湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程:旋转变换
高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结76658
坐标系与参数方程 知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x ,y )对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2。
极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可。
但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。
有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R )。
和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示。
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3。
极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角。
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
e 44
th
(
,
2
)或(或 (,-
2 ))
44
44
, 5
等多种形式,其中,只有
(
,
)
的极坐标满足方程
.
44
44
in 二、参数方程
gs 1.参数方程的概念
thin x f (t)
ll 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
x,
y
都是某个变数
t
的函数
y
g
(t
)
①,并且对于
t
a 的曲线的参数方程的形式也不同。
ing 3.圆的参数
ir be 如图所示,设圆O 的半径为 r
,点 M
从初始位置
M0
出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,设
M
(x,
y)
x ,则
y
r cos r sin
(为参数)
。
the 这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 的几何意义是 OM0 转过的角度。
bein (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正 eir 方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. th 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, in 而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. ings (2)极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记 th 为 .有序数对 (, ) 叫做点 M 的极坐标,记作 M (, ) .
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程:旋转变换中图形的变化
x x ' y ' ,
2
②
y y ' x ' . 2
代入直线l的方程工x+y=1得变换后直线l'的方程 2 y ' 1,
即 y' 2 ,将直线上的点(x',y')重新写成(x,y),则直线
2
l'的方程为 y
2 ,如图1-4(b)。
2
(5)反比例函数图像的方程
y 1x可写为 xy 1。
的坐标之间的关系为
x ' 2 x 2 y,
22
①
y ' 2 x 2 y. 22
显然原点O(0,0)仍旋转到O(0,0)。 (1)设点A(1,1)变到点A'(x',y')。则 由①得
2 2 2 22
因此,点A(1,1)变到点A'(O,2 ),如图1-4(a)。
(2)线段OA变到线段OA',A'坐标为(0, 2 ),
如图1-4(a)。 (3)直线OA:y=x变到直线OA',OA'即是y轴,
即直线x=0,如图1-4(a)。 (4)方法1 直线x+y=1分别与坐标轴交于 B(1,0),C(0,1)。 将B,C的坐标代入①,计算可得它们分别被变到
B'
2,2 22
将(4)得到的表达式②代入方程 xy 1得到
x ' y ' . y ' x ' 1 22
即
( y ')2 (x ') 2 1
22
③
将图象上的点的坐标(x',y')重新写为(x,y),则旋 转后得到的曲线方程为
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程:位似变换与伸缩变换
x y
1 00 x k Nhomakorabea
y
或
x y
k 0
0 x
1
y
的形式。
谢谢
x y
x, ky
或
x kx,
y
y
将图形在一条坐标轴的方向上拉伸(当k>1时)或压缩(当0<k<1时) 到原来的k倍,而在另一条坐标轴的方向上不变。这样的变换称为伸缩变 换。
伸缩变换的矩阵为
1 0 k 0 或 0 k 0 1
伸缩变换可写为
位似变换与伸缩变换
x x,
解
(1)从例3的变换表达式中解出
y
1 2
y,
代入直线方程 Ax By C 0
得 Ax B y C 0. 2
因此,直线 l : Ax By C 0 编程直线 l : Ax B y C 0,
例3中的变换
x x,
y
2
y
将图形在y轴方向上拉长到原来的2倍,x轴方向上不变。图形的形状
一般都改变了,比如例4(2)中的圆变成了椭圆,类似地可以考虑变换
x x,
y
1 2
y,
它将图形在y轴方向上缩短到原来的一半,x轴方向不变。
一般地,设正实数k≠1,则变换
2
如图。
(2)由 x x, y 2 y
得
x x, y 1 y.
2
代入方程
2
x
[整理版]高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。
湘教版选修4《旋转变换》说课稿
湘教版选修4《旋转变换》说课稿一、课程背景与目标1.1 课程背景《旋转变换》是湘教版选修4中的一节重要课程,主要介绍了旋转变换的概念、性质以及应用。
通过学习本课程,学生能够深入理解几何学中的旋转变换,并掌握基本的旋转变换技巧,为进一步学习几何学和应用于实际生活中的问题打下坚实的基础。
1.2 课程目标本课程的学习目标包括:1.理解旋转变换的基本概念和性质;2.掌握旋转变换的基本技巧和运算规则;3.熟练运用旋转变换解决几何问题;4.培养学生的几何思维和创新意识。
二、教学内容与教学重点2.1 教学内容本课程的主要内容包括:1.旋转变换的定义和性质;2.旋转变换的基本技巧和运算规则;3.旋转变换在几何问题中的应用。
2.2 教学重点本课程的教学重点是:1.真正理解旋转变换的定义和性质;2.掌握旋转变换的基本技巧和运算规则;3.熟练运用旋转变换解决几何问题。
三、教学过程与教学方法3.1 教学过程本课程的教学过程分为以下几个步骤:第一步:引入通过给学生提出一个与旋转变换相关的问题引入课程,激发学生的兴趣和思考,为后续学习打下基础。
第二步:讲解在讲解中,老师结合课件和教材逐步介绍旋转变换的定义和性质,引导学生思考旋转变换的特点和运算规则。
通过示例和实际问题的讲解,帮助学生理解旋转变换的实际应用。
第三步:练习在练习环节中,学生通过课堂练习和小组合作练习,巩固并运用所学的旋转变换技巧。
教师在练习过程中及时给予指导和反馈,提高学生的解决问题的能力。
第四步:总结在总结环节中,教师通过概括性的总结和讨论,帮助学生对本节课的知识点建立全面深入的理解,巩固所学的知识,并培养学生的几何思维和创新意识。
3.2 教学方法本课程采用以下教学方法:1.情境教学法:通过引入问题、示例讲解等情境,激发学生学习的积极性和主动性。
2.合作学习法:通过小组合作练习、互动交流等方式,培养学生的合作意识和团队精神。
3.提问式教学法:通过提问和回答的方式,激发学生的思考和参与,促进深入学习。
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程:球坐标系
1.了解在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法.
2.了解柱坐标与直角坐标之间的变换公式.体会它们 的区别.
1.球坐标系 建立空间直角坐标系O-xyz,设P是空间任意一点,
连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为 ,P在
Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所
转过的最小正角为θ,点P的位置可以用有序数组(r, ,θ)
称为高低角.
2.注意球坐标P(r, ,θ),其中r≥0,0≤ ≤π,0≤θ<2π.
3.球坐标与空间直角坐标的变换关系.
谢谢!
π 6cos
4π=3 4 2,
y=3sin
π 6sin
π4=34 2,
z=3cos π6=3 23,
∴点 P 的直角坐标为34 2,3 4 2,3 2 3.
点 Q:x=3sin
π 6cos
34π=-3 42,
y=3sin
π 6sin
34π=3 4 2,
z=3cos π6=,5,点 B 的球坐标为
6,π3,π6,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为
( B)
A.点
P(5,1,1),点
B34 6,3 4 2,
6 2
B.点
P(1,1,5),点
B3 4 6,3 4 2,
6 2
C.点 P34 6,3 4 2, 26,点 B(1,1,5)
D.点
P(1,1,5),点
B
26,3
4
6,3
4
2
11.在球坐标系中,求 P3,π6,4π,Q3,π6,34π两点的 距离.
解析:将 P,Q 两点球的坐标转化为直角坐标,得
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坐标系与参数方程 知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。
选修4-4数学坐标系与参数方程
选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一,包括平面直角坐标系和极坐标系。
参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程,常用于描述曲线的运动或变化。
考点:1. 平面直角坐标系:了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。
2. 极坐标系:了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。
3. 参数方程:了解参数方程的定义和解题步骤,熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。
二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3,求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。
【解析】:1. 求该函数的根,即当y=0时x满足的条件:x=1±√2。
2. 绘制函数图像。
由于该函数为二次函数,故开口向上,图像开口向上,存在顶点,而顶点的横坐标为x=-b/2a,即x=1。
当x=0时,y=3,即函数在y轴上截距为3,因此y轴上的一点为(0,3)。
3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t,y=2sint-sin2t的形状和特征,求其极坐标方程,指出极点和极轴,找出曲线上各点的对称点。
【解析】:1. 观察曲线方程,发现x的系数为2,y的系数为-1。
而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1,故有x=4cos²t-1-y。
2. 代入x²+y²=r²,消去t,即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。
3. 极点为(θ=r=0),为对称中心,且曲线轨迹在极轴之上。
4. 若要求曲线上一点的对称点,可先求该点的极坐标系(r,θ),则其对称点的极坐标系为(r,-θ),再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。
最新湘教版高三数学选修4-4电子课本课件【全册】
第1章 坐标系
最新湘教版高三数学选修4-4电子 课本课件【全册】
1.1 坐标系的作用
最新湘教版高三数学选修4-4电子 课本课件【全册】
1.2 平面直角坐标系中的伸缩变 换
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1.3 极坐标系
最新湘教版高三数学选修4-4电子 课本课件【全册】
1.4 极坐标与平面直角坐标的互 化
最新湘教版高三数学选修4电子 课本课件【全册】目录
0002页 0056页 0106页 0128页 0166页 0197页 0228页
第1章 坐标系 1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 1.4 极坐标与平面直角坐标的互化 1.6 球坐标系 2.1 从抛物运动谈起 2.3 圆锥曲线的参数方程 2.5 渐开线及其参数方程
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程:矩阵表示的变换
这说明:平行直线仍变成平行直线。同一方向上长度 相等的线段仍变成同一方向上长度相等的线段。
这些性质是否对由其他矩阵决定的线性变换也成立? 可以更换矩阵重新画图观察。在观察的基础上,进行理论 证明。
谢谢
矩阵表示的变换
第1章讨论的旋转、反射、位似、伸缩、投影变换都 是线性变换,都可以由矩阵表示。
第1章讨论的只是一些特殊的线性变换。它们的几何 性质各不相同。有的保持图形的形状和大小不变,变换前 后的图形全等,如旋转和反射,有的虽然改变图形的大小, 但保持形状不变,变换前后的图形相似,如位似变换。伸 缩变换改变了图形的形状,将圆变成椭圆,但仍将直线变 成直线,投影变换将整个平面变到一条直线,将某些直线 变成一个点。
画出这些直线、圆以及曲线图形的像,如下图所示。
观察并比较变换前后的图形,看有什么变化,是否有什么 性质保持不变。
原来的每个正方形变成什么图形?所画的曲线图形变成什 么图形?
由于所有的点的y坐标不变,平行或重合于x轴的直线y=a 仍变为自身。
由变换式①中可解出x=x'-y=x'-y',因此,平行于y轴的直 线x=a变成x'-y'=a,即y'=x'-a,仍是一条直线,仍然过点(a,0), 但斜率为1,倾斜角为45°。
但这些直线x=a并非沿顺时针方向旋转45°,而是由于直 线上的点P(x,y)向右(当y>0时)或向左(当y<0时)平行移动到 P' (x+y,y)而导致的直线倾斜。原来的边平行于坐标轴的正 方形都被变成平行四边形,圆被变成椭圆。而曲线图形也被 相应地向右倾斜变形。
为了验证这个变换是否将直线变成直线,求任何一条直 线Ax+By+C=0在这个变换下的像的方程。
湘教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程:不变直线
观察发现,两条直线M1M2,N1N2(共4个方向)上的向 量方向保持不变,这两条直线被变到自身。两条直线上共 4个方向将平面划分成4个区域,同一区域中向量方向的转 向相同,相邻的不同区域中向量方向转向相反。
如果这个一元二次方程有实数根,对每个实数根 0 ,将 0
代入方程组①就可以求出解 x, y x0, y0 0,0,
非零向量OP0 被变换A变到自己的倍向量 0OP0,我们称 0为A的特
征值,称 OP0 为A的属于特征值 0 的特征向量。 特征向量 OP0 的非零倍向量 kOP0 也是属于同一个特征值 0 的特征
向量。
我们也称 0 为矩阵A的特征值,向量OP0 的坐标
X0
x0 y0
满足条件
A
x0 y0
0
x0 y0
.
实际上,对所有的实数k,都有
A
kx0 ky0
0
kx0 ky0
.
设L是过原点和点 P0 x0, y0 的直线,则整条直线L被变换A变到L之中,
称为在变换A作用下不变的直线。
不变直线
我们知道,平面上所有的线性变换都将原点保持不动. 除了原点以外,是否还有别的点被保持不动? 想一些例子: 恒等变换当然保持所有的点不动。 旋转变换与位似变换,除了保持原点不动,所有的点 都被变动。 反射变换将对称轴上所有的点保持不动。 当然还可以考察另外一个问题,线性变换是否保持某条直 线不动?(直线上的点可以在直线上变动,但是不变到直 线外。)
a d bc, 即 2 a b ad bc
选修4-4坐标系及参数方程
选修4-4坐标系与参数方程一、坐标系1.平面直角坐标系的建立:在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。
2.空间直角坐标系的建立:在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。
3.极坐标系的建立:在平面上取一个定点O ,自点O 引一条射线OX ,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。
(其中O 称为极点,射线OX 称为极轴。
)① 设M 是平面上的任一点,ρ表示OM 的长度,θ表示以射线OX 为始边,射线OM 为终边所成的角。
那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。
其中ρ称为极径,θ称为极角。
约定:极点的极坐标是ρ=0,θ可以取任意角。
4.直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点,x 轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为(x ,y )和(,)ρθ,则x = 2ρ=y = tan θ=二、曲线的极坐标方程1.直线的极坐标方程:若直线过点00(,)M ρθ,且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点 (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴 (3)直线过(,)2M b π且平行于极轴 图:方程:2.圆的极坐标方程: 若圆心为00(,)M ρθ,半径为r 的圆方程为: 2220002cos()0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点 (2)当圆心位于(,0)M r (3)当圆心位于(,)2M r π图:方程:3.直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用: x = 2ρ= y = tan θ=三、参数方程1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种:(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t ,然后代入消去参数。
选修4-4坐标系与参数方程
建立联系.
Y=byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(X,Y)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′=3x,
1,-2
1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标.
2y′=y.
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解析:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),
x=1x′, 由题意,将 3
y=2y′
代入 x2- y2 =1 64
得x′2-4y′2=1,化简得x′2-y′2=1,
9 64
9 16
即x2- y2 =1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线, 9 16
则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0).
选修 4-4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点: 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换; 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′=λ·xλ>0,
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点 P(x,y)对应到点
4.将圆 x2+y2=1 变换为椭圆x2+y2=1 的一个伸缩变换公式为φ: X=axa>0, 求 a,b 的值.
94
Y=byb>0,
X=ax, 解y=1Y, b
代入 x2+y2=1 中得Xa22+Yb22=1,所以 a2=9,b2=4,即 a=3,b=2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a. 解析:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2,
选修4-4坐标系和参数方程
数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y )确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ,已知各观测点到中心的距离都是1020m ,试确定该巨响的位置。
(假定当时声音传播的速度为340m/s ,各相关点均在同一平面上)以接报中心为原点O ,以BA 方向为x 轴,建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设P (x,y )为巨响为生点,由B 、C 同时听到巨响声,得|PC|=|PB|,故P 在BC 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y=-x ,因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声,故|PA|- |PB|=340×4=1360,由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上,2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=-x代入上式,得x =± , ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
变式训练1.一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米,并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2.在面积为1的PMN ∆中,2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ,建立适当的坐标系,求以M ,N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,且PF 1→·PF 2→=0,tan ∠PF 1F 2=12,则此椭圆的离心率为( ). A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为2时,1PF ·2PF 的值为( )A .2B .3C .4D .6 3.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点在圆x 2+y 2+2x -3=0上,则p =( )A.12B .1C .2D .3 4.已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足P A →·PB →=x22,则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (-5,0)、B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x =3上,则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.7.已知:圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0. (1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且AB =22时,求直线l 的方程.8. 已知长方形ABCD ,22=AB ,BC=1。
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2.矩阵通常用大写的英文字母A,B,C…表示;
3.元素全为0的二阶矩阵
0 0
0 0
称为零矩阵,简记为0;
矩阵
10
0 1
称为二阶单位矩阵,记为E2.
问题3
任意点P(x,y)绕原点O逆时针方向旋转 角变成
点P’(x’,y’),它们的坐标之间存在什么关系?
P(x, y)
y
P(x, y)
O
x
P(x, y)
P(x, y)
旋转角为180o 的旋转变换
P(x, y)
x x y y ①
我们称 P是 P在这个旋转变换作用下的像.
试一试:点A(1,0)在旋转角为180o的旋转变换 作用下的像A'是?______. 变式:点A(1,0)在旋转角为30o的旋转变换作用 下的像A'是____?__. 问题2:点A(x , y)在旋转角为30o的旋转变换作 用下的像A'是__?____.
一一对应
二阶矩阵
a c
b d
马上试试
在直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针
方向旋转 角的旋转变换记为 R 。试求出下列旋转
变换的坐标变换公式以及对应的矩阵:
①R3600
②R90o
几点说明
1.二阶矩阵
a c
b d
中的数
a,b, c, d
称为矩阵的元素;
旋转变换
y
3 1 2 2
y
1
3
22
O
x
30o
O
x
温故知新 在平面直角坐标系中,
形
平面内的点
平面内的曲线
数
有序实数对 方程
平面内的图形变换
旋转变换
在直角坐标系xOy内,所有点都绕原点O按逆时针 方向旋转1800,设点P(x,y)经过旋转后变成点P' (x',y'),则它们坐标之间存在什么关系?
cos sin
sin cos
谢谢!
y
P(x, y)
O
x
旋转变换
在直角坐标系xOy内的每个点绕原点O
按逆时针方向旋转 角的几何变换称为
旋转变换(通常记为 R)。 y
P(x, y)
求其坐标变换公式 和对应的二阶矩阵。
P(x, y)
O
x
x x cos y sin
y
xsinycos
在平面直角坐标系xOy内,形如
x ax by
y
cx
dy
……③
(其中 a,b, c, d 均为常数)的几何变换叫做线性变换,
③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.
正方形数表
a c
b d
称为二阶矩阵.
线性变换
x ax by y cx dy