专题03 导数与函数零点(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

用思维导图突破导数压轴题

专题3 导数与函数零点

()

f x()

f x()

f x

()

f x y h x

=（）y g x

=（）

求函数f(x)的零点

：求导判断f(x)的单调性，适当选取区间，确定端点函数值异号

：a=g(x)或h(x)=q(x)判断相应函数单调性、值域，确定零点个数或范围

结合具体问题运用分析法和相关性质确定端点（一般不唯一，见例2等）结合图象确定零点范围（见例3、例6），有时还需证明（见例1）

()sin (1)

f x x ln x =-+()

f x '()

f x ()f x '(1,)

2

π

-()

f x 思路点拨

第（1）题：若1

()cos 1f x x x

'=-

+在区间(1,)2

π

-的极大值点x 0，则在x 0左边，()

f x '递增，在x 0右边()f x '递减.这需要考虑()f x ''在x 0左边为正，右边为负，也就是说x 0是()

f x '的零点，从而()f x '在0(1,)x -上单调递增；在0(x ，)2

π

上()f x ''<0，可得()f x '单调递减.

第（2）结论等价于方程sinx=ln(1+x)有且仅有两个不等的实数根.在同一坐标系中分别作出图象可知一根为0，另

一根介于(2]2

π

，之间. 从图象可以看出当(1,0)x ∈-和

(0,)2

π

时，sin ln(1)0x x -+>，即()0f x >；当[2,)x ∈+∞，()0f x <.

这就需要考虑f ′(x )在(−1,0)、

(0,π

2]、(π

2,2]、(2,+∞)单调性以及端点值的正负.由于x 0位于(0,x 0)和(x 0,π

2)，还有对这两个区间作相应讨论.

第（2）的思维导图：

f '(x)

-1

y

x

π2

x 0

2y =ln(1+x )

y =sin x

-1y

x

0π2

已知f (x )=sin x -ln(1+x )

结论：

f (x )有且仅有2个零点 sinx=ln(1+x)有两个不等实数根

数形结合：一根为0，一根在

当和时，

f (x )>0；当 x ∈ሾ2,+∞)时，f (x )<0

当 x ∈ሾ2,+∞)时， f (x )<0

等价转化

()f x ()

f x a

（1）直接进行求导，分类讨论.（2）由（1）知()f x 在上单调递减，在

上单调递增, ()f x 有极小值，若()f x 有两个零点,则

，且在该点左右两个区间再各找一个点，其函数值大于0即可，当然也可以把函数有两个零点问题转化为另外两个函数图象有两个交点.

（1）对函数进行求导可得.

①当时，恒成立，故而函数恒递减.

②当时，，解得

x >ln 1

a ，所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）解1 由（1）知，当0a ≤时，()f x 在上单调递减，故()f x 在上至多一个零点，不满足条件；当0a >时，()min 1

()ln 1ln f x f a a a

=-=-

+. 令()11ln (0)g a a a a =-

+>，则()211

0g a a a

'=+>，从而()g a 在()0,+∞上单调递增，而()10g =，故当01a <<时，()0g a <；当1a =时，()0g a =；当1a >时，

()0g a >. 当1a >时，()0g a >，此时()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件. 当1a =时，()0g a =，min 1

()1ln 0f x a a

=-+=，此时()0f x =仅有一个实根，不满足条件.

当01a <<时，()0g a <，()min 1

()ln 1ln 0f x f a a a

=-=-

+<，注意到22ln 0,(1)10a a a f e e e

->-=

++->，故()f x 在(1,ln )a --上有一个实根. 1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

11ln ln 1f a a a ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

()1

ln 100a a a

-

+<>()()()()2'22111x

x x x f x ae

a e ae e =+--=-+0a ≤()()()

'110x

x

f x ae e =-+≤0a >()()()

1

'110ln x

x

f x ae e x a

=-+>⇒>1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

1ln

,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

R R

而 31ln 1ln ln a a a ⎛⎫

->=- ⎪⎝⎭

，

33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫

-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()33132ln 1a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331ln 10a a ⎛⎫⎛⎫

=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛

⎫

⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

，

上有一个实根. 又()f x 在上单调减，在(ln ,)a -+∞单调增，故在上至多两个实根. 注 怎么知道要算f (-1)>0、3ln(1)0⎛⎫-> ⎪⎝⎭

f a ？事实上，()()[2]=+--x x

f x e ae a x ，

当x =-1时f (-1)>0；为了再找一点x ，使f (x )>0,因为()()22=+--x

x f x ae

a e x

()=[2]+--x x e ae a x ，注意到0->x e x ，所以只要()21+-=x ae a ，解得3

ln(1)=-x a

.

其实，还可以证f (-2)>0，03

ln(1)>-x a

时，

3ln(1)0⎛⎫

-> ⎪⎝⎭

f a . (2)解2 令()0f x =，即()220x

x

ae a e x +--=，所以有22x x x

e x

a e e

+=+.于是函数()f x 有两个零点，即y a =与()22x x x e x

g x e e

+=+的图象有两个交点．

()g x 的导函数为

()()()

(

)

2

211'1

x

x x

x

e e x g x e e ++-=-

+，当0x <时，()'0g x >；当0x >时，

()'0g x <时，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，且()g x 在0

x =处取得最大()01g =．

当1a ≥时，y a =与()g x 至多有一个零点，不符合题意；

当0a ≤时，由于当0x ≥时，()0g x >，而当0x <时，()g x 是单调递增，所以y a =与()g x 至多有一个交点，不符合题意；

当01a <<时，一方面，由于()()20,01g a g a -<<=>，且()g x 在()2,0-上单调递增，所以y a =与()g x 在()2,0-上有且仅有一个交点．

()ln a -∞-，

()f x R