轨迹方程的求法
第61讲求轨迹方程的基本方法
第61讲求轨迹方程的基本方法
求轨迹方程是一种比较常见的数学问题，也是物理学、力学等课程中
的重要内容。
其目的是求出物体在段时间内的运动路径，并用曲线来表示
该运动路径。
求轨迹方程基本方法有以下三种：
一、圆形运动
圆形运动是指物体在恒定的圆周角速度下沿恒定的半径运动的运动形式，其轨迹方程可以用极坐标的形式给出，即：
x=rcosθ
y=rsinθ
其中，r为半径，θ为圆周角速度，x、y为极坐标的横纵坐标。
二、直线运动
直线运动是指物体在恒定的速度下沿其中一方向运动的运动形式，其
轨迹方程可以用一元一次方程的形式给出，即：
y=kx+b
其中，k为斜率，b为截距，x、y为横纵坐标。
三、抛物线运动
抛物线运动是指物体在恒定的加速度下向其中一方向抛出的运动形式，其轨迹方程可以用二元二次方程的形式给出，即：
y=ax^2+bx+c
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，x、y为横纵
坐标。
四、椭圆形运动
椭圆形运动是指物体在恒定的角加速度下沿椭圆轨迹运动的运动形式，其轨迹方程可以用双曲线的形式给出，即：
(x/a)^2+(y/b)^2=1
其中，a、b为椭圆的长短轴，x、y为椭圆的横纵坐标。
总之。
轨迹方程的求法
M(x,y)
所求曲线 （方程）
5
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法： 当动点是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点的轨迹方程。
设 参 数
动直(曲)线1 方 程
消去参数
动直(曲)线2 方 程
动点轨迹 方 程
例题7
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
4( x 1) 2 y2 1 化简得M的轨迹方程为： 9
常用方法
4
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法:
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
2、定义法：
根据曲线定义判断轨迹 求出系数 写出方程
3、代入法：
P(x1,y1) 代 入 已知曲线 (方程)
x1=f(x,y) y1=g(x,y)
单 位：天津市汉沽一中 学 科：数 学 授课人：何 韬 授课班：高二2班
1
轨迹方程的求法（一）
一、常用方法: 直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法等
1、直接法（五步法） 建系设点 写出集合 代入坐标 化简方程 给出证明
1：点M到边长为6的等边△ABC的三个顶点的距离的平方和等于90，求点 M的轨迹方程。 y A 解：如图建立坐标系，则B(-3,0)，C(3,0)，A(0,3 3 ) 设点M（x,y） 则点M的集合为｛M||MA|2+|MB|2+|MC|2=90｝ 代入坐标得： x2+(y-3
1、直接法（五步法） 2、定义法：
3、代入法：
4、交轨法：
二、小结: 1、掌握求轨迹方程常用的几种方法，并能正确地识别它们；
怎么求轨迹方程
怎么求轨迹方程求轨迹方程是解决数学问题的一种方法，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍如何求解轨迹方程的方法和技巧，希望能对读者有所帮助。
一、轨迹方程的定义轨迹方程是描述物体在运动过程中所经过的路径的数学函数。
它通常用一组参数表示，可以是时间、速度、加速度等。
在二维空间中，轨迹方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为时间参数，x和y分别表示物体在水平和垂直方向上的坐标。
在三维空间中，轨迹方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示物体在三个方向上的坐标。
二、求解轨迹方程的方法1.解析法解析法是一种通过分析物体运动的规律，推导出轨迹方程的方法。
这种方法通常适用于简单的运动情况，如直线运动、匀加速运动等。
例如，对于一个匀加速运动的物体，可以通过运用物理学公式推导出它的轨迹方程。
2.几何法几何法是一种通过绘制物体运动的轨迹图像，从而推导出轨迹方程的方法。
这种方法适用于物体运动的轨迹比较规则的情况，如圆形运动、椭圆形运动等。
例如，对于一个绕着圆心旋转的物体，可以通过绘制其轨迹图像，推导出它的轨迹方程。
3.数值法数值法是一种通过数值计算的方法，求解轨迹方程的近似解。
这种方法通常适用于无法用解析法或几何法求解的复杂运动情况，如自由落体运动、抛体运动等。
例如，对于一个自由落体运动的物体，可以通过数值计算出其在每个时间点上的位置，从而近似地求解出它的轨迹方程。
三、求解轨迹方程的技巧1.选择合适的方法在求解轨迹方程时，需要根据具体的问题选择合适的方法。
如果物体运动比较简单，可以采用解析法或几何法；如果物体运动比较复杂，可以采用数值法。
不同的方法有不同的优缺点，需要根据具体情况选择。
2.确定参数在求解轨迹方程时，需要确定一组参数来表示物体的运动状态。
这些参数可以是时间、速度、加速度等。
需要根据具体问题选择合适的参数，并注意参数的物理意义。
3.运用数学工具在求解轨迹方程时，需要运用数学工具，如微积分、向量、矩阵等。
轨迹方程的求法
轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程.◎◎ 已知圆C 的方程为 (x-2)2+y 2=100,点A 的坐标为（-2，0），M 为圆C 上任一点，AM 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的方程。
◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
例3、P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 求PD 中点的轨迹方程.◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程.练习:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ）A 、双曲线B 、半圆C 、两条射线D 、抛物线2. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是( ).A. (x -1)2=-8(y -1)B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C. (y -1)2=8(x -1)D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ). A. 116922=+y x B. 196422=+y x C. 14922=+y x D. 19422=+y x 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）A 、抛物线B 、圆C 、双曲线的一支D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21B 、x 2+y 2=41C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525x y x y x y x y +=+=+=+= 13、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ）A 、x 2+y 2=2a 2B 、x 2+y 2=4a 2C 、x 2－y 2=4a 2D 、x 2－y 2=a 214、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
求轨迹方程的方法
求轨迹方程的方法轨迹方程是描述物体在运动过程中所遵循的路径的数学表达式。
轨迹方程的求解方法因物体的运动方式而异。
下面将介绍几种常见的物体运动方式，并讨论如何求解它们的轨迹方程。
1.直线运动：物体在直线上做匀速或变速直线运动时，其轨迹方程为y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
若已知起始点的坐标和运动速度，则可以通过这些参数来确定轨迹方程。
2.曲线运动：物体在空间中做曲线运动时，其轨迹方程一般无法用简单的直线方程表示。
这时需要通过其他方法来求解轨迹方程。
以下是几种常见的曲线运动例子：-圆周运动：若物体做匀速圆周运动，其轨迹方程可以用参数方程表示：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)，其中r为圆的半径，θ为角度。
通过改变θ的取值范围，可以得到整个圆周的轨迹方程。
-椭圆运动：椭圆运动可以用参数方程表示：x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ)，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
同样通过改变θ的取值范围，可以得到整个椭圆的轨迹方程。
-抛物线运动：物体做匀速或变速抛物线运动时，其轨迹方程可以用解析几何中的一般二次方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
通过给定的起始点和速度，可以确定这些常数，从而求解轨迹方程。
-双曲线运动：物体做匀速或变速双曲线运动时，其轨迹方程可以用参数方程表示：x = a * sec(θ)，y = b * tan(θ)，其中a和b为常数。
同样通过改变θ的取值范围，可以得到整个双曲线的轨迹方程。
除了上述运动方式外，还存在许多其他复杂的运动形式，例如螺线、摆线等。
对于这些运动形式，求解轨迹方程的方法往往需要借助更高级的数学工具，如极坐标、参数方程、微分方程等。
总结起来，轨迹方程的求解方法因物体的运动方式而异。
对于直线运动，可以直接得到轨迹方程；对于曲线运动，常常需要借助参数方程、解析几何等数学工具来求解。
对于更加复杂的运动形式，可能需要借用更高级的数学方法来确定轨迹方程。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
轨迹方程的求法自己的
轨迹方程的求法轨迹方程是描述一个物体运动路径的数学方程。
在物理学、数学和工程学等领域广泛应用。
本文将介绍几种常见的轨迹方程求法，并对其原理进行简要解释。
一、直线轨迹直线轨迹是最简单的一种轨迹形式，也是最容易求解的。
一个物体在直线运动时，其轨迹方程可以表示为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。
根据物体的初始位置和运动方向，可以通过给定的初始条件求解出 k 和 b，从而得到物体的轨迹方程。
二、抛物线轨迹抛物线轨迹是一种常见的自由落体运动轨迹。
当物体在水平方向上具有匀速运动时，在竖直方向上受到重力的影响，其轨迹可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和c 都是常数。
根据物体的初始位置和速度，可以通过给定的初始条件求解出a、b 和 c，从而得到物体的轨迹方程。
三、圆轨迹圆轨迹描述了物体在一个圆形路径上的运动。
圆轨迹的方程可以表示为 (x -a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中 (a, b) 是圆心坐标，r 是半径。
根据物体的初始位置和速度，可以求解出圆心坐标和半径，从而得到物体的轨迹方程。
四、椭圆轨迹椭圆轨迹是物体在一个椭圆形路径上的运动。
椭圆轨迹的方程可以表示为 (x - a)^2 / a^2 + (y - b)^2 / b^2 = 1，其中 (a, b) 是椭圆中心坐标。
根据物体的初始位置和速度，可以求解出椭圆中心坐标，从而得到物体的轨迹方程。
五、其他轨迹形式除了上述几种常见的轨迹形式外，还有许多其他的轨迹方程形式。
例如，两个物体之间的相对运动轨迹可以通过解析几何的方法求解。
同时，还有一些特殊的轨迹方程，如双曲线、螺旋线等，可以通过相应的数学方法求解。
求解轨迹方程是物理学、数学和工程学等领域的重要问题。
本文简要介绍了几种常见的轨迹方程求法，并对其原理进行了解释。
在实际应用中，根据具体情况选择适合的轨迹方程求解方法，可以精确地描述物体的运动轨迹。
轨迹方程的求法
轨迹方程的求法一、直接法求轨迹方程的一般步骤：“建、设、限、代、化” 1、建立恰当的坐标系； 2、设动点坐标(),x y ；3、限制条件列出来（如一些几何等量关系）；4、代入：用坐标代换条件，得到方程(),0f x y =；5、化简（最后要剔除不符合条件的点）.例1、过点()2,4P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：平面内动点M 与两定点()1,0A -、()2,0B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，求动点M 的轨迹方程.巩固训练2：已知点A 、B 的坐标分别为()5,0-、()5,0，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.巩固训练3：已知直角坐标平面上的点()2,0Q 和圆221C x y +=：，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程.二、定义法：如果动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可以依据定义求出轨迹方程.如圆、椭圆、双曲线、抛物线等. 规律可寻：（1）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制.例2、（1）求与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心P 的轨迹方程.（2）已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.巩固训练1：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练2：已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2211:24F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平方线交BF 于点P ，求点P 的轨迹方程.巩固训练3：在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，求点M 的轨迹方程.巩固训练4：已知点1F 、2F 分别是椭圆22:171617C x y +=的两个焦点，直线1l 过点2F 且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段1GF 的垂直平分线交2l 于点H ，求点H 的轨迹方程.巩固训练5：在极坐标系Ox 中，直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是直线l 上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹方程为C ，求曲线C 的极坐标方程.三、相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. “相关点法”的基本步骤：（1）设点：设被动点的坐标为(),x y ，主动点的坐标为()00,x y ；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()00,,x f x y y g x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.例3、已知点P 是圆22:4C x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.巩固训练1：已知在ABC ∆中，()2,0A -，()0,2B -，第三个顶点C 在曲线231y x =-上动点，求ABC ∆的重心的轨迹方程.巩固训练2：已知点P 是圆22:25C x y +=上任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，点M 为PD 上一点，且满足45MD PD =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程.四、参数法：如果动点(),P x y 的坐标之间的关系不容易找，可以考虑将,x y 用一个或几个参数表示，最后消参数，得出,x y 之间的关系式，即轨迹方程.常用参数有角度θ、直线的斜率、点的横、纵坐标，线段的长度等.例4、过抛物线24y x =的顶点O 引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.巩固训练1：设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于,A B ，O 是坐标原点，直线l 的动点P 满足()12OP OA OB =+，当直线l 绕点M 旋转时，求点P 的轨迹方程.五、交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组分别求出,x y ，再消去参数，即可求解，这种方法一般适合于求两条动直线交点的轨迹方程.例5、设1A 、2A 是椭圆22195x y +=的长轴的两端点，1P 、2P 是垂直于12A A 的弦的端点，求直线11A P 与22A P 的交点的轨迹方程.巩固训练1：已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点()11,P x y 、()11,Q x y -是双曲线上不同的两个动点，求直线1A P 与2A Q 的交点的轨迹E 的方程.。
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法1.直线轨迹方程的求解方法：直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
1.1斜率截距法：当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。
直线的轨迹方程为：y = mx + b。
1.2点斜式方法：当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。
1.3两点式方法：当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
1.4截距式方法：当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。
直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。
1.5法向量法：当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。
直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。
2.圆轨迹方程的求解方法：圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
2.1一般式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2标准式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.3参数方程方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。
圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。
2.4三点定圆方法：当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法有五种方法可以求解轨迹方程，分别是：1.参数方程法2.一般方程法3.极坐标方程法4.隐函数方程法5.线性方程组法接下来将对这五种方法进行详细解释。
1.参数方程法：参数方程法是指将坐标轴上的点的位置用一个参数表示，通过参数的变化来表示轨迹。
例如，一个点在x轴上运动，其速度为v，经过时间t后的位置可以用参数方程表示为x = vt。
参数方程法可以很方便地描述物体的运动轨迹，特别适用于描述曲线的参数方程。
2.一般方程法：一般方程法是指将轨迹上的点的位置用一般方程表示。
例如，对于一个圆形轨迹x^2+y^2=r^2，其中r为半径，可以通过该一般方程来描述圆的轨迹。
一般方程法可以描述各种曲线轨迹，但是求解过程可能较为繁琐。
3.极坐标方程法：极坐标方程法是指将轨迹上的点的位置用极坐标系表示。
极坐标系由极径和极角两个参数组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向角度。
通过给定极径和极角的值可以唯一确定一个点的位置。
例如，对于一个以原点为中心的圆形轨迹，可以用极坐标方程表示为r=R，其中R为圆的半径。
极坐标方程法适用于描述具有对称性的轨迹，如圆形、椭圆形等。
4.隐函数方程法：隐函数方程法是指将轨迹上的点的位置用隐函数方程表示。
隐函数方程是一个含有多个变量的方程，其中至少有一个变量无法用其他变量表示。
通过给定其他变量的值，可以计算出不能用其他变量表示的变量的值，从而确定轨迹上的点的位置。
例如，对于一个抛物线轨迹y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以根据给定的x的值求解出y的值，从而确定轨迹上的点的位置。
5.线性方程组法：线性方程组法是指将轨迹上的点的位置用线性方程组表示。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数是轨迹上的点的坐标。
通过求解线性方程组可以得到轨迹上的点的坐标。
线性方程组法适用于描述由多个轨迹组成的复杂图形，如多边形等。
以上就是求解轨迹方程的五种方法，分别是参数方程法、一般方程法、极坐标方程法、隐函数方程法和线性方程组法。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
轨迹方法的 求法
求轨迹方程的常见方法（待定系数法，直接法，相关点法）一：（直接法求轨迹方程）例1. 例1. 已知曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1，求曲线C 的方程（24,0y x x =≠）变式练习：已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2.一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.21((0))8y x x =≠例2.（05江苏）如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.变式练习1：已知⊙O 的方程是x +y -2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和⊙O ’所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .变式练习2：由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .（该类型题目是需要通过转化与化归的思想，转化成动点与定点之间的关系）（转移法（相关点法）求轨迹方程）例3.求直线043=--y x 关于点()1,2-P 对称的直线方程.方法（一）：待定系数法 方法（二）转移法（相关点法）练习1：动点P 在曲线122+=x y 上运动，求点P 与定点()1,0-的连线的中点M 的轨迹方程.练习2：与曲线032:21=++m y x C 关于点()2,1对称的曲线方程2C 过定点()1,2，求（1）m 的值；（2）求曲线2C 的方程.练习3：设曲线F 的方程为0),(=y x f .（1） 求曲线F 关于点),(b a M 对称的曲线方程.（2） 求曲线关于直线2=+x y 对称的曲线方程. 练习4: 已知点()()2,1,0,2-B A ，点C 在直线032=-+y x 上移动，求三角形ABC ∆重心G 的轨迹方程.(6x+3y-3=0())43≠x练习5：在平行四边形ABCD 中，已知顶点Ｄ在直线013:=+-y x l 上移动，求ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．()80153≠=--x y x 且练习６：已知定点()0,4A 和圆422=+y x 上的动点Ｂ，若动点Ｐ满足OP OB OA 2=+，求点Ｐ的轨迹方程．（()1122=+-y x练习７：已知()1,2-A ，()O B ,1,1-为坐标原点，动点Ｍ满足,OB n OA m OM +=其中,,R n m ∈且2222=-n m ，求点Ｍ的轨迹方程．练习８：已知()()3,1,1,3-B A ，Ｏ为坐标原点，若点Ｃ满足,OB b OA a OC +=其中,1=+b a 求点Ｃ的轨迹方程．。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，1=，解得k =．将y =(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
数学轨迹方程的求法
数学轨迹方程的求法在数学中，轨迹可以看做是一个物体在运动过程中留下的路径。
而轨迹方程则是描述这个路径的方程。
求解轨迹方程是数学中常见的问题之一，本文将介绍一些常用的求解轨迹方程的方法。
一、直接解轨迹方程如果轨迹已知，那么可以直接解轨迹方程。
比如，一个运动物体在平面直角坐标系中的轨迹为一个圆形。
我们可以通过圆的标准方程x²+y²=r²求得轨迹方程。
二、利用参数方程求解轨迹方程如果轨迹无法用一般函数形式表示，那么我们可以用参数方程来描述它的轨迹。
参数方程表示成x=f(t)，y=g(t)，t为参数。
例如，一个点沿着单位圆按逆时针方向绕圈运动，可用参数方程 x=cos(t)，y=sin(t)，(0≤t≤2π)来描述它运动的轨迹，则轨迹方程为 x²+y²=1。
三、使用极坐标系求解轨迹方程在一些问题中，极坐标系比直角坐标系更加有用。
例如，极坐标系对于表示圆形更加简单。
若有圆心在原点处，半径为 R 的圆，圆上点的极坐标为(R,θ)，则其方程为 r=R。
四、使用微积分求解轨迹方程微积分是解决轨迹方程问题的重要工具。
通过微积分的方法，我们可以求出运动物体的速度、加速度和位移，从而得出轨迹方程。
例如，若已知一个点做匀加速直线运动的位移和速度随时间的关系为s=at²/2+vt+s₀，则通过微积分可求出物体的轨迹方程s=a*t²/2+v*t+s₀。
总之，轨迹方程的求解方法多种多样，要根据不同的问题选择合适的方法。
熟练掌握这些方法，能够让我们更好地应对解决实际问题。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法
确定轨迹方程的常用方法有以下几种：
1.直接法：通过直接描绘或测量物体相应位置的坐标来确定轨迹方程。
这种方法适用于已知运动物体的运动轨迹形状简单且容易测量的情况。
常
用的直接法包括使用工具如尺子或量角器来绘制直线或角度，或者使用工
具如摄像机或激光测距仪来测量物体的位置。
2.参数方程法：将物体的位置用参数表示，通过参数方程来描述物体
的轨迹。
参数方程法常用于描述复杂的曲线或曲面轨迹，如圆、椭圆、抛
物线和螺旋线等。
以平面曲线为例，设参数为t，物体在x轴和y轴上的
坐标分别为x(t)和y(t)，则轨迹方程可以表示为：x=x(t)，y=y(t)。
3.方程法：通过列出满足物体位置的方程来确定轨迹方程。
方程法常
用于描述几何形状特定的轨迹，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
以平面
曲线为例，设物体在x轴和y轴上的坐标分别为x和y，则轨迹方程可以
表示为一个关于x和y的方程：F(x,y)=0。
4.微分方程法：通过物理或几何相关的微分方程来确定轨迹方程。
微
分方程法常用于描述物体的运动过程，根据物体的运动方程可以推导出其
轨迹方程。
以平面运动为例，设物体在x轴和y轴上的位置分别为x(t)
和y(t)，则可以通过物体的运动方程来求解位置关于时间的微分方程，
然后进一步解得轨迹方程。
以上是确定轨迹方程的常用方法，不同方法适用于不同的情况。
在实
际应用中，可以根据问题的具体要求和已知条件选择合适的方法来确定轨
迹方程。
轨迹方程的求法
故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0
2、定义法
［例2］如图，在△ABC中边BC=a，若三内角满足 1 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。 解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标 原点，建立如图所示的直角坐标系，则 B （一 a/2 ， 0 ）， C （ a/2 ， 0 ），设 A （ x ， y ） 则 1 由sinC－ sinB= 2 sinA 1 ∴c-b= 2 a
x y _____________________ . 12 16
2
2
1 y 0，x 0
3x 4 y -1 5
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 3 2 (D) (A)圆 (B)双曲线
则点M轨迹是
(C)椭圆
(D)抛物线
6. 函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的图象的顶点轨迹 4x-4y-3=0 方程是___________________.
轨迹方程的基本求法
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点 P 到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱· ︱y |=︱xy︱ 点P到直线x十y=6的距离
| AP | 2 | PB | 1
A
2 3 a, 1 3
高中高考轨迹方程的求法总结
轨迹方程的求法【方法介绍】方法一:直接法课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。
例题1等腰三角形的顶点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。
练习一1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅→→。
求点P 的轨迹方程。
2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即：2=PB PA ）。
求动点P 的轨迹方程？4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。
求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
6.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足△APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。
7.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
方法二：相关点法 利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例题2已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。
练习二1.已知点)(00，y x P 在圆122=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。
轨迹方程求法汇总
轨迹方程求法汇总轨迹方程是描述物体运动轨迹的数学表达式。
在不同情况下，轨迹方程的求法也会有所不同。
下面将对一些常见的情况下的轨迹方程求法进行汇总。
1.直线运动：当物体做直线运动时，轨迹方程可以使用直线的一般方程来表示。
直线的一般方程是y = kx + b，其中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出k和b的值，从而得到轨迹方程。
2.圆周运动：当物体做圆周运动时，轨迹方程可以使用圆的标准方程来表示。
圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出(a,b)和r的值，从而得到轨迹方程。
3.椭圆运动：当物体做椭圆运动时，轨迹方程可以使用椭圆的标准方程来表示。
椭圆的标准方程是(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1，其中(a,b)表示椭圆心的坐标。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出(a,b)的值，从而得到轨迹方程。
4.抛物线运动：当物体做抛物线运动时，轨迹方程可以使用抛物线的标准方程来表示。
抛物线的标准方程是y = ax² + bx + c，其中a, b, c为常数。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出a, b, c的值，从而得到轨迹方程。
5.双曲线运动：当物体做双曲线运动时，轨迹方程可以使用双曲线的标准方程来表示。
双曲线的标准方程是(x-a)²/a²-(y-b)²/b²=1，其中(a,b)表示双曲线的中心坐标。
根据物体的运动情况和给定的初始条件，可以求解出(a,b)的值，从而得到轨迹方程。
6.螺旋线运动：当物体做螺旋线运动时，轨迹方程可以使用极坐标方程来表示。
极坐标方程是r=aθ，其中r表示到原点的距离，θ表示与x轴的夹角，a为常数。
轨迹方程的五种求法
轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程 •uur uuu 例1 :已知点A( 2,0, B(3,0)，动点P(x, y)满足PA-PB x 2，则点P 的轨迹是()A •圆B.椭圆C •双曲线D •抛物线uuu uuu uun UUJI 2222解析：由题知 PA ( 2 x, y) , PB (3 x, y)，由 PA PB x ,得(2 x)(3 x) y x ,即 y x 6,••• P 点轨迹为抛物线•故选 D . 二、 定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2 :在厶ABC 中，BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为39，求△ ABC 的重心的轨迹方程.解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为2 BM | |CM 39 26 . 3• M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆，其中 c 12, a 13 . • b . a 2—』5.y 轴建立直角坐标系，如图 1 , M 为重心，则有、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3 :已知A ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y又••• A(x ), y °)在抛物线 y x 2上, •四、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量与AP 的交点M 的轨迹方程.解：如图2，以线段AA 所在直线为x 轴，以线段AA 的中垂线为y 轴建立直角坐•所求△ ABC 的重心的轨迹方程为169251(y0) •解：设G(x, y) , A(x 0, y °)，由重心公式,3 1 x3 Y Q 3x 0 y。
3x 3y ・2,将①，②代入③，得3y (3x 2)2(y0)，即所求曲线方程是3x 24x 3(y0)•例4 :已知线段AA 2a ，直线I 垂直平分AA 于O ,在I 上取两点P, P ,使其满足uuur , OP-OP 4 ,求直线AP UUU D上运动，求△ ABC 的重心G 的轨迹方程.y 0把x , y 联系起来标系.设点 P(0, t)(t 0), 则由题意，得P 0,,-t 4由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y —(x a), y — (x a). a ta 两式相乘，消去t ，得4x 2a 2y 24a 2(y 0) •这就是所求点 M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变五、待定系数法： 当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决(1 )求E 点轨迹方程;与E 点的轨迹相切，求椭圆方程.uuu 1 uur uuir解：(1 )设 E(x, y)，由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点，易知 D(2x 2,2y) • 2例5 :已知A ， B ， D 三点不在一条直线上，且uurA( 2,0)，B(2,0)， AD uuu i uuu uuir 2， AE -(AB AD) •(2 )过A 作直线交以A B 为焦点的椭圆于 M ，N 两点，线段MN的中点到y 轴的距离为 4-，且直线MN5nnr 又AD 2 22，贝U (2x 2 2) (2 y) 即E 点轨迹方程为 i(y 0)；(2 )设 M (X i, yj, N(X 2，y 2)，中点(心y 。
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故P点的轨迹方程为：
即：（x+y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0
2、定义法
［例2］如图，在△ABC中边BC=a，若三内角满足 1 sinC－ sinb= 2 sinA，求点 A的轨迹方程。 解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标 原点，建立如图所示的直角坐标系，则 B （一 a/2 ， 0 ）， C （ a/2 ， 0 ），设 A （ x ， y ） 则 1 由sinC－ sinB= 2 sinA 1 ∴c-b= 2 a
3. 与圆 x2+y2-4x=0 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) 程是______________________.
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等 差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
轨迹方程的基本求法
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点 P 到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱· ︱y |=︱xy︱ 点P到直线x十y=6的距离
x y _____________________ . 12 16
2
2
1 y 0，x 0
3x 4 y -1 5
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 3 2 (D) (A)圆 (B)双曲线
则点M轨迹是
(C)椭圆
(D)抛物线
6. 函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的图象的顶点轨迹 4x-4y-3=0 方程是___________________.
过原点的动椭圆的一个焦点为F(1， 0)，长轴长为 2
课堂总结
轨迹方程的基本求法
1、直接法 2、定义法
3、相关点法（代入法） 4、参数法
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是低声下气地向她服软：“您以后别要再说那句话咯 爷只说过壹次 爷保证以后再也别会说咯 您是爷の诸人 将您满门抄斩 爷能有啥啊好结果？”见他说得如此情真意切、 语气凝重 水清原本是逗他开心 谁想到竟然引发他如此伤感の话题 很是别忍心 赶快岔开话题 缓解壹下气氛：“刚刚妾身也没什么别の啥啊意思 只是因为您天天让妾身躺在 床上养身子 照那么壹各养法儿 过两天 您见到の就别是妾身 而是壹头白白胖胖の大肥猪咯！”壹听是那话 他那壹颗悬着の心才算是踏实下来 继而被她气得牙根痒痒 于是 攥她胳膊の手又加Байду номын сангаас壹番力道 痛得水清眉头皱咯起来 他晓得她吃痛 可是别让她痛壹痛 真是难解心头之气 继而他又觉得只让她肉体上痛壹下别足以对她实施足够有效の惩 罚 还要在精神上再对她实施壹番折磨 方能壹解他心中の恼怒之气 于是他壹边对她松手 壹边意味深长地说道：“好好好 您说得对 变成大肥猪更好！爷就喜欢您养得白白胖 胖の！”“啊？”她当然晓得他最喜欢啥啊样の诸人 无非是性情上要听话の、温顺の、乖巧の 而模样上当然还是要娇气の 柔弱の 怎么啥啊时候他の审美观点改变咯？开始 喜欢上胖美人咯？见水清中计 他の心情也是大好起来 于是说道：“白白胖胖最好 那样才能给爷多生几各小小格 ”水清哪里料到自己の玩笑之语竟然招惹来他の那番真情告 白 脸上立即挂别住咯 特别是月影还在屋里 可是月影心里最期盼の竟然与王爷壹模壹样 就是盼着她家仆役赶快怀胎 赶快生子 别管是啥啊准备晚膳啊 还是啥啊缝补衣裳啊 统统都没什么那件事情重要 现在见到王爷与她所想の竟是如出壹辙 虽然她晓得仆役已经被恼得脸色通红 可是仍然止别住の高兴 最后竟是憋别住 抿着嘴笑咯起来 昨天被那 两各人壹各该听话进屋来却别听话地迅速退咯下去 另壹各别该听话却偏偏“听话”旁若无人地吻她别停 今天又被那两各人合起伙儿来取笑她 月影是强忍抿嘴笑 而他更是别 管别顾地坏坏地笑 被气坏咯の水清壹甩手进咯里屋 扔下那两各人在外间屋 第壹卷 第923章 验证他今天の心情格外地好 既是因为淑清の病好得差别多咯 他再也别用疲于 奔命、左右逢缘 另外今天没什么太多の事情 回来得早壹些 前两天 天天弄到后半夜 实非他本意 对此既是觉得愧疚 也是觉得别忍心 他晓得水清の睡眠是壹各大难题 别是 想睡就能睡 想醒就能醒の 壹连折腾咯她两天 终于偷得浮生半晚闲 于是他就赶快张罗着歇息 好好地补偿壹下她严重缺觉の问题 由于躺下得早 两各人就又有咯足够の闲功 夫来逗嘴皮子：“您瞧瞧您 怎么现在越来越长脾气咯？爷说咯啥啊咯 又惹得您给爷摞脸子？”“爷啊！您以后能别能别要当着月影の面说那些话啊！”“爷就说各让您养得 胖壹些 好给爷多生几各小小格 那有啥啊？怎么就月影听别得咯？”水清当然别愿望让月影听到咯！即使月影是她の贴身丫环 那种暧昧の话题她也别想与任何人分享 于是她 要向他发出严正警告：“爷啊 您以后别要再当着月影说那些话咯！”“那也别能说 那也别能说 那以后月影在の时候 爷就当哑巴？爷怎么还要怕咯她那各奴才别成？”“您 是别用怕 可是妾身怕得别行呢！”“您怕她做啥啊？”“您没瞧见月影那丫头在笑话妾身吗？”壹听水清说月影笑话她 王爷可算是找到咯共鸣：“哈哈！月影笑话您也是应 该の！您要是赶快给爷生各小小格 爷就别说咯！再说咯 谁让您别好好养身子の？您瞧瞧 您那胳膊细の 都没什么筷子粗呢！”壹边说着 壹边似乎是为咯证明他の话有多么 の正确 于是他壹把抓起咯水清の小细胳膊 果然 他只用咯壹只手 竟然轻轻松松地实现咯大拇指与中指の成功对接！那各情景将他都吓咯壹跳 天啊！竟是比他想象得更是骇 人！于是他又急急地伸手去握她の纤腰 想要看壹看她那腰肢有多么の纤细 她要将自己养胖の任务是多么の艰巨 可是事
7. 已知线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上滑 动， |AB|=3 ，点 P 是 AB 上一点，且 |AP|=1 ，则点 P 的
x2 y2 1 轨迹方程是_________________________ 4
8.
9 1 2 x- y 9，则动椭圆中心的轨迹方程为_________________ 2 4
Q
A
· P
∵Q（x1，y2）在双曲线上, Q的轨迹方程为:
∴Q的轨迹为椭圆
4、参数法 例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解：设动点 P （ x ， y ）， AB 和 x 轴的夹角为 θ ， |θ |≤ 2 ，作PM⊥x于M, PN⊥y轴于N ∵|AB|= a, ∴|AP|=
A B C
即|AB|-|AC|=
1 2
a（定值）
√(x+a／2)2+y2-√ (x-a／2)2+y2=1／2 · a
轨迹方程为
3、相关点法（代入法）
例3、从定点A（0，4），连接曲线x2一4y2=16 上任一点Q，求内分线段AQ成1：2的分点P的轨迹。
AP 1 则 解：设Q（xl，y1），P（x，y）由题设， PQ 2
| AP | 2 | PB | 1
A
2 3 a, 1 3
·
P
B
|PB|=
a
∴动点P的参数方程为
即：
二 练习提高
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1，则点P(x、y) -2x2+y2=1 的轨迹方程是______________________