CH3-2~CH3-3连续周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
第17讲 周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散 频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信 号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅 里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引 出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映 的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶 变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而 是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小 的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的 冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)
ch3.周期信号的傅里叶级数展开
周期信号的傅里叶级数展开：1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w Tπ=，所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞==++∑其中：2021()TT a f t dt T -=⎰2122()cos TT n a f t nw tdt T -=⎰2122()sin TT n b f t nw tdt T -=⎰ 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式：011()cos()nn n f t c cnw t ϕ∞==++∑其中：00c a =n c =nn nb tg a φ=-（3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1jnw t e1()jnw tnn f t F e∞=-∞=∑其中1221()Tjnw t T n F f t e dt T --=⎰注意：（1）幅度谱和相位谱nj n n F F e φ= ：偶谱和奇谱与三角形式间的关系（2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞==+∑0n b =或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c a =||n n c a =0,0,0n n n a a ϕπ>⎧=⎨<⎩（2）奇函数：11()sin n n f t b nw t ∞==∑00n a a ==或011()cos()n n n f t c c nw t ϕ∞==++∑，00c =||n n c b =,02,02nn nb b πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩（3）奇谐函数：()()2T f t f t =-±其傅里叶级数展开式中仅含奇次谐波分量，即： 0240a a a ====2460b b b ====4. 典型周期矩形脉冲的傅里叶级数信号()f t ，周期为T ，脉宽为τ，脉幅为E（1）三角形式011()cos nn f t a anw t ∞==+∑0n b =其中：2202211()T T E a f t dt Edt T T Tτττ--===⎰⎰211222cos 2n E a E nw tdt Sa nw T T ττττ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 谐波形式：011()cos()n n n f t c c nw t φ∞==++∑其中：00c a =n nc a =， {0,0,0n n n a a ϕπ>=<（2）指数形式：1()jnw t n n f t F e ∞=-∞=∑其中：11222211()T jnw tjnw t T n F f t e dt Ee dt T T ττ---==⎰⎰112E Sa nw T ττ⎛⎫=⎪⎝⎭（3）幅度谱和相位谱的特点 谱线间隔和频谱宽度二．傅里叶变换 ()()jwt F w f t e dt ∞--∞=⎰1()()2jwt f t F w e dw π∞-∞=⎰特点：（1）()()()j w F w F w e ϕ=幅频函数和相频函数（2）变换条件：|()|f t dt ∞-∞<∞⎰ （3）()f t 也是由许多频率分量构成三．常见信号的傅里叶变换对 单边指数衰减信号,0()0,0t e t f t t α-⎧>=⎨<⎩，0α> ↔1()F w jw α=+ 双边指数衰减信号||,0(),0t t te tf t ee t ααα--⎧>==⎨<⎩ ↔222()F w w αα=+矩形脉冲(),2f t E tτ=<↔ ()()2F w E Sa w ττ=符号函数()sgn()f t t = ↔2()F w jw=冲击函数()()f t t δ= ↔ ()1F w = ()()f t t δ'=↔ ()F w jw =()()()n f t t δ=↔ ()()nF w jw = 直流信号()1f t = ↔ ()()2F w w πδ=()f t jt =-↔ ()()2F w w πδ'=()()nf t jt =-↔()()()2n F w w πδ=阶跃信号()()f t u t = ↔()1()F w w jwπδ=+四．傅里叶变换的性质 1.线性性2.奇偶虚实性：()f t 为实函数()()()cos ()sin jwtF w f t edt f t wtdt j f t wtdt ∞∞∞--∞-∞-∞==-⎰⎰⎰（1）()f t 为实偶函数，虚部()()sin 0X w f t wtdt ∞-∞==⎰ （2）()f t 为实奇函数，实部()()cos 0R w f t wtdt ∞-∞==⎰3. 对称性4.时移性5. 尺度变换：时域压缩，频谱扩张 时域扩张，频谱压缩 时域反褶，频谱反褶6.频移性：00()()jw tF f t e F w w ⎡⎤=-⎣⎦[][]001()cos ()()2F f t wt F w w F w w =-++[][]001()sin ()()2F f t wt F w w F w w j=--+ 7.时域微分：[]()()F f t jwF w '=()()()()n nF f t jw F w ⎡⎤=⎣⎦8.频域微分：[]()()F jtf t F w '-=()()()()n n F jt f t F w ⎡⎤-=⎣⎦9.时域卷积：()()()1212()F f t f t F w F w *=⎡⎤⎣⎦ 10.频域卷积：五．周期信号的傅里叶变换：（1） 周期信号的傅里叶级数展开式：1()jnw tnn f t F e ∞=-∞=∑（2） 周期信号的傅里叶变换：1()2()nn F w F w nw πδ∞=-∞=-∑特点：（ⅰ）频谱为冲击谱 （ⅱ）强度为2n F π（ⅲ）谱线位于谐波处（1nw ）（ⅳ）()1120211()|Tjnw t jwt T n w nw F f t e dt f t e dt T T∞--=-∞-==⎰⎰()101|w nw F w T==其中：0()f t 为周期信号的第一个脉冲， ()0F w 为0()f t 的傅里叶变换。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
周期信号的傅里叶变换
tm o tm
t
p( t)
E
s
1
o
F s
o
Ts
t fS( t)
o
o tm T s
t
第
24 页
§3.11 抽样定理
第
理想抽样（周期单位冲激抽样）
f (t)
25 页
f (t ) F ( )
o
p( t)
(1)
t
E
p(t ) T (t )
谐波频率
强度 : 2π F n1 与F (n1 )成正比, 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值 , 因为F 表示的是频谱密度。 周期信号的F 只存在于 n1处,
频率范围无限小, 幅度为。
三．如何求 F n1
1.方法一 2.方法 二
第 8 页
1 T 直接利用公式求：F n1 2T fT t e jn1t d t T 2 1 利用F0 来求 F n1 T F0 n 1 1
第
27 页
的范围，则信号 f t 可用等间隔的抽样值来 惟一地表示。 1 1 m 2π f m ， 其抽样间隔必须不大于 ，即Ts 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 2 f m。
f(t) 1
F
o
t
fS(t) o T S t s
o m m 1 F s
1
T t
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1
t
1 所以 T t 的傅氏级数谱系数 F n 1 T 1
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
傅里叶变换知识点总结
傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。
一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。
2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。
（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。
（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。
二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。
2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。
（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。
（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。
3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。
三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。
2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。
连续傅里叶级数和傅里叶变换
LTI系统对复指数信号的响应
LTI系统对复指数输入的响应
{est , s C} {z n , z C}
仍是一个相同的复指数信号，只是复数幅度有 所改变
LTI系统对复指数输入的响应
连续时间情况
输入 x(t ) est 单位冲击响应h(t) 输出
y (t ) h( ) x(t )d h( )e
叫做连续傅里叶级数系数， T 表示长度为 T 的任意区间。 这就是连续时间周期信号的傅里叶级数表示法，左式称为合 成公式，右式称为分析公式。它表明：周期信号都可以表示为与 重复频率0 2π T 成谐波关系的复正弦信号 e jk0t 的线性组合， 加权系数 就是傅里叶级数系数 Fk 。
k
说明：
(1) 周期时间函数不可能成为稳定的 LTI 系统的单位 冲激响应，故只有周期信号的傅里叶级数表示，一般不存在系 统的傅里叶级数表示； (2) 尽管周期信号在信号与系统研究中十分重要，但毕竟不 能代表所有信号，更不能表示系统。因此，仅有傅里叶 级数 ，还不能说明复正弦函数或序列可以构成相当广泛 的连续时 间函数或离散时间序列。傅里叶把傅里叶级数推广到傅里叶积 分，解决了这个问题，这正是他的杰出贡献之一； (3) 如果在频域中也引入冲激函数，傅里叶级数可以统一到 傅里叶变换中 ，傅里叶级数的性质也就 包含在傅里叶变换的 性质中。
■ 周期信号的频谱
根据周期信号的 CFS 合成公式，系数 Fk 表示组成周期信号 的各个成谐波关系的复正弦分量 ( e jk0t ) 的复数幅度。在整数 域 k 上， Fk 可以看成复值序列， k0 是连续时间或离散时间 频域 上的谐波频率点，因此，通常用频域 上的 Fk 的序列 图形，来表示组成周期信号的所有谐波分量的复数幅度分布情 况。这就是周期信号频谱的概念，这种图形称为周期信号的频 谱图。
傅里叶级数与变换
傅里叶级数与变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的工具，用于分析和描述周期性信号以及非周期性信号的频谱特性。
它们在信号处理、图像处理、通信工程、物理学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和实际应用。
一、傅里叶级数的基本概念与原理傅里叶级数是指将一个周期为T的周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
根据傅里叶级数的定义，任意一个周期为T的周期函数f(t)可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt))其中，a0、An和Bn分别是级数中的常数系数，ω是角频率，n是正整数。
这个级数表达式中的每一项都是基于正弦和余弦函数的频谱分量，其中a0表示平均值分量，An和Bn则表示不同频率下的谐波分量。
通常，我们可以通过计算各个系数来确定函数f(t)的具体表达式。
根据傅里叶级数的理论，这些系数可以通过在一个周期内对函数f(t)进行积分和求和来求得。
通过傅里叶级数的展开，我们可以分析周期函数f(t)在频域上的特性，例如谐波成分的频率、振幅等。
二、傅里叶变换的基本概念与原理傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于分析和描述非周期性信号的频谱特性。
傅里叶变换的基本思想是将一个时域上的函数转换到频域上，得到频率分量的表示。
对于一个连续信号f(t)，其傅里叶变换F(ω)可以表示为以下形式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt) dt其中，F(ω)表示频域上的频谱，ω为连续的角频率，j为单位虚数。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，使得我们可以更清晰地看到信号的频率成分、幅度、相位信息等。
对于离散信号，同样可以进行傅里叶变换。
离散信号的傅里叶变换可以通过离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）来实现。
DFT和FFT是将离散信号从时域转换到频域的重要工具，在信号处理领域得到了广泛应用。
三、傅里叶级数和傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信工程中有着重要的应用。
傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别
傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别摘要：一、傅里叶级数简介二、傅里叶变换简介三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别五、应用场景分析正文：傅里叶级数和傅里叶变换是数学和工程领域中广泛应用的两种信号处理方法。
它们在一定程度上具有相似性，但也存在明显的区别。
下面我们将分别介绍这两种方法，并探讨它们之间的关系和区别。
一、傅里叶级数简介傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数和的形式。
任何一个周期函数都可以表示为傅里叶级数，这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
傅里叶级数提供了将复杂信号分解为简单正弦和余弦函数的和的方法，从而便于分析和处理。
二、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的乘积。
傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域具有重要应用价值。
与傅里叶级数相似，傅里叶变换也将复杂信号分解为简单的正弦和余弦函数，但它在处理非周期信号时具有优势。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在一定程度上具有关联。
傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在特定条件下的特例。
当信号为周期信号时，傅里叶变换可以退化为傅里叶级数。
因此，我们可以将傅里叶级数看作是傅里叶变换的一个基本概念，而傅里叶变换则是傅里叶级数的扩展和推广。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别1.适用范围：傅里叶级数适用于周期性信号的处理，而傅里叶变换可以处理非周期性和周期性信号。
2.表达形式：傅里叶级数将周期信号表示为正弦和余弦函数的和，傅里叶变换将信号表示为不同频率正弦和余弦函数的乘积。
3.计算复杂度：傅里叶级数计算相对简单，但随着信号长度的增加，计算量呈线性增长；傅里叶变换计算复杂度较高，但随着信号长度的增加，计算量呈指数增长。
五、应用场景分析1.傅里叶级数应用场景：在需要处理周期性信号时，如信号处理、图像处理等领域，可以采用傅里叶级数进行信号分解和分析。
3连续信号的频谱——傅里叶变换(收藏)
SN(t)a0 ancos(n1t)bnsin(n1t) n1
方 均 误 差 ： E nN 2(t) T 1 1tt0 0 T 1 N 2(t)d t
其中N(t)f(t)SN(t)
(为逼近f(t)的误差函数）
例子 以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情 况，并计算由此引起的方均误差。
傅 里 叶 级 数 存 在 的 充 分 条 件 ： 周 期 信 号 f(t)须 满 足 “ 狄 利 克 雷 ” ( D i r i c h l e t ) 条 件 ， 即
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00T1 f (t) dt
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要， 一般不再考虑这一条件。
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。 • 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 • 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究热传导理论时发表了
“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定 了傅里叶级数的理论基础。 • 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电学中去。 • 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以 及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的应用。
0.5
0
t
举例3.1：
将图示信号展开为 函三 数角 形式和 指数形式的傅里叶级数
f(t)
-T -T/2 0 T/2 T
t
解：
f (t) 2T2tt11,,
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换是数学中重要的工具，它们在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中得到广泛的应用。
本文将简要介绍傅里叶级数与傅里叶变换的基本概念和原理，并讨论它们的应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的和。
对于一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数表示为：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，n为正整数，ω为基本频率，a0/2为直流分量，an和bn为傅里叶系数。
傅里叶系数可以通过函数f(t)的积分与积分求和相应计算得到。
傅里叶级数展示了周期函数在频域上的频谱信息，它可以将原始函数表示为频率成分的组合，从而方便分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期函数或者信号分解成连续的频率谱。
对于一个连续时间域函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫f(t) * e^(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)在频率ω上的频谱，j为虚数单位。
傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而使得我们可以更加直观地分析和处理信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的幅度谱、相位谱等信息。
傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
例如，它可以用来滤波、频率分析、数据压缩等。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的应用1. 信号分析与处理傅里叶级数与傅里叶变换在信号分析与处理中具有广泛的应用。
通过将信号转换到频域，我们可以分析信号的频率分量、频谱特性等。
这对于音频信号的音调分析、图像信号的频域滤波、波形信号的频域调整等都非常有用。
2. 通信系统在通信系统中，傅里叶级数与傅里叶变换可用于信号的调制、解调、频率分析等。
傅里叶变换的性质使得信号可以在频域上进行复杂的操作，如相关、卷积等，从而实现信号的可靠传输。
3. 图像处理图像处理是傅里叶变换的一个重要应用领域。
傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，通过对图像频谱的分析和处理，实现图像增强、滤波、去噪等操作。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换是数学分析中两个重要的概念和理论工具，它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列谐波的方法，而傅里叶变换是将非周期函数分解成连续谱的方法。
首先，我们来介绍一下傅里叶级数。
傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为一系列谐波的和的形式，其中每个谐波都有一个特定的频率和振幅。
傅里叶级数的基本公式为：f(t) = a0 + Σ(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))其中a0表示直流分量，An和Bn分别表示正弦和余弦项的振幅，n为谐波的阶数，ω0为基本频率。
傅里叶级数的系数可以通过求解积分或者利用傅里叶级数的性质进行计算。
傅里叶级数的应用十分广泛。
例如在信号处理中，傅里叶级数可以用来将一个周期信号分解为多个频率成分，从而进行频域分析和滤波等操作。
此外，傅里叶级数也可以用来恢复被损坏的信号，例如在音频和图像压缩中，傅里叶级数可以用来还原被压缩的信号。
接下来，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数f(t)分解成连续的频谱。
傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的频谱，e^(-jωt)是一个旋转复指数，j为虚数单位。
傅里叶变换的结果是一个连续的函数，其中包含了函数f(t)在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换的应用也非常广泛。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来将一个时域信号转换成频域信号，在频域进行滤波、增强和分析操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、边缘检测和压缩等操作。
在物理学中，傅里叶变换可以用来研究波动、振动和量子力学等问题。
傅里叶级数和傅里叶变换是相互联系的。
当一个函数是周期函数时，傅里叶级数可以通过傅里叶变换来计算。
而当一个函数是非周期函数时，傅里叶变换可以通过傅里叶级数来近似计算。
总之，傅里叶级数和傅里叶变换是数学分析的两个重要工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。
电路基础原理解析电路的傅里叶级数和傅里叶变换
电路基础原理解析电路的傅里叶级数和傅里叶变换电路基础原理解析：电路的傅里叶级数和傅里叶变换电路是现代社会不可或缺的一部分，它负责传递和处理电信号，使得我们的电子设备能够正常工作。
在电路的设计和分析过程中，傅里叶级数和傅里叶变换是重要的工具。
本文将解析电路中的傅里叶级数和傅里叶变换，介绍它们在电路分析中的应用。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数分解为基本频率的无穷级数的方法。
根据傅里叶级数的定理，任何一个周期为T的函数f(t)都可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是直流分量，an和bn是函数f(t)的傅里叶系数，n是正整数，ω = 2π/T是角频率。
在电路分析中，我们经常使用傅里叶级数来分析周期性信号的频谱特性。
通过计算傅里叶系数，我们可以了解到信号中各个频率成分的强度和相位差。
这对于设计和优化电路非常重要，因为不同频率的成分会对电路的性能产生不同的影响。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期函数转化为连续频域信号的方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，揭示出信号的频谱特性。
傅里叶变换的公式如下：F(ω) = ∫(x(t)*e^(-jωt))dt其中，F(ω)是频域函数，x(t)是时域函数，ω是角频率。
在电路分析中，傅里叶变换被广泛应用于信号处理和滤波。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以观察到信号在不同频段的能量分布情况，并根据需要进行滤波操作。
傅里叶变换还可以帮助我们分析稳态和暂态响应，揭示电路的特性和性能。
3. 傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在理论上存在着密切的联系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在周期函数上的特例。
当一个函数是周期函数时，它的傅里叶变换将得到一系列的脉冲函数，而这些脉冲函数的加权和就构成了傅里叶级数。
因此，理解和掌握傅里叶级数和傅里叶变换的原理和方法对于电路的分析和设计非常重要。
连续傅里叶级数、连续连续傅里叶变换、离散傅里叶级数和离散傅里叶变换的区别。
连续傅里叶级数、连续连续傅里叶变换、离散傅里叶级数和离散傅里叶变换的区别。
摘要：1.连续傅里叶级数与连续傅里叶变换的区别2.离散傅里叶级数与离散傅里叶变换的区别3.应用场景及实际应用举例正文：在信号处理、图像处理等领域，傅里叶级数和傅里叶变换是常用的数学工具。
它们在连续和离散信号分析中都有广泛的应用。
本文将详细介绍连续傅里叶级数、连续傅里叶变换、离散傅里叶级数和离散傅里叶变换的区别。
一、连续傅里叶级数与连续傅里叶变换的区别1.定义域不同连续傅里叶级数是对连续信号进行分析的工具，它的定义域为实数域。
而连续傅里叶变换则是对连续信号和离散信号进行分析的工具，其定义域为复数域。
2.应用场景不同连续傅里叶级数主要用于分析周期性信号，通过将周期性信号分解为一系列正弦和余弦波的叠加，可以实现对信号的频谱分析。
而连续傅里叶变换适用于分析非周期性信号，它可以将非周期性信号转换为频域表示，从而方便分析信号的频率成分。
二、离散傅里叶级数与离散傅里叶变换的区别1.定义域不同离散傅里叶级数是对离散信号进行分析的工具，它的定义域为离散频域。
而离散傅里叶变换则是对离散信号进行分析的工具，其定义域为复数域。
2.应用场景不同离散傅里叶级数主要用于分析离散信号的频谱，通过将离散信号分解为一组离散频率的正弦和余弦波的叠加，可以实现对信号的频谱分析。
而离散傅里叶变换适用于分析有限长度序列，它可以将有限长度序列转换为频域表示，从而方便分析信号的频率成分。
三、应用场景及实际应用举例1.连续傅里叶级数应用场景：分析周期性信号、信号滤波、信号调制等。
举例：在通信系统中，连续傅里叶级数可以用于分析载波信号的频谱，从而实现信号的调制与解调。
2.连续傅里叶变换应用场景：分析非周期性信号、图像处理、信号重建等。
举例：在医学成像中，连续傅里叶变换可以用于分析人体组织的频谱特征，从而实现对人体内部的成像。
3.离散傅里叶级数应用场景：分析离散信号、信号滤波、数字信号处理等。
周期信号的傅里叶变换
二、一般周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
e 一般周期信号：f (t)
F jn1t n
n
F 2 Fn n1 n
其中：
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jwtdt
2
1.单脉冲信号的傅里叶变换
单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周 期，得到单脉冲信号。
思考题
1.正弦、余弦信号的傅里叶变换公式？ 2. 一般周期信号的傅里叶变换公式？
n
又
1 Fn T1
fT (t) T (t) FT w1 (w nw1) n
可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 21, n1, 频率处的冲激函数，其强度大 小相等，均等于1 。
例3-11
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和 傅里叶变换。
f (t)
E
…
…
T
0
T
一、正弦、余弦周期信号的傅里叶变换
e Q f (t) j0t F F( m0 ), 0 0 1F2 (t) e j0t F 2 ( m0 ), 0 0
余弦信号：cos(1t) F ( 1) ( 1) 正弦信号：sin(1t) F j ( 1) ( 1)
1 f (t) cos w1t
2
f
(t
)e
jwt
dt
wnw1
周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里 叶变换F0()在n1频率点的值乘以1/T1。
可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里 叶级数的系数。
例3-10 单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)
表示周期单位冲激序列：
CH3-2~CH3-3连续周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换解析
0
5
15
2018/10/15
脉宽 , 周期 T1 5
脉宽 , 周期 T2 10
1 2 2
基频 1 2 / T1 2 / 5
基频 2 2 / T2 / 5
2 / 51
2 / 10 2
xt不连续时不连续时aakk1k的速度衰减的速度衰减xxtt不连续时不连续时aakk22的速度衰减的速度衰减201822324信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
复指数信号
x(t ) e , s j
st
x(t ) e e
et sint
t jt
et cost jet sin t
et sint
0
0
t
t
2018/10/15
1
L T I 系 统 对复指数信号的响应
if x( t ) e
2018/10/15
n
ane jn 0t
4 6 cos( 0t ) 2 cos(20t ) 4 cos(30t )
21
频谱的特性
1) 离散频谱特性
周期信号的频谱 是由间隔为0 的 谱线组成的。 信号周期T越大，0 就越小，则谱线越密 。反之，T越小，0 越大，谱线则越疏。
2 Ck T
2018/10/15
T
x( t ) sin( k 0 t )dt jak a k ( k = 1,2 )
傅里叶变换和傅里叶级数的关系
傅里叶变换和傅里叶级数的关系傅里叶变换和傅里叶级数是数学中两个重要的工具，它们广泛应用于信号分析、图像处理、量子力学、电路分析等领域。
傅里叶级数是对周期性信号的分析，而傅里叶变换则能够对非周期性信号进行分析。
这两个方法虽然处理不同类型的信号，但由于它们的数学结构相似，因此它们之间存在密切的联系和关系。
傅里叶级数是把任意一个周期为T的函数分解成正弦和余弦函数的和的形式，即将函数表示为f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中ω=2π/T，an和bn是系数，n是正整数，a0/2也是系数，表示直流分量的大小，即函数的平均值。
这种分析是建立在函数具有周期性的前提下的。
不难看出，傅里叶级数所表示的是函数在正交的正弦和余弦函数的基上的投影。
这也是傅里叶级数的应用的核心思想。
傅里叶变换的思想是，将一个非周期函数表示为一个无穷多个周期函数的和的形式，即把函数拆分成各种频率的正弦和余弦函数的和的形式。
傅里叶变换的表达式为F(ω) = ∫f(x)exp(-iωx)dx其中F(ω)是傅里叶变换，f(x)是原函数。
傅里叶变换后得到的是复数，表示了原函数在不同频率下的分量大小和相位。
不同于傅里叶级数，傅里叶变换能够分析任意周期的函数，而不需要满足特定的周期性质。
同时，傅里叶变换是傅里叶级数的扩展形式，在消除函数间隔离的数据时，起着至关重要的作用。
傅里叶变换和傅里叶级数有着密切的联系和相似的结构。
对于一个周期为T的函数，如果它的周期趋向于无穷大，即趋近于非周期性函数，那么它的傅里叶级数会趋近于傅里叶变换。
因此，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一个特例。
具体地说，在傅里叶级数中，正弦和余弦函数对于周期性函数来说是完备的基函数。
而在傅里叶变换中，复指数函数是完备的基函数。
这里之所以选用复指数函数是因为它更直观且具有更好的连续性。
在实际应用中，傅里叶变换和傅里叶级数是紧密结合的，它们相互补充，为我们提供了分析、处理复杂信号的有力工具。
傅里叶变换 傅里叶级数
傅里叶级数针对的是周期函数，傅里叶变换针对的是非周期函数，本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，都有相似的特性，因为四种傅里叶表示都利用了复正选信号，这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法1、傅里叶级数在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。
在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。
在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。
在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。
此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。
2、傅里叶变换对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。
于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。
再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。
在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。
3、离散时间傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。
对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。
在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。
4、离散傅里叶变换对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。
在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。
如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。
但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。
当然，关于DFT是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。
有的认为进行DFT分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。
此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把DFT看做是对DTFT结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。
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e
st
zero state
LTI
yzs (t )
h(t)的拉普 拉斯变换 H(s)
yzs ( t ) h(t ) x( t ) h( ) x(t )d
then
yzs (t ) h( )e
s ( t )
由拉普拉斯变换的定义：
F ( s ) f (t )e
幅值间的关系 相角间的关系
Ak Ak
ak Ak e
j k
(极 坐 标 形 式 )
k k
8
2015-7-6
三角函数形式傅里叶级数
若将“指数形式”的傅里叶级数
x(t )
先写为
k
a e
k
jk0t
1
(k 0， 1, 2, 3, ... )
jk0t a0 ak e
2π
2π
0
2π / T
k 0
20
2015-7-6
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 实数形式的Fourier级数。
an
3 2 1 9 6 3 4 3 2 1
0
0 3
6
9
Ω
解： 由图可知 a0 4
a 1 3
a 2 1
a 3 2
x( t )
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
2015-7-6 12
如果周期信号 x(t )为实函数则有
当 x(t ) x(t ) 时，Ck 0 则： x(t ) a0 Bk cos k0t
k 1
当 x(t ) x(t ) 时， Bk 0 则： x(t ) Ck sin k0t
k 1
2015-7-6 13
物理含义：
2015-7-6
周期信号下x(t)可以分解为不同 频率虚指数信号之和
6
周期信号展成“指数形式”的傅里叶级数
x(t )
k
a e
k
jk0t
(k 0， 1, 2, 3, ... )
周期信号展成“指数 形式”的傅里叶级数 中的加权系数—傅里 叶级数的谱系数：
1 jk0t ak x(t )e dt TT
T 2
2
2 T
2015-7-6
A k ak Sa T T
14
A k0 A k ak Sa Sa T T 2 T k k sin 2 sin A 5 T T k 5 k T 5
1. 频谱的概念
周期信号x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
xT (t )
k =
jk 0t a e k
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数ak不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
ak是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波
的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
表示：任意一个周期内的积分！
2015-7-6
7
如果周期信号 x(t ) 为实函数 则有 a ak (3.29)
* k
1 1 1 jk0t ak x(t )e dt x(t ) cos k0tdt j x(t ) sin k0tdt TT TT TT 1 1 1 jk0t ak x(t )e dt x(t ) cos k0tdt j x(t ) sin k0tdt TT TT TT
例
矩形脉冲串 x(t ) 如图所示。
x(t )
2
2
图中： T 10, 2, A 2, 0 2 / T / 5。
1 1 jk0t jk0t ak x(t )e dt Ae dt T T 2 T 2 A sin k0 / 2 A k0 ak ak Sa T k0 / 2 T 2
2பைடு நூலகம்15-7-6 4
基波频率f 1 T (1/s 或 Hz)
直流信号——特殊的周期信号
x(t )
x(t ) C onst.
任何周期函数，只 要满足Dirichlet 条件，就可展成傅 里叶级数。
2015-7-6
T (se c.) 不定义
而 0 (r/s)
或 f 0 (1/s or Hz)
16
周期 T , 脉宽 1 T/5
周期 T , 脉宽 2 T/10
1 2
2 / 1 10 / T 51
2 / 2 20 / T 10 2
基频 1 2 / T
2015-7-6
基频 2 2 / T
17
周期信号的频谱及其特点
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带 宽必须“匹配”。 2015-7-6 24
0
5
15
2015-7-6
脉宽 , 周期 T1 5
脉宽 , 周期 T2 10
1 2 2
基频 1 2 / T1 2 / 5
基频 2 2 / T2 / 5
2 / 51
2 / 10 2
2015-7-6
2015-7-6
n
ane jn 0t
4 6 cos( 0t ) 2 cos(20t ) 4 cos(30t )
21
频谱的特性
1) 离散频谱特性
周期信号的频谱 是由间隔为0 的 谱线组成的。 信号周期T越大，0 就越小，则谱线越密 。反之，T越小，0 越大，谱线则越疏。
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
复指数信号
x(t ) e , s j
st
x(t ) e e
et sint
t jt
et cost jet sin t
et sint
0
0
t
t
2015-7-6
1
L T I 系 统 对复指数信号的响应
if x( t ) e
jt
2015-7-6
3
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数 和傅里叶变换 周期信号
x(t )
周期信号x(t ) x(t nT )
( n 0， 1， 2， 3， ... )
基波周期 T (se c.) 是: 周期信号x(t ) 波形的最小重复间隔
基波 角频率 2 T (r/s),
2015-7-6
st yzs (t ) H ( s )e (3.5)
d e
st
h( )e s d
st
dt , ( s j )
2
e
st
LTI
y( t ) yh ( t ) H ( s )e
与输入信号 形式相同
st
若： s j 则称： H ( j )e 为稳态响应。
k 1
周期信号x(t)的： 直流分量
2015-7-6
周期信号x(t)的： 第k次谐波分量
10
三角函数形式傅里叶级数
令： ak Bk jCk
x(t ) a0 ( Bk cos k0t Ck sin k0t )
k 1
1 其中： a0 x( t )dt ( 3.40) T T 2 Bk x( t ) cos( k 0 t )dt＝ak a k T T
2 Ck T
2015-7-6
T
x( t ) sin( k 0 t )dt jak a k ( k = 1,2 )
11
x(t ) a0 Bk cos k0t Ck sin k0t
k 1 k 1
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义：
从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正 弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较 提供了途径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦 信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通 过系统后，是衰减还是增强一目了然。
2015-7-6 18
2. 频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的ak离散线状 分布图形，这种图形称为信号的频谱图。
ak ak e
幅度频谱
2015-7-6
j k
相位频谱
19
例1
周期矩形脉冲信号的频谱图
x(t )
A
-T
0
T
t
ak
A / T
k 0 A ak Sa( ) T 2
5
指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里 叶级数表示为:
x( t )
k = jk 0t a e ( 3.25) 其中 k
1 ak T
T 2 T 2
x(t )e jk 0t dt ( 3.36)
k 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 k 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 k N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
k 1
k
a e
k
jk0t
再令: k 0 ， 1， 2， 3， ... 。 则有
x(t ) a0 2 Ak cos(k0t k ) (3.31)
k 1
2015-7-6 9
周期信号的“幅值—相位形式”