高考数学(文)一轮复习精练：第八章 解析几何 课时作业 45 Word含解析
2025版高考数学一轮总复习课时作业第八章平面解析几何8
第八章平面解析几何 8.5 椭圆第1课时椭圆的标准方程与简洁几何性质【巩固强化】1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（B）A. 2B. 7C. 5D. 3解：由椭圆知，所以.故点到另一个焦点的距离为.故选.2. 已知椭圆的左焦点为，则的值为（C）A. 9B. 4C. 3D. 2解：由题意,知，解得（舍去负值）.故选.3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（C）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解：把方程化成，若，则.所以椭圆的焦点在轴上.反之，若椭圆的焦点在轴上，则，即有.故“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件.故选.4. 已知椭圆的离心率为，则（B）A. B. C. D.解：椭圆的离心率，,化简得.故选.5. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（C）A. B. C. D.解：设,.因为,，所以,,则,故,所以.因为,所以.所以椭圆的方程是.故选.6. 【多选题】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ACD）A. 椭圆的方程为B. 椭圆的方程为C. D. 的周长为解:由已知，得,则.又,所以.所以椭圆的方程为,图形如图所示.易知,的周长为.故选.7. 设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点.若为直角三角形，则的离心率为.解：因为为直角三角形，,所以，则.所以,所以椭圆的离心率.故填.8. 设，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为.（1）若直线的斜率为，求的离心率；解：依据及题设知,，则由有.将代入，解得或（舍去）.故的离心率为.（2）若直线在轴上的截距为2，点的纵坐标为，求椭圆的方程.[答案]由题意，知原点为的中点，轴.所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即.易知在第一象限，由三角形的相像得，得，故,，代入的方程，得.将①及代入②,得.解得.又，故.所以椭圆方程为.【综合运用】9. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（A）A. B. C. 5 D.解：在椭圆中，，，则.易知，为椭圆的焦点，因此.故选.10. [2024年全国乙卷]设是椭圆的上顶点，若上的随意一点都满足，则的离心率的取值范围是（C）A. B. C. D.解：设，已知，因为，，所以.因为，当，即时，，即，符合题意.由可得.设的离心率为,则.当，即时，，即，化简得，当时，明显该不等式不成立.综上，.另解：设.由,得.当时，或,满足.当时,.由的随意性，知,则,则.故选.11. 【多选题】设椭圆的焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（AD）A. 离心率B. 的最大值为3C. 面积的最大值为D. 的最小值为2解：由题意，得,,,,故正确.不妨令,.设,则.因为,所以当时，，即，故错误.因为,,所以当,即点在短轴的端点时，的面积取得最大值，且，故错误.,故正确.故选.12. 已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；解：依题意,得,.离心率，解得.所以.所以椭圆的标准方程为.（2）若点，点在椭圆上，求的最大值.[答案]设，则，其中.当时，,故的最大值为.【拓广探究】13. 【多选题】某校航天爱好小组利用计算机模拟飞行器探月飞行.如图，飞行器在环月椭圆轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点）近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（BC）A. 圆形轨道的周长为B. 月球半径为C. 近月点与远月点的距离为D. 椭圆轨道的离心率为解：以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道,环绕周期为,则可得环绕的圆形轨道周长为,半径为,故错误.则月球半径为,故正确.则近月点与远月点的距离为,故正确.设椭圆方程为,则,（为月球的半径）,所以,,故离心率为,故错误.故选.。
2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第八章 解析几何 五十五 含解析 精品
即 所以1＜k＜ .
(2)由①得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∴|AB|＝ ·
＝2 ＝6 ，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝ 或k2＝ .
又1＜k＜ ，∴k＝ .
12．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2 ，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3 7.
课时作业
[授课提示：对应学生用书第266页]
一、选择题
1．若双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝()
A. B.
C．2 D．4
解析：双曲线方程可化为x2－ ＝1，
∴实轴长为2，虚轴长为2 ，
∴2＝2 ，解得m＝4.
答案：D
2．焦点为(0,6)且与双曲线 －y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是()
答案：
8．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(－3,0)，且焦距与实轴长之比为5 3，则双曲线的标准方程是__________．
解析：可求得a＝3，c＝5.焦点的位置在x轴上，所得的方程为 － ＝1.
答案： － ＝1
9．(2017·韶关调研)已知双曲线的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向，则双曲线的离心率为__________．
答案：
三、解答题
10．(2016·天津改编)已知双曲线 － ＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，求双曲线的方程．
解析：根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有 ⇒ 则xy＝ · ＝ ⇒b2＝12.故所求双曲线的方程为 － ＝1.
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
高考数学一轮复习第八章 解析几何答案 (2)
第八章 解析几何第40讲 直线的方程及位置关系1.B【解析】 由于倾斜角为60°，故斜率k ＝3.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.2. C【解析】 若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3. C【解析】 因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1，则直线y ＝ax ＋1a的斜率满足0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1，只有C 符合．4.D 【解析】因为直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，所以此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正常数a 的值是1，故选D.5. D【解析】 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b＝－1.又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4.6.C【解析】由题易知直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.(第6题)7.ACD【解析】设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y2＝3x2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫66，＋∞.故选ACD. 8.ABD【解析】对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；联立方程组⎩⎨⎧x －y －1＝0，(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k －1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确．9. AD 【解析】 设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277，－87. 10.2x －4y ＋3＝0【解析】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1,0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 11. 2910【解析】因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.12.6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(第12题)设B (a ，－2)，C (b,3)．因为AC ⊥AB ，所以ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. 所以Rt △ABC 的面积S ＝12a2＋4·b2＋9＝12a2＋4·36a2＋9＝1272＋9a2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．所以△ABC 的面积的最小值为6. 13.【解答】(1)由题知过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(第13题)(2)作图可得过点P 且与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1kOP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3) 由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14. 【解答】 (1) 设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3313，413.(2) 在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为点P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 15. 【解答】 如图，建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)， 所以直线EF 的方程为x30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )， 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R . 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．又m30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m ， 所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时EPPF＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．(第15题) 第41讲 圆的方程1. A2. B3. A4.B【解析】设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5. D 【解析】 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.6.D【解析】由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D. 7.ABD【解析】对于A ，将圆化为标准方程，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(1,2)，半径为r ＝2，点(1，－2)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(－2－2)2＝4>r ，所以点在圆外．对于B ，由圆心(1,2)到直线的距离公式得d ＝|1－2＋2|12＋12＝22.对于C ，因为两圆的圆心坐标分别为O (0,0)和C (－2,2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.对于D ，设P (x ，y )是圆C 上一点．而y x的几何意义就是直线OP 的斜率(O 为坐标原点)．设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．(第7题)因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k2＋1，所以当|3k －3|k2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，所以y x的最大值是3＋22，故选ABD.8. ACD【解析】 由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆，如图，设3x ＋y ＝m ，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23.设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m|2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选ACD.(第8题)9.AC【解析】如图，由原点到直线l 的距离d ＝212＋12＝1，知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，则四边形APOQ 为正方形，所以OA ＝2OP ＝2.设A (t ，2－t )，则由两点间的距离公式得OA ＝t2＋(2－t )2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或2.因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．(第9题)10.x 2＋y 2－2x ＝0【解析】方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(第10题)11.25【解析】 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于点Q ，由对称性可知PA ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝25. 12.22【解析】x2＋y2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为(x －1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≤0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≥0，y ≤0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22.综上可知，x2＋y2的最大值为22.13.【解答】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，165.14. 【解答】 (1) 若选择条件①， 则PM PN＝2，即(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2－12x ＋32＝0，即(x －6)2＋y 2＝4. 若选择条件②，由A (4,0)，B (6,2)的中点为E (5,1)，k AB ＝2－06－4＝1，知AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －6＝0，x ＋y －6＝0，解得圆心C (6,0)．半径r ＝CA ＝2，所以曲线C 的方程为(x －6)2＋y 2＝4. (2) 由直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得的弦长为2，知圆心到直线的距离d ＝4－1＝3.由点到直线的距离公式得d ＝|6－a ·0－4|a2＋1＝3，解得a ＝±33.15. 【解答】 (1) 设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝8，ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.因为点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2) 假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎨⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A【解析】方法一：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．方法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法三：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，Δ＝(－2m 2)2－4(1＋m 2)(m 2－5)＝4(4m 2＋5)>0，故直线l 与圆相交．2.C【解析】 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为94. 3.C【解析】当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得切线长的最小值，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.4.C【解析】 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．(第4题)5. C 【解析】 将x ＝2y －y2化为x 2＋(y －1)2＝1，x ≥0，表示半圆，所以圆心(0,1)，半径r ＝1.因为圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝322，所以圆上的点到直线的最小距离b ＝322－1， 最大距离为(0,2)到直线的距离，即a ＝42＝22， 则a －b ＝22＋1. 6.D【解析】圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，圆心为(0，5)，半径r ＝3，由圆心到直线2x ·sinθ＋y ＝0的距离d ＝54sin2θ＋1＜3，解得sin 2θ＞16，所以弦长为2r2－d2＝23－54sin2θ＋1，因为53＜4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin2θ＋1＜3，所以弦长2r2－d2＝23－54sin2θ＋1∈(0,22]，当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.7. BC【解析】 因为直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，故圆C 的圆心(－3,3)到直线y ＝kx －1的距离的最大值为(－3－0)2＋(3＋1)2＝5.又圆C 的半径为6，故弦长AB 的最小值为262－52＝211.又当直线y ＝kx －1过圆心时，弦长AB 取最大值为直径12，故AB∈[211，12]．故选BC.8.AD【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x2＋y2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以AB ＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，半径r ＝2，所以圆心C (1,1)到直线kx －y ＋3＝0的距离d ＝|k －1＋3|k2＋1＝|k ＋2|k2＋1.因为d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22，所以(k ＋2)2k 2＋1＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322，即(k ＋2)2＝k 2＋1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，满足题意的直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选AD.9. ABD 【解析】 如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋(－3)2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0,1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意知⎩⎨⎧b ＋1＝a2＋(b －1)2，b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋(－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，则O 2(2,1)，所以O 1O 2＝22＋12＝5.O 2到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝2.由于O 1，O 2的位置不确定，故ABD 错误．(第9题)10.10【解析】由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5.又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－52＝10，即AB ＝10.11. y ＝－12【解析】由题意知，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，易求得这个圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将此圆的方程与圆C 的方程作差可得AB 所在直线的方程为y ＝－12.12. 3 【解析】 方法一：设A (a,2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧xD ＝1，yD ＝2，所以AB→·CD→＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a －32，2－a ＝a2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1.又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.方法二：因为AB→·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tanθ＝2，k ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎨⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.13. 【解答】 (1) 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况． (2) 由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x22，12，则BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y －12＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22，x22＋mx2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 2，－12， 半径r ＝m2＋92.故该圆在y 轴上截得的弦长为2·r2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 14.【解答】(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍去)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2) 存在，当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB . 理由如下：当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k2＋1，x 1x 2＝k2－4k2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y1x1－t ＋y2x2－t＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，使得∠ANM ＝∠BNM 总成立． 15.【解答】(1)将圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5，解得b ＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(第15题)(2)因为k OA ＝2，所以可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC 22＝25，即|2×6－7＋m|22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3) 由TA→＋TP →＝TQ →，知四边形AQPT 为平行四边形， 又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以PQ ≤2r ＝10. 所以TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221， 故实数t 的取值范围为[2－221，2＋221]．第43讲 椭 圆第1练1.C【解析】设椭圆C 的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．因为短轴长为2，所以2b ＝2，解得b ＝1.因为离心率e ＝c a＝255，又a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，所以a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为y25＋x 2＝1.故选C.2. A 【解析】 当m ＝4时，a 2＝5，b 2＝4,2c ＝25－4＝2，即m ＝4时，椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2.当m ＝6时，a 2＝6，b 2＝5,2c ＝26－5＝2，即“m ＝4”是“椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2”的充分不必要条件，故选A.3. A【解析】 由题意知y21m＋x 2＝1，所以a 2＝1m，b 2＝1，所以2×1m＝2×1×2＝4，所以m ＝14.故选A.4. A【解析】 过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△AF 1F 2∽△CDF 2，由AF2→＝2F2C →，知F 1F 2＝2F 2D ，AF 1＝2CD ，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，b22a ，因为点C 在椭圆上，所以(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b22a 2b2＝1，即5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.5. A 【解析】 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，因为OP ＝OF 2，所以OP ＝OF 2＝OF 1，所以△PF 1F 2为直角三角形，即∠F 1PF 2＝90°.因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以m ＝2n .因为△PF 1F 2的面积为4，所以12mn ＝4，即mn ＝8.因为∠F 1PF 2＝90°，所以m 2＋n 2＝F 1F 22＝4c 2.由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＋2mn ＝4a 2，解得b 2＝4，m ＝4，n ＝2，所以a ＝3，所以所求椭圆方程为x29＋y24＝1，故选A.6. A 【解析】如图，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′为矩形，因此AB ＝FF ′＝2c ，AF ＋BF ＝2a ，AF ＝2c sin α，BF ＝2c cosα，所以2c sinα＋2c cosα＝2a ，所以e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，因为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π6， 所以α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，5π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，2＋64，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，1＋32，所以e ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1，63.(第6题)7.AB【解析】 由题意知m >0，当m ＜5时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝c a ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当m ＞5时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝c a＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选AB.8.BD【解析】 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即A 选项不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即B 选项正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a1－c1c1<a2－c2c2，即0＜a1c1<a2c2，从而c 1a 2>a 1c 2，c1a1>c2a2，即D 选项正确，C 选项不正确．故选BD 9.ACD【解析】对于A ，因为F 1F 2＝2，所以F 2(1,0)，PF 2＝1，所以QF 1＋QP ＝2a －QF 2＋QP ≥2a －PF 2＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时取等号，故A 正确；对于B ，假设椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，代入点P 的坐标得12＋11>1，则点P 在椭圆外，假设不成立，故B 错误；对于C ，因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a＋1b <1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a＋1a －1<1，即a 2－3a ＋1>0，解得a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a >1＋52，所以e ＝1a<5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12，故C 正确； 对于D ，若PF1→＝F1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故D 正确．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 【解析】 由方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m >m >0，解得0<m <12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 11. 24【解析】 在椭圆x249＋y224＝1中，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由PF 1⊥PF 2，得m 2＋n 2＝(2c )2＝100，又m ＋n ＝2a ＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝4c2＝100，m ＋n ＝2a ＝14，所以mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)2＝142－1002＝48，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝24.12.33【解析】由于AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点F 1且AB⊥F 1F 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，－b2a .因为P 是AF 2的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，b22a .又F 2(c,0)，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，3b22a ，AF2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，－b2a .因为BP →·AF2→＝0，则2c 2－3b42a2＝0，即2c ＝3b2a .又b 2＝a 2－c 2，则2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．13. 【解答】 (1) 由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a2－b2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b2a，－b2a，C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故AB ＝2b2a，CD ＝4c . 由CD ＝43AB ，得4c ＝8b23a，即3×c a＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2，解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x24c2＋y23c2＝1，所以C 1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c )，(0，－3c )，C 2的准线方程为x ＝－c .由已知得3c ＋c ＋c ＋c ＝12，即c ＝2.所以C 1的标准方程为x216＋y212＝1，C 2的标准方程为y 2＝8x .14.【解答】(1)由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (a,0)，上顶点为B (0，b )，可得直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0,则点O 到直线AB 的距离d ＝ab a2＋b2＝255，即4a 2＋4b 2＝5a 2b 2，①因为△OAB 的面积为1，所以12ab ＝1，即ab ＝2，②由①②，可解得a ＝2，b ＝1, 所以椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(2) 由(1)可得x ＋2y －2＝0，所以直线AB 的斜率为－12，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋t ，x24＋y2＝1，整理得2y 2－2ty ＋t 2－1＝0，则y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝t2－12，所以k 1·k 2＝y1x1－2·y2－1x2＝y1y2－y1x1x2－2x2，所以x 1x 2－2x 2＝4(t －y 1)(t －y 2)－4(t －y 2)＝4[t 2－t (y 1＋y 2)＋y 1y 2－t ＋y 2]＝4[(y 1＋y 2)2－(y 1＋y 2)(y 1＋y 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋y 2]＝4(y 1y 2－y 1)， 所以k 1·k 2＝y1y2－y14(y 1y 2－y 1)＝14，即k 1k 2＝14为定值．第2练1.D【解析】由于方程x2m＋y2m2－1＝1为椭圆，且焦点(0,1)在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－1>0，m2－1>m ，m2－1－m ＝1，解得m ＝2，所以a ＝22－1＝3，长轴长为2a ＝23.2. B 【解析】 因为椭圆E 的离心率为22，所以c a ＝22，因为椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以12a2＋34b2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，所以焦距为2c ＝2. 故选B.3. D 【解析】 依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8①. 不妨设直线l ：xa ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34②，联立①②，又a ＞b ＞0，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x232＋y22＝1. 4.B【解析】 由题意可知，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA ＝OB ＝OF 1＝OF 2，故这两个焦点F 1，F 2和A ，B 两点为顶点得一矩形．直线y ＝－3x 的倾斜角为120°，所以矩形宽为c ，长为3c .由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1，故选B.(第4题)5. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋y2b2＝1⇒(b 2＋a 2k 2)x 2＝a 2b 2，则x ＝±ab b2＋a2k2，由题意知ab b2＋a2k2＝c ①，因为e ＝c a＝12，所以a ＝2c ，b ＝a2－c2＝3c ，代入①可得12c43c2＋4c2k2＝c 2⇒k ＝±32.故选A. 6. C 【解析】如图，由椭圆的定义可知QF 1＋QF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，因为PF 2＝F 1F 2，所以PF 2＝2c ，则PF 1＝2(a －c )．因为2PF 1＝3QF 1，所以QF 1＝23PF 1，所以QF 1＝4(a －c )3，则QF 2＝2a ＋4c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝PF21＋F2F21－PF222PF1·F2F1＝a －c2c ；在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2＝QF21＋F2F21－QF222QF1·F2F1＝a －3c4c .因为∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，所以cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2，所以a －c 2c＝－a－3c4c，化简得3a＝5c，所以e＝ca＝35. 所以椭圆的离心率为35.(第6题)7. BC 【解析】因为x26＋y2＝1，所以a＝6，b＝1，所以c＝a2－b2＝6－1＝5，则椭圆C的焦距为25，离心率为e＝ca＝56＝306.设P(x，y)(－6≤x≤6)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋652＋45≥45>15，所以圆D在椭圆C的内部，且PQ的最小值为45－15＝55.故选BC. 8. ABC 【解析】由椭圆x225＋y216＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，故A正确；椭圆上的动点P满足a－c≤PF1≤a＋c，即有2≤PF1≤8，故FP1的最小值为2，B正确；设FP1，FP2，FP3，…组成的等差数列为{a n}，公差d>0，则a1≥2，a n≤8，又d＝an－a1n－1，所以d≤6n－1≤621－1＝310，所以0<d≤310，所以d的最大值是310，故C正确，D错误．故选ABC.9. ABD 【解析】 设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y20－9x20＝y20－91－y209＝－9.设k PA ＝k (k ＞0)，则k PB ＝－9k，直线AP 的方程为y ＝kx －3，则点M 的坐标为(5,5k－3)．直线BP 的方程为y ＝－9k x ＋3，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5，－45k ＋3， 所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k －3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45k ＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋45k －6≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25k ·45k －6＝24，当且仅当5k ＝45k，即k ＝3时等号成立．从而△DMN 面积的最小值为12×24×6＝72，故选ABD.10.2＋6－2【解析】如图，因为△ABF 为顶角是150°的等腰三角形，所以设AB ＝x ＝AF ，则由余弦定理得cos 150°＝AB2＋AF2－BF22AB ·AF，则BF ＝6＋22x .又OF ＝AB 2＋AF ·cos ∠AFO ＝3＋12x ＝2，解得x ＝6－2，BF ＝6＋22x ＝2，则2a ＝BF ＋BF 2＝BF ＋AF ＝2＋6－2.(第10题)11.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即点F 到点P 与点A 的距离相等，而FA ＝a2c －c ＝b2c，PF ∈(a －c ，a ＋c ]，于是b2c∈(a －c ，a ＋c ]，即ac －c 2<b 2≤ac ＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧ac －c2<a2－c2，a2－c2≤ac ＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ca <1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0,1)，故e ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. 12.63【解析】 如图，设点F (c,0)，因为直线AB ：y ＝33x ，所以tan ∠AOF ＝33，即∠AOF ＝30°.又AF ⊥BF ，O 为AB 中点，所以OA ＝OF ＝c ，所以点A (c cos ∠AOF ，c sin ∠AOF )，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2.因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2在椭圆上，所以3c24a2＋c24b2＝1， 又b 2＝a 2－c 2，化简得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即3e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝23或2(舍去)，故e ＝63.(第12题)13. 【解答】 (1) 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧94a2＋3b2＝1，c a ＝53，c2＋b2＝a2，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x29＋y24＝1.(2)由(1)知A (0,2)，所以∠PAQ 的平分线方程为y ＝2x ＋2，在直线y ＝2x ＋2上取点B (－1,0)，则AB ＝5，因为直线AP ，AQ 互相垂直，所以∠PAQ ＝90°， 所以点B 到AP ，AQ 的距离为102.设AP ：y ＝kx ＋2，则102＝|－k ＋2|1＋k2，解得k ＝－3或13.不妨取AP ：y ＝－3x ＋2，则AQ ：y ＝13x ＋2，分别与椭圆C 方程联立解得x P ＝10885，y P ＝－15485，x Q ＝－125，y Q ＝65，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝－3239.14. 【解答】 (1) 由点P (2，3)在椭圆上可得2a2＋3b2＝1，整理得2b 2＋3a 2＝a 2b 2①.由S △PF 1F 2＝12×2c ×3＝23，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4，代入①式整理得b 4－b 2－12＝0，解得b 2＝4，a 2＝8.所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.(2) 由(1)可得F 2(2,0)，所以设直线l 1：x ＝my ＋2，联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x28＋y24＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋4my －4＝0，所以直线l 1与椭圆两交点的中点M 的纵坐标y M ＝y1＋y22＝－2mm2＋2.同理直线l 2与椭圆两交点的中点N 的纵坐标y N ＝2m 1m2＋2＝2m2m2＋1，所以S △MNF 2＝12MF 2·NF 2＝121＋m2·1＋1m2·|y M ||y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2m 4＋5m 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2(m 2＋1)2＋m 2， 将上式分子分母同除m (1＋m 2)可得， S △MNF 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22m2＋1m ＋m 1＋m2， 不妨设m >0，令m2＋1m ＝t ，t ≥2，则S △MNF 2＝22t ＋1t ，令f (t )＝2t ＋1t ，f ′(t )＝2t2－1t2，因为t ≥2，所以f ′(t )>0，所以f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，△MNF 2的面积取得最大值，且S max ＝24＋12＝49. 第44讲 双曲线1. C2. B3. B【解析】 因为双曲线的右焦点为F (3,0)，即c ＝3，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，所以|3b|b2＋a2＝1，即3b c＝1，所以b ＝1，则a ＝c2－b2＝22，因此e ＝ca ＝324.故选B.4.B【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，a ＝b ，将点(3，2)代入双曲线方程得a ＝b ＝1，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，点P 到x 轴的距离为h ，F 1F 2＝22，PF 1－PF 2＝2，由余弦定理得F 1F 22＝PF 12＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝4，由三角形面积公式得12PF 1·PF 2sin60°＝12F 1F 2·h ，解得h ＝62.故选B.5.A【解析】方法一：双曲线x24－y22＝1的右焦点F (6，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨设点P 在第一象限，由PO ＝PF ，得点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以△PFO 的面积为12×6×32＝324.方法二：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.6. D 【解析】 如图，设△AMF 1的内切圆在边AF 1，AM 的切点分别为E ，G ，(第6题)则MF 1－MF 2＝2a ，得NF 1＋2－MF 2＝2a ，又NF 1＝EF 1＝GF 2，则GF 2＋2－MF 2＝2a ，得2＋MG ＝2a ，又MG ＝2，则2a ＝4, a ＝2，所以双曲线C 的离心率为22＋42＝2.故选D.7. BC 【解析】 由双曲线方程x24－y212＝1，得a ＝2，b ＝23，c ＝a2＋b2＝4，所以实轴长2a ＝4，故选项A 错误；渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，故选项B 正确；离心率e ＝c a＝2，故选项C 正确；准线方程为x ＝±a2c ＝±1，取其中一条准线x ＝1，y ＝3x 与x ＝1的交点A (1，3), 点A 到直线y ＝－3x 的距离d ＝|3×1＋3|(3)2＋12＝3，故D 错误．故选BC.8.ACD【解析】对于A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，正确；对于B ，由题意得F 2(2， 0)，F 1(－2， 0)，则以F 1F 2为直径的圆的方程不是x 2＋y 2＝1，错误；对于C ，F 1(－2， 0)到渐近线y ＝x 的距离为1，正确；对于D ，由题意得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 0，y 0)，根据PF1→·PF2→＝0，解得x 0＝±62，y 0＝±22，则△PF 1F 2的面积为1，正确．9.AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ′，则QF －QF ′＝2a ，即QF ＝QF ′＋2a ，故QF ＋PQ ＝QF ′＋PQ ＋2a ≥PF ′＋2a .由题意可得PF ＝PF ′＝24＋1＝5，所以PQ ＋QF ＋PF ≥2PF ＋2a ≥14，所以a ≥2，则双曲线C 的离心率e ＝c a ＝26a≤6.因为e >1，所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1，6]．10.x210－y25＝1【解析】 由题意设所求双曲线方程为x212－y26＝k ，因为双曲线过点(23，－1)，所以1212－16＝k ，k ＝56，所以所求双曲线方程为x212－y26＝56，即x210－y25＝1. 11.10【解析】 因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以b a＝2，即b ＝2a .因为左焦点F (－3，0)，所以c ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2＝3，所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线方程为x 2－y22＝1，直线l 的方程为y ＝2(x ＋3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2(x ＋3)，x 2－y22＝1，消去y 可得x 2＋43x ＋7＝0，Δ＞0， 所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝7，所以AB ＝1＋k2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4·48－28＝5×20＝10. 12. 75 【解析】 由定义知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝6PF 2，所以PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222·PF1·PF2＝14425a2＋425a2－4c22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.因为cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，75.当P ，F 1，F 2三点共线时，因为PF 1＝6PF 2，所以e ＝c a ＝75.综上，e 的最大值为75. 13. 【解答】(1) 设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则 42－(－10)2＝λ，所以λ＝6.所以所求双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2) 将点M (3，m )代入双曲线方程，得326－m26＝1，所以m 2＝3，所以M (3，±3)． 又由双曲线方程知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝m2－3＝3－3＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3) 由MF 1⊥MF 2知∠F 1MF 2＝90°， 所以MF 21＋MF 2＝F 1F 2.① 又因为MF 1－MF 2＝26，②①－②2得2MF 1·MF 2＝F 1F 2－24＝24，所以MF 1·MF 2＝12，所以S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2＝6.14. 【解答】 (1) 设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1.(2) 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A＋x B＝62k 1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.15. 【解答】 (1) 设点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c >0)，由题知c a＝2，所以c ＝2a ，c 2＝4a 2，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32在双曲线C 上，所以1a2－94b2＝1， 则b 2－94a 2＝a 2b 2，即3a 2－94a 2＝3a 4，解得a 2＝14，a ＝12.所以c ＝1.连接PQ ，因为OF 1＝OF 2，OP ＝OQ ，所以四边形PF 1QF 2为平行四边形． 因为四边形PF 1QF 2的周长为42，所以PF 2＋PF 1＝22>F 1F 2＝2.所以动点P 的轨迹是以点F 1，F 2分别为左、右焦点，长轴长为22的椭圆(除去左右顶点)．可得动点P 的轨迹方程为x22＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 因为x 21＋x 2＝2，x212＋y 21＝1，x222＋y 2＝1，所以y 21＋y 2＝1，所以OG ·MN ＝MN ·OG ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y1＋y222＝12x21＋x22＋y21＋y22－2x1x2－2y1y2· x21＋x22＋y21＋y22＋2x1x2＋2y1y2 ＝123－2x1x2－2y1y23＋2x1x2＋2y1y2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x1x2－2y1y2＋3＋2x1x2＋2y1y22＝32. 当且仅当3－2x 1x 2－2y 1y 2＝3＋2x 1x 2＋2y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0时取等号， 此时OM ⊥ON ，即△OMN 为直角三角形．第45讲 抛物线1. D2. C 【解析】 将x ＝4代入抛物线方程得P (4,4)，根据抛物线定义得PF ＝4＋p 2＝4＋1＝5.3.B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，所以由定义知点P 到准线的距离为2,所以x P ＋1＝2，所以x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，所以△OFP 的面积为S ＝12·OF ·|y P |＝12×1×2＝1.4.C【解析】抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，圆M ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)的圆心为(3,4)，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到准线的距离为r ＝|4＋1|＝5.5.B【解析】因为CC 1的中点为M (1,4)，所以y A ＋y B ＝8，x C －p 2。
高考数学(文)一轮复习精练：第八章 解析几何 课时作业 49 Word含解析
7．[2019·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：解法一由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2 ，即A(2,2 )，所以直线AF的方程为y＝2 (x－1)．由 解得 或 所以点B的横坐标为 ，所以|BF|＝ .
C．11pD．12p
解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p，
∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p，故选B.
答案：B
二、填空题
6．[2019·长沙市，南昌市部分学校联合模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2017F|＝________.
如图1， ＝ ，所以 ＝ ，解得|BD|＝1，
如图2， ＝ ，所以 ＝ ，解得|BD|＝9.
综上，|BD|为1或9，故选D.
பைடு நூலகம்答案：D
4．[2019·河南百校联盟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝ (O为坐标原点)，则 · ＝()
A．－ B.
C. D．－
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝ .
数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析
第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。
高考数学一轮复习第八章 解析几何答案
第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材·夯基固本激活思维1. ABCD 【解析】对于A，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；对于E，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确．故选ABCD.2. B 【解析】化直线方程为y＝3x＋a，所以k＝tan α＝3.因为0°≤α<180°，所以α＝60°.3. B 【解析】由已知得k1＝1，k2＝m＋15.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，所以1×m＋15＝－1，即m＝－6. 故选B.4. C 【解析】由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.5. ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝2－0 1－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.知识聚焦1. (1) 向上方向平行或重合(2) [0，π)2. (1) tan α (2) y2－y1x2－x13. y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠04. (1) ①l 1∥l 2 l 1⊥l 2 k 1＝k 2，b 1＝b 2②A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1A 1A 2＋B 1B 2＝0 A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝05. (1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2) |Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)|C1－C2|A2＋B2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 设直线的倾斜角为θ，因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ π3，3π4，所以当θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2时，k ＝tan θ＞3.当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，k ＝tan θ＜－1，所以其斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞) 【解析】若要使l 过点P (2,2)，且与线段AB 相交，则k ≥k AP ＝4－23－2＝2或k ≤k BP ＝－3－2－4－2＝56，即k ≥2或k ≤56.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞)．(1) 【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ cos θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.故选D. (2) 【答案】 AD【解析】 方法一：如图，当l 过点B 时，k l ＝－1，当l 过点A 时，k l ＝1，所以k l ∈[－1,1]，又k ＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.(变式(2))方法二：由题可知l 的斜率存在，可设l ：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，易知A ，B 两点在直线l 两侧，所以(k ＋1)·(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1，以下同方法一．【解答】 (1) 由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0；(2) x ＝－3，即x ＋3＝0；(3) y ＝4x －2，即4x －y －2＝0； (4) y ＝3，即y －3＝0；(5) 由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0；(6) 由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.【解答】(1)由题意知，直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)，整理得4x －y －3＝0.(2) 由题意可知，直线的斜率k ＝tan 150°＝－33，所以直线的斜截式方程为y ＝－33x －2，整理得3x ＋3y ＋6＝0.(3) 根据题意可得，直线的两点式方程为y ＋12＋1＝x ＋22＋2，整理得3x －4y ＋2＝0.【解答】 方法一： (1) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.(2) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二：(1) 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2) 因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝2 3.【答案】－10【解析】因为l1∥l2，所以4－m m＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.(1) 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(2) 【答案】 2或－6【解析】依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋132＋(－2)2＝21313，解得c＝2或－6.(1) 【答案】 BC【解析】直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172或－232，故选BC.(2) 【答案】 2 2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 【解析】显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意．设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，所以k ＝2或k ＝－23. 所以直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 课堂评价 1.D【解析】由题意，直线的斜率为k ＝－33，即直线倾斜角的正切值是－33.又倾斜角∈[0°，180°)，因为tan 150°＝－33，故直线的倾斜角为150°，故选D.2.C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.故选C.3.A【解析】若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－1或m ＝－7.经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7.故“l 1∥l 2”是“m <－1”的充分不必要条件，故选A.4.x ＋2y －3＝05【解析】 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，最大距离为AB ＝5.5. 【解答】 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.第41讲 圆的方程链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. D 3.A【解析】根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. (x －2)2＋y 2＝10【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，所以圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.5.5【解析】方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以⎩⎨⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，所以a ＋b －2＝0，① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a |＝|b |，②由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5. 方法二：因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C 到两坐标轴的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，所以圆C 的半径为5.知识聚焦1. 定点 定长 (a ，b ) r D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D2＋E2－4F研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AB 【解析】由题知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r (r ＞0)，则r sinπ3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ±332＝43. (2) 【答案】 213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝213. (1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918 【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2，消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r2－a2， 所以在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r2－b2， 所以在x 轴上的截距之和是2a . 所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，所以b ＝56.所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－562＝16918.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918. (2) 【答案】 x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解析】 由题知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又因为半径长r ＝D2＋E2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解答】 (1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图(1)，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(例2(1))(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图(2)，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(例2(2))(3)如图(3)，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(例2(3))【解答】(1) 因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2,7)，半径r＝2 2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2) 记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，知|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k≤2＋3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(1) 【答案】 BC【解析】 由题意知AB ＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝45＝455，所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455＋1＝2＋52， S △PAB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－1＝2－52. (2) 【答案】 5－27【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (1，3)，设P (x ，y )，则PB→＝(4－x ，－y )，PC →＝(1－x ，3－y )，所以PB →·PC →＝(4－x )(1－x )－y (3－y )＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－3，其中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32之间距离PM 的平方，由几何图形可得PM min ＝AM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝7－1，所以(PB →·PC →)min＝(7－1)2－3＝5－27.(例3(2))(1) 【答案】 A【解析】由点P 是x 轴上任意一点，知PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，所以PC 1＋PC 2＝P C 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝52，即(PM ＋PN )min ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4，故选A.(2) 【答案】 22【解析】设P (x ，y )，因为PA→·PB→≤3，所以x 2＋y 2≤4，即点P 在以原点为圆心，2为半径的圆O 上或圆内，又因为点P 在圆C 上，所以圆O 与圆C 内切或内含，即圆心距(－a )2＋a2≤2－1，所以－22≤a ≤22，所以a 的最大值为22.课堂评价 1.A【解析】 由题意可知圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a ＋32，因为该圆过原点，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝1242＋(a －3)2，解得a ＝1，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝5，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选A.2.ABD【解析】由圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，化为标准形式得(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆M 的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.令y ＝0，得x ＝0或x ＝8，故圆M 被x 轴截得的弦长为8；令x ＝0，得y ＝0或y ＝－6，故圆M 被y 轴截得的弦长为6，显然选项C 不正确．ABD 均正确．3.CD【解析】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点P (x ，y )与点M (1,0)连线的斜率，如图，易知，y x －1的最大值为33，最小值为－33.故选CD.(第3题)4. (0，－1)【解析】 因为圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心为(0，－1)．5.3【解析】因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过定点A (2,0)，所以d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系链教材·夯基固本 激活思维 1.D【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0的圆心坐标为(2,3)，半径为2，因为直线l 过点(0,2)，被圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0截得的弦长为23，所以圆心到所求直线的距离为1，易知所求直线l 的斜率k 存在，设所求直线方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，所以|2k －1|k2＋1＝1，解得k ＝0或43，所以所求直线方程为y ＝43x ＋2或y ＝2.故选D.2. C 【解析】 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， 因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，所以直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交． 3.D【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 2(2,1)，半径长r 2＝1.所以圆心距d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．4. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＋1＝0，x2＋y2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可化成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故弦长为23－(2)2＝2.5.ACD【解析】将点(0,1)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得4＋16＝20>16，所以点(0,1)在圆C 外，故A 不正确；由圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16知圆心为(2，－3)，半径为r ＝4，则圆心(2，－3)到直线3x ＋4y －14＝0的距离d ＝|3×2＋4×(－3)－14|32＋42＝4＝r ，故B 正确；将点(2,5)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得0＋64＝64>16，所以点(2,5)在圆C 外，故C 不正确；圆心(2，－3)到直线x ＋y ＋8＝0的距离d ＝|2－3＋8|12＋12＝72≠r ，故D 不正确，故选ACD.知识聚焦1. < > ＝ ＝ > <2. d >r 1＋r 2 无 d ＝r 1＋r 2 一组 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的 |r 1－r 2| ≤<研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 26【解析】 圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，直线l ：kx －y －k ＋2＝0，即k (x －1)－(y －2)＝0，过定点P (1,2)，当AB 取最小值时，AB ⊥PC ，此时CP ＝2，故AB min ＝2CA2－CP2＝26.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，53【解析】 因为A (0，a )，B (3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a .因为S△ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即|3a|5<1，解得－53<a <53.(1) 【答案】 1023 【解析】易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，所以最短弦的长为2r2－PC2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.(2) 【答案】 3 【解析】圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．【解答】 (1) 设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b|2＝10，所以b ＝1±25，所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2) 设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3) 因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.【解答】由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径长为2.当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k2＋1＝2，所以k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x .当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a|2＝2，所以a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【解答】因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m .(1) 当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2) 当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0，故两圆的公共弦长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. (1) 【答案】 9或－11 【解析】依题意可得C 1(0,0)，C 2(3,4)，则C 1C 2＝32＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m，25－m ＞0.当两圆外切时，r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9；当两圆内切时，|r 2－r 1|＝5，即|25－m －1|＝5，得25－m＝6，解得m ＝－11.(2) 【答案】 1 【解析】将x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题知22－(3)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，a ＞0，解得a ＝1. 课堂评价 1.C【解析】圆C 2化简得(x －4)2＋(y －5)2＝35－m ，由圆的方程得C 1(1,1)，C 2(4,5)，半径分别为2和35－m ，因为两圆外切，所以(4－1)2＋(5－1)2＝35－m ＋2，解得m ＝26.故选C. 2.B【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.3. A【解析】因为圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以AB＝22，所以△ABP 的面积S ＝12AB ·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．4.BD【解析】 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5，故选BD.5. 4【解析】 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4.(第5题) 第43讲 椭 圆链教材·夯基固本 激活思维1. C2. D3. 724. x236＋y227＝15. 45 18 【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.知识聚焦1. (1) 焦点 焦距 (2) PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)2. F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2ca＝1－b2a21 0研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C 【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋y b＝1，因为点O 到直线BF 的距离为3，所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C.(2) 【答案】x236＋y216＝1 【解析】 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝25.又由OP ＝OF ＝OF ′，知∠FPF ′＝90°.在Rt△PFF ′中，PF ′＝FF ′2－PF2＝(4 5 )2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝PF ＋PF ′＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故椭圆C 的方程为x236＋y216＝1.(1) 【答案】x24＋y23＝1【解析】因为3AF1＝5AF2，由椭圆定义有AF1＋AF2＝4，解得AF2＝32，又AF2⊥x轴，故AF2＝b2a＝b22，所以b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 【答案】x23＋y22＝1【解析】如图，由已知可设F2B＝n，则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·13＝4，解得n＝32.所以2a＝4n＝23，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(变式(2))(1) 【答案】 C【解析】椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，所以11＋m＜1m，所以a＝mm，所以椭圆的长轴长2a＝2mm.故选C.(2) 【答案】 8【解析】 因为椭圆x2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(3) 【答案】 3【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝3.(1) 【答案】 D【解析】 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， 设F 1F 2＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， 所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，因为OF 2＝c ，所以点P 的坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )． 因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3 c 2c ＋a＝36，解得c a＝14，所以e ＝14，故选D.(例3(1))(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 【解析】不妨设椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以c2a2≥14，即e ≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. (1) 【答案】255【解析】 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得OP ＝PQ 2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝OP OA＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a216b2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2—c 2)，所以椭圆C 的离心离e ＝255.(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1 【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1＝2PF 2， 所以PF 1＝43a ，PF 2＝23a ，又PF 1－PF 2≤F 1F 2，即23a ≤2c ，所以e ≥13，又0<e <1，所以椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1.【解答】(1)由题意得c ＝3，c a＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，y ＝kx ，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2. 因为F2A →＝(x 1－3，y 1)，F2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F2A →·F2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18.所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫24，＋∞. 课堂评价 1. A2. C 【解析】 由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.故选C.3. ACD【解析】由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，所以椭圆C 的方程为y23＋x 2＝1.如图，PQ ＝2b2a＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.(第3题)4.C【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝ca ＝12，故选C.5.4【解析】如图，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x2a2＋y2b2＝1，可得y 2＝a2b2b2t2＋a2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ca2b2b2t2＋a2≤cb ，当且仅当t ＝0时取等号．所以bc ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4， 当且仅当b ＝c 时取等号，此时a ＝2. 所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.(第5题) 第44讲 双曲线链教材·夯基固本 激活思维 1.A【解析】由双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，知c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.2.A【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bc a2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2，所以e 2＝c2a2＝5，所以e ＝5.3. AC 【解析】 设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入(3，2)得λ＝13，即x23－y 2＝1，故A 正确；由a ＝3，c ＝2，得e ＝23，故B 错误；焦点(2,0)在y ＝e x －2－1上，故C 正确；联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y2＝1，x －2y －1＝0，消去x 得y 2－22y ＋2＝0，可得Δ＝0，所以直线x －2y －1＝0与曲线C 只有1个交点，故D 错误．故选AC.4. A 【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.故选A.5. 5＋12 【解析】 将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b4a2⇒y ＝±b2a，则2c ＝2b2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．知识聚焦 1. 焦点 焦距2. |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )ca ＝1＋b2a2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B 【解析】由y28＋x22＝1，得a 2＝8，b 2＝2，所以c 2＝6，得c ＝6，即椭圆的半焦距为6.设与双曲线x22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝λ，因为所求双曲线的焦点在y 轴上，则λ<0，双曲线方程化为y2－λ－x2－2λ＝1，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则m 2＝－λ，n 2＝－2λ， 所以m 2＋n 2＝－λ－2λ＝(6)2，解得λ＝－2.所以所求双曲线的方程为y22－x24＝1.故选B.(2) 【答案】 x24－y26＝1【解析】不妨设B (0，b )，由BA→＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1，即49·a2＋b2a2＝109，所以b2a2＝32①.又|BF →|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16②.由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x24－y26＝1.(1) 【答案】 y22－x24＝1【解析】因为所求双曲线与已知双曲线x22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x22－y 2＝－2，即y22－x24＝1.(2) 【答案】 x 2－y23＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.(1) 【答案】 (0,2) 【解析】对于焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx ±ay ＝0的距离为|bc|b2＋a2＝b .本题中，双曲线x28－m＋y24－m＝1，即x28－m－y2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．故焦点到渐近线距离的取值范围是(0,2)．(2) 【答案】 y ＝±2x 【解析】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .(1) 【答案】 D 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则PF 1>PF 2.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＋PF 2＝6a ，所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32， 即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D. (2) 【答案】 x23－y29＝1【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以e 2＝1＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 因为b2a2＝3，所以渐近线方程为y ＝±3x .则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|2 3 a －3a|2＝2 3 －32a ，d 2＝|2 3 a ＋3a|2＝23＋32a .又因为d 1＋d 2＝6， 所以23 －32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3， 所以b 2＝9.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(1) 【答案】655【解析】 设BF 1＝x ，则AF 2＝3x .由图及双曲线的定义知AF 1－AF 2＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，则AB ＋x －3x ＝2a ，BF 2－x ＝2a .因为AF 2⊥BF 2，所以AB 2＝AF2＋BF 2，即(2a ＋2x )2＝9x 2＋(2a ＋x )2，解得a ＝3x 2，所以AB ＝5x ，BF 2＝4x ，所以cos ∠BAF 2＝35.在△AF 1F 2中，由余弦定理知AF 21＋AF 2－2·AF 1·AF 2·cos ∠BAF 2＝F 1F 22＝4c 2，所以36x 2＋9x 2－108x25＝4c 2，所以c ＝313x 2 5，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝655.(例3(1))(2) 【答案】3【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，F 2O ＝c ，所以PO ＝a ，所以PF 1＝6a .又F 1O ＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a2＋c2－( 6 a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝3.(1) 【答案】 (1,2) 【解析】若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，AF ＝b2a，FE ＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，b 2＜a 2＋ac,2a 2－c 2＋ac ＞0，e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2.又e ＞1，则1＜e ＜2.(2) 【答案】 53【解析】 由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值．因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.【题组强化】 1.D【解析】由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.故选D.2. C 【解析】 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 2＝F 1F 2.由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2，整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ，所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝ca ，且e ＞1，可得1<e ≤102.故选C.3.2【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨设右焦点F (c,0)，过点F 与渐近线平行的直线为l ：y ＝b a(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，y ＝b a (x －c )，得x ＝c 2，则y ＝－b a×c 2＝－bc 2a ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，PF 的中点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 4，－bc 4a .又点A 在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 42a2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－bc 4a 2b2＝1，化简得c2a2＝2，即e ＝c a＝2.4.53【解析】由线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，由直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，可得OA ＝a ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得MF 2＝2a ，在Rt △PMF 2中，可得PM ＝4c2－4a2＝2b ， 即有PF 1＝4b ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，即4b －2c ＝2a ，即2b ＝a ＋c ，即有4b 2＝(a ＋c )2， 即4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2，可得a ＝35c ，即e ＝53.(第4题)课堂评价 1. B 2. C【解析】 根据渐近线方程为x ±y ＝0，可得a ＝b ，所以c ＝2a ，则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C. 3. A 【解析】 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.4. x28－y28＝1 【解析】 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a＝1，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.5. 23 23 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (4,0)，PF ＝b ＝23，△POF 的面积为12ab ＝12×43＝23.第45讲 抛物线链教材·夯基固本 激活思维 1. C2. AC 【解析】根据抛物线定义知选项A 正确；对于B ，符合条件的抛物线的焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上，故B 错误；对于C ，抛物线焦点为(－1,0)，所以p ＝2，抛物线方程是y 2＝－4x ，故C 正确；对于D ，因为p 的符号不确定，所以方程不唯一，故D 错误．故选AC.3.B【解析】因为M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 4.B【解析】抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF ＝3BF ，所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32，所以x 1＝3x 2＋3， 因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32＝8.故选B. 5.y 2＝8x 6【解析】由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，所以FN ＝2FM ＝2(x M ＋2)＝2×(1＋2)＝6.知识聚焦1. 相等 焦点 准线 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 22【解析】 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点为F 1(－2，0)，且抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2＝－2，解得p ＝22.(2) 【答案】 13 【解析】由题意得抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.因为AF ＝(6－2)2＋32＝5，所以求△PAF 周长的最小值即求PA ＋PF 的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，如图，连接PD ，根据抛物线的定义，可知PF ＝PD ，所以PA ＋PF 的最小值即PA ＋PD 的最小值．根据平面几何的知识，可得当D ，P ，A 三点共线时PA ＋PD 取得最小值，所以PA ＋PF 的最小值为x A －(－2)＝8，所以△PAF 周长的最小值为8＋5＝13.(例1(2))(1) 【答案】 A 【解析】设焦点为F ，准线为l ，过P 作PA⊥l ，垂足为A ，则PF ＝PA ，PF ＋PQ ＝PQ ＋PA ，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，和最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1，故选A. (2) 【答案】 4 【解析】因为双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，所以p ＝4.【解答】 (1) 由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 易知y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 2＝2px 2， 所以y 21y 2＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2) 由题意知AF ＝x 1＋p2，BF ＝x 2＋p2，所以1AF ＋1BF＝1x1＋p 2＋1x2＋p 2＝x1＋x2＋px1x2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24.因为x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝AB －p ，所以1AF ＋1BF ＝ABp24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(例2)【解答】 (1) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2.因为直线OP 的方程为y＝y1x1·x ，它与准线的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y0，所以y 0＝y1x1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝2p y1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝－p2y1＝y1y2y1＝y 2，故直线MQ ∥x 轴．(2) 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y2，则k OM ＝y2－p 2＝－2y2p ，k OP ＝y1x1＝2p y1. 因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－p2y1，所以k OM ＝－2y2p ＝2py1，所以k OM ＝k OP ，所以P ，O ，M 三点共线． (3)如图，连接PF 并延长交抛物线于Q ′，由(1)知MQ ′∥x 轴，所以Q 与Q ′重合，故PQ 为焦点弦．(例3)【解答】 (1) 由题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1，x212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2，x222p ，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )． 由x 2＝2py 得y ＝x22p ，则y ′＝xp ，所以k MA ＝x1p ，k MB ＝x2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x2p (x －x 0)．所以x212p ＋2p ＝x1p (x 1－x 0)，①x222p ＋2p ＝x2p (x 2－x 0)．② 由①②得x1＋x22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x1＋x22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．。
高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时规范练40直线的方程
课时规范练40直线的方程基础巩固组1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为()A.(-1,-3)B.(17,-9)C.(-1,3)D.(-17,9)3.已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4B.2√1313C.5√1326D.7√13264.(多选)已知直线l:√3x-y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l的倾斜角为π6B.若直线m:x-√3y+1=0,则l⊥mC.点(√3,0)到直线l的距离为2D.过点(2√3,2),且与直线l平行的直线方程为√3x-y-4=05.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0垂直,则这两条直线的交点坐标为()A.(-25,-65) B.(25,65)C.(25,-65) D.(-25,65)6.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则a=,此时点P的坐标为.7.已知正方形的两边所在直线的方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.综合提升组8.(2020吉林朝阳长春外国语学校期末)已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的最短距离为()A.√3B.3√32C.2√23D.√29.(多选)(2020江苏苏州第十中学高二期中)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是()A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直B.当a变化时,直线l1,l2分别经过定点A(0,1),B(-1,0)C.不论a为何值,直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M,则|MO|的最大值为√210.(2020上海大同中学期中)若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,则实数m 的值为 .11.已知直线l 在两坐标轴上的截距相等,且点P (1,3)到直线l 的距离为√2,则直线l 的条数为 .12.(2020江苏广陵扬州中学月考)已知直线x+my-2m-1=0恒过定点A. (1)若直线l 经过点A ,且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l 的方程; (2)若直线l 经过点A ,且坐标原点到直线l 的距离为1,求直线l 的方程.创新应用组13.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点B (-1,0),C (0,2),AB=AC ,则△ABC 的欧拉线方程为( ) A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0 C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=014.已知平面上一点M (5,0),若直线上存在点P ,使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有 .①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43x ;④直线y=2x+1.参考答案课时规范练40 直线的方程1.B 由点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3,得|3×2+4×1+C |√3+4=3,解得C=5或C=-25,故“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件.故选B . 2.A 设点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a ,b ),则{a+32+3×b+92-10=0,b -9a -3×(-13)=-1,解得{a =-1,b =-3.故所求点的坐标为(-1,-3).故选A .3.D 因为直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,所以3m-12=0,解得m=4.直线方程6x+4y+1=0可转化为3x+2y+12=0,则两平行线之间的距离d=|12-(-3)|√3+2=7√1326.4.CD 对于A,直线l :√3x-y+1=0的斜率k=√3,故直线l 的倾斜角为π3,故A 错误;对于B,因为直线m :x-√3y+1=0的斜率k'=√33,kk'=1≠-1,故直线l 与直线m 不垂直,故B 错误; 对于C,点(√3,0)到直线l 的距离d=√3×√3-√(√3)+(-1)=2,故C 正确;对于D,过点(2√3,2),且与直线l 平行的直线方程为y-2=√3(x-2√3),即√3x-y-4=0,故D 正确.故选CD .5.B 依题意,2a·1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1.由{2x +y -2=0,x -2y +2=0,解得{x =25,y =65.故这两条直线的交点坐标为(25,65).故选B .6.1 (3,3) ∵直线l 1:ax+y-6=0与l 2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P ,且l 1⊥l 2,∴a·1+1·(a-2)=0,解得a=1.由{x +y -6=0,x -y =0,解得{x =3,y =3.∴P (3,3).7.2 由题意可知正方形的边长等于两条平行直线之间的距离,所以正方形的边长为√2=√2,所以正方形的面积为2.8.D 当过点P 的切线与直线x-y-2=0平行时,点P 到直线x-y-2=0的距离最短.因为y=x 2-ln x ,x>0,所以y'=2x-1x .令2x-1x =1,解得x=1. 所以P (1,1),所以点P 到直线x-y-2=0的最短距离d=|1-1-2|√2=√2.故选D .9.ABD 对于A,因为a·1+(-1)·a=0恒成立,所以不论a 为何值,直线l 1与l 2互相垂直恒成立,故A 正确;对于B,易知直线l 1恒过点A (0,1),直线l 2恒过点B (-1,0),故B 正确;对于C,在直线l 1上任取点(x ,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x ),代入直线l 2的方程x+ay+1=0,可知左边不恒等于0,故C 不正确;对于D,由{ax -y +1=0,x +ay +1=0,解得{x =-a -1a 2+1,y =-a+1a 2+1.所以M -a -1a 2+1,-a+1a 2+1, 所以|MO|=√(-a -1a 2+1) 2+(-a+1a 2+1) 2=√2a 2+1≤√2,所以|MO|的最大值为√2,故D 正确.故选ABD . 10.-3 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3. 11.4 若直线l 在两坐标轴上的截距为0,则设直线l 的方程为y=kx (k ≠0).由题意知|k -3|√k +1=√2,解得k=1或k=-7,故直线l 的方程为x-y=0或7x+y=0.若直线l 在两坐标轴上的截距不为0,则设直线l 的方程为x+y-a=0(a ≠0).由题意知|1+3-a |√1+1=√2,解得a=2或a=6.故直线l 的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上,直线l 的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.故直线l 的条数为4. 12.解由x+my-2m-1=0,得x-1+m (y-2)=0,当x=1时,y=2,所以恒过定点A (1,2).(1)因为直线2x+y-5=0的斜率为-2,直线l 与直线2x+y-5=0垂直,所以直线l 的斜率为12.又直线l 经过点A ,所以直线l 的方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.(2)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1,符合题意. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x-1),即kx-y+2-k=0. 由坐标原点到直线l 的距离为1,得√k +1=1,解得k=34.所以直线l 的方程为34x-y+2-34=0,即3x-4y+5=0. 综上所述,直线l 的方程为x=1或3x-4y+5=0.13.D ∵B (-1,0),C (0,2),∴线段BC 的中点的坐标为(-12,1),线段BC 所在直线的斜率k BC =2,∴线段BC 的垂直平分线的方程为y-1=-12(x +12),即2x+4y-3=0.∵AB=AC ,∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上,∴△ABC 的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D . 14.②③ ①点M 到直线y=x+1的距离d=|5+1|√2=3√2>4,故该直线上不存在点P ,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”;②点M 到直线y=2的距离d=2<4,故该直线上存在点P ,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”; ③点M 到直线y=43x 的距离d=4,故该直线上存在点P ,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”; ④点M 到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4,故该直线上不存在点P ,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”.。
高考数学一轮复习 人教版 解析几何第八单元 作业答案
课时作业(四十八)1.C[解析]直线y=x的斜率k=1,故tan α=1,所以α=45°,故选C.2.B[解析]由斜率公式可得,直线l的斜率k=--=,故选B.3.D[解析]因为直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限,故选D.4.3x-y-5=0[解析]由点斜式方程,得y+2=3(x-1),即3x-y-5=0.5.1或-1[解析]令x=0,得y=k;令y=0,得x=-2k.∴所围成的三角形的面积S=-=k2=1,∴k=1或-1.6.A[解析]由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在,且为k=-,又直线的倾斜角为45°,∴k=-=tan 45°=1,∴a=-b,∴a+b=0,故选A.7.B[解析]∵点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+1=0上,∴点P的纵坐标为3,∴P(2,3).又∵=,∴直线PA,PB的斜率互为相反数,∴直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y-3=-(x-2),即x+y-5=0,故选B.8.B[解析]由题意得易得点Q的坐标满足+b=1,即点Q在直线l上.由方程组得--两式相加,得c+=1,即点P在直线l上.故选B.9.B[解析]联立两直线方程得--解得-所以两直线的交点坐标为-.因为两直线的交点在第一象限,所以-解得k>,则tan θ>,所以θ∈.故选B.10.A[解析]∵丙车最先到达终点,丁车最后到达终点,∴丙车速度最大,丁车速度最小,∴由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大,丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小,故选A.11.B[解析]由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,∴直线x+my-1=0和直线mx-y-2m+3=0垂直,则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥,即|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时等号成立,∴|PA|+|PB|的最大值为2,故选B.12.x+2y-3=0[解析]设A(a,0),B(0,b),由=-2,可得a-1=-2×(0-1),0-1=-2(b-1),则a=3,b=,由截距式可得直线l的方程为+=1,即x+2y-3=0.13.或[解析]设直线l1,直线l2的倾斜角分别为α,β,因为k>0,所以α,β均为锐角.直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,有以下两种情况:当α=2β时,tan α=tan 2β,即=-,又因为k>0,所以k=;当β=2α时,tan β=tan 2α,即2k=-,又因为k>0,所以k=.14.4[解析]∵直线l过点(a,0)和(0,b),a∈N*,b∈N*,∴可设直线l的方程为+=1.∵直线l过点(1,6),∴+=1,即6a=(a-1)b,∴a≠1,当a≥2时,b=-=6+-.当a=2时,b=12;当a=3时,b=9;当a=4时,b=8;当a=7时,b=7;当a>7时,满足条件的正整数b不存在.综上,满足条件的直线有4条.15.C[解析]如图所示,可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),所以直线AB,BC,CD的方程分别为y=-(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+,整理为一般式即为x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C.16.A[解析]设C(m,n),由重心坐标公式得,△ABC的重心为,代入欧拉线方程得-+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k AB=--=-2,则AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.由--得-∴△ABC的外心为(-1,1).则(m+1)2+(n-1)2=32+(-1)2=10,整理得m2+n2+2m-2n=8②,由①②得m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,B,C重合,舍去,∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1.C[解析]由两条平行线之间的距离公式得所求距离d=-=2,故选C.2.C[解析]由题意及点到直线的距离公式得--=,a=-或-,故选C.3.A[解析]由两直线l1:2x-y+3=0,l2:mx+2y+1=0平行可得,-=2且3≠-,解得m=-4,故选A.4.0<k<[解析]由方程组解得交点坐标为---,由题意得---解得0<k<.5.-2[解析]如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A'(3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=----=-2.6.A[解析]由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.7.B[解析]由题意得-·tan θ=-1,∴tan θ=2,∴cos 2θ=-=-=-,故选B.8.B[解析]因为直线l与直线3x-4y+5=0关于x轴对称,所以直线l的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率相反,所以可设直线l的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x轴上的截距相等,所以b=5,所以直线l的方程为3x+4y+5=0,故选B.9.C[解析]如图所示,点A(3,-1)关于直线l:x+y=0的对称点为C(1,-3),直线BC的方程为-=,即x-4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为-.|PA|+|PB|=|PC|+|PB|,由图可知,当点P的坐标为-时,|PB|+|PC|取得最小值,即|PA|+|PB|取得最小值,故选C.10.C[解析]由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点连线的中点坐标为,即(2,1).点(0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为--=-,则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(m,n)也关于直线y=2x-3对称,则有----解得所以m+n=.故选C.11.(3,0)[解析]∵直线l1:y=kx+2-k与直线l2关于直线y=x-1对称,∴直线l2的方程为x-1=k(y+1)+2-k,即x-ky-3=0,显然直线l2经过定点(3,0).12.3[解析]由直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),可得l2的斜率为--=-.因为直线l1平行于l2,所以直线l1的斜率也是-,即-=-,解得m=3.13.3[解析]设点A关于直线l的对称点为B(m,n),则-----解得即B(3,1).因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程,所以最短路程是3.-解得x=1,y=-2,即直线l过定点14.[解析](2k-1)x+ky+1=0可化为(1-x)+k(2x+y)=0,由P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|OP|=-=,所以原点到直线l的距离的最大值为.15.②③[解析]根据题意,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离d来分析.对于①,d==3>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”;对-于②,d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;对于③,d==4,所以直线上存在一点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;-对于④,d==>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.-16.[解析]设直线OP的斜率为k,点O关于BC的对称点为N,则点N的坐标为(4,0),则直线NP的斜率为-k,故直线NP的方程为y=-k(x-4),故点E的坐标为-.易知直线EQ的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k x--+4,故点Q的坐标为(-1,4-5k).若OP的斜率为,即k=,则点Q的纵坐标为.若点Q恰为线段AD的中点,则4-5k=1,即k=,即OP的斜率为.课时作业(五十)1.D[解析]圆x2+y2+ax=0的圆心坐标为-,∴-=1,解得a=-2.故选D.2.B[解析]∵线段AB:x-y-2=0(0≤x≤2)的两个端点为(0,-2),(2,0),∴圆心为(1,-1),半径为-=,∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选B.3.C[解析]配方得[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2(m≠0),所以圆心坐标为(2m+1,m),令消去m,得x-2y-1=0(x≠1),故选C.4.-1[解析]圆的方程配方得(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0上,所以1+a=0,所以a=-1.5.2[解析]点P到直线l的距离的最小值是-1=2.6.D[解析]由题意得-=,所以(x-3)2+(y+4)2-4=x2+y2,即6x-8y-21=0,故选D.7.D[解析]-=-+1,其中-表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q(0,1)作QB 与半圆相切,B为切点,则在Rt△CBQ中,=,所以∠CQB=30°,则k QB=tan∠CQB=,所以-的最大值为+1.8.D[解析]直线AB:-+=1,即4x-3y+12=0.若△ABC的面积最小,则点C到直线AB的距离d最短,易知d min=-1.又|AB|=5,△ABC的面积的最小值为,∴×5×-=,即|4m+12|=10,∴m=-或-,故选D.9.A[解析]将x2+y2-2x-6y+9=0化成标准形式为(x-1)2+(y-3)2=1,则圆心为(1,3),半径r=1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则圆心为(a,b).∵所求圆与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,∴所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,∴--·∴a=-7,b=-1,∴与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7)2+(y+1)2=1,故选A.10.(x-1)2+(y-1)2=2[解析]因为|CA|=|CB|=R,△ABC为直角三角形,所以∠C=90°,又C在第一象限,所以C(1,1)且R=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.11.1[解析]圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得=-,∴当m=4时,最小,且最小值为2,又|OC|min-r=2-1=1,故当m变化时,圆C上的点与原点的最短距离是1. 12.2[解析]因为M(m,n)为圆C:x2+y2=4上任意一点,所以可设则m+2n=2cosθ+4sin θ=2sin(θ+φ)≤2,其中tan φ=,所以m+2n的最大值为2.数形结合可得,表示圆C:x2+y2=4上的点M(m,n)与点P(-2,-3)连线的斜率,显然当直线PM与圆相切时,斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=,所以的最小值为.13.解:(1)当弦AB为圆的直径时,圆的周长最小.弦AB的中点为(0,1),|AB|=-=2,所以r=,则圆的方程为x2+(y-1)2=10.(2)k AB=-=-3,弦AB的中点为(0,1),所以AB的中垂线方程为y-1=(x-0),即x-3y+3=0.由---解得所以圆心为(3,2),所以圆的半径r=-=2所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.14.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).∵·=k||2,∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2],即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0①.若k=1,则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线;若k≠1,则①为-+y2=-,表示以--为圆心,-为半径的圆.(2)当k=2时,①化为(x-2)2+y2=1.+=(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y),∴|+|=2又∵(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cos θ,y=sin θ,则|+|=2,∴当cos θ=1时,|+|取得最大值,且最大值为6;当cos θ=-1时,|+|取得最小值,且最小值为2.15.D[解析]|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5-+--表示圆x2+y2=1上的任意一点P(x,y)到直线l1:3x-4y+a=0和直线l2:3x-4y-9=0的距离之和的5倍,若距离之和与点P(x,y)无关,则直线l1:3x-4y+a=0与圆相离或相切,且与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以圆心(0,0)到直线l1的距离d=≥1,得a≥5或a≤-5,又直线l1:3x-4y+a=0与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以a≥5.故选D.16.A[解析]依题意得,函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是A(2018,0),B(-2019,0),C(0,-2018×2019).设经过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点是D(0,y0),其中y0>0,结合图像易知原点O位于经过点A,B,C的圆的内部,因此由相交弦定理得|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,即2018×2019=2018×2019y0,所以y0=1.故选A.课时作业(五十一)1.A[解析]将圆的方程配方,得(x-2)2+(y+1)2=25,圆心为(2,-1),半径r=5,将(2,-1)代入y=x-中,得×2-=-1,故直线过圆心,与圆相交,故选A.2.A[解析]圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆(x-3)2+(y-4)2=49的圆心为(3,4),半径为7,圆心距为=5=7-2(等于两圆半径的差),∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=49的位置关系是内切,故选A.3.D[解析]由题意得直线方程为y=x,即x-y=0.圆心(0,2)到直线x-y=0的距离d==,∴弦长为2-=2,故选D.4.y=4或3x+4y-13=0[解析]易知切线l的斜率存在.设l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0,∴=1,即4k2+3k=0,解得k=0或k=-,故切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.5.2x+y-3=0[解析]由题意知,已知圆的圆心坐标为(2,-1).∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直,且直线x-2y+3=0的斜率为,∴该直径所在直线的斜率为-2,∴所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.6.B[解析]∵直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,∴点O到直线AB的距离为1,∴由点到直线的距离公式可得=1,∴a=±,故选B.7.C[解析]由圆C:(x-1)2+(y+5)2=80,可得圆心C(1,-5),半径R=4.圆心C(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离d===3,R-d=,所以圆C上到l的距离为的点一共有3个,故选C.-8.C[解析]圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上.圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,所以所求圆的半径为.设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则--=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.9.A[解析]易知两圆为内含关系,作圆C1关于x轴对称的圆,记为圆C'1,则C'1(2,-3),连接C'1C2,分别交圆C'1,C2于M',N,交x轴于P,连接C1P交圆C1于M,此时+最小,且最小值为,-1-3=5-4.故选A.10.3[解析]圆心(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d==4,结合几何关系可得线段MN的长为-=3.=-1,得m=5,所以线段AB的中点为(3,1), 11.3[解析]由题意,直线x-y+c=0垂直平分线段AB,则k AB=---所以3-1+c=0,则c=-2,所以m+c=3.12.4x+3y-36=0[解析]整理可得圆C:(x-2)2+(y-1)2=49,圆心为(2,1),半径为7,则根据题意易知点P必在圆内,且CP必垂直于直线l.由弦长为4知,圆心C到直线l的距离d=-=-=5,则--=5,解得t=6或-2,又t>2,所以t=6,则点P的坐标为(6,4),于是直线PC的斜率k PC=-=,-而l⊥PC,故直线l的方程为y-4=-(x-6),即4x+3y-36=0.13.解:(1)连接C1A,C1B,∵|C1A|=|C1B|=,|AB|=2,∴△C1AB为等腰直角三角形.∵△PAB为等腰直角三角形,点P在圆外,∴四边形PAC1B为正方形,∴|PC1|=2,∴点P的轨迹是以C1为圆心,2为半径的圆,则轨迹C2的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)如图,C1N⊥OF于点N,连接C1E,C1F,C1O.在Rt△OC1N中,∵|OC1|=2,|C1N|=,∴|ON|=,sin∠C1ON=,∴∠C1ON=30°,∴△OEH与△OFG为正三角形.∵△C1EN≌△C1FN,且|C1E|=|C1F|=2,∴|NE|=|NF|=,∴四边形EFGH的面积S=S△OFG-S△OEH=×(+)2-×(-)2=6.14.解:(1)设M点坐标为(x0,y0),P点坐标为(x,y),则N点坐标为(x0,0),由=,可得(x-x0,y)=(0,y0),则因为点M在圆C:x2+y2=4上运动,所以点P的轨迹E的方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时|AB|=2,|ST|=4,所以|AB|·|ST|=8.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0,因为点Q(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆恒交于两点,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=--=-=·--·-=.圆心(0,0)到直线l的距离d=,所以|ST|=2-=2,所以|AB|·|ST|=8·=8·-∈[88.综上,|AB|·|ST|的取值范围是[8,8].15.B[解析]因为直线ax+ay-1=0与圆a2x2+a2y2-2a+1=0有公共点(x0,y0),所以圆心到直线的距离d=不大于半径,显然d>0,∴≤-,∴a≥.由-得-∴2a2x0y0+2a-1=1,∴x0y0=-=-.设=t,则0<t≤,则x0y0=t2-t=--,0<t≤,由二次函数的性质可得当t=时,x0y0取得最大值,且最大值为,故选B.16.4[解析]圆(x+3sin α)2+(y+3cos α)2=1的圆心(-3sin α,-3cos α)在圆x2+y2=9上运动,集合A表示的区域为如图所示的环形区域(阴影部分),直线3x+4y+10=0恰好与环形的小圆相切,所以点集P 所表示的轨迹的长度是直线3x+4y+10=0截圆x2+y2=16所得弦的弦长,又原点(0,0)到直线3x+4y+10=0的距离d=2,所以弦长为2-=4.课时作业(五十二)1.D[解析]由2x2+y2=4,可得+=1,则c=-=,所以该椭圆的焦点坐标为(0,±),故选D.2.B[解析]∵e==,2a=6,∴a=3,c=1,∴b2=8,∴椭圆方程为+=1,故选B.3.A[解析]若-+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m2-1>3,所以m2>4,所以“m2>5”是“-+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件,故选A.4.(0,±b)[解析]由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与点F的距离等于a的点为短轴的端点,其坐标为(0,±b).5.1[解析]将点P的坐标代入椭圆方程,得+=1,解得a2=2,所以△PAB的面积S=×2a×=1.6.C[解析]设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.7.B[解析]由题得当BF⊥AB时,若△ABF为等腰直角三角形,则|FB|=|AB|,∴=2c,∴b2=2ac,∴a2-c2=2ac,∴1-e2=2e,∴e2+2e-1=0,∴e=±-1,由于椭圆的离心率e∈(0,1),所以e=-1.故选B.8.D[解析]设△ABF1的内切圆的半径为r.由+=1,得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|y A-y B|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.9.B[解析]∵O是线段F1F2的中点(O为坐标原点),∴+=2,∴|+|=2||.设P(x,y),则+y2=4,则y2=4-,∴||2=x2+y2=4+x2≥4,∴||≥2,∴2||≥4,∴|+|的最小值为4,故选B.10.C[解析]设F'(-1,0),则+=2a,即=2a-,又椭圆E上存在一点P,使得+=9,∴+=+2a-=9,即-=9-2a.∵-≤-≤,∴-1≤-≤1,即-1≤9-2a≤1,解得4≤a≤5.∵c=1,e=,∴≤e≤.故选C.11.+=1[解析]由椭圆定义可知2a+2a=12,即a=3.又∵e==-=,∴解得b2=5,∴椭圆C的方程为+=1.12.-[解析]不妨设F(c,0),把x=c代入椭圆方程可得y=±,故|FA|=,由题意得=c,即b2=ac=a2-c2,所以e2+e-1=0,所以e=-.13.[1,4][解析]由已知得2b=2,故b=1,∵△F1AB的面积为-,∴(a-c)b=-,∴a-c=2-,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,∴+==-=-,又2-≤|PF1|≤2+∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,∴1≤+≤4,即+的取值范围为[1,4].14.解:(1)由题意可得-所以故W的标准方程为+=1.(2)联立得∴=,∴k OA=.易知B(0,1),∴l的方程为y=-3x+1.联立-得37x2-24x=0,∴x=0或,∴|BC|=-×-=.联立-得31x2-18x-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴|MN|=-·|x1-x2|=,故=.15.解:(1)由点到直线距离公式有=,整理可得2a-b=3,由|MN|=1,有=1,整理可得a=2b2,故4b2-b=3,∴b=1,∴a=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为y=kx-,与椭圆C的方程联立消去y,得(1+4k2)x2-4kx-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,由∠PAQ=90°,得(x1-)(x2-)+--=0,即(x1-)(x2-)+(kx1-)(kx2-)=0,即(1+k2)x1x2-(1+k)(x1+x2)+4=0,∴(1+k2)·--(1+k)·+4=0,即3k2-4k+1=0,解得k=1或k=.当k=1时,直线PQ经过A点,不满足题意,舍去,故k=,故直线PQ的方程为y=x-.16.解:(1)因为|A1B2|=2,所以=2.①由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍,可得×2a×2b=2××2c×2b⇒a=2c.②由①②可得a2+b2=a2+a2-c2=8c2-c2=7c2=28⇒c2=4,所以a2=4c2=16,所以b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)易知点P,Q的坐标分別为(2,3),(2,-3).因为∠APQ=∠BPQ,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.设A(x1,y1),B(x2,y2),--直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=-,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=---=,∴x1+x2=-,x1-x2=-,∴k AB=--=----=--=,∴直线AB的方程为y+1=(x-1),即x-2y-3=0.课时作业(五十三)1.D[解析]由双曲线方程知c2=9+4=13,∴c=,∴焦距为2,故选D.2.D[解析]由题意可得a=5,b=2,所以渐近线方程为y=±x,故选D.3.D[解析]由题意,得2=,解得m=2,∴双曲线的标准方程为-=1,故选D.4.8[解析]因为双曲线x2-=1的一个焦点为(-3,0),所以m+1=(-3)2=9⇒m=8.5.-x2=1[解析]不妨设双曲线的方程为-x2=λ(λ≠0),因为双曲线过点(,4),所以-()2=λ,解得λ=1,故双曲线的方程为-x2=1.6.D[解析]设双曲线的右焦点为F2,连接PF2,由题得|OB|=|PF2|,OB∥PF2,∴b=×,∴b=2a,∴b2=4a2,∴c2-a2=4a2,∴c2=5a2,∴e2=5,∴e=.7.D[解析]因为N为线段F1M的中点,O为线段F1F2的中点,所以|F2M|=2|ON|=2.因为P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,所以||PF1|-|PF2||=|F2M|=2|ON|=2<|F1F2|,所以点P的轨迹是双曲线,故选D.8.B[解析]设双曲线的左焦点为F'.双曲线的右焦点为F(,0),△APF的周长l=++=++2a+,要使△APF周长最小,只需+最小,如图,当A,P,F'三点共线时|AP|+|PF'|取得最小值,此时l=2|AF|+2a=4(1+),故选B.9.A[解析]双曲线的右焦点为(c,0),所以直线l的方程为y=2(x-c),代入双曲线方程,得b2x2-4a2(x-c)2=a2b2,即(b2-4a2)x2+8a2cx-(4a2c2+a2b2)=0,因为直线与双曲线左、右两支分别相交,所以交点的横坐标的乘积小于0,则由根与系数的关系可得--<0,因为4a2c2+a2b2>0,所以b2-4a2>0,即c2-5a2>0,可得e=>故选A.10.或[解析]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,即y=±x,根据双曲线焦点位置的不同从而得到=或=,再由c2=a2+b2可得离心率e==或.11.3[解析]由题意得双曲线的一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0,由点到直线的距离公式得-=3,即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3.12.4[解析]由题得双曲线渐近线的斜率为±,设点P(x0,y0),不妨取l1,l2的方程分别为y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0),所以M(x0-2y0,0),N(x0+2y0,0),所以|OM|·|ON|=|x0-2y0|×|x0+2y0|=|-4|,又点P在双曲线上,所以-=1,所以|OM|·|ON|=4.13.解:(1)由题意,得A1(-a,0),A2(a,0),由-=1,得-=.∵M(x0,y0)是双曲线上一点,∴·=·-=-==,∴e2===1+=,∴e=.(2)易知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线y=x的距离d==b=12,由(1)得,==,∴a2=25,因此双曲线的方程为-=1.14.解:(1)由题意得=①,△=×2c·b=6②,a2+b2=c2③,由①②③求得a2=5,b2=4,∴双曲线C的标准方程是-=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0).将y=kx+m与-=1联立,消去y,整理得(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得--④∴x1+x2=-,x1·x2=--,∴x0==-,y0=kx0+m=-.由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,∴k AD=-=---=-,化简得10k2=8-9m,⑤将⑤代入④,得m<-或m>0.由10k2=8-9m>0,得m<.综上,实数m的取值范围是m<-或0<m<.15.D[解析]双曲线的渐近线方程为y=±x,设F(c,0)关于直线bx-ay=0的对称点为A(m,n),m<0,则=c,且-=-,解得m=-,n=,将A点坐标代入双曲线方程得--=1,化简可得e2=5,解得e=.故选D.16.[解析]设椭圆的短半轴长和双曲线的虚半轴长分别为b1,b2,椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为a1,a2,则b1=3b2⇒ +9=10c2,令a1=c sin θ,a2=c cos θ,则+=(3sin θ+cos θ)=sin(θ+φ)≤,∴+的最大值为.课时作业(五十四)1.C[解析]由题意知抛物线开口向左,且p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x,故选C.2.C[解析]抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即动点到准线的距离的最小值,显然满足条件的点为抛物线的顶点,∴=1,∴p=2,故选C.3.D[解析]抛物线x2=y过点(1,3),则1=,所以m=3,所以x2=y,所以焦点到准线的距离是,故选D.4.10[解析]由已知条件结合抛物线的定义知y P=12-=12-2=10,即点P到x轴的距离为10.5.[解析]设P(x0,y0),则x0+1=4,故x0=3,所以y0=±2.又F(1,0),所以S△PFO=×2×1=.6.B[解析]由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).故选B.7.C[解析]∵∠A1AF=,∴∠AA1F=∠AFA1=.设准线l与x轴的交点为B,则|BF|=p,|A1B|=|BF|tan=p,∴===4+,∴p=24,故选C.8.B[解析]∵F是抛物线y=2x2的焦点,∴F,准线方程为y=-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=y1++y2+=,解得y1+y2=4,∴线段MN的中点的纵坐标为=2.故选B.9.A[解析]设抛物线的焦点为F,则F(0,2),准线方程为y=-2.过点P(x0,y0)向准线作垂线,垂足为N,则y0=-2.由抛物线的定义可得=,则y0+=+-2=+-2,当P,F,M三点共线且x0>0时,y0+最小,最小值为-2=---2=3-2=1,故选A.10.B[解析]将点P(4,4)的坐标代入抛物线C的方程y2=2px,得42=2p·4,解得p=2,∴点F(1,0).据题设分析知,sin∠MPF=,|MF|==2又=2R(R为△MPF的外接圆的半径),∴2R=,∴R=,∴△MPF的外接圆的面积S=πR2=π·=,故选B.11.[解析]过P点作准线的垂线,垂足为H,则=,由=3有=,所以===,解得=,所以==.12.-1[解析]如图所示,过A作AH⊥l于点H,AN垂直于抛物线的准线于点N,则|AH|+|AN|=m+n+1.连接AF,则|AH|+|AN|=|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,得当A,F,H三点共线(即HF⊥l)时,|AF|+|AH|取得最小值|FH|==,则m+n的最小值为-1.13.解:(1)因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,且|AF|=2,所以+1=2,所以p=2.(2)由(1)得抛物线方程为y2=4x.因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,所以a=2.设直线AM方程为x-1=m(y-2)(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由--消去x,得y2-4my+8m-4=0,即(y-2)(y-4m+2)=0,所以y1=4m-2.因为AM⊥AN,所以直线AN的方程为x-1=-(y-2),同理可得y2=--2,所以d1d2=|(y1+2)(y2+2)|=-=16.14.解:(1)设N(m,n),则----解得即N(2,1),代入x2=2py(p>0)得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线NA的斜率是存在的,设直线NA的方程为y-1=k(x-2),则直线NB的方程为y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立--消元,得x2-4kx+8k-4=0,所以2+x1=4k,所以x1=4k-2,所以y1=4k(k-1)+1,故A(4k-2,4k(k-1)+1).同理,B(-4k-2,4k(k+1)+1),所以k AB=------=-1,若<1,则由cos 45°=-,得=-=3-2若>1,同理可求得=-=3+2.15.2[解析]直线OM的方程为y=-x,将其代入x2=2py,解方程可得-故A-.直线ON的方程为y=x,将其代入x2=2py,解方程可得故B.又F,所以k AB=,k BF=-.因为A,B,F三点共线,所以k AB=k BF,即=-,解得p=2.16.(4,+∞)[解析]因为倾斜角α∈,所以直线l的斜率k=tan α∈.设过焦点F(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立-整理得y2-y-4=0,所以y1+y2=,则=,即点M 的坐标为-,所以|MF|=--=,又因为k∈,所以>12,所以|MF|=>=4,即|MF|的取值范围是(4,+∞).课时作业(五十五)1.B[解析]设动点P(x,y),由题意可知·-=-2(x≠0),化简得+x2=1(x≠0),故选B.2.A[解析]由题意知,动圆圆心到点F(0,3)的距离等于动圆圆心到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,其方程为x2=12y,故选A.3.A[解析]设M(x,y),由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故选A.4.C[解析]设P(x,y),则x=λ-3μ,y=λ+3μ,得λ=,μ=-,因此+-=1,化简得x+2y-3=0,故选C.5.x2-=1[解析]根据双曲线的定义可得,实轴长2a=2,即a=1,半焦距c=2,由c2=a2+b2,解得b2=3,故动点P的轨迹方程为x2-=1.6.B[解析]设M(x,y),P(x0,y0),因为P与点Q(0,-1)连线的中点为M,所以x0=2x,y0=2y+1,又因为点P在抛物线y=2x2+1上移动,所以2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2,故选B.7.D[解析]由题意知,所求轨迹为与已知直线平行的两条直线,设所求轨迹方程为3x-4y+C=0,则==2,则C=-11或C=9,故所求轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.8.C[解析]由两点间的距离公式可得=13,=15,=14,因为A,B都在椭圆上,所以+=+,得-=-=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,由c=7,a=1,得b2=48,所以F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.9.C[解析]设A(a,0),B(0,b),P(x,y),由=+得所以a=3x,b=y,又=3,所以a2+b2=9,即(3x)2+=9,所以动点P的轨迹方程为x2+=1,故选C.10.A[解析]①△ABC的周长为10,则|AB|+|AC|=6,根据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为C3:+=1(y ≠0);②△ABC的面积为10,则点A到直线BC的距离为定值5,所以点A的轨迹方程为C1:y2=25;③△ABC 中,∠A=90°,则点A在以线段BC为直径的圆上,所以点A的轨迹方程是C2:x2+y2=4(y≠0).11.+y2=1[解析]设Q(x,y),P,y1,则=,-·-=-1,∴···-=-1,∴4y2=4-x2,∴点Q的轨迹方程为+y2=1.12.2x-3y+25=0[解析]圆C:x2+y2=25的圆心C为(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA,所以(x1-x0)(x1-0)+(y1-y0)(y1-0)=0,即-x0x1+-y0y1=0,因为+=25,所以x0x1+y0y1=25,同理x0x2+y0y2=25,所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=25.因为直线AB过点M(-2,3),所以得-2x0+3y0=25,所以点Q的轨迹方程为2x-3y+25=0.13.解:(1)设M(x0,y0),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x0-2,2y0).∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x0-2)2+(2y0)2=4.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴=+=+,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.14.D[解析]设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P 分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且+=2|OP|=6,因为抛物线过点A,B,所以=,=,所以+=+=6>=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).15.+y2=1(y≠0)[解析]易知AC,BD的斜率存在且不为0,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得C(2,4k1),D(-2,-4k2),则k CD==k1+k2,直线CD的方--程为y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直线CD与圆相切,则=2,据此可得k1k2=-,将y=k1(x+2),y=k2(x-2)两式相乘可得y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).课时作业(五十六)1.C[解析]易知点P在抛物线上,过点P可以作出抛物线的一条切线,该切线与抛物线只有一个公共点,还可以作出一条与x轴平行的直线,该直线与抛物线也只有一个公共点,所以满足题意的直线有2条,故选C.2.C[解析]由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.3.D[解析]由题意及双曲线的几何性质可得,双曲线的渐近线的斜率>∴e==>=.故选D.4.-[解析]联立得3x2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-,纵坐标为-+1=,即弦的中点坐标是-.5.[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2).不妨设直线l过椭圆的右焦点(,0),则l:y=x-,代入椭圆方程得5x2-8x+8=0,∴-=-=-=,∴=-=×=.6.A[解析]直线的方程为y=k(x+2),代入y2=4x,得到k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.当k=0时,不合题意;当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<,∴k∈-∪.综上,k的取值范围是-∪,故选A.7.B[解析]设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),则k AM·k BM=--·=--=---=-.8.D[解析]画出抛物线y2=4x的图像(图略).由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-),由-消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+5k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=5.由条件知==x2+1=3,∴x2=2,∴x1=,∴=x1+1=.∵在△AEC中,BN∥AE,∴△△===.故选D. 9.B[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知x0≠0,则两式作差得-+-=0.∵--=-1,x0=,y0=,∴-=0,即=.设直线OM的倾斜角为α,则θ=α+或θ=-α,∴tan θ=±-,又tan α==,∴-=3,∴b2=2,即b=故选B.10.C[解析]∵M,N分别是PQ,PF的中点,∴MN∥FQ,又PQ∥x轴,∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP为正三角形,则FM⊥PQ⇒|QM|=p=2,∴正三角形FQP的边长为4,∴|PQ|=4,|FN|=|PF|=2,又△FRN为正三角形,∴|FR|=2,故选C.11.[解析]不妨取双曲线的一条渐近线为y=x,将y=x代入抛物线方程,整理得ax2-bx+a=0,则由题意,得b2-4a2=0,则c2=5a2,则e=.12.6[解析]根据题意可知直线的斜率是存在的,抛物线的焦点F(1,0).设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).将直线方程与抛物线方程联立-消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,从而可得x1+x2=,从而求得M.易求得E(-1,0),根据|ME|=,可得+=11,求得k2=2(负值舍去),所以|AB|=x1+x2+p=2++2=6.13.2[解析]∵直线过左焦点F(-c,0),倾斜角为30°,∴直线方程为y=(x+c).由得y B=-.由-得y A=.由=2,得y B=2y A,即-=⇒b=a,∴c2=a2+b2=4a2,∴=4,∴e==2.14.解:(1)依题意知,点M(x,y)到点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为6,且6>|F1F2|=2,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为+=1.(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,代入+=1,得(9k2+8)x2+18kx-63=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.因为=+,所以四边形OAPB为平行四边形.若平行四边形OAPB为矩形,则OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·--+1=0,即-72k2=55,此方程无解,所以满足条件的直线l不存在.15.解:(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0),∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由消去y,整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P,Q,则·-抛物线在点P处的切线方程为y-=(x-x1),令y=-1,得x=-,可得点R--,由Q,F,R三点共线得k QF=k FR,F(0,1),∴-=---,即(-4)(-4)+16x1x2=0,即(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=,即k=±,∴所求直线m的方程为y=x+6或y=-x+6.16.±[解析]由题意,得F,由x2-px+y2-p2=0,配方为-+y2=p2,∴直线l过圆心,∴=2p.直线l的方程为y=k-,A(x1,y1),B(x2,y2),联立-得x2-x+=0,∴x1+x2=p+,∴=x1+x2+p=2p+.∵=3,∴2p+=6p,可得k2=⇒k±.17.[解析]①当直线l的斜率不存在时,不妨取A c,,B c,-,∵·=0,∴c2-=0,∴e=;②当直线l的斜率存在时,焦点为F(c,0),设直线l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,则Δ=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=--,x1x2=---,则y1y2=k2[x1x2+c2-c(x1+x2)]=k2·--,∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=--,又直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,∴-->(b>a),∴----∴>e>.综上,双曲线的离心率的取值范围是.专题突破训练(三)1.解:(1)依题意得∴+=.∵p>,∴p=1,故C的方程为x2=2y.(2)证明:由(1)知y0=,联立得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,∴|EF|=×--=5.设P m≠-,且m≠,则M的横坐标为m,易知A在l上,则|AM|=×.由题可知PN:y-=-(x-m),与y=2x+联立可得x N=-,∴|AN|=×-+=×,则=5,故=|EF|.2.解:(1)∵2a=6,∴a=3.又点M(,)在椭圆上,∴+=1,解得b2=3,∴所求椭圆方程为+=1.(2)∵k MO=,∴k AB=-,故可设直线AB的方程为y=-x+m.消去y,得11x2-6mx+6m2-18=0,联立-Δ=(6m)2-4×11×(6m2-18)>0,∴m2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.则·=x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+m2=-.∵0≤m2<,∴·的取值范围为-.3.解:(1)∵e=,∴=.∵F2(c,0)在线段PF1的中垂线上,∴|F1F2|=|RF2|,即(2c)2=()2+(2-c)2,得c=,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)可知A1(-,0),A2(,0),M(x M,y M),设PA1的方程为y=k(x+)(k≠0),则P的坐标为(-2,-k),∴=,∴PA2的方程为y=(x-).由-消去y,整理得(3+k2)x2-2k2x+3k2-9=0,∴x M=-,∴x M=-,y M=(x M-)=-,∴==-,∴MA1⊥NA1,则△MNA1为直角三角形,又Q为斜边MN的中点,∴2|A1Q|=|MN|.4.解:(1)∵F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,∴F.又∵当l与x轴垂直时,|DE|=4,∴D.又∵点D在抛物线上,∴4=2p×=p2,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)点R(x0,2)在抛物线C上,∴x0=1,即R(1,2).设直线AB:x=m(y-1)+1(m≠0),A,B.由-得y2-4my+4m-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=4m-4.直线AR:y-2=--(x-1)=(x-1).由--得x M=-.同理可得x N=-,∴|MN|=|x M-x N|=2-=2·--,令m-1=t,t≠0,则m=t+1,∴|MN|=2·≥,即当t=-2,m=-1时|MN|取得最小值,此时直线AB的方程为x+y-2=0.5.解:(1)由+=4,得2a=4,所以a=2,又椭圆过点,所以+=1,解得b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.设点P(x0,y0),则由△GPH∽△APB,得=-,即=-,则=2-,由0<y0≤1,得2-≥4,所以线段GH的长度的最小值为4.(2)由(1)可知,当GH的长度取得最小值时,y0=1,将点(x0,1)代入+y2=1,得x0=0,故此时点P(0,1),则直线AP的方程为y=x+1,=2.当平行于AP的直线l与椭圆在x轴下方的部分相切于点T时,△TPA的面积取得最大值.设直线l:y=x+m,则由得7x2+8mx+12m2-12=0,则Δ=(8m)2-4×7×(12m2-12)=0,所以m=-或m=(舍去).由平行线间的距离公式,得此时点T到直线AP的距离d=---=.故(S△TPA)max=d=×2×=,即△TPA的面积的最大值为.6.解:(1)依题意得=,所以+=+==4(为定值),=2,4>2,所以点P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,其中2a=4,2c=2,所以P点的轨迹C的方程是+y2=1.(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得S=8.②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率均存在且不为0,设直线AB的方程为y=k1x+m,直线BC的方程为y=k2x+n,则直线CD的方程为y=k1x-m,AD的方程为y=k2x-n,其中k1·k2=-1.直线AB与CD间的距离d1=--=,直线BC与AD间的距离d2==,所以S=d1·d2=·.联立得x2+2k1mx+m2-1=0,因为直线AB与椭圆相切,所以Δ=4+1-m2=0,所以=,同理=,所以S====4·=4·.因为+≥2(当且仅当k1=±1时取等号),所以4<S≤4·,即8<S≤10.由①②可知,8≤S≤10.专题突破训练(四)1.解:(1)由曲线Γ:12x2-4y2=3,化为标准方程可得-=1,。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第二节 两条直线的位置关系教案(含解析)-高三全册数学教案
第二节 两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3. 2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0 221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172 C ．14 D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172. 考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4 D.2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b＋6b a ≥13＋2 6a b ·6b a＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823. 2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q(2，－2)的连线的最小值是________．解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值，∴|P Q|min ＝|3×2＋4×－2－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13， ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12， 解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32. 法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32. 答案：－2或－32考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x －3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝02．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－－4(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0. 又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1， 即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0 3．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)， ∴△ABC 周长的最小值为 ||A 1A 2＝4－02＋－5－72＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0. 4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a －2≠c －1， 解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－22＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q|2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10 解析：选D 由题意知P (0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以P Q 为直径的圆上，∵|P Q|＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|M Q|2＝|P Q|2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q|的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|P Q|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q|的最小值为2910. 4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n＝345. 5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)．所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q|＝[2－－1]2＋－1－32＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65， ∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________． 解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， 所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。
高考数学一轮复习第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系学案含解析新人教版
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2． 归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385， 即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1， 当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1； 当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0， 当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)． 因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2， 即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ． 解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。
2022版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 第8章 平面解析几何 8-2 Word版含答案
(时间：40分钟)1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直，故选C.2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．1 D ．－1或3 答案 B解析 由l 1∥l 2，得－1a ＝－a －23，解得a ＝3或a ＝－1，验证当a ＝3时，l 1，l 2的方程分别为x ＋3y ＋6＝0，x ＋3y ＋6＝0，l 1与l 2重合．∴a ＝－1，故选B.3．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0相互垂直，则k ＝( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．－1或3 答案 C解析 若1－k ＝0，即k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，明显两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝kk －1，k 2＝1－k 2k ＋3.由k 1k 2＝－1，得k ＝－3.综上k ＝1或k ＝－3，故选C. 4．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0)C ．(2,3)D ．(9，－4) 答案 D解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)·m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D.5．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B解析 依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1.化简得8m 2＋44m －24＝0，所以2m 2＋11m －6＝0.所以m ＝12或m ＝－6，故选B.6．两条平行直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0之间的距离是________．答案 1解析 由直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0平行，可得a ＝6，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0，两直线间的距离d ＝|c 1－c 2|A 2＋B 2＝|－4－1|32＋42＝1. 7．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________． 答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝2－02＋1＋32＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.8．已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________． 答案 4 2解析 由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y的最小值为4 2.9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(冲突)，∴此种状况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )．∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. (时间：20分钟)11．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 答案 B解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， ∴k AB ＝2－－13－a＝1，解得a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.12．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 由于36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ | 的最小值为2910. 13．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.14．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．。
高考数学(人教版文)一轮复习课时作业49第8章 解析几何4 Word版含答案
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A．[－1,1]
1ห้องสมุดไป่ตู้1 B. －2，2
2 2 ， 2 2 解析：当点 M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点 N(1,0)，使得∠OMN＝45° ，所以 x0＝1 符 合题意，故排除 B，D；当点 M 的坐标为( 2，1)时，OM＝ 3，过点 M 作圆 O 的一条切线 3 2 MN′，连接 ON′，则在 Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝ ＜ ，则∠OMN′＜45° ，故此 3 2 时在圆 O 上不存在点 N，使得∠OMN＝45° ，即 x0＝ 2不符合题意，排除 C，故选 A。 答案：A
课时作业(四十九) 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1．过点 P(－ 3，－1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围 是( ) π π A. 0，6 B.0，3 π π C. 0，6 D.0，3 π π 解析：方法一：设直线 l 的倾斜角为 θ，数形结合可知：θmin＝0，θmax＝2× ＝ 。 6 3 2 2 方法二： 因为直线 l 与 x ＋y ＝1 有公共点， 所以设 l： y＋1＝k(x＋ 3)， 即 l： kx－y＋ 3 | 3k－1| 2 k－1＝0，则圆心(0,0)到直线 l 的距离 2 ≤1，得 k － 3k≤0，即 0≤k≤ 3，故直线 l 1＋k π 的倾斜角的取值范围是 0，3。 答案：D 2．若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11 解析：圆 C1 的圆心是原点(0,0)，半径 r1＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋ 25－m＝5，所以 m＝9。 答案：C 3．已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值 是( ) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a， 2 则圆心 C 到直线 x＋y＋2＝0 的距离 d＝ ＝ 2。所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4。 1＋1 答案：B 4．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点 A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)。若圆 C 上存在点 P， 使得∠APB＝90° ，则 m 的最大值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：因为圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 1，|OC|＝5，所以以原点为圆心、以 m 为半径 与圆 C 有公共点的最大圆的半径为 6，所以 m 的最大值为 6，故选 B。 答案：B 5．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点(a，b)向圆所 作的切线长的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2。因为圆关 于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，所以圆心在直线 2ax＋by＋6＝0 上，所以－2a＋2b＋6＝0，即 b ＝ a － 3 ， 点 (a ， b) 到 圆 心 的 距 离 为 d ＝ a＋12＋b－22 ＝ a＋12＋a－3－22 ＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18。 所以当 a＝2 时， d 有最小值 18＝3 2， 此时切线长最小， 为 3 22－ 22＝ 16＝4。 答案：C 6．设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 N，使得∠OMN＝45° ，则 x0 的取值范 围是( )
全国通用近年高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标45椭圆(2021年整理)
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第45讲椭圆［解密考纲］对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．已知焦点在y轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的长轴长为8，则m＝( C）A．4 B．8 C．16 D．18解析椭圆的焦点在y轴上,则m＝a2。
由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16。
故选C．2．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于错误!，且它的一个顶点为(0，2错误!)，则椭圆C的标准方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1 C．错误!＋错误!＝ 1 D．错误!＋错误!＝1解析根据题意,可知b＝23，结合离心率等于错误!,可知a2＝16，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.故选D．3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆错误!＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( C)A．2错误!B．6 C．4错误!D．12解析如图，设椭圆的另外一个焦点为F,则△ABC的周长为｜AB｜＋|AC｜＋｜BC|＝(|AB|＋｜BF|）＋（|AC｜＋｜CF｜)＝4a＝4错误!.4．已知椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，则k的值为（D)A．－21 B．21 C．－错误!或21 D．错误!或－21解析当9>4－k〉0,即4〉k〉－5时，a＝3，c2＝9－（4－k）＝5＋k，∴错误!＝错误!，解得k＝错误!.当9〈4－k，即k<－5时，a＝错误!,c2＝－k－5，∴错误!＝错误!，解得k＝－21。
2025版高考数学一轮总复习课时作业第八章平面解析几何8
8.6 双曲线【巩固强化】1. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于（D）A. B. 5 C. 7 D.解：依据题意,知双曲线的标准方程为.由其焦距为4，得，则有，解得.故选.2. 若双曲线的离心率大于2，则正数的取值范围是（A）A. ,B. ,C. ,D. ,解：由题意，可知,，则.因为离心率大于2，所以，即.所以且，解得.故选.3. 已知双曲线的焦距为，且两条渐近线相互垂直，则该双曲线的实轴长为（B）A. 2B. 4C. 6D. 8解：双曲线的两条渐近线方程为.因为两条渐近线相互垂直，所以，得.因为双曲线的焦距为，所以.由得，解得，所以实轴长为.故选.4. 在平面直角坐标系中，过点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为（B）A. B. C. D.解：因为双曲线的渐近线方程为，所以设所求双曲线的标准方程为.又点在双曲线上，则,即双曲线的方程为,所以双曲线的标准方程为.故选.5. 经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）A. B. C. D.解：由题意，知已知直线的斜率的确定值小于等于渐近线的斜率，所以，离心率，所以.故选.6. 已知椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（D）A. ,B. ,C. ,D. ,解：由题意，得，因此双曲线的两条渐近线方程为.所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，.故选.7. 【多选题】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的右支上一点，则下列结论正确的是（ACD）A. B. 的离心率是C. 的最小值是6D. 点到两渐近线的距离的乘积是3解：已知双曲线，得,,，则,,.由双曲线的定义及点为的右支上一点，得，所以正确.离心率，所以不正确.当点在右顶点时，取得最小值，即，所以正确.双曲线的渐近线方程为.设点，则，即.则点到与到的距离乘积为，所以正确.故选.8. 在①双曲线的焦点在轴上；②双曲线的焦点在轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，.（1）求双曲线的标准方程；解：设双曲线的标准方程为，则解得所以双曲线的标准方程为.（2）若双曲线与双曲线的渐近线相同，，且的焦距为4，求双曲线的实轴长.注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.[答案]双曲线的渐近线方程为.选①，设双曲线的标准方程为，则解得所以双曲线的实轴长为2.选②，设双曲线的标准方程为，则解得所以双曲线的实轴长为.【综合运用】9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于，两点，若是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是（C）A. B. C. D.解：由题意,得为直角三角形，且 .设，则,,如图所示.由双曲线的定义,得.所以,.所以.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选.10. [2024年全国Ⅲ卷]设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为.是上一点，且.若的面积为4，则（A）A. 1B. 2C. 4D. 8解：因为，所以.依据双曲线的定义,可得.，即.因为，所以.所以，即，解得.故选.11. 图1为陕西博物馆保藏的金筐宝钿团花纹金杯，该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图2所示.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（C）图1图2A. B. C. D.解：由题意,设,,,.代入双曲线方程,得即作差得,解得,则.所以杯身最细处的周长为.故选.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程；解：因为双曲线的离心率为，所以该双曲线为等轴双曲线.设其方程为，代入点，得 .故双曲线的标准方程为.（2）设双曲线的两条渐近线分别为,，已知直线交，于,两点，若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的面积.[答案]设与轴交于点.在直线方程中，令，得,.联立整理得.由题意,得，故.联立得.联立得.所以.【拓广探究】13. [2024年新课标Ⅰ卷]已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上.点在轴上，，，则的离心率为.解：（方法一）（坐标法）依题意，设，，.由，得,.因为，且,，，所以，即.又点在上，所以，即.代入，得，即，解得或（舍去），故.（方法二）（特值法及数形结合）考虑离心率是比值，不妨取，则易知,.由对称性得，再由垂直得.，,,则离心率.（方法三）（解三角形）由，得.设，.由对称性,得.由定义,得，.设，则，解得，所以，.在中，由余弦定理,得，即，则离心率.。
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11．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解析：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
根据题意，得
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝ ＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2 ＝2 ＝2 .
即 > ，所以原点在圆外．
答案：B
5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()
A．(－1,1)B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝ ＝ ，
当k＝0时，rmax＝ ＝1，
由 ＝1，解得k＝± .
答案： ；－
8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
解析：∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，
即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝ ＝ ，
解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝ ＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
7．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则 的最大值与最小值分别为________．
解析：设 ＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝ |AM|·|PA|＋ |BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝ ＝ ，
即S＝2 .
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
答案：B
4．[2019·福州质检]设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()
A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
解析：将圆的一般方程ห้องสมุดไป่ตู้成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，
答案：A
3．[2019·湖南五校联考]圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝ ＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.
答案：(－∞，1)
三、解答题
9．已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．
解析：解法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为 .
由题意可得
消去F得 ，
解得 ，代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求 的最大值和最小值．
解析：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2 ，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，
标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
解法二因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为 ，
直线AB的斜率kAB＝ ＝1，
因此线段AB的垂直平分线l的方程是
y＋ ＝－ ，
即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组 的解，
解得 ，
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长
r＝|AC|＝ ＝5，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
答案：D
二、填空题
6．[2016·天津卷]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， )在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为 ，则圆C的方程为________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，
[
一、选择题
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由 得
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：B
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为()
A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝ ≤2 ，
解上式得，16－2 ≤t≤16＋2 ，
所以所求的最大值为16＋2 .
(2)记点Q(－2,3)，
因为 表示直线MQ的斜率k，
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得 ≤2 .
可得2－ ≤k≤2＋ ，所以 的最大为2＋ ，最小值为2－ .