初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24页PPT)

涉及知识
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、
出题背景 圆、坐标轴、抛物线等
解题思路 找对称点实现“折”转“直”.
问题1
A
作法
l
B
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
连AB与l 交点即为
P
图形
A
●
P
●
l
●
B
问题2“将军饮马” 作法
、N，使
交点即为M，N
△PMN的周
长最小
图形
原理
两点之间线段 最短．
PM+MN+PN 的最小值为 线段P＇P＂的
长
问题4
作法
l1
Q
P
l2
在直线l1、l2 上分别求点 M、N，使四 边形PQMN 的周长最小
分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q＇和 P＇,连Q＇P＇ 与两直线交点
即为M，N
问题10
作法
A
B
作直线
l AB,与直
在直线l上求一 线l的交点
点P，使︱PA- 即为P.
PB︱的值最大.
图形 图形
原理
垂直平分线上的 点到线段两端点 的距离相等． ︱PA-PB︱＝0．
原理
三角形任意两边 之差小于第三 边．︱PA-PB︱
≤AB． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB
问题11
作法
A
l B
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最大 ．
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
图形
原理
两点之间线段 最短．
四边形PQMN 周长的最小值
为线段 P＇Q＇的长
问题5“造桥 选址”
A
作法
M
m
n N
B
直线m∥n， 在m、n上分 别求点M、N ，使MN⊥m ，且
将点A向下平移 MN的长度单位 得A＇，连A＇ B，交n于点N
，过N作 NM⊥m于M
AM+MN+BN的
值最小．
图形
原理
两点之间线段 最短．
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A
B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
解：作点C关于x轴的对称点C′，连接C'D
y
交x轴于点M，此时MC＋MD的值最小．
C'
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7xAO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
随堂练习四 如图，已知点P是直线x=1上的一动点，点A 的坐标为（0，－2），若△OPA的周长最小,试 在图中确定点P的位置.
O’
● ●
P
随堂练习五 如图，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是 BD上一动点．连结AP、EP ，则AP+EP的最小值是
____5___；
P P
中考链接 如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C点，且A（﹣1，0）．点M（m，0）是x轴上 的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值.
顶点 O 在坐标原点，顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，
OA＝3，OB＝4，D 为边 OB 的中点．
(1)若 E 为边 OA 上的一个动点，当△CDE
的周长最小时，求点 E 的坐标；
(2)若 E，F 为边 OA 上的两个动点，且 EF
＝2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E，F
AM+MN+BN 的最小值为 A＂B+MN
问题7
作法
l1
P
l2
在l1上求点A ，在l2上求点 B，使PA+AB 值最小．
作点P关于l1的 对称点P＇，作 P＇B⊥l2于B，
交l2于A．
图形
原理
点到直线，垂 线段最短．
PA+AB的最小 值为线段P＇B
的长
问题8
作法
N A
M
l1
l2 B
A为l1上一定 点，B为l2上 一定点，在l2 上求点M， 在l1上求点N ，使
AM+MN+BN 的最小值为 A＇B+MN
问题6
作法
A
B 将点A向右平移
M a N l a个长度单位得
在直线l上求 两点M、N（ M在左），使
A＇，作A＇关 于l的对称点A＂ ， 连A＂B， 交直线l于点N
MN=a，并使 ，将N点向左平
AM+MN+NB的 移个单位得M
值最小．
图形
原理
两点之间线段 最短．
A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
P为对角线BD上的一动点，要使PM+PC的值最小，
请确定点P的位置.
A
D
P
P●
B
M
C
随堂练习二
如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的线段 MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时，折线 AMNB长度最短？
B1
●
●
●
M A1 ●
N
随堂练习三
2. 如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的 线段MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时， 折线AMNB长度最短？
A1
●
●
●
M
N
●
A2
的坐标．
图 Z8－3
中考链接
【例题分层探究】 问题 1：△CDE 的三边中哪条边是定值，此类问题可以 转化为什么问题？ 问题 2：当 E，F 是动点时，四边形 CDEF 中的哪条线段 是定值，此类问题可转化为什么问题？