[中学联盟]广东省 新课标人教A版高中数学复习课件：实数与向量的积(共10张PPT)
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实数与向量积及几何意义 PPT课件 图文
M u u u B r1 2 u D u u B r1a 2 -b 1a 2 1b2
22
22
M uuuC ur1u A uC ur1a1b 2 22
M u u u D u r M u u u B r 1u B u D u r 1a 1b 2 22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
OA
B
C
N
M
QP
u u u r u u u r u u u r u u C a a a 记: aaa3a
即:
uuur r OC3a.
同理可得:
u u u r r r r r P N ( a ) ( a ) ( a ) 3 a
任意实数，则有：
(1)(a) ()a (2)()aaa (3)(ab) ab
例题解析
例1：计算题
(1)(3)4a
r 12a
(2) 3(ab)2(ab)a
r 5b
(3) (2a3bc)(3ar2brcr)
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.u u 如u r 图,已知u 任u u r 意两个非零u u u 向r 量 a, b, 试作 O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断
高中数学复习课件-§5.1向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
栏目索引
课标版 文数 § 5.1 向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
知识梳理
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1.既有大小又有① 方向 的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示. 2.向量 AB的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模),记作|AB |. 3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位的向量叫做单位向 量. 4.方向相同或相反的非零向量叫做② 平行向量 ,也叫做③ 共线向 量 .规定:0与任一向量④ 平行 .
所以 8k
λk 2λ
0, 0,
解得λ=±2,
所以k=2λ=±4.
栏目索引
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点共线、向量共线的证明方法: 证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
栏目索引
1-1 若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,t∈R,则t为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在同一条直线上?
栏目索引
2.已知点P为△ABC所在平面上的一点,且 AP = 1 AB +t AC ,其中t为实数,若点
3
P落在△ABC的内部,则t的取值范围是 ( )
A.0<t< 1
4
C.0<t< 1
2
B.0<t< 1
3
D.0<t< 2
3
答案 D AP= 1 AB+t AC,如果P在BC上,即B,P,C三点共线,则t+ 1=1,即t
解得k=- 1
3
.
栏目索引
.
栏目索引
4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别是CD,AB的中点,设 AB=a,
课标版 文数 § 5.1 向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
知识梳理
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1.既有大小又有① 方向 的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示. 2.向量 AB的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模),记作|AB |. 3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位的向量叫做单位向 量. 4.方向相同或相反的非零向量叫做② 平行向量 ,也叫做③ 共线向 量 .规定:0与任一向量④ 平行 .
所以 8k
λk 2λ
0, 0,
解得λ=±2,
所以k=2λ=±4.
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点共线、向量共线的证明方法: 证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
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1-1 若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,t∈R,则t为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在同一条直线上?
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2.已知点P为△ABC所在平面上的一点,且 AP = 1 AB +t AC ,其中t为实数,若点
3
P落在△ABC的内部,则t的取值范围是 ( )
A.0<t< 1
4
C.0<t< 1
2
B.0<t< 1
3
D.0<t< 2
3
答案 D AP= 1 AB+t AC,如果P在BC上,即B,P,C三点共线,则t+ 1=1,即t
解得k=- 1
3
.
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.
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4.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别是CD,AB的中点,设 AB=a,
高一数学课件：实数与向量的积
B 过O作OB= b
以OA,OB为边作
a a+b
平行四边形
A
则对角线
C
OC= a+b
向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
作法:
在平面中任取一点o,
o
b
B 过O作OA= a
过O作OB= b
a a-b
则BA= a-b
A
已知非零向量 a （如图）
a
试作出： a+a+向量的积
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b ao
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
a A
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
作法:在平面中任取一点o,
b ao
b
过O作OA= a
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有
①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
例1 计算：
答案：
(1) (-3)×4a
-12a
(2) (3)
3(a+b) –2(a-b)-a (2a+3b-c) –(3a-2b+c)
5b
-a+5b-2c
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ 问题1：如果 b=λa ,
课本P107-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
a
3(2a)
以OA,OB为边作
a a+b
平行四边形
A
则对角线
C
OC= a+b
向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
作法:
在平面中任取一点o,
o
b
B 过O作OA= a
过O作OB= b
a a-b
则BA= a-b
A
已知非零向量 a （如图）
a
试作出： a+a+向量的积
向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b ao
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
a A
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
作法:在平面中任取一点o,
b ao
b
过O作OA= a
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有
①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
例1 计算：
答案：
(1) (-3)×4a
-12a
(2) (3)
3(a+b) –2(a-b)-a (2a+3b-c) –(3a-2b+c)
5b
-a+5b-2c
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ,μ 问题1：如果 b=λa ,
课本P107-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
a
3(2a)
实数与向量的积课件课件.ppt
2 5
e2
，b
e1
1 10
e2
解：因为 a = 4 b ，所以 a 、 b 共线。
例3 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
解： AE AD DE
E
3AB 3BC
C
3(AB BC) A
3AC
B
AC与AE共线.
D
三点共线： AB BC A、B、C三点共线
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；
特别地，当 0或a 0 时，a 0 .
5.3 实数与向量的积
例1： 如图，点A、B、C在一条直线上，且
AC 3，则 CB 2
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b ；
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c .
练习：
1、计算 4(a b) 3(a b) b
2、若 3m 2n a且 m 3n b，其中a、b
是已知向量，求m ， n ？
5.3 实数与向量的积
下面请大家看教材P115例1~~例2之间的内容回答下 列问题；
(1) 教材中向量共线定理是怎样表述的
.
(2) 教材所给出的定理是一个充要条件形式，问
其中条件是
，结论是
；
(3) 教材中有无对此定理的证明叙述，若有，请 说出哪些是证明充分性的，哪些是证明必要性的？
实数与向量的积
（一）1.知识回顾
1、判断下列命题真假.
（1）0 与任一向量平行.（真 ）
新课标人教A版数学必修4全部课件：实数与向量的积
1
PQ=_____________ 2
a b
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能力·思维·方法
1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； (2)若a⊥b，求λ.
【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a· b=0
2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证： OG=
2.在能力· 思维· 方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清 条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.
返回
第2课时 实数与向量的积 要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下： 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的 方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a， (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实 数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底.
【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样： 设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又 易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略.
PQ=_____________ 2
a b
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能力·思维·方法
1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； (2)若a⊥b，求λ.
【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a· b=0
2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证： OG=
2.在能力· 思维· 方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清 条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.
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第2课时 实数与向量的积 要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下： 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的 方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a， (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实 数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底.
【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样： 设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又 易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略.
数学：《实数与向量的积》专题教学指导课件
第三页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
5.3 实数与向量的积
例1．计算：
（1） 3 4a （2）3a b 2a b a （3）2a 3b c 3a 2b c
-12a
5b
-a+5b-2c
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
第四页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和
方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0时，
a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0时， a 0
运算律：
结合律 a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
-a -a -a
OA B C OC OA OB OC =a+a+a 记作3a
3a与a方向相同
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
第二页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
5.3 实数与向量的积
5.3 实数与向量的积
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
第五页，编辑于星期日：十二点 三十八分。
5.3 实数与向量的积
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值． R=6 (2)若O为 ABCD的对角线交点，AB 4e1，BC 6e2， 则 3e2 2e1 等于（ B ）
高中数学人教A版必修四向量的数量积 课件
3
解： a b | a || b | cos
5 4 cos 2 3
5 4( 1) 2
cos 2π cos(π π )
3
3
cos π 1 32
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
3
解： a b | a || b | cos
5 4 cos 2 3
0 向量a，b同向 向量a，b反向 向量a，b垂直
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊
的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹 角 是多少？ 向量a ，b共线
0 向量a，b同向 向量a，b反向
向量a，b垂直
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊
的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹
3
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
3
解： a b | a || b | cos
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
3
解： a b | a || b | cos
5 4 cos 2 3
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
B
思考 如图，在ABC 中，你能指出向量 AB 与AC 的
夹角吗？向量 BA 与 AC 的夹角呢？ C
显然，向量 AB 与 AC 的夹角为BAC．
由于向量 BA 与 AC 的起点不同，
先将向量平移到同起点，B1 A
B
所以 ，向量 BA 与 AC 的夹角为 BAC ．
思考 如图，在ABC 中，你能指出向量 AB 与AC 的
解： a b | a || b | cos
5 4 cos 2 3
5 4( 1) 2
cos 2π cos(π π )
3
3
cos π 1 32
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
3
解： a b | a || b | cos
5 4 cos 2 3
0 向量a，b同向 向量a，b反向 向量a，b垂直
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊
的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹 角 是多少？ 向量a ，b共线
0 向量a，b同向 向量a，b反向
向量a，b垂直
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊
的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹
3
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
3
解： a b | a || b | cos
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
3
解： a b | a || b | cos
5 4 cos 2 3
例1 已知 | a |= 5，| b |= 4 ，a与b的夹角 = 2 ，求 a b．
B
思考 如图，在ABC 中，你能指出向量 AB 与AC 的
夹角吗？向量 BA 与 AC 的夹角呢？ C
显然，向量 AB 与 AC 的夹角为BAC．
由于向量 BA 与 AC 的起点不同，
先将向量平移到同起点，B1 A
B
所以 ，向量 BA 与 AC 的夹角为 BAC ．
思考 如图，在ABC 中，你能指出向量 AB 与AC 的
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【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样： 设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又 易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3. 另外还可以用坐标运算的方法来解，略.
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延伸·拓展
5.如图，已知梯形 ABCD中，AD∥CB， E，F分别是 AD，BC边上 的中点，且 BC=3AD ，设 BA=a,BC=b ，以 a,b 为基底表示 EF ， DF ， CD.
3.已知OA、OB不共线，设OP=aOA+bOB，求证：A、P、B三点 共线的充要条件是a+b=1.
【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是AB中点，则有 1 OP= (OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题. 2
4.E是□ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于 F，求AF/FC.(用向量知识解答)
1 OG= (OA+OB+OC) 3
【解题回顾】当点O是△ABC重心时，有 OA+OB+OC=0；反过来， 若P是△ABC所在平面内一点，且 PA+PB+PC=0，则 P必为△ABC 的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB
1 -OP)+(OC-OP)=0，所以OP= (OA+OB+OC)，故P是△ABC的重心 3
第2课时 实数与向量的积 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下： 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的 方向相反；当λ=0时，λa=0. (2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a， (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实 数λ，使得b=λa 3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1，e2叫基底.
【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用 .由于BA与 BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它 们表示出来.
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解分析
1.很多人认为“若a∥b，则存在唯一实数λ使b＝λa.”这是典型错 误.事实上，它成立的前提是a≠0.同样，在向量基本定理中，若 e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量.
2.在能力· 思维· 方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分 清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.
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课前热身
1.设命题p：向量b与a共线，命题q:有且只有一个实数λ，使得 B) b=λa,则p是q的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
2.给出下列命题：①若a,b共线且|a|=|b|，则(a-b)∥(a+b)；②已知 a=2e,b=3e，则a=3b/2；③若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2，且e1≠e2，则 |a|=3|b|；④在△ABC中，AD是BC上的中线，则AB+AC=2AD ①，④ 其中，正确命题的序号是___________ 3.(1)在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量 AC+DB为( A ) (2)已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB=e1，AD=e2， 则用e1, e2表示ED的表达式为( B ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b
4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1， 3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的 轨迹方程为( )D (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0
5.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则
1 a b 2 PQ=_____________
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能力·思维·方法
1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2. (1)若a∥b，求λ； (2)若a⊥b，求λ.
【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a· b=0
2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证：