2015届高考数学总复习 第九章 第二节 基本算法语句课时精练 理
2015届高考数学总复习 第六章 第九节数学归纳法课时精练 理
第九节 数学归纳法1．(2013·福建三明模拟)某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (n ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，则( )A ．n ＝4时该命题成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝6时该命题不成立解析：因为“当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故可得n ＝5时该命题不成立，则一定有n ＝4时，该命题也不成立．故选C.答案：C2．若f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)为( )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：注意f (n )的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f (1)＝1＋12＋13＋14＋15.故选C.答案：C3．(2013·杭州质检)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对解析：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了1k ＋1，故选C 项．答案：C4．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N ，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6解析：∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1, 2时，由上得证，设n ＝k (k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)．∴f (k ＋1)能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.故选C. 答案：C5．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的关于k 的表达式为________．解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21，得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得：S 2＝23；由 (S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得：S 3＝34.猜想：S n ＝nn ＋1.答案：nn ＋17．平面内有n (n ≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，利用数学归纳法证明线段的条数为f (n )，则由n ＝k 到n ＝k ＋1增加的线段数是________．解析：增加一条直线，该直线被原来的k 条直线分出k －1段线段，而原来的k 条线段中的每一条，都多出1条线段，因此增加了k －1＋k ＝2k －1条．答案：2k －18．设曲线y ＝ax 33＋12bx 2＋cx 在点A (x ，y )处的切线斜率为k (x )，且k (－1)＝0.对一切实数x ，不等式x ≤k (x )≤12(x 2＋1)恒成立(a ≠0)．(1)求k (1)的值；(2)求函数k (x )的表达式；(3)求证：1k ＋1k ＋…＋1k n ＞2nn ＋2.(1)解析：由x ≤k (x )≤12(x 2＋1)得1≤k (1)≤1，所以k (1)＝1.(2)解析：k (x )＝y ′＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由k (1)＝1，k (－1)＝0得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0 ⇒a ＋c ＝12，b ＝12.又x ≤k (x )≤12(x 2＋1)对x ∈R 恒成立，则由x ≤k (x )恒成立，得ax 2－12x ＋c ≥0(a ≠0)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝14－4ac ≤0，a ＋c ＝12⇒a ＝c ＝14.同理由k (x )≤12(x 2＋1)恒成立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a x 2－12x ＋12－c ≥0恒成立，也可得a ＝c ＝14.综上所述，a ＝c ＝14，b ＝12，所以k (x )＝14x 2＋12x ＋14.(3)证明：(法一：分析法)k (n )＝n 2＋2n ＋14＝n ＋24⇒1k n ＝4n ＋2，要证原不等式成立，即证122＋132＋…＋1(n ＋1)2>n2n ＋4， 因为1(n ＋1)2>1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 所以122＋132＋…＋1n ＋2>12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4， 所以1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (n )>2n n ＋2.(法二：数学归纳法)由k (n )＝n 2＋2n ＋14＝n ＋24⇒1k (n )＝4n ＋2，①当n ＝1时，左边＝1，右边＝23，左边>右边，所以n ＝1时，不等式成立；②假设当n ＝m 时，不等式成立，即1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (m )>2mm ＋2.当n ＝m ＋1时，左边＝1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (m )＋1k (m ＋1)>2m m ＋2＋4(m ＋2)2＝2m 2＋4m ＋4m ＋2，由于2m 2＋4m ＋4m ＋2－m ＋m ＋3＝4(m ＋2)2(m ＋3)>0， 所以1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (2)＋1k (m ＋1)>2(m ＋1)(m ＋1)＋2，即当n ＝m ＋1时，不等式也成立．综合①②可知，1k (1)＋1k (2)＋…＋1k (n )>2nn ＋2.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N * ，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立．(1)解析：因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上，所以得S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32×54×76×…×2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32×54×76×…×2n ＋12n＞n ＋1 成立．①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32＞2，所以不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32×54×76×…×2k ＋12k＞k ＋1 成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32×54×76×…×2k ＋12k×2k ＋32k ＋2＞k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋24(k ＋1)＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)＞(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②可知，不等式恒成立．10．(2013·山东模拟)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1.因为a n >0，所以a 1＝1，由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1.又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即 a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．由①②知，a n ＝n －n －1(n ∈N *)．。
2015届高考数学总复习第九章 第二节 基本算法语句课件 理
点评：套用公式求值问题是传统数学求值问题的一种， 它是一种典型的顺序结构，也就是说只通过输入、输出和赋 值语句就可以完成任务．解决这类问题的关键是先分析这种
问题的解法，即构造计算的过程，再写出算法步骤和程序框
图，再翻译成算法语句即可．
【例 2】
下列程序
INPUT a，b，c a ＝b b ＝c c＝a PRINT a，b，c
若输入10,20,30，则输出结果是( A．10,20,30 B．20,30,20
)
C．20,20,30
D．30,20,10
解析 ：先把 b 的值 20 赋给 a ， ∴ a ＝ 20. 再把 c 的值 30 赋给 b ， ∴b＝30.然后把a的值20赋给c，∴c＝20.故选B.
答案：B
【例3】 交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值． 思路点拨：引入一个中间变量X，将A的值赋予X，又将 B 的值赋予 A，再将X的值赋予B，从而达到交换 A，B的值( 比如 交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶)．
点评：(1) 条件语句的主要功能是用来实现算法中的条件
结构，在使用计算机时，经常需要按照条件进行分析、比较、 判断，并且按照判断后的不同情况进行不同的操作和处理. 如
果是要解决像“判断一个数的正负”、“比较数之间的大
小”，“对一组数进行排序”、“求分段函数的函数值”等 很多问题，计算机就需要用到条件语句； (2) 条件语句的嵌套 可多于两层，可以表达算法步骤中的多重限制条件，在使用 条件语句的嵌套时要注意IF与ELSE的配对关系．
解析：程序的功能是求分段函数
2 x ＋ 2 ，x<0，
即 y＝(2－|x|)2 的函数值， 4，x＝0， x－22，x>0，
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章 解析几何 9.5
§9.5椭圆1.椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ ) 2.已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A.23B.43C.53D.83答案 D解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2. ∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，∵焦点在y 轴上，∴2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________. 答案3－1解析 设过左焦点F 1的正三角形的边交椭圆于A ，则|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，有2a ＝(1＋3)c ，∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.题型一 椭圆的定义及标准方程例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________.(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________.思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义； (2)题要分焦点在x 轴和y 轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解.答案 (1)B (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(3)x 29＋y 23＝1 解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |， 又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆.(2)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0).∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程.则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①、②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.(2)已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)12 3解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20，①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°＝256.②①2－②得|PF 1|·|PF 2|＝48.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝12 3.题型二 椭圆的几何性质例2 (1)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率.(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和 最小值.思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a ，c 的值；解题(2)的关键是表示出PF →·P A →，根据椭圆的性质确定变量的取值范围. 解 (1)设椭圆的焦半径为c ，设另一个焦点为F ，如图所示， ∵AB ＝AC ＝1，△ABC 为直角三角形，∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24.设F A ＝x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋(22)2＝4c 2，∴c ＝64，e ＝ca＝6－ 3. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0).由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. 思维升华 (1)求椭圆的离心率的方法①直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值.②构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解.③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.(1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A.0B.1C.2D.2 2(2)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)C (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′，由对称性，|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.题型三 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N两点.(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长.(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式.思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解. 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0).斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.消去y 得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝32， 又点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322.所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.高考中圆锥曲线的离心率问题典例：(10分)(1) 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，上顶点为B 2，右顶点为A 2，过点A 2作x 轴的垂线交直线F 1B 2于 点P ，若|P A 2|＝3b ，则椭圆C 的离心率为________.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________.思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a ，b ，c 的一个关系式即可.若得到的关系式含b ，可利用a 2＝b 2＋c 2转化为只含a ，c 的关系式. 解析 (1)由题设知|B 2O ||P A 2|＝|F 1O ||F 1A 2|⇒b3b＝c a ＋c ＝13，e ＝12.(2)依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝ac (注意到P 不与F 1F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c ， 即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1. 答案 (1)12(2)(2－1,1)温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧1.求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考.“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上.“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a ，b 或m ，n .2.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解. 失误与防范1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A.9B.1C.1或9D.以上都不对答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.2.设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A.4B.3C.2D.5答案 A解析 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2×5－6＝4.3.已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A.4B.8C.4或8D.以上均不对答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8.4.(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， 且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.5.已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为 ( )A.34B.1C.2D.4答案 C解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0). 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 二、填空题6.(2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________. 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝ca＝3－1.7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A 、B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________.答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.8.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________. 答案 (－263，263)解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).三、解答题9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0).(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355.10.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点.若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程.解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2(c a )2＋c a －1＝0，解得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c ).A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，所以|AB |＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋(|MN |2)2＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca ，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bca 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C. 2.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.(0，12]C.(0，22)D.[22，1) 答案 C解析 ∵满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆内部，即c <b ， ∴c 2<b 2＝a 2－c 2,2c 2<a 2， ∴e 2<12，即e ∈(0，22).3.在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A.x ＋4y －5＝0B.x －4y －5＝0C.4x ＋y －5＝0D.4x －y －5＝0答案 A解析 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y224＝1， ②由①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，因⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0.4.点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________. 答案 83解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，21F PF S ∆＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .所以y P ＝83. 5.设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________. 答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|， |PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为 10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.6.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32).(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0， 所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21，因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4]·(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章 解析几何 9.6
§9.6双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).( √ )2.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.3.(2013·福建)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25B.45C.255D.455答案 C解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25＝255.4.(2012·天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.5.(2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________. 答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 2|＝x (x >0)，|PF 1|＝2＋x ，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1， 所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.题型一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.思维启迪 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c ；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件) 答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1(3)x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274， 所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.(3)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). 思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 答案 (1)A (2)A解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.题型二 双曲线的几何性质例2 (1)(2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边 形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62(2)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.[－74，＋∞)D.[74，＋∞) 思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率e ，可以求出a ，c 的关系式，进而求出e .(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x ，y 的取值范围. 答案 (1)D (2)B解析 (1)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.(2)由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1， ∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.思维升华 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题.(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5答案 (1)C (2)C解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)如图，∵FB →＝2F A →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值. 思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解.解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2). (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围. 解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2).设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22).忽视“判别式”致误典例：(12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分]设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2. 由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[12分]温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.方法与技巧1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.失误与防范1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx . 4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12x D.y ＝±22x 答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±b ax ，y ＝±2x . 2.(2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等 答案 D解析 双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等.3.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3 答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是 ( )A.x 2＋y 2－10x ＋9＝0B.x 2＋y 2－10x －9＝0C.x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D.x 2＋y 2＋10x －9＝0答案 A解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(1,2)C.(1,1＋2)D.(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)， 因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0， 整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.二、填空题6.已知双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，且双曲线过点M (4，3)，则双曲线的方程为________.答案 x 24－y 2＝1 解析 ∵双曲线过点M (4，3)，M 在y ＝x 2下方， ∴双曲线焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，又b a ＝12， 因此设a ＝2k ，b ＝k (k >0)，∴x 24k 2－y 2k 2＝1，代入M (4，3)解得k ＝1，a ＝2，b ＝1，∴方程为x 24－y 2＝1. 7.已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率是3，则n ＝________. 答案 4解析 根据双曲线方程得n (12－n )>0，∴0<n <12，∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12，则双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4. 8.(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________.答案 3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 三、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上.(3)解 21MF F S ＝12×43×|m |＝6.10.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0. ① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2kk 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0).则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0. ③把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ， ∴b a ·(－b c)＝－1， 整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 2.(2013·重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2 B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A.4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D. 4.(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53.6.已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积.解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 且满足⎩⎨⎧ a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0).将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去).∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33). 当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0.所以x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴. ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。
高三数学一轮复习 第9单元 9.2 基本算法语句与算法案例课件 理 新人教A版
按照从内到外的顺序，依次计算多项式x＝3时的值： v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262， v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108， v7＝7 108×3＋0＝21 324，
∴当x＝3时，多项式的值为21 324.
9.2
基本算法语句与算法案例
(理解几种基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值 语句、条件语句、循环语句的含义)
1．赋值语句与输入、输出语句 (1)赋值语句的一般格式是：
(2)输入语句的一般格式是：
(3)输出语句我们主要介绍PRINT，其一般格式为：
2．条件语句
(1)IF－THEN－ELSE语句的一般格式为：
(2)IF－THEN语句的一般格式是：
3．循环语句
(1)WHILE语句的一般格式：
(2)UNTIL语句的一般格式：
4．算法案例
(1)辗转相除法：辗转相除法是用于 求两数最大公约数 的一种方法，这种算法 是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫 欧几里得算法 ． (2)秦九韶算法 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作 《数书九章》 中提出的一 种用于计算 多项式的值 的方法．
∴168和264的最大公约数为24.
解法二：采用更相减损术
264－168＝96,168－96＝72,96－72＝24,72－24＝48,48－24＝24，
∴168和264的最大公约数为24. (2)根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
依分析可知程序框图如图所示：
程序如下：
对于累加求和、累积求积问题，自然想到用循环语句设计算法，算法的设计又
高考数学一轮复习配套课件：9.2基本算法语句与算法案例(北师大_数学理)
T甌第9章扩步糸统调音第二节基本算法语句与算法案例❼回扣•主干知領感悟・经典考题逐聚焦.典例精析课时提丝：扌•温馨提示y ................... .• ♦如果您在观看本课件的过: 召程中出现压字现象，请关闭所I ¥有幻灯片.畫复打开可正常观i :看，若有不便，敬请谅解！• •语句、条件语句、循环语句的含义. 2•了解简单的算法案例.◎考纲点击― 1 n 解儿种基本算法语句 三年2考高考指数:★ 输入语句、输出语句、赋值 扣•回考情播报八1 •利用算法语句写出程序是考查的重点，在内容上以条件语句和循环语句为主;2•在考查形式上以选择题和填空题为主，重在考查对算法语句和算法案例的理解和应用.回考点梳理八选择结构1 •条件语句(1)条件语句是表达最常用的语句.【即时应用】⑴已知算法语句:输入XIf x>0 Theny=iElsey=-iEnd If输出y若输入X的值为3,则输出y的值是(2)以下算法语句运行后实现的功能为_________第9章扩步糸统调音输入a, b, cIf b>a Thent=aa=bb=tEnd If厂第9章扩步糸统调音If c>a ThenEnd t=a a=c c=t IfIf c>b ThenEndt=b b=c c=t If输出b, c【解析】（1）上述算法语句的功能是求函数r的函数值, ・当二3俅F。
”二］（瓠看法餉看］该题是将a,b,c按从大到小的帧序排列后再输出.答案:（1）1E）将a,b,c按从大到小的顺序扫咧后再输出(2)循环语句的格式 语句的一般形式是：_____ 循环变量二初始值To 终值循环体Next ②Do Loopin 句的一般形式是:_________ 条件为真Loop While2 •循环语句 ⑴算法中的循环结构 _________ 是由循环语句来实现的. Do 循环体【即时应用】(1)已知算法语句:S=1For i=lTo5S=3*SNext输出S以上算法语句运行后输出的结果是厂(2)以下算法语句运行后输出的结果为__________ i=lDo i=i+2S=2*i+3Loop While i<8输出SI CXI 8"寸0(1二{<帥 」CN H m + 6x CN H S ^・园ffllt ®®亟a ■寸 m A m x m x m xmHSlts/sda®・mmAmxmxm H S lt l /s (川® ・T ^X T i ^A a 【拓噩】T甌第9章扩步糸统调音聚焦J典例精析w^©热点考向1 条件语句匕法点睛谕年语句的应用及注意点(1)条件语句是高考的一个热点，常与比较大小或分段函数求值相结合(2)当有条件语句的嵌套时，难度较大，突破方法是利用分段函数的形式，写出程序的执行过程及结果，再进行分析.(3)读、写条件语句时，注意If与End If的配对.第9章扩步糸统调音【提醒】嵌套的条件语句,首字母要依次缩进.T甌第9章扩步糸统调音'"【例1】（1）（2011.江苏高考改编）根据下面的算法语句,当输入a, b分别为2, 3时，最后输出的m的值是______ .输入a, bIf a>b ThenElsem=bEndIf输出m第9章扩步糸统调音(2)以下给出了一个程序，根据该程序回答：①若输入4,则输出结果是 _____________ ;②该程序的功能所表达的函数解析式为_______________ 输入xIf x<3 Theny=2*xElse厂T甌第9章扩步糸统调音第9章扩步糸统调音If x>3ElseEnd If End输出y Theny=x* x-1 y=2If:讎第9章扩步糸统调音【解题指南】本例中的两小题考查的是用条件语句表示的程序的运行,解题的关键是按照程序的顺序和条件语句的特点运行.【疑范解答】⑴输入a,b分别为2 , 3时，a > b不成立,所以执行Else后面的语句把b赋值给m ,可知输出的结果是3.(2)当£4时满足x> 3的条件,输出y=4x牛,该程序表ZF[2x (x < 3)T甌第9章扩步糸统调音的函数解析式是= 2X12-1(x=3)(x>3)答案：(1)3厂2x(x<3)y=<2(x=3)⑵①15②x2-l(x>3T甌第9章扩步糸统调音［反思.感悟】解答或编写有条件语句的程序时注意条件满足与不满足所对应的不同结果,另外还要注意If・Then- Else-End I啲配对，尤其在嵌套结构时，一层配对就是一个完整的选择结构,在书写程序时易漏掉某一部分.第9章扩步糸统调音(5)热点考向2 循环语句W法点睛十侑环语句的应用及注意点(1)循环语句在高考中常与统计或数列相联系.(2)在预先知道循环次数的循环结构中，For语句和Do Loop 语句一般可以互相转化，在预先不知道循环次数的循环结构中，不能用For•语句，一般用Do Loop语句.T甌第9章扩步糸统调音【例2】设计一个计算1X3X5X7X...X99的算法，并用循环语句（For语句）描述.【解题指南】这是一个计算从1开始50个连续奇数乘积的问题,用循环语句写出其算法.【规范解答】算法如下：l.S=L2.i =3.3.S=Sxi.4・i二i + 2.第9章扩步糸统调音T甌第9章扩步糸统调音5•如果£99 ,那么转到第3步.6 •输出S.循环语句（For语句）为：S=1i=3For i = 3 To 99 Step 2 S=S*iNext输出S:讎第9章扩步糸统调音【反思・感悟】用Do Loop语句写算法时,要注意Loop Whil e后面的条件，只要条件为真就执行循环体.感悟汀经典考题亠@）考题研析乂0■错閔Ft环结束条件的确定致误【典例】（2012•上饶模拟）下面是一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充（）s=oi= 1Do输入虫s=s+工i=i+lLoop While _________a = S/20 输出a(A)i>20 (B)i<20(C)i>20 (D)i<20【解题指南】程序是利用循环求出20个数的和，再求这20个数的平均数,故结束条件应是满足累加了20个数, 又计数变量i从1开始,故结束条件为A21或i > 20.【规范解答】选D.设20个数分别为％ , x2,…,x19/x20/ 由程序知：i = l时.进入循环S=0+x1=x1/i=2时,进入循环S=Xi+X2，i=3时，进入循环S=X]+X2+X3,• • •i二k时,进入循环S=Xi+X2+・・・+Xk,.•若有S=Xi+X2+-・+X2o,贝川=20时进入循环,i>21或〉20时退出循环.厂［阅卷人点拨］通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下误区警示和备考建议:在解答本题时，有以下两点易造成失误:(1)错选C.对循环过程不清楚，误解了Loop While表失示的含义.分⑵错选A.对D。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章 解析几何 9.2
§9.2 两直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l2.( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. ( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ ) (4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ )2.若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A.52B.25C.10D.－10答案 D解析 ∵a －03－(－2)＝－2，∴a ＝－10.3.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 答案 －4解析 因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝⎛⎭⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4. 4.已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为_____________. 答案 x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0解析 设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝ 2.∴|c ＋1|＝2，即c ＝1或c ＝－3.5.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________. 答案342 解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝34 2.题型一 两条直线的平行与垂直例1 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值. (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.思维启迪 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况.解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾).∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.已知两直线l1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解(1)方法一当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 当sin α≠0时，k1＝－1，k2＝－2sin α.sin α＝－2sin α，要使l1∥l2，需－1sin α即sin α＝±22.，k∈Z，此时两直线的斜率相等.所以α＝kπ±π4故当α＝kπ±π，k∈Z时，l1∥l2.4方法二由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±22.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.，k∈Z.所以α＝kπ±π4故当α＝kπ±π，k∈Z时，l1∥l2.4(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.题型二两直线的交点例2过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.思维启迪求直线的方程一般需要两个已知条件，本例已知直线l过一定点P(3,0)，还需要寻求另一个条件.这一条件可以是斜率k或另一个定点，因此，有两种解法.解方法一设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0.解之，得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3,0)是线段AB 的中点，由x A ＋x B ＝6得 3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 方法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，则l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，(6－x 1)＋(－y 1)＋3＝0.解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为(113，163)，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.思维升华 (1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.(2)常见的三大直线系方程①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是 A x ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C ).②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是 Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R ).③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1 ＝0上，求其方程.解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.题型三 距离公式的应用例3 正方形的中心在C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程.思维启迪 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数.解 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式.已知点P (2，－1).(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)垂直于x 轴的直线满足条件.此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解之得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1. 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且与原点距离为6的直线. 题型四 对称问题例4 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程.思维启迪 解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题. 解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0.解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′(－3313，413).(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)， 则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×(a ＋22)－3×(b ＋02)＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′(613，3013).设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.思维升华 解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解.光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.方法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－yx 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.转化与化归思想在对称问题中的应用典例：(12分)已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4). (1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大.思维启迪 处理此类解析几何最值问题时，一般转化为一条线段的长度来计算. 规范解答解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝8，故A ′(－2,8).[3分]P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点， [5分] 解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2x －2y ＋8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2,3). [7分] (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，[9分]又直线AB 的方程为y ＝x －2， 解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2x －2y ＋8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10). [12分] 温馨提醒 在直线l 上找一点P 到两定点A ，B 的距离之和最小，则点P 必在线段AB ′上，故将l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P 到两定点A ，B 的距离之差最大，则点P 必在AB ′的延长线、或BA ′的延长线上，故将l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A ′， B ′为点A ，B 关于l 的对称点).方法与技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.失误与防范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件.2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0答案 A 解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确.3.已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A.2x ＋3y －18＝0B.2x －y －2＝0C.3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D.2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0答案 D解析 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.4.设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B ，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直.5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A.210B.6C.3 3D.2 5 答案 A解析 由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.二、填空题6.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 35解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 7.若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________.答案 ①⑤解析 两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧ m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345. 三、解答题 9.若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程.解 过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ＋y －6＝0， 求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求.设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0y ＋1＝k (x －1)， 得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行).则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2). 由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1.(2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.－12B.1C.2D.12 答案 C解析 圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直.∴k OP ＝2－02－1＝2， 又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直.∴a ＝k OP ＝2，选C.2.已知直线l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2( )A.通过平移可以重合B.可能垂直C.可能与x 轴围成等腰直角三角形D.通过绕l 1上某一点旋转可以重合答案 D解析 l 1的斜率sin α∈[－1,1]，l 2的斜率为2，积可能为－1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l 1绕交点旋转可与l 2重合.3.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________.答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3).∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6.4.点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________.答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示.由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝(2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.5.(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.答案 (2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. ①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4). 6.如图，函数f (x )＝x ＋2x 的定义域为(0，＋∞).设点P 是函数图象 上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.(1)证明 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0).则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1.(2)解 直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM | ＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0 ＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2， 当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立， 因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.。
高考理科数学一轮复习课时提升作业：第9章 9.1《算法与程序框图、基本算法语句》(含答案)
一、选择题(每小题5分,共25分)1.运行如图所示的程序,输出的结果是( )A.7B.8C.5D.3【解析】选B.a=3,b=5,a=a+b=3+5=8.所以输出的结果是8.2.阅读程序框图如图,若输入的a,b,c分别为16,28,39,则输出的a,b,c分别是( )A.39,16,28B.16,28,39C.28,16,39D.39,28,16【解析】选A.依次执行程序框图知x=16,a=39,c=28,b=16,因此输出结果为39,16,28.3.(2015·北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)【解析】选B.x=1,y=1,k=0;s=0,t=2;x=0,y=2,k=1;s=-2,t=2,x=-2,y=2,k=2;s=-4,t=0,x=-4,y=0,k=3.输出(-4,0).4.(2016·聊城模拟)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出k的值是6,则满足条件的整数S0的个数有( )A.31B.32C.63D.64【解析】选B.输出k的值为6,说明最后一次参与运算的k=5,所以S=S0-20-21-22-23-24-25=S0-63,上一个循环S=S0-20-21-22-23-24=S0-31,所以S0-31>0,S0-63≤0,所以31<S0≤63,总共有32个满足条件的S0.【加固训练】(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈,则输出的S∈( )A. B.C. D.【解题提示】由判断框分两种情况讨论,再求两种情况下两个函数的值域,最后求这两个值域的并集.【解析】选D.当t∈时,把2t2+1的值赋给t,再判断t>0,把t-3的值赋给S,所以当t ∈时,S=2t2-2,此时S∈;当t∈时,把t-3的值赋给S,S=t-3,此时S∈,所以由S∈与S∈求并集得输出的S∈.5.(2016·菏泽模拟)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=a n+n,利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框中应填的语句是( )A.n>10?B.n≤10?C.n<9?D.n≤9?【解析】选D.第一次计算的是a2,此时n=2,…,第九次计算的是a10,此时n=10要结束循环,故判断框中填写n≤9?或n<10?.【加固训练】为了求满足1+2+3+…+n<2016的最大的自然数n,程序框图如图所示,则输出框中应填( )A.输出i-2B.输出i-1C.输出iD.输出i+1【解析】选A.依次执行程序框图:S=0+1,i=2;S=0+1+2,i=3;S=0+1+2+3,i=4;…由此可得S=1+2+3+…+k时,i=k+1;经检验知当S=1+2+3+…+62=1953时,i=63,满足条件进入循环;当S=1+2+3+…+62+63=2016时,i=64,不满足条件,退出循环.所以应该输出62,即输出i-2. 【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:(1)循环规律不明确,导致S与i的关系错误.(2)程序框图中S=S+i与i=i+1的逻辑顺序不明确,导致错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·淄博模拟)如图,是计算函数y=的值的程序框图,则在①,②,③处应分别填入的是①;②;③.【解析】根据自变量的取值选取正确的解析式即可,所以①处应填y=1-2x;②处应填y=3x+2;③处应填y=0.答案:y=1-2x y=3x+2 y=0【加固训练】运行如图所示的程序框图,若输出的结果是62,则判断框中整数M的值是.【解析】因为0+21+22+23+24+25==62,结合题干所给的框图可知,M=5. 答案:57.(2016·临沂模拟)如图是一个程序框图,则输出的k的值是.【解析】根据程序框图可知,k=1时,12-1×6+5≤0;k=2时,22-2×6+5≤0;k=3时,32-3×6+5≤0;k=4时,42-4×6+5≤0;k=5时,52-5×6+5≤0;k=6时,62-6×6+5>0,故输出的k的值是6.答案:6【一题多解】本题还可以采用如下解法:只需求出不满足k2-6k+5≤0的最小正整数k就行,显然是6.答案:68.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果S= .【解析】由程序框图知,S可看成一个数列{a n}的前2016项和,其中a n=(n∈N*,n≤2016),所以S=++…+=1-+-+…+-=1-=.故输出的是.答案:三、解答题9.(10分)下面是一个用基本语句编写的程序,阅读后解决所给出的问题:(1)该程序的功能是什么?(2)画出该程序相应的程序框图.【解析】(1)由程序可知,该程序的功能是计算分段函数y=的函数值.(2)程序框图如图:【加固训练】1.设计一个计算1+3+5+7+…+99的值的程序,并画出程序框图. 【解析】方法一:(当型语句)程序如下:程序框图如图(1)所示.方法二:(直到型语句)程序如下:程序框图如图(2)所示.2.(2016·济宁模拟)根据下面的要求,求满足1+2+3+…+n>500的最小的自然数n.(1)下面是解决该问题的一个程序,但有3处错误,请找出错误并予以更正.(2)画出执行该问题的程序框图.【解析】(1)错误1 S=1,改为S=0;错误2 S>=500,改为S>500;错误3 PRINT n+1,改为PRINT n-1.(2)程序框图如图:1.(5分)(2016·烟台模拟)如图所示的程序框图中,输入A=192,B=22,则输出的结果是( )A.0B.2C.4D.6【解析】选B.输入后依次得到:C=16,A=22,B=16;C=6,A=16,B=6;C=4,A=6,B=4;C=2,A=4,B=2;C=0,A=2,B=0.故输出的结果为2.2.(5分)(2015·全国卷Ⅱ)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为( )A.0B.2C.4D.14【解析】选B.程序框图在执行过程中,a,b的值依次为a=14,b=18;b=4;a=10;a=6;a=2;b=2,此时a=b=2程序结束,输出a的值为2.【加固训练】如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的是( )A.n=n+2,i=15?B.n=n+2,i>15?C.n=n+1,i=15?D.n=n+1,i>15?【解析】选B.1+++…+是连续奇数的前15项倒数之和,所以n=n+2,即执行框中的①处应填n=n+2;根据程序框图可知,循环一次后s=1,i=2,循环两次后s=1+,i=3,所以求s=1+++…+需要循环15次,i=16时,跳出循环,所以判断框中的②处应填i>15?.3.(5分)有以下程序:根据以上程序,若函数g(x)=f(x)-m在R上有且只有两个零点,则实数m的取值范围是.【解析】由题意知,f=画出f(x)的图象如图所示.若函数g(x)=f(x)-m有两个零点,即直线y=m与函数y=f(x)有两个交点,故m<0或m=1.答案:m<0或m=14.(12分)甲、乙两位同学为解决数列求和问题,试图编写一程序.两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2.(1)根据图1和图2,试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致?当n=20时分别求它们输出的结果.(2)若希望通过对图2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为2,公比为3的等比数列的前n项和”,请你给出修改后虚框部分的程序框图.【解析】(1)图1中程序框图的功能是求2+4+6+8+…+2n的和,当n=20时,S=2+4+6+…+40=420.图2中程序框图的功能是求2+4+6+…+2n的和,当n=20时,S=2+4+6+…+40=420.所以甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是一致的.(2)修改后虚框部分程序框图为5.(13分)已知数列{a n}满足如图所示的程序框图.(1)写出数列{a n}的一个递推关系式.(2)证明:{a n+1-3a n}是等比数列,并求{a n}的通项公式.(3)求数列{n(a n+3n-1)}的前n项和T n.【解题提示】该题利用程序框图给出了一个数列的递推关系式,进一步求有关数列的通项公式和前n项和,可从数列的有关知识入手.【解析】(1)由程序框图可知,a1=a2=1,a n+2=5a n+1-6a n.(2)由a n+2-3a n+1=2(a n+1-3a n),且a2-3a1=-2可知,数列{a n+1-3a n}是以-2为首项,2为公比的等比数列,可得a n+1-3a n=-2n,即=-,因为-1=,又-1=-,所以数列是以-为首项,为公比的等比数列,所以-1=-,所以a n=2n-3n-1(n∈N*).(3)因为n(a n+3n-1)=n·2n,所以T n=1·2+2·22+…+n·2n①,2T n=1·22+2·23+…+n·2n+1②,两式相减得T n=(-2-22-…-2n)+n·2n+1=-+n·2n+1=2-2n+1+n·2n+1=2n+1+2(n∈N*).【加固训练】根据如图所示的程序框图,将输出的x,y值依次分别记为x1,x2,…,x n,…,x2008;y1,y2,…,y n,…,y2008.(1)求数列{x n}的通项公式x n.(2)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{y n}的一个通项公式y n,并证明你的结论.(3)求z n=x1y1+x2y2+…+x n y n(n∈N*,n≤2008).【解析】(1)由框图,知数列{x n}中,x1=1,x n+1=x n+2,所以x n=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n ≤2008).(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.由此,猜想y n=3n-1(n∈N*,n≤2008).证明:由框图,知数列{y n}中,y n+1=3y n+2,所以y n+1+1=3(y n+1),所以=3,y1+1=3.所以数列{y n+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.所以y n+1=3·3n-1=3n,所以y n=3n-1(n∈N*,n≤2008).(3)z n=x1y1+x2y2+…+x n y n=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-,记S n=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n,①则3S n=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1,②①-②,得-2S n=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1=2(3+32+…+3n) -3-(2n-1)·3n+1=2×-3-(2n-1)·3n+1=3n+1-6-(2n-1)·3n+1=2(1-n)·3n+1-6,所以S n=(n-1)·3n+1+3.又1+3+…+(2n-1)=n2,所以z n=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2008).。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章 解析几何 9.8
§9.8曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件. (√)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线. (×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线. (×)2.方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是 ( )答案 C解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分.3.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A.2x ＋y ＋1＝0B.2x －y －5＝0C.2x －y －1＝0D.2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.4.已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________. 答案 y 2＝x解析 PB →＝(3－x ，－y )，P A →＝(－2－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(3－x )(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .5.已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案 4π解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π.题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ，则由动 圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32).思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案 D解析 由已知得，|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线.题型二 相关点法求轨迹方程例2设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.思维启迪设△ABC的重心坐标为G(x，y)，利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标(用x，y表示)代入抛物线方程即得所求.解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为C (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . 由于G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a ).又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ，∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )(x ≠(6±25)a ).思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x y 0＝12y. ∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点.思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0).又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x . (2)证明 由题意，设直线l 的方程为 y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0).思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y ). ∴P A →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4). 由已知P A →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：(12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹.思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确. 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.[2分]所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)， 即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1.又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[6分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]，设P (x ，y 0)， 因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2.得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2].[9分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y2＝12，点Q的轨迹方程为y＝±23，x∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x轴的线段；当λ2<14，即0<λ<12时，得到x23λ2－14＋y23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；[11分]当λ2>14，即λ>12时，得到x23λ2－14＋y23λ2＝1，此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分.[12分]温馨提醒此题求轨迹既有直接法，又有相关点法.求出轨迹方程后，容易忽略x的范围，导致轨迹图形出错.备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.失误与防范1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是 ( )A.满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上B.方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程C.方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是CD.以上说法都正确答案 C解析 曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C 正确.2.设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆 答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线.3.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.(x －1)2＋y 2＝4C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2，∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4.△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1 (x >3) D.x 216－y 29＝1 (x >4) 答案 C解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3). 5.有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( ) A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线 答案 D解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形，∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝(x －a )2＋y 2， ∴|x |＝32·(x －a )2＋y 2. 整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即(x ＋3a )212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线.二、填空题6.设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________.答案 椭圆解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|MP |＝|OM |＋|MA |，即|OM |＋|MA |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0 )的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆.7.已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________________.答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 设A (x ，y )，则D (x 2，y 2)，∴|CD |＝ (x 2－5)2＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A 、B 、C 三点构成三角形，∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.8. P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________________.答案 x 24a 2＋y 24b2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ → ＝(－x 2，－y 2)， 即P 点坐标为(－x 2，－y 2)， 又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y 2)2b 2＝1上， 即x 24a 2＋y 24b2＝1. 三、解答题9.已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程.解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0). 由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0). ∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1). ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1a ·(32)2＋b ·(－1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. 10.已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点).若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，则点D 的坐标为D (x 0,0)，∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝0y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝32y . ∵P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)存在.假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2y 1＋y 2＝2. 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上， ∴⎩⎨⎧ x 219＋y 214＝1x 229＋y 224＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0. ∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)， 此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )A.过点P 且平行于l 的直线B.过点P 且垂直于l 的直线C.不过点P 但平行于l 的直线D.不过点P 但垂直于l 的直线答案 A解析 由题意知f (x 0，y 0)≠0，又f (x 0，y 0)－f (x 0，y 0)＝0，∴直线f (x ，y )＝0与直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0平行，且点P 在直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0上.2.平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2， 又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线.3.点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案 A解析 如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N .∵|PF 2|＝|PN |，∴|F 1N |＝2a .连接OM ，则在△NF 1F 2中，OM 为中位线，则|OM |＝12|F 1N |＝a .∴M 的轨迹是圆. 4.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是______________.答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析 设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形，∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2).5.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与 P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________.答案 y 2＝23x －19解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH 、PM ， 可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.6.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆 x 2＋y 2＝1上运动时.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标.解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y 2，① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋tx 2＋y24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1，所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝ (1＋k 2)[4k 2t 2(4＋k 2)2－4(t 2－4)4＋k 2]＝43|t |t 2＋3. 因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |， 且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1， 此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。
2015届高考数学总复习配套课件：9-1 算法与程序框图
＝12，故输出的y值是12，选C.
业 有 限
答案：C
公 司
菜 单 隐藏
第十五页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点
4．当a＝1，b＝3时，执行完下面一段过程后x的值是________．
探究
悟典题 能力 提升
提素能 高效 训练
山
东
金
解析：∵a<b，∴x＝a＋b＝4.
第二十五页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
反思总结
悟典题 能力
1．输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．
提升
提素能
2．在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需
高效
训 练 要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序
)
能力
提升 提素能
1 A.6
25 B.24
高效
训练
3
11
C.4
D.12
山
东
解析：由流程图知S＝0＋12＋14＋16＝1112.
金 太 阳
书
答案：D
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十四页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干
考点 解密
3．(2014年海淀第二学期期中)某程序框图如图所示，执行该程
第九章 算法、统计、统计案例
第一页，编辑于星期五：十点 十六分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向
高考数学总复习 第九章 第二节 基本算法语句课时精练
第二节 基本算法语句1．赋值语句s ＝s ＋2的含义是( ) A ．将s 的值赋给s ＋2 B ．将s 的值加2后赋给s C ．s 和s ＋2相等D ．无法运行因为s ＝s ＋2不成立答案：B212( )A ．7B ．10C ．5D ．8解析：∵x 1＝2≠3＝x 2，∴执行y ＝x 1＋x 2＝2＋3＝5.故选C. 答案：C3．(2013·山东高考信息导航卷)有这样的算法： 第一步，设i 的值为1. 第二步，设sum 的值为0.第三步，若i ≤100，执行第四步，否则转去执行第七步． 第四步，计算sum ＋(i ＋1)/i ，并将结果代替sum. 第五步，计算i ＋1，并将结果代替i . 第六步，转去执行第三步．第七步，输出sum 的值，并结束算法． 这个算法是 ( )A ．求2＋32＋43＋…＋10099的和B ．求2＋32＋43＋…＋101100的和C ．求1＋12＋23＋…＋99100的和D ．求1＋21＋32＋43＋…＋10099的和解析：当i ＝1时，sum ＝0＋21＝2；当i ＝2时，sum ＝2＋32；当i ＝3时，sum ＝2＋32＋43；…；INPUT x1 x2IF x1＝x2 THEN x1＝x1＋x2 END IF y ＝x1＋x2 PRINT y END当i ＝100时，sum ＝2＋32＋43＋…＋101100；当i ＝101时，不符合条件i ≤100，输出sum 的值并结束． 答案：B4．读程序回答问题。
乙：对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是 ( )A ．程序不同，结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同解析：从两个程序可知它们的程序语句不同，但其算法都是求1＋2＋3＋…＋1 000，故结果相同．答案：B5．(2013·盐城三模改编)某算法的程序如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：该程序表示一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log 2x ，x >0，的求值， 因为输出值为3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝3，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＝3，x >0.解得x ＝8. 答案：C6．读下面程序，当输出的y 的范围大于1时，则输入的x 值的取值范围是( )i ＝1 000S ＝0 DOS ＝S ＋i i ＝i －1LOOP UNTIL i<1 PRINT S END i ＝1 S ＝0WHILE i<＝1 000 S ＝S ＋i i ＝i ＋1 WEND PRINT S END Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2 Elsey ←log 2x End If Print yA ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：由程序可得输出结果y 为关于x 的函数，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ≤0.∵y >1，∴①当x ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1，即2－x>2，∴－x >1，∴x <－1.②当x >0时，x >1，即x >1，故输入的x 值的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选C. 答案：C7．(2013·宿迁一模)如下页图，是一个算法的程序，则输出的结果是________．(符解析：该程序的意义为当S ≤24时，执行循环I ＝I ＋1；S ＝S ×I .程序运行如下： 第1次循环：I ＝I ＋1＝2，S ＝1×2＝2， 第2次循环：I ＝2＋1＝3，S ＝2×3＝6， 第3次循环：I ＝3＋1＝4，S ＝6×4＝24， 第4次循环：I ＝4＋1＝5，S ＝24×5＝120，此时，S 不再满足S ≤24，跳出循环，输出I .故答案为：5. 答案：5 8．(2013·江苏常州上学期期末)根据如图所示的算法，可知输出的结果为________．(符号“←”与“：”及“＝”都表示赋值)INPUT xIF x ＞0 THEN y ＝SQR x ELSEy ＝0.5^x －1 END IF PRINT y ENDI ←1 S ←1While S ＜＝24 I ←I ＋1 S ←S ×I End While Print I解析：运行该程序，可得第一次循环：S ＝20，n ＝1；第二次循环：S ＝20＋21，n ＝2；第三次循环：S ＝20＋21＋22，n ＝2； ……依此类推，当S ＝20＋21＋22＋ (2)＞1 023时，输出下一个n 值， 由以上规律，可得：当n ＝10时，S ＝20＋21＋22＋…＋210＝2 047，恰好大于1 023，n 变成11并且输出． 答案：119．下面程序的作用是求11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 011×2 012的值．现把它补充完整：①处应填______________；②处应填______________．答案：①s＝s ＋1/(k*(k ＋1)) ②k>2 01110．给出某班45名同学的数学测试成绩，60分及以上为及格，要求统计及格人数、及格同学的平均分、全班同学的平均分．画出程序框图，并写出程序语句．解析：用M 表示及格人数．S 表示及格同学的总分，P 表示及格同学的平均分，T 表示全班同学的平均分．则程序框图如下：S ←0 n ←0While S ＜＝1 023 S ←S ＋2n n ←n ＋1 End While Print ns ＝0 k ＝1 DO ①k ＝k ＋1 LOOP UNTIL ② PRINT s END11．2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰，那么多少年后我国人口将达到15亿？设计一个算法的程序．解析：12．某企业工资调整，规定如下：基本工资大于或等于600元，工资增加20%；若小于600元大于等于400元，则工资增加15%；若小于400元，则工资增加10%.请编写一个程序，使其能根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资．解析：设用户基本工资为x 元，增加后的工资为y 元，则y 与x 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×（1＋10%），0＜x ＜400，x ×（1＋15%），400≤x ＜600，x ×（1＋20%），x ≥600.程序如下：A ＝13 R ＝0.007 i ＝1 DOA ＝A*（1＋R ） i ＝i ＋1LOOP UNTIL A ＞＝15 i ＝i －1PRINT “达到或超过15亿人口需要的年数为：”；i ENDINPUT “x ＝”； xIF x<＝0 THEN PRINT “error ” ELSEIF x<400 THEN y ＝x*（1＋0.1） ELSEIF x<600 THEN y ＝x*（1＋0.15） ELSEy ＝x*（1＋20%）END IF END IF END IFPRINT “y ＝”； y END。
2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第九章第2课时
第九章
计数原理、概率、随机变量及其分布
2．在本例条件下，求： (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端．
解：(1)先排甲有 4 种，其余有 A6 6种， 故共有 4· A6 6＝ 2 880(种 )排法． (2)先排甲、乙，再排其余 5 人，
5 共有 A2 2· A5＝ 240(种 )排法．
2 的个数为 C2 A 3 2＝ 6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则 1 1 满足题意的四位数的个数为 C1 2 ·C3 ·C3 ＝ 18.由分类加法计数
原理得，满足题意的四位数的个数为 6＋ 18＝ 24.
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第九章
计数原理、概率、随机变量及其分布
2 x －7 x 7或9 ． 4．若 C20 ＝ C20，则 x＝ ________
2 3 “男生甲和女生乙不能同时入选”的选法有 C5 12－ C 2C10＝
672(种)．
栏目 导引
第九章
计数原理、概率、随机变量及其分布
排列、组合的综合应用
(1)(2014· 辽宁丹东质检 )从 1，2，3，4，5，6，7 这七 个数字中任取两个奇数和两个偶数， 组成没有重复数字的四 位数，其中奇数的个数为 ( C ) A． 432 B．288 C． 216 D． 108 (2)(2013· 高考浙江卷)将 A， B， C， D， E， F 六个字母排成 480 一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有________ 种 (用数字作答 )．
栏目 导引
第九章
计数原理、概率、随机变量及其分布
m 熟练掌握 Am (C n n )的乘积与阶乘两种公式形式，前者主要用
于计算， 后者适用于化简、 证明、 解方程与解不等式 (组 )等． 并 注意 n 必须为正整数，m 为非负整数，且 n≥ m，因此，求 出方程或不等式 (组 )的解后，要进行检验，把不符合的解舍 去．
高考数学 第九章 第二节基本算法语句课件 理
【提醒】从IF与END IF的配对上，可以帮助辨认条件结构的 嵌套.
【例2】(1)根据如图所示的程序语句，当输入a，b分别为2，3 时，最后输出的m的值是______.
INPUT a，b IF a>b THEN m=a ELSE m=b END IF PRINT m END
(2)以下给出了一个程序，根据该程序回答： ①若输入4，则输出结果是______； ②该程序的功能所表示的函数解析式为______.
ELSE y=a*a
END IF PRINT y END
(3)下面程序执行后输出的结果是______.
n=5 S=0 WHILE S<15
S=S+n n=n－1 WEND PRINT n END
【解析】(1)①，②，③，⑤ 是基本算法语句的种类；
④⑥不是.
(2)该程序揭示的是分段函数y=
2a, a＜10 a2,a 10
①4=M是赋值语句
()
②M=-M是赋值语句
()
③输入语句可以同时给多个变量赋值
()
④输出语句可以输出常量、变量的值，但不能运算 ( )
⑤赋值号“=”两边可以交换
()
【解析】根据赋值语句的格式与功能，可知赋值号左侧是变量， 右侧是表达式，两边不能随意交换.所以①错②对⑤错；输入 语句可以同时给多个变量赋值，③对；输出语句可以把表达式 的值运算后输出，起到了运算的作用，④错. 答案:①× ②√ ③√ ④× ⑤×
(1)判断下列语句是否是基本算法语句(请在括号内填“是”或
“否”).
①INPUT语句；( )
②PRINT语句；( )
③IF-THEN语句；( )
④END语句；( )
⑤WHILE语句；( )
【全程复习方略】(福建专版)高考数学 第九章 第二节基本算法语句课件 理
【解题指南】本题中的两小题考查的是用条件语句表示的程序 的运行，解题的关键是按照程序的顺序和条件语句的特点运行 . 【规范解答】(1)输入a,b分别为2，3时，a＞b不成立，所以执 行ELSE后面的语句,把b赋值给m，可知m=3,输出的结果是3. (2)当x=4时满足x＞3的条件，输出y=4×4-1=15，该程序表示的 函数解析式是
l=SQR(2)*a S=a*a PRINT END “l=”；l，“S=”；S
热点考向 2 【方法点睛】
条件语句
条件语句的应用 条件语句是高考的一个热点，常常考查比较大小或与分段函数 相联系，在不同的条件下执行不同的步骤.与分段函数联系时， 执行结果相当于求分段函数的函数值.当有条件语句的嵌套时，
(2)当a=3时，下面的程序段输出的结果是______.
IF a＜10 y=2*a ELSE y=a*a END PRINT IF y THEN
END
(3)下面程序执行后输出的结果是______. n=5 S=0 WHILE S=S+n S<15
n=n－1
WEND
END
n
【解析】(1)①，②，③，⑤ 是基本算法语句的种类； ④⑥不是.
热点考向 1
【方法点睛】
输入、输出、赋值语句
输入、输出、赋值语句的注意点 (1)输入语句中的各变量之间用“，”隔开，最后一个变量后不 能加标点符号. (2)输出语句：输出语句中的提示内容与表达式中的变量之间必 须用“；”隔开.
(3)赋值语句：赋值号“=”的左边只能是变量名，右边是表达 式，左右两边不能交换；特别注意赋值号与等号的区别.
①4=M是赋值语句
②M=-M是赋值语句
(
(
2015届高考数学总复习 第九章 第一节算法的概念与程序框图课时精练试题 文(含解析)
第九章算法初步、统计与统计案例、概率第一节算法的概念与程序框图1．算法具有确切性，其确切性是指( )A．算法一定包含输入、输出B．算法的每个步骤是具体的、可操作的C．算法的步骤是有限的D．以上说法都不正确答案：B2．(2013·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A ．1 B.23 C.1321 D.610987解析：执行一次循环后S ＝23，i ＝1，执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321.答案：C3．(2013·石家庄模拟)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A．2 B．3 C．5 D．7解析：当a＝1时，进入循环，此时b＝21＝2；当a＝2时，再进入循环，此时b＝22＝4；当a＝3时，再进入循环，此时b＝24＝16，所以当a＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a≤3，故选B.答案：B4．(2012·合肥模拟)如上图所示，该程序框图所输出的结果是( )A．32 B．62 C．63 D．64答案：D5．(2012·东北三校联考)如图，若依次输入的x 分别为56π，π6，相应输出的y 分别为y 1，y 2，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定解析：由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin 5π6＝12；当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2.故选C.答案：C6．(2013·福建卷)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和解析：第一次循环：S＝1，i＝2，i<10；第二次循环：S＝3，i＝3，i<10；第三次循环：S＝7，i＝4，i<10……第九次循环：S＝29－1，i＝10，i＝10.第十次循环：S＝210－1，i＝11，i>10，输出S.根据选项，S＝－2101－2，故为数列{2n－1}的前10项和．故选A.答案：A7．(2013·重庆卷)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9解析：当k ＝2时，s ＝log 23，当k ＝3时，s ＝log 23·log 34，当k ＝4时，s ＝log 23·log 34·log 45.由s ＝3，得lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×…×k ＋lg k＝3，即lg(k ＋1)＝3lg 2，所以k ＝7.再循环时，k ＝7＋1＝8，此时输出s ，因此判断框内应填入“k ≤7”．故选B.答案：B8．(2013·浙江卷)若某程序框图如上页图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：当k ＝5时，输出S .此时，S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝2－15＝95.答案：959．(2012·德阳模拟)下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图．已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在样本中记月收入在[)1 000，1 500，[1 500,2 000)，[2 000,2 500)，[2 500，3 000)，[3 000,3 500)，[3 500,4 000]的人数依次为A 1，A 2，…，A 6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n ＝________ ；图乙输出的S ＝__________(用数字作答)．解析：∵月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000，由图乙知输出的S ＝A 2＋A 3＋…＋A 6＝10 000－4 000＝6 000.答案：10 000 6 00010．(2013·南京二模)如图是一个算法流程图，其输出的n 值是________． 解析：程序运行如下：第一次循环：S ＝1＋3＝4，n ＝2； 第二次循环：S ＝1＋3＋6＝10，n ＝3； 第三次循环：S ＝1＋3＋6＋9＝19，n ＝4； 第四次循环：S ＝1＋3＋6＋9＋12＝31，n ＝5； 此时S ＝31＞20，故退出循环体，输出n ＝5. 答案：511．(2013·韶关二模)执行如图的程序框图，若p ＝4，则输出的S ＝________.解析：根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算S ＝12＋14＋18＋…＋12p .因为S ＝12＋14＋18＋…＋12p ＝1－12p .所以p ＝4.所以S ＝1516.答案：1516次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…(1)若程序运行中输出的某个数组是(t，－6)，则t＝________________；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为__________．解析：(1)按框图，x是公比为3的等比数列的项，y是公差为－2的等差数列的项，当y＝－6时，为第4项，这时x是等比数列的第4项，即t＝27.(2)n是公差为2的等差数列的项，当n＞2 012时，最大的项数为1 006，即输出(x，y)共1 006组．答案：(1)27 (2)1 00613．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．解析：第一次，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2；第二次，s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3；第三次，s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4；第四次，s＝5＋(－1)4＋4＝10>9，终止循环，输出结果10.答案：1014．执行下图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．解析：把l＝2，m＝3，n＝5代入y＝70l＋21m＋15n得y＝278，此时y＝278>105，第一次循环y＝278－105＝173，此时y＝173>105，再循环，y＝173－105＝68＜105，输出68，结束循环．答案：68。
高三数学一轮复习第九章第2课时基本算法语句算法案例与框图线下作业文试题
卜人入州八九几市潮王学校(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．以下赋值语句正确的选项是()A．a－b＝2 B．5＝aC．a＝b＝4 D．a＝a＋2解析：根据赋值语句的格式要求知，A、B、C均不正确，只有D正确．答案：D2．给出程序如以下列图所示，假设该程序执行的结果是3，那么输入的x值是()A．3 B．－3C．3或者－3 D．0解析：该算法对应的函数为y＝|x|，y＝3，那么x＝±3.答案：C3．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中数码2004折合成十进制数为()A．29 B．254C．602 D．2004解析：2004(5)＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝4＋0＋0＋250＝254.答案：B4．261和319的最大公约数是()A．3 B．7C．29 D．31解析：319＝261×1＋58，261＝58×4＋29，58＝29×2，∴最大公约数为29.答案：C5．下面方框中为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为()A．i＝20 B．i<20C．i>＝20 D．i>20解析：由于是求20个数的平均数，直到i>20时退出循环．答案：D6．(2021·模拟)下边的程序语句输出的结果S为()A．17 B．19C．21 D．23解析：i从1开场，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进展，故当i＝9时，跳出循环，故输出S＝2×7＋3＝17.答案：A二、填空题7．如图是地球温室效应图，该图是________．答案：流程图8．f(x)＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，那么f(9)＝________.解析：f(x)＝(((x＋4)x＋6)x＋4)x＋1v0＝1，v1＝9＋4＝13，v2＝13×9＋6＝123，v3＝123×9＋4＝1111，v4＝1111×9＋1＝10000，∴f(9)＝10000.答案：100009．以下程序执行后输出的结果是________．解析：i＝11，S＝11，i＝10；i＝10，S＝110，i＝9；i＝9，S＝990，i＝8；i＝8，i<9，S＝990.答案：990三、解答题10．求319,377,116的最大公约数.【解析方法代码108001124】解析：选用辗转相除法求319与377的最大公约数．∵377＝319×1＋58，319＝58×5＋29,58＝29×2，∴319与377的最大公约数是29.再求29与116的最大公约数．∵116＝29×4，∴29与116的最大公约数是29.故319,377,116的最大公约数是29.11．给出算法：第一步：输入大于2的整数n.第二步：依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，并打印出所有能整除n的数．试将上述算法写成程序．解析：12．某商场庆“五一〞实行优惠促销，规定假设购物金额x在800元以上(含800元)打8折；假设购物金额在500元以上(含500元)打9折；否那么不打折．请设计一个算法程序框图，要求输入购物金额x，能输出实际交款额，并写出程序．解析：程序框图：程序：。
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第二节 基本算法语句
1．赋值语句s ＝s ＋2的含义是( ) A ．将s 的值赋给s ＋2 B ．将s 的值加2后赋给s C ．s 和s ＋2相等
D ．无法运行因为s ＝s ＋2不成立
答案：B
2
12( )
A ．7
B ．10
解析：∵x 1＝2≠3＝x 2，∴执行y ＝x 1＋x 2＝2＋3＝5.故选C. 答案：C
3．(2013·山东高考信息导航卷)有这样的算法： 第一步，设i 的值为1. 第二步，设sum 的值为0.
第三步，若i ≤100，执行第四步，否则转去执行第七步． 第四步，计算sum ＋(i ＋1)/i ，并将结果代替sum. 第五步，计算i ＋1，并将结果代替i . 第六步，转去执行第三步．
第七步，输出sum 的值，并结束算法． 这个算法是 ( )
A ．求2＋32＋43＋…＋100
99的和
B ．求2＋32＋43＋…＋101
100的和
C ．求1＋12＋23＋…＋99
100的和
D ．求1＋21＋32＋43＋…＋100
99
的和
解析：当i ＝1时，sum ＝0＋2
1
＝2；
当i ＝2时，sum ＝2＋3
2；
当i ＝3时，sum ＝2＋32＋4
3
；…；
当i ＝100时，sum ＝2＋32＋43＋…＋101
100
；
当i ＝101时，不符合条件i ≤100，输出sum 的值并结束． 答案：B
4
乙：对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是 ( )
A ．程序不同，结果不同
B ．程序不同，结果相同
C ．程序相同，结果不同
D ．程序相同，结果相同
解析：从两个程序可知它们的程序语句不同，但其算法都是求1＋
2＋3＋…＋1 000，故结果相同．
答案： B
5．(2013·盐城三模改编)某算法的程序如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
解析：该程序表示一个分段函数y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2，x ≤0，
log 2x ，x >0，的求值， 因为输出值为3，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2＝3，
x ≤0
或⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ＝3，
x >0.
解得x ＝8. 答案：C
6．读下面程序，当输出的y 的范围大于1时，则输入的x 值的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ． (1，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．
(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：由程序可得输出结果y 为关于x 的函数，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ＞0，
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
－1，x ≤0.∵y >1，∴①
当x ≤0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1>1，即2－x
>2，∴－x >1，∴x <－1.
②当x >0时，x >1，即x >1，
故输入的x 值的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选C. 答案：C
7．(2013·宿迁一模)如下页图，是一个算法的程序，则输出的结果是________．(符号
解析：该程序的意义为当S ≤24时，
执行循环I ＝I ＋1；S ＝S ×I .程序运行如下： 第1次循环： I ＝I ＋1＝2，S ＝1×2＝2， 第2次循环：I ＝2＋1＝3，S ＝2×3＝6， 第3次循环：I ＝3＋1＝4，S ＝6×4＝24， 第4次循环：I ＝4＋1＝5， S ＝24×5＝120，
此时，S 不再满足S ≤24，跳出循环，输出I .故答案为：5. 答案：5 8．(2013·江苏常州上学期期末)根据如图所示的算法，可知输出的结果为________．(符号“←”与“：”及“＝”都表示赋值)
INPUT x
IF x ＞0 THEN y ＝SQR x ELSE
y ＝0.5^x －1 END IF PRINT y END
解析：运行该程序，可得
第一次循环：S ＝20
，n ＝1；
第二次循环：S ＝20＋21
，n ＝2；
第三次循环：S ＝20＋21＋22
，n ＝2； ……
依此类推，当S ＝
20＋21＋22＋ (2)
＞1 023时，输出下一个n 值， 由以上规律，可得：
当n ＝10时，S ＝20＋21＋22＋…＋210
＝2 047，恰好大于1 023，n 变成11并且输出． 答案：11
9．下面程序的作用是求11×2＋12×3＋13×4＋…＋1
2 011×2 012
的值．现把它补充完整：
①处应填______________
答案：①s＝s ＋1/(k*(k ＋1)) ②k>2 011
10．给出某班45名同学的数学测试成绩，60分及以上为及格，要求统计及格人数、及格同学的平均分、全班同学的平均分．画出程序框图，并写出程序语句．
解析：用M 表示及格人数．S 表示及格同学的总分，P 表示及格同学的平均分，T 表示全班同学的平均分．则程序框图如下：
11．2000年我国人口为13亿，如果人口每年的自然增长率为7‟，那么多少年后我国人口将达到15亿？设计一个算法的程序．
解析：
12．某企业工资调整，规定如下：基本工资大于或等于600元，工资增加20%；若小于600元大于等于400元，则工资增加15%；若小于400元，则工资增加10%.请编写一个程序，使其能根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资．
解析：设用户基本工资为x 元，增加后的工资为y 元，则y 与x 的函数关系为
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ×（1
＋10%），0＜x ＜400，x ×（1＋15%），400≤x ＜600，x ×（1＋20%），x ≥600.
程序如下：。