2019-2020学年河南省濮阳市高一下学期期末数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年河南省濮阳市高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．如果直线x+my﹣1＝0与直线2x+y+1＝0垂直，那么m的值为（）A．﹣2B．C．2D．2．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）3．设A（2，﹣1），B（4，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+y2＝2B．（x﹣3）2+y2＝8C．（x+3）2+y2＝2D．（x+3）2+y2＝84．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c 不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面6．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元），下列说法中错误的是（注：月结余＝月收入一月支出）（）A．上半年的平均月收入为45万元B．月收入的方差大于月支出的方差C．月收入的中位数为70D．月结余的众数为307．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．8．已知圆C：（x﹣a）2+y2＝4（a≥2）与直线x﹣y+2﹣2＝0相切，则圆C与直线x﹣y﹣4＝0相交所得弦长为（）A．1B．C．2D．29．已知边长为2的正△ABC所在平面外有一点P，PB＝4，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．B．16πC．D．10．已知奇函数，则h（﹣2）的值为（）A．B．C．8D．﹣811．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．12．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且过点，则下列正确的为（）①f（x）在单调递减．②f（x）的一条对称轴为．③f（|x|）的周期为．④把函数f（x）的图象向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为A．①②B．①③C．①②③D．①②④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设θ为第二象限的角，sinθ＝，则tan2θ的值为．14．已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），，O为坐标原点，则＝，与夹角的取值范围是．15．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为．16．设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M．下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y ＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x，∈[0，t]门具有性质M，则t＝510；④若y＝具有性质M，则a＝5．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角θ满足，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）cos2θ+sin2θ．18．设向量＝（1，﹣1），＝（3，2），＝（3，5）．（1）若（+t）∥，求实数t的值；（2）求在方向上的投影．19．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．21．（1）若圆C的方程是x2+y2＝r2，求证：过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y ＝r2．（2）若圆C的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程为，并证明你的结论．22．如图，点是函数f（x）＝A sin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象与y 轴的交点，点Q，R是该函数图象与x轴的两个交点．（1）求φ的值；（2）求PQ⊥PR，解关于x的不等式f（x）≤．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果直线x+my﹣1＝0与直线2x+y+1＝0垂直，那么m的值为（）A．﹣2B．C．2D．【分析】根据两直线垂直的条件列方程求出m的值．解：直线x+my﹣1＝0与直线2x+y+1＝0垂直，则1×2+m×1＝0，解得m＝﹣2．故选：A．2．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）＝的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）＝的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1]故选：B．3．设A（2，﹣1），B（4，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+y2＝2B．（x﹣3）2+y2＝8C．（x+3）2+y2＝2D．（x+3）2+y2＝8【分析】由题意求出直径，进而求出半径，再求中点坐标，进而求出圆的标准方程．解：弦长AB＝＝2，所以半径为，中点坐标（3，0），所以圆的方程（x﹣3）2+y2＝2，故选：A．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．5．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c 不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【分析】利用面面垂直的性质．画图判定解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选：B．6．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元），下列说法中错误的是（注：月结余＝月收入一月支出）（）A．上半年的平均月收入为45万元B．月收入的方差大于月支出的方差C．月收入的中位数为70D．月结余的众数为30【分析】根据图中的数据逐个判断即可．解：由图可得，上半年的平均月收入为＝45万，故A正确．由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故B正确．由图可得，1﹣12月的月收入（单位：万元）分别为：40，60，30，30，50，60，80，70，70，80，90，80，所以中位数为：＝65，故C错误．由图可得，1﹣12月的月结余（单位：万元）分别为：20，30，20，20，30，30，60，40，30，39，50，30，所以月结余的众数为30，故D正确．故选：C．7．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．【分析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．利用列举法能求出齐王的马获胜的概率．解：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．由题意可知，可能的比赛为aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率．故选：A．8．已知圆C：（x﹣a）2+y2＝4（a≥2）与直线x﹣y+2﹣2＝0相切，则圆C与直线x﹣y﹣4＝0相交所得弦长为（）A．1B．C．2D．2【分析】根据题意，分析圆C的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C到直线x﹣y+2﹣2＝0的距离，由平行线间的公式计算直线x﹣y+2﹣2＝0与x﹣y﹣4＝0之间的距离，分析可得圆心C到直线x﹣y﹣4＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C：（x﹣a）2+y2＝4的半径r＝2，圆C：（x﹣a）2+y2＝4（a≥2）与直线x﹣y+2﹣2＝0相切，则圆心C到直线x﹣y+2﹣2＝0的距离为2，直线x﹣y+2﹣2＝0与x﹣y﹣4＝0平行，两条平行直线的距离d＝＝2+，又由圆C与直线x﹣y﹣4＝0相交，则圆心C到直线x﹣y﹣4＝0的距离d′＝，则圆C与直线x﹣y﹣4＝0相交所得弦长为2×＝2；故选：D．9．已知边长为2的正△ABC所在平面外有一点P，PB＝4，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．B．16πC．D．【分析】由题意可得当PB⊥面ABC时，三棱锥的体积最大，首先由底面时正三角形求出其外接圆的半径，然后由题意可得此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：由题意当三棱锥P﹣ABC的体积最大时是PB⊥面ABC时，由边长为2的正△ABC，设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r＝＝，所以r＝，由题意此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则由题意可得：R2＝r2+（）2＝+22＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：C．10．已知奇函数，则h（﹣2）的值为（）A．B．C．8D．﹣8【分析】先根据奇函数的性质求出a，再结合奇函数的性质即可求出结论．解：因为奇函数，∴f（0）＝30+a＝0⇒a＝﹣1；则h（﹣2）＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（32+a）＝﹣8．故选：D．11．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．【分析】由三视图知该几何体是二十四等边体，放入正方体中，结合图形求出该几何体的体积．解：如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图；由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：．故选：D．12．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且过点，则下列正确的为（）①f（x）在单调递减．②f（x）的一条对称轴为．③f（|x|）的周期为．④把函数f（x）的图象向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为A．①②B．①③C．①②③D．①②④【分析】首先把三角函数的关系式进行变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝ωx+φ）（ω＞0，），由于函数的最小正周期为π，所以ω＝，由于函数的图象经过点，所以φ，所以φ＝．所以函数f（x）＝，对于①f（x）在x∈时，2x∈（0，π），所以函数单调递减．故正确．对于②f（x）的一条对称轴为．当时，函数取得最小值，故正确．③f（|x|）＝，所以函数的周期为π．故错误．④把函数f（x）的图象向左平移个长度单位得到函数g（x）＝，故错误．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设θ为第二象限的角，sinθ＝，则tan2θ的值为﹣．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．解：∵θ为第二象限的角，sinθ＝，∴cosθ＝﹣＝﹣，∴tanθ＝＝﹣，则tan2θ＝＝﹣，故答案为：﹣．14．已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），，O为坐标原点，则＝1，与夹角的取值范围是[0，]．【分析】根据题意，分析可得﹣＝＝（1，0），进而可得|﹣|＝1，即可得||＝1，据此分析可得P是以A为圆心，半径为1的圆，则设P（2+cosα，sinα），与夹角为θ，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案．解：根据题意，A（2，0），B（1，2），C（2，2），则﹣＝＝（1，0），则|﹣|＝1，又由，则||＝1，P是以A为圆心，半径为1的圆，则设P（2+cosα，sinα），与夹角为θ，（0≤α≤2π，0≤θ≤π）；则＝（2+cosα，sinα），＝（2，0），则||＝，||＝2，•＝4+2cosα，则有cosθ＝＝＝＝（）＝（+），又由+≥2，当且仅当5+4cosα＝3，即cosα＝﹣1时，等号成立，则有cosθ＝（+）≥，又由0≤θ≤π，则0≤θ≤，即与夹角的取值范围是[0，]；故答案为：1，[0，]．15．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它内接矩形面积的最大值为25．【分析】由已知结合三角函数可表示面积，然后结合正弦函数的性质可求．解：设∠AOD＝α，则AB＝2AO＝2×5cosα＝10cosα，AD＝5sinα故矩形的面积S＝10cosα×5sinα＝50sinα×cosα＝25sin2α≤25故答案为：2516．设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M．下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y ＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x，∈[0，t]门具有性质M，则t＝510；④若y＝具有性质M，则a＝5．其中正确结论的序号是②③．【分析】根据新定义条件逐一进行判断即可解：对于①，f（x）＝x3﹣x的值域为R，则当f（x1）＝0时，不存在x2，使得f（x1）•f（x2）＝1，故①不满足；对于②，f（x）＝3x+5x∈（0，+∞），所以f（x2）＝＝∈（0，+∞），故对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，故②正确；对于③，当x∈[0，t]时，y∈[，log8（t+2）]，若满足f（x1）•f（x2）＝1，则×log8（t+2）＝1，则log8（t+2）＝3，解得t＝510，故③正确；对于④，若y＝∈[，]，值域必须满足对称性，且不包含0，则•＝1，解得a＝±5；故④不正确；故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角θ满足，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）cos2θ+sin2θ．【分析】利用和差公式可得：＝，解得tanθ．（I）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式可得：＝＝tanθ．（Ⅱ）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式可得：cos2θ+sin2θ＝＝．解：＝，解得tanθ＝﹣3．（I）＝＝tanθ＝﹣3．（Ⅱ）cos2θ+sin2θ＝＝＝＝﹣．18．设向量＝（1，﹣1），＝（3，2），＝（3，5）．（1）若（+t）∥，求实数t的值；（2）求在方向上的投影．【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t的值；（2）根据平面向量投影的定义计算即可．解：（1）由，，所以；又，，所以3×（2t﹣1）＝5×（3t+1），解得；（2）由，，所以在方向上的投影为．19．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．【分析】（1）由茎叶图能求出中位数和众数．（2）设不超过50的工人为a，b，c，d，e，f，g，其中a，b，c为优秀员工，从这7名工人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有一个工人是优秀员工的概率．解：（1）由茎叶图得：中位数为43，众数为47．（2）设不超过50的工人为a，b，c，d，e，f，g，其中a，b，c为优秀员工，从这7名工人中随机抽取2人的基本事件有21个，分别为：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{a，g}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{b，g}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{c，g}，{d，e}，{d，f}，{d，g}，{e，f}，{e，g}，{f，g}，其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有15个，∴至少有一个工人是优秀员工的概率P＝．20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．【分析】（1）利用线面平行的性质即可得证；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，∴BC∥OE，∵E为CD的中点，∴O为BD的中点；（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，∴OE⊥BD，∵AB＝AD，O为BD的中点，∴OA⊥BD，∵OE∩OA＝O，且都在平面AOE内，∴BD⊥平面AOE，∵BD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面AOE．21．（1）若圆C的方程是x2+y2＝r2，求证：过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y ＝r2．（2）若圆C的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）＝r2，并证明你的结论．【分析】（1）根据题意，已知切点M的坐标，即可得k MC，由直线垂直的性质可得切线的斜率，进而分析可得答案；（2）根据题意，结合切点的坐标可得k MC，由直线垂直的性质可得切线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．解：（1）证明：圆C的方程是x2+y2＝r2，其圆心为C，坐标为（0，0），则k MC＝＝，则切线的斜率k＝﹣＝﹣，则切线的方程为：（y﹣y0）＝﹣（x﹣x0），变形可得x0x+y0y＝r2，即可得证明；（2）根据题意，过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）＝r2，证明：圆C的方程是（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，其圆心坐标为（a，b），则k MC＝，则切线的斜率k＝﹣＝﹣，则切线的方程为：（y﹣y0）＝﹣（x﹣x0），即（y﹣b+b﹣y0）（y0﹣b）＝﹣（x ﹣a+a+x0）（x0﹣a），则有（y﹣b）（y0﹣b）+（x﹣a）（x0﹣a）﹣（x0﹣a）2+（y0﹣b）2，变形可得：（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）＝r2，即可得证明．22．如图，点是函数f（x）＝A sin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象与y 轴的交点，点Q，R是该函数图象与x轴的两个交点．（1）求φ的值；（2）求PQ⊥PR，解关于x的不等式f（x）≤．【分析】（1）由函数经过点P（0，），可求得sinφ＝，φ∈[0，π），且点P在递增区间上可求得φ＝；（2）由（1）可知y＝A sin（x+），令y＝0可求得x＝﹣或x＝，从而可得P、Q、R的坐标，利用PQ⊥PR，得＝0，从而可求得A．进而求解不等式．解：（1）∵函数经过点P（0，），∴A sinφ＝，∴sinφ＝，又∵φ∈[0，π），且点P在递增区间上，∴φ＝，（2）由（1）可知y＝A sin（x+），令y＝0，得sin（x+）＝0∴x+＝kπ（k∈Z），∴x＝﹣或x＝，∴Q（﹣，0），R（，0），又∵P（0，），∴＝（﹣，﹣），＝（，﹣），∵PQ⊥PR，∴•＝﹣+A2＝0，解得：A＝（负值舍）；∴f（x）＝sin（x+）≤⇒sin（x+）≤⇒2kπ﹣≤x+≤2kπ+⇒3k﹣2≤x≤3k；k∈Z；故关于x的不等式f（x）≤的解集为：{x|3k﹣2≤x≤3k；k∈一、选择题}．。