辽宁省阜新市2019-2020学年高考数学经典试题
2019_2020学年高中数学2019年数学高考真题新人教A版选修2_2
2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．虽然难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新、稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了区分度低的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对选修2－2推理与证明、数系的扩充与复数的引入的考查，相对来说比较常规、难度不大、变化小、综合性低，属于基础类必得分试题；对导数及其应用的考查，难度大、综合性强、运算能力要求高、得分比较困难，主要考查导数的计算、几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等．其他省市试题和全国卷类似，难度相当．要想学好这部分知识不仅要有扎实的基础知识、基本能力，还要注意一些数学思想的培养，比如分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等！下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区对选修2－2所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ，理2)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1， ∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ，理2)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 3．(2019·全国卷Ⅲ，理2)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i答案 D解析 由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D. 4．(2019·北京高考，理1)已知复数z ＝2＋i ，则z ·z －＝( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5答案 D解析 解法一：∵z ＝2＋i ，∴z －＝2－i ，∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 解法二：∵z ＝2＋i ，∴z ·z －＝|z |2＝5.故选D.5．(2019·全国卷Ⅲ，理6)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1. 又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.6．(2019·天津高考，理8)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]答案 C解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立， 当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立．设g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0， 得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， 所以g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e.综上，a 的取值范围是0≤a ≤e，即[0，e]．故选C. 7．(2019·浙江高考，9)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0答案 C解析 由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a <－1时，1－a >0，可知g (x )在(－∞，0)上单调递增； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时， 因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增．如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点．当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去．综上，－1<a <1，b <0.故选C. 二、填空题8．(2019·全国卷Ⅰ，理13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .9．(2019·天津高考，理9)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．答案13解析 ∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.10．(2019·浙江高考，11)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案22解析 z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 1－i 2＝12－12i ，易得|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 11．(2019·江苏高考，2)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部为0，故a ＝2.12．(2019·江苏高考，11)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e,1)解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e,1)． 三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ，理20)已知函数f (x )＝sin x －ln (1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数． 证明：(1)f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点；(2)f (x )有且仅有2个零点． 证明 (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫α，π2时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1，π2存在唯一极大值点．(2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜0，所以存在β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2没有零点．③当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减．而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln (x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点．14．(2019·全国卷Ⅱ，理20)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．解 (1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)， 即f (x 1)＝0.又0<1x 1<1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点． (2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x在曲线y ＝e x上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1， 故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0.曲线y ＝e x在点B ⎝⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线． 15．(2019·全国卷Ⅲ，理20)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3单调递减． 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递增，所以f (x )在区间[0,1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0,1]单调递减，所以f (x )在区间[0,1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0,1]的最小值为－1，最大值为1. 16．(2019·北京高考，理19)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解 (1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83，即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以g (x )的最小值为－6，最大值为0. 故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a <－3时，M (a )＝F (0)＝|g (0)－a |＝－a >3； 当a >－3时，M (a )＝F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a >3； 当a ＝－3时，M (a )＝3. 综上，当M (a )最小时，a ＝－3.17．(2019·天津高考，理20)设函数f (x )＝e xcos x ，g (x )为f (x )的导函数． (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，证明f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0； (3)设x n 为函数u (x )＝f (x )－1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π4，2n π＋π2内的零点，其中n ∈N ，证明2n π＋π2－x n <e－2n πsin x 0－cos x 0.解 (1)由已知，有f ′(x )＝e x(cos x －sin x )． 因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，有sin x >cos x ，得f ′(x )<0，则f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )时，有sin x <cos x ， 得f ′(x )>0，则f (x )单调递增．所以，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)证明：记h (x )＝f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .依题意及(1)，有g (x )＝e x(cos x －sin x )， 从而g ′(x )＝－2e xsin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0，故h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋g (x )(－1)＝g ′(x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x <0. 因此，h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，进而h (x )≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )＋g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ≥0. (3)证明：依题意，u (x n )＝f (x n )－1＝0，即e xn cos x n ＝1.记y n ＝x n －2n π，则y n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且f (y n )＝e yn cos y n ＝e xn －2n πcos(x n －2n π)＝e －2n π(n ∈N )．由f (y n )＝e－2n π≤1＝f (y 0)及(1)，得y n ≥y 0.由(2)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，g ′(x )<0， 所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数， 因此g (y n )≤g (y 0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 又由(2)知，f (y n )＋g (y n )⎝⎛⎭⎪⎫π2－y n ≥0，故π2－y n ≤－f (y n )g (y n )＝－e －2n πg (y n )≤－e－2n πg (y 0) ＝e －2n πe y 0(sin y 0－cos y 0)<e －2n πsin x 0－cos x 0. 所以2n π＋π2－x n <e－2n πsin x 0－cos x 0.18．(2019·浙江高考，22)已知实数a ≠0，设函数f (x )＝a ln x ＋1＋x ，x >0. (1)当a ＝－34时，求函数f (x )的单调区间；(2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞均有f (x )≤x 2a ，求a 的取值范围． 注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解 (1)当a ＝－34时，f (x )＝－34ln x ＋1＋x ，x >0.f ′(x )＝－34x ＋121＋x＝(1＋x －2)(21＋x ＋1)4x 1＋x，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，＋∞)． (2)由f (1)≤12a ，得0<a ≤24.当0<a ≤24时，f (x )≤x 2a 等价于x a 2－2 1＋x a－2ln x ≥0. 令t ＝1a，则t ≥2 2.设g (t )＝t2x －2t 1＋x －2ln x ，t ≥22， 则g (t )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫t －1＋1x 2－1＋xx－2ln x . ①当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞时， 1＋1x≤22，则g (t )≥g (22)＝8x －421＋x －2ln x . 记p (x )＝4x －221＋x －ln x ，x ≥17，则p ′(x )＝2x－2x ＋1－1x＝2x x ＋1－2x －x ＋1x x ＋1＝(x －1)[1＋x (2x ＋2－1)]x x ＋1(x ＋1)(x ＋1＋2x ).故所以p (x )≥p (1)＝0.因此g (t )≥g (22)＝2p (x )≥0.②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，17时，g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－2x ln x －(x ＋1)x. 令q (x )＝2x ln x ＋(x ＋1)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17，则q ′(x )＝ln x ＋2x＋1>0，故q (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17上单调递增，所以q (x )≤q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17. 由①，得q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝－277p ⎝ ⎛⎭⎪⎫17<－277p (1)＝0. 所以q (x )<0. 因此，g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－q (x )x>0. 由①②知对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，t ∈[22，＋∞)，g (t )≥0，即对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2，＋∞，均有f (x )≤x 2a. 综上所述，所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24. 19．(2019·江苏高考，19)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3,1,3}中，求f (x )的极小值； (3)若a ＝0,0＜b ≤1，c ＝1，且f (x )的极大值为M ，求证：M ≤427.解 (1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3.因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3,1,3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b 3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1.列表如下：所以f (x )的极小值为f (1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32. (3)证明：因为a ＝0，c ＝1，所以f (x )＝x (x －b )(x －1)＝x 3－(b ＋1)x 2＋bx ，f ′(x )＝3x 2－2(b ＋1)x ＋b .因为0＜b ≤1，所以Δ＝4(b ＋1)2－12b ＝(2b －1)2＋3>0， 则f ′(x )有2个不同的零点，设为x 1，x 2(x 1<x 2)． 由f ′(x )＝0，得x 1＝b ＋1－b 2－b ＋13，x 2＝b ＋1＋b 2－b ＋13.列表如下：1证法一：M ＝f (x 1)＝x 31－(b ＋1)x 21＋bx 1＝[3x 21－2(b ＋1)x 1＋b ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－b ＋19－2(b 2－b ＋1)9x 1＋b (b ＋1)9＝－2(b 2－b ＋1)(b ＋1)27＋b (b ＋1)9＋227(b 2－b ＋1)3＝b (b ＋1)27－2(b －1)2(b ＋1)27＋227(b (b －1)＋1)3≤b (b ＋1)27＋227≤427.因此M ≤427. 证法二：因为0<b ≤1，所以x 1∈(0,1)．当x ∈(0,1)时，f (x )＝x (x －b )(x －1)≤x (x －1)2. 令g (x )＝x (x －1)2，x ∈(0,1)，则g ′(x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13(x －1)． 令g ′(x )＝0，得x ＝13.列表如下：所以当x ＝13时，g (x )取得极大值，且是最大值，故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.所以当x ∈(0,1)时，f (x )≤g (x )≤427.因此M ≤427.。
辽宁省阜新市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣62．等差数列{}n a ，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于（ ）． A ．160B ．180C ．200D ．2203．已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过(0,0)A ，(2,0)B ，且ABC ∆为直角三角形，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(2)(2)2x y -+-=C ．22(1)(2)5x y -+-=D ．22(1)(1)2x y -+-=4．已知数列2008，2009，1，-2008，-2009…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和等于（ ）A ．1B ．2010C ．4018D ．40175．已知α是锐角，那么2α是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．小于π的正角D ．第一象限或第二象限6．已知数列{}n a 中，1121,(*)2nn n a a a n N a +==∈+，则5a = （ ） A ．25B ．13 C ．23D ．127．已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p)，则n 的值为( ) A ．－12B ．－14C ．10D ．89．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（） A ．18B ．38C ．58D ．7810．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥11．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b>，则a b < D ．若a b <，则a b<12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．9二、填空题：本题共4小题13．抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区35岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．14．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yx +的最大值为_______．15．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,3b =，则a b -的最大值为_______.16．若实数,x y 满足不等式组2,24,0.x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23z x y =+的最小值是_____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设随机变量 ()2~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.2D ．0.1【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故 答案为A. 【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.2．设函数()y f x =的定义域为{|0}x x >，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()k K f x Kf x f x f x K≤⎧=⎨>⎩，则当函数1()f x x =，1K =时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln 22+B ．2ln 21-C ．2ln 2D ．2ln 21+【答案】D 【解析】分析：根据()k f x 的定义求出()k f x 的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当1K =时，()111,1 11,1x f x x x⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，即()11,1 1,01x f x x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩． 所以()212121111414411||1211224kf x dx dx dx lnx x ln ln ln x =+=+=-+-=+⎰⎰⎰． 故选D ．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数()k f x 的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．3．若函数32()2f x x ax ax =+++没有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0, 3] B ．(0, 3)C ．(, 0)(3, )-∞+∞D ．(, 0][3, )-∞+∞【答案】A【解析】 【分析】由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，对a 讨论，可得答案． 【详解】∵32()2f x x ax ax =+++，∴()232f x x ax a '++= ，①当0a =时，则()230f x x '≥=，()f x 在R 上为增函数，满足条件；②当0a ≠时，则()2412430a a a a ∆-≤-==，即当03a <≤ 时，()0f x '≥ 恒成立，()f x 在R 上为增函数，满足条件 综上，函数32()2f x x ax ax =+++不存在极值点的充要条件是：03a ≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，本题是一道基础题． 4．已知复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，m R ∈，则21(1)z =+（）A ．2i -B ．2i C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数定义，可求得m 的值；代入后可得复数z ，再根据复数的除法运算即可求得21(1)z +的值.【详解】复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，则2010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =，所以z i =-， 则221111(1)(1)22i z i i ===+--，故选：B. 【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.5．设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈，则()21f x dx -⎰的值为（ ）A ．423π+B ．32π+C ．443π+D ．34π+【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解析：当2()1f x x =-时，2214(1)3x dx -=⎰；当()f x112π-=，故()21f x dx -=⎰432π+，应选答案A ． 6．下列说法中， 正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和 0.3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a = A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】对题目中的三个命题判断正误，即可得出结论． 【详解】解：对于①，分类变量A 与B 的随机变量K 2越大， 说明“A 与B 有关系”的可信度越大，①正确； 对于②，以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，设z ＝lny ，由y ＝ce kx ，两边取对数，可得lny ＝ln （ce kx ）＝lnc+lne kx ＝lnc+kx ， 令z ＝lny ，可得z ＝lnc+kx ， 又z ＝0.3x+4，∴lnc ＝4，k ＝0.3，c ＝e 4，②正确；对于③，根据回归直线方程为y ＝a+bx ，213b x y ===-，，，∴a y =-b x =3﹣2×1＝1，∴③正确； 综上，正确的命题为①②③，共3个． 故选：D ． 【点睛】本题考查了回归方程，对数的运算性质，随机变量K 2的概念与应用问题，是基础题． 7．观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====，，，，则20197的末尾两位数字为（ ）A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】B 【解析】 【分析】通过观察前几项，发现末尾两位数分别为49、43、01、07，以4为周期重复出现，由此即可推出20197的末尾两位数字。
2019辽宁省数学高考试题及答案
2019辽宁省数学高考试题及答案2019年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的Z1模为 i1（A）1 （B）（C（D）2 22（2）已知集合A x|0log4x1,B x|x2，则A BA．01，2 C．1,2 D．1，2 B．0，（3）已知点A1,3,B4,1,则与向量AB同方向的单位向量为（A），-3543 4 （B），- 5554355（C）（D）（4）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；3455ap4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；n其中的真命题为（A）p1,p2 （B）p3,p4 （C）p2,p3 （D）p1,p4 （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）45 （B）50 （C）55 （D）60（6）在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC csinBcosA1b, 2且a b,则B A．25B． C． D．3663n（7）使得3x n N的展开式中含有常数项的最小的n为A．4 B．5 C．6 D．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入n10,则输出的SA．5103672 B． C． D． 111155553（9）已知点O0,0,A0,b,Ba,a.若ABC为直角三角形,则必有A．b a3 B．b a31 a11C．b a3b a30 D．b a3b a30a a（10）已知三棱柱ABC A 的6个顶点都在球O的球面上若.AB3，AC4，1B1C1 AB AC,AA112，则球O的半径为A．13 B． C． D．22222（11）已知函数f x x2a2x a,g x x2a2x a8.设H1x max f x,g x,H2x min f x,g x,max p,q表示p,q中的较大值，min p,q表示p,q中的较小值，记H1x得最小值为A,H2x得最小值为B,则A B（A）a2a16 （B）a2a16 （C）16 （D）1622,f2,则x0,时，f x（12）设函数f x满足xf x2xf x x82（A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019-2020学年辽宁省阜新市数学高二下期末经典试题含解析
2019-2020学年辽宁省阜新市数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可． 【详解】解：由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-， 11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选：A ． 【点睛】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题．3．如图，,,A B C 表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（ ）．A ．0.994B ．0.686C ．0.504D ．0.496【答案】B 【解析】 【分析】由题中意思可知，当A 、B 元件至少有一个在工作，且C 元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率． 【详解】由题意可知，该系统正常工作时，A 、B 元件至少有一个在工作，且C 元件在元件， 当A 、B 元件至少有一个在工作时，其概率为()()110.910.80.98--⨯-=， 由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为0.980.70.686⨯=， 故选B ． 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题．4．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，则(10)f 的值为 ( ) A ．0 B ．2C ．5D ．10【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得函数的周期为4，可得f （11）＝f （2+8）＝f （2）＝1． 【详解】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （﹣x ）＝f （2+x ），又f （x ）为定义在R 上的奇函数，∴f （2+x ）＝﹣f （x ）， 则f[2+（2+x ）]＝﹣f （2+x ）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）， 即f （4+x ）＝f （x ），∴f （x ）为以4为周期的周期函数，由f （1+x ）＝f （1﹣x ），得f （2）＝f （1）＝1， ∴f （11）＝f （2+8）＝f （2）＝1．故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,?b,?m(m>0)为整数，若a 和b 被m 除得余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为()mod a b m =.若012230303030222a C C C =+⋅+⋅++，()mod10a b =，则b 的值可以是（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】A 【解析】 【分析】先利用二项式定理将a 表示为()()301530151239101a =+===-，再利用二项式定理展开，得出a 除以10的余数，结合题中同余类的定义可选出合适的答案．【详解】()3003001291228230030301530303030121212121239a C C C C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅=+== ()151511421314151515101101010101C C C =-=-⋅+⋅-+⋅-，则151142131415151510101010C C C -⋅+⋅-+⋅，所以，a 除以10的余数为1109-+=，以上四个选项中，2019除以10的余数为9，故选A. 【点睛】本题考查二项式定理，考查数的整除问题，解这类问题的关键就是将指数幂的底数表示为与除数的倍数相关的底数，结合二项定理展开式可求出整除后的余数，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题． 6．甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是A ．210B ．336C ．84D ．343 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A 73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C 31A 72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A 73+C 31A 72=336种． 故答案为：B ． 【点睛】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务． 7．已知复数z 满足()31212i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（ ） A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455-i D ．3455i -- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得()()()()231212121443412121255512i i i i z i i i i i +++-+=====----++3455z i ∴=-+ 考点：复数运算8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件,A B 中恰有一个发生的概率是（ ） A ．310B ．12C ．35D ．57【答案】B 【解析】 【分析】由相互独立事件同时发生的概率得：事件A ，B 中恰有一个发生的概率是1115126262⨯+⨯=，得解． 【详解】记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ， 则11(),(),26P A P B == ∴事件A ，B 中恰有一个发生的概率是1115126262⨯+⨯=. 故选：B ． 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型.9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．35C ．22D ．45【答案】D 【解析】 【分析】连结1D C ，可证明11A BCD 是平行四边形，则11//A B D C ，故1AD C ∠的余弦值即为异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果. 【详解】连结1D C ，由题得11//A D BC ，故11A BCD 是平行四边形，11//A B D C ，则1AD C ∠的余弦值即为所求，由1AB BC ==，12BB =可得115AD DC ==2AC =2221(2)(5)(5)255ADC =+-∠，解得14cos 5AD C ∠=，故选D . 【点睛】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.10．在（x 310的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－27510C B ．27410CC ．－9510CD ．9410C【答案】D 【解析】试题分析：通项T r ＋1＝10r C x 10－r 3）r 3r 10r C x 10－r .令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9410C考点：二项式定理 11．已知数列{}n a 满足112a =，11n n a a +=+，*n N ∈，设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则19S =（ ） A ．3232-B ．3242-C ．3232D ．3612【答案】A 【解析】 【分析】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，然后利用等差数列求和公式代入计算即可． 【详解】由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，所以19119181191832319192222S a d ⨯⨯=+=⨯-=- 故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题．12．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（ ）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】C 【解析】 【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据222c a b =-求c 的值. 【详解】由椭圆方程得：225,4a b ==，所以21c =，又椭圆的焦点在y 上，所以焦点坐标是()0,1±. 【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x 轴型还是y 轴型，防止坐标写错. 二、填空题：本题共4小题13．已知可导函数3()32sin f x x x =+，函数()g x 满足()()20g x g x +-=，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2019个零点，则所有这些零点之和为__________．【答案】2019 【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数得到()1f x -关于(1,0)对称，()()20g x g x +-=，()g x 关于(1,0)对称，所以()()()1h x f x g x =--关于(1,0)对称，计算得到答案.【详解】函数3()32sin ()()f x x x f x f x =+⇒=--⇒()f x 为奇函数⇒()1f x -关于(1,0)对称函数()g x 满足()()20g x g x +-=⇒()g x 关于(1,0)对称()()()1h x f x g x =--关于(1,0)对称 ()()()1h x f x g x =--恰有2019个零点所有这些零点之和为：2019 故答案为：2019 【点睛】本题考查了函数的中心对称，找出中心对称点是解题的关键. 14．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B =--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等. 15．在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为__________．【答案】 【解析】依题意，由正弦定理得，化简得，即.所以，当且仅当时等号成立.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于3； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .【答案】①②④ 【解析】 【分析】 逐项分析. 【详解】 ①如图当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A MNO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOBC C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确； ③如图作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：112633A M ⨯==，根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =，所以1A DM 是等腰三角形，则12216232232A DMS⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误； ④如图设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以11111222A D M a S S ∆==⨯=，12211222B CM a S S ∆-===，当12S S 时，解得：13a =，故正确. 故填：①②④. 【点睛】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为λ，然后统一未知数λ去分析问题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00122019xx +=；命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()p q ∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论. 【详解】Q 函数()2x f x x =+在()0,+∞上单调递增，()()1012019f x f ∴>=>，即命题p 是假命题； 又sin sin A B >Q ，根据正弦定理知a b >，可得A B >，余弦函数cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B ∴<，即命题q 是真命题． 综上，可知()()p q ⌝∨⌝为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()p q ∧⌝为假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 2．262()x x-的展开式中常数项为( ) A ．-240 B ．-160 C ．240 D ．160【答案】C 【解析】 【分析】求得二项式的通项12316(2)r r rr T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.【详解】由题意，二项式262()x x-展开式的通项为261231662()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 当4r =时，4456(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．设实数a,b,c 满足a+b+c =1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( )A ．0B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B. 4．定积分()1xx e +⎰的值为( )A ．eB ．12e +C ．12e -D ．1e +【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理()()()()bba af x F x F b F a ==-⎰，可知()112012xx x e x e ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰求解，即可. 【详解】()11210001111110122222xx x e x e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰故选：C 【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题.5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1- B ．13-C ．12-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解.【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 6．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(1)0.2P ξ>=，则(11)P ξ-≤≤=（ ） A ．0.4 B ．0.8C ．0.6D ．0.3【答案】C 【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，得到正态曲线关于0x =对称，根据(1)0.2P ξ>=，得到对称区间上的概率，从而可求()11P ξ-≤≤． 详解：由随机变量ξ服从正态分布()20,N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称，而(1)0.2P ξ>=，则10.2Pξ-=（＜）， 故111110.6PP P （）（＞）（＜）ξξξ-≤≤=---= ， 故选：C ．点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解． 7．设,(0,1)a b ∈，:P “a b <”，:q “log log a b a b b a <”，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行判断即可得到答案. 【详解】充分性：01a b <<<⇒22lg lg 0(lg )(lg )a b a b <<⇒>.所以22lg lg (lg )(lg )lg lg b aa b b a ab a b<⇒< 即：log log a b a b b a <，充分性满足.必要性：因为,(0,1)a b ∈，所以log 0a b >，log 0b a >. 又因为log log a b a b b a <，所以log log a b b ba a <，即2(log )ab b a<. 当a b =时，11<，不等式不成立.当a b >时，01b a<<，log 1a b >，不等式2(log )a bb a <不成立当a b <时，1b a>，0log 1a b <<，不等式2(log )a b b a <成立.必要性满足.综上：p 是q 的充要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查充要条件，同时考查了对数的比较大小，属于中档题.8．已知双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，它的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD．【答案】A 【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为bx y a=±，则0bx ay ±=，圆的方程()2222x y -+=，圆心为()2,0,r ==a b =，则离心率e =方法二：因为焦点()2,0F c -到渐近线的0bx ay ±=距离为b ，则有平行线的对应成比例可得知2b c=，即,c =则离心率为e =选A.9．已知函数()()f x x R ∈满足()4(2)f x f x -=-+，函数21()1x g x x -=-.若函数()f x 与()g x 的图象共有214个交点，记作(,)(1,2,,214)i i i P x y i =L ，则2141()iix x y =+∑的值为A ．642B ．1284C ．214D ．321【答案】A 【解析】分析：根据题意求解()f x ，()g x 的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案 详解：Q 函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -=-+，()()24f x f x ∴-++= 即函数()f x 关于点()12，对称 函数()()2112112111x x g x x x x -+-===+--- 即函数()g x 关于点()12，对称 ∴函数()f x 与()g x 的图象共有214个交点即在()12，两边各有107个交点121224x x y y +=+=，，则共有107组，故()()()()214112221421416107642iix x y x y xy x y =+=++++++=⨯=∑L ，故选A点睛：本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。
辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
辽宁省阜新市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D【解析】【分析】 由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n 的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S 时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：1111111111114113355779233557799S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【详解】解：由程序框图知：第一次循环：S 初始值为0，不满足49S ≥，故11133S ==⨯，3n =； 第二次循环：当13S =，不满足49S ≥，故11111121133523355S ⎛⎫=+=-+-= ⎪⨯⨯⎝⎭，5n =； 第三次循环：当25S =，不满足49S ≥，故11131335577S =++=⨯⨯⨯，7n =； 第四次循环：当37S =，不满足49S ≥，故11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯，9n =；此时，49S =，满足49S ≥，退出循环，输出9n =，故选D . 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.2．已知抛物线22(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为32，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为A ．2B ．3C ．21+D ．22- 【答案】D【解析】【分析】【详解】由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值，也即为AM AF +最小，当A F M 、、三点共线时取最小值．所以FM 32=，解得F 20（，）， 由内切圆的面积公式()S 2a b c r ++=，解得22r =-．故选D ．3．下列导数运算正确的是（ ）A ．1()x x a xa -='B ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅C ．1(lg )x x'=D ．12()x x --'= 【答案】B【解析】【分析】由()'x x a a lna =判断A ；由()()()22sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x =+=-判断B ；由判断()1lgx 'xln10= 判断C ；由()12x 'x --=-判断D . 【详解】根据题意，依次分析选项，对于A ，()x x'ln a a a =，A 错误； 对于B ，()()()22sinxcosx 'sinx 'cosx sinx cosx 'cos x sin x cos2x =+=-=，B 正确； 对于C ，()1lgx 'xln10=，C 错误； 对于D ，()12x'x --=-，D 错误；故选B ．【点睛】 本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．4．当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦B ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦C ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦D ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ 【答案】D【解析】【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f x f x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+， 由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f xf x f x <<，故选D. 【点睛】 本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.5．计算(1)(2)i i +⋅+=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B【解析】分析：根据复数乘法法则求结果.详解：()()1221313,i i i i ++=-+=+选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi6．已知双曲线221:13x C y -=与双曲线222:13x C y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】【分析】根据题意，由两个双曲线的方程计算出两个双曲线的焦点坐标，焦距，渐近线方程以及离心率，进而分析选项即可得到答案。
(3份试卷汇总)2019-2020学年辽宁省阜新市高二数学下学期期末经典试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合12log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2,3B =-则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．1,0,1,2C ．{}1D ．{}0,12．α是第四象限角，5tan 12α=-,，则sin α=（ ） A ．15B ．15- C ．513D ．513-3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．89B ．910C ．1011D ．11124．已知函数()e 2xf x x =+-的零点为a ，函数()lng x x =的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．()()()f a f a b f b <+<B ．()()()f a b f a f b +<<C ．()()()f a f b f a b <<+D ．()()()f b f a b f a <+<5．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．用指数模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝㏑y ，变换后得到线性回归直线方程0.34z x =+，则常数c 的值为（ ） A ．4eB ．0.3eC ．0.3D ．47．已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,223)ln -∞+B ．(,223)ln -∞-C ．(223,)ln -+∞D ．(223,)ln ++∞8．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）A ．56B ．72C ．64D ．849．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA +D ．1223AB AD -.10．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般 8 20 28 总计303060由以上数据，计算得到2K 的观测值9.643k ≈，根据临界值表，以下说法正确的是( ) P(K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.05 0.010 0.005 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A ．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关11．已知函数221,2()1(2),23x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x af x x =-有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．92722a << B ．94522a << C ．922a <<D ．4518922a << 12．球的体积是323π，则此球的表面积是（ ） A ．12πB ．16πC ．163πD ．643π二、填空题：本题共4小题 13．已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．14．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其右支上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为 ．15．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m =_______. 16．命题“0x ∀>，210x ”的否定为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
辽宁省阜新市第二高级中学2019_2020学年高一数学下学期第一次学考试题含解析
辽宁省阜新市第二高级中学2019-2020学年高一数学下学期第一次学考试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列四个命题正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C. 共线的单位向量必相等D. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题． 2.下列向量的运算结果为零向量的是（ ） A. BC AB +B. PM MN MP ++C. MP GM PQ QG +++D. BC CA AB CD +++【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案.【详解】对A ，BC AB AB BC AC +=+=； 对B ，PM MN MP PM MP MN MN ++=++=；对C ，()()0MP GM PQ QG GM MP PQ QG GP PG +++=+++=+=； 对D ，()0BC CA AB CD AB BC CA CD CD CD +++=+++=+=. 综上所述，只有C 符合题意 故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握向量加法运算规律，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 3.函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2πC. πD.π2【答案】C 【解析】 由题意22T ππ==，故选C ． 【名师点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2.T πω=(3)由()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间. 4.若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（ ） A. ()4,6 B. ()4,6-C. ()2,2--D. ()2,2【答案】A 【解析】 【分析】直接根据AC AB BC =+,将坐标代入运算即可得出结果.【详解】解:()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=. 故选:A【点睛】本题是一道最基本的向量坐标运算题,直接按照运算法则计算即可,属于简单题. 5.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A.45B.35C. 35-D. 45-【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以4cos 5x r α==-.故选D. 考点：三角函数的概念.6.若4cos 5α=-，且α是第三象限角，则tan α=( ) A. 34-B. 43-C.34D.43【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系，结合角的范围，先求出正弦，即可求出正切. 【详解】因为4cos 5α=-，且α是第三象限角， 所以3sin 5α==-， 所以sin 3tan cos 4ααα==. 故选：C .【点睛】本题主要考查由余弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 7.13sin 6π的值为 ( ) A. 12-B.12C.【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式可得所求之值. 【详解】131sinsin 2sin 6662ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题.8.对于非零向量a ，b ，“20a b +=”是“//a b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】解：因为于非零向量a ，b ，当“20a b +=”时，//a b ，反之，//a b 时，可能3a b =，故“20a b +=”是“//a b ”的充分不必要条件，选A9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A. 91.5和91.5B. 91.5和92C. 91和91.5D. 92和92【答案】A 【解析】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是87+89+90+91+92+93+94+968=91.510.“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个红色球的编号为（ ） A. 21 B. 32C. 09D. 20【答案】C 【解析】 【分析】【详解】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…..故第三个数据为09. 故答案为C ．11.2sin 1y x =-+的单调递减区间为（ ）A. π3(π,ππ),Z 22k k k ++∈ B. π3[π,2ππ],Z 22k k k ++∈ C. ππ[π,π],Z 22k k k -+∈D. ππ(2π,2π),Z 22k k k -+∈【答案】D 【解析】 【分析】结合复合函数单调性法则，利用三角函数的图象和性质即可得到结论． 【详解】因为2sin 1y x =-+，所以2sin 1y x =-+的单调递减区间为sin y x =的单调增区间， 由-2π+2k π≤x ≤2k π2π+，k ∈Z， 得函数2sin 1y x =-+单调递减区间是()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，观察选项可知D 正确， 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，复合函数单调性法则，属于基础题目.12.函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】用排除法求解．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，故可排除A、C；当x＝32π时，y＝－sin32π＝1，故可排除B．选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.13.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生．【答案】40【解析】【详解】试题分析：该学院的C专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C专业应抽取学生数为400×120 1200=40.考点：本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．14.若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第_________ 象限角．【答案】第三象限角【解析】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：三角函数值的象限符号.15.设sin 3x t =-，x ∈R ，求t 的取值范围________________ 【答案】24t ≤≤ 【解析】 【分析】由1sin 1x -≤≤建立关于t 的不等式，解不等式即可得解.【详解】因为1sin 1x -≤≤，所以131t -≤-≤，解之得：24t ≤≤.【点睛】本题考查三角函数的值域，考查计算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.16.已知(2,5)AB =和向量(1,)a y =，若向量//AB a ，则a 的纵坐标y =___________ 【答案】52【解析】 【分析】根据向量平行的条件建立关于y 的方程，求解即可.【详解】因为//AB a ，所以有：2510y ⨯-⨯=，解之得：52y =. 故答案为：52【点睛】本题考查向量平行充要条件的应用，考查计算能力，侧重基础知识的理解的掌握，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x ，后取的小球的标号为y ，这样构成有序实数对(),.x y （1）写出这个试验所有结果；（2）求“第一次取出的小球上的标号为2”的概率.【答案】（1）()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3；（2）14. 【解析】【分析】（1）先将第一个小球的可能情况x 列出，再针对每种情况x 列出第二个小球的可能情况y ，注意无放回地取出两个小球，然后写出结果即可；（2）“第一次取出的小球上的标号为2”的试验结果为3种，而这个试验的所有结果为12种，结合古典概型的定义计算概率即可.【详解】（1）当1x =时，2y =，3，4；当2x =时，1y =，3，4；当3x =时，1y =，2，4；当4x =时，1y =，2，3.因此，这个试验的所有结果是()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3；（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A ，则()()(){}2,12,32,4A =，，，而这个试验的所有结果为12种，则31()124P A ==. 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是熟练掌握列举法的应用，考查分析和计算能力，属于常考题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）75%；71 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值． 【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3p =-+⨯++⨯=， 频率分布直方图第四小组的纵坐标是：0.30.0310=， 则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=， 所以，抽样学生成绩的合格率是75%， 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 123456455565758595p p p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅450.1550.15650.15750.3850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题． 19.求下列函数的最大值，并写出使函数取得最大值的自变量x 的集合. （1）11sin 2y x =+； （2）23sin 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）max 32y =，对应的自变量x 的集合为2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）max 174y =，对应的自变量x 的集合为32,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的有界性可得出当sin 1x =时，函数11sin 2y x =+取得最大值，由此可得出对应的自变量x 的集合；（2）根据二次函数的基本性质可得出当sin 1x =-时，函数23sin 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值，由此可得出对应的自变量x 的集合.【详解】（1）1sin 1x -≤≤，所以，当sin 1x =时，函数11sin 2y x =+取得最大值max 32y =， 此时，对应的自变量x 的集合为2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； （2）1sin 1x -≤≤，由二次函数的基本性质可知，当sin 1x =-时，函数23sin 22y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最大值2max3171224y ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.此时，对应的自变量x 的集合为32,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查利用正弦函数的有界性求函数的最大值，同时也考查了二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 20.（1）化简：sin(2)tan()tan()cos()tan(3)πααπαππαπα-+----（2）求证：442sin cos 2sin 1ααα-=- 【答案】（1）2tan α；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角函数诱导公式、同角三角函数的商数关系化简即可得解； （2）由题意利用同角三角函数的平方关系即可证明左边等于右边，即可得证.【详解】（1）原式()()2sin tan tan sin tan tan cos tan cos ααααααααα-⋅⋅-==⋅=-⋅-； （2）证明：左边()()222244sin cos sin cos sin cos αααααα=-=+-()22222sin cos sin 1sin 2sin 1ααααα=-=--=-=右边.得证.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，考查了同角三角函数的平方关系、商数关系的应用，属于基础题.21.（1）已知(2,1)a =，(1,3)b =-，(3,5)c =，把,a b 作为一组基底，试用,a b 表示c .（2）在直角坐标系xoy 内，已知点A (-1，-1)，B (1，3)，C (2，5)，证明A 、B 、C 三点共线.【答案】（1）2c a b =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设c a b λμ=+，由平面向量基本定理可得2335λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解方程即可得解； （2）由题意用坐标表示平面向量()2,4AB =、()3,6AC =，进而可得23AB AC =，即可得证.【详解】（1）设c a b λμ=+， (2,1)a =，(1,3)b =-，(3,5)c =，∴(3,5)(2,1)(1,3)λμ=+-，∴2335λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得21λμ=⎧⎨=-⎩， ∴2c a b =-；（2）点A (-1，-1)，B (1，3)，C (2，5)，∴()2,4AB =，()3,6AC =， ∴23AB AC =， ∴ A 、B 、C 三点共线.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示，考查了用基底表示向量及用坐标解决三点共线问题，属于基础题.。
2020学年辽宁省阜新市新高考高一数学下学期期末经典试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．11sin 6π的值为 ( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 2．如图，'''A B C ∆是ABC ∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x =轴，''//A C y 轴，那么ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形3．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下： 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计（ ） A ．甲比乙的射击技术稳定 B ．乙.比甲的射击技术稳定 C ．两人没有区别D ．两人区别不大4．不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x -≤≤-，则实数,a b 的值为（ ） A ．8,10a b =-=- B ．1,9a b =-= C ．4,9a b =-=-D ．1,2a b =-=5．下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2x y x=- B ．1cot y x =C ．sin 21cos 2xy x=+D ．1cos 2sin 2xy x-=6．为了得到函数1sin(2)23y x π=-的图象，只需将函数sin cos y x x =的图象() A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位7．已知扇形AOB 的圆心角3AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（）A ．6πB ．12πC ．6D ．128．已知扇形的面积为210cm ，半径为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数为 A ．54B ．32C ．34D ．129．直线l 过()1,1-且在x 轴与y 轴上的截距相等，则l 的方程为（ ） A ．2y x =+B ．y x =-C ．2y x =+和y x =-D ．2y x =-+10．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ=C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=11．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好12．已知圆1C：22x y a+=关于直线l对称的圆为圆2C：222230x y x ay++-+=，则直线l的方程为A．2450x y-+=B．2450x y++=C．2450x y--=D．2450x y+-=二、填空题：本题共4小题13．△ABC中，3sin5A=，5cos13B=，则cos C=_____．14．若π3sin,35α⎛⎫+=⎪⎝⎭则πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭____________15．对任意实数x，不等式2(3)2(3)60a x a x----<恒成立，则实数a的取值范围是____．16．已知数列{}n a的通项公式为()()*124,22,21nnn n ka k Nn k-+=⎧⎪=∈⎨=-⎪⎩，n S是其前n项和，则15S=_____．（结果用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
辽宁省阜新市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末经典试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x =B ．1ln|x |y = C ．sin y x = D ．||2x y =2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和小于}，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．14．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2C ．0.8D ．0.755．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．6．如图，CD ，BE 分别是边长为4的等边ABC ∆的中线，圆O 是ABC ∆的内切圆，线段OB 与圆O 交于点F .在ABC ∆中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A 3πB ．18π C 3π D 3π 7．(2)(3)1i i i++=+（ ）A ．5B ．5iC ．6D ．6i8．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ）A ．54B ．52C ．5D ．109．已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-10．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2 D ．这三个数都小于211．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，且(1)0f -=，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有'()()x f x f x ⋅>成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)(1,)B ．(1,0)(0,1)-C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-+∞12．给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程0.212ˆy x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是()A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③二、填空题：本题共4小题13．若指数函数()y f x =的图象过点(2,4)-，则(3)f =__________. 14．已知111()123f n n=++++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 15．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 16．已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
辽宁省阜新市第一高级中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析
辽宁省阜新市第一高级中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数为纯虚数，则实数a的值为( )A. 1B. －1C. 0D. 2参考答案：B【分析】化简z为a+bi(a,b∈R)的形式利用纯虚数概念求解即可【详解】故，解故选：B【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，准确计算是关键，是基础题2. 执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k，S的值，由题意，当S=21时，应该不满足条件S≤a，退出循环输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．3. 规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。
且关于的方程为恰有四个互不相等的实数根，则的值是（）。
A． B. C． D.参考答案：D略4. 旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多一人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为（）A．12000元 B．12500元 C．15000元 D．20000元参考答案：C考点：1、分段函数；2、二次函数．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和二次函数的最值，属于中档题.解题时一定要注意实行优惠方案后，总机票费变化，每个人机票费的变化与总人数的关系，这里就要将文字语言叙述转化为数学语言，体现了数学中转化的思想.5. 在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用口令,那么第5次也使用口令的概率是( )A. B. C. D.参考答案：A6. P是△ABC内一点．△ABC，△ABP．△ACP的面积分别对应记为S，S1，S2．已知=+，其中λ∈（0，1）．若=3则=( )A．1 B．C．D．参考答案：B【考点】三角形的面积公式．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】设E点满足，则A，B，E三点共线，且E为线段AB靠近A点的四等分点，结合已知可得P为线段CE靠近E点的三等分点，结合同高三角形面积比等于底边长之比，可得答案．【解答】解：设E点满足，则A，B，E三点共线，且E为线段AB靠近A点的四等分点，又∵=+，故，λ∈（0，1）．即P在线段CE上，如下图所示：=3，故P为线段CE靠近E点的三等分点，故S2===S1，故=，故选：B【点评】本题考查的知识点是三角形面积公式，平面向量在几何中的应用，三点共线的向量法表示，难度中档．7. 等差数列{a n}中，a5+a6=4，则log2（?…）=( )A．10 B．20 C．40 D．2+log25参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{a n}中，a5+a6=4，利用等差数列的性质得到其项数之和为11的两项之和为4，可得出a1+a2+…+a10的值，将所求式子的真数利用同底数幂的乘法法则计算，再利用对数的运算性质计算后，将a1+a2+…+a10的值代入即可求出值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a6=4，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（?…）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20．故选B【点评】此题考查了等差数列的性质，以及对数的运算法则，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．8. 设为平面，为直线，则的一个充分条件是A. B.C. D.参考答案：【知识点】直线与平面垂直的判定．G5D 解析：对于选项A：，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；对于选项B：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于选项C：，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于选项D：因为，所以，又因为所以.故选D【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．9. 函数，则的自变量的取值范围为（）A． B．C． D．参考答案：D 本题主要考查分式，绝对值不等式的解法．或或或或选D．10. 若函数的图象如右图，其中a，b为常数，则函数的大致图象是 ( ）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，,,，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为_____.参考答案：16π【分析】根据题设位置关系，可知以为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥的外接球，根据这一特点进行计算.【详解】设外接球的半径为，则∴【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径.12. 已知是定义在上周期为4的函数，且，当时，，则．参考答案：-113. 已知随机变量服从正态分布，若，则___________.参考答案：【知识点】正态分布K8【答案解析】若，则故答案为【思路点拨】根据正态分布图像求出。
2019-2020学年辽宁省阜新市新民镇中学高三数学文联考试题含解析
2019-2020学年辽宁省阜新市新民镇中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．1，－1或0参考答案：D2. 已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由|PF1|=c，结合双曲线的定义得到|PF2|，再根据PF1⊥PF2，由勾股定理列式得到关于a，c的方程，整理得到关于e的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：因为P是双曲线左支的一点，又|PF1|=c，所以|PF2|=2a+c，又PF1⊥PF2，所以，即c2+（2a+c）2=4c2，c2﹣2ac﹣2a2=0．e2﹣2e﹣2=0．解得（舍），或e=．故选C．【点评】本题考查的是双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义，解答的关键是得到关于a，c的关系式，此题是中档题．3. 如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（）A．B．C．D．参考答案：A第一次循环，不输出，的值不满足判断框的条件；第二次循环，不输出，即的值不满足判断框的条件；第三次循环，输出，即的值满足判断框的条件，故判断框中的条件是，故选A.4. 已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，，恒有f（x +a）≥f（x），则实数a的取值范围是A．[0,2] B．{0} ∪ [2, +∞）C． [0，] D．{0} ∪ [16, +∞）参考答案：D由函数性质作出图象，要恒成立，则只要使点左移个单位后到点的左侧或与重合，即，解得，选D．5. 函数的图象可能是参考答案：A略6. 已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有( )A．10个 B．9个 C．8个 D．1个参考答案：A7. 若函数的唯一一个零点同时在区间（0，16）,（0，8）,（0，4）,（0，2）内，则下列结论中正确的是（）A．在区间（0，1）内一定有零点 B．在区间内没有零点C．在区间（0，1）或（1，2）内一定有零点 D．在区间（1，16）内没有零点参考答案：B8. 函数y=ax2+bx与 (ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( ）参考答案：D9. 已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．10. 若，满足，则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若点到直线的距离为，则实数的值为。
辽宁省阜新市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷(理科)B卷
辽宁省阜新市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·威海期末) 已知复数z=1+i（i为虚数单位），则复数﹣z对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 下列说法正确的是（）A . 函数的图象与直线可能有两个交点；B . 函数与函数是同一函数；C . 对于上的函数，若有，那么函数在内有零点；D . 对于指数函数（）与幂函数（），总存在一个 ,当时，就会有．4. （2分）下列关系式中，成立的是（）．A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·陕西期中) 设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2…+a5x5 ，那么的值为（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣D . ﹣16. （2分）点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A . 2B .C . 1D .7. （2分）若对任意的x＞1，函数x+xln x≥k（3x﹣e）（其中e是白然对数的底数，e=2.71828…），则实数k的最大值为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（）A . [30°，90°]B . [60°，90°]C . [30°，60°]D . [30°，120°]9. （2分） (2016高一下·三原期中) 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·浙江月考) 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·吉林期末) 函数f(x)＝ (x2－9)的单调递增区间为（）A . (0，＋∞)B . (－∞，0)C . (3，＋∞)D . (－∞，－3)12. （2分） (2016高一下·内江期末) 不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A . 10B . ﹣10C . 14D . ﹣14二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若=m+n（m，n∈R），则=________14. （1分） (2018高三上·张家口期末) 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则 ________．15. （1分）计算： =________（i是虚数单位）16. （1分） (2016高一上·蓟县期中) 函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a 的取值范围是________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2020·乌鲁木齐模拟) 在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.（1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有个人存在早恋的现象，求的分布列及数学期望.18. （10分） (2016高三上·临沂期中) 已知函数f（x）= sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当x∈[0， ]时，f（x）的最大值为1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0， ]上恒成立，求实数m的取值范围．19. （5分）(2017·嘉兴模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．20. （15分） (2017高二下·枣强期末) 已知函数，(为自然对数的底数).（1）设曲线在处的切线为，若与点的距离为，求的值；（2）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（3）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.21. （5分）已知数列{an}满足a1=，且an+1=3an﹣1，bn=an﹣．（1）求证：数列{bn}是等比数列．（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．22. （5分） (2017高三下·平谷模拟) 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，，，是中点．（I）求证：直线平面．（II）求证：直线平面．（III）在上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、。
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2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C ab-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．5D ．32．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=3．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ）A ．max37a c+-=B ．max37a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=4．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 5．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．546．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π7．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或28．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．29．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对10．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 11．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法能( )A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+12．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，5,15,25PA BC PB AC PC AB ======O 的表面积为__________.14．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与C 的交点为,A B ，若||||5AF BF +=，则直线l 的方程为___________．15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.16．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，曲线2212:C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A 、B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin 2cos 2cos cos 122A B A BA B -+++= （1）求角C 的大小（2）若4,38c CA CB =+=19．（6分）在直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1212x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为66θααππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为2πθα=+.（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O A 、两点，射线2l 与曲线C 交于O B 、两点，求ABO ∆面积的取值范围. 20．（6分）一张边长为2m 的正方形薄铝板ABCD （图甲），点E ，F 分别在AB ，BC 上，且AE CF x ==（单位：m ）.现将该薄铝板沿EF 裁开，再将DAE ∆沿DE 折叠，DCF ∆沿DF 折叠，使DA ，DC 重合，且,A C 重合于点M ，制作成一个无盖的三棱锥形容器D MEF -（图乙），记该容器的容积为V （单位：3m ），（注：薄铝板的厚度忽略不计）（1）若裁开的三角形薄铝板EFB 恰好是该容器的盖，求x ，V 的值； （2）试确定x 的值，使得无盖三棱锥容器D MEF -的容积V 最大. 21．（6分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值. 22．（8分）选修4—5；不等式选讲． 已知函数()|||1|f x x x =--．(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥． 23．（8分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且22233b a c =-. （1）证明：3cos b c A =⋅；（2）若ABC 的面积2S =，6b =，求角C .参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，1220122PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 3．A 【解析】 【分析】设θ为a 、b 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，(1,b OB ==，(),c OC x y ==，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -和a c +转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=，则1cos =2θ，0θπ≤≤，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，()1,3b OB ==，(),c OC x y ==，由()22c a b c ⋅+-=，可得()(),42322x y x y ⋅-=， 即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+，则a c -转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-，22min 337312a c ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝-⎭， ()222a c x y +=++a c +转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题. 4．B 【解析】 【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r hπ.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题. 5．C 【解析】由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得3x π=时，()g x 取得最大值，即23122k πωππωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0k =时，解得2ω=，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得3x π=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.6．B 【解析】 【分析】根据正四棱锥底边边长为2，高为2，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【详解】 如图所示：因为正四棱锥底边边长为22，所以2OB SB == ，O 到SB 的距离为1SO OBd SB⨯==，同理O 到,,SC SD SA 的距离为1， 所以O 为球的球心， 所以球的半径为：1， 所以球的表面积为4π. 故选：B 【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 7．C 【解析】试题分析：因为复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，所以(2)0m m -=且2320m m -+≠，因此0.m =注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数 8．B 【解析】 【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan2αα-=+222sin21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cossincos sin cos sin cos sin 2222222221cos2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】画出该几何体的直观图P ABCD -，易证平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ，从而可选出答案． 【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ， 作PO ⊥AD 于O ，则有PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 11．A 【解析】 【分析】要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②. 【详解】因为计算这50个数的和，循环变量i 的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为1i i =+，第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，这样可以确定语句②为p p i =+，故本题选A. 【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键. 12．C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==； 第2次循环，满足判断条件，2,2Sk；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==； 第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==； 不满足判断条件，输出64S =.故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。