运筹学复教程
运筹学教程
运筹学教程
运筹学（Operations Research，简称OR）是一种应用数学方法和技术的学科，旨在解决复杂的决策问题和优化问题。
它是通过建立数学模型、分析模型以及应用计算机技术等手段，为决策者提供科学的决策支持。
运筹学主要包括以下几个方面的内容：
1. 线性规划：线性规划是运筹学中常用的一种优化方法，用于在一组约束条件下，找到使目标函数最大化或最小化的最优解。
2. 整数规划：整数规划是线性规划的一种扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划常用于需要做出离散决策的问题，如装箱问题、旅行商问题等。
3. 动态规划：动态规划是一种通过将大问题分解为小问题并利用小问题的最优解来求解大问题的方法。
它主要用于具有重叠子问题结构的优化问题。
4. 随机规划：随机规划是一种考虑不确定性因素的优化方法，它通过引入随机变量和概率分布来描述问题的不确定性，并在干预决策中考虑不确定性的影响。
5. 排队论：排队论是运筹学中研究排队模型的一门学科，用于优化队列系统的设计与性能，以及评估排队系统的性能指标。
除了上述内容，运筹学还包括模拟、图论、网络优化等其他方法和技术。
它广泛应用于交通运输、生产计划、资源分配、供应链管理等领域。
《运筹学教程》胡云权-第五版-运筹学复习
x6
10
[2]
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✓ 右端项非负
解的重要概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x 2 , x n )
可行域：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体
称为最优解集合
O {x D c x c y, y D }
0
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bi
360
《运筹学图解法》课件
提高建模能力
提高模型解释和应用能力
提高求解效率的策略与技巧
选择合适的图解 法：根据问题类 型选择合适的图 解法，如最短路 径问题、最大流 问题等。
优化算法：对图 解法进行优化， 如使用动态规划、 贪心算法等。
并行计算：利用 多核处理器进行 并行计算，提高 求解速度。
利用软件工具： 使用专业的图解 法软件，如 Matlab、 Python等，提 高求解效率。
缺点：需要一定 的数学基础，不 适合初学者使用
运筹学图解法的基本步骤
确定问题目标
明确问题的性质 和类型
确定问题的目标 和约束条件
分析问题的关键 因素和影响因素
确定问题的求解 方法和步骤
建立模型
确定问题：明确需要解决的问题
建立模型：根据数据建立数学模 型
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
收集数据：收集与问题相关的数 据
模型验证与优化的方法与技巧
模型验证：通过实际数据验证模型的准确性和可靠性
模型优化：根据实际需求对模型进行优化，提高模型的效 率和效果
模型选择：根据实际问题选择合适的模型，提高模型的适 用性和准确性
模型调整：根据实际数据对模型进行调整，提高模型的适 应性和准确性
模型评估：对模型进行评估，了解模型的优缺点和改进方 向
软件工具的使用：熟悉软件工具 的界面和功能，掌握基本的操作 方法
软件工具的优化与调整：根据问 题特点和需求，对软件工具进行 优化和调整，提高求解效率和准 确性
软件工具的常见问题与解决方 案：了解软件工具的常见问题， 掌握相应的解决方案，提高求 解效率和准确性
软件工具的学习与提高：不断学 习和实践，提高软件工具的使用 水平和求解能力
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
《运筹学教学资料》第二章winqsb教程
结果分析
根据输出结果进行分析，判断问 题是否得到解决，并进一步分析 决策变量的取值和最优解的意义 等。
04
WinQSB案例分析
线性规划案例分析
线性规划案例
某公司需要安排生产计划，目标是最大化利润，约束条件包括原材料、人工和 机器的限制。通过WinQSB软件，可以建立线性规划模型，并使用单纯形法求 解，得出最优解。
总结
线性规划是一种常见的优化方法，用于解决资源分配和生产计划等问题。 WinQSB软件提供了方便的界面和强大的求解功能，使得线性规划问题能够快 速得到解决。
整数规划案例分析
整数规划案例
某零售商需要确定在哪些城市开设分店，目标是最大化总利润。约束条件包括预 算和分店数量限制，同时要求分店位置为整数（即城市数量）。通过WinQSB软 件，可以建立整数规划模型，并使用分支定界法求解，得出最优解。
如何解决WinQSB运行时出现的问题？
总结词：详细描述
总结词：详细描述
总结词：详细描述
01
03 02
如何使用WinQSB求解不同类型的运筹学问题？
01 02 03
总结词：详细描述 总结词：详细描述 总结词：详细描述
THANK YOU
感谢聆听
结果分析
根据输出结果进行分析，判断 问题是否得到解决，并进一步 分析决策变量的取值和最优解 的意义等。
动态规划问题的建立与求解
建立问题
在问题区输入动态规划问题的状 态转移方程、状态转移矩阵、决 策变量和目标函数等。
求解问题
选择菜单栏中的“问题”->“动 态规划”->“求解”进行求解， WinQSB会自动进行迭代并输出 最优解和最优值等信息。
80%
结果分析
运筹学教程 胡运权 第5版
运筹学教程胡运权第5版1. 简介《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。
本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。
2. 内容概述本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。
第一章：运筹学概述本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。
第二章：线性规划本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。
第四章：非线性规划本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。
第五章：动态规划本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。
第六章：网络优化本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。
第七章：多目标规划本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。
第九章：库存管理本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。
第十章：决策分析本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。
3. 学习目标通过学习本教程，读者可以掌握以下技能：•理解运筹学的基本概念和方法；•掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法解决实际问题；•掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。
4. 使用说明读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。
每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。
在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行标注和整理笔记。
Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。
5. 结语《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹学的入门教材或者参考资料。
运筹学教程
运筹学教程绪论第一节运筹学释义与发展简史第二节运筹学研究的基本特征与基本方法第三节运筹学主要分支简介第四节运筹学与管理科学第五节运筹学算法与应用软件简介第一章线性规划及单纯形法第一节线性规划问题及其数学模型第二节图解法第三节单纯形法原理第四节单纯形法计算步骤第五节单纯形法的进一步讨论第六节数据包络分析第七节其他应用例子习题第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析第一节线性规划的对偶问题第二节对偶问题的基本性质第三节影子价格第四节对偶单纯形法第五节灵敏度分析第六节参数线性规划习题第三章运输问题第一节运输问题及其数学模型第二节用表上作业法求解运输问题第三节运输问题的进一步讨论第四节应用问题举例习题第四章目标规划第一节目标规划问题及其数学模型第二节目标规划的图解法第三节解目标规划的单纯形法第四节目标规划的灵敏度分析第五节目标规划应用举例习题第五章整数规划第一节整数规划的数学模型及解的特点第二节解纯整数规划的割平面法第三节分支定界法第四节 0-1型整数规划第五节指派问题习题第六章非线性规划第一节基本概念第二节一维搜索第三节无约束极值问题第四节约束极值问题习题第七章动态规划第一节多阶段决策过程的最优化第二节动态规划的基本概念和基本原理第三节动态规划模型的建立与求解第四节动态规划在经济管理中的应用第五节马氏决策规划简介习题第八章图与网络分析第一节图与网络的基本知识第二节树第三节最短路问题第四节最大流问题第五节最小费用流问题习题第九章网络计划第一节网络图第二节时间参数的计算第三节网络计划的优化和实施管理第四节图解评审法简介习题第十章排队论第一节引言第二节生灭过程和poisson过程第三节 m／m／s等待制排队模型第四节 m／m／s混合制排队模型第五节其他排队模型简介第六节排队系统的优化习题第十一章存储论第一节存储问题及其基本概念第二节确定型存储模型第三节单周期的随机型存储模型第四节其他的随机型存储模型第五节存储论应用研究中的一些问题习题第十二章对策论第一节引言第二节矩阵对策的基本理论第三节矩阵对策的解法第四节其他类型对策简介第五节对策（博弈）论在信息经济学中的应用习题第十三章决策分析第一节决策分析的基本问题第二节风险型决策方法第三节不确定型决策方法第四节效用函数方法第五节层次分析法第六节多目标决策分析简介习题第十四章运筹学中的启发式方法第一节启发式方法的概念第二节应用问题举例习题习题参考答案与提示参考文献。
运筹学教程第五版课后答案
运筹学教程第五版课后答案第一章课后答案1.1 选择题答案1.B2.D3.A4.C5.A1.2 填空题答案1.优化2.最优解3.最大化4.变量5.限制条件1.3 解答题答案1.运筹学是指运用数学方法来研究决策问题和优化问题的学科。
它包括数学规划、排队论、图论、线性规划等多个分支领域，并广泛应用于各个领域的管理和决策中。
2.线性规划是数学规划中的一种重要方法，用于解决特定形式的最优化问题。
线性规划的基本模型包括目标函数、决策变量、约束条件等要素。
线性规划的求解过程包括建立数学模型、确定最优解的条件和方法、利用线性规划软件进行求解等步骤。
第二章课后答案2.1 选择题答案1.B2.A3.C4.D5.B2.2 填空题答案1.线性不等式2.解空间3.最优解4.可行解5.凸集2.3 解答题答案1.线性规划模型由目标函数、决策变量和约束条件三部分组成。
其中，目标函数是优化的目标，决策变量是待确定的变量，约束条件是对决策变量的限制。
线性规划模型可以表示为：maximize Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn subject to: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn <= b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn <= b2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxn <= bm x1, x2, …, xn >= 0 其中，Z表示要优化的目标函数，ci表示目标函数中的系数，aij表示约束条件中的系数，bi表示约束条件右侧的常数。
2.线性规划应用广泛，包括生产调度、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂生产两种产品，需要确定每种产品的产量使得总利润最大化，可以使用线性规划模型进行建模和求解。
又如，在物流领域中，需要确定货物的最优运输方案，可以使用线性规划模型来解决。
第三章课后答案3.1 选择题答案1.C2.A3.B4.D5.B3.2 填空题答案1.线性规划2.整数规划3.混合整数规划4.松弛问题5.整数线性规划3.3 解答题答案1.整数规划是指在线性规划的基础上，决策变量取整数值的最优化问题。
运筹学课件 第二节 图解法
X2
5–
4–
l1 3B E
2D
（1/3 ）x1+(4/3)x 2=3
l2 1
C
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡
x1
(1/3) x1+(1/3)x2=1
运筹学教程
第二个约束条件的边界 －－
直线CD:
1/3x1+4/3 x2 =3
5–
4–
l1 3B 2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
运筹学教程
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面，只要 先画出该半平面的边 界，然后确定是哪个半平面 。
第一个约束条件 1/3 x1+1/3 x2 ? 1
运筹学教程
令1/3 x1+1/3 x2 ＝1， 即直线AB。
1/3 x1+1/3 x2 ?1 所代表的半平面 的边界:
?? x1, x2 ? 0
0 x2=-2x1+Z
x1+x2=5 x1
运筹学教程
2.2线性规划求解的各种可能的结局
1、无穷多个最优解：将目标函数 max Z=x1+x2 2、无界解：可行域可伸展到无穷，导致目标函数增大到
无限。产生无界解的原因是由于在建立实际问题的数学 模型中遗漏某些必要的资源约束。 3、无解：不存在满足约束条件的可行域。
(1/3)x1+(1/3)x2=1
沿着箭头的方向平移目标函数等值线，使其达到
可行域中的最远点 E, E 点就是要求的最优点，它对应
的相应坐标 x1=1,x2=2 就是最有利的产品组合，即生 产A产品等于 1，B产品等于 2能使两种产品的总利润
《运筹学实用教程》PPT课件
7
服务系统的运行指标
队长（Ls）指系统中顾客数的数学期望值。 排队长（Lq）指系统内排队顾客数的数学期
望值。 很显然，Ls ＝Lq＋正在被服务顾客数的期望
值。 逗留时间（Ｗs）指一个顾客在系统中停留时
间的数学期望值。 等待时间（Wq）指一个顾客在系统中排队等
待时间的数学期望值。 很显然，Ｗs＝［等待时间］＋［服务时间］ 忙期 指服务员忙于服务的时间。与此相反
泊松过程是马尔科夫过程 本章主要考虑马尔科夫过程，即泊松流。
ppt课件
17
二、生灭过程的假设条件
系统状态N(t)得分布具有下列性质时，称 其为一个生灭过程：
当N(t)=n时，顾客到达的时间间隔服从参数
为 的负指数分布
当N(t)=n时，服务时间间隔服从参数为 的
负指数分布
在一个无限短的时间间隔里，最多只有一个 顾客到达或离去
ekt
E (T ) 1
1
D[T ] k 2
ppt课件
12
服务系统模型的符号表示法
为了使用上的方便，肯达（Kendal）在1953年归纳了一种服务 系统的符号表示法。它用[A/B/C]表示一个服务系统的特征。
其中 A处填写顾客到达的规律；
B处填写服务时间的分布规律；
C处填写服务通道的数目。
ppt课件
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三、生灭过程的状态转移图
生灭过程的瞬时状态一般很难求得，但 可求得稳定状态分布
对于稳定的生灭状态，从平均意义上说 有：“流入=流出”
稳定的生灭过程可以用状态转移图表示
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一般状态转移图示例
0 1
2
01
2
1 2 3
n2
n 1
运筹学教程课件
运筹学方法在中国使用情况
(随机抽样)
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运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:社会 对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年，其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应 用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求 是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有 大量的工作要做。
3
运筹学
1.绪论 2.线性规划建模及单纯形法 3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析 4.运输问题 5.动态规划 6.排队论 7.决策分析
8.图与网络分析
第一章 绪 论
5
运筹学概况简述
运筹学(Operations Research) 直译为“运作研究”。
运筹学是运用科学的方法(如 分析、试验、量化等)来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一 门学科。
23
如何学习运筹学课程
2.要在理解了基本概念和理论的基础上
研究例题，注意例题是为了帮助理解概念、 理论的。作业练习的主要作用也是这样，它 同时还有让你自己检查自己学习的作用。因 此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出 错。因为，整个课程是一个整体，各节内容 有内在联系，只要学到一定程度，知识融会 贯通起来，你自己就能够对所做题目的正确 性作出判断。
11
运筹学的产生和发展
战后这些研究成果被应用到生产、 经济领域，并得到迅速发展——有关理 论和方法的研究、实践不断深入。
1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig）
提出了求解线性规划的有效方法——单 纯形法。
12
运筹学的产生和发展
数学对运筹学的作用——是有 关理论和方法的研究基础，是建立 运筹学模型的工具。
运筹学课件--运筹学完整课件 - 副本
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2016/10/29
运筹学
线性规划在管理中的应用
1. 人力资源分配问题
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例1.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 所需人员 60 70 60 50
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解：将数学模型化为标准形式：
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 x 5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
运筹学
2016/10/29 运筹学
单纯形法的计算步骤
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2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
cj cB 0 基 x3 b 40 3 x1 2 4 x2 1 0 x3 1 0 x4 0
θi
0
j
x4
3013源自3400
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
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bi /ai2，ai2>0
0 x4 θi
0
0
x3
40
30
2
1
1
3
1
0
0
1
j j j
x4 x3 x2 x1 x2
40 10
换 出 行
乘 以 1/3 后 得 到
0 4
30 10
18 4
3 4
5/3 1/3 5/3 1 0 0
运筹学教程
1、填空题（6分，每空1分） 2、选择题（20分，每题2分） 3、名词解释（18分，每题6分） 4、简答题（36分，每题12分） 5、论述题（20分）
绪论
一、运筹学释义与发展简史
二、运筹学的基本信念 三、 运筹学主要分支简介 四、 运筹学解决问题的方法步骤 五、进度安排与学习建议
他估计到齐王由于上一次的大获全胜，这一次是不 会轻易更改这种对策的。
这使得孙膑在对局前便把握了主动权，有的放矢地 制定了“退一步，进两步”的策略。
孙膑决定用自己的下等马和国王的上等马比赛，而 用自己的上等马和国王的中等马比赛，中等马和国 王的下等马比赛。
比赛开始，第一场国王的马以极大的优势取得了胜 利，但在二、三场中田忌的马都取得了胜利。这次 国王不但没赢，反而输了一千金。
这类问题的解决方法是：先根据问题要达到的目标选 取适当的变量，问题的目标通过用变量的函数形式表示(称 为目标函数)，对问题的限制条件用有关变量的等式或不等 式表达(称为约束条件)。当变量连续取值，且目标函数和 约束条件均为线性时，称这类模型为线性规划的模型 。
例 求解线性规划问题
max z 2x1 3x2 ,
定每方出上马、中马、下马各一匹各赛一局，每 局赌注是黄金一千两。 由于田忌的马比齐王同等级的马都要略逊一筹， 而在头一轮的比赛中，双方都是用同等级的马进 行对抗，所以齐王很快赢了全部三场，得到了三 千两黄金。
田忌的军师孙膑得知后，便 替田忌出了一个主意： 用自己的下等马和国王的上等马比赛，而用自己 的上等马和国王的中等马比赛，中等马和国王的 下等马比赛。
比赛开始，第一场国王的马以极 大的优势取得了 胜利。国王没有料到田忌的马竟然如此不堪一击， 为此俯仰大笑，得意不已。但美景不长，在二、 三场中田忌的马都取得了胜利。这一轮国王不但 没 赢，反而输了一千金。
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
( 3)
max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 st . 5 ≤ x1 ≤ 10 5≤ x ≤8 2
( 4)
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运筹学教程
第一章习题解答
(1) min Z = 2 x1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 st . 2 x1 + 2 x 2 ≥ 4 x ,x ≥ 0 1 2 1 , Z = 3是一个最优解 3
min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
(1)
()
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School of Management
(1)
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运筹学教程
第一章习题解答
(1) max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
运筹学教程（第二版） 运筹学教程（第二版） 习题解答
安徽大学管理学院
洪 文
电话： 电话：5108157(H)，5107443(O) ， E-mail: Hongwen9509_cn@
管理运筹学培训教程(ppt 31页)
8/10/2020
9
1939年苏联学者康托洛维奇在解决工业生产组织和计划问题时，提出了类似线性规 划的模型，并给出解乘数法的求解方法。1960年，其发表了《最佳资源利用的经济 计算》，因此获得诺贝尔奖；
1944年冯·诺意曼和摩根斯坦合著的《对策论与经济行为》是对策论的奠基之作；
在美国经济学家库普曼斯的呼吁下，很多经济学家投身于运筹学的研究。其中阿罗、 萨谬尔逊、西蒙、多夫曼和胡尔威茨都因此获得诺贝尔奖；
8/10/2020
21
六、运筹学的展望
关于运筹学的发展方向，从70年代起西方运筹学工作者有种种观点，这里提出某些 运筹学界的观点供研究参考。 美国前运筹学会主席邦特认为，运筹学应在三个领域发展：运筹学应用、运筹科学 和运筹数学。并强调前两者，从整体应协调发展。 事实上运筹数学到70年代已形成一系列强有力的分支，数学描述相当完善，这是一 件好事。也正是这点使不少运筹学界的前辈认为，一些专家深入钻研运筹数学，从 而失去运筹学的原有特色，忽略了多学科的横向交叉联系和解决实际问题的研究。
二、运筹学的原则
运筹学作为一门应用科学，至今无统一确切的定义。 为有效的应用运筹学，前英国运筹学会会长托姆森提出了6条原则:
合作原则: 运筹学工作者要和各方面人员，尤其是各部门实际工作人员合作。 催化原则: 在多学科共同解决某问题时，要引导人们改变一些常规的看法。 相互渗透原则: 要求多部门彼此渗透地考虑问题，而不是局限于本部门。 独立原则: 在研究问题时，不受某人或某部门的特殊政策所左右，独立从事工作。 宽容原则: 解决问题的思路要宽，方法要多样，不局限于某种特殊的方法。 平衡原则: 要考虑各种矛盾的平衡及各种关系的平衡。
以上过程应反复进行。
8/10/2020
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1
B1
B2
B3
B4
B5
ui
A1
4
0
-1
0
A2
2
4
3
-3
A3
1
2
0
vi
3
3
6
5
0
调整-1所在的闭回路，
B1
B2
B3
B4
B5
A1
3
2
A2
2
0
A3
3
调整量为2，改进后的解为
2
1
B1
B2
B3
B4
B5
A1
3
2
0
A2
2
0
A3
3
3
下面用位势法进行检验：
B1
B2
B3
B4
B5
ui
A1
4
1
0
A2
1
3
2
-2
A3
1
3
1
0
解： 设从工厂Ai到零售店Bj每年的运输量为xij（i=1,2,…,m；j=1,2, …,n），令 则该问题可以表示为
练习题：
工厂A1和A2生产某种物资.由于该种物资供不应求， 故需要再建一家工厂.相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需 求地有四个，生产能力、需求量、单位物资运费见下表。工厂A3或A4 开工后,每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元.现要决定应 该建设工厂A3或A4,才能使今后的总费用(即全部物资运费和新工厂生 产费用之和)最少?
cj - zj
0 0 -5/14 -25/14
所有非基变量的检验数全部小于零，所以此线性规划问题有唯一最优
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解。 最优解X=（1，3/2，0，0）；最优值Z=35/2.
解题步骤
1.化为标准形 2.列表求解 Key：寻找主元（检验数最大，检验比最小）
主元变为1，其余变为0. 3.结论（最优解和最优值）
二、对偶问题及互补松弛性
例、给出线性规划问题：
要求：(1)写出其对偶问题； (2)已知原问题的最优解为X*=（2,2,4,0），试根据对偶理论，
直接求出对偶问题的最优解。
解：(1) 对偶问题为 (2)将最优解(2,2,4,0)带入原问题的约束条件，
根据互补松弛性， 另一方面，因为，相应的对偶问题的约束条件应取等号。所以 解得 从而，对偶问题的最优解为Y=（4/5, 3/5, 1, 0）, 最优值为 16
Cj
10 5 0 0
i
CB 基
b
x1 x2 x3 x4
0
x3
9
0
x4
8
3 41 0
3
[5] 2 0 1
8/5
cj - zj
10 5 0 0
0 x3 21/58/5
0 [14/5] 1 -3/5
3/2
10 x1
1 2/5 0 1/5
4
cj - zj
0 1 0 -2
5 x2
3/2
10 x1
1
0 1 5/14 -3/14 1 0 -1/7 2/7
解题步骤
1.写出对偶问题的步骤 最大变最小； 系数矩阵转置； ≤变≥； 价值系数与右端项互换。
2.互补松弛性的应用 Key：约束条件对应决策变量 第一步：把最优解带入约束条件，约束条件取不等号，相应的决策变 量等于零；
第二步：最优解不为零，对应的约束条件取等号； 第三步：解方程
练习题：
1. 已知线性规划 的最优解是X*=（6,2,0）， (1)写出原问题的对偶问题； (2)根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
练习题答案 书上P124 例2
练习题：
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。有7个位置点Ai（i=1， …，7）可供选择，规定：
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，但总投 资不能超过B元，问应选择哪几个点可使年利润最大？
B1
B2
B3
A1
10
6
7
A2
16
10
5
A3
5
4
10
销量
5
2
4
2. 求最优调运方案（写出min值）
销地产 地
B1
B2
B3
A1
3
7
6
A2
2
4
3
A3
4
3
8
销量
3
3
2
练习题答案 1.总运费为118 2.总运费为32
B4
产量
12
4
9
9
10
4
6
B4
产量
4
5
2
2
5
3
2
注意细节
1. 对于m行n列的运输表，无论是初始解还是最优解，数格的个 数应该等于m+n-1。并且数格不能形成闭回路。
练习题： 1.
2.
3.
4.
练习题答案 1. 最优解X=（15/4,3/4,0,0），最优值max z=33/4 2. 最优解X=（2,6,2,0,0），最优值max z=34 3. 最优解X=（1,0,2,7,0,0），最优值max z=12 4. 最优解X=（1,2,0,0,0），最优值max z=8
注意细节
1. 右端项b 用于计算检验比，只有系数大于0时才计算检验 比；价值系数cj用于计算检验数。
2. 注意自我检查：基变量一定对应到单位矩阵，其检验数一定 等于0；最优表给出对偶问题的最优解，对应的最优值等于 原问题的最优值。
3. 对矩阵的某行乘以一个较大的数，总能做到所有检验数小于 0，所以不要随便通分，如练习4。
解： 令 则问题可以表示为
练习题：
现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j 所需投资 额和预期收益分别为aj和cj （j=1,2,…,n）。此外,由于种种原因，有三 个附加条件： 第一，若选择项目1，就必须选择项目2，反之不一定；第二，项目3和
4中至少选择一个；第三，项目5，6和7恰好选择两个.应当怎样选择投 资项目才能使总预期收益最大？
解题步骤
1.先用沃格尔法或者最小元素法求出初始解 沃格尔法：优先供应罚数大的运输任务 最小元素法：优先考虑所有任务中的最低运价。
2.再用位势法或者闭回路法进行检验
行罚数 3022 115 2244
B4
2 1 ui
0 0 1
位势法：令任意一个位势为0（不妨u1=0），计算位势和检验数：
数格对应的运价等于位势和；
例1、某服务部门各时段(2h为一段)需要的服务人员数如表所示，按规
定，服务员连续工作8h为一班.现要求安排每个时间段开始上班的服务
员人数，使服务部门服务员总人数最少？
时段
1234 5 6 7 8
服务员最少数目 10 8 9 11 13 8 5 3
答案 书上P124 例1
例2、某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使 总的钻井费用最小。若10个井位的代号为S1,S2,S3,…S10，相应的钻 井费用为C1,C2,C3,…C10，并且井位选择上要满足下列限制条件： ①选择S1和S7就不能选择钻探S8；反过来也一样； ②选择了S3或S4就不能选S5，反过来也一样； ③在S5 S6 S7 S8中最多只能选两个； 试建立这个问题的整数规划模型。（不求解）
2. 检查位势是否计算正确，数格处的位势和应等于数格所对应的
运价 3. 运价用于计算位势，得到的解（运输量）用于调整 4. 如果计算出相同的罚数，任意选一个 5. 如果同时划掉一行及一列，则在此行此列任意选一个空格补0.
始终保持数格个数为m+n-1 6. 如果空格的检验数等于0，意味着最优解不唯一。
注意细节
仔细分析题意，决策变量就是题目所问的问题。 变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数，在约束条 件中一定要写出整数限制！ 对某一个项目要不要投资，建不建厂这样选择性的决策问题，使用 0-1变量，在约束条件中要再次表明变量取值0或1. 遇到人员的合理安排问题（实际上是指派问题），使用双下标的 0-1变量：xij=1表示安排第i人去做j工作，xij=0表示不安排第i人去做j 工作。 确定决策变量和目标函数后，从题目的第一句话开始考察需要满 足的约束条件，不要有遗漏。
空格对应的运价减去位势和等于
检验数。
3.若不是最优解，用闭回路法调整后回到第2步
检验数全部大于等于零，得到最优解；
调整检验数小于零的空格所对应的闭回路：
以该空格为第一个奇数顶点，找出偶数顶点中最小的运输量
为调整量，奇数顶点加上调整量，偶数顶点减去调整量。
练习题：
1. 求最优调运方案（写出min值）
销地产 地
2、产销不平衡问题 解题步骤
1.先将产销不平衡问题化为产销平衡问题 增加虚拟销地或产地；运价设为0，销量或产量等于产销不平衡
的差值 2.再求解新得到的产销平衡问题。
例 下表为各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位 运价，试用表上作业法求最优解。
销地产 地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：此问题是一个产销不平衡问题，由产大于销，故增加虚拟销 地B5，令销量为(5+2+6)-(3+3+2+2)=3，单位运价为0化为产销平衡问 题。用沃格尔法求初始解