝－12C ．y ＝－18D ．y ＝－1322．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．4D ．53．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为( )．A ．4B ．－14C ．－4D ．144．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为__________．5．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．一、抛物线的定义及其应用【例1－1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )．A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【例1－2】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )．A ．72B ．4C ．92 D ．5方法提炼利用抛物线的定义可解决的常见问题：(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．请做演练巩固提升1,3二、抛物线的标准方程及其几何性质【例2－1】设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【例2－2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．方法提炼1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x ，y 的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p 值，确定焦点坐标等．提醒：抛物线方程中的参数p ＞0，其几何意义是焦点到准线的距离．请做演练巩固提升2,4要注重抛物线定义的运用【典例】 (12分)(2012课标全国高考)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．规范解答：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .(1分)由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .(2分) 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)，p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(4分) (2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.(6分)由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.(7分)当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.(9分)因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n距离的比值为3.(12分)答题指导：1.对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题．1．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )．A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．83．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A.34 B ．1 C.54 D.744．已知抛物线y ＝2px 2(p ＞0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等焦点准线2．⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 1 x ＝－p 2 x ＝p2y＝－p 2 y ＝p2基础自测1．D 解析：抛物线的方程可化为x 2＝18y ，即2p ＝18，p ＝116，p 2＝132，所以准线方程为y ＝－132.2．D 解析：点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.3．B 解析：由x 2＝1a y ，∴其准线方程为y ＝－14a .∴a ＝－14.4．6 解析：由双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，得p2＝3，p ＝6.5．y 2＝8x 解析：由条件可知P 点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x ＝－2，所以p2＝2，p ＝4，轨迹方程为y 2＝2px ＝8x .考点探究突破【例1－1】 B 解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°. 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形．故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8.【例1－2】 C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.【例2－1】 C 解析：易知F (0,2)，准线方程为y ＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM |＞4，即|FM |＝x 02＋(y 0－2)2＝8y 0＋(y 0－2)2＞4，∴y 02－4y 0＋4＋8y 0＞16，y 02＋4y 0－12＞0，解得y 0＞2或y 0＜－6(舍)．∴y 0的取值范围是(2，＋∞)．【例2－2】解法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±26.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 解法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2， ∴3＋p2＝5，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6. 演练巩固提升1．D 解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，∴P 点的轨迹为抛物线的一部分．2．C 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1，抛物线的准线为x＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.4．138 解析：由P ⎝⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F 坐标为(0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.。

高考数学总复习第九章解析几何教案理新人教A版-新人教A版高三全册数学教案

【创新方案】〔新课标〕2017届高考数学总复习第九章解析几何教案理新人教A版第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)X围：直线l倾斜角的X围是[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：假设直线的倾斜角θ不是90°，那么斜率k＝tan_θ.(2)计算公式：假设由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，那么k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式名称条件方程适用X围点斜式斜率k与点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式截距a与b xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1．判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)倾斜角越大，斜率越大．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( )(7)假设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，那么方程可记为x m ＋yn＝1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×2．假设过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，那么m ＝________. 答案：－23．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为________．答案：60°4．三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，那么BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝05．直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，那么直线l 的方程为________．答案：3x ＋4y －14＝0[典题1] (1)直线2x cos α－y －3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，那么直线l 斜率的取值X 围为________．[听前试做] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，那么有tan θ∈[1， 3 ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．答案：(1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[探究1] 假设将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值X 围．解：∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－－1＝13，k BP ＝3－00－－1＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. [探究2] 假设将题(2)条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，假设直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点〞，求直线l 的倾斜角α的X 围．解：法一：如下图，k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.法二：由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0. ∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上．∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.直线倾斜角的X 围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的X 围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．[典题2] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[听前试做] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，那么sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，那么k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，那么所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，假设采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．点A (3,4)，求满足以下条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①假设a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②假设a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7.∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[典题3] 直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如下图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．[听前试做] 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.那么直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，且有A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，∴S△ABO＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k ·4－k ＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定〞．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本(均值)不等式求解最值．直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)假设直线不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)假设直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，那么必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 即k 的取值X 围是[0，＋∞)．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝〞成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.———————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系θ 0° 0°<θ<90°90° 90°<θ<180°kk >0 不存在k <0(1)直接法：根据条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据条件设出直线方程，再根据条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．[易错防X]1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否那么会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0的情况，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB.[全盘巩固]一、选择题1．假设方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，那么参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1 D．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3C ．－ 3 D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，那么k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，那么a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 解析：选D 由题意可知ax ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 4．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，那么a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )A B C D解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．二、填空题6．假设直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．解析：设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.答案：－137．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝08．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，那么a 的取值X 围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0. 综上可知，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)三、解答题9．直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足以下条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，那么直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[冲击名校]1．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，那么直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．2．假设直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，那么该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.3．假设ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，那么ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本(均值)不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：164．直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为________．解析：直线PQ 的斜率为－3，那么直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.答案： 35．A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，那么xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，那么x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：36．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，那么b 的取值X 围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值X 围是[－2,2]．答案：[－2,2]第二节两直线的位置关系考纲要求：1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，那么有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两条直线的交点3．三种距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，假设直线l 1⊥l 2，那么A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．( )(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．( )(6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√ 2．直线l 过点P (1,2)，直线l 1：2x ＋y －10＝0. (1)假设l ∥l 1，那么直线l 的方程为________； (2)假设l ⊥l 1，那么直线l 的方程为________．答案：(1)2x ＋y －4＝0 (2)x －2y ＋3＝03．经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y －7＝0的直线方程为____________．答案：4x －3y －6＝04．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________．答案： 55．直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，那么直线l 1与l 2的距离为________．答案：32[典题1] (1)过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.假设l 1∥l 2，l 2⊥l 3，那么实数m ＋n 的值为________．(2)两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足以下条件的a ，b 的值．①l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[听前试做] (1)∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1. 解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.(2)①由可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 假设k 2＝0，那么1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.(*) 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2. ②∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .(ⅰ)又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .(ⅱ)联立(ⅰ)(ⅱ)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.答案：(1)－10(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．[典题2] 经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．[听前试做] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0[探究] 假设将本例中的“垂直〞改为“平行〞，如何求解？解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ∥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝34，∴直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3平行，∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，∴λ＝27，∴直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)常见的三大直线系方程①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.[典题3] 点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由．[听前试做] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 假设斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．1．两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，那么直线l 1的方程为_________________________________________．解析：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18.故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成为4x －8y －2＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22.故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 答案：2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝02．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，那么直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度：角度一：点关于点的中心对称问题[典题4] 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，那么直线l 的方程为________________．[听前试做] 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，那么由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.答案：x ＋4y －4＝0角度二：点关于直线的对称问题[典题5] 直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，那么点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．[听前试做] 设A ′(x ，y )，由得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 角度三：直线关于直线的对称问题[典题6] 直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．[听前试做] 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，那么M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用[典题7] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．假设光线QR 经过△ABC 的重心，那么AP 等于________．[听前试做] 以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如下图平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的反射定理，知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4,4－x )、P 2(－x,0)，与△ABC 的重心D 43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43，AP ＝43.答案：43(1)点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(如角度一)(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，那么线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．(如角度二)(3)假设直线l 1、l 2关于直线l 对称，那么有如下性质：①假设直线l 1与l 2相交，那么交点在直线l 上；②假设点B 在直线l 1上，那么其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．(如角度三)(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分〞，由“垂直〞列出一个方程，由“平分〞列出一个方程，联立求解．(如角度四)——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.2．与直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.3．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)，那么： (1)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； (2)l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)； (3)l 1与l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)； (4)l 1与l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．[易错防X]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．假设两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，假设直线无斜率时，要单独考虑；2．运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为对应相等．[全盘巩固]一、选择题1．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0.故交点在第二象限． 2．假设直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，那么实数a ＝( )A.23 B ．－1 C ．2 D ．－1或2 解析：选A ∵a ×1＋(a －1)×2＝0，∴a ＝23.3．假设直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，那么m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，那么直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：选A 因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. 5．A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，那么线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，那么A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝4＋42＋8－22＝10.二、填空题6．直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8, l 1∥l 2，那么实数m 的值为________．解析：由(3＋m )(5＋m )－4×2＝0，得m ＝－1或m ＝－7，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去；当m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ，两直线平行．答案：－77．假设三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，那么m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案：－98．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，那么直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0 三、解答题9．正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，那么点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，那么点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 10．△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.[冲击名校]1．假设动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，那么P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522B ．5 2 C.1522D ．15 2 解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，那么原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝5 2.2．假设直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，那么直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，假设直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，那么直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.4．假设在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，那么d 的取值X 围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 的直线与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)5.如图，A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，那么直线FD 的斜率的取值X 围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1FE (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)6．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，那么|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，那么PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)；当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：5第三节圆的方程考纲要求：1.掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝圆心C ：(a ，b )(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．[自我查验]1．判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F >0.( )(4)假设点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，那么x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) (5)圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，那么a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0) D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.3．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．4．假设点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，那么实数a 的取值X 围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4. 即a 2<1，故－1<a <1. 答案：(－1,1)5．经过三点(2，－1)、(5,0)、(6,1)的圆的一般方程为________________．解析：设所求方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧22＋－12＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5，故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －8y －5＝0[典题1] 根据以下条件，求圆的方程．(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． [听前试做] (1)法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．那么⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (3)法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，3－x 02＋－2－y02＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.求圆的方程的方法(1)方程选择原那么求圆的方程时，如果由条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．(2015·某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：角度一：斜率型最值问题[典题2] 实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，那么yx的最大值为________，最小值为________．[听前试做] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3，所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.答案：3－ 3角度二：截距型最值问题[典题3] 在典题2条件下，求y －x 的最大值．[听前试做] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示圆心为(2,0)，半径r ＝ 3 的圆．设y －x ＝b ，y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.。

全国通用近年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7节抛物线学案文新人教A版(2021年整理)

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第7节抛物线最新考纲1。

了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

（2)其数学表达式：｛M｜|MF｜＝d｝（d为点M到准线l的距离).2。

抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p〉0)y2＝－2px（p>0）x2＝2py（p>0)x2＝－2py（p〉0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O（0，0)对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝1准线方程x＝－错误!x＝错误!y＝－错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0,x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下［常用结论与微点提醒]1.通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦。

2.抛物线y2＝2px(p>0）上一点P(x0，y0)到焦点F错误!的距离|PF｜＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线课件理新人教A版

[解析] ∵ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，∴ac＝2，即 ca22＝a2＋ a2 b2＝4，∴ba＝ 3.
则xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3 x.
x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为0，p2，
p
由题意得
2 1＋
32＝2，解得 p＝8.
故 C2 的方程为 x2＝16y.
[点石成金] 1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 的值即可．
2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
3．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4 时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为 2.
[点石成金] 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
角度四焦点弦中距离之和最小问题 [典题 4] 已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为___2_____．
[解析] 由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB| －2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．

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9.7 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的____，直线l 叫做抛物线的____．F ______F ______ F ______F ______________y ≤0，x ∈R P (x 0，y 0))21．抛物线y ＝8x 2的准线方程为( )．A ．x ＝－2B ．x ＝－12C ．y ＝－18D ．y ＝－1322．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为( )．A ．4B ．－14C ．－4 D.144．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为__________．5．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．一、抛物线的定义及其应用【例1－1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )．A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【例1－2】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )． A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 方法提炼利用抛物线的定义可解决的常见问题：(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．请做演练巩固提升1,3二、抛物线的标准方程及其几何性质【例2－1】设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【例2－2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．方法提炼1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x ，y 的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p 值，确定焦点坐标等．提醒：抛物线方程中的参数p ＞0，其几何意义是焦点到准线的距离．请做演练巩固提升2,4要注重抛物线定义的运用【典例】 (12分)(2012课标全国高考)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．规范解答：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .(1分)由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .(2分) 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |²d ＝42，即12²2p ²2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)，p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(4分)(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.(6分)由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.(7分) 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.(9分)因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.(12分) 答题指导：1.对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题．1．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )．A ． 2B ．2 2C ．4D ．83．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A ．34B ．1C ．54D ．744．已知抛物线y ＝2px 2(p ＞0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等焦点准线2．⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 1 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 基础自测1．D 解析：抛物线的方程可化为x 2＝18y ，即2p ＝18，p ＝116，p 2＝132，所以准线方程为y ＝－132.2．D 解析：点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.3．B 解析：由x 2＝1a y ，∴其准线方程为y ＝－14a .∴a ＝－14.4．6 解析：由双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，得p2＝3，p ＝6.5．y 2＝8x 解析：由条件可知P 点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x ＝－2，所以p2＝2，p ＝4，轨迹方程为y 2＝2px ＝8x .考点探究突破【例1－1】 B 解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°.又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形．故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8.【例1－2】 C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.【例2－1】 C 解析：易知F (0,2)，准线方程为y ＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM |＞4，即|FM |＝x 02＋(y 0－2)2＝8y 0＋(y 0－2)2＞4，∴y 02－4y 0＋4＋8y 0＞16，y 02＋4y 0－12＞0，解得y 0＞2或y 0＜－6(舍)．∴y 0的取值范围是(2，＋∞)．【例2－2】解法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 解法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8³(－3)＝24，得m ＝±2 6. 演练巩固提升1．D 解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，∴P 点的轨迹为抛物线的一部分．2．C 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.4.138 解析：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F 坐标为(0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12³⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2³1＝138.。

(湖北专用)高考数学一轮复习 第九章解析几何9.7抛物线教学案 理 新人教A版